متباينة المحيط المتساوي

في الرياضيات ، تُعرف متباينة المحيط المتساوي بأنها متباينة هندسية تتضمن مربع محيط منحنى مغلق في المستوى ومساحة المنطقة المستوية التي يحيط بها، بالإضافة إلى تعميماتها المختلفة. ويعني مصطلح "المحيط المتساوي " حرفيًا "امتلاك نفس المحيط ". وبالتحديد، تنص متباينة المحيط المتساوي، بالنسبة لطول L لمنحنى مستوٍ مغلق ومساحة A للمنطقة التي يحيط بها، على أن

${\displaystyle 4\pi A\leq L^{2},}$

وتتحقق هذه المساواة إذا وفقط إذا كان المنحنى دائرة.

تتمثل مسألة المحيط المتساوي في تحديد شكل مستوٍ ذي أكبر مساحة ممكنة، بحيث يكون طول حدوده محددًا. ^{[ 1 ]} أما مسألة ديدو، المرتبطة بها ارتباطًا وثيقًا، فتتمثل في إيجاد منطقة ذات مساحة قصوى محددة بخط مستقيم وقوس منحني تقع نهايتاه على ذلك الخط. وقد سُميت هذه المسألة نسبةً إلى ديدو ، المؤسسة الأسطورية وأول ملكة لقرطاج . يُعطى حل مسألة المحيط المتساوي بدائرة ، وكان معروفًا في اليونان القديمة . مع ذلك، لم يُحصل على أول برهان رياضي دقيق لهذه الحقيقة إلا في القرن التاسع عشر. ومنذ ذلك الحين، تم اكتشاف العديد من البراهين الأخرى.

تم توسيع نطاق مسألة المحيط المتساوي بطرق متعددة، على سبيل المثال، لتشمل المنحنيات على الأسطح والمناطق في الفضاءات ذات الأبعاد الأعلى. ولعلّ أكثر تجليات متباينة المحيط المتساوي ثلاثية الأبعاد شيوعًا هو شكل قطرة الماء. إذ تتخذ القطرة عادةً شكلًا دائريًا متناظرًا. وبما أن كمية الماء في القطرة ثابتة، فإن التوتر السطحي يُجبر القطرة على اتخاذ شكل يُقلل مساحة سطحها، أي شكل الكرة.

تعود مسألة المحيط المتساوي الكلاسيكية إلى العصور القديمة. ^{[ 2 ]} يمكن صياغة المسألة على النحو التالي: من بين جميع المنحنيات المغلقة في المستوى ذي المحيط الثابت، أي منحنى (إن وجد) يُعظّم مساحة المنطقة المحصورة به؟ يمكن إثبات أن هذا السؤال مكافئ للمسألة التالية: من بين جميع المنحنيات المغلقة في المستوى الذي يُحيط بمساحة ثابتة، أي منحنى (إن وجد) يُصغّر المحيط؟

ترتبط هذه المشكلة من الناحية المفاهيمية بمبدأ أقل فعل في الفيزياء ، إذ يمكن إعادة صياغتها على النحو التالي: ما هو مبدأ الفعل الذي يُحيط بأكبر مساحة، بأقل جهد ممكن؟ اعتبر الفيلسوف والعالم الكاردينال نيكولاس الكوزاني ، في القرن الخامس عشر، الفعل الدوراني ، أي العملية التي تُولّد الدائرة ، الانعكاس الأكثر مباشرة، في عالم الانطباعات الحسية، لعملية خلق الكون. وقد استشهد الفلكي والمنجم الألماني يوهانس كيبلر بمبدأ المحيط المتساوي عند مناقشة شكل النظام الشمسي ، في كتابه "Mysterium Cosmographicum" ( السر المقدس للكون ، 1596).

على الرغم من أن الدائرة تبدو حلاً بديهياً للمسألة، إلا أن إثبات ذلك صعب للغاية. وقد أحرز عالم الهندسة السويسري ياكوب شتاينر أول تقدم نحو الحل عام ١٨٣٨، باستخدام طريقة هندسية عُرفت لاحقاً باسم تناظر شتاينر . ^{[ ٣ ]} أثبت شتاينر أنه إذا وُجد حل، فلا بد أن يكون الدائرة. وقد استكمل برهان شتاينر لاحقاً عدد من علماء الرياضيات الآخرين .

يبدأ شتاينر ببعض الإنشاءات الهندسية سهلة الفهم؛ فعلى سبيل المثال، يمكن إثبات أن أي منحنى مغلق يحيط بمنطقة غير محدبة تمامًا يمكن تعديله ليحيط بمساحة أكبر، وذلك بـ"قلب" المناطق المقعرة لتصبح محدبة. كما يمكن إثبات أن أي منحنى مغلق غير متناظر تمامًا يمكن "إمالته" ليحيط بمساحة أكبر. الشكل الوحيد المحدب والمتناظر تمامًا هو الدائرة، مع أن هذا في حد ذاته لا يمثل برهانًا دقيقًا لنظرية المحيط المتساوي (انظر الروابط الخارجية).

