مجموعة إعادة التطبيع

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 39 صور
الموسوعة الحرة

في الفيزياء النظرية ، تُعدّ مجموعة إعادة التطبيع ( RG ) أداة رياضية تُتيح دراسةً منهجيةً للتغيرات التي تطرأ على نظام فيزيائي عند النظر إليه من مقاييس مختلفة . تصف مقاييس النظام عادةً تفاعلات الأجسام؛ وقد تكون هذه المقاييس عبارة عن اقترانات متغيرة ("متغيرة") تقيس قوة قوى مختلفة، أو معلمات الكتلة، أو حجم النظام. ترتبط مجموعة إعادة التطبيع بثبات المقياس وثبات التناظر المطابق ، وهما تناظران يُظهر فيهما النظام تشابهًا ذاتيًا ؛ [ أ ] في بعض الحالات، يمكن إسناد معلمات النموذج إلى قيم خاصة، تُعرف باسم "النقطة الثابتة"، حيث تكون نظرية المجال ثابتة التناظر المطابق وتتوقف أي اقترانات متغيرة عن التغير.

في فيزياء الجسيمات ، يعكس هذا الأسلوب التغيرات في القوانين الفيزيائية الأساسية (المُقننة في نظرية حقل كمومي قابلة لإعادة التطبيع ) مع تغير مستوى الطاقة أو الكتلة التي تحدث عندها العمليات الفيزيائية. على سبيل المثال، في الديناميكا الكهربائية الكمومية (QED)، يبدو الإلكترون وكأنه مُكوّن من أزواج من الإلكترونات والبوزيترونات والفوتونات عند المسافات القصيرة جدًا. وبالنظر إلى هذه المجموعة من الجسيمات مجتمعة، فإنها تحمل شحنة كهربائية مختلفة قليلاً عن الإلكترون المُغطى الذي يُرى عند المسافات البعيدة، ويُحدد هذا التغير في قيمة الشحنة بواسطة معادلة مجموعة إعادة التطبيع.

تاريخ

طُوِّرت مجموعة إعادة التطبيع في البداية لتطبيقات فيزياء الجسيمات، ولكنها طُبِّقت لاحقًا في فيزياء الحالة الصلبة ، وميكانيكا الموائع ، وعلم الكونيات الفيزيائي ، وتقنية النانو . وقد استبقت مقالة مبكرة لإرنست ستوكلبرغ وأندريه بيترمان عام 1953 هذه الفكرة في نظرية الحقل الكمومي : إذ لاحظا أن إعادة التطبيع تُظهر مجموعة من التحويلات التي تنقل الكميات من الحدود الأساسية إلى الحدود المقابلة، وقدَّما دالة h ( e ) في الديناميكا الكهربائية الكمومية (QED) ، والتي تُعرف الآن باسم دالة بيتا . [ 1 ]

البدايات

قام موراي جيل مان وفرانسيس إي. لو بتقييد الفكرة بتحويلات المقياس في الديناميكا الكهربائية الكمية عام 1954، وركزا على الأشكال التقاربية لمُوَصِّل الفوتون عند الطاقات العالية. [ 2 ] وقد حددا تغير الاقتران الكهرومغناطيسي في الديناميكا الكهربائية الكمية من خلال دراسة بنية القياس، واكتشفا أن معامل الاقتران g ( μ ) عند مقياس الطاقة μ يُعطى فعليًا بمعادلة المجموعة. ز(μ)=جي-1((μم)دجي(ز(م))){\displaystyle g(\mu )=G^{-1}\left(\left({\frac {\mu }{M}}\right)^{d}G(g(M))\right)}بالنسبة لدالة قياس ويغنر العشوائية G وثابت d ، من حيث الاقتران g(M) عند مقياس مرجعي M.

أدرك جيل مان ولو أن المقياس الفعال يمكن اعتباره بشكل تعسفي μ ، ويمكن أن يتغير لتعريف النظرية عند أي مقياس آخر: ز(κ)=جي-1((κμ)دجي(ز(μ)))=جي-1((κم)دجي(ز(م))){\displaystyle g(\kappa )=G^{-1}\left(\left({\frac {\kappa }{\mu }}\right)^{d}G(g(\mu ))\right)=G^{-1}\left(\left({\frac {\kappa }{M}}\right)^{d}G(g(M))\right)}جوهر نظرية إعادة التطبيع هو هذه الخاصية الجماعية: مع تغير المقياس μ ، تُظهر النظرية تشابهًا ذاتيًا، ويمكن الوصول إلى أي مقياس من أي مقياس آخر بواسطة هذا التأثير الجماعي. وبشكل أكثر دقة، يُوصف هذا التحويل رياضيًا بمعادلة شرودر . [ 3 ]

استنادًا إلى معادلة المجموعة المنتهية هذه وخاصية قياسها، ركز جيل مان ولو على التحويلات المتناهية الصغر ، وابتكرا طريقة حسابية تعتمد على الدالة ψ ( g ) = Gd / ( ∂G / ∂g ) التي قدماها. ومثل الدالة السابقة h ( e )، تحدد دالتهما تغير ثابت الاقتران g ( μ ) بالنسبة لتغير مقياس الطاقة μ من خلال معادلة تفاضلية، وهي معادلة مجموعة إعادة التطبيع. ∂ز∂ln⁡μ=ψ(ز)=β(ز){\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial g}{\partial \ln \mu }}=\psi (g)=\beta (g)}أو دالة بيتا . [ 4 ] [ 5 ] بما أنها دالة لـ g ، فإن تكامل تقدير اضطرابي لها بالنسبة لـ g يسمح بتحديد تغير الدالة مع الطاقة - أي الدالة G فعليًا في هذا التقريب. تم تأكيد تنبؤ مجموعة إعادة التطبيع بعد 40 عامًا في تجارب مصادم الإلكترون-بوزيترون الكبير : تم قياس "ثابت" البنية الدقيقة لـ QED [ 6 ] ليكون حوالي 1/127 عند طاقات قريبة من 200 جيجا إلكترون فولت ، مقابل القيمة القياسية لفيزياء الطاقة المنخفضة البالغة 1/137 . [ ب ]

