رموز التفاضل

في حساب التفاضل ، لا يوجد رمز قياسي واحد للتفاضل . بدلاً من ذلك، اقترح العديد من علماء الرياضيات، بمن فيهم لايبنتز ونيوتن ولاغرانج وأربوغاست، عدة رموز لمشتقة دالة أو متغير تابع . وتعتمد فائدة كل رمز على السياق الذي يُستخدم فيه، وقد يكون من المفيد أحيانًا استخدام أكثر من رمز في سياق معين. أما في الحالات الأكثر تخصصًا، مثل المشتقات الجزئية في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات ، أو تحليل الموترات ، أو حساب المتجهات ، فتُستخدم رموز أخرى، مثل رمز الدليل السفلي أو عامل ∇ . فيما يلي قائمة بأكثر الرموز شيوعًا للتفاضل (وعمليته العكسية، التكامل غير المحدد ) .

تُستخدم الصيغة الأصلية التي وضعها غوتفريد لايبنتز على نطاق واسع في الرياضيات. وهي شائعة بشكل خاص عندما تُعتبر المعادلة y = f ( x ) علاقة دالية بين المتغيرين التابع والمستقل y و x . توضح صيغة لايبنتز هذه العلاقة بكتابة المشتقة على النحو التالي: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}.}$$ علاوة على ذلك، فإن مشتقة f عند x تُكتب على النحو التالي $${\displaystyle {\frac {df}{dx}}(x){\text{ أو }}{\frac {df(x)}{dx}}{\text{ أو }}{\frac {d}{dx}}f(x).}$$

تُكتب المشتقات العليا على النحو التالي: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},{\frac {d^{4}y}{dx^{4}}},\ldots ,{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.}$$ هذا أسلوب تدويني موحٍ ينبع من التلاعبات الرسمية بالرموز، كما في $${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{2}y={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.}$$

يمكن التعبير عن قيمة مشتقة y عند النقطة x = a بطريقتين باستخدام ترميز لايبنتز: $${\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}{\text{ or }}{\frac {dy}{dx}}(a).}$$

تتيح طريقة لايبنتز تحديد المتغير المراد اشتقاقه (في المقام). وهذا مفيدٌ للغاية عند دراسة المشتقات الجزئية . كما أنها تُسهّل تذكّر قاعدة السلسلة والتعرّف عليها.$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$$

لا تتطلب رموز لايبنتز للتفاضل إسناد معنى لرموز مثل dx أو dy (المعروفة بالتفاضلات ) بشكل منفرد، ولا يحاول بعض المؤلفين إسناد معنى لهذه الرموز. ^{[ 1 ]} تعامل لايبنتز مع هذه الرموز على أنها متناهية الصغر . وقد أسند إليها مؤلفون لاحقون معاني أخرى، مثل متناهية الصغر في التحليل غير القياسي ، أو المشتقات الخارجية . عادةً، يُترك dx غير مُعرَّف أو يُساوى بـ${\displaystyle \Delta x}$بينما يُعطى dy معنىً بدلالة dx ، من خلال المعادلة

${\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\cdot dx,}$

والتي يمكن كتابتها أيضاً على سبيل المثال،

${\displaystyle df=f'(x)\cdot dx}$

(انظر أدناه ). تؤدي هذه المعادلات إلى ظهور المصطلحات الموجودة في بعض النصوص حيث يُشار إلى المشتق باسم "معامل التفاضل" ( معامل dx ) .

يستخدم بعض المؤلفين والمجلات رمز التفاضل d بالخط الروماني بدلاً من الخط المائل : d x . ويوصي دليل الأسلوب العلمي ISO/IEC 80000 بهذا الأسلوب.

إحدى أكثر طرق التفاضل الحديثة شيوعًا تُنسب إلى جوزيف لويس لاغرانج ، مع أنها في الواقع من ابتكار أويلر ، وقد شاع استخدامها بفضل لاغرانج. في طريقة لاغرانج، تشير علامة الفتحة (') إلى المشتقة، ولذا تُسمى أحيانًا طريقة الفتحة . إذا كانت f دالة، فإن مشتقتها عند x تُكتب على النحو التالي:

${\displaystyle f'(x).}$

ظهرت لأول مرة مطبوعة في عام 1749. ^{[ 3 ]}

تُشار إلى المشتقات العليا باستخدام علامات الفتحة الإضافية، كما في${\displaystyle f''(x)}$للمشتقة الثانية و${\displaystyle f'''(x)}$بالنسبة للمشتقة الثالثة . يصبح استخدام علامات الفتحة المتكررة غير عملي في نهاية المطاف؛ ويستمر بعض المؤلفين في استخدام الأرقام الرومانية ، عادةً بأحرف صغيرة، ^{[ 4 ] [ 5 ]} كما في

