قاعدة الاستدلال

الموسوعة الحرة

مخطط الاستدلال
يُعدّ مبدأ الاستدلال المنطقي (Modus ponens) أحد القواعد الرئيسية للاستدلال.

قواعد الاستدلال هي طرق لاستخلاص النتائج من المقدمات . وهي جزء لا يتجزأ من المنطق الصوري ، إذ تُشكل البنية المنطقية للحجج الصحيحة . إذا اتبعت حجة ذات مقدمات صحيحة قاعدة استدلال، فلا يمكن أن تكون النتيجة خاطئة. قاعدة القياس الشرطي (Modus ponens) ، وهي قاعدة استدلال مؤثرة، تربط بين مقدمتين على شكل "إذا".P{\displaystyle P}ثمسؤال{\displaystyle Q}" و "P{\displaystyle P}"إلى الخاتمة"سؤال{\displaystyle Q}كما في الحجة "إذا أمطرت، فإن الأرض مبتلة. تمطر. لذلك، الأرض مبتلة." هناك العديد من قواعد الاستدلال الأخرى لأنماط مختلفة من الحجج الصحيحة، مثل قاعدة نفي الشرط ، والقياس المنطقي الانفصالي ، والمعضلة البنائية ، والتعميم الوجودي .

تشمل قواعد الاستدلال قواعد التضمين، التي تعمل في اتجاه واحد فقط من المقدمات إلى النتائج، وقواعد الاستبدال ، التي تنص على أن تعبيرين متكافئان ويمكن استبدالهما بحرية. وهي تختلف عن المغالطات الصورية - وهي أشكال غير صحيحة من الحجج تتضمن أخطاء منطقية.

يُنشئ علماء المنطق أنظمةً رسميةً لرصد أنماط الاستدلال الصحيحة وتقنينها بدقة، حيث تستخدم كل نظام قواعد استدلال مختلفة. فعلى سبيل المثال، يدرس منطق القضايا كيف تدعم العبارات المُشكّلة باستخدام عوامل منطقية مثل "ليس" و"إذا...إذن..." الاستنتاجات. ويُوسّع منطق الرتبة الأولى نطاق منطق القضايا بتحليل كيفية تأثير البنية الداخلية للقضايا، كالأسماء والمسندات ، على الاستدلال. وتستكشف أنظمة منطقية أخرى أنماط الاستدلال المرتبطة بما هو ممكن وضروري ، وبما يعتقده الناس ، وبما حدث في أوقات مختلفة . وتُستخدم أشكال رسمية متنوعة للتعبير عن الأنظمة المنطقية. وتوظف أنظمة الاستدلال الطبيعي العديد من قواعد الاستدلال البديهية لتعكس كيفية تفكير الناس بشكل طبيعي، بينما تُقدّم أنظمة هيلبرت أُطرًا مُبسطة لتمثيل المبادئ الأساسية دون تكرار.

تُعدّ قواعد الاستدلال ذات صلة بالعديد من المجالات، مثل البراهين في الرياضيات والاستدلال الآلي في علوم الحاسوب . ويدرس فلاسفة المنطق وعلماء النفس المعرفي أسسها المفاهيمية والنفسية .

تعريف

قاعدة الاستدلال هي طريقة لاستخلاص نتيجة من مجموعة من المقدمات . [ 1 ] تُسمى أيضًا قاعدة الاستدلال وقاعدة التحويل ، [ 2 ] وهي معيار للاستدلالات الصحيحة التي يمكن استخدامها لتوجيه التفكير ، وتبرير النتائج، ونقد الحجج . وكجزء من المنطق الاستنتاجي ، تُعد قواعد الاستدلال أشكالًا للحجج تحافظ على صحة المقدمات، مما يعني أن النتيجة تكون صحيحة دائمًا إذا كانت المقدمات صحيحة. [ أ ] يكون الاستدلال صحيحًا استنتاجيًا إذا اتبع قاعدة استدلال صحيحة. ويعتمد ذلك فقط على شكل أو بنية المقدمات والنتيجة، أي أن المحتوى الفعلي أو المعنى الملموس للعبارات لا يؤثر على صحتها. على سبيل المثال، قاعدة القياس المنطقي للمقدمات هي قاعدة استدلال تربط بين مقدمتين على شكل "إذا".P{\displaystyle P}ثمسؤال{\displaystyle Q}" و "P{\displaystyle P}"إلى الخاتمة"سؤال{\displaystyle Q}". الرسائلP{\displaystyle P}وسؤال{\displaystyle Q}في هذا المثال وفي الصيغ اللاحقة، تُسمى المتغيرات الفوقية : وهي تُمثل أي قضية بسيطة أو مركبة . [ 4 ] أي حجة تتبع قاعدة القياس المنطقي (modus ponens) تكون صحيحة، بغض النظر عن المعاني المحددة لـP{\displaystyle P}وسؤال{\displaystyle Q}مثل الحجة القائلة: "إذا كان نهارًا، فهو ضوء. إنه نهار. إذن، هو ضوء." [ 5 ] بالإضافة إلى قاعدة " القياس المنطقي القائم على الأدلة "، هناك العديد من قواعد الاستدلال الأخرى، مثل قاعدة "القياس المنطقي النفي "، والقياس المنطقي الانفصالي ، والمعضلة البنائية . [ 4 ]

توجد صيغ مختلفة لتمثيل قواعد الاستدلال. من الأساليب الشائعة استخدام سطر جديد لكل مقدمة، وفصل المقدمات عن النتيجة بخط أفقي. وفقًا لهذه الصيغة، يُكتب مبدأ القياس الاستدلالي (modus ponens) على النحو التالي: [ 6 ] [ ب ]P→سؤالPسؤال{\displaystyle {\begin{array}{l}P\to Q\\P\\\hline Q\end{array}}}

يستخدم بعض علماء المنطق علامة "إذن" (∴{\displaystyle \therefore }) إما مع الخط الأفقي أو بدلاً منه للإشارة إلى بداية الاستنتاج. [ 8 ] أما تدوين التسلسل ، وهو نهج مختلف، فيستخدم خطًا واحدًا تُفصل فيه المقدمات بفواصل وتُربط بالاستنتاج برمز البوابة الدوارة (⊢{\displaystyle \vdash }), كما فيP→سؤال،P⊢سؤال{\displaystyle P\to Q,P\vdash Q}[ 9 ]​