فهم أعمق

تنبثق مجموعة إعادة التطبيع من إعادة تطبيع متغيرات الحقل الكمومي، والتي تتناول مشكلة الحدود اللانهائية في نظرية الحقل الكمومي. [ ج ] وقد ابتكر ريتشارد فاينمان وجوليان شوينجر وشينيتشيرو توموناغا عملية القيام بذلك بشكل منهجي في مجال الديناميكا الكهربائية الكمومية ، وحصلوا على جائزة نوبل عام 1965 تقديرًا لإسهاماتهم. وقد وضعوا نظرية إعادة تطبيع الكتلة والشحنة، حيث يتم قطع اللانهاية في مقياس الزخم بواسطة مُنظِّم فائق الكبر ، Λ. [ د ]

إن اعتماد الكميات الفيزيائية على المقياس Λ مخفي، إذ يُستبدل فعليًا بمقاييس المسافات الأطول التي تُقاس عندها هذه الكميات؛ ونتيجةً لذلك، تكون جميع الكميات القابلة للرصد محدودة حتى في حالة Λ اللانهائية. وقد أدرك جيل-مان ولو في هذه النتائج أنه بينما يُحدث تغيير طفيف في g بواسطة معادلة مجموعة إعادة التطبيع المذكورة أعلاه عند ψ( g )، فإن التشابه الذاتي يُعبَّر عنه بحقيقة أن ψ( g ) تعتمد صراحةً فقط على معلمات النظرية، وليس على المقياس μ . وبالتالي، يمكن حل معادلة مجموعة إعادة التطبيع المذكورة أعلاه لإيجاد ( G ، ومن ثم) g ( μ ).

إن الفهم الأعمق للمعنى الفيزيائي وتعميم عملية إعادة التطبيع، والذي يتجاوز مجموعة التمدد في النظريات التقليدية القابلة لإعادة التطبيع، يأخذ في الاعتبار الطرق التي تظهر فيها مقاييس مختلفة على نطاق واسع في آن واحد. وقد انبثق هذا المفهوم من فيزياء المادة المكثفة : حيث اقترح ليو ب. كادانوف في بحثه عام 1966 مجموعة إعادة التطبيع "ذات اللف المغزلي الكتلي". [ 8 ] وتُعد "فكرة الحجب" طريقةً لتعريف مكونات النظرية عند المسافات الكبيرة على أنها تجمعات للمكونات عند المسافات الأقصر.

غطى هذا النهج الجانب المفاهيمي، وتجسد بشكل كامل في أعمال كينيث ويلسون . وقد برهن ويلسون على حلٍّ بنّاءٍ تكراريٍّ لإعادة التطبيع لمسألة كوندو العالقة منذ زمن طويل ، في عام 1975، [ 9 ] بالإضافة إلى التطورات الرائدة السابقة لمنهجه الجديد في نظرية انتقالات الطور من الدرجة الثانية والظواهر الحرجة في عام 1971. [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] وحصل على جائزة نوبل تقديرًا لهذه الإسهامات في عام 1982. [ 13 ]

إعادة الصياغة

أعاد كالان وسيمانزيك صياغة إعادة التطبيع في فيزياء الجسيمات بعبارات أكثر عملية في عام 1970. [ 4 ] [ 14 ] وقد وُجد أن دالة بيتا المذكورة أعلاه، والتي تصف تغير معامل الاقتران مع المقياس، تمثل كسر التناظر الكمي للمقياس في نظرية المجال. وشهدت تطبيقات إعادة التطبيع في فيزياء الجسيمات ازديادًا ملحوظًا في سبعينيات القرن العشرين مع ظهور النموذج القياسي .

في عام ١٩٧٣، اكتُشف أن نظرية تفاعل الكواركات تمتلك دالة بيتا سالبة. [ ١٥ ] [ ١٦ ] وهذا يعني أن قيمة طاقة عالية أولية للترابط ستؤدي إلى قيمة خاصة لـ μ يتباعد عندها الترابط. هذه القيمة الخاصة هي مقياس التفاعلات القوية ، μ = Λ QCD (حوالي ٢٠٠ ميغا إلكترون فولت ). في المقابل، يضعف الترابط عند طاقات عالية جدًا ( حرية تقاربية )، وتصبح الكواركات قابلة للملاحظة كجسيمات نقطية، في تشتت غير مرن عميق ، كما تنبأت به مقياس فاينمان-بيوركين. وبذلك، تم تأسيس QCD كنظرية المجال الكمومي التي تتحكم في التفاعلات القوية للجسيمات.

أصبحت إعادة التجميع في فضاء الزخم أداة متطورة للغاية في فيزياء الحالة الصلبة، لكنها واجهت صعوبات بسبب الاستخدام المكثف لنظرية الاضطراب، مما حال دون نجاح النظرية في الأنظمة ذات الارتباطات القوية. [ هـ ]

النظرية الأولية

تُوصف النظرية العامة بدالة معينةZ{\displaystyle Z}من متغيرات الحالة{sأنا}{\displaystyle \{s_{i}\}}ومجموعة معينة من ثوابت الاقتران{جك}{\displaystyle \{J_{k}\}}قد تكون هذه الدالة دالة تقسيم ، أو فعل ، أو هاميلتوني ، طالما أنها تحتوي على الوصف الكامل لفيزياء النظام.

