بديهية الاختيار

في الرياضيات ، تُعدّ بديهية الاختيار ، ويُرمز لها اختصارًا بـ AC أو AoC ، بديهيةً من بديهيات نظرية المجموعات . بعبارةٍ أخرى، تنصّ بديهية الاختيار على أنه لأي مجموعة من المجموعات غير الفارغة، يُمكن تحديد مجموعة أخرى تحتوي على عنصر واحد مُختار من كل مجموعة، حتى لو كانت المجموعة لانهائية . من الناحية الرسمية، تُثبت البديهية الوجود لا البناء ؛ فهي تنصّ على أنه لكل مجموعة${\displaystyle I}$وكل${\displaystyle I}$- عائلة مفهرسة${\displaystyle (S_{i})_{i\in I}}$من بين المجموعات غير الفارغة ، يوجد${\displaystyle I}$مجموعة مفهرسة${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$من عناصر${\displaystyle \cup _{i\in I}S_{i}}$بحيث${\displaystyle x_{i}\in S_{i}}$لكل${\displaystyle i\in I}$. تم صياغة بديهية الاختيار في عام 1904 من قبل إرنست زيرميلو من أجل صياغة برهانه على نظرية الترتيب الجيد . ^{[ 1 ]}

في كثير من الحالات، يمكن إنشاء مجموعة باختيار عناصر دون اللجوء إلى بديهية الاختيار، خاصةً إذا كان عدد المجموعات التي يمكن اختيار العناصر منها محدودًا (حيث يمكن تطبيق الاستقراء)، أو إذا كانت هناك قاعدة معيارية متاحة لاختيار العناصر - خاصية مميزة تنطبق على عنصر واحد فقط في كل مجموعة. مثال توضيحي على ذلك هو المجموعات المختارة من الأعداد الطبيعية. من هذه المجموعات، يمكن دائمًا اختيار أصغر عدد، على سبيل المثال، إذا كانت لدينا المجموعات { {4، 5، 6}، {10، 12}، {1، 400، 617، 8000 } }، فإن المجموعة التي تحتوي على أصغر عنصر هي {4، 10، 1}. في هذه الحالة، "اختيار أصغر عدد" هو دالة اختيار . حتى لو تم جمع عدد لا نهائي من المجموعات من الأعداد الطبيعية، فسيكون من الممكن دائمًا تكوين دالة اختيار من خلال اختيار أصغر عنصر من كل مجموعة لإنتاج مجموعة؛ بديهية الاختيار غير مطلوبة هنا. من جهة أخرى، بالنسبة لمجموعة جميع المجموعات الجزئية غير الفارغة من الأعداد الحقيقية، لا توجد قاعدة معيارية معروفة يمكن من خلالها اختيار عنصر واحد من كل مجموعة جزئية. في هذه الحالة، يجب الاستعانة ببديهية الاختيار لإنشاء دالة الاختيار المطلوبة.

صاغ برتراند راسل تشبيهًا: لأي مجموعة (حتى لو كانت لانهائية) من أزواج الأحذية غير المرتبة، يمكن اختيار الحذاء الأيسر من كل زوج للحصول على مجموعة مناسبة من الأحذية؛ وهذا يُتيح تعريف دالة اختيار دون استخدام بديهية الاختيار. مع ذلك، بالنسبة لمجموعة لانهائية من أزواج الجوارب غير المرتبة (بافتراض عدم وجود سمات مميزة لها، كأن يكون الجورب أيسرًا بدلًا من أيمن)، لا توجد طريقة طبيعية (أي معيارية) لاختيار جورب واحد من كل زوج، لذا يجب اللجوء إلى بديهية الاختيار لبناء دالة الاختيار المطلوبة. ^{[ 2 ]}

على الرغم من الجدل الذي أثير حولها في البداية، تُستخدم بديهية الاختيار الآن دون تحفظ من قبل معظم علماء الرياضيات، ^{[ 3 ]} وهي مُدرجة في الشكل القياسي لنظرية المجموعات البديهية ، وهي نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات مع بديهية الاختيار (ZFC). أحد دوافع ذلك هو أن عددًا من النتائج الرياضية المقبولة عمومًا، مثل نظرية تيكونوف ، تتطلب بديهية الاختيار لإثباتها. كما يدرس علماء نظرية المجموعات المعاصرون بديهيات لا تتوافق مع بديهية الاختيار، مثل بديهية الحتمية . وبينما تتجنب بعض فروع الرياضيات البنائية بديهية الاختيار، فإن فروعًا أخرى تتبناها.

دالة الاختيار (وتسمى أيضًا المحدد أو التحديد) هي دالة${\displaystyle f}$، مُعرَّفة على مجموعة${\displaystyle X}$من المجموعات غير الفارغة، بحيث يكون لكل مجموعة${\displaystyle A}$في${\displaystyle X}$،${\displaystyle f(A)}$هو عنصر من${\displaystyle A}$وبناءً على هذا المفهوم، يمكن صياغة البديهية على النحو التالي:

ويمكن التعبير عن ذلك رسمياً على النحو التالي:

$${\displaystyle \forall X\left[\varnothing \in X\lor \exists f\left[\mathrm {dom} \ f=X\land \forall A\in X\left[f\left(A\right)\in A\right]\right]\right].}$$

كل وظيفة اختيار في عائلة${\displaystyle X}$من المجموعات غير الفارغة هو عنصر من حاصل الضرب الديكارتي للمجموعات في${\displaystyle X}$والعكس صحيح. لذلك، فإن الصيغة المكافئة لمسلمة الاختيار هي:

يشير هذا الشكل إلى شكل أكثر عمومية حيث يكون الضرب الديكارتي من عائلة مفهرسة عامة من المجموعات (والتي قد تحتوي على عناصر مكررة)، حيث يمكن للمرء دائمًا اختيار نفس العنصر من العوامل المكررة.

المتغيرات

توجد العديد من الصيغ المكافئة الأخرى لبديهية الاختيار. وهذه الصيغ مكافئة بمعنى أنها، في وجود بديهيات أساسية أخرى لنظرية المجموعات، تستلزم بديهية الاختيار وتُستلزم منها.

