نظرية كايلي-هاميلتون

لـ${\displaystyle 1\times 1}$ المصفوفة A = ( a ) ، يتم إعطاء كثير الحدود المميز بواسطة p ( λ ) = λ − a ، وبالتالي فإن p ( A ) = ( a ) − a (1) = 0 أمر تافه.

كمثال ملموس، لنفترض $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}.}$$ تُعطى متعددة الحدود المميزة لها بواسطة $${\displaystyle {\begin{aligned}p(\lambda )&=\det(\lambda I_{2}-A)=\det \!{\begin{pmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{pmatrix}}\\&=(\lambda -1)(\lambda -4)-(-2)(-3)=\lambda ^{2}-5\lambda -2.\end{aligned}}}$$

تنص نظرية كايلي-هاميلتون على أنه إذا قمنا بتعريف$${\displaystyle p(X)=X^{2}-5X-2I_{2},}$$ ثم $${\displaystyle p(A)=A^{2}-5A-2I_{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}}.}$$ يمكننا التحقق من ذلك عن طريق الحساب، بالفعل، $${\displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}={\begin{pmatrix}7&10\\15&22\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}5&10\\15&20\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&0\\0&2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}}.}$$

للعلامة التجارية العامة${\displaystyle 2\times 2}$مصفوفة، $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}},}$$

تُعطى متعددة الحدود المميزة بالصيغة p ( λ ) = λ² - ( a + d ) λ + ( ad - bc ) ^، لذا تنص نظرية كايلي-هاميلتون على أن $${\displaystyle p(A)=A^{2}-(a+d)A+(ad-bc)I_{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}};}$$ وهو ما يحدث بالفعل دائماً، ويتضح ذلك من خلال حساب قيم A ² .

بشكل عام${\displaystyle n\times n}$ وبالتالي، يمكن كتابة المصفوفة القابلة للعكس A ، أي المصفوفة ذات المحدد غير الصفري، A ^{−1 على النحو التالي:}${\displaystyle (n-1)}$التعبير متعدد الحدود من الدرجة الأولى في A : كما هو موضح، فإن نظرية كايلي-هاميلتون تُعادل الهوية

تُعطى المعاملات c _i بواسطة كثيرات الحدود المتناظرة الأولية للقيم الذاتية للمصفوفة A. وباستخدام متطابقات نيوتن ، يمكن التعبير عن كثيرات الحدود المتناظرة الأولية بدورها بدلالة مجموع القوى لكثيرات الحدود المتناظرة للقيم الذاتية: $${\displaystyle s_{k}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}^{k}=\operatorname {tr} (A^{k}),}$$ حيث يمثل tr( Ak ⁾ أثر المصفوفة Ak . وبالتالي ، يمكننا التعبير عن ^c i _بدلالة أثر قوى A.

بشكل عام، يتم إعطاء صيغة المعاملات c _i بدلالة كثيرات حدود بيل الأسية الكاملة على النحو التالي ^{[ nb 1 ]}$${\displaystyle c_{n-k}={\frac {(-1)^{k}}{k!}}B_{k}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\ldots ,(-1)^{k-1}(k-1)!s_{k}).}$$

على وجه الخصوص، فإن محدد المصفوفة A يساوي (−1) ⁿ c _0. وبالتالي، يمكن كتابة المحدد على شكل عنصر التطابق الأثري : $${\displaystyle \det(A)={\frac {1}{n!}}B_{n}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\ldots ,(-1)^{n-1}(n-1)!s_{n}).}$$

وبالمثل، يمكن كتابة متعددة الحدود المميزة على النحو التالي $${\displaystyle -(-1)^{n}\det(A)I_{n}=A(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots +c_{1}I_{n}),}$$ وبضرب كلا الطرفين في A ⁻¹ (لاحظ أن −(−1) ⁿ = ( −1) ^{n −1} )، نصل إلى تعبير عن معكوس A كعنصر تطابق أثري. $${\displaystyle {\begin{aligned}A^{-1}&={\frac {(-1)^{n-1}}{\det A}}(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots +c_{1}I_{n}),\\[5pt]&={\frac {1}{\det A}}\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{n+k-1}{\frac {A^{n-k-1}}{k!}}B_{k}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\ldots ,(-1)^{k-1}(k-1)!s_{k}).\end{aligned}}}$$

طريقة أخرى للحصول على هذه المعاملات c _k لحالة عامة${\displaystyle n\times n}$تعتمد المصفوفة، بشرط ألا يكون أي جذر منها صفرًا، على التعبير البديل التالي للمحدد ، $${\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)=\lambda ^{n}\exp(\operatorname {tr} (\log(I_{n}-A/\lambda ))).}$$ وبالتالي، وبفضل سلسلة ميركاتور ، $${\displaystyle p(\lambda )=\lambda ^{n}\exp \left(-\operatorname {tr} \sum _{m=1}^{\infty }{({A \over \lambda })^{m} \over m}\right),}$$حيث يكفي توسيع الدالة الأسية إلى الرتبة λ ^{− n} فقط ، لأن p ( λ ) من الرتبة n ، وبالتالي فإن القوى السالبة الصافية لـ λ تتلاشى تلقائيًا وفقًا لنظرية C–H. (مرة أخرى، يتطلب هذا حلقة تحتوي على الأعداد النسبية ). يسمح تفاضل هذا التعبير بالنسبة إلى λ بالتعبير عن معاملات متعددة الحدود المميزة لـ n العامة كمحددات لمصفوفات m × m ، ^{[ nb 2 ]}$${\displaystyle c_{n-m}={\frac {(-1)^{m}}{m!}}{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&m-1&0&\cdots \\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&m-2&\cdots \\\vdots &\vdots &&&\vdots \\\operatorname {tr} A^{m-1}&\operatorname {tr} A^{m-2}&\cdots &\cdots &1\\\operatorname {tr} A^{m}&\operatorname {tr} A^{m-1}&\cdots &\cdots &\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}~.}$$

أمثلة

على سبيل المثال، فإن أول عدد قليل من كثيرات حدود بيل هي B ₀ = 1، B ₁ ( x ₁ ) = x ₁ ، B ₂ ( x ₁ ، x ₂ ) = x ² ₁ + x ₂ ، و B ₃ ( x ₁ ، x ₂ ، x ₃ ) = x ³ ₁ + 3 x ₁ x ₂ + x ₃ .

