عناصر إقليدس

العناصر ( باليونانية القديمة : Στοιχεῖα Stoikheîa ) هي أطروحة رياضية كتبها حوالي عام 300 قبل الميلاد عالم الرياضيات اليوناني القديم إقليدس .

يُعدّ كتاب "الأصول" أقدم دراسة استنتاجية واسعة النطاق في الرياضيات. يستند هذا الكتاب إلى أعمال علماء رياضيات سابقين مثل أبقراط الخيوسي ، وإيودوكسوس الكنيدي ، وثيائيتيتوس ، وهو عبارة عن مجموعة من 13 كتابًا تضمّ تعريفات ومسلمات وبنى هندسية ونظريات مع براهينها ، تغطي الهندسة الإقليدية المستوية والفراغية ، ونظرية الأعداد الأولية ، وعدم التناسب . تشمل هذه العناصر نظرية فيثاغورس ، ونظرية طاليس ، وخوارزمية إقليدس لإيجاد القواسم المشتركة الكبرى ، ونظرية إقليدس التي تنصّ على وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية، بالإضافة إلى بناء المضلعات والمجسمات المنتظمة .

يُعتبر كتاب "الأصول" من أنجح الكتب الدراسية على الإطلاق، ولا يزال يُستخدم في تدريس الهندسة التمهيدية. وقد تُرجم إلى العربية واللاتينية في العصور الوسطى، حيث كان له تأثير كبير على الرياضيات في العالم الإسلامي في العصور الوسطى وفي أوروبا الغربية، كما أثبت دوره المحوري في تطوير المنطق والعلوم الحديثة، حيث لم يُضاهى دقته المنطقية حتى القرن التاسع عشر.

خلفية

يُعدّ كتاب " الأصول" لإقليدس أقدم دراسة استنتاجية واسعة النطاق باقية في الرياضيات. ^{[ 1 ]} كتب بروكلس ، عالم الرياضيات اليوناني الذي عاش بعد إقليدس بنحو سبعة قرون، في تعليقه على كتاب "الأصول" : "إقليدس، الذي جمع كتاب " الأصول" ، جامعًا العديد من نظريات إيدوكسوس ، ومُحسّنًا العديد من نظريات ثيائيتيتوس ، ومُقدّمًا برهانًا قاطعًا على الأمور التي لم يُثبتها أسلافه إلا بشكلٍ غير دقيق". ^{[ أ ]} يعتقد الباحثون أن كتاب "الأصول " هو في معظمه تجميعٌ لمقولاتٍ مبنية على كتبٍ لعلماء رياضيات يونانيين سابقين، ^{[ 2 ]} من بينهم إيدوكسوس ، وهيبوقراطيس الخيوسي ، ^{[ ب ]} وطاليس ، وثيائيتيتوس ، بينما ذُكرت نظرياتٌ أخرى من قِبل أفلاطون وأرسطو. ^{[ 3 ]} يصعب التمييز بين عمل إقليدس وأعمال أسلافه، لا سيما وأن كتاب الأصول قد حلّ محلّ الرياضيات اليونانية القديمة المفقودة. ^{[ 4 ]} تتضمن النسخة المتوفرة اليوم من كتاب الأصول أيضًا رياضيات "ما بعد إقليدس"، والتي أُضيفت على الأرجح لاحقًا من قِبل محررين لاحقين مثل عالم الرياضيات ثيون الإسكندري في القرن الرابع. ^{[ 3 ]} يخلص عالم الكلاسيكيات ماركوس أسبر إلى أن "إنجاز إقليدس، على ما يبدو، يتمثل في تجميع المعرفة الرياضية المقبولة في نظام متماسك وإضافة براهين جديدة لسدّ الثغرات"، وقد وصفته المؤرخة سيرافينا كومو بأنه "مستودع للنتائج". ^{[ 5 ]}^{[ 3 ]} على الرغم من ذلك، يرى المؤرخ ميخاليس سيالاروس أن "بنيته المحكمة بشكل ملحوظ" تشير إلى أن إقليدس هو من كتب كتاب الأصول بنفسه، وليس مجرد تجميع أعمال الآخرين. ^{[ 6 ]}

لا يزال تحديدُ نسب أجزاء كتاب "الأصول" إلى رياضيين محددين موضعَ نقاشٍ علمي. فبحسب دبليو دبليو راوس بول ، يُرجَّح أن يكون فيثاغورس مصدرَ معظم الكتابين الأول والثاني، وأبقراط الخيوسي للكتاب الثالث، وإيودوكسوس الكنيدي للكتاب الخامس، بينما يُحتمل أن تكون الكتب الرابع والسادس والحادي عشر والثاني عشر من تأليف رياضيين فيثاغوريين أو أثينيين آخرين. ^{[ 7 ]} وقد يكون كتاب "الأصول" مبنيًا على كتابٍ سابقٍ لهبقراط الخيوسي، الذي يُحتمل أيضًا أنه ابتكر استخدام الأحرف للإشارة إلى الأشكال. ^{[ 8 ]} وينسب ويلبر كنور أصلَ المادة في الكتب الأول والثالث والسادس من كتاب "الأصول" إلى زمن أبقراط الخيوسي، وأصلَ المادة في الكتب الثاني والرابع والعاشر والثالث عشر إلى الفترة اللاحقة لثيودوروس القيرواني ، وثييتيتوس، وإيودوكسوس. ومع ذلك، فقد تعرض هذا التاريخ المقترح لانتقادات من قبل فان دير واردن ، الذي اعتقد أن الكتب من الأول إلى الرابع تعود إلى حد كبير إلى المدرسة الفيثاغورية السابقة بكثير . ^{[ 9 ]}

كما ورد أن أعمالاً أخرى مماثلة قد كتبها أبقراط الخيوسي، وثيوديوس المغنيسي ، وليون ، ولكنها مفقودة الآن. ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}

محتويات

*ملخص محتويات كتاب أصول* إقليدس (طبعة هيث)
كتاب	أنا	٢	3	رابعاً	V	السادس	السابع	الثامن	9	X	الحادي عشر	الثاني عشر	الثالث عشر	الإجمالي
التعريفات	23	2	11	7	18	4	22	–	–	16	28	–	–	131
المسلمات	5	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	5
مفاهيم شائعة	5	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	5
الافتراضات	48	14	37	16	25	33	39	27	36	115	39	18	18	465

لا يقتصر كتاب الأصول على مناقشة الهندسة فقط كما يُعتقد أحيانًا. ^{[ 4 ]}^{[ 12 ]} يُقسّم الكتاب تقليديًا إلى ثلاثة مواضيع: الهندسة المستوية (الكتب من الأول إلى السادس)، ونظرية الأعداد الأساسية (الكتب من السابع إلى العاشر)، والهندسة الفراغية (الكتب من الحادي عشر إلى الثالث عشر) - مع أن الكتاب الخامس (حول النسب) والعاشر (حول عدم التناسب ) لا يتوافقان تمامًا مع هذا التصنيف. ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]} يكمن جوهر الكتاب في النظريات المنتشرة فيه. ^{[ 15 ]} باستخدام مصطلحات أرسطو، يمكن تصنيف هذه النظريات عمومًا إلى فئتين: "المبادئ الأولى" و"المبادئ الثانية". ^{[ 16 ]} تتضمن المجموعة الأولى عبارات مصنفة على أنها "تعريف" ( باليونانية القديمة : ὅρος أو ὁρισμός )، أو "مسلمة" ( αἴτημα )، أو "مفهوم مشترك" ( κοινὴ ἔννοια ). ^{[ 16 ]}^{[ 17 ]} تظهر المسلمات (أي البديهيات ) والمفاهيم المشتركة فقط في الكتاب الأول. ^{[ 4 ]} تشير دراسة متأنية لبروكلس إلى أن النسخ الأقدم من كتاب العناصر ربما اتبعت نفس التمييزات ولكن بمصطلحات مختلفة، حيث أطلقت على كل تعريف اسم "فرضية" ( ὑπόθεσις ) وعلى كل مفهوم مشترك اسم "بديهية" ( ἀξίωμα ). ^{[ ١٧ ]} تتألف المجموعة الثانية من قضايا، تُعرض إلى جانب براهين رياضية ورسوم بيانية. ^{[ ١٦ ]} من غير المعروف ما إذا كان إقليدس قد قصد كتاب الأصول ككتاب مدرسي، ^{[ ٦ ]} على الرغم من استخدامه الواسع النطاق لاحقًا كمرجع. ^{[ ١٨ ]} وبشكل عام، يظل أسلوب المؤلف عامًا وغير شخصي. ^{[ ٣ ]}

مسلمات إقليدس والمفهوم الشائع ^{[ 19 ]}
لا.	المسلمات
لنفترض ما يلي:
1	لرسم خط مستقيم من أي نقطة إلى أي نقطة أخرى.
2	لإنتاج خط مستقيم محدود بشكل مستمر في خط مستقيم
3	لوصف دائرة ذات مركز ومسافة
4	أن جميع الزوايا القائمة متساوية.
5	إذا كان الخط المستقيم الذي يقطع خطين مستقيمين يجعل الزوايا الداخلية على نفس الجانب أقل من زاويتين قائمتين، فإن الخطين المستقيمين، إذا امتدا إلى ما لا نهاية، يلتقيان على ذلك الجانب الذي تكون فيه الزوايا أقل من الزاويتين القائمتين ^{[ ج ].}
لا.	مفاهيم شائعة
1	الأشياء المتساوية لنفس الشيء تكون متساوية فيما بينها.
2	إذا أُضيفت أعداد متساوية إلى أعداد متساوية، فإن المجموع الكلي يكون متساوياً.
3	إذا طُرحت أعداد متساوية من أعداد متساوية، فإن الباقي يكون متساوياً.
4	الأشياء المتطابقة متساوية.
5	الكل أكبر من الجزء

الكتب من الأول إلى السادس: الهندسة المستوية

الكتاب الأول

يُعدّ الكتاب الأول من كتاب الأصول أساسيًا للنص بأكمله. ^{[ 4 ]} يبدأ بسلسلة من 20 تعريفًا للمفاهيم الهندسية الأساسية مثل النقاط والخطوط والزوايا والمضلعات المنتظمة المختلفة . ^{[ 20 ]} ثم يعرض إقليدس 10 افتراضات (انظر الجدول على اليمين)، مُجمّعة في خمس مسلمات وخمسة مفاهيم مشتركة. ^{[ 21 ]} تهدف هذه الافتراضات إلى توفير الأساس المنطقي لكل نظرية لاحقة، أي أنها بمثابة نظام بديهي . ^{[ 22 ]} تتعلق المفاهيم المشتركة حصريًا بمقارنة المقادير ، أي أحجام الأشكال الهندسية. ^{[ 23 ]} في الرياضيات الحديثة، تُعامل هذه المقادير كأعداد حقيقية تقيس طول القوس أو الزاوية أو المساحة ، وتُقارن عدديًا، لكن إقليدس وجد بدلاً من ذلك طرقًا لمقارنة مقادير الأشكال باستخدام العمليات الهندسية، دون تفسير هذه المقادير كأعداد. ^{[ 24 ]} في حين أن المسلمات الأربع الأولى واضحة نسبيًا، فإن الخامسة ليست كذلك. يُعرف هذا باسم مسلمة التوازي ، وقد أصبحت مسألة استقلالها عن المسلمات الأربع الأخرى محورًا لسلسلة طويلة من الأبحاث التي أدت إلى تطوير الهندسة غير الإقليدية . ^{[ 23 ]}

يتضمن الكتاب الأول أيضاً 48 قضية، يمكن تقسيمها بشكل عام إلى: النظريات الأساسية والإنشاءات الهندسية المستوية وتطابق المثلثات (1-26)، والخطوط المتوازية (27-34)، ومساحة المثلثات ومتوازيات الأضلاع (35-45)، ونظرية فيثاغورس وعكسها (46-48). ^[²³^]

أصبحت الفرضية الخامسة، التي تنص على تساوي زاويتي قاعدة المثلث متساوي الساقين، تُعرف في العصور الوسطى باسم " جسر الحمير" ، الذي يفصل بين الرياضيين القادرين على إثباتها والجهلاء العاجزين عن ذلك. ^{[ 25 ]} تحتوي بردية أوكسيرينخوس 29 ، وهي بردية من القرن الثالث الميلادي، على أجزاء من الفرضيات 8-11 و14-25. ^{[ د ]} تُشكل الفرضيتان الأخيرتان من الكتاب الأول أقدم برهان باقٍ لنظرية فيثاغورس، والتي وصفها سيالاروس بأنها "دقيقة للغاية". ^{[ 16 ]} أصبح شكل نظرية فيثاغورس نفسه معروفًا بأسماء متعددة: كرسي العروس ، وطاحونة الهواء، وذيل الطاووس. ^{[ 26 ]}

الكتاب الثاني

يركز الكتاب الثاني على المساحة ، مقاسةً بالتكامل العددي ، أي إنشاء مربع مساوٍ في المساحة لشكل معين. ويتضمن مقدمة هندسية لقانون جيب التمام ، ويبلغ ذروته في التكامل العددي للمستطيلات ذات الأشكال المختلفة . ^{[ 23 ]} في أواخر القرنين التاسع عشر والعشرين، فسّر بعض مؤرخي الرياضيات الكتاب الثاني على أنه تأسيس " جبر هندسي "، وهو تعبير عن المعالجة الجبرية للمعادلات الخطية والتربيعية بدلالة المفاهيم الهندسية للطول والمساحة، ^{[ 27 ]}^{[ 28 ]} ويتمحور حول الحالة التربيعية لنظرية ذات الحدين . ^{[ 23 ]} وقد خضع هذا التفسير لنقاش حاد منذ سبعينيات القرن العشرين؛ ^{[ 28 ]} ويصفه النقاد بأنه غير متناسب مع العصر، إذ أن أسس الجبر الناشئ ظهرت بعد ذلك بقرون عديدة. ^{[ 16 ]} ومع ذلك، إذا اعتبرنا هذه العبارات بمثابة بيانات تتعلق بالهندسة، فإن العديد من القضايا الواردة في هذا الكتاب زائدة عن الحاجة بالنسبة للرياضيات الحديثة، حيث يمكن استيعابها باستخدام الجبر. ^{[ 29 ]}

تقسم القضية 11 من الكتاب الثاني قطعة مستقيمة معينة إلى نسبتين: قصوى ومتوسطة، تُعرف الآن بالنسبة الذهبية . وهي أولى القضايا العديدة التي تتناول هذه النسبة: وقد استُخدمت لاحقًا في الكتاب الرابع لرسم المثلث الذهبي والخماسي المنتظم ، وفي الكتاب الثالث عشر لرسم المجسم ذي الاثني عشر وجهًا المنتظم والمجسم ذي العشرين وجهًا المنتظم ، ودُرست كنسبة في القضية 30 من الكتاب السادس. ^{[ 30 ]}^{[ 31 ]}

