المنطق الجبري

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 9 صور
الموسوعة الحرة

في المنطق الرياضي ، المنطق الجبري هو الاستدلال الذي يتم الحصول عليه من خلال معالجة المعادلات ذات المتغيرات الحرة .

يركز ما يُعرف الآن عادةً بالمنطق الجبري الكلاسيكي على تحديد ووصف النماذج الجبرية المناسبة لدراسة مختلف أنواع المنطق (في شكل فئات من الجبر التي تُشكل الدلالات الجبرية لهذه الأنظمة الاستنتاجية ) والمسائل المرتبطة بها مثل التمثيل والازدواجية. وتندرج نتائج معروفة مثل نظرية التمثيل للجبر البولياني وازدواجية ستون تحت مظلة المنطق الجبري الكلاسيكي ( تشيلاكوفسكي 2003 ) .

تركز الأعمال في المنطق الجبري المجرد (AAL) الأحدث على عملية الجبر نفسها، مثل تصنيف الأشكال المختلفة للجبرية باستخدام عامل لايبنيز ( Czelakowski 2003 ) .

حساب العلاقات

تُوجد علاقة ثنائية متجانسة في مجموعة القوى لـ X × X لمجموعة ما X ، بينما تُوجد علاقة غير متجانسة في مجموعة القوى لـ X × Y ، حيث X ≠ Y. وتُعتبر صحة علاقة معينة لشخصين معلومةً تُعرف ببت واحد ، لذا تُدرس العلاقات باستخدام الحساب البولياني. تُرتب عناصر مجموعة القوى جزئيًا حسب الاحتواء ، وتُصبح شبكة هذه المجموعات جبرًا من خلال الضرب النسبي أو تركيب العلاقات .

"العمليات الأساسية هي الاتحاد والتقاطع والمكملة في نظرية المجموعات، والضرب النسبي، والتحويل." [ 1 ]

يشير التحويل إلى العلاقة العكسية الموجودة دائمًا، على عكس نظرية الدوال. يمكن تمثيل علاقة معينة بمصفوفة منطقية ؛ وعندها تُمثَّل العلاقة العكسية بمصفوفة النقل . أما العلاقة الناتجة عن تركيب مصفوفتين أخريين، فتُمثَّل بالمصفوفة المنطقية الناتجة عن ضرب المصفوفات باستخدام العمليات الحسابية البوليانية.

مثال

يظهر مثال على حساب العلاقات في علم الأسئلة. في عالم العبارات، توجد عبارات (S) وأسئلة (Q) . توجد علاقتان ، π و α ، من Q إلى S : العلاقة q ∈ α a صحيحة عندما تكون a إجابة مباشرة على السؤال q . أما العلاقة الأخرى، q ∈ π p، فهي صحيحة عندما تكون p فرضية مسبقة للسؤال q . العلاقة العكسية π T تمتد من S إلى Q، بحيث يكون التركيب π T ∈ α علاقة متجانسة على S. [ 2 ] يُعرف فن طرح السؤال المناسب لاستخلاص إجابة كافية في الحوار السقراطي .

الوظائف

تمت صياغة وصف خصائص العلاقات الثنائية الرئيسية باستخدام حساب العلاقات. وتصف خاصية أحادية التكافؤ للدوال علاقة R تحقق الصيغة التالية:RتيR⊆أنا،{\displaystyle R^{T}R\subseteq I,}حيث I هي علاقة التطابق على مدى R. تتوافق خاصية الحقن مع أحادية التكافؤ لـRتي{\displaystyle R^{T}}أو الصيغةRRتي⊆أنا،{\displaystyle RR^{T}\subseteq I,}حيث تكون هذه المرة I هي العنصر المحايد على مجال R.