يتجنب أحد الاختلافات استخدام دوال الاختيار عن طريق استبدال كل دالة اختيار بنطاقها:

بالنظر إلى أي مجموعة${\displaystyle X}$، إذا لم تكن المجموعة الفارغة عنصرًا من${\displaystyle X}$وعناصر${\displaystyle X}$إذا كانت المجموعات منفصلة مثنى مثنى ، فإنه يوجد مجموعة${\displaystyle C}$بحيث يكون تقاطعها مع أي من عناصر${\displaystyle X}$يحتوي على عنصر واحد فقط. ^{[ 5 ]}

يمكن صياغة ذلك في منطق الرتبة الأولى على النحو التالي:

$$\begin{aligned}\forall x(&\\&\exists e(e\in x\land \lnot \exists y(y\in e))\lor \\&\exists a\,\exists b\,\exists c\,(a\in x\land b\in x\land c\in a\land c\in b\land \lnot (a=b))\lor \\&\exists c\,\forall e\,(e\in x\implies \exists a\,(a\in e\land a\in c\land \forall b\,((b\in e\land b\in c)\implies a=b))))\end{aligned}}}$$

لاحظ أن${\displaystyle P\lor Q\lor R}$وهو مكافئ منطقياً لـ${\displaystyle (\lnot P\land \lnot Q)\implies R}$في اللغة الإنجليزية، تُقرأ هذه الجملة من الدرجة الأولى كما يلي:

بالنظر إلى أي مجموعة${\displaystyle X}$،

${\displaystyle X}$يحتوي على المجموعة الفارغة كعنصر أو

عناصر${\displaystyle X}$ليست منفصلة بشكل متبادل أو

توجد مجموعة${\displaystyle C}$بحيث يكون تقاطعها مع أي من عناصر${\displaystyle X}$يحتوي على عنصر واحد فقط.

يضمن هذا لأي تقسيم لمجموعة${\displaystyle X}$وجود مجموعة جزئية${\displaystyle C}$ل${\displaystyle X}$يحتوي على عنصر واحد فقط من كل جزء من أجزاء القسم.

هناك بديهية مكافئة أخرى لا تأخذ في الاعتبار سوى المجموعات.${\displaystyle X}$وهي في الأساس مجموعات قوى لمجموعات أخرى:

لأي مجموعة${\displaystyle A}$، مجموعة القوى الخاصة بـ${\displaystyle A}$(بعد إزالة المجموعة الفارغة) يحتوي على دالة اختيار.

كثيراً ما يتحدث المؤلفون الذين يستخدمون هذه الصيغة عن وظيفة الاختيار في${\displaystyle A}$لكن هذا مفهوم مختلف قليلاً لدالة الاختيار. مجالها هو مجموعة القوى لـ${\displaystyle A}$(مع إزالة المجموعة الفارغة)، وبالتالي يكون ذلك منطقيًا لأي مجموعة${\displaystyle A}$بينما في التعريف المستخدم في موضع آخر من هذه المقالة، فإن مجال دالة الاختيار على مجموعة من المجموعات هو تلك المجموعة نفسها، وبالتالي لا يكون لها معنى إلا بالنسبة لمجموعات المجموعات. مع هذا المفهوم البديل لدالة الاختيار، يمكن صياغة بديهية الاختيار بإيجاز على النحو التالي:

لكل مجموعة دالة اختيار. ^{[ 6 ]}

وهو ما يعادل

لأي مجموعة${\displaystyle A}$هناك وظيفة${\displaystyle f:{\mathcal {P}}(A)\setminus \{\emptyset \}\to A}$بحيث يكون لأي مجموعة جزئية غير فارغة${\displaystyle B}$ل${\displaystyle A}$،${\displaystyle f(B)}$يكمن في${\displaystyle B}$.

وبالتالي يمكن التعبير عن نفي البديهية على النحو التالي:

هناك مجموعة${\displaystyle A}$بحيث يكون ذلك لجميع الدوال${\displaystyle f}$(على مجموعة المجموعات الجزئية غير الفارغة من${\displaystyle A}$), هناك مجموعة فرعية${\displaystyle B}$بحيث${\displaystyle f(B)}$لا يكمن في${\displaystyle B}$.

حتى أواخر القرن التاسع عشر، كان يُستخدم مبدأ الاختيار ضمنيًا في كثير من الأحيان، رغم أنه لم يُصاغ رسميًا بعد. فعلى سبيل المثال، بعد إثبات أن المجموعة X لا تحتوي إلا على مجموعات غير فارغة، كان بإمكان عالم الرياضيات أن يقول: "ليكن F ( s ) أحد عناصر s لكل s في X " لتعريف الدالة F. عمومًا، يستحيل إثبات وجود F دون مبدأ الاختيار، ولكن يبدو أن هذا الأمر لم يُلتفت إليه حتى ظهور زيرميلو.

قد يُثبت برهانٌ يتطلب بديهية الاختيار وجودَ كائنٍ ما دون تعريفه تعريفًا دقيقًا بلغة نظرية المجموعات. فعلى سبيل المثال، بينما تُشير بديهية الاختيار إلى وجود ترتيبٍ جيدٍ للأعداد الحقيقية، توجد نماذج في نظرية المجموعات لا يُمكن فيها تعريف أي ترتيبٍ جيدٍ فردي للأعداد الحقيقية، وذلك باستخدام بديهية الاختيار. وبالمثل، على الرغم من إمكانية إثبات وجود مجموعةٍ جزئيةٍ من الأعداد الحقيقية غير قابلةٍ للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ باستخدام بديهية الاختيار، إلا أنه من المنطقي عدم إمكانية تعريف مثل هذه المجموعة. ^{[ 8 ]}

تؤكد بديهية الاختيار وجود هذه الأشياء غير الملموسة (الأشياء التي ثبت وجودها، ولكن لا يمكن بناؤها بأي طريقة معيارية )، وهو ما قد يتعارض مع بعض المبادئ الفلسفية. ^{[ 9 ]} ولأنه لا يوجد ترتيب معياري سليم لجميع المجموعات، فإن أي بناء يعتمد على هذا الترتيب قد لا يُنتج نتيجة معيارية، حتى لو كانت النتيجة المعيارية مطلوبة (كما هو الحال غالبًا في نظرية الفئات ). وقد استُخدم هذا كحجة ضد استخدام بديهية الاختيار.