يُعبَّر عن حل مسألة المحيط المتساوي عادةً في صورة متباينة تربط طول المنحنى المغلق L بمساحة المنطقة المستوية A التي يحيط بها. وتنص متباينة المحيط المتساوي على أن

${\displaystyle 4\pi A\leq L^{2},}$

وتتحقق المساواة فقط إذا كان المنحنى دائرة. مساحة قرص نصف قطره R هي πR² ومحيط الدائرة هو 2πR ^{، لذا} فإن طرفي المتباينة يساويان 4π²R² في هذه ^الحالة .

تم العثور على عشرات البراهين لمتباينة المحيط المتساوي. في عام 1902، نشر هورويتز برهانًا موجزًا ​​باستخدام متسلسلة فورييه ينطبق على المنحنيات القابلة للتقويم (دون افتراض أنها ملساء). وفي عام 1938، قدم إي. شميدت برهانًا مباشرًا أنيقًا يعتمد على مقارنة منحنى مغلق بسيط أملس بدائرة مناسبة. ويستخدم هذا البرهان صيغة طول القوس فقط ، وتعبير مساحة المنطقة المستوية من نظرية غرين ، ومتباينة كوشي-شفارتز .

بالنسبة لمنحنى مغلق معين، يُعرَّف معامل المحيط المتساوي بأنه نسبة مساحة هذا المنحنى إلى مساحة الدائرة التي لها نفس المحيط. وهذا يساوي

${\displaystyle Q={\frac {4\pi A}{L^{2}}}}$

وتقول متباينة المحيط المتساوي أن Q ≤ 1. وبالمثل، فإن نسبة المحيط المتساوي L ² / A هي على الأقل 4 π لكل منحنى.

حاصل القسمة المتساوي المحيط لمضلع منتظم ذي n ضلعًا هو

${\displaystyle Q_{n}={\frac {\pi }{n\tan(\pi /n)}}.}$

يترك${\displaystyle C}$لتكن منحنىً أملسًا منتظمًا محدبًا مغلقًا. عندئذٍ تنص متباينة المحيط المحسّنة على ما يلي

${\displaystyle L^{2}\geqslant 4\pi A+8\pi \left|{\widetilde {A}}_{0.5}\right|,}$

أين${\displaystyle L,A,{\widetilde {A}}_{0.5}}$يشير إلى طول${\displaystyle C}$، مساحة المنطقة المحصورة بين${\displaystyle C}$والمنطقة الموجهة من مادة ويغنر الكاوية لـ${\displaystyle C}$على التوالي، وتتحقق المساواة إذا وفقط إذا${\displaystyle C}$هو منحنى ذو عرض ثابت . ^{[ 4 ]}

ليكن C منحنى مغلقًا بسيطًا على كرة نصف قطرها 1. ولنرمز بـ L إلى طول C و A إلى المساحة المحصورة داخل C. تنص متباينة المحيط الكروي على أن

${\displaystyle L^{2}\geq A(4\pi -A),}$

وتتحقق هذه المساواة فقط إذا كان المنحنى دائرة. في الواقع، توجد طريقتان لقياس المساحة الكروية المحصورة بمنحنى مغلق بسيط، لكن المتباينة متناظرة بالنسبة لأخذ المتمم.

اكتشف بول ليفي (1919) هذه المتباينة، وقام أيضاً بتوسيعها لتشمل الأبعاد الأعلى والأسطح العامة. ^{[ 5 ]}

في الحالة الأكثر عمومية لنصف قطر عشوائي R ، من المعروف ^{[ 6 ]} أن

${\displaystyle L^{2}\geq 4\pi A-{\frac {A^{2}}{R^{2}}}.}$

تنص متباينة المحيط المتساوي على أن الكرة لها أصغر مساحة سطح لكل حجم معين. بالنظر إلى مجموعة مفتوحة محدودة${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$مع${\displaystyle C^{1}}$حدود ذات مساحة سطحية${\displaystyle \operatorname {per} (S)}$والحجم​${\displaystyle \operatorname {vol} (S)}$تنص متباينة المحيط المتساوي

${\displaystyle \operatorname {per} (S)\geq n\operatorname {vol} (S)^{(n-1)/n}\,\operatorname {vol} (B_{1})^{1/n},}$