الكتاب الثالث

يبدأ الكتاب الثالث بقائمة تضم 11 تعريفًا، ويليها 37 قضية تتناول الدوائر وخصائصها. القضية الأولى تتعلق بإيجاد مركز الدائرة. أما القضايا من 2 إلى 15 فتتعلق بالأوتار ، والدوائر المتقاطعة والمماسّة . وتُعدّ الخطوط المماسية للدوائر موضوع القضايا من 16 إلى 19. ثم تأتي قضايا الزوايا المحيطية (من 20 إلى 22)، وقضايا الأوتار والأقواس والزوايا (من 23 إلى 30)، بما في ذلك نظرية الزاوية المحيطية التي تربط الزوايا المحيطية بالزوايا المركزية كقضية 20. وتتعلق القضايا من 31 إلى 34 بالزوايا في الدوائر، بما في ذلك نظرية طاليس التي تنص على أن الزاوية المحيطية في نصف دائرة هي زاوية قائمة (جزء من القضية 31). أما القضايا المتبقية، من 35 إلى 37، فتتعلق بالأوتار المتقاطعة والمماسّات. القضية 35 هي نظرية الأوتار المتقاطعة ، والقضية 36 هي نظرية المماس والقاطع . ^{[ 32 ]}

الكتاب الرابع

يتناول الكتاب الرابع أربع مسائل بشكل منهجي لأنواع مختلفة من المضلعات: رسم مضلع داخل دائرة، ورسم دائرة حول مضلع، ورسم دائرة داخل مضلع، ورسم دائرة حول مضلع. ^{[ 33 ]} تُحل هذه المسائل بالتتابع للمثلثات، ثم للمضلعات المنتظمة القابلة للإنشاء (أي تلك التي يمكن إنشاؤها باستخدام المسطرة والفرجار ) ذات 4 و5 و6 و15 ضلعًا. ^{[ 4 ]}

الكتاب الخامس

يتناول الكتاب الخامس، المستقل عن الكتب الأربعة السابقة، نسب المقادير (بمعنى بديهي، مدى كبر أو صغر شكل ما بالنسبة إلى شكل آخر) ومقارنة النسب. ^{[ 34 ]} وقد صاغ هيث ومترجمون آخرون قضاياه الست الأولى في الجبر الرمزي، كأشكال لقانون التوزيع للضرب على القسمة وقانون التجميع للضرب. ومع ذلك، يجادل ليو كوري بأن هذا غير مناسب تاريخيًا ومضلل، لأن إقليدس لم يتعامل مع المقادير كأعداد، ولم يعتبر النسبة عملية ثنائية من عدد إلى عدد. ^{[ 35 ]}

ربما تم التوصل إلى جزء كبير من الكتاب الخامس من علماء الرياضيات السابقين، وربما إيدوكسوس، ^{[ 16 ]} على الرغم من أن بعض القضايا، مثل القضية الخامسة، 16، التي تتناول "التناوب" (إذا كان أ : ب :: ج : د ، فإن أ : ج :: ب : د ) من المحتمل أن تكون أقدم من إيدوكسوس. ^{[ 36 ]}

جادل كريستوفر زيمان بأن تركيز الكتاب الخامس على سلوك النسب عند جمع المقادير، وما ترتب عليه من فشل في تعريف نسب النسب، كان عيبًا منع الإغريق من إيجاد مفاهيم مهمة معينة مثل النسبة التبادلية (المحورية في الهندسة الإسقاطية ). ^{[ 37 ]}

الكتاب السادس

يستخدم الكتاب السادس نظرية النسب من الكتاب الخامس في سياق الهندسة المستوية، ^{[ 4 ]} وخاصةً في إنشاء الأشكال المتشابهة والتعرف عليها . وهو مبنيٌّ بالكامل تقريبًا على فرضيته الأولى: ^{[ 38 ]} "المثلثات ومتوازيات الأضلاع التي تقع تحت نفس الارتفاع تكون نسبة بعضها إلى بعض كقواعدها". أي، إذا كان لمثلثين نفس الارتفاع، فإن نسبة مساحتيهما تساوي نسبة طولي قطعتي قاعدتيهما (وينطبق الأمر نفسه على متوازيي أضلاع لهما نفس الارتفاع). توفر هذه الفرضية صلةً بين نسب الأطوال ونسب المساحات. ^{[ 39 ]} تُنشئ الفرضية 25، من أي مضلعين ، مضلعًا ثالثًا مشابهًا للأول وله نفس مساحة الثاني. ينسب بلوتارخ هذا البناء إلى فيثاغورس، واصفًا إياه بأنه "أكثر دقةً وعلميةً" من نظرية فيثاغورس. تُعدّ مسألة مضاعفة المكعب الشهيرة في اليونان القديمة ، والتي بات من المعروف الآن استحالة حلّها باستخدام الفرجار والمسطرة، حالةً خاصةً من المسألة ثلاثية الأبعاد المماثلة المتمثلة في إنشاء شكل ذي شكل وحجم مُحدّدين. ^{[ 40 ]} وينتهي الكتاب كما بدأ، بربط نوعين من النسب: نسب الزوايا، ونسب أطوال الأقواس الدائرية، في القضية 33. ^{[ 41 ]}

الكتب من السابع إلى العاشر: نظرية الأعداد

تُغطّي الكتب من السابع إلى العاشر نظرية الأعداد ، وهي نظرية حساب الأعداد الطبيعية . يبدأ الكتاب السابع بمجموعة من 22 تعريفًا للزوجية (ما إذا كان العدد زوجيًا أم فرديًا)، والأعداد الأولية ، ومفاهيم أخرى متعلقة بالحساب. ^{[ 4 ]} أول هذه التعريفات خاص بالوحدة (أي العدد واحد في المصطلحات الحديثة)، بينما ينص الثاني على أن "العدد هو مجموعة من الوحدات"؛ ^{[ 42 ]} ويُفسَّر هذا عمومًا بأن إقليدس لم يعتبر الواحد عددًا، وأن الأعداد الطبيعية تبدأ من اثنين. ^{[ 43 ]}

الكتاب السابع

يتناول الكتاب السابع نظرية الأعداد الأولية، ويتضمن 39 قضية، يمكن تقسيمها بشكل عام إلى: خوارزمية إقليدس ، وهي طريقة لتحديد ما إذا كانت الأعداد أولية فيما بينها ولإيجاد القاسم المشترك الأكبر (1-4)، والكسور (5-10)، ونظرية النسب للأعداد (11-19)، والأعداد الأولية والأعداد الأولية فيما بينها ونظرية القواسم المشتركة الكبرى (20-32)، والمضاعف المشترك الأصغر (33-39). ^{[ 44 ]}

الكتاب الثامن

يتناول الكتاب الثامن موضوع المتتابعات الهندسية . ^{[ 44 ]} بالنسبة لإقليدس، عُرِّفت هذه المتتابعات بخاصية التناسب المستمر (أي أن لكل مقدارين متتاليين النسبة نفسها)، بدلاً من تعريفها، كما هو الحال في المعالجات الحديثة، بالأس ( الأس). $i$ يأخذ الحد النوني للمتتالية الشكل التالي: $ax^{i}$ للثوابت $a$ و $x$ ). وقد سمح هذا لإقليدس بتجنب ضرب أكثر من قيمتين، ولكنه أدى إلى بعض البراهين المعقدة للحقائق التي كان من الممكن أن تكون واضحة باستخدام الترميز الأسي. ^{[ 45 ]}

يتناول الجزء الأول من الكتاب الثامن (القضايا من 1 إلى 10) بناء ووجود المتتابعات الهندسية للأعداد الصحيحة بشكل عام، وقابلية قسمة عناصر المتتابعة الهندسية على بعضها البعض. أما القضايا من 11 إلى 27 فتتناول الأعداد المربعة والمكعبة في المتتابعات الهندسية، والعلاقة بين هذه المتتابعات الخاصة والعناصر التي تفصل بينها خطوتان أو ثلاث خطوات في أي متتابعة هندسية. ^[⁴⁴^]

الكتاب التاسع

بعد استكمال دراسات الكتاب الثامن حول المربعات والمكعبات في المتتابعات الهندسية، ^{[ 44 ]} يطبق الكتاب التاسع نتائج الكتابين السابقين، ويقدم لانهائيّة الأعداد الأولية (نظرية إقليدس، القضية 20)، وصيغة مجموع متسلسلة هندسية منتهية (القضية 35)، وبناءً باستخدام هذا المجموع للأعداد الزوجية الكاملة (القضية 36). هنا، يكون العدد كاملاً إذا كان يساوي مجموع قواسمه الحقيقية ، كما في المثال 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. ^{[ 4 ]}^{[ 46 ]} خمّن ابن الهيثم حوالي عام 1000 ، وفي القرن الثامن عشر أثبت ليونارد أويلر ، أن هذا البناء يولّد جميع الأعداد الزوجية الكاملة. هذه النتيجة هي نظرية إقليدس-أويلر . ^{[ 47 ]}

الكتاب العاشر

من بين كتب العناصر ، يُعدّ الكتاب العاشر الأكبر والأكثر تعقيدًا، إذ يتناول (بمصطلحات حديثة) الأعداد غير النسبية في سياق المقادير. ^{[ 16 ]}^{[ 48 ]} تُثبت القضية 9 (بصيغتها الحديثة) عدم نسبية الجذور التربيعية لجميع الأعداد الصحيحة غير المربعة مثل ${\sqrt {2}}$ ، الجذر التربيعي للعدد 2. ^{[ 49} ] تُعطي إحدى لِمات القضية 29 صيغة إقليدس لإنتاج جميع الثلاثيات الفيثاغورية ^{الأساسية} . ^{[ 50 ]} بالإضافة إلى ذلك، يُصنِّف هذا الكتاب الأطوال غير النسبية إلى ثلاثة عشر فئة منفصلة، مرتبطة بإنشائها من خلال تركيبات مختلفة من أطوال أخرى صحيحة وجذورها التربيعية. ^{[ 51 ]} ومع ذلك، يُحذِّر ويلبر كنور من أن "الطالب الذي يُقبل على كتاب إقليدس العاشر على أمل أن يُخفي طوله وغموضه كنوزًا رياضية، من المرجح أن يُصاب بخيبة أمل... فالأفكار الرياضية فيه قليلة." ^{[ 52 ]}

بدلاً من التعامل مع المقادير كأعداد حقيقية والتساؤل عما إذا كانت أعدادًا نسبية ، تناول إقليدس هذه المسألة من منظور قابلية قياس الأطوال أو المساحات: أي ما إذا كان بالإمكان قياس قطعتين مستقيمتين أو مستطيلين بعدد صحيح من نسخ وحدة فرعية مشتركة. ^{[ 48 ]} ويختلف تصنيفه للأطوال إلى نسبية وغير نسبية عن المفهوم الحديث: فبالنسبة لإقليدس، تكون القطعة المستقيمة نسبية عندما تكون مساحة المربع المرسوم على ضلعها نسبية. أي أن طولًا مثل ${\sqrt {2}}$ أي أن الجذر التربيعي لمساحة نسبية هو نفسه عدد نسبي. ^{[ 53 ]}

يرتبط هذا الكتاب بمقطع قصير في حوار ثيائيتيتوس لأفلاطون ، الذي دار بين سقراط وثيودوروس القيرواني وثيائيتيتوس ، وهو عالم رياضيات شاب. يناقش هذا المقطع برهانًا قدمه ثيودوروس على أن الأعداد الصحيحة غير المربعة من 3 إلى 17 لها جذور تربيعية غير نسبية (بعد اكتشاف عدم نسبية الأعداد الصحيحة في وقت سابق بكثير). ${\sqrt {2}}$ ^{[ 54 ]}^[⁵⁵^]

الكتب من الحادي عشر إلى الثالث عشر: الهندسة الفراغية

تتناول الكتب الثلاثة الأخيرة بشكل أساسي الهندسة الفراغية . ^{[ 13 ]} ويُقدّم الكتاب الحادي عشر قائمةً تضم 37 تعريفًا، ليضع الكتابين التاليين في سياقهما. ^{[ 56 ]} وعلى الرغم من أن طابعه التأسيسي يُشابه الكتاب الأول، إلا أنه على عكس الكتاب الأول، لا يتضمن نظامًا بديهيًا أو مسلمات. ^{[ 56 ]}

الكتاب الحادي عشر

يعمم الكتاب الحادي عشر نتائج الكتاب السادس على الأشكال المجسمة: التعامد، والتوازي، والحجوم، وتشابه متوازيات السطوح (المجسمات متعددة الأوجه ذات ثلاثة أزواج من الأوجه المتوازية). تتضمن أقسام الكتاب الحادي عشر الثلاثة محتوىً حول: الهندسة المجسمة (1-19)، والزوايا المجسمة (20-23)، ومتوازيات السطوح (24-37). ^{[ 56 ]}

الكتاب الثاني عشر

يتناول الكتاب الثاني عشر دراسة أحجام المخاريط والأهرامات والأسطوانات بالتفصيل باستخدام طريقة الاستنفاد ، وهي طريقة تمهيدية للتكامل ، ^[⁵⁶^] ويُبين، على سبيل المثال، أن حجم المخروط يساوي ثلث حجم الأسطوانة المقابلة له. ^[⁵⁷^] ويختتم الكتاب بتوضيح أن حجم الكرة يتناسب طرديًا مع مكعب نصف قطرها (باللغة الحديثة) عن طريق تقريب حجمها باتحاد العديد من الأهرامات. ^[⁵⁸^]

الكتاب الثالث عشر

يبني الكتاب الثالث عشر المجسمات الأفلاطونية الخمسة (المجسمات المنتظمة) المحصورة داخل كرة، ويقارن نسب أضلاعها إلى نصف قطر الكرة، ^{[ 59 ]} ويختتم كتاب الأصول بإثبات أن هذه هي المجسمات المنتظمة الوحيدة. ^{[ 60 ]}

الكتب المنحولة

تم نقل كتابين إضافيين، لم يكتبهما إقليدس، وهما الكتابان الرابع عشر والخامس عشر، في مخطوطات كتاب الأصول : ^{[ 61 ]}

من المرجح أن يكون هيبسيكليس قد كتب الكتاب الرابع عشر ، استنادًا إلى رسالة أبولونيوس البرغي . وهو يكمل دراسة المجسمات الأفلاطونية والكرات المحيطة بها الواردة في الكتاب الثالث عشر. ويخلص إلى أنه بالنسبة لمجسم ذي اثني عشر وجهًا ومجسم ذي عشرين وجهًا محصورين داخل كرة مشتركة، فإن نسبة مساحات سطحيهما ونسبة حجميهما متساوية، وكلاهما ^{[ 61 ].} ${\sqrt {\frac {10}{3(5-{\sqrt {5}})}}}={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{6}}}.$
ربما يكون الكتاب الخامس عشر قد كُتب على يد أحد تلاميذ إيزيدور الميليتي . وهو يتناول أيضًا المجسمات الأفلاطونية؛ إذ يُدرج بعضها داخل بعضها البعض، ويحصي أضلاعها ورؤوسها (دون أن يجد صيغة أويلر) . $V-E+F=2$ [ ⁶¹ ]

لم تكن ممارسة إضافة أعمال المؤلفين المشهورين، كما يتضح من هذه الكتب، أمرًا غير عادي في الرياضيات اليونانية القديمة. ^{[ 61 ]}

أسلوب ومنهج إقليدس في العرض

• رسم خط مستقيم من أي نقطة إلى أي نقطة أخرى. • رسم دائرة بأي مركز ومسافة.