باستخدام هذه لتحديد معاملات c _i لكثير الحدود المميز لـ a${\displaystyle 2\times 2}$ المصفوفة تنتج

$${\displaystyle {\begin{aligned}c_{2}=B_{0}=1,\\[4pt]c_{1}={\frac {-1}{1!}}B_{1}(s_{1})=-s_{1}=-\operatorname {tr} (A),\\[4pt]c_{0}={\frac {1}{2!}}B_{2}(s_{1},-1!s_{2})={\frac {1}{2}}(s_{1}^{2}-s_{2})={\frac {1}{2}}((\operatorname {tr} (A))^{2}-\operatorname {tr} (A^{2})).\end{aligned}}}$$

المعامل c ₀ يعطي محدد المصفوفة${\displaystyle 2\times 2}$ المصفوفة c _{= 1} ناقص أثرها، بينما معكوسها يُعطى بواسطة $${\displaystyle A^{-1}={\frac {-1}{\det A}}(A+c_{1}I_{2})={\frac {-2(A-\operatorname {tr} (A)I_{2})}{(\operatorname {tr} (A))^{2}-\operatorname {tr} (A^{2})}}.}$$

يتضح من الصيغة العامة لـ c _{n − k} ، المعبر عنها بدلالة كثيرات حدود بيل، أن التعبيرات $${\displaystyle -\operatorname {tr} (A)\quad {\text{and}}\quad {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {tr} (A)^{2}-\operatorname {tr} (A^{2}))}$$

أعطِ دائمًا المعاملات c _{_{n -1}} لـ λ ^{_{n -1}} و c _{_{n -2}} لـ λ ^{_{n -2}} في متعددة الحدود المميزة لأي${\displaystyle n\times n}$المصفوفة، على التوالي. لذا، بالنسبة لـ${\displaystyle 3\times 3}$ بالنسبة للمصفوفة A ، يمكن أيضًا كتابة نص نظرية كايلي-هاميلتون على النحو التالي $${\displaystyle A^{3}-(\operatorname {tr} A)A^{2}+{\frac {1}{2}}\left((\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} (A^{2})\right)A-\det(A)I_{3}=O,}$$ حيث يشير الجانب الأيمن إلى${\displaystyle 3\times 3}$مصفوفة جميع عناصرها مُختزلة إلى الصفر. وبالمثل، فإن هذا المحدد في حالة n = 3 ، هو الآن $${\displaystyle {\begin{aligned}\det(A)&={\frac {1}{3!}}B_{3}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3})={\frac {1}{6}}(s_{1}^{3}+3s_{1}(-s_{2})+2s_{3})\\[5pt]&={\frac {1}{6}}\left[(\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)+2\operatorname {tr} (A^{3})\right].\end{aligned}}}$$ يعطي هذا التعبير معكوس المعامل c _{n −3} لـ λ ^{n −3} في الحالة العامة، كما هو موضح أدناه.

وبالمثل، يمكن للمرء أن يكتب لـ${\displaystyle 4\times 4}$المصفوفة أ ، $${\displaystyle A^{4}-(\operatorname {tr} A)A^{3}+{\tfrac {1}{2}}\left[(\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} (A^{2})\right]A^{2}-{\tfrac {1}{6}}\left[(\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)+2\operatorname {tr} (A^{3})\right]A+\det(A)I_{4}=O,}$$

حيث أن المحدد الآن هو c _{n −4} ،

$${\displaystyle {\tfrac {1}{24}}\!\left[(\operatorname {tr} A)^{4}-6\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)^{2}+3\left(\operatorname {tr} (A^{2})\right)^{2}+8\operatorname {tr} (A^{3})\operatorname {tr} (A)-6\operatorname {tr} (A^{4})\right],}$$

وهكذا بالنسبة للمصفوفات الأكبر حجماً. ويمكن استنتاج التعبيرات الأكثر تعقيداً للمعاملات c _k من متطابقات نيوتن أو خوارزمية فاديف-ليفرير .

توفر نظرية كايلي-هاميلتون دائمًا علاقة بين قوى A (وإن لم تكن دائمًا أبسطها)، مما يسمح بتبسيط التعبيرات التي تتضمن هذه القوى، وتقييمها دون الحاجة إلى حساب القوة A ⁿ أو أي قوى أعلى من A.

على سبيل المثال، لـ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}}$تنص النظرية على $${\displaystyle A^{2}=5A+2I_{2}\,.}$$

ثم، لحساب A ⁴ ، لاحظ $${\displaystyle {\begin{aligned}A^{3}&=(5A+2I_{2})A=5A^{2}+2A=5(5A+2I_{2})+2A=27A+10I_{2},\\[1ex]A^{4}&=A^{3}A=(27A+10I_{2})A=27A^{2}+10A=27(5A+2I_{2})+10A=145A+54I_{2}\,.\end{aligned}}}$$ على نفس المنوال، $${\displaystyle {\begin{aligned}A^{-1}&={\frac {1}{2}}\left(A-5I_{2}\right)~.\\[1ex]A^{-2}&=A^{-1}A^{-1}={\frac {1}{4}}\left(A^{2}-10A+25I_{2}\right)={\frac {1}{4}}\left((5A+2I_{2})-10A+25I_{2}\right)={\frac {1}{4}}\left(-5A+27I_{2}\right)~.\end{aligned}}}$$

لاحظ أننا تمكّنا من كتابة قوة المصفوفة كمجموع حدّين. في الواقع، يمكن كتابة قوة المصفوفة من أي رتبة k على شكل متعددة حدود مصفوفية من الدرجة n − 1 على الأكثر ، حيث n هو حجم المصفوفة المربعة. هذه حالة يمكن فيها استخدام نظرية كايلي-هاميلتون للتعبير عن دالة مصفوفية، وهو ما سنناقشه لاحقًا بشكل منهجي.