تُعدّ قواعد الاستدلال جزءًا من الأنظمة المنطقية ، وتستخدم الأنظمة المختلفة مجموعاتٍ متباينة من القواعد. على سبيل المثال، يُعدّ التجسيد الشامل [ ج ] قاعدة استدلال في نظام منطق الرتبة الأولى، ولكنه ليس كذلك في منطق القضايا . [ 11 ] تلعب قواعد الاستدلال دورًا محوريًا في البراهين ، فهي إجراءات صريحة لاستنباط أجزاء جديدة من البرهان من الأجزاء السابقة. تتضمن البراهين سلسلة من خطوات الاستدلال، وغالبًا ما تستخدم قواعد استدلال متنوعة لإثبات النظرية التي تسعى إلى إثباتها. [ 12 ] [ د ] قواعد الاستدلال هي قواعد تعريفية ، أي قواعد تحدد الاستدلالات المسموح بها. وهي تختلف عن القواعد الاستراتيجية، التي تُنظّم خطوات الاستدلال اللازمة لإثبات نظرية معينة من مجموعة محددة من المقدمات. لا يكفي إتقان القواعد التعريفية وحدها للتفكير الفعال، لأنها لا تُقدّم سوى القليل من التوجيه حول كيفية الوصول إلى النتيجة المرجوة. [ 14 ] [ هـ ] تُشبه قواعد الاستدلال، بوصفها معايير أو إجراءات تحكم تحويل التعبيرات الرمزية، الدوال الرياضية التي تأخذ مقدمات كمدخلات وتُنتج نتيجة كمخرجات. ووفقًا لأحد التفسيرات، فإن قواعد الاستدلال متأصلة في عوامل التشغيل المنطقية [ و ] الموجودة في العبارات، مما يجعل معنى هذه العوامل ووظيفتها واضحين دون إضافة أي معلومات إضافية. [ 17 ]

رسم بالأبيض والأسود لرجل ذي سوالف، يرتدي زياً رسمياً داكناً مع قميص أبيض ذي ياقة عالية
قدم جورج بول (1815-1864) مساهمات رئيسية في المنطق الرمزي بشكل عام وفي منطق القضايا بشكل خاص. [ 18 ]

يميز علماء المنطق بين نوعين من قواعد الاستدلال: قواعد الاستلزام وقواعد الاستبدال . [ g ] تعمل قواعد الاستلزام، مثل قاعدة وضع المقدمات ، في اتجاه واحد فقط، بمعنى أنه يمكن استنتاج النتيجة من المقدمات، ولكن لا يمكن استنتاج المقدمات من النتيجة. أما قواعد الاستبدال، على النقيض من ذلك، فتعمل في كلا الاتجاهين، وتنص على أن تعبيرين متكافئان ويمكن استبدالهما بحرية. في المنطق الكلاسيكي، على سبيل المثال، القضية (P{\displaystyle P}) يكافئ نفي [ h ] لنفيه (¬¬P{\displaystyle \lnot \lnot P}[ i ] ونتيجةً لذلك، يمكن استنتاج أحدهما من الآخر في أي من الاتجاهين، مما يجعلها قاعدة استبدال. تشمل قواعد الاستبدال الأخرى قوانين دي مورغان، بالإضافة إلى خاصيتي التبديل والتجميع للعطف والفصل . في حين أن قواعد الاستلزام تنطبق فقط على العبارات الكاملة، يمكن تطبيق قواعد الاستبدال على أي جزء من عبارة مركبة. [ 22 ]

تختلف قواعد الاستدلال الاستنتاجي عن أنماط الاستدلال القابلة للدحض ، التي تصف أنماطًا من التفكير تُقدّم دعمًا جزئيًا للاستنتاج دون ضمان صحته، مثل الاستدلال بالسلطة والاستدلال بالقياس . مع ذلك، يُستخدم مصطلح "قاعدة الاستدلال" أحيانًا بمعنى أوسع ليشمل أنماط الاستدلال غير الاستنتاجي. [ 23 ] وبالمثل، يُفسّر المصطلح أحيانًا تفسيرًا واسعًا ليشمل المعايير العامة للبحث، مثل مبدأ إمكانية تكرار التجارب العلمية . [ 24 ]

يعود أحد أوائل النقاشات حول قواعد الاستدلال الرسمية إلى العصور القديمة ، في منطق أرسطو . وقد جرى صقل تفسيراته للقياسات المنطقية الصحيحة في فلسفة العصور الوسطى وبداية العصر الحديث . وأدى تطور المنطق الرمزي في القرن التاسع عشر، مثل صياغة جورج بول للجبر البولياني ، إلى صياغة العديد من قواعد الاستدلال الإضافية التي تنتمي إلى المنطق الافتراضي الكلاسيكي ومنطق الرتبة الأولى. وفي القرنين العشرين والحادي والعشرين، طور علماء المنطق أنظمة منطقية غير كلاسيكية متنوعة بقواعد استدلال بديلة. [ 25 ]

المفاهيم الأساسية

تصف قواعد الاستدلال بنية الحجج، التي تتكون من مقدمات تدعم النتيجة. [ 26 ] المقدمات والنتائج عبارة عن عبارات أو قضايا حول ما هو صحيح. على سبيل المثال، التأكيد "الباب مفتوح" عبارة إما صحيحة أو خاطئة، بينما السؤال "هل الباب مفتوح؟" والأمر "افتح الباب!" ليسا عبارتين ولا قيمة لهما من حيث الصدق. [ 27 ] الاستدلال هو خطوة من خطوات التفكير المنطقي من المقدمات إلى النتيجة، بينما الحجة هي التعبير الظاهر عن الاستدلال. [ 28 ]

المنطق هو دراسة الاستدلال الصحيح، ويبحث في كيفية التمييز بين الحجج الصحيحة والخاطئة. [ 29 ] المنطق الاستنتاجي هو الفرع الذي يبحث في أقوى الحجج، والتي تُسمى الحجج الاستنتاجية الصحيحة، والتي لا يمكن أن تكون نتيجتها خاطئة إذا كانت جميع مقدماتها صحيحة. ويُعبَّر عن ذلك بالقول إن النتيجة هي نتيجة منطقية للمقدمات. تنتمي قواعد الاستدلال إلى المنطق الاستنتاجي، وتصف أشكال الحجج التي تُحقق هذا الشرط. [ 30 ] ولتقييم ما إذا كانت الحجة تتبع قاعدة استدلال بدقة، يستخدم علماء المنطق لغات رسمية للتعبير عن العبارات بطريقة صارمة، على غرار الصيغ الرياضية . [ 31 ] وهم يجمعون بين اللغات الرسمية وقواعد الاستدلال لبناء أنظمة رسمية - أطر لصياغة القضايا واستخلاص النتائج. [ j ] قد تستخدم الأنظمة الرسمية المختلفة لغات رسمية مختلفة أو قواعد استدلال مختلفة. [ 33 ] [ k ] غالبًا ما يمكن توسيع قواعد الاستدلال الأساسية ضمن نظام رسمي عن طريق إدخال قواعد جديدة، تُعرف بالقواعد المقبولة . لا تُغيّر القواعد المقبولة من صحة الحجج في النظام الصوري، ولكنها تُبسّط البراهين. إذا أمكن التعبير عن قاعدة مقبولة من خلال دمج القواعد الأساسية للنظام، تُسمى قاعدة مشتقة أو قابلة للاشتقاق . [ 35 ] تُسمى العبارات التي يُمكن استنتاجها في نظام صوري بنظريات هذا النظام الصوري. [ 36 ] تشمل أنظمة المنطق الشائعة الاستخدام منطق القضايا ، ومنطق الرتبة الأولى ، والمنطق الموجه . [ 37 ]

