الجذر التربيعي لـ 5

الجذر التربيعي للعدد 5 ، ويرمز له بـ ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$، هو العدد الحقيقي الموجب الذي إذا ضُرب في نفسه، يعطي العدد الطبيعي 5. إلى جانب مرافقه${\displaystyle -{\sqrt {5}}}$، فهو يحل المعادلة التربيعية${\displaystyle x^{2}-5=0}$مما يجعله عددًا صحيحًا تربيعيًا ، وهو نوع من الأعداد الجبرية .${\displaystyle {\sqrt {5}}}$العدد ⁠ هو عدد غير نسبي ، أي أنه لا يمكن كتابته على شكل كسر من الأعداد الصحيحة . ^{[ 1 ]} الأرقام الثلاثون الأولىالمعنوية من تمثيله العشري هي: ^{[ 2 ]}

طول ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$يمكن إنشاء ⁠ كقطر لـ ⁠${\displaystyle 2\times 1}$مستطيل الوحدة .​​${\displaystyle {\sqrt {5}}}$كما يظهر هذا المفهوم في جميع أنحاء الهندسة المترية للأشكال ذات التناظر الخماسي؛ فالنسبة بين قطر وضلع الخماسي المنتظم هي النسبة الذهبية .${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$⁠ .

الجذر التربيعي للعدد 5 هو عدد غير نسبي ، مما يعني أنه لا يمكن تمثيله بدقة على شكل كسر .${\displaystyle x/y}$أين​​${\displaystyle x}$و​​${\displaystyle y}$هي أعداد صحيحة .ومع ذلك، يمكن تقريبها بدقة تعسفية بواسطة هذه الأعداد النسبية .

تُعدّ الحلول الصحيحة لمعادلات بيل من التقريبات الجيدة بشكل خاص .

${\displaystyle x^{2}-5y^{2}=1\quad {\text{و}}\quad x^{2}-5y^{2}=-1,}$

والتي يمكن إعادة ترتيبها جبريًا إلى الشكل التالي:

${\displaystyle {\frac {x}{y}}={\sqrt {5\pm {\frac {1}{y^{2}}}}}.}$

على سبيل المثال، التقريب ⁠${\displaystyle \textstyle 2={\sqrt {5-1}}}$، والتي تبلغ دقتها حوالي 10%، تحقق معادلة بيل السالبة ،${\displaystyle \textstyle 2^{2}-5\cdot 1^{2}=4-5=-1}$وبالمثل ، فإن التقريب${\displaystyle \textstyle {\tfrac {9}{4}}={\sqrt {5+{\tfrac {1}{16}}}}=2.25}$، والتي تبلغ دقتها 1%، تحقق المعادلة الموجبة ،${\displaystyle \textstyle 9^{2}-5\cdot 4^{2}=81-80=1}$⁠ . هذان التقريبان هما الحلول الأساسية لكل معادلة من معادلات بيل، والتي ترتبط بها حلول إضافية جبريًا .

يمكن أيضًا إيجاد حلول لمعادلات بيل بشكل منهجي باتباع خوارزمية إقليدس ، مما ينتج عنه الكسر المستمر البسيط لـ ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$⁠ , ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\sqrt {5}}=[2;4,4,4,\ldots {}]=2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{{\vphantom {x}} \atop \displaystyle \ddots }}}}}}}.}$

كل خطوة${\displaystyle n}$ينتج عن الخوارزمية تقريبًا أفضل${\displaystyle x_{n}/y_{n}}$، أحد التقاربات (التقييمات الجزئية) لهذا الكسر المستمر. هذه سلسلة من أفضل التقريبات النسبية لـ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$كل منها أكثر دقة من أي تقريب كسري آخر له نفس المقام أو مقام أصغر. وهي تعطي جميع حلول معادلات بيل، التي تحقق ⁠${\displaystyle \textstyle x_{n}^{2}-5y_{n}^{2}=(-1)^{n}}$[ ^{4 ] أول عدة متقاربات} للكسر المستمر هي: ^{[ 5 ]}

⁠${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$⁠	⁠${\displaystyle 0}$⁠	⁠${\displaystyle 1}$⁠	⁠${\displaystyle 2}$⁠	⁠${\displaystyle 3}$⁠	⁠${\displaystyle 4}$⁠	⁠${\displaystyle 5}$⁠	⁠${\displaystyle 6}$⁠	⁠${\displaystyle 7}$⁠	⁠${\displaystyle 8}$⁠	⁠${\displaystyle 9}$⁠	⁠${\displaystyle \ldots }$⁠
⁠${\displaystyle {\frac {{\boldsymbol {x_{n}}}{\vphantom {t}}}{\boldsymbol {y_{n}}}}}$⁠	${\displaystyle {\frac {1}{0}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{1}}}$	${\displaystyle {\frac {9}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {38}{17}}}$	${\displaystyle {\frac {161}{72}}}$	${\displaystyle {\frac {682}{305}}}$	${\displaystyle {\frac {2889}{1292}}}$	${\displaystyle {\frac {12238}{5473}}}$	${\displaystyle {\frac {51841}{23184}}}$	${\displaystyle {\frac {219602}{98209}}}$	${\displaystyle \ldots }$

