الكون (الرياضيات)

في الرياضيات ، وخاصة في نظرية المجموعات ، ونظرية الفئات ، ونظرية الأنواع ، وأسس الرياضيات ، الكون هو مجموعة تحتوي على جميع الكيانات التي يرغب المرء في أخذها في الاعتبار في موقف معين.

في نظرية المجموعات، تُعرَّف الأكوان غالبًا بأنها فئات تحتوي ( كعناصر ) على جميع المجموعات التي يُراد إثبات نظرية معينة لها . ويمكن لهذه الفئات أن تُستخدم كنماذج داخلية لأنظمة بديهية مختلفة، مثل نظرية ZFC أو نظرية مورس-كيلي للمجموعات . وتكتسب الأكوان أهمية بالغة في صياغة المفاهيم في نظرية الفئات ضمن أسس نظرية المجموعات. فعلى سبيل المثال، يُعدّ المثال النموذجي المُحفِّز للفئة هو فئة جميع المجموعات، والتي لا يمكن صياغتها في نظرية المجموعات دون وجود مفهوم للكون.

في نظرية الأنواع، الكون هو نوع تكون عناصره أنواعًا.

لعلّ أبسط تفسير هو أن أي مجموعة يمكن أن تكون كونًا، طالما أن موضوع الدراسة محصورٌ في تلك المجموعة تحديدًا. فإذا كان موضوع الدراسة مُكوَّنًا من الأعداد الحقيقية ، فإن خط الأعداد الحقيقية R ، الذي يُمثِّل مجموعة الأعداد الحقيقية، يُمكن أن يكون الكون قيد الدراسة. ضمنيًا، هذا هو الكون الذي استخدمه جورج كانتور عندما طوّر لأول مرة نظرية المجموعات الساذجة الحديثة ومفهوم العددية في سبعينيات وثمانينيات القرن التاسع عشر في تطبيقات التحليل الحقيقي . كانت المجموعات الوحيدة التي اهتم بها كانتور في البداية هي المجموعات الجزئية من R.

ينعكس مفهوم الكون هذا في استخدام مخططات فين . في مخطط فين، يحدث التفاعل عادةً داخل مستطيل كبير يُمثل الكون U. يُقال عمومًا أن المجموعات تُمثل بدوائر، لكن هذه المجموعات لا يمكن أن تكون إلا مجموعات جزئية من U. تُعطى متممة المجموعة A بالجزء من المستطيل الواقع خارج دائرة A. بالمعنى الدقيق ، هذه هي المتممة النسبية U \ A للمجموعة A بالنسبة إلى U ؛ ولكن في سياق يكون فيه U هو الكون، يمكن اعتبارها المتممة المطلقة AC للمجموعة ^A. وبالمثل، يوجد مفهوم التقاطع الصفري ، أي تقاطع المجموعات الصفرية (أي المجموعات التي لا تحتوي على أي عناصر، وليست مجموعات فارغة ).

بدون وجود كون، سيكون التقاطع الصفري هو مجموعة كل شيء مطلقًا، وهو أمر يُعتبر مستحيلاً عمومًا؛ ولكن مع وضع الكون في الاعتبار، يمكن اعتبار التقاطع الصفري مجموعة كل شيء قيد الدراسة، وهي ببساطة U. هذه الاصطلاحات مفيدة جدًا في المنهج الجبري لنظرية المجموعات الأساسية، القائمة على الشبكات البولية . باستثناء بعض الأشكال غير القياسية لنظرية المجموعات البديهية (مثل الأسس الجديدة )، فإن فئة جميع المجموعات ليست شبكة بولية (إنها مجرد شبكة مكملة نسبيًا ).

في المقابل، تُعدّ فئة جميع المجموعات الجزئية من U ، والتي تُسمى مجموعة القوى لـ U ، شبكةً منطقية. والمتمم المطلق الموصوف أعلاه هو عملية المتمم في الشبكة المنطقية؛ و U ، باعتبارها التقاطع الصفري، تُمثّل العنصر العلوي (أو التقاءً صفريًا ) في الشبكة المنطقية. عندئذٍ، تنطبق قوانين دي مورغان ، التي تتناول متممات التقاءات والوصلات (وهي اتحادات في نظرية المجموعات)، بل وتنطبق حتى على التقاء الصفري والوصل الصفري (وهو المجموعة الفارغة ).

