الحقل الذهبي

في الرياضيات ، $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ [ ¹^] يُطلق عليهأحيانًا اسم الحقل الذهبي ،^[²^] وهو نظام عددي ^يتكون من مجموعة جميع الأعداد $a+b{\sqrt {5}}$ ، حيث $a$ و $b$ كلاهما أعداد نسبية و ${\sqrt {5}}$ يمثل الجذر التربيعي للعدد 5 ، بالإضافة إلى العمليات الحسابية الأساسية(الجمع والطرح والضرب والقسمة). تشترك هذه العمليات الحسابية في بعض الخصائص الهيكلية مع العمليات الحسابية لـ $\mathbb {Q}$ ، حقل الأعداد النسبية ، مما يجعل $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ وهو أيضاً نوع من أنواع الحقول . وبشكل أكثر تحديداً، هو حقل تربيعي حقيقي ، وهو حقل الامتداد لـ $\mathbb {Q}$ يتم توليدها من خلال دمج الأعداد النسبية و ${\sqrt {5}}$ باستخدام العمليات الحسابية. ويأتي الاسم من النسبة الذهبية . $\varphi$ ، عدد موجب يحقق المعادلة $\textstyle \varphi ^{2}=\varphi +1$ ، وهي الوحدة الأساسية لـ $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ ⁠ .

يمكن استخدام الحسابات في المجال الذهبي لدراسة أعداد فيبوناتشي ومواضيع أخرى متعلقة بالنسبة الذهبية، ولا سيما هندسة الخماسي المنتظم والأشكال ذات الأبعاد الأعلى ذات التناظر الخماسي .

الحساب الأساسي

عناصر الحقل الذهبي هي تلك الأعداد التي يمكن كتابتها على الصورة ⁠ $a+b{\sqrt {5}}$ أين $a$ و $b$ هي أعداد نسبية محددة بشكل فريد^{[ 3 ]} ، أو على الصورة ${\bigl (}a+b{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}{\big /}c$ أين $a$ ، $b$ ، و $c$ هي أعداد صحيحة، يمكن اختزالها بشكل فريد إلى أبسط صورة ، وحيث ${\sqrt {5}}=2.236\ldots$ ⁠ هو الجذر التربيعي للعدد 5. [^{4 ] من} الأنسب أحيانًا استخدام الصيغة ⁠ $a+b\varphi$ أين $a$ و $b$ هي عقلانية أو على شكل $(a+b\varphi )/c$ أين $a$ ، $b$ ، و $c$ هي أعداد صحيحة، وحيث $\varphi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}={}\!$ $1.618\ldots$ هي النسبة الذهبية . ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

التحويل بين هذه الأشكال البديلة أمر بسيط : $a+b{\sqrt {5}}=(ab)+(2b)\varphi$ أو ، في الاتجاه الآخر ، $a+b\varphi ={\bigl (}a+{\tfrac {1}{2}}b{\bigr )}+{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}b{\bigr )}{\sqrt {5}}$ . ^[⁷^]

لجمع أو طرح رقمين، ما عليك سوى جمع أو طرح المكونات بشكل منفصل : ^{[ 8 ]} ${\begin{aligned}{\bigl (}a_{1}+b_{1}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}+{\bigl (}a_{2}+b_{2}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}&=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2}){\sqrt {5}},\\[3mu](a_{1}+b_{1}\varphi )+(a_{2}+b_{2}\varphi )&=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\varphi .\نهاية {المحاذاة}}$

لضرب عددين، قم بالتوزيع : ^[⁸^] ${\begin{aligned}{\bigl (}a_{1}+b_{1}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}{\bigl (}a_{2}+b_{2}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}&=(a_{1}a_{2}+5b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}){\sqrt {5}},\\[3mu](a_{1}+b_{1}\varphi )(a_{2}+b_{2}\varphi )&=(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})\varphi .\end{aligned}}$

لإيجاد مقلوب عدد $\alpha$ ، قم بترشيد المقام: $1/\alpha ={}$ ${\overline {\alpha }}/\alpha {\overline {\alpha }}={}$ ${\overline {\alpha }}/\mathrm {N} (\alpha )$ ، حيث ${\overline {\alpha }}$ ⁠ هو المرافق الجبري و ⁠ $\mathrm {N} (\alpha )$ ⁠ هو معيار الحقل، كما هو مُعرَّف أدناه .^{[ 9 ]} صراحةً: ${\begin{aligned}{\frac {1}{a+b{\sqrt {5}}}}&={\frac {1}{a+b{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {a-b{\sqrt {5}}}{a-b{\sqrt {5}}}}={\frac {a}{a^{2}-5b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}-5b^{2}}}{\sqrt {5}},\\[3mu]{\frac {1}{a+b\varphi }}&={\frac {1}{a+b\varphi }}\cdot {\frac {a+b-b\varphi }{a+b-b\varphi }}={\frac {a+b}{a^{2}+ab-b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+ab-b^{2}}}\varphi .\end{aligned}}$

لتقسيم عددين ، اضرب العدد الأول في مقلوب العدد الثاني: ^{[ 9 ]} ${\begin{aligned}{\frac {a_{1}+b_{1}{\sqrt {5}}}{a_{2}+b_{2}{\sqrt {5}}}}&={\frac {a_{1}a_{2}-5b_{1}b_{2}}{a_{2}^{2}-5b_{2}^{2}}}+{\frac {-a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}}{a_{2}^{2}-5b_{2}^{2}}}{\sqrt {5}},\\[6mu]{\frac {a_{1}+b_{1}\varphi }{a_{2}+b_{2}\varphi }}&={\frac {a_{1}a_{2}+a_{1}b_{2}-b_{1}b_{2}}{a_{2}^{2}+a_{2}b_{2}-b_{2}^{2}}}+{\frac {-a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}}{a_{2}^{2}+a_{2}b_{2}-b_{2}^{2}}}\varphi .\end{aligned}}$

كما هو الحال في أي مجال ، فإن جمع وضرب الأرقام في $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ ⁠ هي خاصية تجميعية وتبديلية؛ ⁠ $0$ ⁠ هو العنصر المحايد الجمعي و ⁠ $1$ هو العنصر المحايد الضربي ؛ كل عدد $\alpha$ له معكوس جمعي $-\alpha$ ومعكوس ضربي $1/\alpha$ ⁠ ; وتتوزع عملية الضرب على عملية الجمع. العمليات الحسابية بين الأعداد في ⁠ $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ يتوافق ذلك مع حساباتهم كأعداد حقيقية ؛ أي أن $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ ⁠ هو مجال فرعي من ⁠ $\mathbb {R}$ ⁠ .

التصريف والقاعدة

الأرقام ${\sqrt {5}}$ و $-{\sqrt {5}}$ كلٌّ منهم يحل المعادلة $\textstyle x^{2}=5$ كل رقم $\alpha =a+b{\sqrt {5}}$ في $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ له مرافق جبري ${\overline {\alpha }}$ تم إيجادها عن طريق تبديل هذين الجذرين التربيعيين للعدد 5، أي عن طريق تغيير إشارة $b$ . مرافق ⁠ $\varphi$ هو ${\overline {\varphi }}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1-{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}={}$ $\textstyle -\varphi ^{-1}={}$ $1-\varphi$ العدد النسبي هو مرافقه ، $a={\overline {a}}$ . بشكل عام، يكون المرافق هو:^{[ 10 ]} ${\begin{aligned}{\overline {a+b{\sqrt {5}}}}&=a-b{\sqrt {5}},\\[3mu]{\overline {a+b\varphi }}&=a+b{\overline {\varphi }}=(a+b)-b\varphi .\end{aligned}}$ التصريف في $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ هو انقلاب، ${\overline {({\overline {\alpha }})}}=\alpha$ وهو يحافظ على بنية الحساب : ${\overline {\alpha _{1}+\alpha _{2}}}={\overline {\alpha }}_{1}+{\overline {\alpha }}_{2}$ ; ${\overline {\alpha _{1}\alpha _{2}}}={\overline {\alpha }}_{1}{\overline {\alpha }}_{2}$ و ${\overline {\alpha _{1}/\alpha _{2}}}={\overline {\alpha }}_{1}/\,{\overline {\alpha }}_{2}$ [ ¹¹^] الاقتران هو التشاكل الحلقي الوحيد^{(الدالة التي تحافظ على} بنيةالجمع والضرب) من $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ ^[¹²^] لنفسها ، بخلاف دالة التطابق .

أثر الحقل هو مجموع عدد ومرافقه (سمي بذلك لأن الضرب بعنصر في الحقل يمكن اعتباره نوعًا من التحويل الخطي، وأثر ^{مصفوفته} هو أثر الحقل). ^[¹³ ] أثر ⁠ $\alpha$ في $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ هو $\mathrm {tr} (\alpha )=\alpha +{\overline {\alpha }}$ ⁠ : ${\begin{aligned}\mathrm {tr} {\bigl (}a+b{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}&={\bigl (}a+b{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}+{\bigl (}a-b{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}=2a,\\[3mu]\mathrm {tr} (a+b\varphi )&=(a+b\varphi )+(a+b-b\varphi )=2a+b.\end{aligned}}$ هذا دائمًا عدد نسبي (عادي). ^{[ 11 ]}

المعيار الحقلي هو مقياس لقيمة العدد، وهو حاصل ضرب العدد ومرافقه. ^{[ 14 ]} معيار ⁠ $\alpha$ في $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ هو $\mathrm {N} (\alpha )=\alpha {\overline {\alpha }}$ ⁠ :^{[ 11 ]} ${\begin{aligned}\mathrm {N} {\bigl (}a+b{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}&=a^{2}-5b^{2},\\[3mu]\mathrm {N} (a+b\varphi )&=a^{2}+ab-b^{2}.\end{aligned}}$ وهذا أيضاً عدد نسبي دائماً. ^{[ 11 ]}

يحافظ المعيار على بنية الضرب، كما هو متوقع لمفهوم المقدار. معيار الضرب هو حاصل ضرب المعايير . $\operatorname {N} (\alpha _{1}\alpha _{2})=\mathrm {N} (\alpha _{1})~\!\mathrm {N} (\alpha _{2})\!$ ⁠ ; ومعيار خارج القسمة هو خارج قسمة المعايير، ⁠ $\mathrm {N} (\alpha _{1}/\alpha _{2})=\mathrm {N} (\alpha _{1}){\big /}~\!\mathrm {N} (\alpha _{2})$ العدد ومرافقه لهما نفس المعيار ، $\mathrm {N} (\alpha )=\mathrm {N} ({\overline {\alpha }})$ [ ¹¹ ]

رقم $\alpha$ في $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ ومرافقه ${\overline {\alpha }}$ هي حلول المعادلة التربيعية ^{[ 11 ]} $(x-\alpha )(x-{\overline {\alpha }})=x^{2}-\mathrm {tr} (\alpha )x+\mathrm {N} (\alpha )=0.$

في نظرية غالوا ، يمكن اعتبار الحقل الذهبي بشكل أكثر تجريدًا على أنه مجموعة جميع الأعداد $a+bu$ ، حيث $a$ و $b$ كلاهما عقلانيان، وكل ما هو معروف عن $u$ هو أنه يحقق المعادلة $\textstyle u^{2}=5$ هناك طريقتان لتضمين هذه المجموعة في الأعداد الحقيقية: عن طريق التعيين $u$ إلى الجذر التربيعي الموجب ${\sqrt {5}}$ أو بدلاً من ذلك عن طريق رسم الخرائط $u$ إلى الجذر التربيعي السالب $-{\sqrt {5}}$ . يتبادل الاقتران هذين التضمينين. وبالتالي، فإن زمرة غالوا للحقل الذهبي هي الزمرة التي تحتوي على عنصرين، وهما العنصر المحايد وعنصر هو معكوسه.^{[ 14 ]}

الأعداد الذهبية

حلقة الأعداد الصحيحة للحقل الذهبي، ⁠ $\mathbb {Z} [\varphi ]$ ^[¹⁵^] ، والتي تُسمى أحيانًا بالأعداد الذهبية ،هي مجموعة جميع الأعداد الصحيحة الجبرية في الحقل، أي تلك العناصر التي يكون لها متعدد حدود أدنى على $\mathbb {Q}$ تحتوي على معاملات صحيحة. هذه هي مجموعة الأرقام في $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ الأعداد التي يكون معيارها وأثرها أعدادًا صحيحة . $1$ و $\varphi$ تشكل أساسًا متكاملًا للحلقة، مما يعني أنه يمكن كتابة كل رقم في الحلقة بالشكل التالي: $a+b\varphi$ أين $a$ و $b$ هي أعداد صحيحة عادية . ^{[ 16 ]} أو بدلاً من ذلك، عناصر من $\mathbb {Z} [\varphi ]$ يمكن كتابتها بالشكل التالي ${\tfrac {1}{2}}a+{\tfrac {1}{2}}b{\sqrt {5}}$ ، حيث $a$ و $b$ لها نفس التكافؤ .^{[ 17 ]} مثل أي حلقة ، $\mathbb {Z} [\varphi ]$ ⁠ مغلق تحت عمليتي الجمع والضرب. ⁠ $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ ⁠ هو أصغر حقل يحتوي على ⁠ $\mathbb {Z} [\varphi ]$ ، مجال الكسور الخاص بها.