بالنظر إلى دالة تحليلية$${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$$ويمكن التعبير عن الدالة باستخدام القسمة المطولة كما يلي :​​​​ $${\displaystyle f(x)=q(x)p(x)+r(x),}$$ حيث q ( x ) هو كثير حدود القسمة و r ( x ) هو كثير حدود الباقي بحيث 0 ≤ deg r ( x ) < n .

بحسب نظرية كايلي-هاميلتون، فإن استبدال x بالمصفوفة A يعطي p ( A ) = 0 ، وبالتالي يكون لدينا $${\displaystyle f(A)=r(A).}$$

وبالتالي، يمكن التعبير عن الدالة التحليلية للمصفوفة A على أنها متعددة حدود مصفوفية من الدرجة الأقل من n .

ليكن باقي كثيرة الحدود $${\displaystyle r(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}.}$$ بما أن p ( λ ) = 0 ، فإن تقييم الدالة f ( x ) عند القيم الذاتية n للمصفوفة A ينتج عنه $${\displaystyle f(\lambda _{i})=r(\lambda _{i})=c_{0}+c_{1}\lambda _{i}+\cdots +c_{n-1}\lambda _{i}^{n-1},\qquad {\text{for }}i=1,2,...,n.}$$ وهذا يُعادل نظامًا من n معادلة خطية ، يمكن حلها لتحديد المعاملات c _i . وبالتالي، يكون لدينا $${\displaystyle f(A)=\sum _{k=0}^{n-1}c_{k}A^{k}.}$$

عند تكرار القيم الذاتية، أي _λᵢ = λⱼ _لبعض i ≠ j ، تتطابق معادلتان أو أكثر؛ وبالتالي لا يمكن حل المعادلات الخطية بشكل فريد. في مثل هذه الحالات، بالنسبة لقيمة ذاتية λ ذات تعدد m ، فإن أول m − 1 مشتقة لـ p ( x ) تتلاشى عند القيمة الذاتية. وهذا يؤدي إلى m − 1 حلول إضافية مستقلة خطيًا $${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} ^{k}f(x)}{\mathrm {d} x^{k}}}\right|_{x=\lambda }=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{k}r(x)}{\mathrm {d} x^{k}}}\right|_{x=\lambda }\qquad {\text{for }}k=1,2,\ldots ,m-1,}$$والتي، بالإضافة إلى غيرها، تعطي المعادلات n المطلوبة لحل c _i .

إن إيجاد متعدد الحدود الذي يمر عبر النقاط ( λ _i , f ( λ _i )) هو في الأساس مشكلة استيفاء ، ويمكن حله باستخدام تقنيات استيفاء لاغرانج أو نيوتن ، مما يؤدي إلى صيغة سيلفستر .

على سبيل المثال، لنفترض أن المهمة هي إيجاد التمثيل متعدد الحدود لـ $${\displaystyle f(A)=e^{At}\qquad \mathrm {where} \qquad A={\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}}.}$$

كثير الحدود المميز هو p ( x ) = ( ^x - 1)( x - 3) = x² - 4x + 3 ، والقيم الذاتية هي λ = 1، 3. لنفترض أن r ( x ) = _c₀ + _c₁x . _بتقييم f ( λ ) = r ( λ ) عند القيم الذاتية _، نحصل على _{معادلتين} خطيتين ، eᵗ ⁼ c₀ + c₁ _و e³ᵗ ⁼ c₀ + ^3c₁ .

بحل المعادلتين نحصل على c₀ ⁼ ( _3eᵗ − e³ᵗ ⁾ / ² و c₁ = ₍ ^e³ᵗ − eᵗ ^{) /} 2 . وبالتالي ، فإن $${\displaystyle e^{At}=c_{0}I_{2}+c_{1}A={\begin{pmatrix}c_{0}+c_{1}&2c_{1}\\0&c_{0}+3c_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e^{t}&e^{3t}-e^{t}\\0&e^{3t}\end{pmatrix}}.}$$

أما إذا كانت الدالة f ( A ) = sin( At) ، فإن المعاملات ستكون c₀ ₌ (3 sin (t) - sin( 3t) )/2 و c₁ = (sin(3t ) - sin ₍ t ))/2 ؛ وبالتالي $${\displaystyle \sin(At)=c_{0}I_{2}+c_{1}A={\begin{pmatrix}\sin t&\sin 3t-\sin t\\0&\sin 3t\end{pmatrix}}.}$$

كمثال آخر، عند النظر $${\displaystyle f(A)=e^{At}\qquad \mathrm {where} \qquad A={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},}$$ ثم تكون متعددة الحدود المميزة هي p ( x ) = x ²  +  1 ، والقيم الذاتية هي λ = ± i .

كما في السابق، فإن تقييم الدالة عند القيم الذاتية يعطينا المعادلتين الخطيتين e it = c 0  + ic  1  و e -it  = c 0  - ic  1 ؛ وحلهما هو: c 0  = ( e it + e -it  )/2 = cos t و c 1 = ( e it - e -it  )/2 = sin t . وبالتالي، في هذه الحالة، $${\displaystyle e^{At}=(\cos t)I_{2}+(\sin t)A={\begin{pmatrix}\cos t&\sin t\\-\sin t&\cos t\end{pmatrix}},}$$ وهي مصفوفة دوران .

من الأمثلة الشائعة على هذا الاستخدام التحويل الأسي من جبر لي لمجموعة لي المصفوفية إلى المجموعة. ويُعطى هذا التحويل بواسطة دالة أسية مصفوفية . $${\displaystyle \exp$$ :{\mathfrak {g}}\rightarrow G;\qquad tX\mapsto e^{tX}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}X^{n}}{n!}}=I+tX+{\frac {t^{2}X^{2}}{2}}+\cdots ,t\in \mathbb {R} ,X\in {\mathfrak {g}}.} وقد عُرفت هذه التعبيرات منذ زمن طويل بالنسبة لـ SU(2) . $${\displaystyle e^{i(\theta /2)({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \sigma )}=I_{2}\cos {\frac {\theta }{2}}+i({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \sigma )\sin {\frac {\theta }{2}},}$$ حيث تمثل σ مصفوفات باولي، وبالنسبة لـ SO(3) ، $${\displaystyle e^{i\theta ({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} )}=I_{3}+i({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} )\sin \theta +({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} )^{2}(\cos \theta -1),}$$ وهي صيغة رودريغز للدوران . للاطلاع على الرموز، انظر مجموعة الدوران ثلاثية الأبعاد#ملاحظة حول جبر لي .