— إقليدس، الأصول ، الكتاب الأول، المسلمات 1 و3. ^[⁶²^]

رسم متحرك يوضح كيف أنشأ إقليدس شكلاً سداسياً (الكتاب الرابع، القضية 15). يمكن إنشاء كل شكل ثنائي الأبعاد في كتاب *الأصول* باستخدام الفرجار والمسطرة فقط. ^{[ 62 ]}

كان لمنهج إقليدس البديهي وأساليبه البنائية تأثير واسع النطاق. ^{[ 63 ]}^{[ 64 ]}

كانت العديد من قضايا إقليدس بنائية، إذ برهن على وجود شكل ما بتفصيل الخطوات التي استخدمها لرسمه باستخدام الفرجار (أداة رسم الدائرة) والمسطرة . ويظهر نهجه البنائي حتى في مسلمات هندسته، فالمسلمتان الأولى والثالثة اللتان تنصان على وجود الخط والدائرة بنائيتان. فبدلاً من أن يصرح بوجود الخطوط والدوائر وفقًا لتعريفاته السابقة، يصرح بإمكانية "رسم" الخط والدائرة. ويبدو أيضًا أنه لكي يستخدم شكلاً في أحد براهينه، يحتاج إلى رسمه في قضية سابقة. فعلى سبيل المثال، يبرهن على نظرية فيثاغورس برسم مربع داخل أضلاع مثلث قائم الزاوية، ولكن بعد رسم مربع على خط معين في قضية سابقة. ^{[ 65 ]}

يُقدَّم كلُّ نتيجةٍ في شكلٍ مُنمَّق، وإن لم يكن من ابتكار إقليدس، إلا أنه يُعتبر نموذجًا كلاسيكيًا. ويتألف هذا الشكل من ستة أجزاء: أولها «البيان»، الذي يُصاغ فيه الناتج بعباراتٍ عامة (أي صياغة القضية). ثم «التحديد»، الذي يُوضِّح الشكل ويُشير إلى الأشكال الهندسية المُحدَّدة بأحرف. يلي ذلك «التعريف» أو «التحديد»، الذي يُعيد صياغة البيان بدلالة الشكل المُحدَّد. ثم «البناء» أو «الآلية»، حيث يُوسَّع الشكل الأصلي لتوضيح البرهان. ثم يأتي «البرهان» نفسه. وأخيرًا، «الاستنتاج»، الذي يربط البرهان بالبيان من خلال ذكر الاستنتاجات المُحدَّدة المُستخلصة من البرهان، بعبارات البيان العامة. ^{[ 66 ]}

لم يُذكر أي شيء عن طريقة الاستدلال التي أدت إلى النتيجة، مع أن كتابًا آخر لإقليدس، بعنوان " البيانات" ، يُقدّم إرشادات حول كيفية التعامل مع أنواع المسائل التي وردت في الكتب الأربعة الأولى من كتاب " الأصول" . ^{[ 67 ]} بالنسبة للبراهين التي تتضمن تحليل الحالات ، غالبًا ما يقتصر كتاب "الأصول" على تفاصيل الحالة الأكثر صعوبة؛ وقد قام محررون لاحقون، مثل ثيون، بتوسيع بعض تحليلات هذه الحالات. ^{[ 68 ]}

كان عرض إقليدس محدودًا بالأفكار والرموز الرياضية الشائعة في عصره، مما يجعل أسلوبه يبدو غريبًا على القارئ المعاصر في بعض المواضع. فعلى سبيل المثال، لم يكن هناك مفهوم للزاوية الأكبر من زاويتين قائمتين، ^{[ 69 ]} وكان العدد 1 يُعامل أحيانًا بشكل منفصل عن الأعداد الصحيحة الموجبة الأخرى، ولأن الضرب كان يُعامل هندسيًا، باعتباره مساحة مستطيل بأطوال أضلاع معينة، لم يستخدم إقليدس ناتج ضرب أكثر من ثلاثة أعداد مختلفة. ولعلّ المعالجة الهندسية لنظرية الأعداد كانت بسبب أن البديل كان سيكون نظام الأرقام الإسكندري المعقد للغاية ، ^{[ 70 ]} وهو نظام عد أبجدي يُمثل فيه كل حرف يوناني مضاعفًا من قوى العدد عشرة. ^{[ 71 ]}

استقبال

يُعتبر كتاب "الأصول" لإقليدس أنجح كتاب مدرسي على الإطلاق . ^{[ 18 ]}^{[ 72 ]} وغالبًا ما يُنظر إليه، بعد الكتاب المقدس، على أنه الكتاب الأكثر ترجمةً ونشرًا ودراسةً في التاريخ. ^[⁷³^] وربما يكون كتاب "الأصول" ، إلى جانب كتاب "الميتافيزيقا" لأرسطو ، أنجح نص يوناني قديم، وكان الكتاب المدرسي الرياضي السائد في العالم الإسلامي في العصور الوسطى وأوروبا الغربية. ^[⁷³^]^[⁷²^] وكان من أوائل الأعمال الرياضية التي طُبعت بعد اختراع الطباعة، ويُقدّر أنه يأتي في المرتبة الثانية بعد الكتاب المقدس من حيث عدد الطبعات المنشورة منذ طباعته الأولى عام 1482، ^[⁷⁴^]^[⁷⁵^] حيث تجاوز عددها الألف طبعة. ^[⁷⁵^]

العصور الكلاسيكية القديمة

أقدم دليل باقٍ على كتاب "الأصول" لإقليدس هو مجموعة من ست شظايا فخارية (قطع طينية منقوشة عليها كتابة) عُثر عليها بين برديات وفخاريات جزيرة إلفنتين ، تعود إلى القرن الثالث قبل الميلاد، وتتناول المقولتين 13.10 و13.16، حول بناء مجسم ذي اثني عشر وجهًا. ^{[ 76 ]} تحتوي بردية عُثر عليها في هركولانيوم ^{[ 77 ]} على مقال للفيلسوف الأبيقوري ديمتريوس لاكون حول كتاب " الأصول " لإقليدس . ^{[ 76 ]} أما أقدم بردية باقية تحتوي على النص الفعلي لكتاب "الأصول" فهي بردية أوكسيرينخوس 29 ، وهي شظية تحتوي على نص الكتاب الثاني، المقولة 5، ورسم تخطيطي مصاحب، ويعود تاريخها إلى حوالي 75-125 ميلادي . ^{[ 78 ]}

لا تزال نسخ من النص اليوناني موجودة، بعضها في مكتبة الفاتيكان ومكتبة بودليان في أكسفورد. ^{[ هـ ]}^{[ و ]} تتفاوت جودة المخطوطات المتوفرة، وغالبًا ما تكون غير مكتملة. ^{[ 79 ]} من خلال التحليل الدقيق للترجمات والنصوص الأصلية، وُضعت فرضيات حول محتوى النص الأصلي. ^{[ 80 ]} كما أن الشروح ، أو التعليقات على النص، ذات أهمية بالغة . هذه الإضافات، التي غالبًا ما تميزت عن النص الرئيسي (بحسب المخطوطة)، تراكمت تدريجيًا بمرور الوقت مع اختلاف الآراء حول ما يستحق التفسير أو المزيد من الدراسة. ^{[ 81 ]}

في القرن الرابع الميلادي، أصدر ثيون الإسكندري طبعةً من كتاب إقليدس لاقت رواجًا واسعًا حتى أصبحت المصدر اليوناني الوحيد الباقي (في مخطوطات متعددة) إلى أن اكتشف فرانسوا بيرار عام ١٨٠٨ في الفاتيكان مخطوطةً أخرى غير مشتقة من مخطوطة ثيون. ^{[ ٨٢ ]} نُسخت هذه المخطوطة، MS. Vat.gr.190، ^{[ هـ ]} في القرن العاشر. وهي لا تتضمن نصًا يُشير إلى أنها من تحرير ثيون، كما أنها تفتقر إلى نتيجةٍ للمسألة ٣٣ من الكتاب السادس، والتي ادعى ثيون أنها من إضافته. تتضمن النسختان اليونانيتان العديد من الشروحات التي تتجاوز المسائل وبراهينها، وهي شروحات غائبة عن الترجمات العربية لكتاب الأصول . وقد أثار هذا الأمر جدلًا أكاديميًا في القرن التاسع عشر بين م. كلامروث وج . ل. هايبرغ حول ما إذا كانت الاختلافات بين النسخ المختلفة تعكس اختصارات أم إضافات إلى نص إقليدس. وبالعودة إلى هذه المسألة، يتفق ويلبر كنور مع كلامروث في اقتراحه أن المصادر العربية كانت أقرب إلى الأصل، لكنه يخلص إلى أنه "لم يكن لدينا قط نص 'أصلي' لإقليدس، ولن يكون لدينا واحد أبدًا". ^{[ 82 ]}

على الرغم من أن إقليدس كان معروفًا لشيشرون ، على سبيل المثال، إلا أنه لا يوجد سجل يشير إلى ترجمة النص إلى اللاتينية قبل بوثيوس في القرن الخامس أو السادس. ^{[ 83 ]}

العصر الوسيط

منذ العصور الكلاسيكية القديمة وحتى اختراع الطباعة في الغرب، حُفظت نصوص مثل كتاب الأصول ونُسخت من خلال عملية نسخ المخطوطات . كانت هذه العملية شاقة ومكلفة، لذا غالبًا ما كانت المخطوطات محصورة في مجموعات الأثرياء أو في مؤسسات مثل دار الحكمة في العالم الإسلامي في العصور الوسطى ، أو الأديرة والجامعات المبكرة في أوروبا في العصور الوسطى. ^{[ 84 ]}

وصل كتاب الأصول إلى العالم الإسلامي من الإمبراطورية البيزنطية حوالي عام 760. ووفقًا لمصادر من تلك الحقبة، تُرجمت هذه النسخة إلى العربية في عهد هارون الرشيد ( حوالي 800 )، ^{[ 83 ]} وفي نسختين على يد الحجاج بن يوسف بن مطر . ثم أُجريت ترجمة عربية أخرى في وقت لاحق من القرن التاسع على يد إسحاق بن حنين، ونقّحها ثابت بن قرة . ^{[ 85 ]}^{[ 86 ]} ورغم أن معظم المخطوطات العربية تُنسب إلى إحدى هاتين الترجمتين، إلا أن بعضها يمزج بين مواد من كلتيهما، ^{[ 85 ]} ولا تتفق نسبها دائمًا مع الأدلة المستقاة من أوجه التشابه النصي في المخطوطات الباقية. ^{[ 86 ]} وقد انتقل هذا المزيج أيضًا إلى الترجمات التي نُقلت في العصور الوسطى إلى العبرية من العربية. ^{[ 85 ]}

في أواخر القرن التاسع، كلف العالم البيزنطي أريثاس بنسخ إحدى المخطوطات اليونانية لكتاب إقليدس؛ ^{[ 87 ]} وتُعد هذه المخطوطة، إلى جانب مخطوطة بيزنطية أخرى، أقدم نسختين باقيتين من النص اليوناني. ^{[ 88 ]} على الرغم من معرفة كتاب الأصول في بيزنطة، إلا أنه فُقد من أوروبا الغربية حتى حوالي عام 1120، ^{[ 89 ]} باستثناء أجزاء من ترجمة لاتينية قام بها بوثيوس ( حوالي 500 )، والتي ورد ذكرها في أعمال أخرى. ^{[ 90 ]}^{[ g ]} في حوالي عام 1120، ترجم الراهب الإنجليزي أديلارد من باث كتاب الأصول إلى اللاتينية من ترجمة عربية. ^{[ 91 ]} وفي اكتشاف حديث نسبيًا، عُثر على ترجمة من اليونانية إلى اللاتينية تعود إلى القرن الثاني عشر في باليرمو، صقلية. اسم المترجم غير معروف سوى أنه كان طالب طب مجهول الهوية من ساليرنو، كان يزور باليرمو لترجمة كتاب المجسطي إلى اللاتينية. مخطوطة إقليدس موجودة وكاملة تماماً. ^{[ 89 ]}

بعد ترجمة أديلارد (التي عُرفت باسم أديلارد الأول)، انتشرت ترجمات عديدة من العربية. ومن أبرز المترجمين في تلك الفترة هيرمان الكارينتثي الذي كتب طبعةً حوالي عام 1140، وروبرت تشيستر (تُعرف مخطوطاته مجتمعةً باسم أديلارد الثاني، كُتبت في عام 1251 أو قبله)، وجون تاينموث ^{[ 92 ]} (أواخر القرن الثاني عشر؛ تُعرف مخطوطاته مجتمعةً باسم أديلارد الثالث)، وجيرارد كريمونا (بعد عام 1120 وقبل عام 1187). ولا يزال تاريخ نقل هذه الترجمات بالتفصيل مجالًا بحثيًا نشطًا. ^{[ 93 ]} وقد اعتمد كامبانوس النوفاري اعتمادًا كبيرًا على هذه الترجمات العربية لإعداد طبعته (قبل عام 1260 تقريبًا)، والتي هيمنت في نهاية المطاف على الطبعات اللاتينية حتى توفر المخطوطات اليونانية في القرن السادس عشر. يوجد أكثر من 100 مخطوطة من مخطوطات كامبانوس تعود لما قبل عام 1482 لا تزال متاحة حتى اليوم. ^{[ 90 ]}^{[ ح ]} بعد توفرها في أوروبا، أصبحت الكتب الأولى من كتاب الأصول معيارًا في جامعات العصور الوسطى كجزء من الكوادريفيوم ، وهي المرحلة الثانية من التعليم بعد التريفيوم الذي يشمل النحو والمنطق والبلاغة. ^{[ 84 ]}

عصر النهضة وفترة العصر الحديث المبكر

نُشرت الطبعة المطبوعة الأولى لكتاب "الأصول" على يد إرهارد راتدولت عام 1482، استنادًا إلى نسخة كامبانوس، ^{[ 94 ]} ومنذ ذلك الحين تُرجم إلى لغات عديدة ونُشر في أكثر من ألف طبعة مختلفة. ^{[ 75 ]} وقد عُثر على مخطوطة مُشتقة من النسخة اليونانية لثيون، ونُشرت ترجمة لاتينية لها في البندقية عام 1505 على يد بارتولوميو زامبيرتي . ^{[ 95 ]} أما النص اليوناني نفسه فقد نُشر عام 1533. ^{[ 96 ]} وكان نيكولو تارتاليا أول من ترجم " الأصول" إلى لغة أوروبية حديثة ، حيث نشر طبعة إيطالية عام 1543. ^[⁹⁷^]

في عام 1570، قدّم جون دي "مقدمة رياضية" حظيت باحترام واسع، إلى جانب ملاحظات وافية ومواد تكميلية، للطبعة الإنجليزية الأولى التي نشرها هنري بيلينجسلي . ^{[ 98 ]}^{[ 99 ]}^{[ 100 ]} وفي عام 1607، نشر اليسوعي الإيطالي ماتيو ريتشي والرياضي الصيني شو غوانغتشي الطبعة الصينية الأولى من كتاب أصول إقليدس. ^{[ 101 ]}

