مجموعة الضفائر

عندما يكون X هو المستوى، يمكن إغلاق الجديلة ، أي يمكن توصيل الأطراف المتناظرة في أزواج، لتشكيل وصلة ، أي اتحاد متشابك محتمل لحلقات معقودة محتملة في ثلاثة أبعاد. يمكن أن يتراوح عدد مكونات الوصلة من 1 إلى n ، اعتمادًا على تبديل الخيوط الذي تحدده الوصلة. تُبين نظرية جيه دبليو ألكسندر أنه يمكن الحصول على كل وصلة بهذه الطريقة كـ"إغلاق" للجديلة. قارن ذلك بوصلات الخيوط .

يمكن أن تُنتج الضفائر المختلفة نفس الرابط، تمامًا كما يمكن أن تُنتج مخططات التقاطع المختلفة نفس العقدة . في عام 1935، وصف أندريه ماركوف الابن حركتين على مخططات الضفائر تُؤديان إلى التكافؤ في الضفائر المغلقة المقابلة. ^{[ 7 ]} نُشرت نسخة من نظرية ماركوف، تتضمن حركة واحدة، في عام 1997. ^{[ 8 ]}

قام فوغان جونز في الأصل بتعريف متعدد الحدود الخاص به على أنه ثابت الجديلة ثم أظهر أنه يعتمد فقط على فئة الجديلة المغلقة.

تُعطي نظرية ماركوف الشروط اللازمة والكافية التي بموجبها تكون إغلاقات جديلتين روابط متكافئة. ^{[ 9 ]}

يُعرَّف "مؤشر الجديلة" بأنه أقل عدد من الخيوط اللازمة لعمل تمثيل جديلة مغلقة للوصلة. وهو يساوي أقل عدد من دوائر سيفرت في أي إسقاط للعقدة. ^{[ 10 ]}

انظر إلى الضفائر الثلاث التالية:

${\displaystyle \sigma _{1}}$	${\displaystyle \sigma _{2}}$	${\displaystyle \sigma _{3}}$

كل ضفيرة في${\displaystyle B_{4}}$يمكن كتابة ذلك على أنه تركيب لعدد من هذه الضفائر ومعكوساتها. بعبارة أخرى، تُولّد هذه الضفائر الثلاث المجموعة${\displaystyle B_{4}}$ولرؤية ذلك، يتم فحص ضفيرة عشوائية من اليسار إلى اليمين بحثًا عن نقاط التقاطع. ويتم ترقيم الخيوط بدءًا من الأعلى، كلما حدث تقاطع بين الخيوط${\displaystyle i}$و${\displaystyle i+1}$عند مواجهته،${\displaystyle \sigma _{i}}$أو${\displaystyle \sigma _{i}^{-1}}$يتم تدوينها، اعتمادًا على ما إذا كان الخيط${\displaystyle i}$يتحرك فوق أو تحت الخيط${\displaystyle i+1}$عند الوصول إلى الطرف الصحيح، تم كتابة الضفيرة كمنتج لـ${\displaystyle \sigma _{i}}$ومعكوساتها.

من الواضح أن

(أنا)${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{3}=\sigma _{3}\sigma _{1}}$،

بينما العلاقتان التاليتان ليستا واضحتين تماماً:

(iia)${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}}$،

(iib)${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{2}=\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{3}}$

(يمكن فهم هذه العلاقات بشكل أفضل من خلال رسم الضفيرة على ورقة). ويمكن إثبات أن جميع العلاقات الأخرى بين الضفائر${\displaystyle \sigma _{1}}$،${\displaystyle \sigma _{2}}$و${\displaystyle \sigma _{3}}$تترتب بالفعل على هذه العلاقات وبديهيات المجموعة.