في الآونة الأخيرة، ظهرت تعابير لمجموعات أخرى، مثل مجموعة لورنتز SO(3, 1) ^{[ 10 ]} ، وO(4, 2) ^{[ 11 ]،} و SU(2, 2) ^{[ 12 ]} ، بالإضافة إلى GL( n , R ) ^{[ 13 ]} . تُعدّ المجموعة O(4, 2) المجموعة المطابقة للزمكان ، و SU (2, 2) هي غطاؤها المتصل ببساطة (وبالتحديد، هي الغطاء المتصل ببساطة للمكون المتصل SO ⁺ (4, 2) من O(4, 2) ). تنطبق التعابير المُستنتجة على التمثيل القياسي لهذه المجموعات. وهي تتطلب معرفة (بعض) القيم الذاتية للمصفوفة المراد رفعها إلى الأس. بالنسبة لـ SU(2) (وبالتالي لـ SO(3) )، تم الحصول على تعابير مغلقة لجميع التمثيلات غير القابلة للاختزال، أي لأي دوران ^{[ 14 ] .}

تُعدّ نظرية كايلي-هاميلتون أداة فعّالة لحساب الحد الأدنى لكثير الحدود للأعداد الصحيحة الجبرية . على سبيل المثال، بالنظر إلى امتداد محدود${\displaystyle \mathbb {Q} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}]}$ل${\displaystyle \mathbb {Q} }$وعدد صحيح جبري${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Q} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}]}$وهو عبارة عن توليفة خطية غير صفرية من${\displaystyle \alpha _{1}^{n_{1}}\cdots \alpha _{k}^{n_{k}}}$يمكننا حساب الحد الأدنى لكثير الحدود لـ${\displaystyle \alpha }$من خلال إيجاد مصفوفة تمثل${\displaystyle \mathbb {Q} }$- التحويل الخطي$${\displaystyle \cdot \alpha$$ :\mathbb {Q} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}]\to \mathbb {Q} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}]} إذا أطلقنا على هذا اسم مصفوفة التحويل${\displaystyle A}$ثم يمكننا إيجاد متعددة الحدود الدنيا بتطبيق نظرية كايلي-هاميلتون على${\displaystyle A}$[ ^{15 ]​}

إذا كان المتجه v ذو الحجم n متجهًا ذاتيًا للمصفوفة A بقيمة ذاتية λ ، أي إذا كان A ⋅ v = λv ، فإن $${\displaystyle {\begin{aligned}p(A)\cdot v&=A^{n}\cdot v+c_{n-1}A^{n-1}\cdot v+\cdots +c_{1}A\cdot v+c_{0}I_{n}\cdot v\\[6pt]&=\lambda ^{n}v+c_{n-1}\lambda ^{n-1}v+\cdots +c_{1}\lambda v+c_{0}v=p(\lambda )v,\end{aligned}}}$$ وهو المتجه الصفري لأن p ( λ ) = 0 (القيم الذاتية للمصفوفة A هي جذور p ( t ) ). ينطبق هذا على جميع القيم الذاتية الممكنة λ ، لذا فإن المصفوفتين المتساويتين وفقًا للنظرية تعطيان بالتأكيد نفس النتيجة (صفر) عند تطبيقها على أي متجه ذاتي. الآن، إذا كانت A تقبل أساسًا من المتجهات الذاتية، أي إذا كانت A قابلة للتقطير ، فإن نظرية كايلي-هاميلتون يجب أن تنطبق على A ، لأن المصفوفتين اللتين تعطيان نفس القيم عند تطبيقهما على كل عنصر من عناصر الأساس يجب أن تكونا متساويتين. $${\displaystyle A=XDX^{-1},\quad D=\operatorname {diag} (\lambda _{i}),\quad i=1,2,...,n}$$$${\displaystyle p_{A}(\lambda )=|\lambda I-A|=\prod _{i=1}^{n}(\lambda -\lambda _{i})\equiv \sum _{k=0}^{n}c_{k}\lambda ^{k}}$$$${\displaystyle p_{A}(A)=\sum c_{k}A^{k}=Xp_{A}(D)X^{-1}=XCX^{-1}}$$$${\displaystyle C_{ii}=\sum _{k=0}^{n}c_{k}\lambda _{i}^{k}=\prod _{j=1}^{n}(\lambda _{i}-\lambda _{j})=0,\qquad C_{i,j\neq i}=0}$$$${\displaystyle \therefore p_{A}(A)=XCX^{-1}=O.}$$

لننظر الآن إلى الدالة${\displaystyle e\colon M_{n}\to M_{n}}$أي الخرائط${\displaystyle n\times n}$المصفوفات إلى${\displaystyle n\times n}$المصفوفات المعطاة بالصيغة${\displaystyle e(A)=p_{A}(A)}$أي التي تأخذ مصفوفة${\displaystyle A}$ويُدخلها في متعددة الحدود الخاصة بها. ليست كل المصفوفات قابلة للتقطير، ولكن بالنسبة للمصفوفات ذات المعاملات المركبة، فإن العديد منها قابل للتقطير: المجموعة${\displaystyle D}$تكون مجموعة المصفوفات المربعة المركبة القابلة للتقطير ذات حجم معين كثيفة في مجموعة جميع هذه المصفوفات المربعة ^{[ 16 ]} (لكي تكون المصفوفة قابلة للتقطير، يكفي على سبيل المثال ألا يكون لكثير الحدود المميز لها أي جذور متعددة ). والآن، عند النظر إليها كدالة${\displaystyle e\colon \mathbb {C} ^{n^{2}}\to \mathbb {C} ^{n^{2}}}$(بما أن المصفوفات لها${\displaystyle n^{2}}$بمعرفة المدخلات، نلاحظ أن هذه الدالة متصلة . وهذا صحيح لأن مدخلات صورة المصفوفة تُعطى بواسطة كثيرات حدود في مدخلات المصفوفة. $${\displaystyle e(D)=\left\{{\begin{pmatrix}0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0\end{pmatrix}}\right\}}$$

ومنذ ذلك الحين${\displaystyle D}$إذا كانت كثيفة، فبحسب خاصية الاستمرارية، يجب أن تُسقط هذه الدالة على المجموعة بأكملها.${\displaystyle n\times n}$المصفوفات إلى المصفوفة الصفرية. لذلك، فإن نظرية كايلي-هاميلتون صحيحة للأعداد المركبة، وبالتالي يجب أن تكون صحيحة أيضًا للأعداد المركبة.${\displaystyle \mathbb {Q} }$- أو${\displaystyle \mathbb {R} }$المصفوفات ذات القيم n.