لا تضمن قواعد الاستدلال صحة النتيجة إلا إذا كانت المقدمات صحيحة. قد تكون الحجة صحيحة حتى مع وجود مقدمات خاطئة، ولكن قد تكون نتيجتها خاطئة. على سبيل المثال، الحجة "إذا كانت الخنازير تستطيع الطيران، فإن السماء أرجوانية. الخنازير تستطيع الطيران. إذن، السماء أرجوانية." صحيحة لأنها تتبع قاعدة القياس المنطقي (modus ponens )، على الرغم من احتوائها على مقدمات خاطئة. تُسمى الحجة الصحيحة حجة سليمة إذا كانت جميع مقدماتها صحيحة. [ 38 ]

ترتبط قواعد الاستدلال ارتباطًا وثيقًا بالتكرار المنطقي أو الحقائق المنطقية . في المنطق، التكرار المنطقي هو عبارة صحيحة فقط بسبب المفردات المنطقية التي تستخدمها، بغض النظر عن معاني مفرداتها غير المنطقية. على سبيل المثال، العبارة "إذا كانت الشجرة خضراء والسماء زرقاء، فإن الشجرة خضراء" صحيحة بغض النظر عن معاني مصطلحات مثل " شجرة" و "أخضر" ، مما يجعلها تكرارًا منطقيًا. يمكن تحويل أي حجة تتبع قاعدة استدلال إلى تكرار منطقي. ويتحقق ذلك بتكوين رابط ( و ) بين جميع المقدمات وربطها بالنتيجة من خلال الاستلزام ( إذا... فإن... )، وبالتالي دمج جميع عبارات الحجة الفردية في عبارة واحدة. على سبيل المثال، يمكن تحويل الحجة الصحيحة "الشجرة خضراء والسماء زرقاء. إذن، الشجرة خضراء." إلى التكرار المنطقي "إذا كانت الشجرة خضراء والسماء زرقاء، فإن الشجرة خضراء". [ 39 ]

لا تُعد قواعد الاستدلال الطريقة الوحيدة لإثبات صحة الحجة. تشمل الطرق البديلة استخدام جداول الصواب ، التي تُطبق على منطق القضايا، وأشجار الصواب ، التي يمكن استخدامها أيضًا في منطق الرتبة الأولى. [ 40 ]

أنظمة المنطق

كلاسيكي

المنطق الافتراضي

يدرس منطق القضايا أنماط الاستدلال في القضايا البسيطة والمركبة . ويستخدم حروفًا، مثلP{\displaystyle P}وسؤال{\displaystyle Q}تُستخدم لتمثيل القضايا البسيطة. أما القضايا المركبة فتتكون من خلال تعديل أو دمج القضايا البسيطة باستخدام عوامل منطقية ، مثل¬{\displaystyle \lnot }( لا )،∧{\displaystyle \land }( و )،∨{\displaystyle \lor }( أو )، و→{\displaystyle \to }( إذا ... إذن ... ). على سبيل المثال، إذاP{\displaystyle P}يرمز إلى عبارة "إنها تمطر" وسؤال{\displaystyle Q}يرمز إلى عبارة "الشوارع مبتلة"، ثم¬P{\displaystyle \lnot P}يعبّر عن "أنها لا تمطر" وP→سؤال{\displaystyle P\to Q}يعبّر عن "إذا كانت السماء تمطر، فإن الشوارع مبتلة". هذه العوامل المنطقية هي عوامل صدق ، بمعنى أن قيمة صدق القضية المركبة تعتمد فقط على قيم صدق القضايا البسيطة التي تُكوّنها. على سبيل المثال، القضية المركبةP∧سؤال{\displaystyle P\land Q}لا يكون ذلك صحيحًا إلا إذا كان كلاهماP{\displaystyle P}وسؤال{\displaystyle Q}تكون صحيحة؛ وفي جميع الحالات الأخرى، تكون خاطئة. لا يهتم منطق القضايا بالمعنى الملموس للقضايا بخلاف قيمها الصادقة. [ 41 ] من القواعد الأساسية للاستدلال في منطق القضايا: القياس الشرطي ، والقياس الاستدلالي العكسي ، والقياس الافتراضي ، والقياس الانفصالي ، وحذف النفي المزدوج . وتشمل القواعد الأخرى: إدخال العطف ، وحذف العطف ، وإدخال الفصل ، وحذف الفصل ، والمعضلة البنّاءة ، والمعضلة الهدّامة ، والدمج ، وقوانين دي مورغان . [ 42 ]

قواعد الاستدلال البارزة [ 43 ]
قاعدة الاستدلالاستمارةمثال
Modus ponensP→سؤالPسؤال{\displaystyle {\begin{array}{l}P\to Q\\P\\\hline Q\end{array}}}إذا كان كيم في سيول، فهو إذن في كوريا الجنوبية.كيم موجود في سيول.لذلك، فإن كيم موجود في كوريا الجنوبية.{\displaystyle {\begin{array}{l}{\text{إذا كان كيم في سيول، فإن كيم في كوريا الجنوبية.}}\\{\text{كيم في سيول.}}\\\hline {\text{لذلك، فإن كيم في كوريا الجنوبية.}}\end{array}}}
Modus tollensP→سؤال¬سؤال¬P{\displaystyle {\begin{array}{l}P\to Q\\\lnot Q\\\hline \lnot P\end{array}}}إذا كان كوكو كوالا، فإن كوكو لطيف ومحبوب.كوكو ليست لطيفة.لذلك، فإن كوكو ليس كوالا.{\displaystyle {\begin{array}{l}{\text{إذا كان كوكو كوالا، فإن كوكو لطيف.}}\\{\text{كوكو ليس لطيفًا.}}\\\hline {\text{لذلك، كوكو ليس كوالا.}}\end{array}}}
القياس المنطقي الافتراضيP→سؤالسؤال→RP→R{\displaystyle {\begin{array}{l}P\to Q\\Q\to R\\\hline P\to R\end{array}}}إذا كان برج الأسد أسداً، فإن برج الأسد يزأر.إذا زأر برج الأسد، فهذا يعني أن الأسد شرس.لذلك، إذا كان برج الأسد أسدًا، فإن برج الأسد شرس.{\displaystyle {\begin{array}{l}{\text{إذا كان ليو أسدًا، فإن ليو يزأر.}}\\{\text{إذا زأر ليو، فإن ليو شرس.}}\\\hline {\text{لذلك، إذا كان ليو أسدًا، فإن ليو شرس.}}\end{array}}}
القياس المنطقي المنفصلP∨سؤال¬Pسؤال{\displaystyle {\begin{array}{l}P\lor Q\\\lnot P\\\hline Q\end{array}}}الكتاب موجود على الرف أو على الطاولة.الكتاب ليس على الرف.لذلك، الكتاب موجود على الطاولة. {\displaystyle {\begin{array}{l}{\text{الكتاب على الرف أو على الطاولة.}}\\{\text{الكتاب ليس على الرف.}}\\\hline {\text{إذن، الكتاب على الطاولة.}}\end{array}}}
حذف النفي المزدوج¬¬PP{\displaystyle {\begin{array}{l}\lnot \lnot P\\\hline P\end{array}}}لم نتمكن من الالتزام بالموعد النهائي.لقد تمكنا من الالتزام بالموعد النهائي. {\displaystyle {\begin{array}{l}{\text{لم نتمكن من الالتزام بالموعد النهائي.}}\\\hline {\text{تمكّنا من الالتزام بالموعد النهائي.}}\end{array}}}