شهد عصر النهضة أيضًا ظهور أعمال جديدة حول المجسمات متعددة الأوجه ، مُزينة برسومات منظور ، من بينها كتاب " De quinque corporibus regularibus" لبييرو ديلا فرانشيسكا (أواخر القرن الخامس عشر الميلادي)، والذي نُسب إلى لوكا باتشولي تحت اسم "Divina proportione " (1498، برسومات ليوناردو دافنشي )، وكتاب "Perspectiva corporum regularium" لوينزل جامنيتزر ( 1568). ^[¹⁰²^] وكانت "الأصول " مصدر الإلهام الرئيسي وراء أعمال ديلا فرانشيسكا الأولى في هذا المجال. ^[¹⁰³^]^[¹⁰⁴^] ألقى باتشولي محاضرة في البندقية عن إقليدس، وأُدرج تعليقه في طبعة عام 1509 من " الأصول" . ^[¹⁰⁵^] وبالمثل، أشار جامنيتزر إلى " الأصول" في العناوين الفرعية لكتابه. ^[¹⁰⁶^]

على الرغم من أن هذه الفترة شهدت أيضًا طفرة في نشر الكتب المدرسية الجديدة، إلا أن المعلمين غالبًا ما التزموا بالكتب الكلاسيكية: فعلى سبيل المثال، تُدرج قائمة القراءات الموصى بها للمؤلف الإنساني الهولندي يواكيم ستيرك فان رينجلبرغ ، الذي عاش في القرن السادس عشر، كتاب " الأصول " ككتاب الرياضيات الوحيد فيها. ^{[ 107 ]} وحتى بعد ظهور النسخ المطبوعة، كان من الممكن أن تتوقع الجامعة من طلابها نسخ المواد يدويًا من نسخة الجامعة من كتاب " الأصول" . ^{[ 108 ]}

الرياضيات الحديثة

في القرن التاسع عشر، تراجعت شعبية كتاب "الأصول" كمرجع أساسي في الهندسة، ويعود ذلك جزئيًا إلى استبداله بكتب أحدث، مثل كتاب أدريان ماري ليجندر ، ^{[ 109 ]}^{[ 110 ]}^{[ 111 ]} وجزئيًا إلى ظهور فروع أخرى من الهندسة، بما في ذلك الهندسة اللاإقليدية ، والهندسة التحليلية ، والهندسة الوصفية ، ^{[ 112 ]}^{[ 113 ]} وجزئيًا إلى الضغط المتزايد لتبني منهج تعليمي يركز على الحدس أكثر من الحفظ. ^{[ 112 ]}^{[ 114 ]} وقد انتقد تشارلز دودجسون (المعروف باسم لويس كارول) هذا الاستبدال لإقليدس في كتابه "إقليدس ومنافسوه المعاصرون " (1879). ^{[ 109 ]} أشار عالم الرياضيات والمؤرخ دبليو دبليو راوس بول ، وهو مدافع آخر عن كتاب الأصول ، إلى أن "كون كتاب الأصول كان الكتاب المدرسي المعتاد في هذا الموضوع لمدة ألفي عام، يُثير افتراضًا قويًا بأنه ليس غير مناسب لهذا الغرض". ^[⁶⁹^] على الرغم من تراجع استخدامه على نطاق واسع في التعليم، لا يزال كتاب الأصول يُستخدم أحيانًا ككتاب مدرسي في مشاريع التعليم التجريبية. ^[¹¹⁵^]

لا تزال كتاب الأصول موضوعًا للدراسة الأكاديمية في تاريخ الرياضيات ، وكان لها تأثير كبير على مجالين من مجالات الرياضيات الحديثة، وهما تطوير الهندسة اللاإقليدية ^{[ 116 ]}^{[ 117 ]} والمنهج البديهي . ^{[ 118 ]}^{[ 119 ]}

الهندسة غير الإقليدية

تؤدي النسخ المختلفة من مسلمة التوازي إلى أشكال هندسية مختلفة.

هيمن النظام الهندسي الذي وضعته العناصر لفترة طويلة على هذا المجال؛ ومع ذلك، يُشار إلى هذا النظام اليوم غالبًا باسم " الهندسة الإقليدية " لتمييزه عن الهندسات غير الإقليدية الأخرى التي تم اكتشافها في أوائل القرن التاسع عشر. ^{[ 73 ]}

من أبرز تأثيرات إقليدس على الرياضيات الحديثة، بل وعلى الفيزياء الحديثة واكتشاف النسبية العامة ، مناقشته لمسلمة التوازي . ^{[ 116 ]}^{[ 117 ]} في الكتاب الأول، يسرد إقليدس خمس مسلمات، تنص الخامسة منها على ^{[ 120 ]}

وإذا كان الخط المستقيم الذي يقطع خطين مستقيمين يجعل الزوايا الداخلية على نفس الجانب أقل من زاويتين قائمتين، فإن الخطين المستقيمين، إذا امتدا إلى ما لا نهاية، يلتقيان على ذلك الجانب الذي تكون فيه الزوايا أقل من الزاويتين القائمتين.

أثارت هذه المسلّمة حيرة علماء الرياضيات لقرونٍ عديدة نظرًا لتعقيدها الظاهر مقارنةً بالمسلّمات الأربع الأخرى. بُذلت محاولاتٌ عديدة لإثبات المسلّمة الخامسة استنادًا إلى المسلّمات الأربع الأخرى، لكنها لم تُكلل بالنجاح. وفي عام ١٨٢٩، نشر عالم الرياضيات نيكولاي لوباتشيفسكي وصفًا للهندسة الحادة (أو الهندسة الزائدية )، وهي هندسةٌ تفترض شكلًا مختلفًا من مسلّمة التوازي. في الواقع، من الممكن إنشاء هندسةٍ صحيحةٍ دون المسلّمة الخامسة إطلاقًا، أو باستخدام صيغٍ مختلفةٍ منها ( الهندسة الإهليلجية ). إذا اعتُبرت المسلّمة الخامسة مُعطىً، فإن النتيجة هي الهندسة الإقليدية . ^{[ ١٢١ ]}

البديهيات

لطالما اعتُبر الاستدلال البديهي لكتاب الأصول لإقليدس معيارًا للدقة الرياضية، ^{[ 122 ]} إلا أن مسائل سلامة واكتمال بديهيات إقليدس برزت في أواخر القرن التاسع عشر، عندما اكتُشفت ثغرات في استدلاله ^{[ 123 ]} ، وعندما بدأ ديفيد هيلبرت يسعى إلى "إحياء وجهة نظر إقليدس البديهية"، وتطوير أنظمة بديهية محسّنة يمكن من خلالها الإجابة عن جميع الأسئلة الرياضية والفيزيائية بحسابات بسيطة. ^{[ 118 ]} تبددت آمال هيلبرت في الأزمة التأسيسية التي شهدها مطلع القرن العشرين، حين اكتشف كورت غودل وآخرون أن أي نظام بديهي سليم لنظرية المجموعات لا بد أن يكون ناقصًا. ^{[ 124 ]} في القرن الحادي والعشرين، ظهر معيار جديد للدقة، وهو البراهين بمساعدة الحاسوب ، وقد صمدت قضايا كتاب الأصول (مع بعض التحديثات على براهينها) أمام التدقيق الحاسوبي. ^{[ 119 ]}^{[ 125 ]}

تتقاطع دائرتان تشتركان في نصف القطر، لتشكلا شكلاً بيضاوياً (vesica piscis ). هذه هي الخطوة الأولى من القضية الأولى في الكتاب الأول، وهي إنشاء مثلث متساوي الأضلاع من نصف القطر وإحدى نقاط التقاطع.

تستخدم بعض البراهين الأساسية في كتاب الأصول افتراضات لم يذكرها إقليدس صراحةً كمسلمات. فعلى سبيل المثال، في أول بناء للمثلث متساوي الأضلاع في الكتاب الأول ، استخدم إقليدس فرضية لم تُفترض ولم تُبرهن: وهي أن دائرتين تشتركان في نفس القطعة المستقيمة كنصف قطر ستتقاطعان في نقطتين، بدلاً من عدم تقاطعهما. ^{[ 126 ]}^{[ 127 ]} يعتمد هذا المثال فقط على الخصائص الطوبولوجية للرسم التخطيطي، والتي تظل واضحة حتى لو رُسم الرسم التخطيطي بشكل غير دقيق. ^{[ 128 ]} مع ذلك، في حالات أخرى، لم يُثبت إقليدس أن بعض الأشكال متميزة أو منفصلة عن بعضها البعض، وقد لا يكون احتمال تطابقها (نوع من الانحلال ) واضحًا من رسم تخطيطي واحد. يظهر مثال على ذلك في تنصيف إقليدس للزاوية، من خلال إنشاء مثلث متساوي الساقين على الزاوية المعطاة ومثلث متساوي الأضلاع له نفس القاعدة، وتوصيل رؤوس المثلثين بخط مستقيم. ينهار هذا الأمر عندما تكون الزاوية الأولية 60 درجة وتتطابق قمتي المنحنى. ^{[ 125 ]}

أدرج المحررون اللاحقون لكتاب "الأصول" هذه الافتراضات البديهية الضمنية، مثل بديهية باش ، ^{[ 129 ]}^{[ 130 ]} في قوائم البديهيات الرسمية في طبعاتهم. ^{[ 131 ]} وتشمل المحاولات المبكرة لبناء مجموعة أكثر شمولاً من البديهيات بديهيات هيلبرت الهندسية ^{[ 132 ]}^{[ 133 ]} وبديهيات تارسكي . ^{[ 129 ]}^{[ 134 ]} في عام 2017، استخدم مايكل بيسون وآخرون برامج مساعدة حاسوبية للبرهان لإنشاء مجموعة من البديهيات المشابهة لبديهيات إقليدس والتحقق منها. وقد اختار بيسون وآخرون نظام تارسكي كنقطة انطلاق لهم، بدلاً من نظام هيلبرت، لأنه أقرب إلى نظام إقليدس، ويستخدم النقاط فقط كمتغيرات في صيغه. لقد قدموا براهين تم التحقق منها بواسطة الكمبيوتر لجميع القضايا في الكتاب الأول، باستخدام هذه البديهيات، كما أثبتوا أيضًا (باستخدام صياغة منطقية منفصلة للأعداد الحقيقية ) أن جميع بديهياتهم صالحة لنقاط نظام الإحداثيات الديكارتية . ^{[ 125 ]}

إصدارات مختارة

نُشر أكثر من ألف طبعة من كتاب أصول إقليدس ، ^{[ 75 ]} باللغات اليونانية واللاتينية والإنجليزية وغيرها. ومن أبرز هذه الطبعات:

Preclarissimus liber elementorum Euclidis perspicacissimi in artem Geometriam incipit quam foelicissime . البندقية: إيرهارد راتدولت . 1482.الطبعة الأولى (باللاتينية)، استنادًا إلى ترجمة وتعليق كامبانوس في القرن الثالث عشر. ^{[ 135 ]}
زامبرتي، بارتولوميو، أد. (1505). إقليدس ميجاريسيس فلسفة أفلاطونية . البندقية.أول ترجمة لاتينية كاملة مباشرة من اليونانية. ^{[ 95 ]} كان الخلط في العنوان بين إقليدس الإسكندري، مؤلف كتاب الأصول ، وإقليدس الميغاري ، وهو فيلسوف عاش قبل ذلك بقرن تقريبًا، خطأً شائعًا في العصور الوسطى وعصر النهضة. ^{[ 136 ]}
لوفيفر ديتابل، جاك ، أد. (1516). Euclidis Megarensis Geometricorum elementorum liber XV . باريس: هنري إستيان .استنادًا إلى كامبانوس وزامبرتي، ولكن بدون بعض تعليقات زامبرتي. الطبعة الأولى نُشرت في فرنسا. ^{[ 137 ]}
غرينيوس، سيمون ، أد. (1533). شكرا جزيلا . بازل: يوهان هيرواجن.Editio Princeps من النص اليوناني. استنادا إلى اثنين من المخطوطات اليونانية، باريس غرام. 2343 و فينيتوس مارسيانوس 301، ^{[ 138 ]} كلاهما "أقل شأنا". ^{[ 95 ]}
تارتاليا، نيكولو ، أد. (1543). إقليدس ميجارينس، فلسفي مقدم منفردًا لعلم الرياضيات . البندقية: روسينيللي.كانت ترجمة تارتاليا لكتاب العناصر إلى الإيطالية أول ترجمة إلى أي لغة أوروبية حديثة، واستندت إلى كل من كامبانوس وزامبرتي. وقد نُقحت في عام 1565 وأعيد طبعها في عامي 1569 و1586. ^{[ 97 ]}
ماجنين، جان، أد. (1557). Euclidis Elementorum libri XV grœce et latine . باريس: كافيلات.اليونانية مع ترجمة لاتينية. نُقّحت بعد وفاة ستيفانوس غراسيلس؛ وتتضمن ترجمة للكتاب العاشر بقلم بيير دي مونتدوريه. حُذفت معظم المسودات. ^{[ 139 ]}
بيلينغسلي، هـ. ، محرر (1570). عناصر الهندسة . مقدمة بقلم جون دي . لندن: جون داي .الطبعة الأولى المنشورة باللغة الإنجليزية. ^{[ 100 ]}
كوماندينو، فيديريكو ، أد. (1572). إقليدس Elementorum Libri الخامس عشر . بيسوري [بيزارو، إيطاليا]: Apud Camillum Francischinum.باللاتينية. "الطبعة المرجعية للمجتمع العلمي حتى أوائل القرن التاسع عشر"؛ الترجمة الإيطالية نُشرت عام 1575 بواسطة صهر كوماندينو، فاليريو سباتشيولي. ^{[ 140 ]}
كلافيوس، كريستوفر ، أد. (1574). إقليدس Elementorum libri الخامس عشر . روما: أبو فينسينتيوم أكولتوم.نص لاتيني، مع إضافة تعليقات من كلافيوس. نُشر في طبعة ثانية موسعة عام 1584. يستند إلى مصادر متعددة، ولكنه يرتبط ارتباطًا وثيقًا بنسخة ماغنيان وغراسيليس. ^{[ 137 ]}
ناصر الدين الطوسي (1594). كتاب تحرير أصول لأقليدوس [ تنقيح عناصر إقليدس ] (باللغة العربية). روما: الطباعة الميديسيا.استنادًا إلى مخطوطة مكتبة لورنتيان رقم 20، وهي نسخة من مخطوطة رقم 50. ^{[ 141 ]}
الأماكن القريبة : شو، جوانجكي ، محررون. (1607). جي هي يوان بن幾何原本[ مصدر الكمية ] (باللغة الصينية). بكين.مترجمة من النسخة اللاتينية لكلافيوس، ولكنها تشمل الكتب من الأول إلى السادس فقط. ^{[ 101 ]} يمكن العثور على هذه الترجمة، بالإضافة إلى ترجمة لاحقة للكتب المتبقية، على s:zh:幾何原本.
بريجز، هنري ، أد. (1620). Eukleidou Stoicheiōn biblia 13 / Elementorum Euclidis libri tredecim . لندن: ويليام جونز.على الرغم من العنوان، فإن هذا العمل لا يشمل سوى الكتب الستة الأولى، مع أعمدة متوازية من اليونانية من طبعة غرينايوس 1533 واللاتينية المصححة من طبعة كوماندينو 1572. وهي الطبعة الأولى بأي من اللغتين التي نُشرت في إنجلترا. ^{[ 100 ]}
بارو، إسحاق ، أد. (1659). إقليدس إليمنتوروم [باللاتينية]. عناصر إقليدس (1660) [باللغة الإنجليزية]. العديد من الطبعات اللاحقة. ^{[ 100 ]}
سيمسون، روبرت ، محرر (1806). عناصر إقليدس، وهي الكتب الستة الأولى، بالإضافة إلى الكتابين الحادي عشر والثاني عشر . لندن: إف. وينجريف.^{[ 142 ]} تمت مراجعته في عام 1862 بواسطةإسحاق تود هنتروأعيد نشره في عام 1933 بواسطة إي بي داتون، مكتبة كل إنسان 891.^{[ 143 ]}
بيرن، أوليفر (1847). الكتب الستة الأولى من كتاب عناصر إقليدس، حيث تُستخدم الرسوم البيانية والرموز الملونة بدلاً من الحروف لتسهيل عملية التعلم على المتعلمين . لندن: ويليام بيكرينغ.^{[ 144 ]}^{[ 145 ]} تم تحرير الفاكس بواسطة Oechslin، Werner (2010). تاشين.رقم ISBN 3836517752[ ¹⁴⁵^] تم نشر كتاب "عناصر إقليدس: استكمال عمل أوليفر بيرن" ^، وهو إعادة رسم حديثة موسعة لبقية العناصر ، بواسطة كرونيكر واليس، 2019. ^[¹⁴⁶^]
كيسي، جون ، محرر. (1882). الكتب الستة الأولى من أصول إقليدس مع شروح وافية وتمارين عديدة . دبلن: هودجز، فيجيس، وشركاه.^{[ 147 ]} أصدر كيسي العديد من الطبعات اللاحقة؛الطبعة الثالثةمجانًا عبر الإنترنت من قِبلمشروع غوتنبرغ.ويُرجّح أنكتاب العناصرجيمس جويس"يقظة فينيغان".^{[ 148 ]} كما كتب كيسي أيضًاتتمة للكتب الستة الأولى من كتاب عناصر إقليدس(دبلن: هودجز، فيجيس، وشركاه، 1881).
هيبرغ، يوهان لودفيغ ، محرر (1883-1888). أعمال إقليدس الكاملة [باليونانية]. لايبزيغ: توبنر. المجلدات من 1 إلى 5 تتضمن كتاب العناصر . المجلد الأول ، المجلد الثاني ، المجلد الثالث ، المجلد الرابع ، المجلد الخامس . استشار هيبرغ العديد من المخطوطات اليونانية لعمله، متخذًا موقفًا مفاده أن النسخة الوحيدة التي لم يحررها ثيون، MS. Vat.gr.190، هي الأكثر أصالة، لكنه اتبع النسخ الأخرى في المواضع التي شك فيها بوجود خطأ في نصه الأساسي. ^{[ 82 ]}
هيث، توماس ، محرر. (1908). الكتب الثلاثة عشر من أصول إقليدس . مطبعة جامعة كامبريدج.الطبعة الثانية، ١٩٢٦. في ثلاثة مجلدات: المجلد الأول ، المجلد الثاني ، المجلد الثالث . تشمل الطبعات المعاد طباعتها: دوفر، ١٩٥٦؛ جرين ليون برس، ٢٠٠٢، رقم ISBN 1-888009-18-7(مجلد واحد، بدون تعليق هيث)؛ ^{[ 149 ]} بارنز أند نوبل، 2006، رقم ISBN 0-7607-6312-7(مجلد واحد).