المعايير

تتضمن مجموعة جميع معايير الأعداد الذهبية كل عدد $\textstyle a^{2}+ab-b^{2}={}\!$ $\mathrm {N} (a+b\varphi )$ للأعداد الصحيحة العادية $a$ و $b$ [ ¹⁸^{] هذه هي تحديدًا الأعداد الصحيحة}^{العادية} التي تتطابق عواملها الأوليةالعادية مع $\pm 2$ modulo $5$ تحدث مع الأسس الزوجية (انظر § الأعداد الأولية وتحليلها إلى عواملها الأولية أدناه).^{[ 19 ]} المعايير الأولى للأعداد الصحيحة غير السالبة هي:^{[ 20 ]}

⁠

0

،

1

،

4

،

5

،

9

،

11

،

16

،

19

،

20

،

25

،

29

...

العدد الذهبي $0=0+0\varphi$ يُطلق عليه اسم الصفر ، وهو العنصر الوحيد في $\mathbb {Z} [\varphi ]$ مع المعيار $0$ [ ²¹ ]

قابلية القسمة

إذا $\alpha$ و $\beta$ هي أعداد ذهبية ، وهناك عدد ذهبي ما . $\gamma$ بحيث $\alpha \gamma =\beta$ نقول ذلك $\alpha$ يقسم $\beta$ ، المشار إليه $\alpha \mid \beta$ . من نواحٍ عديدة، تعمل قابلية القسمة بشكل مشابه لما هو عليه الحال بين الأعداد الصحيحة العادية، ولكن مع بعض الاختلافات المهمة، كما سيتم وصفها في الأقسام الفرعية التالية.

لأنه، مثل الأعداد الصحيحة ، $\mathbb {Z} [\varphi ]$ إذا كانت ⁠ مجالًا تكامليًا ، فإن حاصل ضرب عنصرين غير صفريين يكون دائمًا غير صفري. وبالتالي ⁠ $\mathbb {Z} [\varphi ]$ لا يوجد للعدد قواسم صفرية غير تافهة ، و $\alpha \beta =0$ يشير ذلك إلى أن إما $\alpha =0$ أو $\beta =0$ ⁠ .

الوحدات

الوحدة هي عدد صحيح جبري يقسم $1$ ، أي الذي يكون معكوسه الضربي عددًا صحيحًا جبريًا أيضًا، وهو ما يحدث عندما يكون معياره $\pm 1$ من بين الأعداد الصحيحة العادية، تُعتبر الآحاد زوجًا من الأرقام . $\pm 1$ لكن من بين الأعداد الذهبية عدد لا نهائي من الوحدات: جميع الأعداد التي تأخذ الشكل $a+b\varphi$ معاملاتها الصحيحة $a$ و $b$ حل المعادلة الديوفانتية $\textstyle a^{2}+ab-b^{2}=\pm 1$ . إذا كُتبت الوحدة بدلاً من ذلك بالشكل ⁠ ${\tfrac {1}{2}}a+{\tfrac {1}{2}}b{\sqrt {5}}$ ، وتحل معاملاتها معادلة ديوفانتية ذات صلة، وهي معادلة بيل المعممة $\textstyle a^{2}-5b^{2}=\pm 4$ الوحدة الأساسية– أصغر وحدة أكبر من $1$ - هي النسبة الذهبية $\varphi ={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {5}}$ أما الوحدات الأخرى فتتكون من قواها الموجبة والسالبة ، $\pm \varphi ^{n}$ ، لأي عدد صحيح $n$ [ ³ ]بعض قوى $\varphi$ هي :


⁠ ${\boldsymbol {n}}$ ⁠	⁠ $\ldots$ ⁠	⁠ $-2$ ⁠	⁠ $-1$ ⁠	⁠ $0$ ⁠	⁠ $1$ ⁠	⁠ $2$ ⁠	⁠ $3$ ⁠	⁠ $4$ ⁠	⁠ $\ldots$ ⁠	⁠ $n$ ⁠
⁠ ${\boldsymbol {\varphi ^{n}}}$ ⁠	⁠ $\ldots$ ⁠	⁠ $2-\varphi$ ⁠	⁠ $-1+\varphi$ ⁠	⁠ $1$ ⁠	⁠ $\varphi$ ⁠	⁠ $1+\varphi$ ⁠	⁠ $1+2\varphi$ ⁠	⁠ $2+3\varphi$ ⁠	⁠ $\ldots$ ⁠	⁠ $F_{n-1}+F_{n}\varphi$ ⁠

بشكل عام $\textstyle \varphi ^{n}=F_{n-1}+F_{n}\varphi$ ، حيث $F_{n}$ هو $n$ العدد الثاني عشر من متتالية فيبوناتشي .^{[ 22 ]} تشكل الوحدات المجموعة $\mathbb {Z} [\varphi ]^{\times }\!$ تحت عملية الضرب ، والتي يمكن تحليلها كحاصل ضرب مباشر لمجموعة دورية من الرتبة 2 مولدة بواسطة $-1$ ومجموعة دورية لانهائية مولدة بواسطة $\varphi$ ⁠ .

شركاء

عددان ذهبيان $\alpha _{1}$ و $\alpha _{2}$ تكون العناصر مترافقة إذا كان كل منها يقسم الآخر ، $\alpha _{1}\mid \alpha _{2}$ و $\alpha _{2}\mid \alpha _{1}$ . أو بعبارة أخرى، حاصل قسمتهما في $\mathbb {Q} (\varphi )$ ⁠ هي وحدة، ⁠ $\alpha _{2}=\pm \varphi ^{n}\alpha _{1}$ لبعض الأعداد الصحيحة $n$ العلاقة التشاركية هي علاقة تكافؤ . إذا $\alpha _{1}$ يقسم عددًا صحيحًا ذهبيًا $\beta$ ، وكذلك شريكه $\alpha _{2}$ إذا $\alpha _{1}\mid \beta$ ثم $\alpha _{2}\mid \beta$ ⁠ .

يخضع الموظفون لنفس المعايير، وصولاً إلى التوقيع: $|\mathrm {N} (\alpha _{1})|=|\mathrm {N} (\alpha _{2})|$ ومع ذلك ، ليست كل العناصر التي لها نفس القيمة المطلقة للمعيار عناصر مرتبطة؛ على وجه الخصوص، أي عدد أولي صحيح ذهبي ومرافقه لهما نفس المعيار، لكنهما مرتبطان إذا وفقط إذا كانا مرتبطين إما بـ ${\sqrt {5}}$ أو مع عدد أولي عادي.^{[ 19 ]}

وبشكل أعم، رقمان في $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ تكون الأعداد مرتبطة إذا كان ناتج قسمتها وحدة. مجموعة الأعداد المرتبطة بأي عدد في $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ ⁠ هو مدار أي منها تحت التأثير المضاعف لمجموعة الوحدات.

الأعداد الأولية وتحليلها إلى عواملها الأولية

العنصر الأولي في الحلقة، وهو مماثل للعدد الأولي بين الأعداد الصحيحة، هو عنصر $\gamma$ بحيث كلما $\gamma \mid \alpha \beta$ ، ثم إما $\gamma \mid \alpha$ أو $\gamma \mid \beta$ في $\mathbb {Z} [\varphi ]$ الأعداد الأولية هي ثلاثة أنواع : ${\sqrt {5}}=-1+2\varphi$ ، الأعداد الأولية الصحيحة من الشكل $p=5n\pm 2$ [ ²⁴^] حيث $n$ هو عدد صحيح، وعوامل الأعداد الأولية الصحيحة من الشكل $p=5n\pm 1$ [ ²⁵^]⁽ زوج من الأعداد المترافقة).^{[ 26 ]} على سبيل المثال ، $2$ ، $3$ ، و $7$ هي أعداد أولية، لكن $11=(3+\varphi )(4-\varphi )$ هو عدد مركب. أي من هذه الأعداد يكون مرتبطًا بأعداد أولية إضافية؛ على سبيل المثال $2\varphi$ وهو أيضًا رئيس تنفيذي، وشريك لـ $2$ [ ²³ ]

الخاتم $\mathbb {Z} [\varphi ]$ ⁠ هو مجال إقليدي تكون فيه القيمة المطلقة للمعيار هي دالته الإقليدية، مما يعني أنه يمكن استخدام نسخة من الخوارزمية الإقليدية لإيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين.^{[ 27 ]} وهذا يجعل ⁠ $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ أحد الحقول التربيعية الـ 21التي تُعتبر حقولًا معيارية إقليدية .^{[ 28 ]} ينطبقشكل من أشكال النظرية الأساسية للحساب في $\mathbb {Z} [\varphi ]$ ⁠ : يمكن كتابة كل عدد صحيح ذهبي على أنه ناتج ضرب عناصر أولية في وحدة، وهذا التحليل فريد من نوعه حتى ترتيب العوامل واستبدال أي عامل أولي بأحد العوامل المرتبطة به (مما يغير عامل الوحدة وفقًا لذلك).

المُثُل

مثال لـ $\mathbb {Z} [\varphi ]$ ⁠ هي أي مجموعة جزئية "تستوعب عملية الضرب"، وتحتوي على كل مضاعف صحيح ذهبي لكل عنصر من عناصرها. إذا ⁠ $\alpha$ ⁠ هو أي عدد صحيح ذهبي، مجموعة جميع مضاعفات العدد الصحيح الذهبي لـ ⁠ $\alpha$ ، المشار إليه $\alpha \mathbb {Z} [\varphi ]$ أو $(\alpha )$ ، هو المثال الذي تولده $\alpha$ كل عنصر مرتبط يُولّد نفس المثال، لكن العنصر غير المرتبط يُولّد مثالاً مختلفاً: أي ، $(\alpha )=(\beta )$ متى بالضبط $\textstyle \alpha =\pm \beta \varphi ^{n}$ لأن $\mathbb {Z} [\varphi ]$ ⁠ هو مجال مثالي رئيسي ، كل مثالي من ⁠ $\mathbb {Z} [\varphi ]$ يمكن توليدها بواسطة عنصر واحد. المثالي الصفري $(0)$ ⁠ هي مجموعة عنصر واحد ⁠ $\{0\}$ . المثالي $(1)$ ⁠ هو كل ⁠ $\mathbb {Z} [\varphi ]$ ⁠ .

يمكن تعريف عمليات متنوعة ضمن المُثُل. إذا ${\mathfrak {a}}$ و ${\mathfrak {b}}$ هي مُثُل $\mathbb {Z} [\varphi ]$ ثم ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}$ ⁠ هي مجموعة جميع مجاميع عنصر واحد في ⁠ ${\mathfrak {a}}$ بالإضافة إلى عنصر واحد في ${\mathfrak {b}}$ ، و ${\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ ⁠ هي مجموعة جميع مجاميع أي عدد من الحدود، كل منها هو حاصل ضرب عنصر واحد في ⁠ ${\mathfrak {a}}$ مضروبًا في عنصر واحد في ${\mathfrak {b}}$ ⁠ . ${\begin{aligned}\!{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}&=\{\alpha +\beta \mid \alpha \in {\mathfrak {a}},\,\beta \in {\mathfrak {b}}\},\\[3mu]\!{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}&={\bigl \{}{\textstyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\beta _{i}}\mathrel {\big |} n\in \mathbb {N} ,\,a_{i}\in {\mathfrak {a}},\,b_{i}\in {\mathfrak {b}}{\bigr \}}.\end{aligned}}$ إن مجموع أو حاصل ضرب مثاليين هو في حد ذاته مثالي. وضرب المثاليين هو عملية توزيع على الجمع.

وبشكل أعم، فإن المثال الكسري لـ $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ ⁠ هي مجموعة جزئية من ⁠ $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ مع خاصية أن ضرب كل عنصر بعدد صحيح ذهبي، وهو "المقام"، ينتج عنه مثالي من $\mathbb {Z} [\varphi ]$ إذا $\alpha$ ⁠ هو أي رقم في ⁠ $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ ، مجموعة مضاعفات العدد الذهبي لـ $\alpha$ ، ويرمز إليه أيضًا بـ $\alpha \mathbb {Z} [\varphi ]$ أو $(\alpha )$ ، هو المثالي الكسري الناتج عن $\alpha$ . كما هو الحال مع المُثُل التكاملية لـ $\mathbb {Z} [\varphi ]$ ، الأرقام في $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ تُولّد العناصر الكسرية نفس المثالي الكسري إذا وفقط إذا كانت مرتبطة، ويمكن توليد كل مثالي كسري بواسطة عنصر واحد. يتوافق ضرب المثالي الكسري مع ضرب مولداتها. ليكن $\textstyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}{\vphantom {)}}^{~\!\!\times }$ لتكن المجموعة الضربية للعناصر غير الصفرية من $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ ، و $U$ لتكن مجموعة الوحدات. الدالة التي تربط كل عنصر من عناصر $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}{\vphantom {)}}^{~\!\!\times }$ إلى المثالي الكسري المتولد ، $\alpha \mapsto (\alpha )$ ، يُحدث تماثلًا جماعيًا بين $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}{\vphantom {)}}^{~\!\!\times }\!{\big /}U$ ومجموعة المُثُل الكسرية.