لكن العلاقة أحادية القيمة هي دالة جزئية فقط ، بينما العلاقة الكلية أحادية القيمة هي دالة كاملة . صيغة العلاقة الكلية هيأنا⊆RRتي.{\displaystyle I\subseteq RR^{T}.}يستخدم تشارلز لوينر وجونتر شميدت مصطلح "الربط" للإشارة إلى علاقة كاملة أحادية القيمة. [ 3 ] [ 4 ]

ألهمت سهولة العلاقات التكميلية أوغسطس دي مورغان وإرنست شرودر لتقديم مكافئات باستخدامR¯{\displaystyle {\bar {R}}}بالنسبة لمكمل العلاقة R. توفر هذه المكافئات صيغًا بديلة للعلاقات أحادية القيمة (Rأنا¯⊆R¯{\displaystyle R{\bar {I}}\subseteq {\bar {R}}})، والعلاقات الكلية (R¯⊆Rأنا¯{\displaystyle {\bar {R}}\subseteq R{\bar {I}}}وبالتالي، فإن عمليات الربط تحقق الصيغة التاليةR¯=Rأنا¯.{\displaystyle {\bar {R}}=R{\bar {I}}.}يستخدم شميدت هذا المبدأ على أنه "انزلاق أسفل النفي من اليسار". [ 5 ] بالنسبة للدالة f ، وأ¯=وأ¯.{\displaystyle f{\bar {A}}={\overline {fA}}.}

التجريد

تجاوز تارسكي بنية جبر العلاقات ، القائمة على نظرية المجموعات، من خلال بديهيات تصفها. ثم تساءل عما إذا كان بالإمكان تمثيل كل جبر يحقق هذه البديهيات بعلاقة مجموعة. وقد فتحت الإجابة السلبية [ 6 ] آفاق المنطق الجبري المجرد . [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]

الجبر كنموذج للمنطق

يتعامل المنطق الجبري مع الهياكل الجبرية ، وغالبًا ما تكون شبكات محدودة ، كنماذج (تفسيرات) لمنطق معين ، مما يجعل المنطق فرعًا من نظرية النظام .

في المنطق الجبري:

في الجدول أدناه، يحتوي العمود الأيسر على نظام منطقي أو رياضي واحد أو أكثر، بينما تظهر البنية الجبرية التي تمثل نماذجه على اليمين في الصف نفسه. بعض هذه البنى إما جبر بولياني أو امتدادات مناسبة له. عادةً ما يتم نمذجة المنطق الموجه وغير الكلاسيكي الآخر بما يُسمى "الجبر البولياني مع المؤثرات".

تشمل الصيغ الجبرية التي تتجاوز منطق الرتبة الأولى في بعض الجوانب على الأقل ما يلي:

النظام المنطقيجبر ليندنبوم-تارسكي
المنطق الجملي الكلاسيكيالجبر البولياني
المنطق الافتراضي الحدسيجبر هيتينغ
منطق لوكاسيفيتشالجبر متعدد المتغيرات
المنطق الموجه Kالجبر الموجه
لويس إس 4الجبر الداخلي
منطق لويس S5 ، منطق المسند الأحاديالجبر البولياني الأحادي
منطق الرتبة الأولىالجبر البولياني الكامل ، الجبر متعدد الحدود ، منطق دالة المسند
منطق الرتبة الأولى مع المساواةالجبر الأسطواني
نظرية المجموعاتالمنطق التوافقي ، جبر العلاقات

تاريخ

ربما يكون المنطق الجبري أقدم منهج في المنطق الصوري، ويمكن القول إنه بدأ بعدد من المذكرات التي كتبها لايبنتز في ثمانينيات القرن السابع عشر، والتي نُشر بعضها في القرن التاسع عشر وترجمها كلارنس لويس إلى الإنجليزية عام ١٩١٨. [ ١٠ ] : ٢٩١-٣٠٥. لكن معظم أعمال لايبنتز المعروفة في المنطق الجبري لم تُنشر إلا عام ١٩٠٣ بعد أن اكتشفها لويس كوتورا في تركة لايبنتز . وقد ترجم باركنسون (١٩٦٦) ولومكر (١٩٦٩) مختارات من كتاب كوتورا إلى الإنجليزية.