منطق الرتبة الأولى

صورة لتمثال نصفي برونزي لرجل ملتحي
استكشف غوتلوب فريجه (1848-1925) ، باعتباره أحد الآباء المؤسسين للمنطق الحديث، بعض المفاهيم الأساسية لمنطق الرتبة الأولى. [ 44 ]

يستخدم منطق الرتبة الأولى أيضًا عوامل التشغيل المنطقية من منطق القضايا، ولكنه يتضمن أدوات إضافية لتوضيح البنية الداخلية للقضايا. تتكون القضايا الأساسية في منطق الرتبة الأولى من محمول ، يُرمز إليه بأحرف كبيرة مثلP{\displaystyle P}وسؤال{\displaystyle Q}، والتي تُطبق على المصطلحات المفردة ، التي ترمز إليها بأحرف صغيرة مثلأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}على سبيل المثال، إذاأ{\displaystyle a}يرمز إلى "أرسطو" وP{\displaystyle P}يرمز إلى "هو فيلسوف"، ثم الصيغةP(أ){\displaystyle P(a)}يعني ذلك أن "أرسطو فيلسوف". ومن الابتكارات الأخرى لمنطق الرتبة الأولى استخدام الكميات .∃{\displaystyle \exists }و∀{\displaystyle \forall }والتي تعبر عن أن المسند ينطبق على بعض الأفراد أو جميعهم. على سبيل المثال، الصيغة∃xP(x){\displaystyle \exists xP(x)}يعبّر عن وجود الفلاسفة، بينما∀xP(x){\displaystyle \forall xP(x)}يُعبّر هذا عن فكرة أن كل شخص فيلسوف. قواعد الاستدلال من منطق القضايا صالحة أيضًا في منطق الرتبة الأولى. [ 45 ] بالإضافة إلى ذلك، يُقدّم منطق الرتبة الأولى قواعد استدلال جديدة تُنظّم دور المصطلحات المفردة والمسندات والمكمّمات في الحجج. من أهم قواعد الاستدلال : التجسيد الكلي والتعميم الوجودي . [ 10 ]

قواعد الاستدلال البارزة [ 10 ]
قاعدة الاستدلالاستمارةمثال
تجسيد عالمي∀xP(x)P(أ){\displaystyle {\begin{array}{l}\forall xP(x)\\\hline P(a)\end{array}}}[ ل ]يجب على الجميع دفع الضرائب.لذلك، يجب على ويسلي دفع الضرائب.{\displaystyle {\begin{array}{l}{\text{يجب على الجميع دفع الضرائب.}}\\\hline {\text{لذلك، يجب على ويسلي دفع الضرائب.}}\end{array}}}
التعميم الوجوديP(أ)∃xP(x){\displaystyle {\begin{array}{l}P(a)\\\hline \exists xP(x)\end{array}}}سقراط فانٍ.لذلك، هناك من هو فانٍ.{\displaystyle {\begin{array}{l}{\text{سقراط فانٍ.}}\\\hline {\text{إذن، هناك فانٍ.}}\end{array}}}

المنطق الموجه هو نظام رسمي يوسع منطق القضايا ومنطق الرتبة الأولى بإضافة عوامل تشغيل إضافية. يقدم المنطق الموجه الأليثي عامل التشغيل◊{\displaystyle \Diamond }للتعبير عن أن شيئًا ما ممكن، والمشغل◻{\displaystyle \Box }للتعبير عن ضرورة شيء ما. على سبيل المثال، إذاP{\displaystyle P}يعني ذلك أن "بارفاتي تعمل"، إذن◊P{\displaystyle \Diamond P}يعني ذلك أنه "من الممكن أن تعمل بارفاتي"، بينما◻P{\displaystyle \Box P}يعني ذلك أنه "من الضروري أن تعمل بارفاتي". ويرتبط هذان العاملان بقاعدة الاستبدال التي تنص على أن◻P{\displaystyle \Box P}يعادل¬◊¬P{\displaystyle \lnot \Diamond \lnot P}بمعنى آخر: إذا كان شيء ما صحيحًا بالضرورة، فلا يمكن أن يكون غير صحيح. ومن قواعد الاستدلال الأخرى قاعدة الضرورة، التي تنص على أن العبارة صحيحة بالضرورة إذا كان من الممكن إثباتها في نظام رسمي دون أي مقدمات إضافية، وبديهية التوزيع، التي تسمح باستنتاج◊P→◊سؤال{\displaystyle \Diamond P\to \Diamond Q}من◊(P→سؤال){\displaystyle \Diamond (P\to Q)}تنتمي قواعد الاستدلال هذه إلى النظام K، وهو شكل ضعيف من المنطق الموجه لا يحتوي إلا على أبسط قواعد الاستدلال. تتضمن العديد من الأنظمة الرسمية للمنطق الموجه الأخلاقي قواعد استدلال إضافية، مثل النظام T، الذي يسمح بالاستنتاج.P{\displaystyle P}من◻P{\displaystyle \Box P}[ 46 ]​