جدول الأعداد الصحيحة

في الجدول أدناه، تم ترتيب الأعداد الذهبية الموجبة في صفوف، مع اختيار ممثل واحد لكل فئة من فئات الزملاء (هنا الممثل هو العنصر الموجب ). $\alpha$ في الصف الذي $\alpha +|{\overline {\alpha }}|$ (وهو الحد الأدنى). ^{[ 23 ]}


مندوب.	نورم	يتعقب	التحليل إلى عوامل	شركاء إيجابيون
⁠ ${\phantom {-}}0$ ⁠	⁠ ${\phantom {-}}0$ ⁠	⁠ ${\phantom {-}}0$ ⁠	صفر
⁠ ${\phantom {-}}1$ ⁠	⁠ ${\phantom {-}}1$ ⁠	⁠ ${\phantom {-}}2$ ⁠	وحدة	⁠ $\ldots$ ، $-3+2\varphi$ ، $2-\varphi$ ، $-1+\varphi$ ; $\varphi$ ، $1+\varphi$ ، $1+2\varphi$ ، $\ldots$ ⁠
⁠ ${\phantom {-}}2$ ⁠	⁠ ${\phantom {-}}4$ ⁠	⁠ ${\phantom {-}}4$ ⁠	برايم	⁠ $\ldots$ ، $4-2\varphi$ ، $-2+2\varphi$ ; $2\varphi$ ، $2+2\varphi$ ، $\ldots$ ⁠
⁠ $-1+2\varphi$ ⁠	⁠ $-5$ ⁠	⁠ ${\phantom {-}}0$ ⁠	برايم	⁠ $\ldots$ ، $-4+3\varphi$ ، $3-\varphi$ ; $2+\varphi$ ، $1+3\varphi$ ، $\ldots$ ⁠
⁠ ${\phantom {-}}3$ ⁠	⁠ ${\phantom {-}}9$ ⁠	⁠ ${\phantom {-}}6$ ⁠	برايم	⁠ $\ldots$ ، $6-3\varphi$ ، $-3+3\varphi$ ; $3\varphi$ ، $3+3\varphi$ ، $\ldots$ ⁠
⁠ $-1+3\varphi$ ⁠	⁠ $-11$ ⁠	⁠ ${\phantom {-}}1$ ⁠	برايم	⁠ $\ldots$ ، $-5+4\varphi$ ، $4-\varphi$ ; $3+2\varphi$ ، $2-5\varphi$ ، $\ldots$ ⁠
⁠ $-2+3\varphi$ ⁠	⁠ $-11$ ⁠	⁠ $-1$ ⁠	برايم	⁠ $\ldots$ ، $-7+5\varphi$ ، $5-2\varphi$ ; $3+\varphi$ ، $1+4\varphi$ ⁠ ⁠ $\ldots$ ⁠
⁠ ${\phantom {-}}4$ ⁠	⁠ ${\phantom {-}}16$ ⁠	⁠ ${\phantom {-}}8$ ⁠	⁠ $2^{2}$ ⁠	⁠ $\ldots$ ، $8-4\varphi$ ، $-4+4\varphi$ ; $4\varphi$ ، $4+4\varphi$ ، $\ldots$ ⁠
⁠ $-1+4\varphi$ ⁠	⁠ $-19$ ⁠	⁠ ${\phantom {-}}2$ ⁠	برايم	⁠ $\ldots$ ، $-6+5\varphi$ ، $5-\varphi$ ; $4+3\varphi$ ، $3+7\varphi$ ، $\ldots$ ⁠
⁠ $-3+4\varphi$ ⁠	⁠ $-19$ ⁠	⁠ $-2$ ⁠	برايم	⁠ $\ldots$ ، $-10+7\varphi$ ، $7-3\varphi$ ; $4+\varphi$ ، $1+5\varphi$ ، $\ldots$ ⁠
⁠ $-2+4\varphi$ ⁠	⁠ $-20$ ⁠	⁠ ${\phantom {-}}0$ ⁠	⁠ $2(-1+2\varphi )$ ⁠	⁠ $\ldots$ ، $-8+6\varphi$ ، $6-2\varphi$ ; $4+2\varphi$ ، $2+6\varphi$ ، $\ldots$ ⁠
⁠ ${\phantom {-}}5$ ⁠	⁠ ${\phantom {-}}25$ ⁠	⁠ ${\phantom {-}}10$ ⁠	⁠ $(-1+2\varphi )^{2}$ ⁠	⁠ $\ldots$ ، $10-5\varphi$ ، $-5+5\varphi$ ; $5\varphi$ ، $5+5\varphi$ ، $\ldots$ ⁠
⁠ ${\phantom {-}}5+\varphi$ ⁠	⁠ ${\phantom {-}}29$ ⁠	⁠ ${\phantom {-}}11$ ⁠	برايم	⁠ $\ldots$ ، $9-4\varphi$ ، $-4+5\varphi$ ; $1+6\varphi$ ، $6+7\varphi$ ، $\ldots$ ⁠
⁠ ${\phantom {-}}6-\varphi$ ⁠	⁠ ${\phantom {-}}29$ ⁠	⁠ ${\phantom {-}}11$ ⁠	برايم	⁠ $\ldots$ ، $13-7\varphi$ ، $-7+6\varphi$ ; $-1+5\varphi$ ، $5+4\varphi$ ، $\ldots$ ⁠
⁠ $-2+5\varphi$ ⁠	⁠ $-31$ ⁠	⁠ ${\phantom {-}}1$ ⁠	برايم	⁠ $\ldots$ ، $-9+7\varphi$ ، $7-2\varphi$ ; $5+3\varphi$ ، $3+8\varphi$ ، $\ldots$ ⁠
⁠ $-3+5\varphi$ ⁠	⁠ $-31$ ⁠	⁠ $-1$ ⁠	برايم	⁠ $\ldots$ ، $-11+8\varphi$ ، $8-3\varphi$ ; $5+2\varphi$ ، $2+7\varphi$ ، $\ldots$ ⁠
⁠ ${\phantom {-}}6$ ⁠	⁠ ${\phantom {-}}36$ ⁠	⁠ ${\phantom {-}}12$ ⁠	⁠ $2\cdot 3$ ⁠	⁠ $\ldots$ ، $12-6\varphi$ ، $-6+6\varphi$ ; $6\varphi$ ، $6+6\varphi$ ، $\ldots$ ⁠
⁠ ${\phantom {-}}6+\varphi$ ⁠	⁠ ${\phantom {-}}41$ ⁠	⁠ ${\phantom {-}}13$ ⁠	برايم	⁠ $\ldots$ ، $11-5\varphi$ ، $-5+6\varphi$ ; $1+7\varphi$ ، $7+8\varphi$ ، $\ldots$ ⁠
⁠ ${\phantom {-}}7-\varphi$ ⁠	⁠ ${\phantom {-}}41$ ⁠	⁠ ${\phantom {-}}13$ ⁠	برايم	⁠ $\ldots$ ، $15-8\varphi$ ، $-8+7\varphi$ ; $-1+6\varphi$ ، $6+5\varphi$ ، $\ldots$ ⁠
⁠ $-2+6\varphi$ ⁠	⁠ $-44$ ⁠	⁠ ${\phantom {-}}2$ ⁠	⁠ $2(-1+3\varphi )$ ⁠	⁠ $\ldots$ ، $-10+8\varphi$ ، $8-2\varphi$ ; $6+4\varphi$ ، $4+10\varphi$ ، $\ldots$ ⁠
⁠ $-4+6\varphi$ ⁠	⁠ $-44$ ⁠	⁠ $-2$ ⁠	⁠ $2(-2+3\varphi )$ ⁠	⁠ $\ldots$ ، $-14+10\varphi$ ، $10-4\varphi$ ; $6+2\varphi$ ، $2+8\varphi$ ، $\ldots$ ⁠
⁠ $-3+6\varphi$ ⁠	⁠ $-45$ ⁠	⁠ $0$ ⁠	⁠ $3(-1+2\varphi )$ ⁠	⁠ $\ldots$ ، $-12+9\varphi$ ، $9-3\varphi$ ; $6+3\varphi$ ، $3+9\varphi$ ، $\ldots$ ⁠
⁠ ${\phantom {-}}7$ ⁠	⁠ $49$ ⁠	⁠ $14$ ⁠	برايم	⁠ $\ldots$ ، $14-7\varphi$ ، $-7+7\varphi$ ; $7\varphi$ ، $7+7\varphi$ ، $\ldots$ ⁠
⁠ ${\phantom {-}}7+\varphi$ ⁠	⁠ ${\phantom {-}}55$ ⁠	⁠ $15$ ⁠	⁠ $(-1+2\varphi )(-1+3\varphi )$ ⁠	⁠ $\ldots$ ، $13-6\varphi$ ، $-6+7\varphi$ ; $1+8\varphi$ ، $8+9\varphi$ ، $\ldots$ ⁠
⁠ ${\phantom {-}}8-\varphi$ ⁠	⁠ ${\phantom {-}}55$ ⁠	⁠ $15$ ⁠	⁠ $(-1+2\varphi )(-2+3\varphi )$ ⁠	⁠ $\ldots$ ، $17-9\varphi$ ، $-9+8\varphi$ ; $-1+7\varphi$ ، $7+6\varphi$ ، $\ldots$ ⁠
⁠ $-2+7\varphi$ ⁠	⁠ $-59$ ⁠	⁠ $3$ ⁠	برايم	⁠ $\ldots$ ، $-11+9\varphi$ ، $9-2\varphi$ ; $7+5\varphi$ ، $5+12\varphi$ ، $\ldots$ ⁠
⁠ $-5+7\varphi$ ⁠	⁠ $-59$ ⁠	⁠ $-3$ ⁠	برايم	⁠ $\ldots$ ، $-17+12\varphi$ ، $12-5\varphi$ ; $7+2\varphi$ ، $2+9\varphi$ ، $\ldots$ ⁠
⁠ $\quad \!\vdots$ إظهار /إخفاء المزيد من الصفوف

تمثيل المصفوفة

⁠ $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ ⁠ هو فضاء متجهي ثنائي الأبعادعلى ⁠ $\mathbb {Q}$ ، والضرب بأي عنصر من عناصر $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ يمثل تحويلاً خطياً لفضاء المتجهات هذا. بالنظر إلى أساس مرتب لـ $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ ، كل رقم في $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ يمكن ربط ⁠ بمصفوفة التحويل المناظرة في تلك القاعدة. وهذا يُعرّف تماثلًا حقليًا ( خريطة تقابلية تحافظ على البنية ) من ⁠ $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ إلى مساحة $2\times 2$ المصفوفات المربعة ذات المدخلات النسبية التي تمتد بواسطة مصفوفة الوحدة $\mathbf {I}$ ، صورة الرقم $1$ ، ومصفوفة $\mathbf {\Phi }$ ، صورة $\varphi$ [ ²⁹^] وهكذا^يكون حساب الأعداد في $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ يمكن تمثيل العدد ⁠ بدلاً من ذلك عن طريق العمليات الحسابية لهذه المصفوفات.^{[ 30 ]} في هذا السياق، العدد ⁠ $\alpha =a+b\varphi$ يتم تمثيلها بواسطة المصفوفة $\mathbf {A} =a\mathbf {I} +b\mathbf {\Phi }$ [ ³¹ ] اختيار ^مناسب كأساس^لـ $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ هو $(1,\varphi )$ ، من حيث $\mathbf {\Phi }$ هي مصفوفة متناظرة :^{[ 32 ]} ${\begin{aligned}&\mathbf {I} ={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {\Phi } ={\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {A} =a\mathbf {I} +b\mathbf {\Phi } ={\begin{bmatrix}a&b\\b&a+b\end{bmatrix}}.\quad \end{aligned}}$

المصفوفة المرافقة ${\overline {\mathbf {\Phi } }}=\mathbf {I} -\mathbf {\Phi }$ يمثل المرافق الجبري ${\overline {\varphi }}=1-\varphi$ ، المصفوفة $\mathbf {R} =-\mathbf {I} +2\mathbf {\Phi }$ ( مرضي ) $\textstyle \mathbf {R} ^{2}=5\mathbf {I}$ ) يمثل ${\sqrt {5}}$ [ ^{33 ]} ومرافق عنصر ^عشوائي $\mathbf {A}$ ، والتي سنرمز لها بـ ${\overline {\mathbf {A} }}=a\mathbf {I} +b{\overline {\mathbf {\Phi } }}$ يمثل الرقم ${\overline {\alpha }}=a+b{\overline {\varphi }}$ ⁠ : ${\begin{aligned}&\mathbf {R} ={\begin{bmatrix}-1&2\\2&1\end{bmatrix}},\quad {\overline {\mathbf {\Phi } }}={\begin{bmatrix}~1&-1\\-1&\,0\end{bmatrix}},\quad {\overline {\mathbf {A} }}=a\mathbf {I} +b{\overline {\mathbf {\Phi } }}={\begin{bmatrix}a+b&-b~\\-b&~a\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

