3 21 متعدد الأوجه

• ويُطلق عليه أيضاً اسم متعدد الأوجه هيس نسبةً إلى إدموند هيس الذي اكتشفه لأول مرة.
• وقد قام ثورولد جوسيت بتعدادها في بحثه الذي نُشر عام 1900. وأطلق عليها اسم الشكل شبه المنتظم 7-ic . ^{[ 1 ]}
• أطلق عليه إي إل إيلت اسم V ₅₆ (نسبة إلى رؤوسه الـ 56) في قائمته للمضلعات شبه المنتظمة عام 1912. ^{[ 2 ]}
• أطلق عليه HSM Coxeter اسم 3 ₂₁ بسبب مخطط Coxeter-Dynkin المتشعب ، والذي يحتوي على 3 فروع بطول 3 و 2 و 1، ويحتوي على حلقة واحدة على العقدة النهائية للفرع 3.
• Hecatonicosihexa-pentacosiheptacontahexa-exon (اختصار: naq) - 126-576 متعدد الإكسونات ذو الأوجه (جوناثان باورز) ^{[ 3 ]}

يمكن تمثيل الرؤوس الـ 56 بأبسط صورة في فضاء ثماني الأبعاد، وذلك من خلال 28 تبديلاً للإحداثيات ومعكوساتها:

± (−3, −3, 1, 1, 1, 1, 1, 1)

يعتمد بناؤها على مجموعة E7 . أطلق عليها كوكسيتر اسم 3 ₂₁ من خلال مخطط كوكسيتر-دينكين المتشعب ، مع حلقة واحدة في نهاية تسلسل العقد الثلاث.

يمكن استخراج معلومات الجوانب من مخطط كوكسيتر-دينكين الخاص بها .

إزالة العقدة الموجودة على الفرع القصير تترك 6-simplex , .

إزالة العقدة الموجودة في نهاية الفرع ذي الطول 2 يترك 6-orthoplex في شكله المتناوب: 3 ₁₁ ، .

كل وجه بسيط يلامس وجهًا من نوع 6-orthoplex، بينما تلامس الأوجه البديلة لـ orthoplex إما وجهًا بسيطًا أو وجهًا آخر من نوع orthoplex.

يتم تحديد شكل الرؤوس بإزالة العقدة المحاطة بحلقة وإعادة تشكيل حلقة حول العقدة المجاورة. وهذا يُنتج متعدد السطوح 2 _{× 21} .

عند النظر إلى مصفوفة التكوين ، يمكن اشتقاق عدد العناصر عن طريق إزالة المرآة ونسب رتب مجموعة كوكسيتر . ^{[ 4 ]}

E 7		الوجه k	ف ك	f 0	f 1	f 2	f 3	f 4	f 5		و 6		أرقام k	ملحوظات
E 6		( )	f 0	56	27	216	720	1080	432	216	72	27	2 21	E 7 /E 6 = 72·8!/72/6! = 56
D 5 A 1		{ }	f 1	2	756	16	80	160	80	40	16	10	5-نصف مكعب	E 7 /D 5 A 1 = 72·8!/16/5!/2 = 756
أ 4 أ 2		{3}	f 2	3	3	4032	10	30	20	10	5	5	خلية خماسية مُقوَّمة	ه 7 /أ 4 أ 2 = 72·8!/5!/2 = 4032
أ 3 أ 2 أ 1		{3,3}	f 3	4	6	4	10080	6	6	3	2	3	منشور ثلاثي	ه 7 /أ 3 أ 2 أ 1 = 72·8!/4!/3!/2 = 10080
أ 4 أ 1		{3,3,3}	f 4	5	10	10	5	12096	2	1	1	2	مثلث متساوي الساقين	ه 7 /أ 4 أ 1 = 72·8!/5!/2 = 12096
أ ٥ أ ١		{3,3,3,3}	f 5	6	15	20	15	6	4032	*	1	1	{ }	ه 7 /أ 5 أ 1 = 72·8!/6!/2 = 4032
5​				6	15	20	15	6	*	2016	0	2		E 7 /A 5 = 72·8!/6! = 2016
أ 6		{3,3,3,3,3}	و 6	7	21	35	35	21	10	0	576	*	( )	E 7 /A 6 = 72·8!/7! = 576
د 6		{3,3,3,3,4}		12	60	160	240	192	32	32	*	126		E 7 /D 6 = 72·8!/32/6! = 126