بتعميم هذا المثال إلى${\displaystyle n}$الخيوط، المجموعة${\displaystyle B_{n}}$يمكن تعريفها بشكل مجرد من خلال العرض التقديمي التالي :

${\displaystyle B_{n}=\left\langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}\mid \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\right\rangle ,}$

أين في المجموعة الأولى من العلاقات${\displaystyle 1\leq i\leq n-2}$وفي المجموعة الثانية من العلاقات${\displaystyle |ij|\geq 2}$[ ^{16 ] [ 17 ]} يؤدي هذا العرض إلى تعميمات لمجموعات الجدائل تسمى مجموعات آرتين . تلعب العلاقات التكعيبية، المعروفة باسم ^علاقات الجدائل ، دورًا مهمًا في نظرية معادلات يانغ-باكستر .

• مجموعة الضفائر${\displaystyle B_{1}}$أمر تافه ،${\displaystyle B_{2}}$هي المجموعة الدورية اللانهائية${\displaystyle \mathbb {Z} }$، و${\displaystyle B_{3}}$متماثل مع مجموعة العقدة ثلاثية الفصوص - على وجه الخصوص، إنها مجموعة غير تبديلية لانهائية .
• مجموعة الجدائل المكونة من n خيط${\displaystyle B_{n}}$يُدمج كمجموعة فرعية في${\displaystyle (n+1)}$مجموعة ضفائر من -جدائل${\displaystyle B_{n+1}}$بإضافة خيط إضافي لا يتقاطع مع أي من الخيوط الأولى n . ويزداد اتحاد مجموعات الجدائل مع جميع${\displaystyle n\geq 1}$هي مجموعة الجدائل اللانهائية${\displaystyle B_{\infty }}$.
• جميع العناصر غير المتعلقة بالهوية من${\displaystyle B_{n}}$لها ترتيب لا نهائي ؛ أي${\displaystyle B_{n}}$خالٍ من الالتواء .
• يوجد ترتيب خطي ثابت من اليسار على${\displaystyle B_{n}}$يُطلق عليه اسم نظام ديهورنوي .
• ل${\displaystyle n\geq 3}$،${\displaystyle B_{n}}$تحتوي على مجموعة فرعية متماثلة مع المجموعة الحرة على مولدين.
• يوجد تماثل${\displaystyle B_{n}\to \mathbb {Z} }$معرفة بـ σᵢ _↦ 1. على ^{سبيل المثال، يتم تحويل الجديلة σ₂ σ₃ σ₁ −} 1 σ₂ σ₃ إلى 1 + ₁ − _{1 +} 1 + 1         = 3. يتوافق هذا التحويل مع تبديل مجموعة الجدائل . بما أن _{σᵢⱼ ↦} k _، ^فإن _σᵢⱼ هي العنصر ^{المحايد} إذا وفقط إذا${\displaystyle k=0}$وهذا يثبت أن للمولدات ترتيبًا لانهائيًا.

بتجاهل كيفية التفاف الخيوط وتقاطعها، يُحدد كل جديلة مكونة من n خيطًا تبديلًا على n عنصرًا. هذا التعيين شامل ومتوافق مع التركيب، وبالتالي يصبح تشاكلًا شاملًا بين زمرة الجدائل Bⁿ و Sⁿ على الزمرة _{المتناظرة} . صورة الجديلة σᵢ _∈ Bⁿ هي النقل sᵢ ₌ ( _ᵢ , i + 1 ₎ ∈ Sⁿ . تُولد هذه النقلات الزمرة المتناظرة، وتُحقق علاقات زمرة الجدائل _، ولها رتبة 2. هذا يُحوّل تمثيل آرتين لزمرة الجدائل إلى تمثيل كوكسيتر للزمرة المتناظرة.

${\displaystyle S_{n}=\left\langle s_{1},\ldots ,s_{n-1}|s_{i}s_{i+1}s_{i}=s_{i+1}s_{i}s_{i+1},s_{i}s_{j}=s_{j}s_{i}{\text{ for }}|i-j|\geq 2,s_{i}^{2}=1\right\rangle .}$

نواة التشاكل Bⁿ → Sⁿ هي الزمرة الجزئية من Bⁿ التي تُسمى زمرة الجدائل النقية على n خيطًا ، ويُرمز لها _{بـ Pⁿ} . يمكن اعتبارها الزمرة الأساسية لفضاء n -tuples من النقاط المتميزة في المستوى الإقليدي. _{في الجديلة النقية ، تقع} بداية ونهاية كل خيط في الموضع نفسه. تتناسب زمر الجدائل النقية مع متتالية تامة قصيرة.