في النهاية ، تتقارب هذه التقريبات إلى${\displaystyle {\sqrt {5}}}$أي أن​${\displaystyle \textstyle \lim _{n\to \infty }x_{n}/y_{n}={\sqrt {5}}}$⁠ .

إحدى أقدم طرق حساب الجذر التربيعي لعدد ما${\displaystyle d}$^تبدأ الطريقة البابلية [ ^{6 ]} بتخمين أولي .${\displaystyle x_{0}}$وفي كل خطوة، يتم إيجاد تقريب جديد عن طريق حساب متوسط ​​التقريب السابق و${\displaystyle d}$مضروبًا في مقلوبه،​${\displaystyle x_{n+1}={\tfrac {1}{2}}(x_{n}+d/x_{n})}$هذه حالة خاصة بالنسبة للدالة${\displaystyle \textstyle f(x)=x^{2}-d}$، من طريقة نيوتن لإيجاد جذر دالة اختيارية. بالنسبة لتخمين نموذجي، يتقارب التقريب تربيعيًا (يتضاعف تقريبًا عدد الأرقام الصحيحة في كل خطوة). ^{[ 7 ]}

التخمين الأولي تعسفي إلى حد ما، ولكن عند تقريب ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$بهذه الطريقة، عادةً${\displaystyle x_{0}=2}$يتم اختيار ⁠ . ^{[ 8 ]} وبهذا الاختيار، فإن ⁠${\displaystyle n}$التقريب من الرتبة n يساوي التقريب من الرتبة n${\displaystyle 2^{n}}$التقارب النوني للكسر المستمر لـ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$[ ⁹ ]^​​

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&={\frac {2}{1}}&\!\!x_{1}&={\frac {9}{4}}&\!\!x_{2}&={\frac {161}{72}}&\!\!x_{3}&={\frac {51841}{23184}}\\[3mu]&=2.{\color {BrickRed}0},&&=2.2{\color {BrickRed}5},&&\approx 2.236{\color {BrickRed}1},&&\approx 2.23606\,7977{\color {BrickRed}9},&\!\!\ldots ,\end{aligned}}}$

بأرقام تختلف عن التمثيل العشري لـ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$مُظلل باللون الأحمر.

النسبة الذهبية​${\displaystyle \varphi }$هو المتوسط ​​الحسابي للعدد 1 و${\displaystyle {\sqrt {5}}}$[ ^{10 ]​}${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ترتبط هذه النسبة بنسبة الذهب ومرافقها الجبري .${\displaystyle {\overline {\varphi }}}$كما هو موضح في الصيغ التالية:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {5}}&=\varphi -{\overline {\varphi }}=2\varphi -1=1-2{\overline {\varphi }},\\[5pt]\varphi &={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}={\overline {\varphi }}+{\sqrt {5}}=- {\frac {1}{~\!{\overline {\varphi }}\!~}}=1-{\overline {\varphi}},\\[5pt]{\overline {\varphi}}&={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi -{\sqrt {5}}=-{\frac {1}{\varphi }}=1-\varphi .\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ ثم الأرقام في الصيغة المغلقة لأعداد فيبوناتشي : ^{[ 11 ]}

$${\displaystyle F(n)={\frac {\varphi ^{n}-{\overline {\varphi}}^{n}}{\sqrt {5}}}.}$$

الناتج ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}{\big /}\varphi }$⁠ يوفر نمطًا مثيرًا للاهتمام من الكسور المستمرة ويرتبط بالنسب بين أعداد فيبوناتشي وأعداد لوكاس : ^{[ 12 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sqrt {5}}{\varphi }}={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}&=1.381966\dots =[1;2,1,1,1,\ldots ]\end{aligned}}}$$

تتميز المعادلات المتقاربة بأعداد لوكاس في البسط وأعداد فيبوناتشي في المقام:

$${\displaystyle {\frac {1}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {4}{3}},{\frac {7}{5}},{\frac {11}{8}},{\frac {18}{13}},{\frac {29}{21}},\ldots ,{\frac {L_{n}}{F_{n+1}}},\ldots }$$

في الحد ، $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}={\frac {L_{n+1}}{L_{n}}}=\varphi ,\qquad \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{F_{n}}}={\sqrt {5}}.}$$