مع ذلك، بمجرد النظر في المجموعات الجزئية لمجموعة معينة X (في حالة كانتور، X = R )، قد يكون الكون مجموعة من المجموعات الجزئية لـ X. (على سبيل المثال، الطوبولوجيا على X هي مجموعة من المجموعات الجزئية لـ X ). لن تكون المجموعات المختلفة من المجموعات الجزئية لـ X نفسها مجموعات جزئية من X ، بل ستكون مجموعات جزئية من P( X) ، وهي مجموعة القوى لـ X. يمكن مواصلة هذا؛ فقد يتكون موضوع الدراسة لاحقًا من مجموعات مماثلة من المجموعات الجزئية لـ X ، وهكذا، وفي هذه الحالة سيكون الكون هو P ( P( X )). من منظور آخر، يمكن النظر في العلاقات الثنائية على X (المجموعات الجزئية من حاصل الضرب الديكارتي X × X ) ، أو الدوال من X إلى نفسها، مما يتطلب كونًا مثل P ( X × X ) أو X ∈ ^X.

وبالتالي، حتى لو كان الاهتمام الأساسي منصباً على X ، فقد يكون الكون أكبر بكثير من X. وبناءً على الأفكار السابقة، قد يرغب المرء في أن تكون البنية الفوقية فوق X هي الكون. ويمكن تعريف ذلك من خلال التكرار البنيوي على النحو التالي:

• ليكن S ₀ X هو X نفسه.
• ليكن S ₁ X هو اتحاد X و P X.​​
• ليكن S ₂ X هو اتحاد S ₁ X و P ( S ₁ X ).
• بشكل عام، ليكن S _{n +1} X هو اتحاد S _n X و P ( S _n X ).

ثم إن البنية الفوقية فوق X ، والتي تُكتب S X ، هي اتحاد S ₀ X و S ₁ X و S ₂ X ، وهكذا؛ أو

${\displaystyle \mathbf {S} X:=\bigcup _{i=0}^{\infty }\mathbf {S} _{i}X{\mbox{.}}\!}$

بغض النظر عن المجموعة X التي تمثل نقطة البداية، فإن _{المجموعة} الفارغة {} تنتمي إلى S₁X . المجموعة الفارغة هي الترتيب فون نيومان [0]. بالتالي ، فإن {[0]}، وهي المجموعة التي لا تحتوي إلا على المجموعة الفارغة، تنتمي إلى S₂X ؛ وهذا هو الترتيب فون نيومان [1]. وبالمثل، فإن {[1]} تنتمي إلى _S₃X ، وبالتالي فإن {[0],[1] } تنتمي _أيضًا ، باعتبارها اتحاد {[0]} و{[1]}؛ وهذا هو الترتيب فون نيومان [2]. باستمرار هذه العملية، يُمثَّل كل عدد طبيعي في البنية الفوقية بترتيبه فون نيومان. بعد ذلك، إذا كان x و y ينتميان إلى البنية الفوقية، فإن {{ x },{ x , y }} تنتمي أيضًا، والتي تُمثل الزوج المرتب ( x , y ). وهكذا، ستحتوي البنية الفوقية على مختلف الضرب الديكارتي المطلوب. ثم تتضمن البنية الفوقية أيضًا الدوال والعلاقات ، إذ يمكن تمثيلها كمجموعات جزئية من حاصل الضرب الديكارتي. وتُنتج هذه العملية أيضًا أزواجًا مرتبة من الرتبة n ، ممثلةً بدوال يكون مجالها هو الترتيب فون نيومان [ n ]، وهكذا.

إذا كانت نقطة البداية هي X = {}، فإنّ الكثير من المجموعات اللازمة للرياضيات تظهر كعناصر في البنية الفوقية فوق {}. لكن كل عنصر من عناصر S {} سيكون مجموعة منتهية . ينتمي كل عدد طبيعي إليها، لكن المجموعة N التي تضم جميع الأعداد الطبيعية لا تنتمي إليها (مع أنها مجموعة جزئية من S {}). في الواقع، تتكون البنية الفوقية فوق {} من جميع المجموعات المنتهية وراثيًا . على هذا النحو، يمكن اعتبارها عالم الرياضيات المنتهية . وبتعبير غير دقيق، يمكن القول إنّ ليوبولد كرونكر، عالم الرياضيات المنتهية في القرن التاسع عشر ، كان يعمل في هذا العالم؛ فقد اعتقد بوجود كل عدد طبيعي، لكن المجموعة N (التي تُعتبر " لانهاية مكتملة ") غير موجودة.