من الحجج الأخرى ضد بديهية الاختيار أنها تفترض وجود أشياء قد تبدو منافية للمنطق. ^{[ 10 ]} ومن الأمثلة على ذلك مفارقة باناخ-تارسكي ، التي تنص على أنه من الممكن تجزئة الكرة الصلبة ثلاثية الأبعاد إلى عدد محدود من القطع، وباستخدام الدوران والانتقال فقط، إعادة تجميع هذه القطع إلى كرتين صلبتين، لكل منهما نفس حجم الكرة الأصلية. وتُعدّ القطع في هذا التجزئة، المُنشأة باستخدام بديهية الاختيار، مجموعات غير قابلة للقياس .

على الرغم من هذه النتائج التي تبدو متناقضة، يقبل معظم علماء الرياضيات بديهية الاختيار كمبدأ صحيح لإثبات نتائج جديدة في الرياضيات. إلا أن النقاش حولها مثير للاهتمام لدرجة أنه يُعتبر جديرًا بالذكر عندما تكون نظرية في نظرية ZFC (ZF بالإضافة إلى AC) مكافئة منطقيًا (باستخدام بديهيات ZF فقط) لبديهية الاختيار، ويبحث علماء الرياضيات عن نتائج تتطلب خطأ بديهية الاختيار، مع أن هذا النوع من الاستنتاج أقل شيوعًا من النوع الذي يتطلب صحة بديهية الاختيار.

تظل نظريات ZF صحيحة في أي نموذج من تلك النظرية، بغض النظر عن صحة أو خطأ بديهية الاختيار في ذلك النموذج تحديدًا. أما دلالات الاختيار المذكورة أدناه، بما في ذلك الصيغ الأضعف للبديهية نفسها، فهي ليست نظريات ZF. فعلى سبيل المثال، لا يمكن إثبات مفارقة باناخ-تارسكي أو دحضها باستخدام ZF وحدها: إذ يستحيل بناء التفكيك المطلوب للكرة الوحدوية في ZF، كما يستحيل إثبات عدم وجود هذا التفكيك. ويمكن إعادة صياغة هذه العبارات كعبارات شرطية، مثل: "إذا تحققت بديهية الاختيار، فإن التفكيك في مفارقة باناخ-تارسكي موجود". وتكون هذه العبارات الشرطية قابلة للإثبات في ZF عندما تكون العبارات الأصلية قابلة للإثبات باستخدام ZF وبديهية الاختيار.

كما ذُكر سابقًا، في النظرية الكلاسيكية لـ ZFC، تُمكّن بديهية الاختيار من تقديم براهين غير بنائية تُثبت وجود نوع من الكائنات دون الحاجة إلى بناء نموذجي صريح لمثال من هذا النوع. في الواقع، في نظرية المجموعات ونظرية التوبوس ، تُبين نظرية دياكونيسكو أن بديهية الاختيار تستلزم قانون الوسط المرفوع . وبالتالي، فإن هذا المبدأ غير متاح في نظرية المجموعات البنائية ، حيث يُستخدم المنطق غير الكلاسيكي.

يختلف الوضع عند صياغة المبدأ في نظرية مارتن-لوف للأنواع . ففيها، وفي حساب هايتينغ ذي الرتبة الأعلى ، يُدرج البيان المناسب لبديهية الاختيار (بحسب المنهج) كبديهية أو يُبرهن عليه كنظرية. ^{[ 11 ]} ويعود سبب هذا الاختلاف إلى أن بديهية الاختيار في نظرية الأنواع لا تمتلك خصائص الامتداد التي تمتلكها في نظرية المجموعات البنائية. ^{[ 12 ]} وسيُناقش سياق نظرية الأنواع بمزيد من التفصيل لاحقًا.

لقد دُرست مبادئ الاختيار المختلفة دراسةً وافيةً في السياقات البنائية، ويختلف وضع هذه المبادئ بين المدارس المختلفة وفروع الرياضيات البنائية. تستخدم بعض نتائج نظرية المجموعات البنائية بديهية الاختيار القابل للعد أو بديهية الاختيار التابع ، وهما لا يستلزمان قانون الوسط المرفوع. وقد جادل إيريت بيشوب ، المعروف بتطويره إطارًا للتحليل البنائي ، بأن بديهية الاختيار مقبولة بنائيًا، قائلًا:

توجد دالة الاختيار في الرياضيات البنائية، لأن الاختيار متضمن في معنى الوجود نفسه. ^{[ 13 ]}

على الرغم من أن بديهية الاختيار القابل للعد تُستخدم بشكل شائع في الرياضيات البنائية، إلا أن استخدامها قد تم التشكيك فيه أيضاً. ^{[ 14 ]}

من المعروف منذ عام 1922 أن بديهية الاختيار قد تفشل في أحد متغيرات ZF مع العناصر الأولية ، وذلك من خلال تقنية نماذج التبديل التي قدمها أبراهام فرانكل ^{[ 15 ]} وطورها أندريه موستوفسكي ^{[ 16 ]} . يمكن توضيح التقنية الأساسية كما يلي: ليكن xₙ و yₙ عنصرين أوليين مختلفين حيث n = 1، 2، 3، ... ، ولنُنشئ نموذجًا تكون فيه كل مجموعة متناظرة تحت التبديل xₙ ↔ _yₙ لجميع قيم n _{باستثناء} عدد _محدود منها . عندئذٍ ، يمكن أن تكون المجموعة X = {{ x₁ _, y₁ }, { x₂ , _{y₂ }} , { _x₃ , y₃ }, ...} موجودة في النموذج ، بينما لا يمكن _{أن تكون} مجموعات مثل { x₁ _, x₂ , _x₃ , ... } موجودة فيه، وبالتالي لا يمكن _{أن تحتوي} X على دالة اختيار.