كل مصفوفة $\mathbf {A} =a\mathbf {I} +b\mathbf {\Phi }$ ، باستثناء المصفوفة الصفرية ، قابلة للعكس ، ومعكوسها $\textstyle \mathbf {A} ^{-1}={\bigl (}1/\mathrm {det} (\mathbf {A} ){\bigr )}{\overline {\mathbf {A} }}$ يمثل المعكوس الضربي $\textstyle \alpha ^{-1}={\overline {\alpha }}/\mathrm {N} (\alpha )$ في $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ [ ³⁴ ]

إذا $\alpha =a+b\varphi$ ⁠ هو عنصر من ⁠ $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ ، مع المرافق ${\overline {\alpha }}=a+b{\overline {\varphi }}$ ثم المصفوفة $\mathbf {A} =a\mathbf {I} +b\mathbf {\Phi }$ يحتوي على الأرقام $\alpha$ و ${\overline {\alpha }}$ كقيمها الذاتية. أثرها هو $\mathrm {tr} (\mathbf {A} )={}\!$ $2a+b={}\!$ $\mathrm {tr} (\alpha )$ [ ³⁵^] محددها هو $\mathrm {det} (\mathbf {A} )={}\!$ $\textstyle a^{2}+ab-b^{2}={}\!$ $\mathrm {N} (\alpha )$ . متعددة الحدود المميزة لـ ⁠ $\mathbf {A}$ هو $(x-\alpha )(x-{\overline {\alpha }})$ ، وهو الحد الأدنى لكثير الحدود لـ $\alpha$ و ${\overline {\alpha }}$ كلما $b$ لا يساوي الصفر. وتشترك المصفوفة المرافقة في هذه الخصائص . ${\overline {\mathbf {A} }}$ منتجهم هو $\mathbf {A} {\overline {\mathbf {A} }}=\mathrm {det} (\mathbf {A} )\mathbf {I}$ [ ³⁰ ]^[²⁹^]

وقد دُرست هذه المصفوفات بشكل خاص في سياق أعداد فيبوناتشي . $F_{n}$ وأرقام لوكاس $L_{n}$ والتي تظهر كمدخلات في $\textstyle \mathbf {\Phi } ^{n}$ و $\textstyle \mathbf {\Phi } ^{n}\mathbf {R}$ ، على التوالي: ${\begin{aligned}\mathbf {\Phi } ^{n}&=F_{n-1}\mathbf {I} +F_{n}\mathbf {\Phi } ={\begin{bmatrix}F_{n-1}&F_{n}~\\F_{n}~&F_{n+1}\end{bmatrix}},&\mathrm {tr} (\mathbf {\Phi } ^{n})&=L_{n},\\[8mu]\mathbf {\Phi } ^{n}\mathbf {R} &=L_{n-1}\mathbf {I} +L_{n}\mathbf {\Phi } ={\begin{bmatrix}L_{n-1}&L_{n}~\\L_{n}~&L_{n+1}\end{bmatrix}},&\mathrm {tr} (\mathbf {\Phi } ^{n}\mathbf {R} )&=5F_{n}.\end{aligned}}$ قوى $\mathbf {\Phi }$ تُسمى أحيانًا مصفوفات فيبوناتشي .^{[ 36 ]}

كل مصفوفة من الشكل ⁠ $a\mathbf {I} +b\mathbf {\Phi }$ لها متجهات ذاتية تشير إلى الاتجاهات $\textstyle {\begin{bmatrix}1&\!\varphi \end{bmatrix}}{}^{\mathsf {T}}$ و $\textstyle {\begin{bmatrix}1&\!{\overline {\varphi }}\end{bmatrix}}{}^{\mathsf {T}}\!$ [ ³⁷^] عندما^تكون الأرقام في $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ يتم تمثيل القيم ، كما هو موضح أعلاه ، في نظام إحداثيات حيث تمثل قيمها كأعداد حقيقية المحور الأفقي، وقيم مرافقاتها المحور الرأسي، وتشير المتجهات الذاتية على طول هذين المحورين. (الصفر هو العدد الوحيد $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ ( مباشرة على أي من المحورين. ) المصفوفات $\mathbf {\Phi } ^{2n}$ للأعداد الصحيحة $n$ ، التي تمثل الوحدات، وبشكل أعم أي مصفوفات تحتوي على $a+b\varphi >0$ والمحدد $1$ ، هي دوال ضغط ، تعمل على تمديد المستوى على طول محور واحد وضغطه على طول المحور الآخر، مما يؤدي إلى تثبيت القطوع الزائدة ذات المعيار الثابت. المصفوفات ⁠ $\mathbf {\Phi } ^{2n+1}$ وبشكل أعم ، المصفوفات التي تحتوي على $a+b\varphi >0$ والمحدد $-1$ ، هي عبارة عن تركيب لعملية ضغط وانعكاس رأسي . مصفوفة الوحدة السالبة $-\mathbf {I}$ هي انعكاس نقطي حول نقطة الأصل. بشكل عام، أي مصفوفة أخرى $a\mathbf {I} +b\mathbf {\Phi }$ يمكن تحليلها على أنها ناتج عن عملية ضغط، وربما انعكاس، وقياس موحد بواسطة الجذر التربيعي للقيمة المطلقة لمحددها.

خصائص أخرى

الحقل الذهبي هو حقل المعادلات التربيعية الحقيقية ذو أصغر مميز ، $\Delta _{\mathbb {Q} \left(~\!\!{\sqrt {5}}\right)}=5$ [ ³⁸^] لها رقم فئة 1 ،مما يعني أن حلقة الأعداد الصحيحة الجبرية الخاصة بها هي^مجال مثالي رئيسي ومجال تحليل فريد .^[³⁹^]

يمكن كتابة أي عنصر موجب في الحقل الذهبي كنوع معمّم من الكسور المستمرة ، حيث تكون نواتج القسمة الجزئية عبارة عن مجاميع لقوى غير سالبة لـ $\varphi$ [ ⁴⁰^]

أرقام فيبوناتشي

⁠ $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ يُعد نظام الأعداد هذا خيارًا طبيعيًا لدراسة أعداد فيبوناتشي . $F_{n}$ وأرقام لوكاس $L_{n}$ تُعرَّف هذه المتتاليات العددية عادةً بعلاقات تكرارية مشابهة لتلك التي تحققها قوى العدد ⁠ $\varphi$ و ${\overline {\varphi }}$ ⁠ : ${\begin{aligned}F_{0}&=0,&F_{1}&=1,&F_{n+1}&=F_{n}+F_{n-1},\\[3mu]L_{0}&=2,&L_{1}&=1,&L_{n+1}&=L_{n}+L_{n-1},\\[3mu]\varphi ^ {0}&=1,&\varphi ^{1}&=\varphi ,&\varphi ^{n+1}&=\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1},\\[3mu]{\overline {\varphi }}^{0}&=1,&{\overline {\varphi }}^{1}&={\overline {\varphi }},&{\overline {\varphi }}^{n+1}&={\overline {\varphi }}^{n}+{\overline {\varphi }}^{n-1}.\end{aligned}}$

التسلسلات $F_{n}$ و $L_{n}$ تبدأ على التوالي : ^{[ 42 ]}


⁠ ${\boldsymbol {n}}$ ⁠	⁠ ${\phantom {0}}0$ ⁠	⁠ ${\phantom {0}}1$ ⁠	⁠ ${\phantom {0}}2$ ⁠	⁠ ${\phantom {0}}3$ ⁠	⁠ ${\phantom {0}}4$ ⁠	⁠ ${\phantom {0}}5$ ⁠	⁠ ${\phantom {0}}6$ ⁠	⁠ ${\phantom {0}}7$ ⁠	⁠ ${\phantom {0}}8$ ⁠	⁠ ${\phantom {0}}9$ ⁠	⁠ $10$ ⁠	⁠ $11$ ⁠	⁠ $12$ ⁠	⁠ $\ldots$ ⁠
⁠ ${\boldsymbol {F_{n}}}$ ⁠	⁠ $0$ ⁠	⁠ $1$ ⁠	⁠ $1$ ⁠	⁠ $2$ ⁠	⁠ $3$ ⁠	⁠ $5$ ⁠	⁠ $8$ ⁠	⁠ $13$ ⁠	⁠ $21$ ⁠	⁠ $34$ ⁠	⁠ $55$ ⁠	⁠ $89$ ⁠	⁠ $144$ ⁠	⁠ $\ldots$ ⁠
⁠ ${\boldsymbol {L_{n}}}$ ⁠	⁠ $2$ ⁠	⁠ $1$ ⁠	⁠ $3$ ⁠	⁠ $4$ ⁠	⁠ $7$ ⁠	⁠ $11$ ⁠	⁠ $18$ ⁠	⁠ $29$ ⁠	⁠ $47$ ⁠	⁠ $76$ ⁠	⁠ $123$ ⁠	⁠ $199$ ⁠	⁠ $322$ ⁠	⁠ $\ldots$ ⁠

يمكن تمديد كلا المتتاليتين بشكل متسق إلى مؤشرات الأعداد الصحيحة السالبة باتباع نفس العلاقة التكرارية في الاتجاه السالب. وهما تحققان المتطابقات ^{[ 43 ]} ${\begin{aligned}F_{-n}&=(-1)^{n+1}F_{n},\\L_{-n}&=(-1)^{n}L_{n}.\end{aligned}}$

يمكن التعبير عن أعداد فيبوناتشي ولوكاس بشكل بديل كمكونات $b$ و $a$ عندما تُكتب قوة النسبة الذهبية أو مرافقها على الصورة التالية : ${\tfrac {1}{2}}a+{\tfrac {1}{2}}b{\sqrt {5}}$ ⁠ :^{[ 44 ]} ${\begin{align}\varphi ^{n}&={\tfrac {1}{2}}L_{n}+{\tfrac {1}{2}}F_{n}{\sqrt {5}},\\[3mu]{\overline {\varphi}}^{n}&={\tfrac {1}{2}}L_{n} - {\tfrac {1}{2}}F_{n}{\sqrt {5}}.\end{محاذاة}}$

التعبير عن أعداد فيبوناتشي بدلالة $\varphi$ تُسمى صيغة بينيه :^{[ 45 ]}

$$$ {\mathrm {tr} {\bigl (}\varphi ^{n}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}{5}}،\\[5mu]L_{n}&={\frac {\varphi ^{n}+{\overline {\varphi}}^{n}}{\varphi +{\overline {\varphi }}}}=\varphi ^{n}+{\overline {\varphi }}^{n}=\mathrm {tr} {\left(\varphi ^{n}\right)}.\end{محاذاة}}}$

قوى ⁠ $\varphi$ أو ${\overline {\varphi }}$ عند كتابتها بالشكل التالي $a+b\varphi$ ويمكن التعبير عنها بدلالة أعداد فيبوناتشي فقط،^{[ 46 ]} ${\begin{align}\varphi ^{n}&=F_{n-1}+F_{n}\varphi ,\\[3mu]{\overline {\varphi}}^{n}&=F_{n-1}+F_{n}{\overline {\varphi }}=F_{n+1}-F_{n}\varphi .\نهاية {المحاذاة}}$ قوى $\varphi$ أو ${\overline {\varphi }}$ مرات ${\sqrt {5}}$ يمكن التعبير عنها باستخدام أرقام لوكاس فقط، ${\begin{aligned}\varphi ^{n}{\sqrt {5}}&=L_{n-1}+L_{n}\varphi ,\\[3mu]{\overline {\varphi }}^{n}{\sqrt {5}}&=-L_{n-1}-L_{n}{\overline {\varphi }}=-L_{n+1}+L_{n}\varphi .\end{aligned}}$ يمكن إعادة صياغة العبارات المتعلقة بالأعداد الذهبية كعبارات تتعلق بأعداد فيبوناتشي أو لوكاس؛ على سبيل المثال، أن كل قوة من ⁠ $\varphi$ ⁠ هي وحدة من ⁠ $\mathbb {Z} [\varphi ]$ ، $\textstyle \mathrm {N} (\varphi ^{n})={\mathrm {N} (\varphi )}^{n}={(-1)}^{n}$ يصبح هذا ، عند توسيعه، هوية كاسيني ، وبالمثل $\textstyle \mathrm {N} (\varphi ^{n}{\sqrt {5}})={\mathrm {N} (\varphi )}^{n}\mathrm {N} {\bigl (}{\sqrt {5}}{\bigr )}={(-1)}^{n}5$ يصبح هذا هوية مماثلة فيما يتعلق بأعداد لوكاس، ${\begin{aligned}(F_{n-1}+F_{n}\varphi )(F_{n+1}-F_{n}\varphi )&=F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n},\\[3mu](L_{n-1}+L_{n}\varphi )(-L_{n+1}+L_{n}\varphi )&=L_{n}^{2}-L_{n-1}L_{n+1}=(-1)^{n}5.\end{aligned}}$