مع ذلك، فإن S {} غير مُرضية للرياضيين العاديين (غير المنتهينين)، لأنه على الرغم من إمكانية توفر N كمجموعة جزئية من S {}، إلا أن مجموعة قوى N لا تزال غير متوفرة. على وجه الخصوص، لا تتوفر مجموعات الأعداد الحقيقية العشوائية. لذا، قد يكون من الضروري البدء من جديد وتكوين S ( S {}). ولكن، لتبسيط الأمور، يمكن اعتبار مجموعة الأعداد الطبيعية N مُعطاة وتكوين SN ، وهي البنية الفوقية فوق N. غالبًا ما تُعتبر هذه البنية الفوقية بمثابة كون الرياضيات العادية . الفكرة هي أن جميع فروع الرياضيات التي تُدرس عادةً تشير إلى عناصر من هذا الكون. على سبيل المثال، أي من الإنشاءات المعتادة للأعداد الحقيقية (مثلًا باستخدام قطوع ديديكيند ) تنتمي إلى SN . حتى التحليل غير القياسي يُمكن إجراؤه في البنية الفوقية فوق نموذج غير قياسي للأعداد الطبيعية.

هناك تحول طفيف في الفلسفة عن القسم السابق، حيث كان الكون يُعرَّف بأنه أي مجموعة U ذات أهمية. في ذلك القسم، كانت المجموعات المدروسة عبارة عن مجموعات جزئية من الكون؛ أما الآن، فهي أعضاء في الكون. وبالتالي، على الرغم من أن P(SX) عبارة عن شبكة بولية، فإن المهم هو أن SX نفسها ليست كذلك . ونتيجة لذلك، من النادر تطبيق مفاهيم الشبكات البولية ومخططات فين مباشرةً على كون البنية الفوقية كما كان الحال مع أكوان مجموعات القوى في القسم السابق. بدلاً من ذلك، يمكن العمل مع الشبكات البولية الفردية PA ، حيث A هي أي مجموعة ذات صلة تنتمي إلى SX؛ عندئذٍ تكون PA مجموعة جزئية من SX ( وتنتمي في الواقع إلى SX ) . في حالة كانتور X = R على وجه الخصوص، لا تتوفر مجموعات عشوائية من الأعداد الحقيقية ، لذلك قد يكون من الضروري البدء بالعملية من جديد.

من الممكن إعطاء معنى دقيق للقول بأن SN هو عالم الرياضيات العادية؛ فهو نموذج لنظرية زيرميلو للمجموعات ، وهي نظرية المجموعات البديهية التي طورها إرنست زيرميلو في عام 1908. وقد نجحت نظرية زيرميلو للمجموعات تحديدًا لقدرتها على وضع بديهيات للرياضيات "العادية"، محققةً بذلك البرنامج الذي بدأه كانتور قبل أكثر من 30 عامًا. إلا أن نظرية زيرميلو للمجموعات أثبتت عدم كفايتها لمواصلة تطوير نظرية المجموعات البديهية وغيرها من الأعمال في أسس الرياضيات ، ولا سيما نظرية النماذج .

كمثالٍ بارز، لا يمكن تطبيق وصف عملية البنية الفوقية المذكورة أعلاه في نظرية زيرميلو للمجموعات. تتطلب الخطوة الأخيرة، وهي تشكيل S كاتحاد لانهائي، بديهية الاستبدال ، التي أُضيفت إلى نظرية زيرميلو للمجموعات عام ١٩٢٢ لتشكيل نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات ، وهي مجموعة البديهيات الأكثر قبولًا اليوم. لذا، فبينما يمكن ممارسة الرياضيات العادية في SN ، فإن مناقشة SN تتجاوز "العادية" إلى ما وراء الرياضيات .