في عام ١٩٣٨، ^{[ ١٧ ]} أثبت كورت غودل أن نفي بديهية الاختيار ليس نظريةً في نظرية ZF، وذلك من خلال بناء نموذج داخلي ( الكون القابل للبناء ) يحقق ZFC، مُبينًا بذلك أن ZFC متسقة إذا كانت ZF نفسها متسقة. وفي عام ١٩٦٣، استخدم بول كوهين تقنية الإجبار ، التي طُوّرت لهذا الغرض، ليُثبت أنه بافتراض اتساق ZF، فإن بديهية الاختيار نفسها ليست نظريةً في ZF. وقد فعل ذلك من خلال بناء نموذج أكثر تعقيدًا يحقق ZF¬C (ZF مع إضافة نفي AC كبديهية)، مُبينًا بذلك أن ZF¬C متسقة. نموذج كوهين هو نموذج متناظر ، يُشبه نماذج التبديل، ولكنه يستخدم مجموعات فرعية "عامة" من الأعداد الطبيعية (مُبررة بالإجبار) بدلًا من العناصر. ^{[ ١٨ ]}

تُثبت هذه النتائج مجتمعةً أن بديهية الاختيار مستقلة منطقيًا عن نظرية المجموعات الصفرية (ZF). إن افتراض اتساق نظرية المجموعات الصفرية غير ضار، لأن إضافة بديهية أخرى إلى نظام غير متسق أصلًا لا يُفاقم الوضع. وبسبب الاستقلال، لا يُمكن اتخاذ قرار استخدام بديهية الاختيار (أو نفيها) في البرهان بالاستناد إلى بديهيات أخرى في نظرية المجموعات، بل يجب أن يستند إلى أسس أخرى.

إحدى الحجج المؤيدة لاستخدام بديهية الاختيار هي سهولتها، إذ تُمكّن من إثبات بعض القضايا المُبسّطة التي يتعذر إثباتها بطرق أخرى. العديد من النظريات التي يُمكن إثباتها باستخدام بديهية الاختيار ذات طابع عام أنيق: فعدد عناصر أي مجموعتين قابل للمقارنة، ولكل حلقة أحادية غير تافهة مثال أعظمي، ولكل فضاء متجهي أساس ، ولكل رسم بياني متصل شجرة ممتدة ، وكل حاصل ضرب فضاءات متراصة متراصة ، وغيرها الكثير. في كثير من الأحيان، تُتيح بديهية الاختيار تعميم النظرية على نطاق أوسع. على سبيل المثال، يُمكن إثبات أن لكل فضاء متجهي ذي بُعد محدود أساسًا دون استخدام بديهية الاختيار، لكن التعميم على جميع الفضاءات المتجهة يتطلب استخدام بديهية الاختيار. وبالمثل، يُمكن إثبات أن حاصل ضرب محدود من الفضاءات المتراصة متراصة متراصة دون استخدام بديهية الاختيار، لكن التعميم على حاصل الضرب اللانهائي ( نظرية تيكونوڤ ) يتطلب استخدام بديهية الاختيار.

يُظهر برهان نتيجة الاستقلال أيضًا أن فئة واسعة من العبارات الرياضية، بما في ذلك جميع العبارات التي يمكن صياغتها بلغة حساب بيانو ، قابلة للإثبات في ZF إذا وفقط إذا كانت قابلة للإثبات في ZFC. ^{[ 19 ]} تشمل هذه العبارات العبارة P = NP ، وفرضية ريمان ، والعديد من المسائل الرياضية الأخرى غير المحلولة. عند محاولة حل مسائل من هذه الفئة، لا فرق بين استخدام ZF أو ZFC إذا كان السؤال الوحيد هو وجود برهان. مع ذلك، من الممكن أن يكون برهان نظرية ما أقصر في ZFC منه في ZF.

إن بديهية الاختيار ليست العبارة المهمة الوحيدة المستقلة عن ZF. فعلى سبيل المثال، فرضية الاستمرارية المعممة (GCH) ليست مستقلة عن ZF فحسب، بل مستقلة أيضًا عن ZFC. ومع ذلك، فإن ZF بالإضافة إلى GCH تستلزم AC، مما يجعل GCH ادعاءً أقوى من AC، على الرغم من أنهما مستقلان عن ZF.

إن بديهية قابلية الإنشاء وفرضية الاستمرارية المعممة تستلزمان بديهية الاختيار، وهما أقوى منها من الناحية النظرية. في نظريات الأصناف، مثل نظرية فون نيومان-بيرنايز-غودل ونظرية مورس-كيلي ، توجد بديهية تُسمى بديهية الاختيار الشامل ، وهي أقوى من بديهية اختيار المجموعات لأنها تنطبق أيضًا على الأصناف الفعلية. وتنبثق بديهية الاختيار الشامل من بديهية محدودية الحجم . أما بديهية تارسكي، المستخدمة في نظرية تارسكي-غروتينديك، والتي تنص (بشكل مبسط) على أن كل مجموعة تنتمي إلى كون غروتينديك ، فهي أقوى من بديهية الاختيار.

توجد عبارات مهمة، بافتراض بديهيات ZF دون افتراض بديهيات AC أو ¬AC، تُكافئ بديهية الاختيار (أي أن قيمها الصوابية في ZF، وإن كانت غير قابلة للتقرير، هي نفسها في AC). ^{[ 20 ]} ومن أهمها لِمّة زورن ونظرية الترتيب الجيد . في الواقع، قدّم زيرميلو بديهية الاختيار في البداية لصياغة برهانه لنظرية الترتيب الجيد.