يُعدّ الشكل 3 ₂₁ خامس شكل في سلسلة متعددة الأبعاد من متعددات الوجوه شبه المنتظمة . كل متعدد وجوه منتظم متتابع يُبنى من شكل رأس متعدد الوجوه السابق. وقد حدد ثورولد جوسيت هذه السلسلة في عام 1900 على أنها تحتوي على جميع أوجه متعددات الوجوه المنتظمة ، بما في ذلك جميع الأشكال البسيطة والأشكال المتعامدة .

k 21 شكلاً في n أبعاد
فضاء	محدود						إقليدي	القطع الزائد
إي إن	3	4	5	6	7	8	9	10
مجموعة كوكسيتر	E 3 =A 2 A 1	E 4 =A 4	E 5 =D 5	E 6	E 7	E 8	E 9 =${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$= E 8 +	E 10 =${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$= E 8 ++
مخطط كوكسيتر
التناظر	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
طلب	12	120	1920	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
الرسم البياني							-	-
اسم	-1 21​	0 21	1 21	2 21	3 21	4 21	5 21	6 21

وهي عبارة عن سلسلة أبعاد من متعددات الوجوه المنتظمة وخلايا النحل، والتي عبر عنها كوكسيتر على أنها سلسلة 3 _{k 1.} (توجد حالة متدهورة رباعية الأبعاد على شكل تبليط ثلاثي الكرات، وهو شكل رباعي الأوجه ).

3 _آلاف شكل أحادي _البعد

فضاء	محدود				إقليدي	القطع الزائد
ن	4	5	6	7	8	9
مجموعة كوكسيتر	أ 3 أ 1	5​	د 6	E 7	${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$=E 7 +	${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$=E 7 ++
مخطط كوكسيتر
التناظر	[3 −1,3,1 ]	[3 0,3,1 ]	[[3 1,3,1 ]] = [4,3,3,3,3]	[3 2,3,1 ]	[3 3,3,1 ]	[3 4,3,1 ]
طلب	48	720	46,080	2,903,040	∞
الرسم البياني					-	-
اسم	3 1,-1	3 10	3 11	3 21	3 31	3 41

• Rectified hecatonicosihexa-pentacosiheptacontahexa-exon as a rectified 126-576 facetted polyexon (acronym: ranq) (Jonathan Bowers) ^{[ 5 ]}

يعتمد بناؤها على مجموعة E7 . أطلق عليها كوكسيتر اسم 3 ₂₁ من خلال مخطط كوكسيتر-دينكين المتشعب ، مع عقدة واحدة في نهاية التسلسل المكون من 3 عقد.

يمكن استخراج معلومات الجوانب من مخطط كوكسيتر-دينكين الخاص بها .

إزالة العقدة الموجودة على الفرع القصير تترك 6-simplex , .

يؤدي حذف العقدة الموجودة في نهاية الفرع ذي الطول 2 إلى ترك 6-orthoplex المعدل في شكله المتناوب: t ₁ 3 ₁₁ , .

يؤدي حذف العقدة الموجودة في نهاية الفرع ذي الطول 3 إلى ترك 2 ₂₁ ، .

يُحدد شكل الرؤوس بإزالة العقدة المحاطة بحلقة وإعادة تشكيل حلقة حول العقدة المجاورة. وهذا يُشكل منشورًا خماسي الأبعاد .

• ثنائي التصحيح hecatonicosihexa-pentacosiheptacontahexa-exon كـ birectified 126-576 متعدد الإكسونات متعدد الأوجه (اختصار: branq) (جوناثان باورز) ^{[ 6 ]}

يعتمد بناؤها على مجموعة E7 . أطلق عليها كوكسيتر اسم 3 ₂₁ من خلال مخطط كوكسيتر-دينكين المتشعب ، مع عقدة واحدة في نهاية التسلسل المكون من 3 عقد.

يمكن استخراج معلومات الجوانب من مخطط كوكسيتر-دينكين الخاص بها .

إزالة العقدة الموجودة على الفرع القصير تترك 6-simplex ثنائي التصحيح ، .

يؤدي حذف العقدة الموجودة في نهاية الفرع ذي الطول 2 إلى ترك 6-orthoplex ثنائي التوجيه في شكله المتناوب: t ₂ (3 ₁₁ ) , .

يؤدي حذف العقدة الموجودة في نهاية الفرع ذي الطول 3 إلى ترك متعدد السطوح 2 ₂₁ المصحح في شكله المتناوب: t ₁ (2 ₂₁ ) , .

يُحدد شكل الرأس بإزالة العقدة المحاطة بحلقة وإعادة تشكيل حلقة حول العقدة المجاورة. وهذا يُشكل موشورًا ثنائيًا مُقوّمًا من خمس خلايا على شكل مثلث .