بالنسبة لتحويل معين لمتغيرات الحالة{sأنا}→{s~أنا}{\displaystyle \{s_{i}\}\to \{{\tilde {s}}_{i}\}}عددs~أنا{\displaystyle {\tilde {s}}_{i}}أقل من عددsأنا{\displaystyle s_{i}}إذاZ{\displaystyle Z}لا يمكن إعادة كتابة الدالة إلا بدلالةs~أنا{\displaystyle {\tilde {s}}_{i}}عن طريق تغيير معين في المعايير،{جك}→{ج~ك}{\displaystyle \{J_{k}\}\to \{{\tilde {J}}_{k}\}}عندئذٍ يُقال إن النظرية قابلة لإعادة التطبيع. ويتم تطبيق التغيير في المعاملات بواسطة دالة بيتا معينة:{ج~ك}=β({جك}){\displaystyle \{{\tilde {J}}_{k}\}=\beta (\{J_{k}\})}، والذي يُقال إنه يُحفز تدفق مجموعة إعادة التطبيع (أو تدفق RG) علىج{\displaystyle J}-المسافة. قيمج{\displaystyle J}تُسمى هذه الوصلات الموجودة أسفل التدفق بالوصلات الجارية.

معظم النظريات الأساسية في الفيزياء، باستثناء نظرية الجاذبية، قابلة لإعادة التطبيع بدقة. وبالمثل، فإن معظم النظريات في فيزياء المادة المكثفة قابلة لإعادة التطبيع تقريبًا.

التناظر المطابق والنقاط الثابتة

يرتبط التناظر المطابق بانعدام دالة بيتا. يحدث هذا بشكل طبيعي إذا انجذب ثابت الاقتران، عن طريق التغير التدريجي، نحو نقطة ثابتة يكون عندها β ( g ) = 0. في الديناميكا اللونية الكمومية (QCD)، تقع النقطة الثابتة عند مسافات قصيرة حيث g → 0 وتُسمى نقطة ثابتة فوق بنفسجية ( تافهة ) . بالنسبة للكواركات الثقيلة، مثل كوارك القمة ، يتجه اقترانه ببوزون هيغز نحو نقطة ثابتة غير صفرية (غير تافهة) في نطاق الأشعة تحت الحمراء [ 17 ] [ 18 ]. يقع اقتران يوكاوا لكوارك القمة أسفل نقطة الأشعة تحت الحمراء الثابتة للنموذج القياسي بقليل، مما يشير إلى إمكانية وجود فيزياء جديدة إضافية، مثل بوزونات هيغز الثقيلة المتتابعة.

في نظرية الأوتار ، يُعدّ التناظر المطابق لسطح عالم الأوتار تناظرًا أساسيًا: β = 0 شرطٌ أساسي. هنا، β دالةٌ لهندسة الزمكان الذي يتحرك فيه الوتر. وهذا يُحدد بُعد الزمكان في نظرية الأوتار، ويُطبّق معادلات النسبية العامة لأينشتاين على الهندسة. تُعدّ إعادة التطبيع ذات أهمية جوهرية لنظرية الأوتار ونظريات التوحيد الكبرى .

إذا كانت النقاط الثابتة للنظام تُطابق نظرية حقل حر ، يُقال إن النظرية تُظهر خاصية التفاهة الكمومية وتمتلك قطب لاندو . بالنسبة لتفاعل φ⁴ ، أثبت مايكل أيزنمان أن هذه النظرية تافهة بالفعل، وذلك عند بُعد الزمكان D ≥ 5. [ 19 ] أما عند D = 4، فلم يتم إثبات التفاهة بشكل قاطع بعد، لكن حسابات الشبكة قدمت أدلة قوية على ذلك. هذه الحقيقة مهمة لأن التفاهة الكمومية يُمكن استخدامها لتقييد أو حتى التنبؤ بمعاملات مثل كتلة بوزون هيغز في سيناريوهات الأمان التقاربي . تظهر نقاط ثابتة عديدة في دراسة نظريات هيغز الشبكية ، لكن طبيعة نظريات الحقل الكمومي المرتبطة بها لا تزال سؤالًا مفتوحًا. بما أن تحويلات إعادة التطبيع في مثل هذه الأنظمة مُسببة للفقد (أي أن عدد المتغيرات يتناقص)، فليس بالضرورة أن يكون هناك معكوس لتحويل إعادة تطبيع مُعين.

المشغلون ذوو الصلة وغير ذوي الصلة

بالنسبة لمتغير قابل للملاحظة A لنظام فيزيائي يخضع لتحويل RG، فإن مقدار المتغير القابل للملاحظة مع تغير حجم النظام من صغير إلى كبير يحدد أهمية المتغير القابل للملاحظة لقانون القياس:

إذا كان حجمها ...إذن، المتغير القابل للملاحظة هو ...
يزداد دائمًامناسب
يتناقص دائماًعَرَضِيّ
آخرهامشي

يلزم وجود متغير قابل للرصد ذي صلة لوصف السلوك العياني للنظام؛ أما المتغيرات غير ذات الصلة فلا حاجة لها. وقد يلزم أو لا يلزم أخذ المتغيرات الهامشية في الحسبان. معظم المتغيرات غير ذات صلة، أي أن الفيزياء العيانية يهيمن عليها عدد قليل من المتغيرات في معظم الأنظمة. على سبيل المثال، في الفيزياء المجهرية، لوصف نظام يتكون من مول واحد من ذرات الكربون-12، نحتاج إلى ما يقارب 10^ 23 متغيرًا ( عدد أفوجادرو )، بينما لوصفه كنظام عياني (12 غرامًا من الكربون-12) نحتاج فقط إلى عدد قليل منها. 

الأسس الحاسمة والشمولية

قبل منهج ويلسون لإعادة التجميع، لم يكن واضحًا سبب اختلاف الأسس الحرجة التي تصف التحولات في ظواهر شديدة التباين. عمومًا، تعتمد الخصائص الديناميكية الحرارية لنظام ما بالقرب من تحول طوري على عدد قليل من المتغيرات، مثل البعد والتناظر، لكنها لا تتأثر بتفاصيل الخصائص المجهرية الأساسية للنظام. تُعرف هذه الخاصية بالشمولية .