مع أن هذا يُقدّم برهانًا صحيحًا، إلا أن الحجة ليست مُرضية تمامًا، إذ إن المتطابقات التي تُمثلها النظرية لا تعتمد بأي شكل من الأشكال على طبيعة المصفوفة (قابلة للتقطير أم لا)، ولا على نوع العناصر المسموح بها (بالنسبة للمصفوفات ذات العناصر الحقيقية، فإن العناصر القابلة للتقطير لا تُشكّل مجموعة كثيفة، ويبدو غريبًا أن نضطر إلى دراسة المصفوفات المركبة لنرى أن نظرية كايلي-هاميلتون تنطبق عليها). لذلك، سنقتصر الآن على دراسة الحجج التي تُثبت النظرية مباشرةً لأي مصفوفة باستخدام العمليات الجبرية فقط؛ وتتميز هذه الحجج أيضًا بأنها تُطبّق على المصفوفات ذات العناصر في أي حلقة تبديلية .

توجد أنواع عديدة من البراهين لنظرية كايلي-هاميلتون، وسنقدم هنا بعضًا منها. وتختلف هذه البراهين في كمية المفاهيم الجبرية المجردة اللازمة لفهم البرهان. تستخدم أبسط البراهين المفاهيم اللازمة لصياغة النظرية فقط (المصفوفات، كثيرات الحدود ذات المدخلات العددية، المحددات)، لكنها تتضمن حسابات تقنية تجعل من الغريب نوعًا ما أنها تؤدي بدقة إلى النتيجة الصحيحة. من الممكن تجنب هذه التفاصيل، ولكن على حساب استخدام مفاهيم جبرية أكثر دقة: كثيرات الحدود ذات المعاملات في حلقة غير تبديلية، أو المصفوفات ذات أنواع غير مألوفة من المدخلات.

يستخدم هذا البرهان بالضبط نوع الكائنات اللازمة لصياغة نظرية كايلي-هاميلتون: المصفوفات التي تكون عناصرها عبارة عن كثيرات حدود. المصفوفة${\displaystyle tI_{n}-A}$المصفوفة التي يكون محددها هو متعددة الحدود المميزة للمصفوفة A هي مصفوفة من هذا النوع، وبما أن متعددات الحدود تشكل حلقة تبديلية، فإن لها مصفوفة مرافقة.$${\displaystyle B=\operatorname {adj} (tI_{n}-A).}$$ ثم، وفقًا للعلاقة الأساسية اليمنى للمرافق، يكون لدينا $${\displaystyle (tI_{n}-A)B=\det(tI_{n}-A)I_{n}=p(t)I_{n}.}$$

بما أن B هي أيضًا مصفوفة تحتوي على كثيرات حدود في t كعناصر، فإنه يمكن، لكل i ، جمع معاملات${\displaystyle t^{i}}$في كل مدخل لتشكيل مصفوفة B _i من الأرقام، بحيث يكون لدى المرء $${\displaystyle B=\sum _{i=0}^{n-1}t^{i}B_{i}.}$$( يوضح تعريف عناصر المصفوفة B أنه لا توجد قوى أعلى من t ^{n −1} ). على الرغم من أن هذا يبدو وكأنه متعدد حدود بمعاملات مصفوفات، فلن نتناول هذا المفهوم؛ إنها مجرد طريقة لكتابة مصفوفة ذات عناصر متعددة الحدود كمزيج خطي من n مصفوفة ثابتة، والمعامل${\displaystyle t^{i}}$تمت كتابة هذا النص على يسار المصفوفة للتأكيد على وجهة النظر هذه.

الآن، يمكننا توسيع حاصل ضرب المصفوفات في معادلتنا: $${\displaystyle {\begin{aligned}p(t)I_{n}&=(tI_{n}-A)B\\&=(tI_{n}-A)\sum _{i=0}^{n-1}t^{i}B_{i}\\&=\sum _{i=0}^{n-1}tI_{n}\cdot t^{i}B_{i}-\sum _{i=0}^{n-1}A\cdot t^{i}B_{i}\\&=\sum _{i=0}^{n-1}t^{i+1}B_{i}-\sum _{i=0}^{n-1}t^{i}AB_{i}\\&=t^{n}B_{n-1}+\sum _{i=1}^{n-1}t^{i}(B_{i-1}-AB_{i})-AB_{0}.\end{aligned}}}$$

كتابة $${\displaystyle p(t)I_{n}=t^{n}I_{n}+t^{n-1}c_{n-1}I_{n}+\cdots +tc_{1}I_{n}+c_{0}I_{n},}$$ يحصل المرء على مساواة بين مصفوفتين لهما مدخلات متعددة الحدود، مكتوبة على شكل تركيبات خطية من مصفوفات ثابتة مع قوى t كمعاملات.

لا يمكن أن تتحقق هذه المساواة إلا إذا كان العنصر الذي يُضرب في قوة معينة في أي موضع من مصفوفة${\displaystyle t^{i}}$يكون متماثلاً على كلا الجانبين؛ ويترتب على ذلك أن المصفوفات الثابتة ذات المعامل${\displaystyle t^{i}}$يجب أن تكون القيمتان متساويتين في كلا التعبيرين. بكتابة هذه المعادلات، بالنسبة لـ i من n إلى 0، نجد $${\displaystyle B_{n-1}=I_{n},\qquad B_{i-1}-AB_{i}=c_{i}I_{n}\quad {\text{for }}1\leq i\leq n-1,\qquad -AB_{0}=c_{0}I_{n}.}$$

وأخيرًا، اضرب معادلة معاملات${\displaystyle t^{i}}$من اليسار بواسطة${\displaystyle A^{i}}$وخلاصة القول:

$${\displaystyle A^{n}B_{n-1}+\sum \limits _{i=1}^{n-1}\left(A^{i}B_{i-1}-A^{i+1}B_{i}\right)-AB_{0}=A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_{0}I_{n}.}$$

تشكل الأطراف اليسرى مجموعًا متداخلًا وتلغي بعضها بعضًا تمامًا؛ أما الأطراف اليمنى فتكون مجموعها صفرًا.${\displaystyle p(A)}$: $${\displaystyle 0=p(A).}$$ وبهذا يكتمل البرهان.