مراجع

ملحوظات

↑ هذه الترجمة مأخوذة من هيث ١٩٠٨ ، صفحة ١؛ للاطلاع على ترجمة أخرى، انظر بروكلس (١٩٧٠). تعليق على الكتاب الأول من كتاب أصول إقليدس ترجمة: غلين ريموند مورو. مطبعة جامعة برينستون. ص 56 .
↑ لا ينبغي الخلط بين أبقراط خيوس وأبقراط كوس المعاصر له ، المشهور باسم "أبو الطب".
↑ عكس هذه المسلّمة هو: إذا كان مجموع الزوايا الداخلية يساوي زاويتين قائمتين، فإنّ الخطين لا يتقاطعان. وقد ثبت ذلك في كتاب الأصول، باستخدام مفهوم أو مسلّمة شائعة غير مذكورة هنا: "لا يُحيط خطان مستقيمان بأي منطقة"، وهو ما يُعادل "لخطين مستقيمين نقطة تقاطع واحدة على الأكثر". هذه الخاصية هي التي تُميّز الهندسة الإقليدية عن الهندسة الكروية.
↑ "P.Oxy. LXXXII 5299. Euclid, Elements 1.4 (Diagram), 8–11, 14–25 (without Bravens)" . جامعة أكسفورد. 2022-09-26 . تاريخ الاسترجاع: 2025-07-03 .للاطلاع على اكتشاف ومحتوى هذه القطعة، انظر هنري 2016 ودوراندي 2018 .
1 2 MS. Vat.gr.190.pt.1 و MS. Vat.gr.190.pt.2 . مكتبة الفاتيكان الرقمية . تم الاطلاع بتاريخ 11-09-2025.
↑ "MS. D'Orville 301" . مكتبة بودليان . جامعة أكسفورد . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11-09-2025 .
كان يُعتقد سابقًا أن ترجمة لاتينية كاملة لبويثيوس كانت متوفرة في إنجلترا قبل أديلارد، وأن ألفريد العظيم قد أضاف إليها تعليقات . مع ذلك، لا يوجد دليل على وجود أي ترجمة كاملة لبويثيوس (إن وُجدت أصلًا)، والمخطوطة التي عُثر عليها في مكتبة مارسيانا في البندقية، والتي تحمل ملاحظة هامشية تُشير إلى أن ألفريد قد أضاف إليها تعليقات، هي واحدة من بين العديد من النسخ التي ظهرت بعد أديلارد. انظر بوسارد 2005 ، ص 3، وكلاغيت 1954 .
↑ كامبانوس. "مخطوطة – Pal.lat.1348" . مكتبة الفاتيكان الرقمية . تم الاطلاع عليها في 20 نوفمبر 2023 .

الاقتباسات

↑ جرانت 2002 .
^ فان دير وايردن 1975 ، ص. 197.
1 2 3 4 أسبر 2010 ، § الفقرة. 6.
1 2 3 4 5 6 7 8 Taisbak & Van der Waerden 2021 ، § "مصادر ومحتويات العناصر " .
↑ كومو 2005 ، ص 131.
1 2 سيالاروس 2021 ، § "الأعمال".
↑ راوس بول 1915 ، ص 15.
↑ راوس بول 1915 ، ص 38.
^ مراجعة لتطور العناصر الإقليدية بواسطة Bartel Leendert van der Waerden (1976)، Historia Mathematica 3 (4): 497–499، دوى : 10.1016/0315-0860(76)90092-6 .
↑ أونغورو 1985 .
↑ Merzbach & Boyer 2011 ، ص 93.
↑ Merzbach & Boyer 2011 ، ص 93-94.
1 2 أرتمان 2012 ، ص. 3.
↑ Asper 2010 ، الفقرة 4.
↑ Asper 2010 ، الفقرة 2.
1 2 3 4 5 6 7 سيالاروس 2021 ، § " العناصر ".
1 2 Jahnke 2010 ، ص. 18.
1 2 Merzbach & Boyer 2011 ، ص. 90.
↑ هيث 1908 ، الصفحات 154-155، المجلد الأول.
↑ أرتمان 2012 ، ص 3-4.
↑ وولف 1945 ، ص 4.
↑ بيكوفر 2009 ، ص 56.
1 2 3 4 5 أرتمان 2012 ، ص. 4.
↑ كوري 2021 ، ص 12.
↑ ريد 1963 ، ص 20.
↑ Merzbach & Boyer 2011 ، ص 97.
↑ هويروب، ينس (2017). "ما هو 'الجبر الهندسي'، وماذا كان عليه في علم التأريخ؟" . مجلة AIMS للرياضيات . 2 (1): 128-160 . doi : 10.3934/Math.2017.1.128 .
1 2 كوري 2013 .
↑ Merzbach & Boyer 2011 ، ص 98.
↑ فاولر 1980 .
^ هيرز فيشلر 1998 ، ص 1–3.
↑ أرتمان 2012 ، ص 79.
↑ أرتمان 2012 ، ص 5.
↑ أرتمان 2012 ، ص 5-6.
↑ كوري 2021 .
↑ أرتمان 2012 ، ص 5-6.
↑ زيمان 2008 .
↑ أرتمان 2012 ، ص. 6.
↑ أرتمان 2012 ، ص 136.
↑ أرتمان 2012 ، ص 148.
↑ فليتشر 1938 .
↑ هيث 1908 ، المجلد الثاني، ص 277 .
↑ كالدويل وآخرون 2012 .
1 2 3 4 أرتمان 2012 ، ص. 7.
^ أونجورو 2018 ، ص 26-27 .
↑ Merzbach & Boyer 2011 ، ص 103-104.
↑ أوكونور وروبرتسون 1999 .
1 2 أرتمان 2012 ، ص. 223.
↑ هيث 1908 ، الصفحات 28-31، المجلد الثالث.
↑ كنور 1975 ، ص 157 .
↑ روسكام 2009 .
↑ كنور 1983 ، ص 60.
↑ انظر الكتاب العاشر، التعريف 4، هيث 1908 ، الصفحات 10، 12-13، المجلد الثالث .
↑ Dyde 1899 ، ص 86-87 .
↑ كنور 1983 ، ص 42.
1 2 3 4 أرتمان 2012 ، ص. 9.
↑ إدواردز 1979 ، ص 23.
↑ إدواردز 1979 ، ص 24-25.
↑ أرتمان 2012 ، ص 10.
↑ Merzbach & Boyer 2011 ، ص 106.
1 2 3 4 Merzbach & Boyer 2011 ، ص. 107 ، الأبوكريفا.
1 2 هارتشورن 2000 ، ص. 18.
↑ مولر 1969 .
^ أندرادي مولينا ورافن 2016 .
↑ هارتشورن 2000 ، ص 18-20.
↑ هيث 1931 ، ص 216.
↑ راوس بول 1915 ، ص 54.
↑ هيث 1908 ، ص 59، المجلد الأول.
1 2 راوس بول 1915 ، ص 55.
↑ راوس بول 1915 ، الصفحات 54، 58، 127.
↑ هيث 1931 ، ص 15-18.
1 2 هارتشورن 2000 ، ص. 1.
1 2 3 تايسباك وفان دير وايردن 2021 ، § "الإرث".
↑ Merzbach & Boyer 2011 ، ص 108.
1 2 3 4 بونت، جونز وبيدينت 1988 ، ص. 142.
1 2 فاولر 1999 ، ص 209-210.
↑ ب. هيرك. 1061
↑ فاولر 1999 ، ص 210-211.
↑ هيث 1908 ، الصفحات 47-51، المجلد الأول.
↑ هيث 1908 ، الصفحات 51-53، المجلد الأول.
↑ هيث 1908 ، الصفحات 64-74، المجلد الأول.
1 2 3 كنور 1996 .
1 2 3 راسل 2013 ، ص 177.
1 2 شوبرينج 2022 .
1 2 3 إليور 2024 .
1 2 برينتجيس 2018 .
↑ رينولدز وويلسون 1991 ، ص 57.
↑ واردهاو 2023 ، ص 46.
1 2 ميردوخ 1967 .
1 2 فولكرتس 1989 .
↑ راوس بول 1915 ، ص 165.
↑ كنور 1990 .
↑ بوسارد 2005 ، ص 1-40، مسح للترجمات العربية اللاتينية واليونانية اللاتينية.
↑ فورلونغ 2015 .
1 2 3 مولر 1970 ، ص. xlvii .
↑ سويتز 2021 .
1 2 إليور 2021 .
^ ألكسندرسون وغرينوالت 2012 .
↑ غولدينغ 2009 ، ص 120.
1 2 3 4 سيمبكينز 1966 .
1 2 سيو 2011 .
↑ Wardhaugh 2021 ، ص 212–226.
↑ Field 1997 ، ص 246.
↑ ديفيس 1977 ، ص 18-19.
↑ دامياني 2024 .
↑ روثستين 2013 ، ص 101.
↑ جرافتون 2008 .
↑ واردهاو 2021 .
1 2 موكتيفي 2005 .
↑ توماسيس 1990 .
↑ سينكلير 2008 ، ص 14-18 ، منهج الهندسة في الولايات المتحدة في أوائل القرن التاسع عشر.
1 2 بروك 1975 .
↑ سينكلير 2008 ، ص 23-25 ، 1860: تحد رياضي لهيمنة الهندسة الإقليدية.
↑ سينكلير 2008 ، ص 19-22 ، خمسينيات القرن التاسع عشر: التأثيرات التربوية المبكرة على منهج الهندسة.
^ جيمسون 2019 ؛ هوبن 2023
1 2 باردي 2008 .
1 2 Wardhaugh 2023 ، ص 267-268.
1 2 ماجر 2006 .
1 2 بيسون 2022 .
↑ هيث 1908 ، ص 155، المجلد الأول.
↑ لاوبنباخر وبينجلي 1999 .
↑ أرتمان 2012 ، ص. v.
↑ Jahnke 2003 ، ص 156 .
↑ روبيتش 2015 .
1 2 3 بيسون، ناربوكس وويديك 2019 .
↑ هيث 1908 ، ص 242، المجلد الأول.
↑ توسان 1993 .
↑ بانزا 2012 .
1 2 Szmielew 1974 .
^ سيديربيرج 2001 ، ص 41-43.
↑ هيث 1908 ، ص 62، المجلد الأول.
↑ هيلبرت 1902 .
↑ بالدوين 2018 .
↑ تارسكي 1959 .
↑ بالداسو 2013 .
↑ غولدينغ 2009 .
1 2 واردهاو 2024 .
↑ هيث 1908 ، ص 101، المجلد الأول.
↑ بانتين 2006 .
↑ جافانيا 2014 .
↑ دي يونغ 2012 .
↑ أكربيرج-هاستينجز 2023 .
↑ كيرنز 1934 .
↑ هاوز وكولباس 2015 .
1 2 موريارتي 2023 .
↑ كامبل 2017 .
↑ هنريسي 1884 .
↑ مككريدي 2011 .
↑ واردهاو 2016 .

