ملعب مغلق حقيقي

في الرياضيات ، الحقل المغلق الحقيقي هو حقل${\displaystyle F}$التي لها نفس خصائص الرتبة الأولى لحقل الأعداد الحقيقية . (خصائص الرتبة الأولى هي تلك الخصائص التي يمكن التعبير عنها بالرموز المنطقية)${\displaystyle \forall ,\exists ,\vee ,\land ,\neg ,\to }$والرموز الحسابية${\displaystyle 0,1,+,-,\times ,\div ,=}$، حيث يكون مجال جميع الكميات هو المجموعة${\displaystyle F}$وبالتالي، لا يجوز قياس مجموعات جزئية من الأعداد الطبيعية.${\displaystyle F}$، تسلسلات في${\displaystyle F}$، وظائف${\displaystyle F\to F}$إلخ.) من أمثلة الحقول المغلقة الحقيقية حقل الأعداد الحقيقية نفسه، وحقل الأعداد الجبرية الحقيقية ، وحقول الأعداد الفائقة الحقيقية التي تشمل الأعداد المتناهية في الصغر. في الجبر، تظل معظم النظريات المتعلقة بالأعداد الحقيقية صحيحة عند صياغتها لأي حقل مغلق حقيقي.

الحقل المغلق الحقيقي هو حقل F تتحقق فيه أي من الشروط المتكافئة التالية:

1. إنّ F مكافئٌ بشكلٍ أساسي لحقل الأعداد الحقيقية. بعبارة أخرى، له نفس خصائص الرتبة الأولى التي تتمتع بها الأعداد الحقيقية: أي جملة في لغة الرتبة الأولى للحقول تكون صحيحة في F إذا وفقط إذا كانت صحيحة في الأعداد الحقيقية.
2. يوجد ترتيب كلي على F يحول F إلى حقل مرتب بحيث يكون لكل عنصر موجب في F جذر تربيعي في F ، وأي متعدد حدود من الدرجة الفردية بمعاملات في F له جذر واحد على الأقل في F.
3. يوجد ترتيب كلي على F يحول F إلى حقل مرتب بحيث، في هذا الترتيب، تنطبق نظرية القيمة المتوسطة على جميع كثيرات الحدود ذات المعاملات في F.
4. F هو حقل حقيقي رسميًا (بمعنى أن هناك ترتيبًا كليًا على F يحول F إلى حقل مرتب) بحيث يكون لكل متعدد حدود من الدرجة الفردية بمعاملات في F جذر واحد على الأقل في F ، ولكل عنصر a من F يوجد b في F بحيث يكون a = b ² أو a = − b ² .
5. F ليست مغلقة جبريًا ، لكن إغلاقها الجبري هو امتداد محدود لـ F.
6. F ليس مغلقًا جبريًا، ولكن امتداد الحقل${\displaystyle F({\sqrt {-1}}\,)}$مغلق جبرياً.
7. يوجد ترتيب على F لا يمتد إلى ترتيب على أي امتداد جبري مناسب لـ F.
8. F حقل حقيقي شكليًا بحيث لا يوجد امتداد جبري مناسب لـ F حقيقي شكليًا. (بمعنى آخر، يكون الحقل أقصى في إغلاق جبري فيما يتعلق بخاصية كونه حقيقيًا شكليًا).
9. F هو حقل مرتب ضعيف من النوع o-minimal . ^{[ 1 ]}

الحقول التالية مغلقة فعلياً، ويمكن إثبات ذلك من خلال التحقق من الخاصية رقم 2 أعلاه:

• مجال الأعداد الجبرية الحقيقية ؛
• مجال الأعداد الحقيقية القابلة للحساب ؛
• حقل الأعداد الحقيقية القابلة للتعريف ؛
• حقل الأعداد الحقيقية ؛
• مجال متسلسلات بويزو ذات المعاملات الحقيقية؛
• حقل ليفي-تشيفيتا ؛
• حقول الأعداد الحقيقية الفائقة ؛
• حقول الأعداد الحقيقية الفائقة ؛
• حقل الأعداد السريالية (هذه فئة مناسبة ، وليست مجموعة ).

إذا كان F حقلاً مرتباً، تنص مبرهنة آرتين-شراير على أن F له امتداد جبري، يُسمى الإغلاق الحقيقي K لـ F ، بحيث يكون K حقلاً مغلقاً حقيقياً يكون ترتيبه امتداداً للترتيب المعطى على F ، ويكون وحيداً حتى تماثل وحيد بين الحقول المتطابقة على F ^{[ 2 ]} (لاحظ أن كل تماثل حلقي بين حقول مغلقة حقيقية يحافظ على الترتيب تلقائياً ، لأن x  ≤ y إذا وفقط إذا كان ∃ z : y = x + z² ⁾ . على سبيل المثال، الإغلاق الحقيقي للحقل المرتب للأعداد النسبية هو الحقل      ${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }}$من الأعداد الجبرية الحقيقية. سُميت النظرية نسبةً إلى إميل أرتين وأوتو شراير ، اللذين أثبتاها في عام 1926.