${\displaystyle 1\to F_{n-1}\to P_{n}\to P_{n-1}\to 1.}$

ينقسم هذا التسلسل، وبالتالي يتم تحقيق مجموعات الجدائل النقية كمنتجات شبه مباشرة متكررة للمجموعات الحرة.

مجموعة الضفائر${\displaystyle B_{3}}$هو الامتداد المركزي الشامل للمجموعة النمطية${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$، حيث تتواجد هذه العناصر كشبكات داخل مجموعة التغطية الشاملة (الطوبولوجية)

${\displaystyle {\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}}\to \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )}$.

علاوة على ذلك، فإن المجموعة النمطية لها مركز تافه، وبالتالي فإن المجموعة النمطية متماثلة مع مجموعة القسمة لـ${\displaystyle B_{3}}$modulo its center ,${\displaystyle Z(B_{3}),}$وبالمثل، إلى مجموعة التشاكلات الداخلية لـ${\displaystyle B_{3}}$.

إليك طريقة بناء هذا التشاكل . عرّف

${\displaystyle a=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1},\quad b=\sigma _{1}\sigma _{2}}$.

ويستنتج من علاقات الضفائر ما يلي:${\displaystyle a^{2}=b^{3}}$. ويُشار إلى هذا المنتج الأخير بـ${\displaystyle c}$يمكن للمرء أن يتحقق من علاقات الضفائر أن

${\displaystyle \sigma _{1}c\sigma _{1}^{-1}=\sigma _{2}c\sigma _{2}^{-1}=c}$

مما يعني أن${\displaystyle c}$يقع في وسط${\displaystyle B_{3}}$. يترك${\displaystyle C}$تشير إلى المجموعة الفرعية من${\displaystyle B_{3}}$بما أن C ⊂ Z ( B3 ) مُولَّدة بواسطة c ، فهي زمرة جزئية طبيعية ، ويمكن أخذ زمرة القسمة B3/ C . _ندعي أن B3 / _C ≅ _PSL ( 2, Z ) ؛ ويمكن إعطاء هذا التشاكل شكلاً صريحاً. _تُسقط المجموعات المشاركة σ1C و _σ2C على  

${\displaystyle \sigma _{1}C\mapsto R={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\qquad \sigma _{2}C\mapsto L^{-1}={\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix}}}$

حيث L و R هما التحركات القياسية لليسار واليمين على شجرة ستيرن-بروكوت ؛ ومن المعروف جيدًا أن هذه التحركات تولد المجموعة النمطية.

أو بدلاً من ذلك، أحد العروض الشائعة للمجموعة المعيارية هو

${\displaystyle \langle v,p\,|\,v^{2}=p^{3}=1\rangle }$

أين

${\displaystyle v={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}},\qquad p={\begin{bmatrix}0&1\\-1&1\end{bmatrix}}.}$

يؤدي تعيين a إلى v و b إلى p إلى تجانس المجموعة الشاملة B ₃ → PSL(2, Z ) .

مركز B ₃ يساوي C ، وهو نتيجة لحقيقة أن c في المركز، وأن المجموعة النمطية لها مركز تافه، وأن التشاكل الشامل أعلاه له نواة C.

يمكن إثبات أن مجموعة الجدائل B _n متماثلة مع مجموعة فئات التطبيقات لقرص مثقوب بـ n ثقب. ويمكن تصور ذلك بسهولة بتخيل كل ثقب متصل بخيط إلى حدود القرص؛ فكل تشاكل تطبيق يبدل بين ثقبين يمكن اعتباره تماثلاً طوبولوجيًا للخيوط، أي جديلة لهذه الخيوط.