${\displaystyle f^{\mathrm {iv} }(x),f^{\mathrm {v} }(x),f^{\mathrm {vi} }(x),\ldots ,}$

للدلالة على المشتقات من الرتبة الرابعة والخامسة والسادسة وما فوق. ويستخدم مؤلفون آخرون الأرقام العربية بين قوسين، كما في

${\displaystyle f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),f^{(6)}(x),\ldots .}$

تُتيح هذه الصيغة أيضًا وصف المشتقة النونية ، حيث n متغير. ويُكتب هذا على النحو التالي:

${\displaystyle f^{(n)}(x).}$

تتضمن أحرف يونيكود المتعلقة بتدوين لاغرانج ما يلي:

• U+2032 ◌ ′ PRIME (مشتق)
• U+2033 ◌ ″ عدد أولي مزدوج (مشتق مزدوج)
• U+2034 ◌ ‴ عدد أولي ثلاثي (مشتق ثالث)
• U+2057 ◌ ⁗ عدد أولي رباعي (المشتقة الرابعة)

عندما يكون هناك متغيران مستقلان لدالة ما${\displaystyle f(x,y)}$، يتم استخدام الترميز التالي أحيانًا: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}\\[5pt]f_{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial y}}=f_{y}\\[5pt]f^{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}\\[5pt]f_{\prime }^{\prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\ =f_{xy}\\[5pt]f_{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=f_{yy}\end{aligned}}}$

يُطلق على هذا الترميز أحيانًا اسمعلى الرغم من أن تدوين أويلر قد تم تقديمه بواسطةلويس فرانسوا أنطوان أربوغاست، ^{[ 8 ]} ويبدو أنليونارد أويلرلم يستخدمه.

تستخدم هذه الصيغة مُؤثرًا تفاضليًا يُرمز له بـ D ( مُؤثر D ) ^{[ 9 ]} أو D̃ ( مُؤثر نيوتن-لايبنيز ). ^{[ 10 ]} وعند تطبيقه على دالة f ( x ) ، يُعرَّف كما يلي:

${\displaystyle (Df)(x)={\frac {df(x)}{dx}}.}$

يتم تدوين المشتقات العليا على أنها "قوى" D (حيث تشير الأرقام المرتفعة إلى التركيب المتكرر لـ D )، كما هو الحال في ^{[ 6 ].}

${\displaystyle D^{2}f}$بالنسبة للمشتقة الثانية،

${\displaystyle D^{3}f}$بالنسبة للمشتقة الثالثة، و

${\displaystyle D^{n}f}$للمشتقة النونية .

يُبقي ترميز D المتغير الذي يتم التفاضل بالنسبة إليه ضمنيًا. ومع ذلك، يمكن أيضًا توضيح هذا المتغير بوضع اسمه كدليل سفلي: إذا كانت f دالة لمتغير x ، فيتم ذلك بكتابة ^{[ 6 ].}

${\displaystyle D_{x}f}$بالنسبة للمشتقة الأولى،

${\displaystyle D_{x}^{2}f}$بالنسبة للمشتقة الثانية،

${\displaystyle D_{x}^{3}f}$بالنسبة للمشتقة الثالثة، و

${\displaystyle D_{x}^{n}f}$للمشتقة النونية .

عندما تكون f دالة لعدة متغيرات، فمن الشائع استخدام " ∂ "، وهو حرف صغير مائل مزخرف، بدلاً من " D ". وكما ذُكر أعلاه، تشير الرموز السفلية إلى المشتقات التي يتم حسابها. على سبيل المثال، المشتقات الجزئية الثانية لدالة ما${\displaystyle f(x,y)}$هي: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{xx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\\[5pt]&\partial _{xy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}},\\[5pt]&\partial _{yx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\\[5pt]&\partial _{yy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}.\end{aligned}}}$

انظر §  المشتقات الجزئية .

يُعدّ الترميز D مفيدًا في دراسة المعادلات التفاضلية وفي الجبر التفاضلي .