أين${\displaystyle B_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}}$هي كرة وحدة . تتحقق المساواة عندما${\displaystyle S}$هي كرة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$في ظل قيود إضافية على المجموعة (مثل التحدب ، والانتظام ، والحدود الملساء )، تتحقق المساواة للكرة فقط. ولكن في الحالة العامة، يكون الوضع أكثر تعقيدًا. وقد تم توضيح النتيجة ذات الصلة لشميدت (1949 ، القسم 20.7) (للحصول على برهان أبسط، انظر بيبلر (1957) ) في هادويجر (1957 ، القسم 5.2.5) على النحو التالي: تتكون المجموعة المتطرفة من كرة و"هالة" لا تُساهم في الحجم ولا في مساحة السطح. أي أن المساواة تتحقق لمجموعة متراصة.${\displaystyle S}$إذا وفقط إذا${\displaystyle S}$يحتوي على كرة مغلقة${\displaystyle B}$بحيث${\displaystyle \operatorname {vol} (B)=\operatorname {vol} (S)}$و${\displaystyle \operatorname {per} (B)=\operatorname {per} (S).}$على سبيل المثال، قد يكون "التاج" عبارة عن منحنى.

يُستنتج برهان المتباينة مباشرةً من متباينة برون-مينكوفسكي بين مجموعة${\displaystyle S}$وكرة نصف قطرها${\displaystyle \epsilon }$، أي${\displaystyle B_{\epsilon }=\epsilon B_{1}}$. بالفعل،${\displaystyle \operatorname {vol} (A+B_{\epsilon })\geq (\operatorname {vol} (A)^{1/n}+\operatorname {vol} (B_{\epsilon })^{1/n})^{n}\geq \operatorname {vol} (A)+n\operatorname {vol} (A)^{(n-1)/n}\epsilon \operatorname {vol} (B_{1})^{1/n}.}$تُستنتج متباينة المحيط المتساوي عن طريق الطرح${\textstyle \operatorname {vol} (A)}$، بالقسمة على${\displaystyle \epsilon }$وباعتبار الحد هو${\displaystyle \epsilon \to 0.}$( أوسرمان (1978) ؛ فيدرر (1969 ، §3.2.43) ).

بشكل عام ( فيدرر 1969 ، §3.2.43) ، تنص متباينة المحيط المتساوي على أنه لأي مجموعة${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$إغلاقها له مقياس ليبيغ محدود

${\displaystyle n\,\omega _{n}^{1/n}L^{n}({\bar {S}})^{(n-1)/n}\leq M_{*}^{n-1}(\partial S)}$

أين${\displaystyle M_{*}^{n-1}}$يمثل محتوى مينكوفسكي ذو البعد ( n -1) ، ^و Ln هو مقياس ليبيغ _ذو البعد n ، و ωn هو حجم كرة الوحدة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$إذا كانت حدود S قابلة للتصحيح ، فإن محتوى مينكوفسكي هو مقياس هاوسدورف ذو ( n -1) الأبعاد .

إن متباينة المحيط المتساوي الأبعاد n مكافئة (بالنسبة للمجالات الملساء بدرجة كافية) لمتباينة سوبوليف على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$مع الثابت الأمثل:

${\displaystyle \left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u|^{n/(n-1)}\right)^{(n-1)/n}\leq n^{-1}\omega _{n}^{-1/n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|}$

للجميع${\displaystyle u\in W^{1,1}(\mathbb {R} ^{n})}$.

تُعدّ مشعبات هادامارد مشعبات كاملة بسيطة الاتصال ذات انحناء غير موجب. وبالتالي فهي تُعمّم الفضاء الإقليدي.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$وهي فضاء هادامارد ذو انحناء صفري. في سبعينيات وأوائل ثمانينيات القرن العشرين، افترض كل من تيري أوبين ، وميشا غروموف ، ويوري بوراجو ، وفيكتور زالغالر أن متباينة المحيط المتساوي الإقليدية

${\displaystyle \operatorname {per} (S)\geq n\operatorname {vol} (S)^{(n-1)/n}\operatorname {vol} (B_{1})^{1/n}}$

ينطبق على المجموعات المحدودة${\displaystyle S}$في فضاءات هادامارد، وهو ما يُعرف باسم حدسية كارتان-هادامارد . في البعد الثاني، كان أندريه ويل قد أثبت هذه الحدسية عام 1926 ، وكان حينها أحد تلاميذ هادامارد . أما في البعدين الثالث والرابع، فقد أثبتها بروس كلاينر عام 1992، وكريس كروك عام 1984 على التوالي.