يمكن تفسير الشمولية باستخدام مجموعة إعادة التطبيع، وذلك بإثبات أن الاختلافات في الظواهر بين المكونات الدقيقة الفردية تُحدد بواسطة متغيرات غير ذات صلة، بينما المتغيرات ذات الصلة مشتركة. لذلك، يمكن تجميع العديد من الظواهر العيانية في مجموعة صغيرة من فئات الشمولية ، المحددة بواسطة مجموعات المتغيرات ذات الصلة المشتركة. [ و ]

نموذج بسيط: دوران الكتلة

الشكل 1. تجميعات الدوران في مجموعات دوران.

يُعدّ إعادة التجميع الدوراني الكتلي أحد أبسط أشكال إعادة التجميع، وقد ابتكره ليو ب. كادانوف عام 1966. [ 8 ] بالنسبة لمجموعة ثنائية الأبعاد من الذرات في مصفوفة مربعة مثالية (الشكل 1)، تتفاعل الذرات فيما بينها فقط مع أقرب جيرانها عند درجة حرارة T وثابت اقتران J معين . ويتم وصف فيزياء النظام حينها بواسطة دالة معينة لهذه المعاملات، مثل الهاميلتوني H ( T , J ) .

يُقسّم الجسم الصلب بعد ذلك إلى كتلٍ من 2×2 ، تُوصف بدلالة متغيرات الكتلة التي تُمثّل السلوك المتوسط ​​داخل كل كتلة. تُوصف فيزياء متغيرات الكتلة تقريبًا بصيغةٍ من النوع نفسه، ولكن بقيمٍ مختلفةٍ لـ T و J : H ( T ′ , J ′ ) . قد تكون المسألة الأصلية غير قابلةٍ للحل حسابيًا نظرًا للعدد الكبير من المتغيرات الذرية المُتضمنة؛ في المسألة المُعاد تطبيعها، يوجد ربع هذا العدد. تؤدي تكرارٌ آخر من النوع نفسه إلى H ( T" , J" ) ، مع سدس عشر الذرات فقط. تُزيد هذه العملية من نطاق الملاحظة مع كل خطوةٍ من خطوات إعادة التطبيع.

إن تكرار العملية حتى يتبقى كتلة كبيرة واحدة فقط يُعادل تقريبًا إيجاد السلوك بعيد المدى لتحويل إعادة التطبيع (RG) الذي أخذ ( T , J ) → ( T ′ , J ′ ) و ( T ′ , J ′ ) → ( T" , J" ) . غالبًا، عند تكرار هذا التحويل عدة مرات، فإنه يؤدي إلى عدد معين من النقاط الثابتة.

في حالة اختبار نموذج إيزينغ لشبكة من اللفات المغزلية المتفاعلة مغناطيسيًا ، يشير معامل اقتران موجب J إلى ميل اللفات المغزلية المتجاورة إلى الاصطفاف. ويتحدد سلوك النظام بالتنافس بين الحد J (الذي يميل إلى "ترتيب" النظام عن طريق اصطفاف اللفات المغزلية) وتأثير درجة الحرارة المُشتت، الذي يجعل اصطفاف اللفات المغزلية يتغير عشوائيًا.

بالنسبة للنماذج من هذا النوع، هناك ثلاث نقاط ثابتة:

  1. عندما تكون درجة الحرارة T = 0 و J → ∞ ، تصبح درجة الحرارة غير مهمة على أوسع نطاق، أي أن عامل عدم الانتظام يختفي ويبدو النظام منظمًا. هذه هي المرحلة المغناطيسية الحديدية ، حيث يؤدي انعدام عدم الانتظام إلى توجيه جميع اللفات المغزلية في نفس الاتجاه.
  2. T → ∞ و J → 0. تهيمن درجة الحرارة، ويكون النظام مضطربًا على نطاقات واسعة.
  3. توجد نقطة مهمة بينهما، T = T c و J = J c . عند هذه النقطة، لا يؤثر تغيير المقياس على الخصائص الفيزيائية، لأن النظام سيبدو كما هو بغض النظر عن اختيار المقياس. وهذا يتوافق مع النقطة الحرجة لانتقال طور كوري ، حيث يكون التأثيران المذكوران أعلاه متوازنين تمامًا.

بالنظر إلى مادة معينة بقيم معينة لـ T و J ، فإن السلوك واسع النطاق للنظام يتم تحديده من خلال هذه النقاط الثابتة.

معادلات مجموعة إعادة التطبيع الدقيقة

معادلة مجموعة إعادة التطبيع الدقيقة (ERGE) هي معادلة تأخذ في الحسبان اقترانات غير ذات صلة . ونظرًا لوجود عدد لا نهائي من خيارات إعادة قياس المجال، يوجد أيضًا عدد لا نهائي من معادلات مجموعة إعادة التطبيع التقريبية المختلفة، ولكن فيما يلي عرض لأكثر الطرق شيوعًا.