يستخدم إسحاق نيوتن في تدوينه للتفاضل (ويُسمى أيضًا تدوين النقطة ، أو التدفقات ، أو أحيانًا، بشكل مبسط، تدوين النقاط الصغيرة ^{[ 12 ]} للتفاضل) نقطةً فوق المتغير التابع. أي، إذا كانت y دالة في t ، فإن مشتقة y بالنسبة إلى t هي

${\displaystyle {\dot {y}}}$

يتم تمثيل المشتقات العليا باستخدام نقاط متعددة، كما في

${\displaystyle {\ddot {y}},{\overset {...}{y}}}$

قام نيوتن بتوسيع هذه الفكرة إلى حد كبير: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {y}}&\equiv {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}{\dot {y}}{\Bigr )}={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}f'(t){\Bigr )}=D_{t}^{2}y=f''(t)=y''_{t}\\[5pt]{\overset {...}{y}}&={\dot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}=D_{t}^{3}y=f'''(t)=y'''_{t}\\[5pt]{\overset {\,4}{\dot {y}}}&={\overset {....}{y}}={\ddot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{4}y}{dt^{4}}}=D_{t}^{4}y=f^{\rm {IV}}(t)=y_{t}^{(4)}\\[5pt]{\overset {\,5}{\dot {y}}}&={\ddot {\overset {...}{y}}}={\dot {\ddot {\ddot {y}}}}={\ddot {\dot {\ddot {y}}}}\equiv {\frac {d^{5}y}{dt^{5}}}=D_{t}^{5}y=f^{\rm {V}}(t)=y_{t}^{(5)}\\[5pt]{\overset {\,6}{\dot {y}}}&={\overset {...}{\overset {...}{y}}}\equiv {\frac {d^{6}y}{dt^{6}}}=D_{t}^{6}y=f^{\rm {VI}}(t)=y_{t}^{(6)}\\[5pt]{\overset {\,7}{\dot {y}}}&={\dot {\overset {...}{\overset {...}{y}}}}\equiv {\frac {d^{7}y}{dt^{7}}}=D_{t}^{7}y=f^{\rm {VII}}(t)=y_{t}^{(7)}\\[5pt]{\overset {\,10}{\dot {y}}}&={\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {y}}}}}}\equiv {\frac {d^{10}y}{dt^{10}}}=D_{t}^{10}y=f^{\rm {X}}(t)=y_{t}^{(10)}\\[5pt]{\overset {\,n}{\dot {y}}}&\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}=D_{t}^{n}y=f^{(n)}(t)=y_{t}^{(n)}\end{aligned}}}$

تتضمن أحرف يونيكود المتعلقة بتدوين نيوتن ما يلي:

• U+0307 ◌ ̇ دمج النقطة أعلاه (مشتق)
• U+0308 ◌ ̈ دمج الدياريزيس (المشتق المزدوج)
• U+20DB ◌ ⃛ COMBINING THIRE DOTS ABOVE (third derivative) ← replaced by "combining diaeresis" + "combining dot above".
• U+20DC ◌ ⃜ COMBINING FOUR DOTS ABOVE (fourth derivative) ← replaced by "combining diaeresis" twice.
• U+030D ◌ ̍ دمج الخط العمودي أعلاه (متكامل)
• U+030E ◌ ̎ دمج الخط الرأسي المزدوج أعلاه (التكامل الثاني)
• U+25AD ▭ مستطيل أبيض (متكامل)
• U+20DE ◌ ⃞ دمج المربع المحيط (تكامل)
• U+1DE0 ◌ ᷠ دمج الحرف اللاتيني الصغير N ( المشتق النوني )

يُستخدم ترميز نيوتن عمومًا عندما يُمثل المتغير المستقل الزمن . إذا كان الموقع y دالةً في t ، فإن${\displaystyle {\dot {y}}}$يشير إلى السرعة ^{[ 14 ]} و${\displaystyle {\ddot {y}}}$يرمز إلى التسارع . ^{[ 15 ]} هذا الترميز شائع في الفيزياء والفيزياء الرياضية . كما يظهر في مجالات الرياضيات المرتبطة بالفيزياء مثل المعادلات التفاضلية .