مصادر

أكربيرغ-هاستينغز، آمي (2023). "التحليل والتركيب في كتاب روبرت سيمسون: عناصر إقليدس ". في: زاك، ماريا؛ واسزيك، ديفيد (محرران). بحوث في تاريخ وفلسفة الرياضيات - مجلد CSHPM 2021. حوليات الجمعية الكندية لتاريخ وفلسفة الرياضيات. تشام: بيركهاوزر/سبرينغر. ص 133-147 . doi : 10.1007/978-3-031-21494-3_8 . ISBN 978-3-031-21493-6MR 4633160 .
أندرادي-مولينا، ميليسا؛ رافن، أولي (2016). "التقليد الإقليدي كنموذج للتفكير العلمي". مجلة فلسفة تعليم الرياضيات . 30 : 1-10 . EBSCO host 118987364 .
أسبر، ماركوس (2010). "إقليدس" . في: غاغارين، مايكل (محرر). موسوعة أكسفورد لليونان وروما القديمة . أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد . ISBN 978-0-19-517072-6.
ألكسندرسون، جيرالد ل.؛ غرينوالت، ويليام س. (2012). "حول الغلاف: كتاب إقليدس لبيلينغسلي باللغة الإنجليزية" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . السلسلة الجديدة. 49 (1): 163-167 . doi : 10.1090/S0273-0979-2011-01365-9 .
أرتمان، بينو (2012) [1999]. إقليدس: نشأة الرياضيات . نيويورك: سبرينغر. doi : 10.1007/978-1-4612-1412-0 . ISBN 978-1-4612-1412-0.
بالداسو، رينزو (2013). "الطباعة من أجل دوجي: في الطلب الأول من الطبعة الأولى من Liber Elementorum Euclidis ". لا مكتبة . 115 (3): 525- 552. جستور 26202240 .
بالدوين، جون ت. (2018). "وضع بديهيات للمفاهيم المتغيرة للمتصل الهندسي 1: إقليدس-هيلبرت" (ملف PDF) . مجلة فلسفة الرياضيات . السلسلة الثالثة. 26 (3): 346-374 . doi : 10.1093/philmat/nkx030 . MR 3867369 .
راوس بول، والتر ويليام (1915). سرد موجز لتاريخ الرياضيات ( الطبعة السادسة). ماكميلان.الطبعة الأولى، 1888.
باردي، جيسون سقراط (2008). الفرضية الخامسة: كيف كشف حل لغز عمره ألفا عام أسرار الكون . وايلي. ISBN 9780470467367.
بيسون، مايكل (2022). "إقليدس بعد التحقق الحاسوبي من البرهان". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 129 (7): 623-646 . arXiv : 2103.09623 . doi : 10.1080/00029890.2022.2069985 . MR 4457736 .
بيسون، مايكل؛ ناربو، جوليان؛ ويديك، فريك (2019). "التحقق من صحة برهان إقليدس". حوليات الرياضيات والذكاء الاصطناعي . 85 ( 2-4 ): 213-257 . arXiv : 1710.00787 . doi : 10.1007/s10472-018-9606-x . MR 3914603 .
برينتجيس، سونيا (2018). "من ترجم كتاب أصول إقليدس إلى العربية؟". في: هامين-أنتيلا، جاكو؛ ليندستيدت، إيلكا (محرران). الترجمة والنقل: مجموعة مقالات . التراث الفكري للشرق الأدنى القديم والوسيط. المجلد 3. مونستر: دار نشر أوغاريت. ص 21-54 .
بروك، دبليو إتش (يناير 1975). "الهندسة والجامعات: إقليدس ومنافسوه المعاصرون 1860-1901". تاريخ التعليم . 4 (2): 21-35 . doi : 10.1080/0046760750040203 .
بونت، لوكاس نيكولاس هندريك؛ جونز، فيليب س.؛ بيدينت، جاك د. (1988). الجذور التاريخية للرياضيات الابتدائية . دوفر.
بوسارد، إتش إل إل (2005). "مقدمة للنص" . كامبانوس النوفاري وأصول إقليدس . شتوتغارت: دار نشر فرانز شتاينر. ISBN 978-3-515-08645-5.
كيرنز، دبليو دي (يونيو-يوليو 1934). "مراجعة لكتاب عناصر إقليدس لإسحاق تودنتر". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 41 (6): 383. doi : 10.2307/2301562 . JSTOR 2301562 .
كالدول، كريس ك.؛ ريديك، أنجيلا؛ شيونغ، يينغ؛ كيلر، ويلفريد (2012). "تاريخ أسبقية الواحد: مجموعة مختارة من المصادر" . مجلة متواليات الأعداد الصحيحة . 15 (9): المقالة 12.9.8. MR 3005523. مؤرشف من الأصل بتاريخ 12 أبريل 2018. تم الاطلاع عليه بتاريخ 15 يناير 2018 .
كامبل، بول ج. (ديسمبر 2017). "مراجعات: حساب المثلثات البابلي؛ إقليدس عبر التعهيد الجماعي؛ التلاعب بالدوائر الانتخابية". مجلة الرياضيات . 90 (5): 395-396 . doi : 10.4169/math.mag.90.5.395 . JSTOR 10.4169/math.mag.90.5.395 .
سيدربيرغ، جوديث ن. (2001). دورة في الهندسة الحديثة . نصوص جامعية في الرياضيات ( الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. doi : 10.1007/978-1-4757-3490-4 . ISBN 0-387-98972-2MR 1798736 .
كلاغيت، مارشال (سبتمبر 1954). "الملك ألفريد وعناصر إقليدس ". إيزيس . 45 (3). مطبعة جامعة شيكاغو: 269-277 . doi : 10.1086/348338 . JSTOR 226713 .
كوري، ليو (يوليو 2013). "الهندسة والحساب في التقاليد القروسطية لكتاب الأصول لإقليدس : نظرة من الكتاب الثاني". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 67 (6): 637-705 . doi : 10.1007/s00407-013-0121-5 .انظر على وجه الخصوص الصفحة 637.
كوري، ليو (2021). "نتائج شبيهة بالتوزيع في كتاب الأصول لإقليدس ". نتائج شبيهة بالتوزيع في التقاليد القروسطية لكتاب الأصول لإقليدس . سلسلة سبرينغر الموجزة في تاريخ العلوم والتكنولوجيا. دار سبرينغر للنشر الدولي. ص 5-25 . doi : 10.1007/978-3-030-79679-2_2 . ISBN 9783030796792.
كومو، سيرافينا (2005) [2001]. الرياضيات القديمة . لندن ونيويورك: روتليدج . ISBN 978-1-134-71019-5.
دامياني، جياكومو (يونيو 2024). "شكل ومادة الأجسام الهندسية المنتظمة في كتابي لوكا باتشولي " سوما " (1494) و "كومبنديوم دي ديفينا بيربونيتي" (1498)". العلوم والطب المبكر . 29 (3): 230-270 . doi : 10.1163/15733823-20240106 .
ديفيس، مارغريت دالي (1977). أطروحات بييرو ديلا فرانشيسكا الرياضية: Trattato D'abaco وLibellus de Quinque Corporibus Regularibus . محرر لونغو.
دي يونغ، غريغ (أبريل 2012). "مغامرات أخرى للنسخة العربية من كتاب أصول إقليدس، روما 1594". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 66 (3). سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا ذ.م.م: 265-294 . doi : 10.1007/s00407-012-0094-9 . JSTOR 41472233 .
دوراندي ، تيزيانو (2018). "إقليدس دي P.Oxy.5299". Zeitschrift für Papyrologie und Epigraphik (باللغة الإيطالية). 205 : 92 – 95. جستور 26603972 .
دايد، صموئيل والترز، محرر (1899). ثيائيتيتوس لأفلاطون . ج. ماكيلهوز.
إدواردز، سي إتش (1979). التطور التاريخي للتفاضل والتكامل . نيويورك: سبرينغر. doi : 10.1007/978-1-4612-6230-5 . ISBN 9781461262305.
إليور، عوفر (2021). "طبعة نيكولو تارتاليا لعام 1543 من كتاب الأصول لإقليدس ومصادر نسخة عبرية حديثة مبكرة من كتاب الأصول ". ألف: دراسات تاريخية في العلوم واليهودية . 21 (1). مطبعة جامعة إنديانا: 123-148 . doi : 10.2979/aleph.21.1.0123 . JSTOR 10.2979/aleph.21.1.0123 .
إليور، عوفر (2024). "الترجمة العبرية لكتاب أصول إقليدس المنسوبة إلى الحاخام يعقوب: تحليل جديد في أعقاب "اكتشاف" النسخة العربية في مخطوطة باريس، BULAC ARA. 606". Historia Mathematica . 68 : 1-21 . doi : 10.1016/j.hm.2024.02.005 . MR 4799290 .
فيلد، جيه في (1997). "إعادة اكتشاف المجسمات الأرخميدية: بييرو ديلا فرانشيسكا، ولوكا باتشولي، وليوناردو دافنشي، وألبريشت دورر، ودانييلي باربارو، ويوهانس كيبلر". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 50 ( 3-4 ): 241-289 . doi : 10.1007/BF00374595 . JSTOR 41134110. MR 1457069. S2CID 118516740 .
فليتشر، دبليو سي (فبراير 1938). "إقليدس". المجلة الرياضية . 22 (248): 58-65 . doi : 10.2307/3607447 . JSTOR 3607447 .
فولكرتس، مينسو (1989). إقليدس في أوروبا في العصور الوسطى (ملف PDF) . فهرس بنجامين لتاريخ العلوم.جُمِعَ في: فولكرتس، مينسو (2006). تطور الرياضيات في أوروبا في العصور الوسطى . سلسلة دراسات متنوعة. المجلد 811. ألدرشوت: دار نشر أشغيت المحدودة. ISBN 0-86078-957-8MR 2229235 .
فاولر، د. هـ. (1980). "الكتاب الثاني من أصول إقليدس ونظرية ما قبل إقليدس في النسبة". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 22 ( 1-2 ): 5-36 . doi : 10.1007/bf00327868 . JSTOR 41133572 .
فاولر، ديفيد (1999). رياضيات أكاديمية أفلاطون ( الطبعة الثانية). أكسفورد: مطبعة كلارندون . ISBN 978-0-19-850258-6.
فورلونغ، جيليان (2015). "الطبعة المطبوعة الأولى من كتاب أصول إقليدس " . كنوز من جامعة لندن . مطبعة جامعة لندن. ص 15. ISBN 9781910634363.
غافانيا، فيرونيكا (2014). "التقاليد الإقليدية في بلاط عصر النهضة: حالة فيديريكو كوماندينو" (ملف PDF) . في كاتسيامبورا، جيانا (محررة). العالمية العلمية والثقافات المحلية: الأديان، الأيديولوجيات، المجتمعات (وقائع المؤتمر الدولي الخامس للجمعية الأوروبية لتاريخ العلوم، أثينا 2012) . أثينا: المؤسسة الوطنية اليونانية للبحوث. ص 291-297 . hdl : 2158/1037064 . ISBN 978-960-98199-3-0.
جولدينج، روبرت (2009). "حياة إقليدس المحيرة". الدفاع عن هيباتيا: راموس، سافيل، وإعادة اكتشاف عصر النهضة للتاريخ الرياضي . أرخميدس. المجلد 25. سبرينغر هولندا. الصفحات 117-142 . doi : 10.1007/978-90-481-3542-4_5 . ISBN 978-90-481-3542-4.
غرافتون، أنتوني ت. (2008). "الكتب الدراسية والتخصصات". في: كامبي، إيميديو؛ أنجيليس، سيمون دي؛ غوينغ، أنيا سيلفيا؛ غرافتون، أنتوني ت. (محررون). المعرفة الأكاديمية: الكتب الدراسية في أوائل العصر الحديث في أوروبا . مكتبة دروز. ص 11-38 .
جرانت هاردي (مايو 2002). “ عناصر إقليدس في السياق الثقافي” . Cubo Matemática Educacional . 4 (1).
هاهل، هيرمان؛ بيترز، حنا (10 يونيو 2022). "صيغة معدلة لمسلمات هيلبرت في الهندسة الإقليدية" . تقارير الفصل الدراسي الرياضي . 69 (2): 253-258 . doi : 10.1007/s00591-022-00320-3 . S2CID 249581871 .
هارتشورن، روبن (2000). الهندسة: إقليدس وما بعده ( الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر. ISBN 9780387986500.
هاوز، سوزان م.؛ كولباس، سيد (أغسطس 2015). "أوليفر بيرن: ماتيس الرياضيات - سيرة ذاتية 1810-1829" . التقارب . الجمعية الرياضية الأمريكية .
هيث، توماس ل. (1931). دليل الرياضيات اليونانية . مطبعة كلارندون.أُعيد طبعه عام ١٩٦٣. دار دوفر للنشر. رقم الكتاب المعياري الدولي (ISBN) 978-0-486-43231-1.
هنريتشي، أ. (مارس 1884). "مسلمات الهندسة". مجلة نيتشر . 29 (750): 453-454 . Bibcode : 1884Natur..29..453H . doi : 10.1038/029453b0 .
هنري، دبليو بي (2016). مجموعة برديات أوكسيرينخوس . لندن: جمعية استكشاف مصر. ص 23.
هيرتز-فيشلر، روجر (1998). تاريخ رياضي للعدد الذهبي . كتب دوفر في الرياضيات. شركة كورير. ISBN 9780486152325.
هيلبرت، ديفيد (1902). أسس الهندسة (ملف PDF) . ترجمة تاونسند، إي جيه. المحكمة المفتوحة.
هوبن، فيث ك. (2023). عناصر إقليدس لفصول المدارس الثانوية (أطروحة). جامعة نبراسكا. بروكويست 2829362062 .
يانكه، هانز نيلز (2003). تاريخ التحليل . تاريخ الرياضيات. المجلد 24. الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 9780821826232.
يانكه، هانز نيلز (2010). "الأصل المشترك للبرهان والفيزياء النظرية". في: هانا، جيلا ؛ يانكه، هانز نيلز؛ بولته، هيلموت (محررون). التفسير والبرهان في الرياضيات: منظورات فلسفية وتعليمية . برلين: سبرينغر الولايات المتحدة . ISBN 978-1-4419-0576-5.
جيمسون، توم (2019). إقليدس في الفصل الدراسي الحديث (أطروحة). جامعة هارفارد. بروكويست 2511164716 .
كنور، ويلبر ر. (1975). تطور العناصر الإقليدية: دراسة لنظرية المقادير غير القابلة للقياس وأهميتها في الهندسة اليونانية القديمة . مكتبة سينثيز التاريخية. دوردريخت، هولندا: دار نشر دي. ريدل.
كنور، ويلبر (1983). "«صليب الرياضيين»: النظرية الإقليدية للخطوط غير النسبية. الجمعية الرياضية الأمريكية . سلسلة جديدة. 9 (1): 41-69 . doi : 10.1090/S0273-0979-1983-15155-8 . MR 0699316 .
كنور، ويلبر ر. (1990). "جون من تاينماوث، المعروف أيضًا باسم جون من لندن: صورة ناشئة لعالم رياضيات فريد من العصور الوسطى". المجلة البريطانية لتاريخ العلوم . 23 (3): 293-330 . doi : 10.1017/S0007087400044009 . JSTOR 4026757 .
كنور، ويلبر ر. (1996). "النص الخاطئ لإقليدس: حول نص هيبرغ وبدائله". سنتوروس . 38 ( 2-3 ): 208-276 . doi : 10.1111/j.1600-0498.1996.tb00610.x . MR 1384401 .
لاوبنباخر، راينهارد؛ بينجلي، ديفيد (1999). "الفصل 1: الهندسة: مسلمة التوازي". رحلات رياضية . نصوص جامعية في الرياضيات. سبرينغر نيويورك. ص 1-53 . doi : 10.1007/978-1-4612-0523-4 . ISBN 9781461205234.
ماير، أولريش (2006). "النهج البديهي لهيلبرت في أسس العلوم - برنامج بحثي فاشل؟". في: هندريكس، فنسنت ف.؛ يورغنسن، كلاوس فروفين؛ لوتزن، يسبر؛ بيدرسن، ستيغ أندور (محررون). التفاعلات: الرياضيات والفيزياء والفلسفة، 1860-1930 . دراسات بوسطن في فلسفة العلوم. المجلد 251. سبرينغر هولندا. الصفحات 155-184 . doi : 10.1007/978-1-4020-5195-1_5 . ISBN 9781402051944.
مككريدي، جوناثان (ربيع 2011). ""أوكون! أوكون!" شعار ALP ثلاثي الأبعاد و"دروس الليل ( التربية الجنسية )" لدولف" (PDF) . دراسات جويس الجينية . 11 : 1– 24.
ميرزباخ، أوتا ب .؛ بوير، كارل ب. (2011). "الفصل الخامس: إقليدس الإسكندري". تاريخ الرياضيات ( الطبعة الثالثة). جون وايلي وأولاده. ص 90-108 . ISBN 978-0470525487.
موكتيفي، أميروش (نوفمبر 2005). "مراجعة لكتاب إقليدس ومنافسيه المعاصرين لتشارلز ل. دودجسون". المجلة الرياضية . 89 (516): 556-558 . doi : 10.1017/S0025557200178775 . JSTOR 3621985 .
موريارتي، كلير ماري (2023) ."اللون والشكل": الفلسفة الهندسية الكامنة وراء كتاب " العناصر " لأوليفر بيرن . ليوناردو . 56 (2): 151-158 . doi : 10.1162/leon_a_02242 .
مولر، إيان (1970). "مقدمة". في: غلين ر. مورو (محرر). بروكلس: تعليق على الكتاب الأول من أصول إقليدس . مطبعة جامعة برينستون.
مولر، إيان (ديسمبر 1969). "أصول إقليدس والمنهج البديهي". المجلة البريطانية لفلسفة العلوم . 20 (4). مطبعة جامعة شيكاغو: 289-309 . doi : 10.1093/bjps/20.4.289 . JSTOR 686258 .
ميردوخ، جون إي. (1967). "إقليدس اليوناني اللاتيني: ترجمة لاتينية من العصور الوسطى غير معروفة سابقًا لكتاب الأصول ، مأخوذة مباشرة من اليونانية". دراسات هارفارد في فقه اللغة الكلاسيكية . 71 : 249-302 . doi : 10.2307/310767 . JSTOR 310767 .
أوكونور، جون J.؛ روبرتسون، إدموند ف. (1999). "أبو علي الحسن بن الهيثم" . MacTutor تاريخ أرشيف الرياضيات . جامعة سانت أندروز .
بانتين، إيزابيل (2006). "تدريس الرياضيات وعلم الفلك في فرنسا: الكلية الملكية (1550-1650)". العلوم والتعليم . 15 ( 2-4 ): 189-207 . Bibcode : 2006Sc & Ed..15..189P . doi : 10.1007/s11191-005-1794-1 .
بانزا، ماركو (2012). "الدور المزدوج للرسوم البيانية في الهندسة المستوية لإقليدس" . سينثيز . 186 (1): 55-102 . doi : 10.1007/s11229-012-0074-2 . JSTOR 41494923. MR 2935330 .
بيكوفر، كليفورد أ. (2009). كتاب الرياضيات: من فيثاغورس إلى البعد السابع والخمسين، 250 معلمًا بارزًا في تاريخ الرياضيات . نيويورك: دار ستيرلينغ للنشر . ISBN 978-1-4027-5796-9.
ريد، كونستانس (1963). طريق طويل من إقليدس: دليل القارئ الذكي للرياضيات الحديثة . نيويورك: شركة توماس واي كرويل.أعيد طبعه بواسطة دار نشر كوريير دوفر، 2004، رقم ISBN 9780486436135.
رينولدز، لايتون دورهام ؛ ويلسون، نايجل جاي (9 مايو 1991). النساخ والعلماء: دليل لنقل الأدب اليوناني واللاتيني (الطبعة الثانية ). أكسفورد: مطبعة كلارندون. ISBN 978-0-19-872145-1.
روبيتش، بوروت (2015). "الأزمة التأسيسية للرياضيات". أسس نظرية الحوسبة . سبرينغر. ص 9-30 . doi : 10.1007/978-3-662-44808-3_2 . ISBN 9783662448083.
روسكام، جايد (يناير 2009). "الكتاب العاشر من العناصر : ترتيب الأعداد غير النسبية" . مجلة عشاق الرياضيات . 6 ( 1-2 ): 277-294 . doi : 10.54870/1551-3440.1151 .
روثستين، بريت (2013). "إثارة المشاكل: أشياء خشبية غريبة والسعي وراء الصعوبة في أوائل العصر الحديث". مجلة الدراسات الثقافية في أوائل العصر الحديث . 13 (1). مشروع ميوز: 96-129 . doi : 10.1353/jem.2013.0000 .
راسل، برتراند (2013). تاريخ الفلسفة الغربية: طبعة خاصة لهواة الجمع . روتليدج. ISBN 978-1-135-69284-1.
شوبرينج، جيرت (2022). "الكتب المدرسية قبل اختراع الطباعة: الشفوية والتدريس". تحليل كتب الرياضيات التاريخية . دراسات دولية في تاريخ الرياضيات وتدريسها. دار نشر سبرينغر الدولية. ص 15-53 . doi : 10.1007/978-3-031-17670-8_2 . ISBN 9783031176708.
سيالاروس، ميخاليس (2021) [2015]. "إقليدس" . في سيالاروس، ميخاليس (محرر). قاموس أكسفورد الكلاسيكي . أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد . doi : 10.1093/acrefore/9780199381135.013.2521 . ISBN 978-0-19-938113-5تمت أرشفة النسخة الأصلية بتاريخ 2021-08-14 .
سيمبكينز، ديانا م. (ديسمبر 1966). "الطبعات المبكرة لإقليدس في إنجلترا". حوليات العلوم . 22 (4): 225-249 . doi : 10.1080/00033796600203155 .
سينكلير، ناتالي (2008). تاريخ مناهج الهندسة في الولايات المتحدة . دار نشر عصر المعلومات. رقم ISBN 9781607527305.
سيو، مان-كيونغ (2011). "1607، عام ذو أهمية (إلى حد ما): ترجمة أول نص أوروبي في الرياضيات - العناصر - إلى اللغة الصينية". التاريخ ونظرية المعرفة في تعليم الرياضيات: وقائع الجامعة الصيفية الأوروبية السادسة، فيينا، النمسا، 19-23 يوليو 2010. دار نشر هولزهاوزن. الصفحات 573-589 . hdl : 10722/153396 . ISBN 978-3-85493-208-6– عبر منصة علماء جامعة هونغ كونغ.
سويتز، فرانك ج. (يناير 2021). "الكنوز الرياضية - الطبعة اليونانية لكتاب العناصر لإقليدس " . التقارب . الجمعية الرياضية الأمريكية.
شميليف، واندا (1974). "دور بديهية باش في أسس الهندسة الإقليدية" . في: هينكين، ليون؛ أديسون، جون؛ تشانغ، تشين تشونغ؛ كريغ، ويليام؛ سكوت، دانا؛ فوغت، روبرت (محررون). وقائع ندوة تارسكي: ندوة دولية عُقدت في جامعة كاليفورنيا، بيركلي، في الفترة من 23 إلى 30 يونيو 1971، تكريمًا لألفريد تارسكي بمناسبة عيد ميلاده السبعين . وقائع ندوات في الرياضيات البحتة. المجلد 25. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. الصفحات 123-132 . doi : 10.1090/pspum/025/0373872 . ISBN 978-0-8218-1425-3MR 0373872 .
تايسباك، كريستيان مارينوس؛ فان دير وايردن، بارتل ليندرت (5 يناير 2021). "إقليدس" . الموسوعة البريطانية . شيكاغو: Encyclopædia Britannica، Inc.
تارسكي، ألفريد (1959). "ما هي الهندسة الابتدائية؟ المنهج البديهي، مع إشارة خاصة إلى الهندسة والفيزياء". في: هينكين، ل.؛ سوبس، ب. (محرران). وقائع ندوة دولية عُقدت في جامعة كاليفورنيا، بيركلي، 26 ديسمبر 1957 - 4 يناير 1958. دراسات في المنطق وأسس الرياضيات. دار نشر نورث هولاند، أمستردام. الصفحات 16-29 . MR 0106185 .
توماسيس، خارالامبوس (ديسمبر 1990). "ملحمة الهندسة الإقليدية في التعليم الثانوي اليوناني (1836-1985): ضغوط التغيير والمقاومة". دراسات تربوية في الرياضيات . 21 (6): 491-508 . doi : 10.1007/BF00315941 . JSTOR 3482388 .
توسان، غودفريد (1993). "نظرة جديدة على القضية الثانية لإقليدس" (ملف PDF) . مجلة الرياضيات الذكية . 15 (3): 12-24 . doi : 10.1007/BF03024252 .
أونغورو، سابتاي (مايو 1985). "البحث عن بنية في كتاب العناصر : إقليدس، هيلبرت، ومولر" . مجلة التاريخ الرياضي . 12 (2): 176-184 . doi : 10.1016/0315-0860(85)90013-8 .
أونغورو، سابتاي (2018). "الثورات المضادة في الرياضيات". في: سيالاروس، ميخاليس (محرر). الثورات والاستمرارية في الرياضيات اليونانية . العلوم والتكنولوجيا والطب في الحضارات القديمة. المجلد 8. دي غرويتر، برلين. الصفحات 17-34 . ISBN 978-3-11-056365-8MR 3822179 .
فان دير وايردن، بارتل ليندرت (1975). صحوة العلم . نوردهوف الدولية. رقم ISBN 978-90-01-93102-5.
واردهاو، بنيامين (2016). "الرياضيات اليونانية باللغة الإنجليزية: أعمال السير توماس ل. هيث (1861-1940)" . في: ريمرت، فولكر ر.؛ شنايدر، مارتينا ر.؛ سورنسن، هنريك كراغ (محررون). تاريخ كتابة الرياضيات في القرنين التاسع عشر والعشرين . اتجاهات في تاريخ العلوم. دار نشر سبرينغر الدولية. ص 109-122 . doi : 10.1007/978-3-319-39649-1_6 . ISBN 9783319396491.
واردهاو، بنيامين (2021). "تشويه إقليدس: قراءة وشرح عناصر الهندسة في بريطانيا الحديثة المبكرة". في: جوينج، أنيا سيلفيا؛ باري، جلين؛ فينجولد، موردخاي (محررون). جامعات العصر الحديث المبكر: شبكات التعليم العالي . بريل. doi : 10.1163/9789004444058_015 . ISBN 9789004442412.
واردهاو، بنيامين (2023). لقاءات مع إقليدس: كيف شكّل نص هندسي يوناني قديم العالم . مطبعة جامعة برينستون. ISBN 9780691235769.
وردهاو، بنيامين (2024). “عناصر إقليدس في اللاتينية، 1482-1703: المفردات والتصنيف” . Revue d'Histoire des Mathématiques . شركة الرياضيات الفرنسية.
وولف، هارولد إي. (1945). مقدمة في الهندسة غير الإقليدية . نيويورك: مطبعة درايدن .
زيمان، إي سي (2008). "ما الخطأ في كتاب إقليدس الخامس؟" (ملف PDF) . نشرة الجمعية الرياضية بلندن . 40 (1): 1-17 . doi : 10.1112/blms/bdm104 . MR 2409172. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 9 أغسطس 2017.