هذا البرهان مشابه للبرهان الأول، ولكنه يسعى إلى توضيح مفهوم كثير الحدود ذي المعاملات المصفوفية الذي أشارت إليه التعبيرات الواردة في ذلك البرهان. ويتطلب هذا عناية فائقة، إذ من غير المألوف النظر في كثيرات الحدود ذات المعاملات في حلقة غير تبديلية، ولا يمكن تطبيق جميع الاستدلالات الصالحة لكثيرات الحدود التبديلية في هذا السياق.

تجدر الإشارة إلى أنه بينما يُحاكي حساب كثيرات الحدود على حلقة تبديلية حساب دوال كثيرات الحدود ، فإن هذا لا ينطبق على حلقة غير تبديلية (في الواقع، لا يوجد مفهوم واضح لدالة كثيرة الحدود في هذه الحالة تكون مغلقة تحت الضرب). لذا، عند دراسة كثيرات الحدود في t ذات معاملات المصفوفة، يجب ألا يُنظر إلى المتغير t على أنه "مجهول"، بل كرمز رسمي يُعالج وفقًا لقواعد محددة؛ على وجه الخصوص، لا يمكن ببساطة تعيين قيمة محددة لـ t .$${\displaystyle (f+g)(x)=\sum _{i}\left(f_{i}+g_{i}\right)x^{i}=\sum _{i}{f_{i}x^{i}}+\sum _{i}{g_{i}x^{i}}=f(x)+g(x).}$$

يترك${\displaystyle M(n,R)}$ليكن A حلقة من المصفوفات من الرتبة n × n، عناصرها تنتمي إلى حلقة R (مثل الأعداد الحقيقية أو المركبة) التي تحتوي على A كعنصر. المصفوفات التي تكون معاملاتها كثيرات حدود في t ، مثل${\displaystyle tI_{n}-A}$أو مرافقها B في البرهان الأول، هي عناصر من${\displaystyle M(n,R[t])}$.

من خلال تجميع القوى المتشابهة لـ t ، يمكن كتابة هذه المصفوفات على شكل "متعددات حدود" في t مع مصفوفات ثابتة كمعاملات؛ اكتب${\displaystyle M(n,R)[t]}$بالنسبة لمجموعة كثيرات الحدود هذه. بما أن هذه المجموعة في تقابل مع${\displaystyle M(n,R[t])}$يتم تعريف العمليات الحسابية عليها وفقًا لذلك، وعلى وجه الخصوص، يتم إعطاء عملية الضرب بواسطة $${\displaystyle \left(\sum _{i}M_{i}t^{i}\right)\!\!\left(\sum _{j}N_{j}t^{j}\right)=\sum _{i,j}(M_{i}N_{j})t^{i+j},}$$ مع مراعاة ترتيب مصفوفات المعاملات من المعاملين؛ من الواضح أن هذا يعطي عملية ضرب غير تبادلية.

وبالتالي، الهوية $${\displaystyle (tI_{n}-A)B=p(t)I_{n}.}$$ يمكن اعتبار البرهان الأول بمثابة برهان يتضمن ضرب عناصر في${\displaystyle M(n,R)[t]}$.

في هذه المرحلة، قد يميل المرء إلى مساواة t بالمصفوفة A ، مما يجعل العامل الأول على اليسار مساويًا للمصفوفة الصفرية، والطرف الأيمن مساويًا لـ _p ( A ) ؛ إلا أن هذه العملية غير مسموحة عندما لا تتبادل المعاملات. من الممكن تعريف "دالة التقييم الأيمن" evA : M [ t ] → M  ، التي تستبدل كل tᵢ بقوة المصفوفة Aᵢ للمصفوفة ^A ، حيث يُشترط دائمًا ضرب القوة على اليمين بالمعامل المقابل. لكن هذه الدالة ليست تشاكلًا حلقيًا : فالتقييم الأيمن للضرب يختلف عمومًا عن حاصل ضرب التقييمات اليمنى. والسبب في ^ذلك هو أن ضرب كثيرات الحدود بمعاملات المصفوفات لا يُمثل ضرب تعابير تحتوي على مجاهيل:${\displaystyle Mt^{i}Nt^{j}=(M\cdot N)t^{i+j}}$يتم تعريفها بافتراض أن t يتبادل مع N ، ولكن هذا قد يفشل إذا تم استبدال t بالمصفوفة A.

يمكن للمرء التغلب على هذه الصعوبة في الحالة الخاصة المطروحة، لأن خريطة التقييم الأيمن المذكورة أعلاه تصبح تماثلًا حلقيًا إذا كانت المصفوفة A في مركز حلقة المعاملات، بحيث تتبادل مع جميع معاملات كثيرات الحدود (الحجة التي تثبت ذلك واضحة، تحديدًا لأن تبادل t مع المعاملات أصبح مبررًا الآن بعد التقييم).

الآن، لا تقع النقطة A دائمًا في مركز M ، ولكن يمكننا استبدال M بحلقة أصغر بشرط أن تحتوي على جميع معاملات كثيرات الحدود المعنية:${\displaystyle I_{n}}$، أ ، والمعاملات${\displaystyle B_{i}}$من متعدد الحدود B. الخيار الواضح لمثل هذه الحلقة الفرعية هو المركز Z لـ A ، وهي الحلقة الفرعية لجميع المصفوفات التي تتبادل مع A ؛ بحكم التعريف، A تقع في مركز Z.