الأرقام $\textstyle \varphi ^{n}$ و $\textstyle {\overline {\varphi }}^{n}$ هي جذور كثيرة الحدود من الدرجة الثانية $\textstyle x^{2}-L_{n}x+(-1)^{n}$ هذه هي متعددة الحدود الدنيا لـ $\textstyle \varphi ^{n}$ لأي عدد صحيح غير صفري $n$ [ ⁴⁷ ]كثيرة الحدود^{من الدرجة} الثانية $\textstyle x^{2}-5F_{n}x+(-1)^{n+1}5$ ⁠ هو متعدد الحدود الأدنى لـ ⁠ $\textstyle \varphi ^{n}{\sqrt {5}}$ [ ⁴⁸ ]

في النهاية ، تقترب أعداد فيبوناتشي أو لوكاس المتتالية من نسبة ⁠ $\varphi$ ، وتقترب نسبة أعداد لوكاس إلى أعداد فيبوناتشي من ${\sqrt {5}}$ ⁠ :^{[ 4 ]} ${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n+1}}{L_{n}}}=\varphi ,&\lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{F_{n}}}&={\sqrt {5}}.\end{aligned}}$

نظريات حول أعداد فيبوناتشي - على سبيل المثال، خصائص قابلية القسمة مثل إذا ⁠ $n$ يقسم $m$ ثم $F_{n}$ يقسم $F_{m}$ – يمكن إثبات ذلك بسهولة باستخدام $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ [ ⁴⁹ ]

العلاقة بالتناظر الخماسي

النسبة الذهبية $\varphi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ ⁠ هي النسبة بين أطوال القطر وضلع الخماسي المنتظم ، لذلك يبرز الحقل الذهبي والأعداد الذهبية بشكل واضح في الهندسة المترية للخماسي المنتظم ونظام التناظر الخاص به، بالإضافة إلى الأجسام ذات الأبعاد الأعلى والتناظرات التي تتضمن التناظر الخماسي.

المستوى الإقليدي

دع $\zeta ={\exp }{\bigl (}2\pi i/5{\bigr )}$ ليكن الجذر الخامس للوحدة ، وهو عدد مركب ذو قيمة مطلقة تساوي واحدًا . ${\tfrac {1}{5}}$ دورة كاملةمن $1$ حول دائرة الوحدة ،بما يحقق $\textstyle \zeta ^{5}=1$ ثم المجال الدائري الخامس $\mathbb {Q} (\zeta )$ ⁠ هو امتداد حقل الأعداد النسبية المتكونة من خلال ضم ⁠ $\zeta$ ( أو ما يعادل ذلك، مجاورة أي من $\textstyle \zeta ^{2}$ ، $\textstyle \zeta ^{3}$ أو $\textstyle \zeta ^{4}$ ) . عناصر من $\mathbb {Q} (\zeta )$ هي أرقام على الشكل $\textstyle a_{0}+a_{1}\zeta +{}$ $a_{2}\zeta ^{2}+{}$ $a_{3}\zeta ^{3}+a_{4}\zeta ^{4}$ ، بمعاملات نسبية . $\mathbb {Q} (\zeta )$ يكون من الدرجة الرابعة على الأعداد النسبية: أي أربعة من الجذور الخمسة مستقلة خطيًا على $\mathbb {Q}$ لكن مجموعها جميعًا يساوي صفرًا. ومع ذلك ، $\mathbb {Q} (\zeta )$ ⁠ من الدرجة الثانية فقطعلى ⁠ $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ ، ${\begin{aligned}x^{5}-1&=(x-1){\bigl (}x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1{\bigr )}\\[2mu]&=(x-1){\bigl (}x^{2}+{\overline {\varphi }}x+1{\bigr )}{\bigl (}x^{2}+\varphi x+1{\bigr )}\\[2mu]&=(x-1){\bigl (}x-\zeta {\bigr )}{\bigl (}x-\zeta ^{4}{\bigr )}{\bigl (}x-\zeta ^{2}{\bigr )}{\bigl (}x-\zeta ^{3}{\bigr )},\end{aligned}}$ حيث المرافق ⁠ ${\overline {\varphi }}=1-\varphi$ عناصر $\mathbb {Q} (\zeta )$ ويمكن تمثيلها بدلاً من ذلك على النحو التالي : $\alpha +\beta \zeta$ ، حيث $\alpha$ و $\beta$ ⁠ هي عناصر من ⁠ $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ ⁠ : ${\begin{aligned}&a_{0}+a_{1}\zeta +a_{2}\zeta ^{2}+a_{3}\zeta ^{3}+a_{4}\zeta ^{4}\\[3mu]&\qquad ={\bigl (}a_{0}-a_{2}+{\overline {\varphi }}a_{3}-{\overline {\varphi }}a_{4}{\bigr )}+{\bigl (}a_{1}-{\overline {\varphi }}a_{2}+{\overline {\varphi }}a_{3}-a_{4}{\bigr )}\zeta .\end{aligned}}$

وعلى العكس من ذلك ، $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ ⁠ هو مجال فرعي من ⁠ $\mathbb {Q} (\zeta )$ . لأي جذر أولي للوحدة ⁠ $\zeta _{n}$ ، الحقل الفرعي الحقيقي الأقصى للحقل الدائري $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ ⁠ هو الحقل ⁠ $\mathbb {Q} (\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1})$ انظر إلى متعددة الحدود الدنيا لـ $2\cos(2\pi /n)$ في حالتنا $n=5$ ، $\textstyle (\zeta +\zeta ^{-1}{)}^{2}+{}$ $(\zeta +\zeta ^{-1})-1=0$ لذلك $\zeta +\zeta ^{-1}$ ⁠ هو الجذر الموجب لكثير الحدود التربيعي ⁠ $\textstyle x^{2}+x-1$ ، أي $\textstyle \varphi ^{-1}$ ، والحقل الفرعي الحقيقي الأقصى لـ $\mathbb {Q} (\zeta )$ هو $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ [ ⁵⁰ ]

القيمة المطلقة التربيعية لأي عنصر من عناصر ⁠ $\mathbb {Q} (\zeta )$ ⁠ هو عنصر من ⁠ $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ ⁠ : ${\begin{aligned}|\alpha +\beta \zeta |^{2}&=(\alpha +\beta \zeta )(\alpha +\beta \zeta ^{-1})=\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\alpha \beta \varphi ^{-1}.\end{aligned}}$ على وجه الخصوص، مربع طول ضلع خماسي منتظم نصف قطر محيطه يساوي واحدًا هو $\textstyle |\zeta -1|{}^{2}={}$ $2+{\overline {\varphi }}={}$ $\textstyle \varphi ^{-1}{\sqrt {5}}$ ومربع طول قطره هو $\textstyle |\zeta ^{2}-1|{}^{2}={}$ $2+\varphi ={}$ $\varphi {\sqrt {5}}$ هذان العددان مترافقان، أي عددان مرتبطان بـ ${\sqrt {5}}$ في مضلع منتظم ذي عشرة أضلاع ونصف قطر محيطه يساوي واحدًا، يكون مربع طول الضلع هو $\textstyle |\zeta ^{2}+1|{}^{2}=\varphi ^{-2}$ ومربع طول القطر بين رأسين يفصل بينهما ثلاثة رؤوس هو $\textstyle |\zeta +1|{}^{2}=\textstyle \varphi ^{2}$ .

تُستخدم الأعداد الذهبية في دراسة التناظرات الخماسية باستخدام حساب المثلثات. وفقًا للصيغة التربيعية ، ${\begin{alignedat}{3}\zeta &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{-{\overline {\varphi }}}+{\textstyle {\sqrt {\,{\overline {\varphi }}{}^{2}-4}}}~\!{\bigr )}&{}=-{\tfrac {1}{2}}{\overline {\varphi }}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-2-\varphi }},\\[6mu]\zeta ^{2}&={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{-\varphi }+{\textstyle {\sqrt {\varphi {}^{2}-4}}}~\!{\bigr )}&{}=-{\tfrac {1}{2}}\varphi +{\textstyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-2-{\overline {\varphi }}}}}.\end{alignedat}}$

زوايا ⁠ ${\tfrac {2}{5}}\pi$ و ${\tfrac {4}{5}}\pi$ وبالتالي فإن لها جيوب تمام نسبية ذهبية،لكن جيوبها هي الجذور التربيعية للأعداد النسبية الذهبية.^{[ 51 ]} ${\begin{aligned}\cos {\tfrac {2}{5}}\pi &=-{\tfrac {1}{2}}{\overline {\varphi }},&\sin {\tfrac {2}{5}}\pi &={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+\varphi }},\\[6mu]\cos {\tfrac {4}{5}}\pi &=-{\tfrac {1}{2}}\varphi ,&\sin {\tfrac {4}{5}}\pi &={\tfrac {1}{2}}{\textstyle {\sqrt {2+{\overline {\varphi }}}}}.\end{aligned}}$

الفضاء ثلاثي الأبعاد

مجسم عشروني منتظم ذو طول حافة ⁠ $2$ يمكن توجيهها بحيث تكون الإحداثيات الديكارتية لرؤوسها^{[ 52 ]} $\left(0,\pm 1,\pm \varphi \right),\left(\pm 1,\pm \varphi ,0\right),\left(\pm \varphi ,0,\pm 1\right).$

الفضاء رباعي الأبعاد

المجسم ذو الـ 600 خلية هو متعدد السطوح منتظم رباعي الأوجه ، يتكون من 120 رأسًا، و720 ضلعًا، و1200 وجهًا مثلثيًا، و600 خلية رباعية الأوجه. يتميز بتناظر كاليدوسكوبي . $[5,3,3]$ يتم توليدها بواسطة أربع مرايا يمكن توجيهها بسهولة على النحو التالي : ${\sqrt {5}}x_{1}=x_{2}+x_{3}+x_{4}$ ، $x_{1}=x_{2}$ ، $x_{2}=x_{3}$ ، و $x_{3}=x_{4}$ ثم تكون إحداثيات الرؤوس الـ 120 ذات أعداد صحيحة ذهبية: تباديل عشوائية لـ $\textstyle (\varphi ,\varphi ,\varphi ,\varphi ^{-2})$ و $\textstyle (\varphi ^{-1},\varphi ^{-1},\varphi ^{-1},\varphi ^{2})$ مع عدد زوجي من علامات السالب ، $(1,1,1,{\sqrt {5}})$ مع عدد فردي من علامات الطرح، و $(\pm 2,\pm 2,0,0)$ [ ⁵³ ]

أبعاد أعلى

تُعدّ الإيكوسيانات مجموعة خاصة من الكواترنيونات تُستخدم في بناء شبكة E8 . ينتمي كل عنصر من عناصر الإيكوسيان دائمًا إلى الحقل الذهبي. ^{[ 54 ]} الإيكوسيانات ذات المعيار الواحد هي رؤوس خلية مكونة من 600 عنصر _.^{[ 55 ]}

شبه الدورية

تُستخدم الأعداد الذهبية في دراسة أشباه البلورات . ^{[ 56 ]}

تطبيقات أخرى

الحالة الخامسة من نظرية فيرما الأخيرة ، والتي تنص على أنه لا توجد حلول صحيحة غير تافهة للمعادلة $\textstyle a^{5}+b^{5}=c^{5}$ تم إثبات ذلك باستخدام $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}$ من تصميم غوستاف ليجون ديريشلي وأدريان ماري ليجندر في الفترة ما بين 1825 و1830.^{[ 57 ]}

في الهندسة التعدادية ، ثبت أن كل سطح مكعب غير منفرد يحتوي على 27 خطًا بالضبط. يتميز سطح كليبيش بكونه غير عادي، إذ يمكن تعريف جميع خطوطه الـ 27 على مجموعة الأعداد الحقيقية . ^{[ 58 ]} بل ويمكن تعريفها على الحقل الذهبي. ^{[ 59 ]}

في نظرية المعلومات الكمومية ، يُستخدم امتداد أبيلي للحقل الذهبي في بناء SIC-POVM في فضاء متجهي معقد رباعي الأبعاد. ^{[ 60 ]}