إذا كان ( F , P ) حقلاً مرتباً، و E امتداد غالوا لـ F ، فإنه وفقًا لفرضية زورن، يوجد امتداد حقل مرتب أقصى ( M , Q ) حيث M حقل جزئي من E يحتوي على F، والترتيب على M يمتد إلى P. يُسمى هذا الحقل M ، مع ترتيبه Q ، الإغلاق الحقيقي النسبي لـ ( F , P ) في E. ونُطلق على ( F , P ) اسم الإغلاق الحقيقي بالنسبة إلى E إذا كان M هو F نفسه . عندما يكون E هو الإغلاق الجبري لـ F، فإن الإغلاق الحقيقي النسبي لـ F في E هو في الواقع الإغلاق الحقيقي لـ F الموصوف سابقًا. ^{[ 3 ]}

إذا كان F حقلاً (غير مرتب أو حتى قابل للترتيب)، فإن F لا يزال يمتلك إغلاقًا حقيقيًا، والذي قد لا يكون حقلاً بعد الآن، بل مجرد حلقة مغلقة حقيقية . على سبيل المثال، الإغلاق الحقيقي للحقل${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$هل هذا هو الخاتم؟${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }\!\times \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }}$(النسختان تتوافقان مع الترتيبين لـ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$من ناحية أخرى، إذا${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$يُعتبر حقلاً فرعياً مرتباً من${\displaystyle \mathbb {R} }$، وإغلاقها الحقيقي هو مرة أخرى الميدان${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }}$.

لغة الحقول المغلقة الحقيقية${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$يتضمن رموزًا لعمليتي الجمع والضرب، والثابتين 0 و1، وعلاقة الترتيب ≤ (بالإضافة إلى المساواة، إذا لم تُعتبر رمزًا منطقيًا). في هذه اللغة، تُعرف نظرية الحقول المغلقة الحقيقية (من الدرجة الأولى).${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$، تتكون من جميع الجمل التي تترتب على البديهيات التالية:

• بديهيات الحقول المرتبة ؛​
• البديهية التي تؤكد أن لكل عدد موجب جذر تربيعي؛
• لكل عدد فردي${\displaystyle d}$، البديهية التي تنص على أن جميع كثيرات الحدود من الدرجة${\displaystyle d}$لها جذر واحد على الأقل.

يمكن التعبير عن جميع هذه البديهيات باستخدام منطق الرتبة الأولى (أي أن نطاقات التحديد الكمي تقتصر على عناصر الحقل فقط). لاحظ أن${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$هي ببساطة مجموعة جميع الجمل من الدرجة الأولى التي تكون صحيحة حول حقل الأعداد الحقيقية.

أظهر تارسكي أن${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$كاملة ، مما يعني أن أي${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$يمكن إثبات صحة أو خطأ الجملة بناءً على البديهيات المذكورة أعلاه. علاوة على ذلك،${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$قابلة للتقرير ، أي أن هناك خوارزمية لتحديد صحة أو خطأ أي جملة من هذا القبيل. وقد تم ذلك من خلال إظهار حذف المُكمِّمات : هناك خوارزمية، عند إعطاء أي${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$تُنتج الصيغة ، التي قد تحتوي على متغيرات حرة ، صيغةً مكافئةً خاليةً من المُكمِّمات في نفس المتغيرات الحرة، حيث تعني كلمة "مكافئة" أن الصيغتين صحيحتان لنفس قيم المتغيرات تمامًا. يستخدم برهان تارسكي تعميمًا لنظرية ستورم . وبما أنه يمكن التحقق بسهولة من صحة الصيغ الخالية من المُكمِّمات بدون متغيرات حرة، فإن هذا يُؤدي إلى إجراء القرار المطلوب. وقد تم الحصول على هذه النتائج حوالي عام 1930 ونُشرت عام 1948. ^{[ 4 ]}

تُعمّم نظرية تارسكي-سيدنبرغ هذه النتيجة إلى نظرية الإسقاط التالية . إذا كان R حقلًا حقيقيًا مغلقًا، فإن صيغةً تحتوي على n متغيرًا حرًا تُعرّف مجموعةً جزئيةً من Rⁿ ^{، وهي} مجموعة النقاط التي تُحقق تلك الصيغة. تُسمى هذه المجموعة الجزئية مجموعةً شبه جبرية . وبالنظر إلى مجموعة جزئية من k متغيرًا، فإن ^{الإسقاط} من Rⁿ إلى Rⁿ هو الدالة التي تُسقط كل n -tuple على k -tuple من المكونات المُقابلة لتلك المجموعة الجزئية من المتغيرات. تُؤكد نظرية الإسقاط أن إسقاط مجموعة شبه جبرية هو مجموعة شبه جبرية، وأنه توجد خوارزمية، عند إعطائها صيغةً خاليةً من المُكمِّمات تُعرّف مجموعةً شبه جبرية، تُنتج صيغةً خاليةً من المُكمِّمات لإسقاطها.