تُدخل أنظمة المنطق الموجه غير الأثيثية عوامل تتصرف مثل◊{\displaystyle \Diamond }و◻{\displaystyle \Box }في المنطق الموجه الحقيقي، يتبع قواعد استدلال مماثلة ولكن بمعانٍ مختلفة. المنطق الواجبي هو أحد أنواع المنطق غير الحقيقي. وهو يستخدم العاملP{\displaystyle \mathbf {P} }للتعبير عن أن إجراءً ما مسموح به، والمشغليا{\displaystyle \mathbf {O} }للتعبير عن ضرورة اتخاذ إجراء ما، حيثP{\displaystyle \mathbf {P} }يتصرف بشكل مشابه لـ◊{\displaystyle \Diamond }ويا{\displaystyle \mathbf {O} }يتصرف بشكل مشابه لـ◻{\displaystyle \Box }على سبيل المثال، قاعدة الاستبدال في المنطق الموجه للأخلاق، والتي تؤكد أن◻سؤال{\displaystyle \Box Q}يعادل¬◊¬سؤال{\displaystyle \lnot \Diamond \lnot Q}وينطبق ذلك أيضاً على المنطق الواجبي. ونتيجة لذلك، يمكن للمرء أن يستنتج منياسؤال{\displaystyle \mathbf {O} Q}(على سبيل المثال، يقع على عاتق كوين واجب المساعدة)¬P¬سؤال{\displaystyle \lnot \mathbf {P} \lnot Q}(على سبيل المثال، لا يُسمح لكوين بعدم المساعدة). [ 47 ] تشمل أنظمة المنطق الموجه الأخرى المنطق الموجه الزمني ، الذي يحتوي على عوامل لما هو دائمًا أو أحيانًا، بالإضافة إلى المنطق الموجه المعرفي والمنطق الموجه المعرفي ، اللذين يحتويان على عوامل لما يعتقده الناس ويعرفونه. [ 48 ]

أنظمة أخرى

صورة لتمثال نصفي من الرخام لرجل ملتحي
تتخذ قواعد الاستدلال في منطق أرسطو (384-322 قبل الميلاد) شكل القياسات المنطقية. [ 49 ]

طُرحت العديد من أنظمة المنطق الأخرى. [ 50 ] في اليونان القديمة ، كان المنطق الأرسطي من أوائل هذه الأنظمة ، حيث يتكون كل بيان من عنصرين : موضوع ومحمول، يربط بينهما رابط . على سبيل المثال، تتكون عبارة "كل البشر فانون" من الموضوع "كل البشر"، والمحمول "فانون"، والرابط "يكون". تتخذ جميع قواعد الاستدلال في المنطق الأرسطي شكل القياس المنطقي ، الذي يتألف من مقدمتين ونتيجة. فعلى سبيل المثال، تصف قاعدة باربرا للاستدلال صحة الحجج من الشكل التالي: "كل الرجال فانون. كل اليونانيين رجال. إذن، كل اليونانيين فانون." [ 51 ] كما استكشفت مدرسة نيايا في الهند القديمة قواعد الاستدلال في شكل قياس منطقي، مثل الحجة: "كل ما له دخان له نار. هذا التل له دخان. إذن، هذا التل له نار." [ 52 ]

يُوسّع منطق الرتبة الثانية منطق الرتبة الأولى بالسماح بتطبيق المُكمِّمات على المسندات بالإضافة إلى المصطلحات المفردة. على سبيل المثال، للتعبير عن أن الأفراد آدم (أ{\displaystyle a}) وبيانكا (ب{\displaystyle b}إذا كانت هناك خاصية مشتركة، فيمكن استخدام الصيغة∃X(X(أ)∧X(ب)){\displaystyle \exists X(X(a)\land X(b))}[ 53 ] يأتي منطق الرتبة الثانية أيضًا بقواعد استدلال جديدة. [ م ] على سبيل المثال، يمكن للمرء أن يستنتجP(أ){\displaystyle P(a)}(آدم فيلسوف) من∀XX(أ){\displaystyle \forall XX(a)}(كل صفة تنطبق على آدم). [ 55 ]

المنطق الحدسي هو شكل غير كلاسيكي من المنطق الافتراضي ومنطق الرتبة الأولى. يشترك معهما في العديد من قواعد الاستدلال، مثل قاعدة القياس المنطقي ، ولكنه يستثني بعض القواعد. على سبيل المثال، في المنطق الكلاسيكي، يمكن الاستدلال على أنP{\displaystyle P}من¬¬P{\displaystyle \lnot \lnot P}باستخدام قاعدة حذف النفي المزدوج. مع ذلك، في المنطق الحدسي، يكون هذا الاستدلال غير صحيح. ونتيجةً لذلك، يمكن استنتاج كل نظرية في المنطق الحدسي في المنطق الكلاسيكي أيضًا، لكن بعض النظريات القابلة للإثبات في المنطق الكلاسيكي لا يمكن إثباتها في المنطق الحدسي. [ 56 ] أحد دوافع هذا التعديل هو فكرة أن البراهين يجب أن تُظهر وجود الشيء أو إمكانية بنائه ، وليس مجرد أن عدم وجوده سيؤدي إلى تناقض. [ 57 ]

تُعدّل المنطق المتناقض المنطق الكلاسيكي للسماح بوجود التناقضات . في المنطق، يحدث التناقض إذا تم تأكيد نفس القضية وإنكارها في آنٍ واحد، مما يعني أن النظام الصوري يحتوي على كليهما.P{\displaystyle P}و¬P{\displaystyle \lnot P}كنظريات. يمنع المنطق الكلاسيكي التناقضات لأن قواعد الاستدلال الكلاسيكية تتضمن مبدأ الانفجار ، وهو قاعدة استدلال مقبولة تجعل من الممكن الاستدلالسؤال{\displaystyle Q}من المبنىP{\displaystyle P}و¬P{\displaystyle \lnot P}. منذسؤال{\displaystyle Q}لا علاقة له بـP{\displaystyle P}يمكن استنتاج أي عبارة عشوائية من تناقض، مما يجعل الأنظمة المتأثرة عديمة الفائدة في تحديد الصواب والخطأ. [ 58 ] [ ن ] تحل المنطق المتناقض هذه المشكلة بتعديل قواعد الاستدلال بحيث لا يكون مبدأ الانفجار قاعدة استدلال مقبولة. ونتيجة لذلك، يصبح من الممكن التفكير في المعلومات المتناقضة دون الوصول إلى استنتاجات سخيفة. [ 60 ]