ملحوظات

↑ التعبير ⁠ $\mathbb {Q} (~\!\!{\sqrt {5}}~\!)$ يُنطق ⁠ "الأعداد النسبية المجاورة للجذر التربيعي لخمسة"، أو باختصار "Q المجاور للجذر التربيعي لخمسة". انظر تريفكوفيتش 2013 ، ص 6 .
↑ يبدو أن اسم " الحقل الذهبي" قد طُرح لأول مرة عام 1988 من قِبل جون كونواي ونيل سلون في الطبعة الأولى من كتابهما "تعبئة الكرات، والشبكات، والمجموعات " ( القسم 8.2.1، صفحة 207 ). انظر كونواي وسلون 1999 للطبعة الثالثة. هذا الاسم غير شائع نسبيًا؛ إذ تستخدم معظم المصادر أسماءً رمزية مثل ⁠ $\mathbb {Q} (~\!\!{\sqrt {5}}~\!)$ أو $\mathbb {Q} (\varphi )$ ⁠ .
1 2 ليند 1968 .
1 2 سلون ، "التوسيع العشري للجذر التربيعي لـ $5$ ⁠ ", OEIS A002163 .
↑ سلون ، "التوسع العشري للنسبة الذهبية " $\varphi$ ( أو $\tau$ ) $=(1+{\sqrt {5}}~\!)/2$ ⁠ ", OEIS A001622 .
↑ ديكسون 1923 ، ص 129-130، 139.
↑ دود 1983 ، ص 8.
1 2 ديميتروف، كوسكليف وبونيفسكي 1995 .
1 2 دود 1983 ، ص 9-10.
↑ دود 1983 ، ص 8-9.
1 2 3 4 5 6 دود 1983 ، ص. 9.
↑ هذا صحيح بالنسبة للاقتران في الحقول التربيعية بشكل عام. انظر تريفكوفيتش 2013 ، ص 62 .
↑ روتمان 2017 .
1 2 Appleby et al. 2022 .
↑ على سبيل المثال بواسطة روكسار، ميرمين ورايت 1987 ؛ ليرر وتايلور 2009 ، ص 253 .
^ هيرزبروخ 1976 ؛ سبورن 2021 .
↑ دود 1983 ، ص 11.
↑ دود 1983 ، ص 28-29.
1 2 دود 1983 ، ص 26-28.
↑ سلون ، "الأعداد الموجبة من الشكل ⁠ $\textstyle x^{2}+xy-y^{2}$ ⁠ ", OEIS A031363 .
↑ دود 1983 ، ص 3.
↑ Wasteels 1902 ؛ Dodd 1983 ، ص 22 ؛ Dimitrov ، Cosklev & Bonevsky 1995 .
1 2 3 يمكن العثور على قائمة بالأعداد الأولية في Dodd 1983 ، الملحق ب، "قائمة بالأعداد الأولية"، الصفحات 128-150 .
↑ سلون ، "الأعداد الأولية المتطابقة مع $2$ أو $3$ modulo $5$ ⁠ ", OEIS A003631 .
↑ سلون ، "الأعداد الأولية المتطابقة مع $\{1,\,4\}$ تعديل $5$ ⁠ ", OEIS A045468 .
↑ هاردي ورايت 1954 ، ص 221-222.
↑ Dodd 1983 ، الفصل 2 ، "خصائص قابلية القسمة الأولية لـ $Z(ω)$ " ، الصفحات 7-19.
↑ ليفيك 1956 ، ص 56-57 ؛ سلون ، "قيم خالية من المربعات لـ $n$ الحقل التربيعي $\mathbf {Q} [{\sqrt {n}}~\!]$ " هو معيار-إقليدي"، OEIS A048981 .
1 2 ليبا وإيلاني 2023 ، ص 15 ؛ يانغ 1997 ؛ فونتين وهيرلي 2011 يذكرون أيضًا التشاكل بين الحقل الفرعي الحقيقي للحقل الدائري $\mathbb {Q} (\zeta )$ وحساب المصفوفات الممتدة بواسطة $\mathbf {I}$ و $\mathbf {\Phi }$ والتي يسمونها المصفوفات الفضية $S[5,1]$ و $S[5,2]$ ⁠ .
مينديز-ديلجاديلو ولام-استرادا ومالدونادو -راميريز 2015 يعملون مع الأساس ⁠ $(~\!\!{\sqrt {5}},1)$ ، والتي تُقارن بها المصفوفة $\mathbf {R} '$ يمثل ${\sqrt {5}}$ ⁠ :
${\begin{aligned}\quad &\mathbf {R} '={\begin{bmatrix}0&5\\1&0\end{bmatrix}},\ \ a\mathbf {I} +b\mathbf {R} '={\begin{bmatrix}a&5b\\b&a\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$
وعلى هذا الأساس، النسبة الذهبية $\varphi$ يتم تمثيلها بواسطة مصفوفة $\mathbf {\Phi } '\!\!~={\tfrac {1}{2}}\mathbf {I} +{\tfrac {1}{2}}\mathbf {R} '$ ⁠ :
${\begin{aligned}\quad &\mathbf {\Phi } '\!\!~={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{2}}&\!\!{\tfrac {5}{2}}\\{\tfrac {1}{2}}&\!\!{\tfrac {1}{2}}\end{bmatrix}},\ \ a\mathbf {I} +b\mathbf {\Phi } '\!\!~={\begin{bmatrix}a~\!{+}~\!{\tfrac {1}{2}}b&{\tfrac {5}{2}}b\,\,\\\,{\tfrac {1}{2}}b&\!\!a~\!{+}~\!{\tfrac {1}{2}}b\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$
هذه هي نفس فكرة استخدام المصفوفات $\mathbf {R}$ و $\mathbf {\Phi }$ ⁠ : العمليات الحسابية لهذه المصفوفات متماثلة بالمثل مع العمليات الحسابية في ⁠ $\mathbb {Q} ({\sqrt {5}}~\!)$ وتكون القيم الذاتية، ومتعددة الحدود المميزة، والأثر، والمحدد متطابقة في أي أساس. ومع ذلك، فإن المتجهات الذاتية هي $\textstyle {\begin{bmatrix}~\!\!{\sqrt {5}}&\!1\end{bmatrix}}{}^{\mathsf {T}}$ و $\textstyle {\begin{bmatrix}-{\sqrt {5}}&\!1\end{bmatrix}}{}^{\mathsf {T}}$ بدلاً من $\textstyle {\begin{bmatrix}1&\!\varphi \end{bmatrix}}{}^{\mathsf {T}}$ و $\textstyle {\begin{bmatrix}1&\!{\overline {\varphi }}\end{bmatrix}}{}^{\mathsf {T}}\!$ ⁠ .
1 2 Rotman 2017 ، ص. 456 وما بعدها. يصف هذا بالنسبة لامتدادات الحقول ذات الأبعاد المحدودة بشكل عام.
↑ بوكاس، فينسيلفر وفيلوريس 2016 .
↑ مصفوفة بياناتنا $\mathbf {\Phi }$ أو النسخة المعكوسة ${\bigl [}{\begin{smallmatrix}1&1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr ]}$ ⁠ ، يُشار إليه عادةً بـ ⁠ $\mathbf {Q}$ أو ${\mathcal {Q}}$ في العمل المتعلق بأعداد فيبوناتشي. انظر غولد 1981 للاطلاع على دراسة في هذا السياق. هنا نستخدم الرمز ⁠ $\mathbf {\Phi }$ من أجل التناسق مع الرمز $\varphi$ ولتجنب الخلط مع الأعداد النسبية $\mathbb {Q}$ والتي يُشار إليها أيضًا غالبًا بـ $\mathbf {Q}$ يستخدم ليبا وإيلاني ( 2023 ، ص 15) الرمزأيضًا . $\mathbf {\Phi }$ ونسمي هذا "المصفوفة الذهبية".
^ هوجات وروجلز 1963 ; ليبا و إيلاني 2023 ، ص. 16
^ ليبا و إيلاني 2023 ، ص. 14.
↑ هنا ⁠ $\mathrm {tr} (\mathbf {A} )$ ⁠ تعني أثر المصفوفة لـ ⁠ $\mathbf {A}$ و $\mathrm {tr} (\alpha )$ ⁠ تعني أثر المجال لـ ⁠ $\alpha$ في $\mathbb {Q} ({\sqrt {5}}~\!)$ ⁠ .
↑ بيكنيل وهوجات 1973 ، ص 18-26 ؛ جولد 1981 .
↑ هنا الرمز ⁠ ${\mathsf {T}}$ يشير الرمز ⁠ إلى منقولة المصفوفة، لذا ⁠ $\textstyle {\begin{bmatrix}1&\!\varphi \end{bmatrix}}{}^{\mathsf {T}}$ هو متجه عمودي .
↑ ديمبيلي 2005 .
↑ سلون ، " $\mathbf {Q} ({\sqrt {n}})$ " هو مجال تحليل فريد"، OEIS A003172
↑ بيرنات 2006 .
↑ يوضح فاجدا 1989 ، ص 31، هذه النقاط والقطع الزائد بعد تدويرها وتغيير حجمها بحيث ${\tfrac {1}{2}}$ و ${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {5}}$ تُشكل الإحداثيات شبكة مربعة محاذية للصفحة.
↑ سلون ، "أعداد فيبوناتشي"، OEIS A000045 ؛ سلون ، "أعداد لوكاس التي تبدأ من $2$ ⁠ ", OEIS A000032 .
↑ Vajda 1989 ، ص. 10 ؛ Sloane ، "[...] أعداد فيبوناتشي الممتدة إلى المؤشرات السالبة"، OEIS A039834 .
^ ليند 1968 ; فاجدا 1989 ، ص. 52
↑ دود 1983 ، ص 5 .
تم تطوير الصيغة بواسطة أبراهام دي مويفر (1718) ثم بشكل مستقل بواسطة جاك فيليب ماري بينيه (1843) وغابرييل لاميه (1844)؛ انظر فاجدا 1989 ، ص 52 .
↑ دود 1983 ، ص 22.
↑ لـ $\textstyle \varphi ^{0}=1$ ، وهو مرافقها، متعددة الحدود $\textstyle x^{2}-2x+1={}\!$ $\textstyle (x-1)^{2}$ ليس الحد الأدنى.
↑ لأنه، كما هو موضح في § تصريف الأفعال والقاعدة ، $\textstyle (x-\alpha )(x-{\overline {\alpha }})={}\!$ $\textstyle x^{2}-\mathrm {tr} (\alpha )x+\mathrm {N} (\alpha )$ لأي $\alpha$ في $\mathbb {Q} ({\sqrt {5}}~\!)$ في هذه الحالة ، $\textstyle \mathrm {tr} (\varphi ^{n})=L_{n}$ ، $\textstyle \mathrm {N} (\varphi ^{n})=(-1)^{n}$ ، $\textstyle \mathrm {tr} (\varphi ^{n}{\sqrt {5}}~\!)=5F_{n}$ ، و $\textstyle \mathrm {N} (\varphi ^{n}{\sqrt {5}}~\!)=(-1)^{n}(-5)$ ⁠ .
↑ يثبت دود 1983 ، § 9.4 "خصائص قابلية قسمة أعداد فيبوناتشي"، الصفحات 119-126 ، هذه النتيجة والعديد من النتائج ذات الصلة. انظر أيضًا كارليتز 1964 .
↑ شورمان 1997 ، ص 77 .
وبشكل أعم، لأي عدد أولي فردي $p$ ، الحقل $\textstyle \mathbb {Q} {\Bigl (}~\!\!{\sqrt {(-1)^{(p-1)/2}p}}~\!{\Bigr )}$ ⁠ هو مجال فرعي من ⁠ $\mathbb {Q} (\zeta _{p})$ ⁠. Moreover, by the Kronecker–Weber theorem, every abelian extension of the rationals is contained in some cyclotomic field. See Ireland & Rosen 1990, pp. 199–200.
↑Bradie 2002; Huntley 1970, pp. 39–41.
↑Steeb, Hardy & Tanski 2012, p. 211.
↑Coxeter 1985; Denney et al. 2020.
↑Conway & Sloane 1999, pp. 207–208; Pleasants 2002, pp. 213–214.
↑Denney et al. 2020.
↑Sporn 2021.
↑Ribenboim 1999; Dirichlet 1828; Legendre 1830; Dodd 1983, § 9.3 "The Equation ⁠ $\textstyle x^{5}+y^{5}+z^{5}=0$ ⁠", pp. 110–118.
↑Baez 2016.
↑Hunt 1996; Polo-Blanco & Top 2009.
↑Appleby et al. 2022; Bengtsson 2017.