بدأ المنطق الرياضي الحديث عام ١٨٤٧، بكتيبين من تأليف جورج بول [ ١١ ] وأوغسطس دي مورغان [ ١٢ ] . وفي عام ١٨٧٠، نشر تشارلز ساندرز بيرس أول أعماله العديدة في منطق العلاقات . ونشر ألكسندر ماكفارلين كتابه "مبادئ جبر المنطق " [ ١٣ ] عام ١٨٧٩، وفي عام ١٨٨٣، نشرت كريستين لاد ، تلميذة بيرس في جامعة جونز هوبكنز ، كتابها "في جبر المنطق" [ ١٤ ] . واتخذ المنطق طابعًا جبريًا أكثر عندما جُمعت العلاقات الثنائية مع تركيب العلاقات . فبالنسبة للمجموعتين A و B ، تُمثل العلاقة بينهما كعنصر من مجموعة القوى لـ A × B بخصائص موصوفة بالجبر البولياني . ويُمكن القول إن "حساب العلاقات" [ ٩ ] هو ذروة منهج لايبنتز في المنطق . في جامعة كارلسروه، تم وصف حساب العلاقات بواسطة إرنست شرودر . [ 15 ] وعلى وجه الخصوص، قام بصياغة قواعد شرودر ، على الرغم من أن دي مورغان قد سبقها بنظريته K.

في عام 1903، طور برتراند راسل حساب العلاقات والمنطق كنسخته من الرياضيات البحتة، مستندًا إلى عمليات الحساب كمفاهيم أولية . [ 16 ] وقد طُوِّر "جبر بول-شرودر للمنطق" في جامعة كاليفورنيا، بيركلي، في كتاب مدرسي لكلارنس لويس عام 1918. [ 10 ] وقد تناول منطق العلاقات باعتباره مشتقًا من الدوال الافتراضية لمتغيرين أو أكثر.

لقد شارك كل من هيو ماكول ، وجوتلوب فريجه ، وجوزيبي بيانو ، وإيه إن وايتهيد حلم لايبنتز في الجمع بين المنطق الرمزي والرياضيات والفلسفة .

ظهرت بعض كتابات ليوبولد لوفنهايم وثورالف سكوليم حول المنطق الجبري بعد نشر كتاب " برينسيبيا ماثيماتيكا" في الفترة ما بين 1910 و1913 ، وأعاد تارسكي إحياء الاهتمام بالعلاقات من خلال مقالته عام 1941 بعنوان "حول حساب العلاقات". [ 9 ]

بحسب هيلينا راسيووا ، "شهدت السنوات من 1920 إلى 1940، ولا سيما في المدرسة البولندية للمنطق، أبحاثًا حول حسابات القضايا غير الكلاسيكية التي أجريت باستخدام ما يسمى بطريقة المصفوفة المنطقية . ولأن المصفوفات المنطقية هي جبر مجرد معين، فقد أدى ذلك إلى استخدام طريقة جبرية في المنطق." [ 17 ]

يناقش برادي (2000) الروابط التاريخية الوثيقة بين المنطق الجبري ونظرية النماذج . كان مؤسسا نظرية النماذج، إرنست شرودر وليوبولد لوفنهايم، منطقيين من المدرسة الجبرية. كما أن ألفريد تارسكي ، مؤسس نظرية النماذج القائمة على نظرية المجموعات، والتي تُعد فرعًا رئيسيًا من فروع المنطق الرياضي المعاصر، قد ساهم في هذا المجال.

