عدد صحيح جبري

في نظرية الأعداد الجبرية ، يُعرَّف العدد الجبري بأنه عدد مركب صحيح على مجموعة الأعداد الصحيحة . أي أن العدد الجبري هو جذر مركب لكثير حدود أحادي ( كثير حدود معامله الرئيسي 1) معاملاته أعداد صحيحة. مجموعة جميع الأعداد الجبرية A مغلقة تحت عمليات الجمع والطرح والضرب، وبالتالي فهي حلقة فرعية تبديلية من مجموعة الأعداد المركبة.

حلقة الأعداد الصحيحة لحقل عددي K ، ويرمز لها بـ O( K)، هي تقاطع K _و A ؛ ويمكن وصفها أيضًا بأنها الرتبة القصوى للحقل K. ينتمي كل عدد صحيح جبري إلى حلقة الأعداد الصحيحة لحقل عددي ما. يكون العدد α عددًا صحيحًا جبريًا إذا وفقط إذا كانت الحلقة${\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]}$يتم توليدها بشكل نهائي كمجموعة أبيلية ، أي كـ${\displaystyle \mathbb {Z} }$- وحدة .

فيما يلي تعريفات متكافئة للعدد الصحيح الجبري. ليكن K حقل أعداد (أي امتداد منتهٍ لـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$، حقل الأعداد النسبية )، بعبارة أخرى،${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\theta )}$لبعض الأعداد الجبرية${\displaystyle \theta \in \mathbb {C} }$بحسب نظرية العنصر الأولي .

• يكون α ∈ K عددًا صحيحًا جبريًا إذا وُجدت متعددة حدود أحادية${\displaystyle f(x)\in \mathbb {Z} [x]}$بحيث يكون f ( α ) = 0 .
• يكون α ∈ K عددًا صحيحًا جبريًا إذا كان متعدد الحدود الأحادي الأدنى لـ α على${\displaystyle \mathbb {Q} }$هو في${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$.
• α ∈ K هو عدد صحيح جبري إذا${\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]}$هو مولد نهائي${\displaystyle \mathbb {Z} }$-وحدة.
• يكون α ∈ K عددًا صحيحًا جبريًا إذا وُجد عدد غير صفري مولد نهائيًا${\displaystyle \mathbb {Z} }$- وحدة فرعية${\displaystyle M\subset \mathbb {C} }$بحيث يكون αM ⊆ M.

الأعداد الصحيحة الجبرية هي حالة خاصة من العناصر الصحيحة في امتداد الحلقة. على وجه الخصوص، العدد الصحيح الجبري هو عنصر صحيح في امتداد منتهٍ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$.

لاحظ أنه إذا كانت P ( x ) متعددة حدود أولية ذات معاملات صحيحة ولكنها ليست أحادية، فإن P غير قابلة للاختزال على${\displaystyle \mathbb {Q} }$إذاً، لا يوجد أي من جذور P أعداد صحيحة جبرية (لكنها أعداد جبرية ). هنا، يُستخدم مصطلح "أولي" بمعنى أن العامل المشترك الأكبر لمعاملات P هو 1، وهو شرط أضعف من اشتراط أن تكون المعاملات أولية فيما بينها.

• الأعداد الجبرية الصحيحة الوحيدة الموجودة في مجموعة الأعداد النسبية هي الأعداد الصحيحة. بعبارة أخرى، تقاطع${\displaystyle \mathbb {Q} }$و A هي بالضبط${\displaystyle \mathbb {Z} }$العدد النسبي a / b ليس عددًا صحيحًا جبريًا إلا إذا كان b يقسم a . المعامل الرئيسي لكثير الحدود bx − a هو العدد الصحيح b .
• الجذر التربيعي${\displaystyle {\sqrt {n}}}$عدد صحيح غير سالب n هو عدد صحيح جبري، ولكنه غير نسبي إلا إذا كان n مربعًا كاملاً .
• إذا كان d عددًا صحيحًا خاليًا من المربعات، فإن الامتداد${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)}$هو حقل تربيعي للأعداد النسبية. حلقة الأعداد الصحيحة الجبرية O _K تحتوي على${\displaystyle {\sqrt {d}}}$بما أن هذا جذر لكثير الحدود أحادي المعامل x² - d . علاوة على ذلك، إذا كان ^d ≡ 1 mod 4 ، فإن العنصر${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}}\,)}$وهو أيضًا عدد صحيح جبري . يحقق المعادلة متعددة الحدود x² - x + 1/4 (1 - d ) ، ^حيث الحد الثابت 1/4 ( 1 - d ) عدد صحيح. يتم توليد الحلقة الكاملة للأعداد الصحيحة بواسطة${\displaystyle {\sqrt {d}}}$أو${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}}\,)}$على التوالي. انظر إلى العدد الصحيح التربيعي لمزيد من المعلومات.
• حلقة الأعداد الصحيحة للحقل${\displaystyle F=\mathbb {Q} [\alpha ]}$، α = ³ √ m (حيث m خالٍ من المكعبات )، له الأساس التكاملي التالي ، بكتابة m = hk ² لعددين صحيحين أوليين فيما بينهما خاليين من المربعات h و k : ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\begin{cases}1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}\pm k^{2}\alpha +k^{2}}{3k}}&m\equiv \pm 1{\bmod {9}}\\1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}}{k}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$
• إذا كان ζ _n جذرًا أوليًا من الرتبة n للوحدة ، فإن حلقة الأعداد الصحيحة للحقل الدائري${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$هو بالضبط${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$.
• إذا كان α عددًا صحيحًا جبريًا، فإن β = ⁿ √ α هو عدد صحيح جبري آخر. ويمكن الحصول على متعددة حدود لـ β بتعويض x ⁿ في متعددة الحدود عن α .