• نظرية المجموعات
  • التقسيم الثلاثي: عدد عناصر أي مجموعتين قابل للمقارنة. أي أنه عند وجود أي مجموعتين، يوجد عنصر حقن من (على الأقل) إحدى المجموعتين إلى الأخرى.
  • نظرية تارسكي حول الاختيار : لكل مجموعة غير منتهية${\displaystyle A}$المجموعات${\displaystyle A}$و${\displaystyle A\times A}$لهما نفس العددية ؛ أي أن هناك تقابلاً بينهما.
  • كل تخمين${\displaystyle f:S\to T}$لها دالة عكسية يمنى ؛ أي، توجد دالة${\displaystyle g:T\to S}$بحيث${\displaystyle f\circ g=\mathrm {id} _{T}}$.
  • لكل مجموعة منفصلة${\displaystyle {\mathcal {C}}}$من بين المجموعات غير الفارغة، توجد مجموعة${\displaystyle C\subseteq \cup _{S\in {\mathcal {C}}}(S)}$الذي يتقاطع مع كل عضو من${\displaystyle {\mathcal {C}}}$في عنصر واحد فقط. أي أن كل تقسيم لمجموعة ما له قاطع . ^{[ 21 ]}
  • إذا كانت العلاقة${\displaystyle R}$من مجموعة${\displaystyle X}$إلى مجموعة${\displaystyle Y}$يمتلك الخاصية التي لكل${\displaystyle x\in X}$، هناك${\displaystyle y\in Y}$مع${\displaystyle xRy}$إذن توجد دالة${\displaystyle f:X\to Y}$بحيث${\displaystyle xRf(x)}$للجميع${\displaystyle x\in X}$.
  • حاصل الضرب الديكارتي لأي عائلة مفهرسة من المجموعات غير الفارغة هو مجموعة غير فارغة. أي، لأي مجموعة${\displaystyle I}$وأي${\displaystyle I}$عائلة مفهرسة${\displaystyle (S_{i})_{i\in I}}$من بين المجموعات غير الفارغة، يوجد${\displaystyle I}$مجموعة مفهرسة${\displaystyle (s_{i})_{i\in I}}$من العناصر في${\displaystyle \cup _{i\in I}(S_{i})}$بحيث${\displaystyle s_{i}\in S_{i}}$للجميع${\displaystyle i\in I}$.
  • في أي مجموعة${\displaystyle {\mathcal {A}}}$من بين المجموعات غير الفارغة، توجد مجموعة فرعية منفصلة${\displaystyle {\mathcal {C}}}$من المجموعات التي اتحادها${\displaystyle \cup _{S\in {\mathcal {C}}}(S)}$يتقاطع مع جميع أعضاء${\displaystyle {\mathcal {A}}}$(لاحظ أن مثل هذه المجموعة الفرعية المنفصلة هي تحديدًا المجموعة القصوى فيما يتعلق بتضمين المجموعة.)
  • لأي مجموعة${\displaystyle X}$توجد مجموعة قصوى (في ظل احتواء المجموعة)${\displaystyle {\mathcal {A}}}$من مجموعات فرعية من${\displaystyle X}$والتي من أجلها كل مجموعة فرعية محدودة${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ل${\displaystyle {\mathcal {A}}}$يوجد تقاطع غير فارغ${\displaystyle \cap _{S\in {\mathcal {C}}}(S)}$(هذا البيان هو مفتاح البرهان القياسي لنظرية تيكونوڤ .)
  • نظرية الترتيب الجيد : كل مجموعة${\displaystyle A}$لها ترتيب جيد (أي ترتيب كلي تكون فيه كل مجموعة فرعية غير فارغة من${\displaystyle A}$(يحتوي على عنصر أدنى). وبالتالي، فإن لكل عدد أصلي عدد ترتيبي ابتدائي .
  • لكل عدد ترتيبي${\displaystyle \alpha }$، مجموعة القوى (أي مجموعة جميع المجموعات الجزئية) من${\displaystyle \alpha }$يتمتع بنظام جيد.
  • مبدأ هاوسدورف الأقصى : لكل مجموعة مرتبة جزئياً سلسلة قصوى (فيما يتعلق بالاحتواء). وبالمثل، في مجموعة مرتبة جزئياً، يمكن تمديد كل سلسلة إلى سلسلة قصوى.
  • مبدأ السلسلة المضادة : لكل مجموعة مرتبة جزئياً سلسلة مضادة قصوى (فيما يتعلق بالاحتواء). وبالمثل، في أي مجموعة مرتبة جزئياً، يمكن تمديد كل سلسلة مضادة إلى سلسلة مضادة قصوى.
  • معضلة زورن : إذا${\displaystyle (A,<)}$هي أي مجموعة مرتبة جزئياً يكون لكل سلسلة فيها حد أعلى${\displaystyle A}$، ثم${\displaystyle (A,<)}$يحتوي على عنصر أقصى واحد على الأقل.
  • معضلة كوراتوفسكي : إذا${\displaystyle {\mathcal {A}}}$هي أي عائلة من المجموعات التي تتمتع بالخاصية التي لأي عائلة فرعية${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ل${\displaystyle {\mathcal {A}}}$الاتحاد، المرتب بالكامل عن طريق تضمين المجموعة${\displaystyle \cup _{A\in {\mathcal {C}}}(A)}$هو عنصر من${\displaystyle {\mathcal {A}}}$، ثم${\displaystyle {\mathcal {A}}}$يحتوي على عنصر واحد على الأقل يكون أقصى فيما يتعلق بالتضمين.
  • معضلة توكي : إذا${\displaystyle {\mathcal {A}}}$هي أي عائلة من المجموعات الجزئية لمجموعة${\displaystyle X}$مع خاصية أن مجموعة${\displaystyle B\subseteq X}$هو عنصر من${\displaystyle {\mathcal {A}}}$إذا وفقط إذا كانت كل مجموعة جزئية منتهية من${\displaystyle B}$هو عنصر من${\displaystyle {\mathcal {A}}}$، ثم${\displaystyle {\mathcal {A}}}$يحتوي على عنصر واحد على الأقل يكون أقصى فيما يتعلق بالتضمين.
  • نظرية كونيغ : بشكل غير رسمي، مجموع متتالية من الأعداد الأصلية أقل تمامًا من حاصل ضرب متتالية من الأعداد الأصلية الأكبر منها. (سبب استخدام مصطلح "بشكل غير رسمي" هو أن مجموع أو حاصل ضرب "متتالية" من الأعداد الأصلية لا يمكن تعريفه بحد ذاته دون مراعاة جانب من جوانب بديهية الاختيار).
• الجبر المجرد
  • لكل فضاء متجهي أساس ؛ أو بعبارة أخرى، يمكن تمديد كل مجموعة جزئية مستقلة خطيًا من فضاء متجهي إلى أساس، بينما تحتوي كل مجموعة جزئية مولدة على أساس. بلغة نظرية الوحدات ، جميع الفضاءات المتجهة هي وحدات حرة . ^{[ 22 ]}
  • نظرية كرول : كل حلقة أحادية غير تافهة تحتوي على مثالي أقصى ؛ وبالمثل، يمكن تمديد كل مثالي مناسب لحلقة أحادية إلى مثالي أقصى.
  • لكل مجموعة غير فارغة${\displaystyle S}$توجد عملية ثنائية معرفة على${\displaystyle S}$وهذا يعطيها بنية جماعية . ^{[ 23 ]} ( تكفي عملية ثنائية قابلة للإلغاء ؛ انظر بنية المجموعة وبديهية الاختيار .)
  • كل زمرة أبيلية حرة هي زمرة إسقاطية . ^{[ 24 ]}
  • معيار باير: كل زمرة أبيلية قابلة للقسمة هي زمرة أحادية . ^{[ 24 ]}
  • كل مجموعة هي كائن إسقاطي في فئة المجموعات . ^{[ 25 ] [ 26 ]}
• التحليل الوظيفي
  • الكرة المغلقة ذات الوحدة للفضاء الثنائي لفضاء متجه معياري على الأعداد الحقيقية لها نقطة قصوى .
• طوبولوجيا مجموعة النقاط
  • نظرية تيكونوف : حاصل ضرب أي عائلة مفهرسة من الفضاءات الطوبولوجية المدمجة يكون مدمجًا.
  • إن إغلاق ناتج أي عائلة مفهرسة من المجموعات الفرعية لفضاء طوبولوجي يساوي ناتج إغلاق تلك المجموعات الفرعية.
• المنطق الرياضي
  • لو${\displaystyle S}$هي مجموعة من الجمل المنطقية من الدرجة الأولى و${\displaystyle B}$هي مجموعة فرعية متسقة من${\displaystyle S}$، ثم${\displaystyle B}$يتم تضمينها في مجموعة تكون قصوى بين المجموعات الفرعية المتسقة من${\displaystyle S}$الحالة الخاصة حيث${\displaystyle S}$إن مجموعة جميع الجمل من الدرجة الأولى في توقيع معين أضعف، وهو ما يعادل نظرية المثالي الأولي البولياني ؛ انظر القسم "الأشكال الأضعف" أدناه.
  • نظرية لوفنهايم-سكوليم : إذا كانت نظرية من الدرجة الأولى تحتوي على نموذج لانهائي، فإن لديها نموذجًا لانهائيًا لكل عدد ممكن أكبر من أو يساوي عدد لغة هذه النظرية.
• نظرية الرسم البياني
  • كل رسم بياني متصل يحتوي على شجرة ممتدة ؛ وبصورة مكافئة، يمكن تمديد كل شجرة في رسم بياني متصل إلى شجرة ممتدة، بينما يحتوي كل رسم بياني فرعي ممتد على شجرة ممتدة. ^{[ 27 ] [ 28 ]}