في ممارسة حساب العلاقات، استخدم جاك ريغيه المنطق الجبري لتطوير مفاهيم مفيدة: فقد وسّع مفهوم علاقة التكافؤ (على مجموعة) ليشمل الحالة غير المتجانسة بمفهوم العلاقة ثنائية الوظيفة . كما وسّع ريغيه مفهوم الترتيب ليشمل السياق غير المتجانس من خلال ملاحظته أن المصفوفة المنطقية المتدرجة لها مكمل هو أيضًا متدرج، وأن نظرية ن. م. فيريرز تنبع من تفسير منقولة المتدرج . وقد أنشأ ريغيه علاقات مستطيلة بأخذ الضرب الخارجي للمتجهات المنطقية؛ وتساهم هذه العلاقات في المستطيلات غير القابلة للتوسيع في تحليل المفاهيم الرسمية .

لم يكن لليبنيز تأثير يُذكر على نشأة المنطق الجبري، إذ لم تحظَ كتاباته المنطقية بدراسة تُذكر قبل ترجمات باركنسون ولومكر. ويستند فهمنا الحالي لليبنيز كمنطقي بشكل أساسي إلى أعمال فولفغانغ لينزن، التي لُخِّصت في كتاب لينزن (2004) . للاطلاع على كيفية استلهام الأعمال المعاصرة في المنطق والميتافيزيقا من فكر ليبنيز وإلقاء الضوء عليه، يُرجى مراجعة زالتا (2000) .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ بيارني جونسون (1984). "الجبر الأقصى للعلاقات الثنائية". في: كينيث آي. أبيل؛ جون جي. راتكليف؛ بول إي. شوب (محررون). مساهمات في نظرية الزمر . الرياضيات المعاصرة. المجلد  33. بروفيدنس/رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية . الصفحات 299-307 . ISBN  978-0-8218-5035-0.
  2. ↑ يوجين فريمان (1934) فئات تشارلز بيرس ، الصفحة 10، شركة أوبن كورت للنشر ، اقتباس: من خلال الاحتفاظ بالافتراضات الواقعية للرجل العادي فيما يتعلق بأصالة الواقع الخارجي، يتمكن بيرس من تعزيز الدفاعات الهشة لنظرية تقليدية للطبيعة بالأسلحة القوية للواقعية الحسية.
  3. ↑ ج. شميدت وت. ستروهلين (1993) العلاقات والرسوم البيانية ، الرياضيات المتقطعة لعلماء الحاسوب، صفحة 54، سلسلة دراسات الجمعية الأوروبية لعلوم الحاسوب النظرية، دار نشر سبرينغر، رقم ISBN 3-540-56254-0
  4. ↑ ج. شميدت (2011) الرياضيات العلائقية ، موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها، المجلد 132، الصفحات 49 و57، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-76268-7
  5. ↑ ج. شميدت وم. وينتر (2018) الطوبولوجيا العلائقية ، صفحة 8، سلسلة محاضرات في الرياضيات ، المجلد 2208، دار نشر سبرينغر، رقم ISBN 978-3-319-74451-3
  6. ↑ روجر سي. ليندون (مايو 1950). "تمثيل الجبر العلائقي". حوليات الرياضيات . 51 (3): 707-729 . doi : 10.2307/1969375 . JSTOR 1969375. MR 0037278 .  
  7. ↑ فوغان برات، أصول حساب العلاقات ، من جامعة ستانفورد
  8. ↑ روجر مادكس (1991) "أصل جبر العلاقات في تطوير وتأصيل حساب العلاقات"، ستوديا لوجيكا 50 : 421-55
  9. 1 2 3 4 ألفريد تارسكي (1941)، "حول حساب العلاقات"، مجلة المنطق الرمزي 6: 73-89 doi : 10.2307/2268577
  10. 1 2 كلارنس لويس (1918) مسح للمنطق الرمزي ، مطبعة جامعة كاليفورنيا ، الطبعة الثانية 1932، طبعة دوفر 1960
  11. ↑ جورج بول ، التحليل الرياضي للمنطق، وهو مقال نحو حساب الاستدلال الاستنتاجي (لندن، إنجلترا: ماكميلان، باركلي، وماكميلان، 1847).
  12. ↑ أوغسطس دي مورغان (1847)، المنطق الصوري ، لندن: تايلور ووالتون، رابط من هاثي تراست
  13. ↑ ألكسندر ماكفارلين (1879)، مبادئ جبر المنطق ، عبر أرشيف الإنترنت
  14. ↑ كريستين لاد (1883)، في جبر المنطق، عبر كتب جوجل
  15. ^ إرنست شرودر ، (1895)، Algebra der Logik (Exakte Logik) Dritter Band، Algebra und Logik der Relative ، لايبزيغ: BG Teubner عبر أرشيف الإنترنت
  16. ↑ ب. راسل (1903) مبادئ الرياضيات
  17. ↑ هيلينا راسيوا (1974)، "جبر ما بعد كأسس دلالية للمنطق ذي القيم m"، الصفحات 92-142 في دراسات في المنطق الجبري ، حرره أوبير داينو، الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 0-88385-109-1