ويلسون إيرج

تُعدّ طريقة ويلسون ERGE الأبسط من الناحية المفاهيمية، ولكنها صعبة التطبيق. تبدأ هذه الطريقة بتحويل فورييه إلى فضاء الزخم بعد تدوير ويك إلى الفضاء الإقليدي . بتحديد حدّ أقصى للزخم ، p² ≤ Λ² ، فإن درجات الحرية الوحيدة هي تلك التي يكون زخمها أقل من Λ . دالة التقسيم هي Z=∫ص2≤Λ2دφخبرة⁡[-SΛ[φ]].{\displaystyle Z=\int _{p^{2}\leq \Lambda ^{2}}{\mathcal {D}}\varphi \exp \left[-S_{\Lambda }[\varphi ]\right].}لأي قيمة موجبة لـ Λ ′ أقل من Λ، تُعرَّف الدالة S Λ ′ على النحو التالي:خبرة⁡(-SΛ′[φ]) =دهـو ∫Λ′≤ص≤Λدφخبرة⁡[-SΛ[φ]].{\displaystyle \exp \left(-S_{\Lambda '}[\varphi ]\right)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{\Lambda '\leq p\leq \Lambda }{\mathcal {D}}\varphi \exp \left[-S_{\Lambda }[\varphi ]\right].}إذا كانت S Λ تعتمد فقط على ϕ وليس على مشتقاتها، فيمكن إعادة كتابة ذلك على النحو التالي خبرة⁡(-SΛ′[φ]) =دهـو ∏Λ′≤ص≤Λ∫دφ(ص)خبرة⁡[-SΛ[φ(ص)]]،{\displaystyle \exp \left(-S_{\Lambda '}[\varphi ]\right)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod _{\Lambda '\leq p\leq \Lambda }\int d\varphi (p)\exp \left[-S_{\Lambda }[\varphi (p)]\right],} بما أنه يتم التكامل فقط على الدوال φ المعرفة جيدًا بين Λ' و Λ ، فقد يظل الطرف الأيسر يعتمد على ϕ خارج هذا النطاق. Z=∫ص2≤Λ′2دφخبرة⁡[-SΛ′[φ]].{\displaystyle Z=\int _{p^{2}\leq {\Lambda '}^{2}}{\mathcal {D}}\varphi \exp \left[-S_{\Lambda '}[\varphi ]\right].}في الواقع، هذا التحويل متعدٍ . إذا قمت بحساب S Λ ′ من S Λ ثم قمت بحساب S Λ ′ ′ من S Λ ′ ، فإن هذا يعطيك نفس فعل ويلسون كما لو قمت بحساب S Λ ″ مباشرة من S Λ .

بولشينسكي إيرجي

تتضمن معادلة بولشينسكي ERGE قطعًا سلسًا لمنظم الأشعة فوق البنفسجية [ 20 ] ، وهو تحسين لمعادلة ويلسون ERGE. يُقلل هذا بشكل كبير من مساهمات الزخم الأكبر من Λ . مع ذلك، يُولد سلاسة القطع معادلة تفاضلية وظيفية في مقياس القطع Λ . وكما هو الحال في منهج ويلسون، توجد دالة فعل مختلفة لكل Λ . من المفترض أن تصف كل من هذه الدوال نفس النموذج تمامًا، مما يعني أن دوال التقسيم الخاصة بها يجب أن تتطابق تمامًا.

كمثال ( بصيغة دي ويت المختصرة )، بالنسبة لحقل قياسي حقيقي، ZΛ[ج]=∫دφخبرة⁡(-SΛ[φ]+ج⋅φ)=∫دφخبرة⁡(-12φ⋅RΛ⋅φ-Sعدد صحيح⁡Λ[φ]+ج⋅φ){\displaystyle Z_{\Lambda }[J]=\int {\mathcal {D}}\varphi \exp \left(-S_{\Lambda }[\varphi ]+J\cdot \varphi \right)=\int {\mathcal {D}}\varphi \exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\varphi \cdot R_{\Lambda }\cdot \varphi -S_{\operatorname {int} \Lambda }[\varphi ]+J\cdot \varphi \right)} و ZΛ مستقلة عن Λ . ينقسم الفعل إلى جزء حركي تربيعي وجزء تفاعلي S int Λ . هذا التقسيم ليس واضحًا بشكل عام؛ إذ يمكن أن يحتوي الجزء "التفاعلي" أيضًا على حدود حركية تربيعية ، وإذا كان هناك أي إعادة تطبيع للدالة الموجية ، فلا بد من ذلك. يمكن تقليل هذا عن طريق إدخال عمليات إعادة قياس المجال. RΛ هي دالة للزخم p، والحد الثاني في الأس هو 12∫ددص(2π)دφ~*(ص)RΛ(ص)φ~(ص){\displaystyle {\frac {1}{2}}\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\tilde {\varphi }}^{*}(p)R_{\Lambda }(p){\tilde {\varphi }}(p)} عند التوسيع.

متىص≪Λ{\displaystyle p\ll \Lambda }، R Λ ( p )/ p 2 يساوي تقريبًا 1. عندماص≫Λ{\displaystyle p\gg \Lambda }، R Λ ( p )/ p 2 يقترب من اللانهاية. R Λ ( p )/ p 2 يكون دائمًا أكبر من أو يساوي 1 وهو سلس. هذا لا يؤثر على التقلبات ذات الزخم الأقل من قيمة القطع Λ، ولكنه يقلل بشكل كبير من مساهمات تلك ذات الزخم الأكبر من قيمة القطع. يمكن تحقيق شرط أن تكون دالة التقسيم مستقلة عن قيمة القطع (أي أن المشتقة بالنسبة لقيمة القطع تساوي صفرًا) على سبيل المثال، ددΛSعدد صحيح⁡Λ=12دلتاSعدد صحيح⁡Λدلتاφ⋅(ددΛRΛ-1)⋅دلتاSعدد صحيح⁡Λدلتاφ-12Tr⁡[دلتا2Sعدد صحيح⁡Λدلتاφدلتاφ⋅ددΛRΛ-1].{\displaystyle {\frac {d}{d\Lambda }}S_{\operatorname {int} \Lambda }={\frac {1}{2}}{\frac {\delta S_{\operatorname {int} \Lambda }}{\delta \varphi }}\cdot \left({\frac {d}{d\Lambda }}R_{\Lambda }^{-1}\right)\cdot {\frac {\delta S_{\operatorname {int} \Lambda }}{\delta \varphi }}-{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[{\frac {\delta ^{2}S_{\operatorname {int} \Lambda }}{\delta \varphi \,\delta \varphi }}\cdot {\frac {d}{d\Lambda }}R_{\Lambda }^{-1}\right].}ادعى جاك ديستلر دون دليل أن هذه المعادلة غير صحيحة من الناحية غير الاضطرابية . [ 21 ]

متوسط ​​الفعل الفعال ERGE

يتضمن متوسط ​​الفعل الفعال (ERGE) قطعًا سلسًا لمنظم الأشعة تحت الحمراء، والذي يأخذ في الحسبان جميع التقلبات حتى مقياس الأشعة تحت الحمراء k . سيكون متوسط ​​الفعل الفعال (EAA) دقيقًا للتقلبات ذات الزخم الأكبر من k . مع انخفاض قيمة k ، يقترب متوسط ​​الفعل الفعال من الفعل الفعال الذي يشمل جميع التقلبات الكمومية والكلاسيكية. في المقابل، بالنسبة لقيم k الكبيرة ، يكون متوسط ​​الفعل الفعال قريبًا من "الفعل الأساسي". لذا، فإن متوسط ​​الفعل الفعال يمثل وسيطًا بين "الفعل الأساسي" والفعل الفعال .