توجد عدة عبارات أضعف لا يمكن إثباتها في نظرية ZF، وهي مستنتجة منطقيًا من بديهية الاختيار (AC) ضمن ZF، لكنها لا تُكافئها. من الأمثلة على ذلك بديهية الاختيار التابع (DC). ومثال أضعف منها بديهية الاختيار المعدود (AC _ω أو CC)، التي تنص على وجود دالة اختيار لأي عائلة معدودة من المجموعات غير الفارغة. هذه البديهيات كافية للعديد من البراهين في التحليل الرياضي الابتدائي ، وتتوافق مع بعض المبادئ، مثل قابلية قياس ليبيغ لجميع المجموعات الجزئية من الأعداد الحقيقية، والتي يمكن دحضها باستخدام بديهية الاختيار الكاملة.

بفرض وجود مُعامل ترتيبي α ≥ ω + 2، فإن كل مجموعة S ذات رتبة أقل من α تكون قابلة للترتيب الجيد. وبفرض وجود مُعامل ترتيبي α ≥ 1 ، فإن كل مجموعة S ذات عدد هارتوغز أقل من ω _α تكون قابلة للترتيب الجيد. ومع زيادة قيمة المُعامل الترتيبي ، تقترب هذه النتائج من بديهية الاختيار الكاملة بشكل متزايد.

تتضمن بديهيات الاختيار الأخرى الأضعف من بديهية الاختيار نظرية المثالي الأولي البولياني وبديهية التوحيد . الأولى مكافئة في ZF لمعضلة المرشح الفائق لتارسكي عام 1930 : كل مرشح هو مجموعة جزئية من مرشح فائق ما .

إذا اختصرنا الادعاء بأن كل مجموعة من الأعداد الحقيقية تمتلك خاصية باير بالرمز BP ، فإن BP أقوى من ¬AC، الذي يؤكد عدم وجود أي دالة اختيار على مجموعة واحدة فقط من المجموعات غير الفارغة. قد تكون النفيات المعززة متوافقة مع الصيغ المخففة لـ AC. على سبيل المثال، ZF + DC ^{[ 39 ]} + BP متسقة، إذا كانت ZF كذلك.