من خلال تفسير مجموعة فئات الخرائط هذه للضفائر، يمكن تصنيف كل ضفيرة على أنها دورية أو قابلة للاختزال أو شبه أنوسوف .

إذا عُلمت ضفيرة، ورُبط العنصر الأيسر الأول بالعنصر الأيمن الأول باستخدام خيط جديد، ثم العنصر الأيسر الثاني بالعنصر الأيمن الثاني، وهكذا (دون إنشاء أي ضفائر في الخيوط الجديدة)، نحصل على وصلة ، وأحيانًا عقدة . تنص نظرية ألكسندر في نظرية الضفائر على أن العكس صحيح أيضًا: كل عقدة وكل وصلة تنشأ بهذه الطريقة من ضفيرة واحدة على الأقل؛ ويمكن الحصول على هذه الضفيرة بقطع الوصلة. ولأن الضفائر يمكن تمثيلها بشكل ملموس ككلمات في المولدات σᵢ _، فإن هذه الطريقة غالبًا ما تكون المفضلة لإدخال العقد في برامج الحاسوب.

يمكن حل مسألة الكلمات المتعلقة بعلاقات الجدائل بكفاءة _، ويوجد شكل معياري لعناصر Bⁿ بدلالة المولدات σ₁ _, ..., _σₙ₋₁ . (بمعنى آخر، يُعد حساب الشكل المعياري للجديلة نظيرًا جبريًا لعملية "سحب الخيوط" كما هو موضح في المجموعة الثانية من الصور أعلاه). يستطيع نظام الجبر الحاسوبي المجاني _GAP إجراء العمليات الحسابية في Bⁿ إذا كانت العناصر معطاة بدلالة هذه المولدات. كما توجد حزمة برمجية تُسمى CHEVIE لنظام GAP3 تدعم مجموعات الجدائل بشكل خاص. ويمكن أيضًا حل مسألة الكلمات بكفاءة باستخدام _تمثيل لورانس-كرامر .

إضافة إلى مسألة الكلمات، هناك العديد من المسائل الحسابية الصعبة المعروفة التي يمكن تطبيق مجموعات الجدائل عليها، وقد تم اقتراح تطبيقات في علم التشفير . ^{[ 18 ]}

يمكن تمثيل عناصر مجموعة الجدائل B_{_n} بشكل أكثر تحديدًا باستخدام المصفوفات. أحد هذه التمثيلات الكلاسيكية هو تمثيل بوراو ، حيث تكون مدخلات المصفوفة عبارة عن كثيرات حدود لوران ذات متغير واحد . لطالما كان السؤال مطروحًا حول ما إذا كان تمثيل بوراو دقيقًا ، ولكن تبين أن الإجابة سلبية بالنسبة لـ n  ≥  5. وبشكل أعم، كانت مسألة ما إذا كانت مجموعات الجدائل خطية مشكلة مفتوحة رئيسية . في عام 1990، وصفت روث لورانس عائلة من "تمثيلات لورانس" الأكثر عمومية والتي تعتمد على عدة معلمات. في عام 1996، افترض شيتان ناياك وفرانك ويلكزك أنه قياسًا على التمثيلات الإسقاطية لـ SO(3) ، فإن التمثيلات الإسقاطية لمجموعة الجدائل لها معنى فيزيائي لبعض الجسيمات شبه الحقيقية في تأثير هول الكمي الكسري . ^{[ 19 ]} في حوالي عام 2001، أثبت ستيفن بيجلو ودان كرامر بشكل مستقل أن جميع مجموعات الجدائل خطية. استخدم عملهما تمثيل لورانس-كرامر ذي البعد${\displaystyle n(n-1)/2}$اعتمادًا على المتغيرين q و t . ومن خلال تخصيص هذين المتغيرين بشكل مناسب، فإن مجموعة الجدائل${\displaystyle B_{n}}$يمكن تحقيق ذلك كمجموعة فرعية من المجموعة الخطية العامة على الأعداد المركبة .