بالنسبة للحقل القياسي الحقيقي ، تتم إضافة قطع الأشعة تحت الحمراء 12∫ددص(2π)دφ~*(ص)Rك(ص)φ~(ص){\displaystyle {\frac {1}{2}}\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\tilde {\varphi }}^{*}(p)R_{k}(p){\tilde {\varphi }}(p)} بالنسبة للفعل S ، حيث R k هي دالة لكل من k و p بحيث يكون لـص≫ك{\displaystyle p\gg k}، R k (p) صغيرة جدًا وتقترب من الصفر، و لـص≪ك{\displaystyle p\ll k}،Rك(ص)≳ك2{\displaystyle R_{k}(p)\gtrsim k^{2}}إن R k سلسة وغير سالبة. وتؤدي قيمتها الكبيرة للزخمات الصغيرة إلى كبح مساهمتها في دالة التوزيع، وهو ما يعادل فعلياً إهمال التقلبات واسعة النطاق.

عرّف الجهة التنظيمية على النحو التالي: 12φ⋅Rك⋅φ{\displaystyle {\frac {1}{2}}\varphi \cdot R_{k}\cdot \varphi }لذا، خبرة⁡(دبليوك[ج])=Zك[ج]=∫دφخبرة⁡(-S[φ]-12φ⋅Rك⋅φ+ج⋅φ){\displaystyle \exp \left(W_{k}[J]\right)=Z_{k}[J]=\int {\mathcal {D}}\varphi \exp \left(-S[\varphi ]-{\frac {1}{2}}\varphi \cdot R_{k}\cdot \varphi +J\cdot \varphi \right)} حيث J هو حقل المصدر . عادةً ما يُعطي تحويل ليجندر لـ W k الفعل الفعال . مع ذلك، فإن الفعل الأولي هو في الواقع S [ φ ]  +  1/2 φ⋅R k ⋅ φ ، وبالتالي يجب طرح الحد الثاني للحصول على متوسط ​​الفعل الفعال. بعبارة أخرى، φ[ج؛ك]=دلتادبليوكدلتاج[ج]{\displaystyle \varphi [J;k]={\frac {\delta W_{k}}{\delta J}}[J]} يمكن عكسها للحصول على J k [ φ ]. وأخيرًا، نُعرّف متوسط ​​الفعل الفعال Γ k على النحو التالي: Γك[φ] =دهـو (-دبليو[جك[φ]]+جك[φ]⋅φ)-12φ⋅Rك⋅φ.{\displaystyle \Gamma _{k}[\varphi ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(-W\left[J_{k}[\varphi ]\right]+J_{k}[\varphi ]\cdot \varphi \right)-{\tfrac {1}{2}}\varphi \cdot R_{k}\cdot \varphi .}لاحظ أن الفعل الفعال Γ k يرتبط بالفعل الفعال لبولشينسكي S int عبر علاقة تحويل ليجندر. [ 22 ] ويكتمل هذا الإجراء بأخذ مشتقة بالنسبة إلى القطع، مما ينتج عنه تعبير يُعرف بمعادلة ويتريش. [ 23 ]

تحسين مجموعة إعادة التطبيع للجهد الفعال

يمكن أيضًا استخدام مجموعة إعادة التطبيع لحساب الجهود الفعالة عند رتب أعلى من الحلقة الأولى، كما هو الحال عند حساب تصحيحات آلية كولمان-واينبرغ. [ 24 ] وللقيام بذلك، تُكتب معادلة مجموعة إعادة التطبيع بدلالة الجهد الفعال. في حالةφ4{\displaystyle \varphi ^{4}}نموذج: (μ∂∂μ+βλ∂∂λ+φγφ∂∂φ)Vفعال=0.{\displaystyle \left(\mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}+\beta _{\lambda }{\frac {\partial }{\partial \lambda }}+\varphi \gamma _{\varphi }{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\right)V_{\text{eff}}=0.}من أجل تحديد الجهد الفعال، من المفيد كتابةVفعال{\displaystyle V_{\text{eff}}}مثل Vفعال=14φ4Sفعال(λ،ل(φ))،{\displaystyle V_{\text{eff}}={\frac {1}{4}}\varphi ^{4}S_{\text{eff}}{\big (}\lambda ,L(\varphi ){\big )},} أينSفعال{\displaystyle S_{\text{eff}}}هي سلسلة قوى فيل(φ)=سجل⁡φ2μ2{\displaystyle L(\varphi )=\log {\frac {\varphi ^{2}}{\mu ^{2}}}}: Sفعال=أ+بل+جل2+دل3+⋯.{\displaystyle S_{\text{eff}}=A+BL+CL^{2}+DL^{3}+\cdots .}باستخدام الفرضية المذكورة أعلاه ، من الممكن حل معادلة مجموعة إعادة التطبيع بطريقة اضطرابية وإيجاد الجهد الفعال حتى الرتبة المطلوبة. [ 25 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ لاحظ أن تحويلات المقياس هي مجموعة فرعية صارمة من التحويلات المطابقة ، بشكل عام، وتشمل الأخيرة مولدات التناظر الإضافية المرتبطة بالتحويلات المطابقة الخاصة .
  2. ↑ تمت مناقشة التطبيقات المبكرة للديناميكا الكهربائية الكمومية في كتاب "نظرية الحقول الكمومية" الذي ألفه نيكولاي بوغوليوبوف وديمتري شيركوف عام 1959. [ 7 ]
  3. ↑ مع ملاحظة أن مجموعة إعادة التطبيع موجودة بشكل مستقل عن اللانهائيات.
  4. ↑ يمكن اعتبار معلمة المنظم Λ في النهاية لانهائية - تعكس اللانهاية تراكم المساهمات من عدد لا نهائي من درجات الحرية على نطاقات طاقة عالية للغاية.
  5. ↑ بالنسبة للأنظمة ذات الارتباط القوي، تعتبر التقنيات التباينية بديلاً أفضل.
  6. ↑ يُعدّ عرض جان زين-جاستن (2010) التقني الرائع مثالًا كلاسيكيًا على ذلك، وهو مقال زين-جاستن، جان (2010). "الظواهر الحرجة: منهج نظري للمجال" . Scholarpedia . 5 (5): 8346. Bibcode : 2010SchpJ...5.8346Z . doi : 10.4249/scholarpedia.8346 .على سبيل المثال، بالنسبة للأنظمة الشبيهة بنظام إيزينغ معZ2{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}فيما يتعلق بالتناظر، أو بشكل أعم، بالنسبة للنماذج ذات التناظر O(N)، تكون النقطة الثابتة الغاوسية (الحرة) مستقرة على مسافات طويلة فوق البعد المكاني الرابع، ومستقرة بشكل هامشي في البعد الرابع، وغير مستقرة تحت البعد الرابع. انظر: التفاهة الكمومية .