وبشكل أدق، فإن التقارب إلى الكسر المستمر لـ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$( انظر قسم  التقريبات العقلانية أعلاه) هي:

${\displaystyle {\frac {2}{1}},{\frac {9}{4}},{\frac {38}{17}},{\frac {161}{72}},{\frac {682}{305}},\ldots ,{\frac {{\tfrac {1}{2}}L_{3n}}{{\tfrac {1}{2}}F_{3n}}},\ldots .}$

هندسياً ،${\displaystyle {\sqrt {5}}}$يتوافق هذا مع قطر مستطيل طول ضلعيه 1 و 2 ، كما يتضح من نظرية فيثاغورس . يمكن الحصول على مثل هذا المستطيل بتقسيم مربع إلى نصفين، أو بوضع مربعين متساويين جنبًا إلى جنب. يمكن استخدام ذلك لتقسيم شبكة مربعة إلى شبكة مربعة مائلة تحتوي على خمسة أضعاف عدد المربعات، مما يشكل أساسًا لسطح التقسيم . ^{[ 13 ]} بالإضافة إلى العلاقة الجبرية بين${\displaystyle {\sqrt {5}}}$و​${\displaystyle \varphi }$يشكل هذا الأساس للبناء الهندسي للمستطيل الذهبي من المربع، ولإنشاء خماسي منتظم بمعلومية طول ضلعه (لأن نسبة طول الضلع إلى طول القطر في الخماسي المنتظم هي ⁠${\displaystyle \varphi }$) .

بما أن وجهين متجاورين من المكعب سينفتحان إلى ⁠${\displaystyle 1\mathbin {:} 2}$المستطيل ، النسبة بين طول ضلع المكعبوأقصر مسافة من أحد رؤوسه إلى الرأس المقابل له، عند اجتياز سطح المكعب، هي${\displaystyle {\sqrt {5}}}$وعلى النقيض من ذلك، فإن أقصر مسافة عند المرور عبر الجزء الداخلي من المكعب تتوافق مع طول قطر المكعب، وهو الجذر التربيعي لثلاثة أضعاف طول الحافة. ^{​​[ 14 ]}

مستطيل ذو أبعاد جانبية${\displaystyle 1\mathbin {:} {\sqrt {5}}}$يُعد جزءًا من سلسلة المستطيلات الديناميكية ، والتي تعتمد على النسب .${\displaystyle {\sqrt {1}}}$،​​${\displaystyle {\sqrt {2}}}$،​​${\displaystyle {\sqrt {3}}}$،​​${\displaystyle {\sqrt {4}}}$،​​${\displaystyle {\sqrt {5}}}$... ويتم إنشاؤها تباعًا باستخدام قطر المستطيل الجذري السابق، بدءًا من مربع. [ ^{15 ]} يتميز المستطيل الجذري 5 بشكل خاص بإمكانية تقسيمه إلى مربع ومستطيلين ذهبيين متساويين، أو إلى مستطيلين ذهبيين بأحجام مختلفة. ^{[ 16 ] كما} يمكن تحليله إلى اتحاد مستطيلين ذهبيين متساويين يشكل تقاطعهما مربعًا. تمثل هذه الأشكال بيانيًا العلاقات الجبرية بين${\displaystyle {\sqrt {5}}}$، ⁠${\displaystyle \varphi }$و​​${\displaystyle \varphi ^{-1}}$المذكور أعلاه.

يظهر الجذر التربيعي للعدد 5 في الثوابت المثلثية المتعلقة بالزوايا في الخماسي المنتظم والعشري المنتظم، والتي عند دمجها يمكن دمجها مع زوايا أخرى تتضمن${\displaystyle {\sqrt {2}}}$و${\displaystyle {\sqrt {3}}}$لوصف جيوب وجيوب تمام كل زاوية يكون قياسها بالدرجات قابلاً للقسمة على 3 ولكن ليس على 15. ^{[ 17 ]} وأبسط هذه الجيبات وجيوب تمام الزوايا هي

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}-1)={\frac {1}{{\sqrt {5}}+1}},\\[5pt]\sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}},\\[5pt]\sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin 54^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}+1)={\frac {1}{{\sqrt {5}}-1}},\\[5pt]\sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\,.\end{aligned}}}$

لذلك، كان حساب قيمتها ذا أهمية تاريخية لإنشاء جداول حساب المثلثات .${\displaystyle {\sqrt {5}}}$يرتبط هندسياً بالمستطيلات نصف المربعة والمضلعات الخماسية، كما يظهر بشكل متكرر في صيغ الخصائص الهندسية للأشكال المشتقة منها، كما هو الحال في صيغة حجم المجسم ذي الاثني عشر وجهاً . ^{[ 14 ]}