لكن إذا ما أُدخلت نظرية المجموعات المتقدمة، يتضح أن عملية البنية الفوقية المذكورة أعلاه ليست سوى بداية لتكرار لانهائي . بالعودة إلى X = {}، المجموعة الفارغة، واستخدام الترميز (القياسي) V _{_i} لـ S _{_i} {}، فإن V _₀ = {}، و V _₁ = P _i {}، وهكذا كما في السابق. لكن ما كان يُسمى سابقًا "البنية الفوقية" أصبح الآن مجرد العنصر التالي في القائمة: V _{_ω}، حيث ω هو أول عدد ترتيبي لانهائي . ويمكن تعميم ذلك على أي عدد ترتيبي .

${\displaystyle V_{i}:=\bigcup _{j<i}\mathbf {P} V_{j}\!}$

يُعرّف Vᵢ لأي عدد ترتيبي _i . اتحاد جميع Vᵢ هو كون فون نيومان _V :

${\displaystyle V:=\bigcup _{i}V_{i}\!}$.

كل عنصر فردي Vᵢ _هو مجموعة، لكن اتحادها Vᵢ هو فئة حقيقية . تنص بديهية التأسيس ، التي أضيفت إلى نظرية مجموعات ZF في نفس وقت إضافة بديهية الاستبدال تقريبًا، على أن كل مجموعة تنتمي إلى Vᵢ .

عالم كورت غودل القابل للبناء L وبديهية قابلية البناء

تؤدي الأعداد الأساسية غير القابلة للوصول إلى نماذج ZF وأحيانًا بديهيات إضافية، وهي مكافئة لوجود مجموعة كون غروتينديك

في تفسير منطق الرتبة الأولى ، يُعرَّف الكون (أو مجال الخطاب) بأنه مجموعة الأفراد (الثوابت الفردية) التي تتراوح عليها الكميات . وتكون عبارة مثل ∀ x ( x ^≠ 2) غامضة إذا لم يُحدَّد مجال الخطاب. في أحد التفسيرات، قد يكون مجال الخطاب هو مجموعة الأعداد الحقيقية ؛ وفي تفسير آخر، قد يكون مجموعة الأعداد الطبيعية . إذا كان مجال الخطاب هو مجموعة الأعداد الحقيقية، فإن العبارة خاطئة، مع اعتبار x = √2 مثالًا مضادًا؛ أما إذا كان المجال هو مجموعة الأعداد الطبيعية، فإن العبارة صحيحة، لأن 2 ليس مربع أي عدد طبيعي.

هناك منهج آخر لفهم الأكوان، يرتبط تاريخيًا بنظرية الفئات . وهو مفهوم كون غروتينديك . باختصار، كون غروتينديك هو مجموعة يمكن إجراء جميع العمليات المعتادة لنظرية المجموعات داخلها. يُعرَّف هذا النوع من الأكوان بأنه أي مجموعة تتحقق فيها البديهيات التالية: ^{[ 1 ]}

1. ${\displaystyle x\in u\in U}$يشير إلى${\displaystyle x\in U}$(${\displaystyle U}$(فعل متعدٍ )
2. ${\displaystyle u\in U}$و${\displaystyle v\in U}$يستلزم ذلك { u , v }، ( u , v )، و${\displaystyle u\times v\in U}$.
3. ${\displaystyle x\in U}$يشير إلى${\displaystyle {\mathcal {P}}x\in U}$و${\displaystyle \bigcup x\in U}$
4. ${\displaystyle \omega \in U}$(هنا${\displaystyle \omega =\{0,1,2,...\}}$هي مجموعة جميع الأعداد الترتيبية المنتهية .
5. لو${\displaystyle f:a\to b}$هي دالة شاملة مع${\displaystyle a\in U}$و${\displaystyle b\subseteq U}$، ثم${\displaystyle b\in U}$.