روابط خارجية

طبعة متعددة اللغات من كتاب Elementa في مكتبة بوليغلوتا
ديفيد إي. جويس ، محرر (1997). "عناصر إقليدس" .باستخدام لغة HTML مع أشكال تفاعلية مبنية على لغة جافا.

[translation-2] هذه الترجمة مأخوذة من هيث ١٩٠٨ ، صفحة ١؛ للاطلاع على ترجمة أخرى، انظر بروكلس (١٩٧٠). تعليق على الكتاب الأول من كتاب أصول إقليدس ترجمة: غلين ريموند مورو. مطبعة جامعة برينستون. ص 56 .

[4] لا ينبغي الخلط بين أبقراط خيوس وأبقراط كوس المعاصر له ، المشهور باسم "أبو الطب".

[22] عكس هذه المسلّمة هو: إذا كان مجموع الزوايا الداخلية يساوي زاويتين قائمتين، فإنّ الخطين لا يتقاطعان. وقد ثبت ذلك في كتاب الأصول، باستخدام مفهوم أو مسلّمة شائعة غير مذكورة هنا: "لا يُحيط خطان مستقيمان بأي منطقة"، وهو ما يُعادل "لخطين مستقيمين نقطة تقاطع واحدة على الأكثر". هذه الخاصية هي التي تُميّز الهندسة الإقليدية عن الهندسة الكروية.

[29] "P.Oxy. LXXXII 5299. Euclid, Elements 1.4 (Diagram), 8–11, 14–25 (without Bravens)" . جامعة أكسفورد. 2022-09-26 . تاريخ الاسترجاع: 2025-07-03 .للاطلاع على اكتشاف ومحتوى هذه القطعة، انظر هنري 2016 ودوراندي 2018 .

[vat190-83] 1 2 MS. Vat.gr.190.pt.1 و MS. Vat.gr.190.pt.2 . مكتبة الفاتيكان الرقمية . تم الاطلاع بتاريخ 11-09-2025.

[84] "MS. D'Orville 301" . مكتبة بودليان . جامعة أكسفورد . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11-09-2025 .

[97] كان يُعتقد سابقًا أن ترجمة لاتينية كاملة لبويثيوس كانت متوفرة في إنجلترا قبل أديلارد، وأن ألفريد العظيم قد أضاف إليها تعليقات . مع ذلك، لا يوجد دليل على وجود أي ترجمة كاملة لبويثيوس (إن وُجدت أصلًا)، والمخطوطة التي عُثر عليها في مكتبة مارسيانا في البندقية، والتي تحمل ملاحظة هامشية تُشير إلى أن ألفريد قد أضاف إليها تعليقات، هي واحدة من بين العديد من النسخ التي ظهرت بعد أديلارد. انظر بوسارد 2005 ، ص 3، وكلاغيت 1954 .

[101] كامبانوس. "مخطوطة – Pal.lat.1348" . مكتبة الفاتيكان الرقمية . تم الاطلاع عليها في 20 نوفمبر 2023 .

[FOOTNOTEGrant2002-1] جرانت 2002 .

[FOOTNOTEVan_der_Waerden1975197-3] فان دير وايردن 1975 ، ص. 197.

[FOOTNOTEAsper2010§_para._6-5] 1 2 3 4 أسبر 2010 ، § الفقرة. 6.

[FOOTNOTETaisbakVan_der_Waerden2021§_"Sources_and_contents_of_the_''Elements''"-6] 1 2 3 4 5 6 7 8 Taisbak & Van der Waerden 2021 ، § "مصادر ومحتويات العناصر " .

[FOOTNOTECuomo2005131-7] كومو 2005 ، ص 131.

[FOOTNOTESialaros2021§_"Works"-8] 1 2 سيالاروس 2021 ، § "الأعمال".

[FOOTNOTERouse_Ball191515-9] راوس بول 1915 ، ص 15.

[FOOTNOTERouse_Ball191538-10] راوس بول 1915 ، ص 38.

[vdw-11] مراجعة لتطور العناصر الإقليدية بواسطة Bartel Leendert van der Waerden (1976)، Historia Mathematica 3 (4): 497–499، دوى : 10.1016/0315-0860(76)90092-6 .

[FOOTNOTEUnguru1985-12] أونغورو 1985 .

[FOOTNOTEMerzbachBoyer201193-13] Merzbach & Boyer 2011 ، ص 93.

[FOOTNOTEMerzbachBoyer201193–94-14] Merzbach & Boyer 2011 ، ص 93-94.