References

Appleby, Marcus; Bengtsson, Ingemar; Grassl, Markus; Harrison, Michael; McConnell, Gary (2022). "SIC-POVMs from Stark units: Prime dimensions ⁠ $\textstyle n^{2}+3$ ⁠". Journal of Mathematical Physics. 63: 112205. arXiv:2112.05552. doi:10.1063/5.0083520.
Baez, John (1 Mar 2016). "Clebsch Surface". Visual Insight (Blog). American Mathematical Society. Retrieved 2025-06-22.
Bengtsson, Ingemar (2017). "The number behind the simplest SIC-POVM". Foundations of Physics. 47 (8): 1031–1041. arXiv:1611.09087. doi:10.1007/s10701-017-0078-3.
Bernat, Julien (2006). "Continued fractions and numeration in the Fibonacci base". Discrete Mathematics. 306 (22): 2828–2850. doi:10.1016/j.disc.2006.05.020.
Bicknell, Marjorie; Hoggatt, Verner E. Jr. (1973). A Primer for the Fibonacci Numbers. Fibonacci Association.
بوكاس، أندرياس؛ فينسيلفر، فيليب؛ فيلوريس، أنارجيروس (2016). "توزيعات الاحتمالات ومتعددات الحدود المتعامدة المرتبطة بمجموعة فيبوناتشي ذات المعامل الواحد" . مجلة الاتصالات في التحليل العشوائي . 10 (1): 117-130 . doi : 10.31390/cosa.10.1.08 .
برادي، برايان (2002). "القيم الدقيقة لجيب وجيب تمام مضاعفات ⁠ $18^{\circ }$ " مقاربة هندسية". كبسولات صفية. مجلة الرياضيات الجامعية . 33 (4): 318-319 . doi : 10.1080/07468342.2002.11921960 .
كارليتز، ل. (1964). "ملاحظة حول أعداد فيبوناتشي" (ملف PDF) . مجلة فيبوناتشي الفصلية . 2 (1): 15-28 . doi : 10.1080/00150517.1964.12431525 .
كونواي، جون هـ .؛ سلون، نيل جيه إيه (1999). "الإنشاءات الجبرية للشبكات". تعبئة الكرات، الشبكات والمجموعات ( الطبعة الثالثة). نيويورك: سبرينغر. ص 206-244 . doi : 10.1007/978-1-4757-6568-7_8 . ISBN 0-387-98585-9.
كوكيتر، إتش إس إم (1985). "polytopes العادية وشبه العادية. II". الرياضيات Zeitschrift . 188 (4): 559-591 . دوى : 10.1007 / bf01161657 .
ديمبيلي، لاسينا (2005). “الحسابات الصريحة لأشكال هيلبرت المعيارية على ⁠ $\mathbb {Q} ({\sqrt {5}}~\!)$ (PDF).الرياضياتالتجريبية.14(4):457–466 . doi:10.1080/10586458.2005.10128939.Zbl1152.11328.
ديني، تومي؛ هوكر، داشاي؛ جونسون، دي جانيك؛ روبنسون، تيانا؛ بتلر، ماجد؛ كلايبورن، سانديرنيشا (2020). "هندسة متعددات الوجوه H4 _" . التقدم في الهندسة . 20 (3): 433-444 . arXiv : 1912.06156 . doi : 10.1515/advgeom-2020-0005 .
ديكسون، ليونارد إي. (1923). الجبر وحساباته . مطبعة جامعة شيكاغو.
ديميتروف، فاسيل س.؛ كوسكليف، ت. ف.؛ بونيفسكي، ب. (1995). "التحويلات العددية على حقل التربيع للقسم الذهبي". معاملات IEEE في معالجة الإشارات . 43 (8): 1790-1797 . doi : 10.1109/78.403338 .
ديريشليت، غوستاف ليجون (1828). "Mémoire sur l'impossibilité de quelques équations indéterminées du cinquième degré" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 3 : 354-375 . دوى : 10.1515/crll.1828.3.354 .
دود، فريد و. (1983). نظرية الأعداد في الحقل التربيعي مع وحدة النسبة الذهبية . باسيك، نيوجيرسي: دار النشر متعددة الأضلاع. ISBN 0-936428-08-2.
فونتين، آن؛ هيرلي، سوزان (2011). "عائلات المصفوفة الذهبية". مجلة الرياضيات الجامعية . 42 (2): 140-147 . doi : 10.4169/college.math.j.42.2.140 .
جولد، هنري و. (1981). "تاريخ مصفوفة فيبوناتشي Q ومسألة ذات أبعاد أعلى" (ملف PDF) . مجلة فيبوناتشي الفصلية . 19 (3): 250-257 . doi : 10.1080/00150517.1981.12430088 .
هاردي، جي إتش ؛ رايت، إي إم (1954). "الحقول التربيعية (2)" . مقدمة في نظرية الأعداد ( الطبعة الثالثة). أكسفورد: مطبعة كلارندون. الفصل الخامس عشر، الصفحات 218-232.
هيرزبروش، فريدريش (1976). "مجموعة هيلبرت المعيارية للحقل ⁠ $\mathbf {Q} ({\sqrt {5}}~\!)$ " وسطح كليبش وكلاين القطري المكعب". مجلة الدراسات الرياضية الروسية . 31 (5): 96-110 . doi : 10.1070/RM1976v031n05ABEH004190 . MR 0498397 .
هوجات، فيرنر إي. الابن ؛ راجلز، إيفان د. (1963). "مقدمة في أعداد فيبوناتشي - الجزء الرابع" (ملف PDF) . مجلة فيبوناتشي الفصلية . 1 (4): 65-71 . doi : 10.1080/00150517.1963.12431555 .
هانت، بروس (1996). "الخطوط الـ 27 على سطح مكعب". هندسة بعض نواتج القسمة الحسابية الخاصة . برلين: سبرينغر. ص 108-167 . doi : 10.1007/BFb0094404 . ISBN 3-540-61795-7.
Huntley, Herbert E. (1970). The Divine Proportion: A Study in Mathematical Beauty. New York: Dover. ISBN 0-486-22254-3.
Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990). A Classical Introduction to Modern Number Theory (2nd ed.). New York: Springer. doi:10.1007/978-1-4757-2103-4. ISBN 0-387-97329-X.
Legendre, Adrien-Marie (1830). "De l'équation ⁠ $\textstyle x^{5}+y^{5}+z^{5}=0$ ⁠". Théorie des Nombres. Vol. II (3rd ed.). Paris: Firmin Didot Fréres. § 6.IV pp. 361–368.
Lehrer, Gustav I.; Taylor, Donald E. (2009). Unitary Reflection Groups. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-74989-3.
LeVeque, William J. (1956). "Algebraic Numbers". Topics in Number Theory. Vol. 2. Reading, MA: Addison-Wesley. Ch. 2, pp. 34–81. LCCN 56-10138.
Liba, Opher; Ilany, Bat-Sheva (2023). From the Golden Rectangle to the Fibonacci Sequences. Contributions by Nativ, Isaac. Cham: Springer. ISBN 978-3-030-97599-9. inactive doi:10.1007/978-3-030-97600-2. Originally published as ממלבן הזהב לסדרות פיבונאצי. Tel Aviv: Mofet Institute. 2019. ISBN 978-965-530-162-5.
Lind, Douglas A. (1968). "The quadratic field ⁠ $\mathbf {Q} ({\sqrt {5}}~\!)$ ⁠ and a certain Diophantine equation"(PDF). The Fibonacci Quarterly. 6 (3): 86–93. doi:10.1080/00150517.1968.12431231.
Méndez-Delgadillo, Hugo; Lam-Estrada, Pablo; Maldonado-Ramírez, Myriam R. (2015). "Approach to Square Roots Applying Square Matrices". Palestine Journal of Mathematics. 4 (2).
Pleasants, Peter A. B. (2002). "Lines and Planes in 2- and 3-Dimensional Quasicrystals". In Kramer, Peter; Papadopolos, Zorka (eds.). Coverings of Discrete Quasiperiodic Sets. Berlin: Springer. pp. 185–225. doi:10.1007/3-540-45805-0_6. ISBN 3-540-43241-8.
Polo-Blanco, Irene; Top, Jaap (2009). "A remark on parameterizing nonsingular cubic surfaces". Computer Aided Geometric Design. 26 (8): 842–849. doi:10.1016/j.cagd.2009.06.001.
ريبنبوم، باولو (1999). "المعادلة الخماسية". نظرية فيرما الأخيرة للهواة . نيويورك: سبرينغر. القسم 1.6، الصفحات 49-57. doi : 10.1007/978-0-387-21692-8_2 . ISBN 0-387-98508-5.
روكسار، دانيال س .؛ ميرمين، ن. ديفيد ؛ رايت، ديفيد س. (1987). "علم البلورات شبه الدورية البدائي: الشبكات المتبادلة العشرية الوجوه والعشرية الأضلاع". مجلة Physical Review B. 35 ( 11): 5487–5495 . doi : 10.1103/physrevb.35.5487 .
روتمان، جوزيف ج. (2017) [2002]. "الأعداد الصحيحة الجبرية". الجبر الحديث المتقدم . المجلد 2. الجمعية الأمريكية للرياضيات. § C-5.3.2، الصفحات 455-467. ISBN 978-1-4704-2311-7.
شورمان، جيري (1997). هندسة الدرجة الخامسة . نيويورك: وايلي. ISBN 0-471-13017-6.
سلون، نيل جيه إيه (محرر). الموسوعة الإلكترونية لتسلسلات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.
- A000032 ، "أرقام لوكاس التي تبدأ من ⁠ $2$ ⁠ : ⁠ $L(n)=L(n-1)+L(n-2)$ ، $L(0)=2$ ، $L(1)=1$ "
- A000045 ، "أعداد فيبوناتشي: ⁠ $F(n)=F(n-1)+F(n-2)$ مع $F(0)=0$ و $F(1)=1$ "
- A001622 ، "التوسيع العشري للنسبة الذهبية " $\varphi$ ( أو $\tau$ ) $=(1+{\sqrt {5}}~\!)/2$ "
- A002163 ، "التوسيع العشري للجذر التربيعي لـ $5$ "
- A003172 ، " $\mathbf {Q} ({\sqrt {n}})$ ⁠ هو مجال تحليل فريد (أو حقل تربيعي بسيط)"
- A003631 ، "الأعداد الأولية المتطابقة مع ⁠ $2$ أو $3$ modulo $5$ "
- A031363 ، "الأعداد الموجبة من الشكل ⁠ $\textstyle x^{2}+xy-y^{2}$ أو على شكل $\textstyle 5x^{2}-y^{2}$ "
- A039834 ، " $a(n+2)=-a(n+1)+a(n)$ ( أعداد فيبوناتشي الموقعة) مع $a(-2)=a(-1)=1$ أو أعداد فيبوناتشي (A000045) الممتدة إلى الأسس السالبة"
- A045468 ، "الأعداد الأولية المتطابقة مع ⁠ $\{1,\,4\}$ تعديل $5$ "
- A048981 ، "قيم مربعة خالية من ⁠ $n$ الحقل التربيعي $\mathbf {Q} [{\sqrt {n}}~\!]$ " هو معياري إقليدي"
سبورن، هوارد (2021). "بنية زمرة على الثلاثيات الذهبية". المجلة الرياضية . 105 (562): 87-97 . doi : 10.1017/mag.2021.11 .
ستيب، ويلي-هانز؛ هاردي، يوريك؛ تانسكي، إيغور (2012). مسائل وحلول للمجموعات، مجموعات لي، جبر لي مع تطبيقات . سنغافورة: وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-981-310-411-2.
تريفكوفيتش، ماك (2013). النظرية الجبرية للأعداد التربيعية . نيويورك: سبرينغر. doi : 10.1007/978-1-4614-7717-4 . ISBN 978-1-4614-7716-7.
فاجدا، ستيفن (1989). أعداد فيبوناتشي ولوكاس، والنسبة الذهبية: النظرية والتطبيقات . تشيتشستر: إليس هوروود. ISBN 0-7458-0715-1.
المخلفات ، جوزيف (1902). "Quelques propriétés des nombres de Fibonacci" . الرياضيات . 3. 11 : 60 - 62.
يانغ، كونغ-وي (1997). "متتالية فيبوناتشي مع حلقة ذهبية". مجلة الرياضيات . 70 (2): 131-135 . doi : 10.1080/0025570X.1997.11996517 . JSTOR 2691436 .

[1] التعبير ⁠ $\mathbb {Q} (~\!\!{\sqrt {5}}~\!)$ يُنطق ⁠ "الأعداد النسبية المجاورة للجذر التربيعي لخمسة"، أو باختصار "Q المجاور للجذر التربيعي لخمسة". انظر تريفكوفيتش 2013 ، ص 6 .

[2] يبدو أن اسم " الحقل الذهبي" قد طُرح لأول مرة عام 1988 من قِبل جون كونواي ونيل سلون في الطبعة الأولى من كتابهما "تعبئة الكرات، والشبكات، والمجموعات " ( القسم 8.2.1، صفحة 207 ). انظر كونواي وسلون 1999 للطبعة الثالثة. هذا الاسم غير شائع نسبيًا؛ إذ تستخدم معظم المصادر أسماءً رمزية مثل ⁠ $\mathbb {Q} (~\!\!{\sqrt {5}}~\!)$ أو $\mathbb {Q} (\varphi )$ ⁠ .

[FOOTNOTELind1968-3] 1 2 ليند 1968 .

[A002163-4] 1 2 سلون ، "التوسيع العشري للجذر التربيعي لـ $5$ ⁠ ", OEIS A002163 .

[A001622-5] سلون ، "التوسع العشري للنسبة الذهبية " $\varphi$ ( أو $\tau$ ) $=(1+{\sqrt {5}}~\!)/2$ ⁠ ", OEIS A001622 .

[FOOTNOTEDickson1923129–130,_139-6] ديكسون 1923 ، ص 129-130، 139.

[FOOTNOTEDodd19838-7] دود 1983 ، ص 8.

[FOOTNOTEDimitrovCosklevBonevsky1995-8] 1 2 ديميتروف، كوسكليف وبونيفسكي 1995 .

[FOOTNOTEDodd19839–10-9] 1 2 دود 1983 ، ص 9-10.

[FOOTNOTEDodd19838–9-10] دود 1983 ، ص 8-9.