يُستخدم كون غروتينديك U بشكل شائع كبديل لفئة جميع المجموعات. يُقال إن المجموعة S صغيرة U إذا كانت S ∈ U، وكبيرة U فيما عدا ذلك. تحتوي فئة U - مجموعة جميع المجموعات الصغيرة U - على جميع المجموعات الصغيرة U كعناصر ، وجميع الدوال بين هذه المجموعات كتشاكلات. بما أن كلًا من مجموعة العناصر ومجموعة التشاكلات عبارة عن مجموعات، يصبح من الممكن مناقشة فئة "جميع" المجموعات دون اللجوء إلى الفئات الفعلية. ومن ثم، يصبح من الممكن تعريف فئات أخرى بدلالة هذه الفئة الجديدة. على سبيل المثال، فئة جميع الفئات الصغيرة U هي فئة جميع الفئات التي تنتمي مجموعة عناصرها ومجموعة تشاكلاتها إلى U. عندئذٍ، تنطبق الحجج المعتادة لنظرية المجموعات على فئة جميع الفئات، ولا داعي للقلق بشأن الحديث عن الفئات الفعلية عن طريق الخطأ. ولأن أكوان غروتينديك كبيرة للغاية، فإن هذا يكفي في جميع التطبيقات تقريبًا.

عند التعامل مع أكوان غروتينديك، غالبًا ما يفترض علماء الرياضيات بديهية الأكوان : "لأي مجموعة x ، يوجد كون U بحيث x ∈ U ". تكمن أهمية هذه البديهية في أن أي مجموعة نصادفها تكون صغيرة بالنسبة لـ U لبعض قيم U ، وبالتالي يمكن تطبيق أي حجة تُجرى في كون غروتينديك عام. ^{[ 2 ]} ترتبط هذه البديهية ارتباطًا وثيقًا بوجود الأعداد الأصلية غير القابلة للوصول بقوة .

في بعض نظريات الأنواع، وخاصة في الأنظمة ذات الأنواع التابعة ، يمكن اعتبار الأنواع نفسها مصطلحات . يوجد نوع يُسمى الكون (يُشار إليه غالبًا بـ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$)، والتي تتكون عناصرها من أنواع. ولتجنب المفارقات مثل مفارقة جيرارد (وهي نظير لمفارقة راسل في نظرية الأنواع)، غالبًا ما تُزود نظريات الأنواع بتسلسل هرمي لانهائي قابل للعد من هذه العوالم، حيث يمثل كل عالم مصطلحًا من المصطلح الذي يليه.

يوجد نوعان على الأقل من الأكوان التي يمكن دراستها في نظرية الأنواع: أكوان راسل (نسبةً إلى برتراند راسل ) وأكوان تارسكي (نسبةً إلى ألفريد تارسكي ). ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} كون راسل هو نوع تكون حدوده أنواعًا. ^{[ 3 ]} أما كون تارسكي فهو نوع مصحوب بعملية تفسير تسمح لنا باعتبار حدوده أنواعًا. ^{[ 3 ]}

على سبيل المثال: ^{[ 6 ]}

يتجلى انفتاح نظرية مارتن-لوف للأنواع بشكل خاص في تقديم ما يُسمى بالأكوان. تُجسد أكوان الأنواع المفهوم غير الرسمي للانعكاس، والذي يمكن شرح دوره على النحو التالي: أثناء تطوير صياغة رسمية معينة لنظرية الأنواع، قد يُراجع مُنظِّر الأنواع قواعد الأنواع، ولنقل C، التي تم تقديمها سابقًا، ويُقر بصحتها وفقًا لدلالات مارتن-لوف غير الرسمية لتفسير المعنى. تُعد عملية "التأمل الذاتي" هذه محاولةً لإدراك المفاهيم التي حكمت عمليات البناء لدينا في الماضي. وهي تُؤدي إلى " مبدأ الانعكاس الذي يُشير، بشكل عام، إلى إمكانية تطبيق أي شيء اعتدنا القيام به مع الأنواع داخل كون" (مارتن-لوف 1975، 83). على المستوى الرسمي، يُؤدي هذا إلى توسيع الصياغة الرسمية الحالية لنظرية الأنواع، حيث تُصبح قدرات تكوين الأنواع لـ C مُضمنة في كون نوع U_{_C} يُحاكي C.

• مجموعة (رياضيات)
• مجال الخطاب
• عالم غروتينديك
• عالم هيربراند
• كائن حر
• صيغة مفتوحة
• الفضاء (الرياضيات)

• ماك لين، سوندرز (1998). تصنيفات للرياضي العامل . سبرينغر-فيرلاغ نيويورك، إنك.

• "الكون" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• وايسستين، إريك دبليو. “المجموعة العالمية” . عالم الرياضيات .