مراجع

  1. ^ ستوكلبيرج، تخطيط كهربية القلب ؛ بيترمان، أ. (1953). "إعادة تطبيع الثوابت في نظرية الكم" . هيلف. فيز. اكتا (بالفرنسية). 26 : 499 – 520.
  2. ↑ جيل مان، م .؛ لو، ف. إي. (1954). "الديناميكا الكهربائية الكمومية عند المسافات الصغيرة" (ملف PDF) . مجلة Physical Review . 95 (5): 1300-1312 . Bibcode : 1954PhRv...95.1300G . doi : 10.1103/PhysRev.95.1300 .
  3. ↑ كورترايت، تي إل ؛ زاكوس، سي كيه (مارس 2011). "معادلات وظيفية لمجموعة إعادة التطبيع". مجلة Physical Review D. 83 ( 6) 065019. arXiv : 1010.5174 . Bibcode : 2011PhRvD..83f5019C . doi : 10.1103/PhysRevD.83.065019 . S2CID 119302913 . 
  4. 1 2 كالان، سي جي (1970). "انكسار ثبات المقياس في نظرية الحقل القياسي". مجلة Physical Review D. 2 ( 8): 1541–1547 . Bibcode : 1970PhRvD...2.1541C . doi : 10.1103/PhysRevD.2.1541 .
  5. ↑ شوارتز، ماثيو د. (14 ديسمبر 2013). نظرية الحقل الكمومي والنموذج القياسي ( الطبعة الأولى). مطبعة جامعة كامبريدج. ص 314. doi : 10.1017/9781139540940 . ISBN   978-1-108-98503-1.
  6. ^ فريتش ، هارالد (2002). “الثوابت الأساسية في الطاقة العالية”. فورتشريت دير فيزيك . 50 ( 5 – 7): 518 – 524. أرخايف : hep-ph/0201198 . بيب كود : 2002ForPh..50..518F . دوى : 10.1002/1521-3978(200205)50:5/7 < 518::AID-PROP518 > 3.0.CO ; 2-ف . S2CID 18481179 . 
  7. ↑ بوغوليوبوف، ن.ن .؛ شيركوف، د.ف. (1959). نظرية الحقول الكمومية . نيويورك، نيويورك: إنترساينس.
  8. 1 2 كادانوف، ليو ب. (1966). "قوانين القياس لنماذج إيزينغ بالقرب منتيج{\displaystyle T_{c}}" . فيزياء فيزيكا فيزيكا . 2 (6): 263. بيب كود : 1966PhyNY...2..263K . دوى : 10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.2.263 .
  9. ↑ ويلسون، ك. ج. (1975). "مجموعة إعادة التطبيع: الظواهر الحرجة ومسألة كوندو". مجلة الفيزياء الحديثة . 47 (4): 773. رمز Bibcode : 1975RvMP...47..773W . doi : 10.1103/RevModPhys.47.773 .
  10. ↑ ويلسون، ك. ج. (1971). "مجموعة إعادة التطبيع والظواهر الحرجة. الجزء الأول: مجموعة إعادة التطبيع وصورة قياس كادانوف" . مجلة Physical Review B. 4 ( 9): 3174–3183 . Bibcode : 1971PhRvB...4.3174W . doi : 10.1103/PhysRevB.4.3174 .
  11. ↑ ويلسون، ك. (1971). "مجموعة إعادة التطبيع والظواهر الحرجة. الجزء الثاني: تحليل خلية فضاء الطور للسلوك الحرج" . مجلة Physical Review B. 4 ( 9): 3184–3205 . Bibcode : 1971PhRvB...4.3184W . doi : 10.1103/PhysRevB.4.3184 .
  12. ↑ ويلسون، ك.ج .؛ فيشر، م. (1972). "الأسس الحرجة في 3.99 بُعد". رسائل المراجعة الفيزيائية . 28 (4): 240. رمز Bibcode : 1972PhRvL..28..240W . doi : 10.1103/physrevlett.28.240 .
  13. ↑ ويلسون، كينيث ج. "خطاب ويلسون عند استلام جائزة نوبل" (ملف PDF) . NobelPrize.org .
  14. ↑ سيمانزيك، ك. (1970). "سلوك المسافات الصغيرة في نظرية المجال وحساب القوى" . مجلة الاتصالات في الفيزياء الرياضية . 18 (3): 227-246 . Bibcode : 1970CMaPh..18..227S . doi : 10.1007/BF01649434 . S2CID 76654566 . 
  15. ↑ غروس، دي جيه؛ ويلكزك، إف. (1973). "السلوك فوق البنفسجي لنظريات القياس غير الأبيلية" . رسائل المراجعة الفيزيائية . 30 (26): 1343-1346 . Bibcode : 1973PhRvL..30.1343G . doi : 10.1103/PhysRevLett.30.1343 .
  16. ↑ بوليتزر، إتش دي (1973). "نتائج اضطرابية موثوقة للتفاعلات القوية" . رسائل المراجعة الفيزيائية . 30 (26): 1346-1349 . Bibcode : 1973PhRvL..30.1346P . doi : 10.1103/PhysRevLett.30.1346 .
  17. ↑ بندلتون، برايان؛ روس، غراهام (1981). "توقعات الكتلة وزاوية الخلط من نقاط ثابتة بالأشعة تحت الحمراء". رسائل الفيزياء ب . 98 (4): 291-294 . رمز Bibcode : 1981PhLB...98..291P . doi : 10.1016/0370-2693(81)90017-4 .
  18. ↑ هيل، كريستوفر ت. (1981). "كتل الكواركات واللبتونات من النقاط الثابتة لمجموعة إعادة التطبيع". مجلة Physical Review D. 24 ( 3): 691–703 . Bibcode : 1981PhRvD..24..691H . doi : 10.1103/PhysRevD.24.691 .
  19. ↑ أيزنمان، م. (1981). "إثبات تفاهة نظرية المجال Φ 4 d وبعض خصائص المجال المتوسط ​​لنماذج إيزينغ لـ d > 4". رسائل المراجعة الفيزيائية . 47 (1): 1-4 . Bibcode : 1981PhRvL..47....1A . doi : 10.1103/PhysRevLett.47.1 .
  20. ↑ بولشينسكي، جوزيف (1984). "إعادة التطبيع واللاغرانجيات الفعالة". الفيزياء النووية ب . 231 (2): 269. Bibcode : 1984NuPhB.231..269P . doi : 10.1016/0550-3213(84)90287-6 .
  21. ^ ديستلر، جاك . "000648.html" . golem.ph.utexas.edu .
  22. ↑ موريس، تيم ر. (1994). "مجموعة إعادة التطبيع الدقيقة والحلول التقريبية". المجلة الدولية للفيزياء الحديثة أ . 9 (14): 2411. arXiv : hep-ph/9308265 . Bibcode : 1994IJMPA...9.2411M . doi : 10.1142/S0217751X94000972 . S2CID 15749927 . 
  23. ↑ ويتريش، كريستوف (1993). "معادلات التطور الدقيقة للجهد الفعال". رسائل الفيزياء ب . 301 (1): 90. arXiv : 1710.05815 . Bibcode : 1993PhLB..301...90W . doi : 10.1016/0370-2693(93)90726-X .
  24. ↑ كولمان، سيدني؛ واينبرغ، إريك (15 مارس 1973). "التصحيحات الإشعاعية كمصدر لكسر التناظر التلقائي" . مجلة Physical Review D. 7 ( 6): 1888-1910 . arXiv : hep-th/0507214 . Bibcode : 1973PhRvD...7.1888C . doi : 10.1103/PhysRevD.7.1888 . ISSN 0556-2821 . S2CID 6898114 .  
  25. ↑ سوزا، هوان؛ بيفيلاكوا، إل. إيبيابينا؛ ليهوم، إيه سي (2020-08-05). "تحسين مجموعة إعادة التطبيع للجهد الفعال في ستة أبعاد" . مجلة Physical Review D. 102 ( 4) 045004. arXiv : 2005.03973 . Bibcode : 2020PhRvD.102d5004S . doi : 10.1103/PhysRevD.102.045004 .