[FOOTNOTEDodd19839-11] 1 2 3 4 5 6 دود 1983 ، ص. 9.

[12] هذا صحيح بالنسبة للاقتران في الحقول التربيعية بشكل عام. انظر تريفكوفيتش 2013 ، ص 62 .

[FOOTNOTERotman2017-13] روتمان 2017 .

[FOOTNOTEApplebyBengtssonGrasslHarrison2022-14] 1 2 Appleby et al. 2022 .

[15] على سبيل المثال بواسطة روكسار، ميرمين ورايت 1987 ؛ ليرر وتايلور 2009 ، ص 253 .

[FOOTNOTEHirzebruch1976Sporn2021-16] هيرزبروخ 1976 ؛ سبورن 2021 .

[FOOTNOTEDodd198311-17] دود 1983 ، ص 11.

[FOOTNOTEDodd198328–29-18] دود 1983 ، ص 28-29.

[FOOTNOTEDodd198326–28-19] 1 2 دود 1983 ، ص 26-28.

[20] سلون ، "الأعداد الموجبة من الشكل ⁠ $\textstyle x^{2}+xy-y^{2}$ ⁠ ", OEIS A031363 .

[FOOTNOTEDodd19833-21] دود 1983 ، ص 3.

[22] Wasteels 1902 ؛ Dodd 1983 ، ص 22 ؛ Dimitrov ، Cosklev & Bonevsky 1995 .

[doddprimes-23] 1 2 3 يمكن العثور على قائمة بالأعداد الأولية في Dodd 1983 ، الملحق ب، "قائمة بالأعداد الأولية"، الصفحات 128-150 .

[24] سلون ، "الأعداد الأولية المتطابقة مع $2$ أو $3$ modulo $5$ ⁠ ", OEIS A003631 .

[25] سلون ، "الأعداد الأولية المتطابقة مع $\{1,\,4\}$ تعديل $5$ ⁠ ", OEIS A045468 .

[FOOTNOTEHardyWright1954221–222-26] هاردي ورايت 1954 ، ص 221-222.

[FOOTNOTEDodd1983Ch._2,_[httpsarchiveorgdetailsnumbertheoryinqu0000doddpage7_"Elementary_Divisibility_Properties_of_<span_class="texhtml_"_>Z(ω)</span>"],_pp.&nbsp;7–19-27] Dodd 1983 ، الفصل 2 ، "خصائص قابلية القسمة الأولية لـ $Z(ω)$ " ، الصفحات 7-19.

[28] ليفيك 1956 ، ص 56-57 ؛ سلون ، "قيم خالية من المربعات لـ $n$ الحقل التربيعي $\mathbf {Q} [{\sqrt {n}}~\!]$ " هو معيار-إقليدي"، OEIS A048981 .

[matrices-29] 1 2 ليبا وإيلاني 2023 ، ص 15 ؛ يانغ 1997 ؛ فونتين وهيرلي 2011 يذكرون أيضًا التشاكل بين الحقل الفرعي الحقيقي للحقل الدائري $\mathbb {Q} (\zeta )$ وحساب المصفوفات الممتدة بواسطة $\mathbf {I}$ و $\mathbf {\Phi }$ والتي يسمونها المصفوفات الفضية $S[5,1]$ و $S[5,2]$ ⁠ .
مينديز-ديلجاديلو ولام-استرادا ومالدونادو -راميريز 2015 يعملون مع الأساس ⁠ $(~\!\!{\sqrt {5}},1)$ ، والتي تُقارن بها المصفوفة $\mathbf {R} '$ يمثل ${\sqrt {5}}$ ⁠ :
${\begin{aligned}\quad &\mathbf {R} '={\begin{bmatrix}0&5\\1&0\end{bmatrix}},\ \ a\mathbf {I} +b\mathbf {R} '={\begin{bmatrix}a&5b\\b&a\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$
وعلى هذا الأساس، النسبة الذهبية $\varphi$ يتم تمثيلها بواسطة مصفوفة $\mathbf {\Phi } '\!\!~={\tfrac {1}{2}}\mathbf {I} +{\tfrac {1}{2}}\mathbf {R} '$ ⁠ :
${\begin{aligned}\quad &\mathbf {\Phi } '\!\!~={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{2}}&\!\!{\tfrac {5}{2}}\\{\tfrac {1}{2}}&\!\!{\tfrac {1}{2}}\end{bmatrix}},\ \ a\mathbf {I} +b\mathbf {\Phi } '\!\!~={\begin{bmatrix}a~\!{+}~\!{\tfrac {1}{2}}b&{\tfrac {5}{2}}b\,\,\\\,{\tfrac {1}{2}}b&\!\!a~\!{+}~\!{\tfrac {1}{2}}b\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$
هذه هي نفس فكرة استخدام المصفوفات $\mathbf {R}$ و $\mathbf {\Phi }$ ⁠ : العمليات الحسابية لهذه المصفوفات متماثلة بالمثل مع العمليات الحسابية في ⁠ $\mathbb {Q} ({\sqrt {5}}~\!)$ وتكون القيم الذاتية، ومتعددة الحدود المميزة، والأثر، والمحدد متطابقة في أي أساس. ومع ذلك، فإن المتجهات الذاتية هي $\textstyle {\begin{bmatrix}~\!\!{\sqrt {5}}&\!1\end{bmatrix}}{}^{\mathsf {T}}$ و $\textstyle {\begin{bmatrix}-{\sqrt {5}}&\!1\end{bmatrix}}{}^{\mathsf {T}}$ بدلاً من $\textstyle {\begin{bmatrix}1&\!\varphi \end{bmatrix}}{}^{\mathsf {T}}$ و $\textstyle {\begin{bmatrix}1&\!{\overline {\varphi }}\end{bmatrix}}{}^{\mathsf {T}}\!$ ⁠ .

[rotman-30] 1 2 Rotman 2017 ، ص. 456 وما بعدها. يصف هذا بالنسبة لامتدادات الحقول ذات الأبعاد المحدودة بشكل عام.

[FOOTNOTEBoukasFeinsilverFellouris2016-31] بوكاس، فينسيلفر وفيلوريس 2016 .

[32] مصفوفة بياناتنا $\mathbf {\Phi }$ أو النسخة المعكوسة ${\bigl [}{\begin{smallmatrix}1&1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr ]}$ ⁠ ، يُشار إليه عادةً بـ ⁠ $\mathbf {Q}$ أو ${\mathcal {Q}}$ في العمل المتعلق بأعداد فيبوناتشي. انظر غولد 1981 للاطلاع على دراسة في هذا السياق. هنا نستخدم الرمز ⁠ $\mathbf {\Phi }$ من أجل التناسق مع الرمز $\varphi$ ولتجنب الخلط مع الأعداد النسبية $\mathbb {Q}$ والتي يُشار إليها أيضًا غالبًا بـ $\mathbf {Q}$ يستخدم ليبا وإيلاني ( 2023 ، ص 15) الرمزأيضًا . $\mathbf {\Phi }$ ونسمي هذا "المصفوفة الذهبية".

[33] هوجات وروجلز 1963 ; ليبا و إيلاني 2023 ، ص. 16

[FOOTNOTELibaIlany202314-34] ليبا و إيلاني 2023 ، ص. 14.

[35] هنا ⁠ $\mathrm {tr} (\mathbf {A} )$ ⁠ تعني أثر المصفوفة لـ ⁠ $\mathbf {A}$ و $\mathrm {tr} (\alpha )$ ⁠ تعني أثر المجال لـ ⁠ $\alpha$ في $\mathbb {Q} ({\sqrt {5}}~\!)$ ⁠ .

[36] بيكنيل وهوجات 1973 ، ص 18-26 ؛ جولد 1981 .

[37] هنا الرمز ⁠ ${\mathsf {T}}$ يشير الرمز ⁠ إلى منقولة المصفوفة، لذا ⁠ $\textstyle {\begin{bmatrix}1&\!\varphi \end{bmatrix}}{}^{\mathsf {T}}$ هو متجه عمودي .

[FOOTNOTEDembélé2005-38] ديمبيلي 2005 .

[39] سلون ، " $\mathbf {Q} ({\sqrt {n}})$ " هو مجال تحليل فريد"، OEIS A003172

[FOOTNOTEBernat2006-40] بيرنات 2006 .

[41] يوضح فاجدا 1989 ، ص 31، هذه النقاط والقطع الزائد بعد تدويرها وتغيير حجمها بحيث ${\tfrac {1}{2}}$ و ${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {5}}$ تُشكل الإحداثيات شبكة مربعة محاذية للصفحة.

[42] سلون ، "أعداد فيبوناتشي"، OEIS A000045 ؛ سلون ، "أعداد لوكاس التي تبدأ من $2$ ⁠ ", OEIS A000032 .

[43] Vajda 1989 ، ص. 10 ؛ Sloane ، "[...] أعداد فيبوناتشي الممتدة إلى المؤشرات السالبة"، OEIS A039834 .

[44] ليند 1968 ; فاجدا 1989 ، ص. 52

[45] دود 1983 ، ص 5 .
تم تطوير الصيغة بواسطة أبراهام دي مويفر (1718) ثم بشكل مستقل بواسطة جاك فيليب ماري بينيه (1843) وغابرييل لاميه (1844)؛ انظر فاجدا 1989 ، ص 52 .

[FOOTNOTEDodd198322-46] دود 1983 ، ص 22.

[47] لـ $\textstyle \varphi ^{0}=1$ ، وهو مرافقها، متعددة الحدود $\textstyle x^{2}-2x+1={}\!$ $\textstyle (x-1)^{2}$ ليس الحد الأدنى.

[48] لأنه، كما هو موضح في § تصريف الأفعال والقاعدة ، $\textstyle (x-\alpha )(x-{\overline {\alpha }})={}\!$ $\textstyle x^{2}-\mathrm {tr} (\alpha )x+\mathrm {N} (\alpha )$ لأي $\alpha$ في $\mathbb {Q} ({\sqrt {5}}~\!)$ في هذه الحالة ، $\textstyle \mathrm {tr} (\varphi ^{n})=L_{n}$ ، $\textstyle \mathrm {N} (\varphi ^{n})=(-1)^{n}$ ، $\textstyle \mathrm {tr} (\varphi ^{n}{\sqrt {5}}~\!)=5F_{n}$ ، و $\textstyle \mathrm {N} (\varphi ^{n}{\sqrt {5}}~\!)=(-1)^{n}(-5)$ ⁠ .

[49] يثبت دود 1983 ، § 9.4 "خصائص قابلية قسمة أعداد فيبوناتشي"، الصفحات 119-126 ، هذه النتيجة والعديد من النتائج ذات الصلة. انظر أيضًا كارليتز 1964 .

[50] شورمان 1997 ، ص 77 .
وبشكل أعم، لأي عدد أولي فردي $p$ ، الحقل $\textstyle \mathbb {Q} {\Bigl (}~\!\!{\sqrt {(-1)^{(p-1)/2}p}}~\!{\Bigr )}$ ⁠ هو مجال فرعي من ⁠ $\mathbb {Q} (\zeta _{p})$ ⁠. Moreover, by the Kronecker–Weber theorem, every abelian extension of the rationals is contained in some cyclotomic field. See Ireland & Rosen 1990, pp. 199–200.

[51] Bradie 2002; Huntley 1970, pp. 39–41.

[FOOTNOTESteebHardyTanski2012[httpsbooksgooglecombooksidUdI7DQAAQBAJpgPA211_211]-52] Steeb, Hardy & Tanski 2012, p. 211.

[53] Coxeter 1985; Denney et al. 2020.

[FOOTNOTEConwaySloane1999207–208Pleasants2002213–214-54] Conway & Sloane 1999, pp. 207–208; Pleasants 2002, pp. 213–214.

[FOOTNOTEDenneyHookerJohnsonRobinson2020-55] Denney et al. 2020.

[FOOTNOTESporn2021-56] Sporn 2021.

[57] Ribenboim 1999; Dirichlet 1828; Legendre 1830; Dodd 1983, § 9.3 "The Equation ⁠ $\textstyle x^{5}+y^{5}+z^{5}=0$ ⁠", pp. 110–118.

[FOOTNOTEBaez2016-58] Baez 2016.

[FOOTNOTEHunt1996Polo-BlancoTop2009-59] Hunt 1996; Polo-Blanco & Top 2009.

[FOOTNOTEApplebyBengtssonGrasslHarrison2022Bengtsson2017-60] Appleby et al. 2022; Bengtsson 2017.

1

[

[ 3 ]

4 ] من

[ 5 ]

[ 6 ]

[

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

11

[

مصفوفته

[ 14 ]

[

[ 16 ]

[ 17 ]

18

[ 19 ]

[ 20 ]

21

[ 22 ]

[ 23 ]

24

25

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

29

[ 30 ]

31

[ 32 ]

33 ]

34

35

[ 36 ]

37

38

مجال

40

[

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[ 46 ]

47

48

49

50

[ 51 ]

[ 52 ]

53

[ 54 ]

[ 55 ]

[ 56 ]

[ 57 ]

[ 58 ]

[ 59 ]

[ 60 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