تُعدّل المنطق متعدد القيم المنطق الكلاسيكي بإضافة قيم صدق إضافية. في المنطق الكلاسيكي، تكون القضية إما صحيحة أو خاطئة، ولا يوجد خيار بينهما. أما في المنطق متعدد القيم، فبعض القضايا ليست صحيحة ولا خاطئة. على سبيل المثال، منطق كلين هو منطق ثلاثي القيم يُضيف قيمة الصدق " غير مُعرّف" لوصف الحالات التي تكون فيها المعلومات غير مكتملة أو غير مؤكدة. [ 61 ] وقد عدّلت المنطق متعدد القيم قواعد الاستدلال لاستيعاب قيم الصدق الإضافية. على سبيل المثال، تنص قاعدة الاستبدال الكلاسيكية على أنP→سؤال{\displaystyle P\to Q}يعادل¬P∨سؤال{\displaystyle \lnot P\lor Q}غير صالح في العديد من الأنظمة ثلاثية القيم. [ 62 ] تتخذ بعض المنطق متعدد القيم شكل منطق الاحتمالات ، مما يُمكّن من الاستدلال من المعلومات غير المؤكدة إلى استنتاجات احتمالية . [ 63 ]

الأشكال

طُرحت العديد من الصيغ أو أنظمة البرهان كطرق متميزة لتقنين الاستدلال وإثبات صحة الحجج. وخلافًا لأنظمة المنطق المختلفة، لا تؤثر هذه الصيغ على ما يمكن إثباته، بل تؤثر فقط على كيفية صياغة البراهين. ومن بين الأطر المؤثرة أنظمة الاستدلال الطبيعي ، وأنظمة هيلبرت ، وحسابات المتتاليات . [ 64 ]

تهدف أنظمة الاستدلال الطبيعي إلى محاكاة طريقة تفكير الإنسان الفطرية من خلال تقديم العديد من قواعد الاستدلال البديهية لتسهيل الوصول إلى الاستنتاجات المنطقية. فهي تُقسّم الحجج المعقدة إلى خطوات بسيطة، وغالبًا ما تستخدم براهين فرعية مبنية على مقدمات مؤقتة. تستهدف قواعد الاستدلال في الاستدلال الطبيعي عوامل منطقية محددة، حيث تُحدد كيفية إضافة عامل باستخدام قواعد الإدخال أو إزالته باستخدام قواعد الحذف. على سبيل المثال، تنص قاعدة إدخال العطف على أنه يمكن استنتاجP∧سؤال{\displaystyle P\land Q}من المبنىP{\displaystyle P}وسؤال{\displaystyle Q}وبالتالي ينتج عنه استنتاج باستخدام عامل الربط من مقدمات لا تحتوي عليه. وعلى العكس من ذلك، تنص قاعدة حذف عامل الربط على أنه يمكن الاستدلالP{\displaystyle P}منP∧سؤال{\displaystyle P\land Q}وبذلك ينتج عنه استنتاج لا يتضمن عامل الربط. ومن قواعد الاستدلال المماثلة: إدخال وحذف الفصل ، وإدخال وحذف الاستلزام ، وإدخال وحذف النفي ، وإدخال وحذف الشرط الثنائي . ونتيجة لذلك، تتضمن أنظمة الاستدلال الطبيعي عادةً العديد من قواعد الاستدلال. [ 65 ] [ o ]

على النقيض من ذلك، تهدف أنظمة هيلبرت إلى توفير إطار عمل بسيط وفعال للاستدلال المنطقي من خلال تضمين أقل عدد ممكن من قواعد الاستدلال. تعتمد العديد من أنظمة هيلبرت على قاعدة القياس المنطقي (modus ponens) كقاعدة الاستدلال الوحيدة. ولضمان إمكانية استنتاج جميع النظريات من هذا الأساس البسيط، تُقدم هذه الأنظمة مخططات بديهية . [ 67 ] مخطط البديهية هو قالب لإنشاء بديهيات أو عبارات صحيحة. يستخدم هذا المخطط متغيرات فوقية - عناصر نائبة يمكن استبدالها بمصطلحات أو صيغ محددة لتوليد عدد لا نهائي من العبارات الصحيحة. [ 68 ] على سبيل المثال، يمكن تعريف منطق القضايا باستخدام مخططات البديهية الثلاثة التالية: (1)P→(سؤال→P){\displaystyle P\to (Q\to P)}(2)(P→(سؤال→R))→((P→سؤال)→(P→R)){\displaystyle (P\to (Q\to R))\to ((P\to Q)\to (P\to R))}و(3)(¬P→¬سؤال)→(سؤال→P){\displaystyle (\lnot P\to \lnot Q)\to (Q\to P)}[ 69 ] لصياغة البراهين، يقوم علماء المنطق بإنشاء عبارات جديدة من مخططات البديهيات، ثم يطبقون قاعدة القياس المنطقي على هذه العبارات لاستخلاص النتائج. بالمقارنة مع الاستدلال الطبيعي، يميل هذا الإجراء إلى أن يكون أقل بديهية ، إذ أن اعتماده الكبير على المعالجة الرمزية قد يحجب الاستدلال المنطقي الكامن. [ 70 ]

تُقدّم حسابات المتتاليات، وهي منهج آخر، المتتاليات كتمثيلات رسمية للحجج. تأخذ المتتالية الشكل التالي:أ1،...،أم⊢ب1،...،بن{\displaystyle A_{1},\dots ,A_{m}\vdash B_{1},\dots ,B_{n}}، أينأأنا{\displaystyle A_{i}}وبأنا{\displaystyle B_{i}}تشير العبارات الشرطية إلى القضايا. أما المتتاليات فهي تأكيدات شرطية تنص على أن واحدًا على الأقلبأنا{\displaystyle B_{i}}صحيح إذا كان كلأأنا{\displaystyle A_{i}}صحيح. تعمل قواعد الاستدلال على المتتاليات لإنتاج متتاليات إضافية. تُعرّف حسابات المتتاليات قاعدتين للاستدلال لكل عامل منطقي: إحداهما لإدخاله على الجانب الأيسر من المتتالية، والأخرى لإدخاله على الجانب الأيمن. على سبيل المثال، من خلال قاعدة إدخال العامل¬{\displaystyle \lnot }على الجانب الأيسر، يمكن للمرء أن يستنتج¬R،P⊢سؤال{\displaystyle \lnot R,P\vdash Q}منP⊢سؤال،R{\displaystyle P\vdash Q,R}تُتيح قاعدة القطع ، وهي قاعدة استدلال إضافية، تبسيط المتتاليات عن طريق إزالة بعض القضايا. [ 71 ]

المغالطات الشكلية

رسم تخطيطي للطريقة ponens وتأكيد ما يترتب على ذلك
إن تأكيد النتيجة هو مغالطة شكلية تشبه قاعدة الاستدلال الصحيحة modus ponens . [ 72 ]

بينما تصف قواعد الاستدلال أنماطًا صحيحة من الاستدلال الاستنتاجي، فإن المغالطات الصورية هي أشكال غير صحيحة من الحجج تنطوي على أخطاء منطقية . لا تدعم مقدمات المغالطة الصورية نتيجتها بشكل صحيح: فقد تكون النتيجة خاطئة حتى لو كانت جميع المقدمات صحيحة. غالبًا ما تحاكي المغالطات الصورية بنية قواعد الاستدلال الصحيحة، وبالتالي يمكن أن تضلل الناس وتدفعهم إلى الوقوع فيها دون وعي وقبول نتائجها. [ 73 ]