يحتوي هذا الجهاز المركزي بوضوح على${\displaystyle I_{n}}$، و A ، ولكن يجب إثبات أنها تحتوي على المصفوفات${\displaystyle B_{i}}$وللقيام بذلك، يتم دمج العلاقتين الأساسيتين للمرافقين، وكتابة المرافق B على شكل متعدد الحدود: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\sum _{i=0}^{m}B_{i}t^{i}\right)\!(tI_{n}-A)&=(tI_{n}-A)\sum _{i=0}^{m}B_{i}t^{i}\\\sum _{i=0}^{m}B_{i}t^{i+1}-\sum _{i=0}^{m}B_{i}At^{i}&=\sum _{i=0}^{m}B_{i}t^{i+1}-\sum _{i=0}^{m}AB_{i}t^{i}\\\sum _{i=0}^{m}B_{i}At^{i}&=\sum _{i=0}^{m}AB_{i}t^{i}.\end{aligned}}}$$

بمساواة المعاملات، يتضح أنه لكل i ، لدينا AB _i = B _i A كما هو مطلوب. بعد إيجاد الإطار المناسب الذي يكون فيه ev _A بالفعل تشاكلًا بين الحلقات، يمكن إكمال البرهان كما هو مقترح أعلاه: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ev} _{A}\left(p(t)I_{n}\right)&=\operatorname {ev} _{A}((tI_{n}-A)B)\\[5pt]p(A)&=\operatorname {ev} _{A}(tI_{n}-A)\cdot \operatorname {ev} _{A}(B)\\[5pt]p(A)&=(AI_{n}-A)\cdot \operatorname {ev} _{A}(B)=O\cdot \operatorname {ev} _{A}(B)=O.\end{aligned}}}$$ وبهذا يكتمل البرهان.

في البرهان الأول، أمكن تحديد معاملات Bᵢ _{للمصفوفة} B بناءً على العلاقة الأساسية اليمنى للمُرافق فقط. في الواقع، يمكن تفسير المعادلات n الأولى المُستنتجة على أنها تحديد ناتج القسمة B للقسمة الإقليدية لكثير الحدود p(t)In من اليسار على كثير الحدود الأحادي Int t − A ، بينما تُعبّر المعادلة الأخيرة عن حقيقة أن _الباقي يساوي صفرًا . _تُجرى هذه القسمة في حلقة كثيرات الحدود ذات المعاملات المصفوفية. في الواقع، حتى على حلقة غير تبديلية، تُعرَّف القسمة الإقليدية على كثير حدود أحادي P ، وتُنتج دائمًا ناتج قسمة وباقيًا فريدين بنفس شرط الدرجة كما في الحالة التبديلية، شريطة تحديد الجانب الذي يُراد أن يكون P عاملًا فيه (هنا أي إلى اليسار).

لإثبات أن ناتج القسمة والباقي فريدان (وهو الجزء المهم من العبارة هنا)، يكفي أن نكتب${\displaystyle PQ+r=PQ'+r'}$مثل${\displaystyle P(Q-Q')=r'-r}$ولاحظ أنه بما أن P أحادي، فإن P ( Q − Q ′) لا يمكن أن يكون له درجة أقل من درجة P ، إلا إذا كان Q = Q ′ .

لكن المقسوم p ( t ) In والمقسوم عليه _Int t − A _{المستخدمان} هنا يقعان في الحلقة الفرعية ( R [ A ])[ t ] ، حيث R [ A ] هي الحلقة الفرعية من حلقة المصفوفات M ( n , R ) المولدة بواسطة A : وهي الامتداد الخطي R لجميع قوى A. لذلك، يمكن إجراء القسمة الإقليدية داخل حلقة كثيرات الحدود التبادلية هذه ، وبالطبع تعطي نفس ناتج القسمة B والباقي 0 كما في الحلقة الأكبر؛ وهذا يدل تحديدًا على أن B تقع بالفعل في ( R [ A ])[ t ] .

لكن في هذا السياق التبادلي، من الصحيح وضع t مساوياً لـ A في المعادلة

$${\displaystyle p(t)I_{n}=(tI_{n}-A)B;}$$

بمعنى آخر، لتطبيق خريطة التقييم

$${\displaystyle \operatorname {ev} _{A}:(R[A])[t]\to R[A]}$$

وهو تماثل حلقي، مما يعطي

$${\displaystyle p(A)=0\cdot \operatorname {ev} _{A}(B)=0}$$

تمامًا كما في البرهان الثاني، كما هو مطلوب.

إضافةً إلى إثبات النظرية، تُبيّن لنا الحجة السابقة أن معاملات Bᵢ _{للمصفوفة} B هي كثيرات حدود في A ، بينما علمنا من البرهان الثاني فقط أنها تقع في الحلقة المركزية Z للمصفوفة A ؛ وعمومًا، Z حلقة فرعية أكبر من R [ A ] ، وليست بالضرورة تبديلية. على وجه الخصوص _، يقع الحد الثابت B₀ = adj(−A ) في R [ A ] . وبما أن A مصفوفة مربعة اختيارية، فإن هذا يُثبت أن adj( A ) يُمكن دائمًا التعبير عنه بكثيرة حدود في A (بمعاملات تعتمد على A ) .

في الواقع، تسمح المعادلات التي تم التوصل إليها في البرهان الأول بالتعبير تباعاً عن${\displaystyle B_{n-1},\ldots ,B_{1},B_{0}}$ككثيرات حدود في A ، مما يؤدي إلى المتطابقة

صالحة لجميع المصفوفات من الرتبة n × n ، حيث $${\displaystyle p(t)=t^{n}+c_{n-1}t^{n-1}+\cdots +c_{1}t+c_{0}}$$ هي متعددة الحدود المميزة لـ A.