في الواقع، تُكافئ نظرية الإسقاط حذف المُكمِّمات، حيث يُعرَّف إسقاط مجموعة شبه جبرية مُعرَّفة بالصيغة p ( x , y ) بواسطة

${\displaystyle (\exists x)P(x,y),}$

حيث يمثل x و y على التوالي مجموعة المتغيرات المحذوفة، ومجموعة المتغيرات التي تم الاحتفاظ بها.

تعتمد قابلية الحسم لنظرية من الدرجة الأولى للأعداد الحقيقية بشكل كبير على العمليات والدوال الأولية التي يتم أخذها في الاعتبار (هنا الجمع والضرب). ويمكن أن يؤدي جمع رموز دوال أخرى، مثل دالة الجيب أو الدالة الأسية ، إلى نظريات غير قابلة للحسم؛ انظر نظرية ريتشاردسون وقابلية الحسم لنظريات من الدرجة الأولى للأعداد الحقيقية .

علاوة على ذلك، فإن اكتمال نظرية الأعداد الحقيقية من الدرجة الأولى وقابليتها للتقرير (باستخدام الجمع والضرب) يتناقضان تناقضًا حادًا مع نتائج غودل وتورينغ حول عدم اكتمال نظرية الأعداد الطبيعية من الدرجة الأولى وعدم قابليتها للتقرير (باستخدام الجمع والضرب). لا يوجد تناقض، إذ لا يمكن صياغة عبارة " س عدد صحيح" كصيغة من الدرجة الأولى في اللغة${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$.

يمكن تحويل أي حقل مغلق حقيقي إلى حقل مرتب بطريقة واحدة فقط: العناصر الموجبة هي بالضبط مربعات العناصر غير الصفرية.

من أهم خصائص الأعداد الحقيقية أنها حقل أرخميدسي ، أي أنها تتمتع بالخاصية الأرخميدسية التي تنص على أنه لكل عدد حقيقي، يوجد عدد صحيح أكبر منه في القيمة المطلقة . تجدر الإشارة إلى أن هذه العبارة لا يمكن التعبير عنها بلغة الحقول المرتبة من الدرجة الأولى، إذ لا يمكن تحديد الكميات على الأعداد الصحيحة في تلك اللغة.

توجد حقول حقيقية مغلقة غير أرخميدية ؛ على سبيل المثال، أي حقل من الأعداد الفائقة الحقيقية هو حقل حقيقي مغلق وغير أرخميدي. تحتوي هذه الحقول على عناصر لا نهائية (أكبر من أي عدد صحيح) وعناصر متناهية الصغر (موجبة ولكنها أصغر من أي عدد نسبي موجب).

ترتبط خاصية أرخميدس بمفهوم النهاية المشتركة . تُسمى المجموعة X المُحتواة في مجموعة مرتبة F مجموعةً نهائيةً مشتركةً في F إذا كان لكل y في F يوجد x في X بحيث y < x . بعبارة أخرى، X متتالية غير محدودة في F. النهاية المشتركة لـ F هي عدد عناصر أصغر مجموعة نهائية مشتركة، أي حجم أصغر عدد عناصر يُعطي متتالية غير محدودة. على سبيل المثال، الأعداد الطبيعية نهائية مشتركة في مجموعة الأعداد الحقيقية، وبالتالي فإن النهاية المشتركة للأعداد الحقيقية هي${\displaystyle \aleph _{0}}$.

وبالتالي، لدينا الثوابت التالية التي تحدد طبيعة الحقل المغلق الحقيقي F :

• عدد عناصر F.
• النهاية المشتركة لـ F.

إلى هذا يمكننا أن نضيف

• وزن F ، وهو الحد الأدنى لحجم مجموعة فرعية كثيفة من F.

تُخبرنا هذه الأعداد الأصلية الثلاثة بالكثير عن خصائص الترتيب لأي حقل مغلق حقيقي، مع أنه قد يصعب اكتشافها، خاصةً إذا لم نكن على استعداد للاستناد إلى فرضية الاستمرارية المعممة . وهناك أيضًا خصائص محددة قد تتحقق أو لا تتحقق.