[FOOTNOTEArtmann20123-15] 1 2 أرتمان 2012 ، ص. 3.

[FOOTNOTEAsper2010§_para._4-16] Asper 2010 ، الفقرة 4.

[FOOTNOTEAsper2010§_para._2-17] Asper 2010 ، الفقرة 2.

[FOOTNOTESialaros2021§_"The_''Elements''"-18] 1 2 3 4 5 6 7 سيالاروس 2021 ، § " العناصر ".

[FOOTNOTEJahnke201018-19] 1 2 Jahnke 2010 ، ص. 18.

[FOOTNOTEMerzbachBoyer201190-20] 1 2 Merzbach & Boyer 2011 ، ص. 90.

[FOOTNOTEHeath1908154–155Vol._I-21] هيث 1908 ، الصفحات 154-155، المجلد الأول.

[FOOTNOTEArtmann20123–4-23] أرتمان 2012 ، ص 3-4.

[FOOTNOTEWolfe19454-24] وولف 1945 ، ص 4.

[FOOTNOTEPickover200956-25] بيكوفر 2009 ، ص 56.

[FOOTNOTEArtmann20124-26] 1 2 3 4 5 أرتمان 2012 ، ص. 4.

[FOOTNOTECorry202112-27] كوري 2021 ، ص 12.

[FOOTNOTEReid196320-28] ريد 1963 ، ص 20.

[FOOTNOTEMerzbachBoyer201197-30] Merzbach & Boyer 2011 ، ص 97.

[31] هويروب، ينس (2017). "ما هو 'الجبر الهندسي'، وماذا كان عليه في علم التأريخ؟" . مجلة AIMS للرياضيات . 2 (1): 128-160 . doi : 10.3934/Math.2017.1.128 .

[FOOTNOTECorry2013-32] 1 2 كوري 2013 .

[FOOTNOTEMerzbachBoyer201198-33] Merzbach & Boyer 2011 ، ص 98.

[FOOTNOTEFowler1980-34] فاولر 1980 .

[FOOTNOTEHerz-Fischler19981–3-35] هيرز فيشلر 1998 ، ص 1–3.

[FOOTNOTEArtmann201279-36] أرتمان 2012 ، ص 79.

[FOOTNOTEArtmann20125-37] أرتمان 2012 ، ص 5.

[FOOTNOTEArtmann20125–6-38] أرتمان 2012 ، ص 5-6.

[FOOTNOTECorry2021-39] كوري 2021 .

[FOOTNOTEArtmann20125-6-40] أرتمان 2012 ، ص 5-6.

[FOOTNOTEZeeman2008-41] زيمان 2008 .

[FOOTNOTEArtmann20126-42] أرتمان 2012 ، ص. 6.

[FOOTNOTEArtmann2012136-43] أرتمان 2012 ، ص 136.

[FOOTNOTEArtmann2012148-44] أرتمان 2012 ، ص 148.

[FOOTNOTEFletcher1938-45] فليتشر 1938 .

[FOOTNOTEHeath1908Vol._II,_[httpsarchiveorgdetailsbwb_S0-AHZ-704_2page276_p._277]-46] هيث 1908 ، المجلد الثاني، ص 277 .

[FOOTNOTECaldwellReddickXiongKeller2012-47] كالدويل وآخرون 2012 .

[FOOTNOTEArtmann20127-48] 1 2 3 4 أرتمان 2012 ، ص. 7.

[FOOTNOTEUnguru2018[httpsbooksgooglecombooksidDZRdDwAAQBAJpgPA26_26–27]-49] أونجورو 2018 ، ص 26-27 .

[FOOTNOTEMerzbachBoyer2011103–104-50] Merzbach & Boyer 2011 ، ص 103-104.

[FOOTNOTEO'ConnorRobertson1999-51] أوكونور وروبرتسون 1999 .

[FOOTNOTEArtmann2012223-52] 1 2 أرتمان 2012 ، ص. 223.

[FOOTNOTEHeath190828–31Vol._III-53] هيث 1908 ، الصفحات 28-31، المجلد الثالث.

[FOOTNOTEKnorr1975[httpsbooksgooglecombooksid_1H6BwAAQBAJpgPA157_157]-54] كنور 1975 ، ص 157 .

[FOOTNOTERoskam2009-55] روسكام 2009 .

[FOOTNOTEKnorr198360-56] كنور 1983 ، ص 60.

[57] انظر الكتاب العاشر، التعريف 4، هيث 1908 ، الصفحات 10، 12-13، المجلد الثالث .

[FOOTNOTEDyde1899[httpsbooksgooglecombooksidwt29k-Jz8pICpgPA86_86–87]-58] Dyde 1899 ، ص 86-87 .

[FOOTNOTEKnorr198342-59] كنور 1983 ، ص 42.

[FOOTNOTEArtmann20129-60] 1 2 3 4 أرتمان 2012 ، ص. 9.

[FOOTNOTEEdwards197923-61] إدواردز 1979 ، ص 23.

[FOOTNOTEEdwards197924–25-62] إدواردز 1979 ، ص 24-25.

[FOOTNOTEArtmann201210-63] أرتمان 2012 ، ص 10.

[FOOTNOTEMerzbachBoyer2011106-64] Merzbach & Boyer 2011 ، ص 106.

[FOOTNOTEMerzbachBoyer2011107Apocrypha-65] 1 2 3 4 Merzbach & Boyer 2011 ، ص. 107 ، الأبوكريفا.

[FOOTNOTEHartshorne200018-66] 1 2 هارتشورن 2000 ، ص. 18.

[FOOTNOTEMueller1969-67] مولر 1969 .

[FOOTNOTEAndrade-MolinaRavn2016-68] أندرادي مولينا ورافن 2016 .

[FOOTNOTEHartshorne200018–20-69] هارتشورن 2000 ، ص 18-20.

[FOOTNOTEHeath1931216-70] هيث 1931 ، ص 216.

[FOOTNOTERouse_Ball191554-71] راوس بول 1915 ، ص 54.

[FOOTNOTEHeath190859Vol._I-72] هيث 1908 ، ص 59، المجلد الأول.

[FOOTNOTERouse_Ball191555-73] 1 2 راوس بول 1915 ، ص 55.

[FOOTNOTERouse_Ball191554,_58,_127-74] راوس بول 1915 ، الصفحات 54، 58، 127.

[FOOTNOTEHeath193115–18-75] هيث 1931 ، ص 15-18.

[FOOTNOTEHartshorne20001-76] 1 2 هارتشورن 2000 ، ص. 1.

[FOOTNOTETaisbakVan_der_Waerden2021§_"Legacy"-77] 1 2 3 تايسباك وفان دير وايردن 2021 ، § "الإرث".

[FOOTNOTEMerzbachBoyer2011108-78] Merzbach & Boyer 2011 ، ص 108.

[FOOTNOTEBuntJonesBedient1988142-79] 1 2 3 4 بونت، جونز وبيدينت 1988 ، ص. 142.

[FOOTNOTEFowler1999209–210-80] 1 2 فاولر 1999 ، ص 209-210.

[81] ب. هيرك. 1061

[FOOTNOTEFowler1999210–211-82] فاولر 1999 ، ص 210-211.

[FOOTNOTEHeath190847–51Vol._I-85] هيث 1908 ، الصفحات 47-51، المجلد الأول.

[FOOTNOTEHeath190851–53Vol._I-86] هيث 1908 ، الصفحات 51-53، المجلد الأول.

[FOOTNOTEHeath190864–74Vol._I-87] هيث 1908 ، الصفحات 64-74، المجلد الأول.

[FOOTNOTEKnorr1996-88] 1 2 3 كنور 1996 .

[FOOTNOTERussell2013177-89] 1 2 3 راسل 2013 ، ص 177.

[FOOTNOTESchubring2022-90] 1 2 شوبرينج 2022 .

[FOOTNOTEElior2024-91] 1 2 3 إليور 2024 .

[FOOTNOTEBrentjes2018-92] 1 2 برينتجيس 2018 .

[FOOTNOTEReynoldsWilson199157-93] رينولدز وويلسون 1991 ، ص 57.

[FOOTNOTEWardhaugh202346-94] واردهاو 2023 ، ص 46.

[FOOTNOTEMurdoch1967-95] 1 2 ميردوخ 1967 .

[FOOTNOTEFolkerts1989-96] 1 2 فولكرتس 1989 .

[FOOTNOTERouse_Ball1915165-98] راوس بول 1915 ، ص 165.

[FOOTNOTEKnorr1990-99] كنور 1990 .

[FOOTNOTEBusard20051–40Survey_of_the_Arabic–Latin_and_Greek–Latin_translations-100] بوسارد 2005 ، ص 1-40، مسح للترجمات العربية اللاتينية واليونانية اللاتينية.

[FOOTNOTEFurlong2015-102] فورلونغ 2015 .

[FOOTNOTEMueller1970[httpsbooksgooglecombooksidJZEHj2fEmqACpgPR47_xlvii]-103] 1 2 3 مولر 1970 ، ص. xlvii .

[FOOTNOTESwetz2021-104] سويتز 2021 .

[FOOTNOTEElior2021-105] 1 2 إليور 2021 .

[FOOTNOTEAlexandersonGreenwalt2012-106] ألكسندرسون وغرينوالت 2012 .

[FOOTNOTEGoulding2009120-107] غولدينغ 2009 ، ص 120.

[FOOTNOTESimpkins1966-108] 1 2 3 4 سيمبكينز 1966 .

[FOOTNOTESiu2011-109] 1 2 سيو 2011 .

[FOOTNOTEWardhaugh2021212–226-110] Wardhaugh 2021 ، ص 212–226.

[FOOTNOTEField1997246-111] Field 1997 ، ص 246.

[FOOTNOTEDavis197718–19-112] ديفيس 1977 ، ص 18-19.

[FOOTNOTEDamiani2024-113] دامياني 2024 .

[FOOTNOTERothstein2013101-114] روثستين 2013 ، ص 101.

[FOOTNOTEGrafton2008-115] جرافتون 2008 .

[FOOTNOTEWardhaugh2021-116] واردهاو 2021 .

[FOOTNOTEMoktefi2005-117] 1 2 موكتيفي 2005 .

[FOOTNOTEToumasis1990-118] توماسيس 1990 .

[FOOTNOTESinclair2008[httpsbooksgooglecombooksidG_onDwAAQBAJpgPA14_14–18]The_geometry_curriculum_in_the_United_States_in_the_early_nineteenth_century-119] سينكلير 2008 ، ص 14-18 ، منهج الهندسة في الولايات المتحدة في أوائل القرن التاسع عشر.

[FOOTNOTEBrock1975-120] 1 2 بروك 1975 .

[FOOTNOTESinclair2008[httpsbooksgooglecombooksidG_onDwAAQBAJpgPA23_23–25]1860s:_A_mathematical_challenge_to_the_dominance_of_Euclidean_geometry-121] سينكلير 2008 ، ص 23-25 ، 1860: تحد رياضي لهيمنة الهندسة الإقليدية.

[FOOTNOTESinclair2008[httpsbooksgooglecombooksidG_onDwAAQBAJpgPA19_19–22]1850s:_Early_pedagogical_influences_on_the_geometry_curriculum-122] سينكلير 2008 ، ص 19-22 ، خمسينيات القرن التاسع عشر: التأثيرات التربوية المبكرة على منهج الهندسة.

[123] جيمسون 2019 ؛ هوبن 2023

[FOOTNOTEBardi2008-124] 1 2 باردي 2008 .

[FOOTNOTEWardhaugh2023267–268-125] 1 2 Wardhaugh 2023 ، ص 267-268.

[FOOTNOTEMajer2006-126] 1 2 ماجر 2006 .

[FOOTNOTEBeeson2022-127] 1 2 بيسون 2022 .

[FOOTNOTEHeath1908155Vol._I-128] هيث 1908 ، ص 155، المجلد الأول.

[FOOTNOTELaubenbacherPengelley1999-129] لاوبنباخر وبينجلي 1999 .

[FOOTNOTEArtmann2012v-130] أرتمان 2012 ، ص. v.

[FOOTNOTEJahnke2003[httpsbooksgooglecombooksidc8AjDwAAQBAJpgPA156_156]-131] Jahnke 2003 ، ص 156 .

[FOOTNOTERobič2015-132] روبيتش 2015 .

[FOOTNOTEBeesonNarbouxWiedijk2019-133] 1 2 3 بيسون، ناربوكس وويديك 2019 .

[FOOTNOTEHeath1908242Vol._I-134] هيث 1908 ، ص 242، المجلد الأول.

[FOOTNOTEToussaint1993-135] توسان 1993 .

[FOOTNOTEPanza2012-136] بانزا 2012 .

[FOOTNOTESzmielew1974-137] 1 2 Szmielew 1974 .

[FOOTNOTECederberg200141–43-138] سيديربيرج 2001 ، ص 41-43.

[FOOTNOTEHeath190862Vol._I-139] هيث 1908 ، ص 62، المجلد الأول.

[FOOTNOTEHilbert1902-140] هيلبرت 1902 .

[FOOTNOTEBaldwin2018-141] بالدوين 2018 .

[FOOTNOTETarski1959-142] تارسكي 1959 .

[FOOTNOTEBaldasso2013-143] بالداسو 2013 .

[FOOTNOTEGoulding2009-144] غولدينغ 2009 .

[FOOTNOTEWardhaugh2024-145] 1 2 واردهاو 2024 .

[FOOTNOTEHeath1908101Vol._I-146] هيث 1908 ، ص 101، المجلد الأول.

[FOOTNOTEPantin2006-147] بانتين 2006 .

[FOOTNOTEGavagna2014-148] جافانيا 2014 .

[FOOTNOTEDe_Young2012-149] دي يونغ 2012 .

[FOOTNOTEAckerberg-Hastings2023-150] أكربيرج-هاستينجز 2023 .

[FOOTNOTECairns1934-151] كيرنز 1934 .

[FOOTNOTEHawesKolpas2015-152] هاوز وكولباس 2015 .

[FOOTNOTEMoriarty2023-153] 1 2 موريارتي 2023 .

[FOOTNOTECampbell2017-154] كامبل 2017 .

[FOOTNOTEHenrici1884-155] هنريسي 1884 .

[FOOTNOTEMcCreedy2011-156] مككريدي 2011 .

[FOOTNOTEWardhaugh2016-157] واردهاو 2016 .

[ 1 ]

[ أ ]

[ 2 ]

[ ب ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ ١٨ ]

[ 19 ]

[ ج ].

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ د ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[ 46 ]

[ 47 ]

[ 48 ]

[ 49

[ 50 ]

[ 51 ]

[ 52 ]

[ 53 ]

[ 54 ]

[

[ 56 ]

[

[

[ 59 ]

[ 60 ]

[ 61 ]

[

[ 63 ]

[ 64 ]

[ 65 ]

[ 66 ]

[ 67 ]

[ 68 ]

[ 69 ]

[ 70 ]

[ 71 ]

[ 72 ]

[

[

[

[ 76 ]

[ 77 ]

[ 78 ]

[ هـ ]

[ و ]

[ 79 ]

[ 80 ]

[ 81 ]

[ ٨٢ ]

[ 83 ]

[ 84 ]

[ 85 ]

[ 86 ]

[ 87 ]

[ 88 ]

[ 89 ]

[ 90 ]

[ g ]

[ 91 ]

[ 92 ]

[ 93 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