للمزيد من القراءة

المراجع التاريخية

أوراق بحثية

الكتب

  • تي دي لي ؛ فيزياء الجسيمات ومقدمة في نظرية المجال ، دار نشر هاروود الأكاديمية، 1981، رقم ISBN 3-7186-0033-1.
  • ل. تس. أدزيميان، ن. ف. أنتونوف، و أ. ن. فاسيليف؛ مجموعة إعادة التطبيع النظرية للمجال في الاضطراب المتطور بالكامل ؛ غوردون وبريتش، 1999. ISBN 90-5699-145-0.
  • فاسيليف، أ.ن.؛ مجموعة إعادة التطبيع في نظرية المجال في نظرية السلوك الحرج والديناميكا العشوائية ؛ تشابمان آند هول/سي آر سي، 2004. رقم ISBN 9780415310024.
  • زين-جاستن، جان (2002). نظرية الحقل الكمومي والظواهر الحرجة ، أكسفورد، مطبعة كلارندون (2002)، رقم ISBN 0-19-850923-5.
  • زين-جاستن، جان : إعادة التطبيع ومجموعة إعادة التطبيع: من اكتشاف تباعدات الأشعة فوق البنفسجية إلى مفهوم نظريات المجال الفعّالة ، في: دي ويت-موريت، سي.، وزوبر، جيه.-بي. (محرران)، وقائع مؤتمر الناتو ASI حول نظرية المجال الكمومي: منظور واستشراف ، 15-26 يونيو 1998، ليه هوش، فرنسا، دار نشر كلوير الأكاديمية، سلسلة NATO ASI C 530، 375-388 (1999) [ISBN]. النص الكامل متاح بصيغة PostScript .
  • كلاينرت، هـ. وشولته فرولينده، ف.؛ الخصائص الحرجة لنظريات φ 4 ، وورلد ساينتيفيك (سنغافورة، 2001) ؛ غلاف ورقي ISBN 981-02-4658-7النص الكامل متاح بصيغة PDF . مؤرشف بتاريخ 29-06-2008 على موقع Wayback Machine .