تنص نظرية هورويتز في التقريبات الديوفانتية على أنه يمكن تقريب كل عدد غير نسبي x بعدد لا نهائي من الأعداد النسبية m / n في أبسط صورة بحيث

${\displaystyle \left|x-{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}}}$

وذلك${\displaystyle {\sqrt {5}}}$وهو الأفضل الممكن، بمعنى أنه لأي ثابت أكبر من${\displaystyle {\sqrt {5}}}$هناك بعض الأعداد غير النسبية x التي لا يوجد لها سوى عدد محدود من هذه التقريبات. ^{[ 18 ]}

يرتبط بهذا ارتباطًا وثيقًا النظرية ^{[ 19 ]} التي تنص على أنه بالنسبة لأي ثلاثة متقاربات متتالية ⁠ p _i / q _i ⁠ ، ⁠ p _{i +1} / q _{i +1} ⁠ ، ⁠ p _{i +2} / q _{i +2} ⁠ ، لعدد α ، فإن واحدة على الأقل من المتباينات الثلاثة تتحقق:

${\displaystyle \left|\alpha -{p_{i} \over q_{i}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i}^{2}},\quad \left|\alpha -{p_{i+1} \over q_{i+1}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i+1}^{2}},\quad \left|\alpha -{p_{i+2} \over q_{i+2}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i+2}^{2}}.}$

و${\displaystyle {\sqrt {5}}}$يُعدّ الحدّ في المقام أفضل حدّ ممكن، إذ إنّ تقاربات النسبة الذهبية تجعل الفرق في الطرف الأيسر قريبًا جدًا من القيمة في الطرف الأيمن. وبالتحديد، لا يمكن الحصول على حدّ أدقّ من خلال النظر في متواليات من أربعة تقاربات متتالية أو أكثر. ^{[ 19 ]}

أثبت ألكسندر كوركين ويغور إيفانوفيتش زولوتاريوف في عام 1873 أن أول عددين من أعداد لاغرانج هما الجذر التربيعي لـ 5 والجذر التربيعي لـ 8 ، وهو ما ألهم فيما بعد عمل أندريه ماركوف حول ما أصبح يُعرف باسم نظرية ماركوف . ^{[ 20 ]}

الحقلان التربيعيان ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$و​​${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {-5}}~\!{\bigr )}}$، وامتدادات الحقول للأعداد النسبية ،وحلقات الأعداد الصحيحة المرتبطة بها ،${\displaystyle \mathbb {Z} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {5}}~\!]}$و​​${\displaystyle \mathbb {Z} {\bigl [}{\sqrt {-5}}~\!]}$⁠ ، على التوالي، هي أمثلة أساسية وقد تمت دراستها على نطاق واسع.

الخاتم​${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$يحتوي على أرقام من الشكل${\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}$حيث a و b عددان صحيحان و${\displaystyle {\sqrt {-5}}}$هو العدد التخيلي${\displaystyle i{\sqrt {5}}}$تُعدّ هذه الحلقة مثالاً يُستشهد به كثيراً على مجال تكاملي ليس مجال تحليل وحيد . ^{[ 21 ]} على سبيل المثال، للعدد 6 تحليلان غير متكافئين داخل هذه الحلقة:${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1-{\sqrt {-5}})(1+{\sqrt {-5}}).\,}$

من ناحية أخرى، حلقة الأعداد الصحيحة التربيعية الحقيقية للأعداد الذهبية${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$، المجاورة للنسبة الذهبية${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$أثبت ديديكيند أن هذه المجموعة هي مجموعة إقليدية ، وبالتالي فهي مجال تحليل فريد. وهي حلقة الأعداد الصحيحة في الحقل الذهبي .${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$[ ²² ]^​​

المجال​${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-5}}],}$مثل أي حقل تربيعي آخر ، يُعدّ امتدادًا تبديليًا للأعداد النسبية. ولذلك، تضمن نظرية كرونكر-ويبر أن الجذر التربيعي للعدد خمسة يمكن كتابته كتركيبة خطية نسبية لجذور الوحدة .

${\displaystyle {\sqrt {5}}=e^{2\pi i/5}-e^{4\pi i/5}-e^{6\pi i/5}+e^{8\pi i/5}.\,}$

اعتبارًا من يناير 2022، تم حساب القيمة العددية العشرية للجذر التربيعي للعدد 5 إلى ما لا يقل عن 2.25 تريليون رقم. ^{[ 23 ]}

• النسبة الذهبية
• الجذر التربيعي
• الجذر التربيعي لـ 2
• الجذر التربيعي لـ 3
• الجذر التربيعي لـ 6
• الجذر التربيعي لـ 7
• الجذر التربيعي لـ 8
• الجذر التربيعي لـ 10