• يكون الحقل F كاملاً إذا لم يكن هناك حقل مرتب K يحتوي F بشكل صحيح بحيث يكون F كثيفًا في K. إذا كانت النهاية المشتركة لـ F هي κ ، فإن هذا يكافئ القول بأن متتابعات كوشي المفهرسة بـ κ متقاربة في F.
• يتمتع الحقل المرتب F بخاصية مجموعة إيتا η _α ، للعدد الترتيبي α ، إذا كان لأي مجموعتين جزئيتين L و U من F عدد عناصرهما أقل من${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$بحيث يكون كل عنصر من L أصغر من كل عنصر من U ، يوجد عنصر x في F يكون x أكبر من كل عنصر من L وأصغر من كل عنصر من U. يرتبط هذا ارتباطًا وثيقًا بخاصية نظرية النماذج المتمثلة في كون النموذج مشبعًا ؛ أي حقلين حقيقيين مغلقين يكونان η _α إذا وفقط إذا كانا${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$مشبعة، وعلاوة على ذلك حقلان مغلقان حقيقيان من نوع η _{​​α، كلاهما من نوع عددي}${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$متماثلة الترتيب .

تصبح خصائص الحقول المغلقة الحقيقية أبسط بكثير إذا افترضنا فرضية الاستمرارية المعممة . إذا تحققت فرضية الاستمرارية، فإن جميع الحقول المغلقة الحقيقية التي لها عدد عناصر الاستمرارية وتتمتع بخاصية η ₁ تكون متماثلة الترتيب. يمكن تعريف هذا الحقل الفريد Ϝ بواسطة قوة فائقة ، كما يلي:${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/\mathbf {M} }$، حيث M هو مثالي أقصى لا يؤدي إلى حقل متماثل الترتيب مع${\displaystyle \mathbb {R} }$يُعد هذا الحقل من أكثر حقول الأعداد الحقيقية الفائقة استخدامًا في التحليل غير القياسي ، وتُعادل فرادته فرضية الاستمرارية. (حتى بدون فرضية الاستمرارية، لدينا أنه إذا كانت قيمة عناصر الاستمرارية هي ${\displaystyle \aleph _{\beta }}$ثم لدينا حقل η _β فريد بحجم${\displaystyle \aleph _{\beta }}$.)

علاوة على ذلك، لسنا بحاجة إلى قوى فائقة لبناء Ϝ ، بل يمكننا القيام بذلك بطريقة أكثر فعالية كحقل فرعي من المتسلسلات ذات عدد قابل للعد من الحدود غير الصفرية للحقل.${\displaystyle \mathbb {R} [[G]]}$من متسلسلات القوى الرسمية على زمرة أبيلية قابلة للقسمة مرتبة كليًا G وهي زمرة η ₁ ذات عدد أساسي${\displaystyle \aleph _{1}}$( ألينج 1962 ) .

مع ذلك، فإن Ϝ ليس حقلاً كاملاً؛ فإذا أخذنا اكتماله، فسنحصل على حقل Κ ذي عدد أكبر من العناصر. يمتلك Ϝ عدد عناصر المتصل، وهو بحسب الفرضية${\displaystyle \aleph _{1}}$، Κ لها عددية${\displaystyle \aleph _{2}}$ويحتوي على Ϝ كحقل فرعي كثيف. إنه ليس حقل قوة فائقة، ولكنه حقل فائق الواقعية، وبالتالي فهو حقل مناسب لاستخدامات التحليل غير القياسي. يمكن اعتباره النظير ذو الأبعاد الأعلى للأعداد الحقيقية؛ مع عدد أصلي${\displaystyle \aleph _{2}}$بدلاً من${\displaystyle \aleph _{1}}$، النهاية المشتركة${\displaystyle \aleph _{1}}$بدلاً من${\displaystyle \aleph _{0}}$والوزن${\displaystyle \aleph _{1}}$بدلاً من${\displaystyle \aleph _{0}}$، ومع خاصية η ₁ بدلاً من خاصية η ₀ (والتي تعني ببساطة أنه بين أي عددين حقيقيين يمكننا إيجاد عدد آخر).

تُشكّل بديهيات تارسكي نظامًا بديهيًا للجزء الابتدائي (من الرتبة الأولى) من الهندسة الإقليدية . وباستخدام هذه البديهيات، يُمكن إثبات أن النقاط الواقعة على خط مستقيم تُشكّل حقلًا مغلقًا حقيقيًا R، كما يُمكن إدخال إحداثيات بحيث يُطابق المستوى الإقليدي R² ^. وباستخدام قابلية الحسم لنظرية الحقول المغلقة الحقيقية، أثبت تارسكي أن النظرية الابتدائية للهندسة الإقليدية كاملة وقابلة للحسم. ^{[ 4 ]}

• حقل مرتب إقليدي
• مجال مغلق p-adical
• حلقة مغلقة حقيقية

• خادم ما قبل الطباعة للهندسة الجبرية والتحليلية الحقيقية
• خادم ما قبل النشر لنظرية النموذج