عند حساب مشتقة المتغير التابع y = f ( x )، توجد صيغة بديلة: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}={\dot {y}}:{\dot {x}}\equiv {\frac {dy}{dt}}:{\frac {dx}{dt}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}{\Bigl (}f(x){\Bigr )}=Dy=f'(x)=y'.}$

طوّر نيوتن المؤثرات التفاضلية الجزئية التالية باستخدام النقاط الجانبية على منحنى X (ⵋ). التعريفات التي قدمها وايتسايد موضحة أدناه: ^{[ 17 ] [ 18 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {X}}\ &=\ f(x,y)\,,\\[5pt]\cdot {\mathcal {X}}\ &=\ x{\frac {\partial f}{\partial x}}=xf_{x}\,,\\[5pt]{\mathcal {X}}\!\cdot \ &=\ y{\frac {\partial f}{\partial y}}=yf_{y}\,,\\[5pt]\colon \!{\mathcal {X}}\,{\text{ or }}\,\cdot \!\left(\cdot {\mathcal {X}}\right)\ &=\ x^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=x^{2}f_{xx}\,,\\[5pt]{\mathcal {X}}\colon \,{\text{ or }}\,\left({\mathcal {X}}\cdot \right)\!\cdot \ &=\ y^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=y^{2}f_{yy}\,,\\[5pt]\cdot {\mathcal {X}}\!\cdot \ \ &=\ xy{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}=xyf_{xy}\,,\end{aligned}}}$

عندما تكون هناك حاجة إلى أنواع أكثر تحديدًا من التفاضل، كما هو الحال في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات أو تحليل الموترات ، فإن الرموز الأخرى شائعة.

بالنسبة لدالة f لمتغير مستقل واحد x ، يمكننا التعبير عن المشتقة باستخدام الرموز السفلية للمتغير المستقل:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}&={\frac {df}{dx}}\\[5pt]f_{xx}&={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}.\end{aligned}}}$

يُعد هذا النوع من الترميز مفيدًا بشكل خاص لأخذ المشتقات الجزئية لدالة ذات عدة متغيرات.

تُفرّق المشتقات الجزئية عمومًا عن المشتقات العادية باستبدال المؤثر التفاضلي d بالرمز " ∂ ". على سبيل المثال، يمكننا الإشارة إلى المشتقة الجزئية للدالة f ( x , y , z ) بالنسبة إلى x ، ولكن ليس بالنسبة إلى y أو z، بعدة طرق:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f.}$

ما يجعل هذا التمييز مهمًا هو أن المشتقة غير الجزئية مثل${\displaystyle \textstyle {\frac {df}{dx}}}$قد يُفسَّر ذلك، بحسب السياق، على أنه معدل تغير في${\displaystyle f}$بالنسبة إلى${\displaystyle x}$عندما يُسمح لجميع المتغيرات بالتغير في وقت واحد، بينما مع مشتق جزئي مثل${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$من الواضح أنه يجب أن يتغير متغير واحد فقط.

توجد رموز أخرى في مختلف فروع الرياضيات والفيزياء والهندسة؛ انظر على سبيل المثال علاقات ماكسويل في الديناميكا الحرارية . الرمز${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!S}}$هي مشتقة درجة الحرارة T بالنسبة للحجم V مع الحفاظ على ثبات الإنتروبيا (الرمز السفلي) S ، بينما${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!P}}$هي مشتقة درجة الحرارة بالنسبة للحجم مع الحفاظ على ثبات الضغط P. يصبح هذا ضرورياً في الحالات التي يتجاوز فيها عدد المتغيرات درجات الحرية، بحيث يتعين على المرء اختيار المتغيرات الأخرى التي يجب تثبيتها.

تُعبّر المشتقات الجزئية من الرتب العليا بالنسبة لمتغير واحد عن نفسها كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx},\\[5pt]&{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}=f_{xxx},\end{aligned}}}$

وهكذا. يمكن التعبير عن المشتقات الجزئية المختلطة على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}=f_{xy}.}$

في هذه الحالة الأخيرة، تُكتب المتغيرات بترتيب عكسي بين التدوينين، كما هو موضح على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(f_{x})_{y}=f_{xy},\\[5pt]&{\frac {\partial }{\partial y}}\!\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}.\end{aligned}}}$

يُستخدم ما يُسمى بالترميز متعدد المؤشرات في الحالات التي يصبح فيها الترميز المذكور أعلاه مُرهقًا أو غير مُعبر بشكل كافٍ. عند النظر في الدوال على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$نُعرّف الفهرس المتعدد بأنه قائمة مرتبة من${\displaystyle n}$الأعداد الصحيحة غير السالبة:${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}),\ \alpha _{i}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$ثم نحدد، من أجل${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to X}$، التدوين

${\displaystyle \partial ^{\alpha }f={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}f}$

وبهذه الطريقة يمكن التعبير عن بعض النتائج (مثل قاعدة لايبنتز ) التي يصعب كتابتها بطرق أخرى بإيجاز - ويمكن العثور على بعض الأمثلة في المقالة المتعلقة بالمؤشرات المتعددة . ^{[ 20 ]}

يهتم حساب المتجهات بتفاضل وتكامل الحقول المتجهة أو العددية . وتُستخدم عدة رموز خاصة بحالة الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد.