أُجريت معظم الدراسات حول مسألة تساوي المحيط في سياق المناطق الملساء في الفضاءات الإقليدية ، أو بشكل أعم، في مشعبات ريمانية . ومع ذلك، يمكن صياغة مسألة تساوي المحيط بشكل أكثر عمومية باستخدام مفهوم محتوى مينكوفسكي .${\displaystyle (X,\mu ,d)}$ليكن X فضاءً متريًا : X فضاء متري ذو مقياس d ، و μ مقياس بوريل على X. يُعرَّف مقياس الحدود ، أو محتوى مينكوفسكي ، لمجموعة جزئية قابلة للقياس A من X بأنه النهاية الدنيا (lim inf)

${\displaystyle \mu ^{+}(A)=\liminf _{\varepsilon \to 0+}{\frac {\mu (A_{\varepsilon })-\mu (A)}{\varepsilon }},}$

أين

${\displaystyle A_{\varepsilon }=\{x\in X|d(x,A)\leq \varepsilon \}}$

هو امتداد إبسيلون لـ A.

تتساءل مسألة المحيط المتساوي في X عن أصغر حجم يمكن أن يكون${\displaystyle \mu ^{+}(A)}$لنفترض أن μ ( A ) معطاة. إذا كان X هو المستوى الإقليدي ذو المسافة المعتادة ومقياس ليبيغ، فإن هذا السؤال يعمم مسألة المحيط المتساوي الكلاسيكية إلى المناطق المستوية التي لا تكون حدودها بالضرورة ملساء، على الرغم من أن الإجابة تكون هي نفسها.

الوظيفة

${\displaystyle I(a)=\inf\{\mu ^{+}(A)|\mu (A)=a\}}$

يُطلق عليه اسم المقطع المحيطي المتساوي لفضاء القياس المتري${\displaystyle (X,\mu ,d)}$تمت دراسة الملامح متساوية المحيط للرسوم البيانية لكايلي للمجموعات المنفصلة ولفئات خاصة من مشعبات ريمان (حيث يتم عادةً اعتبار المناطق A ذات الحدود المنتظمة فقط).

في نظرية المخططات ، تُعدّ المتباينات متساوية المحيط جوهر دراسة المخططات الموسّعة ، وهي مخططات متفرقة ذات خصائص اتصال قوية. وقد أدت بنى المخططات الموسّعة إلى ظهور أبحاث في الرياضيات البحتة والتطبيقية، مع العديد من التطبيقات في نظرية التعقيد ، وتصميم شبكات الحاسوب القوية ، ونظرية رموز تصحيح الأخطاء . ^{[ 7 ]}

تربط متباينات المحيط المتساوي للرسوم البيانية حجم مجموعات الرؤوس الفرعية بحجم حدودها، والذي يُقاس عادةً بعدد الحواف الخارجة من المجموعة الفرعية (توسع الحواف) أو بعدد الرؤوس المجاورة (توسع الرؤوس). بالنسبة للرسم البياني${\displaystyle G}$وعدد${\displaystyle k}$فيما يلي معياران قياسيان للقياس المتساوي للرسوم البيانية. ^{[ 8 ]}

• معامل المحيط المتساوي للحافة:$${\displaystyle \Phi _{E}(G,k)=\min _{S\subseteq V}\left\{|E(S,{\overline {S}})|:|S|=k\right\}}$$
• معامل التساوي المحيطي للرأس:$${\displaystyle \Phi _{V}(G,k)=\min _{S\subseteq V}\left\{|\Gamma (S)\setminus S|:|S|=k\right\}}$$

هنا${\displaystyle E(S,{\overline {S}})}$يشير إلى مجموعة الحواف الخارجة${\displaystyle S}$و${\displaystyle \Gamma (S)}$يشير إلى مجموعة الرؤوس التي لها جار في${\displaystyle S}$تتلخص مشكلة المحيط المتساوي في فهم كيفية عمل المعلمات${\displaystyle \Phi _{E}}$و${\displaystyle \Phi _{V}}$يتصرف مع العائلات الطبيعية للرسوم البيانية.

تنص متباينة المحيط المتساوي للمثلثات بدلالة المحيط p والمساحة T على أن ^{[ 13 ]}

${\displaystyle p^{2}\geq 12{\sqrt {3}}\cdot T,}$

مع المساواة للمثلث متساوي الأضلاع . وهذا ما يُستنتج، من خلال متباينة AM-GM ، من متباينة أقوى تُسمى أيضًا متباينة المحيط المتساوي للمثلثات: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle T\leq {\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{2/3}.}$

• نظرية بلاشكه-ليبيغ
• مسألة تشابليغين : مسألة المحيط المتساوي هي حالة من مسألة تشابليغين حيث تكون سرعة الرياح صفرًا
• تدفق تقصير المنحنى
• رسم بياني موسع
• متباينة غاوسية متساوية المحيط
• البعد المتساوي المحيط
• نقطة متساوية المحيط
• قائمة متباينات المثلث
• حجم مختلط
• نظرية الفاصل المستوي

• تاريخ مشكلة المحيط المتساوي عند التقارب
• تريبيرغ: عدة براهين على متباينة المحيط المتساوي
• نظرية المحيط المتساوي في موقع cut-the-knot