المغالطة الشكلية المتمثلة في تأكيد النتائج المترتبةP{\displaystyle P}من المبنىP→سؤال{\displaystyle P\to Q}وسؤال{\displaystyle Q}كما في الحجة القائلة: "إذا كان ليو قطًا، فإن ليو حيوان. ليو حيوان. إذن، ليو قط." تشبه هذه المغالطة الاستدلالات الصحيحة التي تتبع قاعدة القياس المنطقي (modus ponens) ، مع اختلاف جوهري يتمثل في تبديل المقدمة الثانية والنتيجة. [ 72 ] المغالطة الشكلية المتمثلة في إنكار المقدمة تؤدي إلى نتائج¬سؤال{\displaystyle \lnot Q}من المبنىP→سؤال{\displaystyle P\to Q}و¬P{\displaystyle \lnot P}كما في الحجة القائلة: "إذا شاهدت لايا الفيلم، فقد استمتعت. لم تشاهد لايا الفيلم. إذن، لم تستمتع لايا." تشبه هذه المغالطة الاستدلالات الصحيحة التي تتبع قاعدة نفي الشرط ، مع اختلاف جوهري يتمثل في تبديل المقدمة الثانية والنتيجة. [ 74 ] تشمل المغالطات الشكلية الأخرى تأكيد التناقض ، والمغالطة الوجودية ، ومغالطة الوسط غير الموزع . [ 75 ]

في مختلف المجالات

تُعدّ قواعد الاستدلال ذات أهمية بالغة في العديد من المجالات، لا سيما العلوم الصورية ، كالرياضيات وعلوم الحاسوب ، حيث تُستخدم لإثبات النظريات. [ 76 ] غالبًا ما تبدأ البراهين الرياضية بمجموعة من البديهيات لوصف العلاقات المنطقية بين المفاهيم الرياضية. ولإثبات النظريات، يُطبّق علماء الرياضيات قواعد الاستدلال على هذه البديهيات، بهدف إثبات أن النظريات هي نتائج منطقية. [ 77 ] وهم يُميّزون بين أنواع مختلفة من البراهين بناءً على استراتيجية الاستدلال المُستخدمة للوصول إلى نتيجة، مثل البرهان المباشر ، والبرهان بالتناقض ، والاستقراء الرياضي . [ 78 ] يستخدم المنطق الرياضي ، وهو فرع من فروع الرياضيات والمنطق، الأساليب والأطر الرياضية لدراسة قواعد الاستدلال والمفاهيم المنطقية الأخرى. [ 79 ]

يعتمد علم الحاسوب أيضًا على الاستدلال الاستنتاجي، حيث يوظف قواعد الاستدلال لإثبات النظريات والتحقق من صحة الخوارزميات . [ 80 ] تسمح أطر البرمجة المنطقية ، مثل برولوج ، للمطورين بتمثيل المعرفة واستخدام الحوسبة لاستخلاص النتائج وحل المشكلات. [ 81 ] غالبًا ما تتضمن هذه الأطر مُثبتًا آليًا للنظريات ، وهو برنامج يستخدم قواعد الاستدلال لإنشاء البراهين أو التحقق منها تلقائيًا. [ 82 ] تستخدم الأنظمة الخبيرة الاستدلال الآلي لمحاكاة عمليات اتخاذ القرار لدى الخبراء البشريين في مجالات محددة، مثل التشخيص الطبي ، وتساعد في مهام حل المشكلات المعقدة. تمتلك هذه الأنظمة قاعدة معرفية لتمثيل حقائق وقواعد المجال، وتستخدم محرك استدلال لاستخراج المعلومات ذات الصلة والاستجابة لاستفسارات المستخدم. [ 83 ]

تُعدّ قواعد الاستدلال أساسية في فلسفة المنطق فيما يتعلق بتعريف النتيجة المنطقية ، التي تصف العلاقة بين مقدمات الحجة الاستنتاجية الصحيحة ونتيجتها. وتناقش نظريات مختلفة حول هذا المفهوم طبيعته والشروط التي يوجد في ظلها. فبحسب المفهوم الاستنتاجي، تُعرَّف النتيجة المنطقية من خلال قواعد الاستدلال: إذ تتبع النتيجة منطقيًا من مجموعة من المقدمات إذا أمكن استنتاجها عبر سلسلة من خطوات الاستدلال. في المقابل، يركز المفهوم النموذجي على كيفية تفسير المفردات غير المنطقية للعبارات . ووفقًا لهذا الرأي، تعني النتيجة المنطقية استحالة وجود أمثلة مضادة: فلا يوجد تفسير تكون فيه المقدمات صحيحة والنتيجة خاطئة. [ 84 ] ويتناول موضوع ذو صلة في نظرية المعرفة المنطقية مسألة كيفية تبرير أن قاعدة القياس الاستدلالي (modus ponens) وغيرها من قواعد الاستدلال تُعدّ أشكالًا مقبولة من الاستدلال الصحيح. [ 85 ]

يدرس علماء النفس المعرفي العمليات العقلية، بما في ذلك الاستدلال المنطقي . وهم مهتمون بكيفية استخدام البشر لقواعد الاستدلال للوصول إلى استنتاجات، ويدرسون العوامل التي تؤثر على صحة الاستنتاج وكفاءته. على سبيل المثال، يلاحظون أن الناس أكثر براعة في استخدام قاعدة الاستدلال القائم على الأدلة (modus ponens) من قاعدة الاستدلال النفيي (modus tollens) ، مما يؤدي إلى ارتفاع معدل الاستدلالات الناجحة. ويركز موضوع ذو صلة على التحيزات التي تدفع الأفراد إلى الخلط بين المغالطات المنطقية والحجج الصحيحة. فعلى سبيل المثال، غالبًا ما تُقبل المغالطات من النوع الذي يؤكد النتيجة وينفي المقدمة على أنها صحيحة عن طريق الخطأ. كما يعتمد تقييم الحجج على المعنى الملموس للقضايا: فمن المرجح أن يقبل الأفراد المغالطة إذا بدت نتيجتها معقولة. [ 86 ]

تُعدّ قواعد الاستدلال ذات صلة بمجال القانون أيضاً ، إذ تُستخدم لإثبات صحة الحجة أو لتقويض موقف الخصم من خلال كشف المغالطات المنطقية. مع ذلك، لا يقتصر الاستدلال القانوني على الاستدلالات الاستنتاجية البحتة، بل يشمل جوانب أخرى كالقواعد القانونية ومعايير الإثبات التي تتجاوز المنطق الصوري البحت. [ 87 ]