مصادر

  • برادي، جيرالدين (2000). من بيرس إلى سكوليم: فصل مهمل في تاريخ المنطق . دراسات في تاريخ وفلسفة الرياضيات. أمستردام، هولندا: نورث هولاند/إلسيفير ساينس بي في. ISBN 9780080532028.
  • تشيلاكوفسكي، يانوش (2003). "مراجعة: الأساليب الجبرية في المنطق الفلسفي، بقلم ج. مايكل دان وغاري م. هاردغري". نشرة المنطق الرمزي ، 9. جمعية المنطق الرمزي، مطبعة جامعة كامبريدج. الرقم الدولي الموحد للدوريات 1079-8986 . JSTOR 3094793 .  
  • لينزن، فولفغانغ، 2004، " منطق لايبنتز " في غاباي، د.، وودز، ج.، محرران، دليل تاريخ المنطق، المجلد 3: نشأة المنطق الحديث من لايبنتز إلى فريجه . نورث هولاند: 1-84.
  • لومكر، ليروي (1969) [الطبعة الأولى 1956]، لايبنتز: الأوراق والرسائل الفلسفية (  الطبعة الثانية)، ريدل.
  • باركنسون، جي إتش آر (1966). لايبنتز: أوراق منطقية . مطبعة جامعة أكسفورد.
  • زالتا، إن، 2000، " نظرية المفاهيم (الليبنيزية) " تحليل الفلسفة والمنطق / التحليل المنطقي وتاريخ الفلسفة 3: 137-183.

للمزيد من القراءة

  • ج. مايكل دان؛ غاري م. هاردغري (2001). الأساليب الجبرية في المنطق الفلسفي . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-853192-0.مقدمة جيدة للقراء الذين لديهم معرفة مسبقة بالمنطق غير الكلاسيكي ولكن ليس لديهم خلفية واسعة في نظرية الترتيب و/أو الجبر الشامل؛ إذ يغطي الكتاب هذه المتطلبات الأساسية بتفصيل وافٍ. مع ذلك، وُجهت انتقادات لهذا الكتاب بسبب عرضه الضعيف، وأحيانًا غير الدقيق، لنتائج منطق AAL. مراجعة بقلم يانوش تشيلاكوفسكي
  • هاجنال أندريكا ، إستفان نيميتي وإلديكو ساين (2001). “المنطق الجبري”. في دوف م. غاباي، فرانز غوينتنر (محرر). دليل المنطق الفلسفي، المجلد 2 (  الطبعة الثانية). سبرينغر. رقم ISBN 978-0-7923-7126-7.مسودة .
  • رامون جانسانا (2011)، " علاقات النتائج الافتراضية والمنطق الجبري ". موسوعة ستانفورد للفلسفة. تتناول بشكل أساسي المنطق الجبري المجرد.
  • ستانلي بوريس (2015)، " جبر تقليد المنطق ". موسوعة ستانفورد للفلسفة.
  • ويلارد كواين ، 1976، "المنطق الجبري ووظائف المسند" الصفحات من 283 إلى 307 في كتاب طرق المفارقة ، مطبعة جامعة هارفارد .

منظور تاريخي