افترض أن ( x , y , z ) هو نظام إحداثيات ديكارتية معطى ، وأن A هو حقل متجهي ذو مركبات${\displaystyle \mathbf {A} =(A_{x},A_{y},A_{z})}$وذلك${\displaystyle \varphi =\varphi (x,y,z)}$هو حقل قياسي .

يُعرَّف المؤثر التفاضلي الذي قدمه ويليام روان هاميلتون ، والذي يُكتب ∇ ويُسمى del أو nabla، بشكل رمزي في صورة متجه.

${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\!,}$

حيث تعكس المصطلحات بشكل رمزي أن العامل ∇ سيتم التعامل معه أيضًا كمتجه عادي.

• التدرج اللوني : التدرج اللوني${\displaystyle \mathrm {grad\,} \varphi }$من الحقل القياسي${\displaystyle \varphi }$هو متجه، يتم التعبير عنه رمزياً بضرب ∇ في حقل قياسي${\displaystyle \varphi }$،

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {grad} \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\varphi \\&=\nabla \varphi \end{aligned}}}$

• التباعد : التباعد${\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {A} }$حقل المتجهات A هو كمية قياسية، والتي يتم التعبير عنها رمزياً بالضرب النقطي لـ ∇ والمتجه A ،

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \mathbf {A} &={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{\partial A_{z} \over \partial z}\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \mathbf {A} \\&=\nabla \cdot \mathbf {A} \end{aligned}}}$

• اللابلاسي : اللابلاسي${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi }$من الحقل القياسي${\displaystyle \varphi }$هو كمية قياسية، يتم التعبير عنها رمزياً بالضرب القياسي لـ ∇² ^والحقل القياسي φ ،

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi &=\nabla \cdot (\nabla \varphi )\\&=(\nabla \cdot \nabla )\varphi \\&=\nabla ^{2}\varphi \\&=\Delta \varphi \\\end{aligned}}}$

• الدوران : الدوران${\displaystyle \mathrm {curl} \,\mathbf {A} }$، أو${\displaystyle \mathrm {rot} \,\mathbf {A} }$، من حقل المتجهات A هو متجه، والذي يتم التعبير عنه رمزياً بالضرب الاتجاهي لـ ∇ والمتجه A ،

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {A} &=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}},{\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}},{\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\\&=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\mathbf {k} \\&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\cfrac {\partial }{\partial x}}&{\cfrac {\partial }{\partial y}}&{\cfrac {\partial }{\partial z}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{vmatrix}}\\&=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}}$

يمكن تعميم العديد من العمليات الرمزية للمشتقات بطريقة مباشرة باستخدام عامل التدرج في الإحداثيات الديكارتية. على سبيل المثال، توجد قاعدة ضرب متغير واحد لها نظير مباشر في ضرب الحقول العددية بتطبيق عامل التدرج، كما في

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'~~~\Longrightarrow ~~~\nabla (\phi \psi )=(\nabla \phi )\psi +\phi (\nabla \psi ).}$

العديد من القواعد الأخرى من حساب التفاضل والتكامل لمتغير واحد لها نظائر في حساب المتجهات للتدرج والتباعد والالتفاف واللابلاس.

تم تطوير رموز إضافية لأنواع أكثر غرابة من الفضاءات. في الحسابات في فضاء مينكوفسكي ، يُرمز لمؤثر دالمبير ، والذي يُسمى أيضًا مؤثر دالمبير أو مؤثر الموجة أو مؤثر الصندوق، على النحو التالي:${\displaystyle \Box }$أو كما${\displaystyle \Delta }$عندما لا يتعارض ذلك مع رمز اللابلاسي.

• الجمعية التحليلية – منظمة بريطانية من القرن التاسع عشر للترويج لحساب التفاضل والتكامل لليبنيز 
• المشتقة – معدل التغير اللحظي (الرياضيات) 
• التدفق – مفهوم رياضي تاريخي؛ شكل من أشكال الاشتقاق 
• مصفوفة هيسيان – مصفوفة المشتقات الثانية 
• مصفوفة جاكوبيان – مصفوفة المشتقات الجزئية لدالة متجهة القيم. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• قائمة الرموز الرياضية حسب الموضوع
• حساب العمليات

• أقدم استخدامات رموز حساب التفاضل والتكامل ، من إعداد جيف ميلر ( تمت أرشفته في 2020-07-26 في Wayback Machine ).