انظر أيضاً

مراجع

ملحوظات

  1. ↑ على النقيض من ذلك، تدعم الحجج غير الاستنتاجية النتيجة دون ضمان صحتها، مثل الاستدلال الاستقرائي والاستدلال. يلعب الاستدلال غير الاستنتاجي دورًا محوريًا في العلوم التجريبية، بينما يُستخدم الاستدلال الاستنتاجي، الذي يتبع قواعد الاستدلال، بشكل أكثر شيوعًا في العلوم الصورية . [ 3 ]
  2. ↑ الرمز→{\displaystyle \to }في هذه الصيغة تعني إذا ... ثم ... ، معبرة عن دلالة مادية . [ 7 ]
  3. ↑ يستنتج التجسيد الشامل عبارة عن فرد معين من ادعاء شامل، كما في الحجة "يجب على الجميع دفع الضرائب. لذلك، يجب على ويسلي دفع الضرائب." [ 10 ]
  4. ↑ يُوضع التعبير quod erat demonstrandum (المختصر بـ QED ) أحيانًا في نهاية البراهين للإشارة إلى أن الفرضية الأصلية قد تم إثباتها. [ 13 ]
  5. ↑ توجد استراتيجيات مختلفة تُستخدم لصياغة البراهين. على سبيل المثال، يسعى البرهان بالتناقض إلى إثبات نتيجة ما من خلال إظهار أن نفيها متناقض. [ 15 ]
  6. ↑ المعامل المنطقي أو الثوابت هي تعبيرات تستخدم لتكوين وربط القضايا، مثل ليس ، أو ، وإذا ... فإن... . [ 16 ]
  7. ↑ وفقًا لتعريف ضيق، فإن قواعد الاستدلال لا تشمل سوى قواعد التضمين، ولا تشمل قواعد الاستبدال. [ 19 ]
  8. ↑ يستخدم علماء المنطق الرموز¬{\displaystyle \lnot }أو∼{\displaystyle \sim }للتعبير عن النفي. [ 20 ]
  9. ↑ تُعبّر قواعد الاستبدال أحيانًا باستخدام فاصلة منقوطة مزدوجة. على سبيل المثال، يمكن كتابة قاعدة النفي المزدوج على النحو التالي:P::¬¬P{\displaystyle P::\lnot \lnot P}[ 21 ]​
  10. ↑ بالإضافة إلى ذلك، قد تحدد الأنظمة الرسمية أيضًا بديهيات أو مخططات بديهيات . [ 32 ]
  11. ↑ يمكن أن يكون للأنظمة الرسمية قيود فيما يتعلق بما يمكن إثباته وما لا يمكن إثباته فيها، مثل القيود التي أشار إليها كورت غودل فيما يتعلق بالأنظمة الرسمية التي تشفر العمليات الحسابية . [ 34 ]
  12. ↑ يفترض هذا المثال أنأ{\displaystyle a}يشير إلى فرد في مجال الخطاب .
  13. ↑ يتمثل أحد الفروق المهمة بين منطق الرتبة الأولى ومنطق الرتبة الثانية في أن منطق الرتبة الثانية غير مكتمل ، مما يعني أنه لا يمكن توفير مجموعة محدودة من قواعد الاستدلال التي يمكن من خلالها استنتاج كل نظرية. [ 54 ]
  14. ↑ يُعرف هذا الوضع أيضًا باسم الانفجار الاستنتاجي . [ 59 ]
  15. ↑ يُعدّ ترميز فيتش طريقةمؤثرة لعرض البراهين في أنظمة الاستدلال الطبيعي. [ 66 ]

الاقتباسات

  1. ↑
  2. ↑
  3. ↑
  4. 1 2
  5. ↑ شومان 2023 ، الصفحات 301-302 
  6. ↑ هيرلي 2016 ، ص 303 
  7. ↑ ماغنوس وباتون 2021 ، ص 32
  8. ↑
  9. ^ سورنسن وأورزيكزين 2006 ، ص 161-162 
  10. 1 2 3
  11. ↑
  12. ↑
  13. ↑ فريق عمل MW 2026
  14. ↑
  15. ^ ديبونيس 2025 ، ص 32 – 33 ، 56 
  16. ↑ هيرلي 2016 ، الصفحات 238-239
  17. ↑
  18. ↑
  19. ↑ آرثر 2016 ، الصفحات 165-166
  20. ↑
  21. ↑ هيرلي 2016 ، الصفحات 323-252
  22. ↑
  23. ↑
  24. ↑ إبستين وكينغ 2002 ، الصفحات 1-2، 38 
  25. ↑
  26. ↑
  27. ↑
  28. ↑
  29. ↑
  30. ↑
  31. ↑
  32. ↑ هودل 2013 ، ص 7 
  33. ↑
  34. ↑ مور 2022 ، الصفحات 1-9 
  35. ↑
  36. ↑ كوك 2009 ، ص 287 
  37. ↑
  38. ↑
  39. ↑
  40. ↑
  41. ↑
  42. ↑
  43. ↑
  44. ↑
  45. ↑
  46. ↑
  47. ↑ غارسون 2024 ، § 3. المنطق الواجب
  48. ↑
  49. ^ أوريجان 2017 ، ص 90-91 ، 103 
  50. ^ باريو وبيلوس 2021 ، ص 261-262 
  51. ↑
    • سميث 2022 ، القسم الرئيسي، § 3. موضوع المنطق: "القياسات المنطقية"
    • غروارك ، القسم التمهيدي، § 3. من الكلمات إلى القضايا، § 4. أنواع القضايا، § 9. القياس المنطقي
  52. ↑
  53. ^ فانانن 2024 ، القسم الرئيسي، § 1. المقدمة
  54. ↑
  55. ↑ بولارد 2015 ، ص 98 
  56. ↑
  57. ^ مونتيل وآخرون. 2007 ، ص. 137 
  58. ↑
  59. ^ كارنيلي وكونيجليو 2016 ، ص. تاسعا 
  60. ↑
  61. ↑
  62. ↑
  63. ↑
  64. ↑
  65. ↑
  66. ↑ أكيبا 2024 ، ص 7 
  67. ↑
  68. ↑
  69. ↑ سموليان 2014 ، الصفحات 102-103 
  70. ↑
  71. ↑
  72. 1 2
  73. ↑
  74. ↑
  75. ↑
  76. ↑
  77. ↑
  78. ^ ديبونيس 2025 ، ص 17-18 
  79. ↑
  80. ↑
  81. ↑
  82. ↑
  83. ↑
  84. ↑
  85. ↑
  86. ↑
  87. ↑

مصادر