يتوافق أيضًا مع نظرية ZF + DC أن كل مجموعة من الأعداد الحقيقية قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ ، لكن هذه النتيجة التوافقية، التي تعود إلى روبرت م. سولوفاي ، لا يمكن إثباتها في نظرية ZFC نفسها، بل تتطلب افتراضًا بسيطًا يتعلق بالعدد الأصلي الكبير (وجود عدد أصلي غير قابل للوصول ). وتفترض بديهية الحتمية ، أو AD، الأقوى بكثير ، أن كل مجموعة من الأعداد الحقيقية قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ، وتتمتع بخاصية باير، وخاصية المجموعة الكاملة (جميع هذه النتائج الثلاث تُدحضها بديهية AC نفسها). وتكون نظرية ZF + DC + AD متسقة بشرط أن تكون بديهية العدد الأصلي الكبير القوية كافية ومتسقة (وجود عدد لا نهائي من أعداد وودين الأصلية ).

يستمد نظام كواين لنظرية المجموعات البديهية، المسمى " الأسس الجديدة " (NF)، اسمه من عنوان مقالة عام 1937 التي قدمته ("الأسس الجديدة للمنطق الرياضي"). في نظام NF البديهي، يمكن دحض بديهية الاختيار. ^{[ 40 ]}

توجد نماذج لنظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات يكون فيها بديهية الاختيار خاطئة. سنختصر عبارة "نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات بالإضافة إلى نفي بديهية الاختيار" بالرمز ZF¬C. بالنسبة لبعض نماذج ZF¬C، من الممكن التحقق من صحة نفي بعض نظريات ZFC القياسية. وبما أن أي نموذج لـ ZF¬C هو أيضًا نموذج لـ ZF، فإنه لكل عبارة من العبارات التالية، يوجد نموذج لـ ZF تكون فيه تلك العبارة صحيحة.

• نفي مبدأ التقسيم الضعيف : توجد مجموعة يمكن تقسيمها إلى فئات تكافؤ أكثر من عدد عناصر المجموعة الأصلية، ودالة يكون مجالها أصغر من مداها. في الواقع، هذا هو الحال في جميع النماذج المعروفة .
• توجد دالة f من الأعداد الحقيقية إلى الأعداد الحقيقية بحيث تكون f غير متصلة عند a ، ولكن f متصلة بالتتابع عند a ، أي لأي متتالية { x _n } تتقارب إلى a ، lim _n f( x _n )=f(a).
• توجد مجموعة لا نهائية من الأعداد الحقيقية بدون مجموعة جزئية لا نهائية قابلة للعد.
• الأعداد الحقيقية هي اتحاد قابل للعد لمجموعات قابلة للعد. ^{[ 41 ]} هذا لا يعني أن الأعداد الحقيقية قابلة للعد: كما ذُكر أعلاه، فإن إثبات أن اتحادًا قابلًا للعد لمجموعات قابلة للعد هو نفسه قابل للعد يتطلب بديهية الاختيار القابل للعد .
• يوجد حقل بدون إغلاق جبري.
• يوجد حقل يحتوي على إغلاقين جبريين غير متماثلين.
• في جميع نماذج ZF¬C يوجد فضاء متجه بدون أساس.
• يوجد فضاء متجهي ذو قاعدتين مختلفتين في عدد العناصر.
• يوجد جبر بولياني كامل مجاني على عدد قابل للعد من المولدات. ^{[ 42 ]}
• هناك مجموعة لا يمكن ترتيبها خطيًا .
• يوجد نموذج لنظرية ZFC يكون فيه كل مجموعة في Rⁿ ^قابلة للقياس . وبالتالي، يُمكن استبعاد النتائج غير البديهية، مثل مفارقة باناخ-تارسكي ، التي يُمكن إثباتها في ZFC. علاوة على ذلك، يُمكن تحقيق ذلك بافتراض بديهية الاختيار التابع ، وهي أضعف من بديهية الاختيار التابع، لكنها كافية لتطوير معظم التحليل الحقيقي .
• في جميع نماذج ZF¬C، لا تنطبق فرضية الاستمرارية المعممة .

للاطلاع على البراهين، انظر جيتش (2008) .

بالإضافة إلى ذلك، من خلال فرض شروط قابلية التعريف على المجموعات (بمعنى نظرية المجموعات الوصفية )، يمكن في كثير من الأحيان إثبات نسخ مقيدة من بديهية الاختيار انطلاقًا من بديهيات لا تتوافق مع الاختيار العام. ويظهر هذا، على سبيل المثال، في مبرهنة موشوفاكيس للترميز .

في نظرية الأنواع ، يُعرف نوع مختلف من العبارات باسم بديهية الاختيار. يبدأ هذا الشكل بنوعين، σ و τ، وعلاقة R بين كائنات من النوع σ وكائنات من النوع τ. تنص بديهية الاختيار على أنه إذا كان لكل x من النوع σ يوجد y من النوع τ بحيث R ( x , y )، فإنه توجد دالة f من كائنات النوع σ إلى كائنات النوع τ بحيث R ( x , f ( x )) صحيحة لجميع x من النوع σ.

$${\displaystyle (\forall x^{\sigma })(\exists y^{\tau })R(x,y)\to (\exists f^{\sigma \to \tau })(\forall x^{\sigma })R(x,f(x)).}$$

على عكس نظرية المجموعات، فإن بديهية الاختيار في نظرية الأنواع عادة ما يتم ذكرها كمخطط بديهي ، حيث يتغير R على جميع الصيغ أو على جميع الصيغ ذات شكل منطقي معين.