لاحظ أن هذه المتطابقة تستلزم أيضًا نص نظرية كايلي-هاميلتون: يمكن نقل adj(− A ) إلى الطرف الأيمن، وضرب المعادلة الناتجة (على اليسار أو على اليمين) في A ، واستخدام حقيقة أن $${\displaystyle -A\cdot \operatorname {adj} (-A)=\operatorname {adj} (-A)\cdot (-A)=\det(-A)I_{n}=c_{0}I_{n}.}$$

كما ذُكر أعلاه، يتم الحصول على المصفوفة p ( A ) في نص النظرية عن طريق حساب المحدد أولاً، ثم استبدال المصفوفة A بالمصفوفة t ؛ ثم إجراء هذا الاستبدال في المصفوفة${\displaystyle tI_{n}-A}$لا معنى لتقييم المحدد قبل ذلك. ومع ذلك، من الممكن تقديم تفسير حيث يتم الحصول على p ( A ) مباشرةً كقيمة لمحدد معين، لكن هذا يتطلب إطارًا أكثر تعقيدًا، وهو إطار المصفوفات على حلقة يمكن فيه تفسير كلا المدخلين.${\displaystyle A_{i,j}}$من A ، وكل A نفسها. يمكن للمرء أن يأخذ لهذا الغرض الحلقة M ( n , R ) من المصفوفات n × n على R ، حيث المدخل${\displaystyle A_{i,j}}$يتحقق ذلك على النحو التالي${\displaystyle A_{i,j}I_{n}}$، و A كنفسها. لكن اعتبار المصفوفات التي تكون عناصرها مصفوفات أخرى قد يُسبب خلطًا مع المصفوفات الكتلية ، وهو أمر غير مقصود، لأن ذلك يُعطي مفهومًا خاطئًا للمحدد (تذكر أن محدد المصفوفة يُعرَّف على أنه مجموع حاصل ضرب عناصرها، وفي حالة المصفوفة الكتلية، لا يكون هذا عادةً هو نفسه مجموع حاصل ضرب كتلها!). من الأوضح التمييز بين A والتشاكل الداخلي φ لفضاء متجهي V ذي n بُعد ( أو وحدة R حرة إذا لم يكن R حقلًا ) المُعرَّف به في أساس.${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ولأخذ المصفوفات على الحلقة End( V ) لجميع هذه التشاكلات الداخلية. عندئذٍ ، φ ∈ End( V ) هو عنصر مصفوفة محتمل، بينما A يُشير إلى عنصر M ( n , End( V )) الذي يكون عنصره i , j تشاكلًا داخليًا للضرب القياسي بواسطة${\displaystyle A_{i,j}}$؛ بصورة مماثلة${\displaystyle I_{n}}$سيتم تفسيرها كعنصر من M ( n , End( V )) . ومع ذلك، بما أن End( V ) ليست حلقة تبديلية، فلا يوجد محدد مُعرَّف على M ( n , End( V )) ؛ لا يمكن القيام بذلك إلا للمصفوفات الموجودة على حلقة فرعية تبديلية من End( V ) . الآن، عناصر المصفوفة${\displaystyle \varphi I_{n}-A}$تقع جميعها في الحلقة الفرعية R [ φ ] المولدة بواسطة العنصر المحايد و φ ، وهي حلقة تبديلية. عندئذٍ، تُعرَّف دالة المحدد M ( n , R [ φ ]) → R [ φ ] ، و${\displaystyle \det(\varphi I_{n}-A)}$يتم تقييمها إلى القيمة p ( φ ) لكثير الحدود المميز لـ A عند φ (هذا ينطبق بشكل مستقل عن العلاقة بين A و φ )؛ تنص نظرية كايلي-هاميلتون على أن p ( φ ) هو التشكل الصفري.

بهذا الشكل، يمكن الحصول على البرهان التالي من برهان أتيياه وماكدونالد (1969 ، القضية 2.4) (وهو في الواقع البيان الأكثر عمومية المتعلق بمبرهنة ناكاياما ؛ حيث يُفترض أن المثالي في تلك القضية _{هو الحلقة} R بأكملها ). وكون A هي مصفوفة φ في الأساس e1 ، ...، en _يعني أن $${\displaystyle \varphi (e_{i})=\sum _{j=1}^{n}A_{j,i}e_{j}\quad {\text{for }}i=1,\ldots ,n.}$$ يمكن تفسير هذه على أنها n مكونات لمعادلة واحدة في V ⁿ ، والتي يمكن كتابة عناصرها باستخدام حاصل ضرب المصفوفة في المتجه M ( n , End( V )) × V ⁿ → V ⁿ المعرف كالمعتاد، ولكن مع ضرب المدخلات الفردية ψ ∈ End( V ) و v في V عن طريق تكوين${\displaystyle \psi (v)}$وهذا يعطي: $${\displaystyle \varphi I_{n}\cdot E=A^{\operatorname {tr} }\cdot E,}$$ أين${\displaystyle E\in V^{n}}$هو العنصر الذي مُركّبه i هو e _i (بمعنى آخر، هو الأساس e ₁ , ..., e _n للمتجه V المكتوب كعمود من المتجهات). كتابة هذه المعادلة على النحو التالي $${\displaystyle (\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\cdot E=0\in V^{n}}$$ يدرك المرء منقول المصفوفة${\displaystyle \varphi I_{n}-A}$كما ذُكر أعلاه، فإن محددها (كعنصر من M ( n , R [ φ ])) هو أيضًا p ( φ ). لاستنتاج أن p ( φ ) = 0 ∈ End( V ) من هذه المعادلة ، يتم الضرب من اليسار بالمصفوفة المرافقة لـ${\displaystyle \varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} }}$، والتي تُعرَّف في حلقة المصفوفات M ( n , R [ φ ]) ، مما يعطي $${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\operatorname {adj} (\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\cdot \left((\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\cdot E\right)\\[1ex]&=\left(\operatorname {adj} (\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\cdot (\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\right)\cdot E\\[1ex]&=\left(\det(\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })I_{n}\right)\cdot E\\[1ex]&=(p(\varphi )I_{n})\cdot E;\end{aligned}}}$$إن خاصية التجميع في ضرب المصفوفات والمصفوفات والمتجهات المستخدمة في الخطوة الأولى هي خاصية شكلية بحتة لتلك العمليات، مستقلة عن طبيعة العناصر. الآن، يشير العنصر i في هذه المعادلة إلى أن p ( φ )( ei ₎ = 0 ∈ V ؛ وبالتالي فإن p ( φ ) يساوي صفرًا على جميع عناصر _ei ، وبما أن هذه العناصر تولد V، فإنه يترتب على ذلك أن p ( φ ) = 0 ∈ End( V ) ، وبذلك يكتمل البرهان.