لأي قيمة α ، فإن امتداد الحلقة (بمعنى أنه مكافئ لامتداد الحقل ) للأعداد الصحيحة بواسطة α ، ويرمز له بـ${\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]\equiv \left\{\sum _{i=0}^{n}\alpha ^{i}z_{i}|z_{i}\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} \right\}}$، يكون مولدًا بشكل نهائي إذا وفقط إذا كان α عددًا صحيحًا جبريًا.

البرهان مماثل لبرهان الحقيقة المقابلة المتعلقة بالأعداد الجبرية ، مع${\displaystyle \mathbb {Q} }$تم استبدالها بـ${\displaystyle \mathbb {Z} }$هنا، تم استبدال مفهوم درجة تمديد الحقل بالجيل المحدود (باستخدام حقيقة أن${\displaystyle \mathbb {Z} }$يتم توليدها بشكل نهائي)؛ التغيير المطلوب الوحيد هو أن القوى غير السالبة لـ α فقط هي التي تدخل في البرهان.

هذا التشبيه ممكن لأن كلاً من الأعداد الصحيحة الجبرية والأعداد الجبرية تُعرَّف على أنها جذور لكثيرات حدود أحادية على أيٍّ من${\displaystyle \mathbb {Z} }$أو${\displaystyle \mathbb {Q} }$، على التوالى.

مجموع وفرق وحاصل ضرب عددين جبريين هو عدد جبري. أما خارج قسمتهما فليس كذلك في الغالب. لذا، تشكل الأعداد الجبرية حلقة .

يمكن إثبات ذلك بشكل مماثل للإثبات المقابل للأعداد الجبرية ، باستخدام الأعداد الصحيحة.${\displaystyle \mathbb {Z} }$بدلاً من العقلانيين${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

يمكن أيضًا بناء متعددة الحدود أحادية الحد المعنية بشكل صريح، والتي تكون عادةً من درجة أعلى من درجات الأعداد الجبرية الأصلية، وذلك بأخذ المحصلة وتحليلها. على سبيل المثال، إذا كانت ^x² - x - 1 = 0 ، ^و y³ - y - 1 = 0 ، و z = xy ، فإن حذف x و y من z - xy = 0 ومتعددات الحدود التي تحققها x و y باستخدام المحصلة يعطي z⁶ ^- 3z⁴ ^- 4z³ + z² + z - 1 = 0 ، وهي معادلة غير قابلة للاختزال، وهي المعادلة أحادية الحد التي يحققها حاصل ^{الضرب .} (لإثبات أن xy هو جذر للمحصلة x لـ z − xy و x ² − x − 1 ، يمكن للمرء أن يستخدم حقيقة أن المحصلة موجودة في المثالي الناتج عن كثيرتي الحدود المدخلتين له.)

• أي عدد يمكن تكوينه من الأعداد الصحيحة باستخدام الجذور والجمع والضرب هو عدد صحيح جبري؛ ولكن ليس كل الأعداد الصحيحة الجبرية قابلة للتكوين بهذه الطريقة: بمعنى مبسط، فإن معظم جذور الدوال الخماسية غير القابلة للاختزال ليست كذلك. هذه هي نظرية أبيل-روفيني .
• تُعد حلقة الأعداد الصحيحة الجبرية مجال بيزو ، كنتيجة لنظرية المثالي الرئيسي .
• إذا كان لكثير الحدود الأحادي المرتبط بعدد صحيح جبري حد ثابت 1 أو -1، فإن مقلوب ذلك العدد الصحيح الجبري هو أيضًا عدد صحيح جبري، وكل منهما وحدة ، عنصر من مجموعة الوحدات في حلقة الأعداد الصحيحة الجبرية.
• إذا كان x عددًا جبريًا، فإن _aⁿx عدد صحيح جبري، حيث يحقق x متعددة حدود p ( x ) _{ذات معاملات صحيحة ،} و aⁿxⁿ هو الحد الأعلى درجة في p ( x ) . والقيمة y = aⁿx عدد صحيح جبري لأنها جذر للمعادلة q ( y ) = aⁿ⁻¹np ( ^y / aⁿ ) ، حيث q ⁽ y ) متعددة حدود أحادية ^ذات _{معاملات} صحيحة _.
• إذا كان x عددًا جبريًا _، فيمكن كتابته كنسبة بين عدد صحيح جبري وعدد صحيح جبري غير صفري. في الواقع، يمكن دائمًا اختيار المقام ليكون عددًا صحيحًا موجبًا. النسبة هي | aₙ | x / | aₙ | ، حيث x يحقق متعددة حدود p ( x ) ذات معاملات صحيحة _، و aₙx هو الحد الأعلى درجة في _p ( x ⁾ .
• الأعداد الجبرية النسبية الوحيدة هي الأعداد الصحيحة. أي، إذا كان x عددًا صحيحًا جبريًا و${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$ثم${\displaystyle x\in \mathbb {Z} }$هذه نتيجة مباشرة لنظرية الجذر النسبي في حالة كثير الحدود أحادي المعامل.

• عدد صحيح غاوسي
• أيزنشتاين عدد صحيح
• أصل الوحدة
• نظرية الوحدة لديريشلي
• الوحدات الأساسية