• بلاس، أندرياس (1979). "الحقنية، والإسقاطية، وبديهية الاختيار" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 255 : 31-59 . doi : 10.2307/1998165 . JSTOR 1998165 . 
• داوسون، جيه دبليو (أغسطس 2006). "أسس مهتزة أم إعادة تنظيم رائدة؟ تقييم مئوي لتأثير كورت غودل على المنطق والرياضيات وعلوم الحاسوب". وقائع الندوة السنوية الحادية والعشرين لمعهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات حول المنطق في علوم الحاسوب (LICS 2006) . الصفحات 339-341 . doi : 10.1109/LICS.2006.47 . ISBN  978-0-7695-2631-7. S2CID 15526447 . 
• فرانكل ، أبراهام (1922)، “Der Begriff “definit” und die Unabhängigkeit des Auswahlaxioms”، Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften : 253– 257، JFM 48.0199.02 
• فرانكل، أبراهام أ .؛ بار-هيلل، يهوشوا ؛ ليفي، عزرييل (1973). أسس نظرية المجموعات (  الطبعة الثانية). أمستردام-لندن: دار نشر نورث هولاند. ص 69-70 . ISBN  9780080887050MR 0345816 .​ 
• هجنال، ع . كيرتيش، أ. (1972). “بعض المعادلات الجبرية الجديدة لبديهية الاختيار”. نشر. الرياضيات. ديبريسين . 19 ( 1– 4): 339– 340. دوى : 10.5486/PMD.1972.19.1-4.37 .
• هالموس، بول ر. (1960). نظرية المجموعات الساذجة . سلسلة الجامعة في الرياضيات الجامعية. برينستون، نيوجيرسي: شركة فان نوستراند. Zbl 0087.04403 . 
• هيرليش، هورست (2006). بديهية الاختيار . مذكرة محاضرة في الرياضيات. 1876. برلين: سبرينغر-فيرلاغ . رقم ISBN 978-3-540-30989-5.
• هوارد، بول؛ روبين، جين إي. (1998)، نتائج بديهية الاختيار ، دراسات وبحوث رياضية، المجلد  59، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 9780821809778
• جيتش، توماس (2008) [1973]. بديهية الاختيار . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر . ISBN 978-0-486-46624-8.
• جيتش، توماس (1977). "حول بديهية الاختيار". في جون باروايز (محرر). دليل المنطق الرياضي .
• ليفي، عزريل (1958). "استقلالية التعريفات المختلفة للنهائية" (ملف PDF) . Fundamenta Mathematicae . 46 : 1-13 . doi : 10.4064/fm-46-1-1-13 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 9 أكتوبر 2022.
• ماك لين، سوندرز (1986). الرياضيات، الشكل والوظيفة . سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-96217-4.
• مارتن-لوف، بير (2008). "مئة عام على بديهية زيرميلو للاختيار: ما هي مشكلتها؟". في: ليندستروم، ستين؛ بالمغرين، إريك؛ سيغربرغ، كريستر؛ ستولتنبرغ-هانسن، فيغو (محررون). المنطقية، والحدسية، والشكلية: ما الذي آل إليه مصيرها؟ سبرينغر. ISBN 978-1-4020-8925-1.
• مندلسون، إليوت (1964). مقدمة في المنطق الرياضي . نيويورك: فان نوستراند رينهولد.
• مور، غريغوري هـ. (1982). بديهية زيرميلو للاختيار: أصولها وتطورها وتأثيرها . سبرينغر . ISBN 978-0-387-90670-6.متوفر كطبعة معاد طباعتها من قبل دار نشر دوفر ، 2013، رقم ISBN 0-486-48841-1.
• Mostowski، Andrzej (1938)، “Über den Begriff einer Endlichen Menge”، Comptes Rendus des Séances de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie، Classe III ، 31 ( 8): 13–20
• مور، غريغوري هـ (2013) [1982]. بديهية زيرميلو للاختيار: أصولها وتطورها وتأثيرها . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-48841-7.
• روزنبرغ، ستيفن (21 ديسمبر 2021). مدخل إلى الجبر المجرد . دار نشر سي آر سي. رقم ISBN 9781000516333.
• روزنبلوم، بول سي. (2005). عناصر المنطق الرياضي . منشورات كوريير دوفر. ISBN 9780486446172.
• روبين، هيرمان ؛ روبين، جين إي. (أبريل 1970) [1963]. مكافئات بديهية الاختيار (الطبعة الثانية  ). نورث هولاند / إلسيفير. ISBN 9780720422252.
• روبين، هيرمان ؛ روبين، جين إي. (يوليو 1985). مكافئات بديهية الاختيار II . نورث هولاند / إلسيفير. ISBN 0-444-87708-8.
• راسل، برتراند (1993) [1919]. مدخل إلى الفلسفة الرياضية . نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-27724-0.
• شيشتر، إريك (1996). دليل التحليل وأسسه . سان دييغو، كاليفورنيا: دار النشر الأكاديمية. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 . 
• سوبس، باتريك (1972) [1960]. نظرية المجموعات البديهية . مينولا، نيويورك: دوفر. ISBN 978-0-486-61630-8.
• تورلاكيس، جورج (2003). محاضرات في المنطق ونظرية المجموعات. المجلد الثاني: نظرية المجموعات . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-511-06659-7.
• زيرميلو، إرنست (1904). "Beweis، dass jede Menge wohlgeordnet werden kann" (طبع) . الرياضيات أنالن . 59 (4): 514-16 . دوى : 10.1007 / BF01445300 . S2CID 124189935 . 
• زيرميلو، إرنست (1908). "Unter suchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I" (PDF) . الرياضيات أنالن . 65 (2): 261-281 . دوى : 10.1007 / BF01449999 . تم الاسترجاع في 15 مايو 2025 .

ترجمة: جان فان هيجينورت ، 2002. من فريجه إلى غودل: كتاب مرجعي في المنطق الرياضي، 1879-1931 . طبعة جديدة. مطبعة جامعة هارفارد . ISBN 0-674-32449-8

• 1904. "إثبات أن كل مجموعة يمكن ترتيبها بشكل جيد"، 139-41.
• 1908. "دراسات في أسس نظرية المجموعات I"، 199-215.

• مدخل "بديهية الاختيار" في موسوعة سبرينغر للرياضيات .
• مدخل "مبدأ الاختيار وما يعادله" في موقع ProvenMath. يتضمن هذا المدخل بيانًا رسميًا لمبدأ الاختيار، ومبدأ هاوسدورف الأقصى، ومبرهنة زورن، بالإضافة إلى براهين رسمية على تكافؤها بأدق التفاصيل.
• عواقب بديهية الاختيار مؤرشفة في 15 مايو 2021 في Wayback Machine ، استنادًا إلى كتاب بول هوارد مؤرشفة في 26 فبراير 2021 في Wayback Machine وجين روبين.
• مدخل "مبدأ الاختيار"بقلم جون لين بيل في موسوعة ستانفورد للفلسفة .