مصفوفة قابلة لقطرنة

في الجبر الخطي ، المصفوفة المربعة${\displaystyle A}$ تُسمى المصفوفة قابلة للتقطير أو غير معيبة إذا كانت مشابهة لمصفوفة قطرية . أي، إذا وُجدت مصفوفة قابلة للعكس${\displaystyle P}$ ومصفوفة قطرية${\displaystyle D}$بحيث${\displaystyle P^{-1}AP=D}$وهذا يعادل${\displaystyle A=PDP^{-1}}$. (هذه${\displaystyle P}$،${\displaystyle D}$(ليست فريدة.) توجد هذه الخاصية لأي تطبيق خطي: ​​بالنسبة لفضاء متجهي محدود الأبعاد${\displaystyle V}$خريطة خطية​${\displaystyle T:V\to V}$ يُطلق على النظام اسم "قابل للتقطير " إذا وُجد أساس مرتب من${\displaystyle V}$ يتكون من المتجهات الذاتية لـ${\displaystyle T}$هذه التعريفات متكافئة: إذا${\displaystyle T}$ له تمثيل مصفوفي${\displaystyle A=PDP^{-1}}$كما سبق، فإن متجهات الأعمدة لـ${\displaystyle P}$ تشكل أساسًا يتكون من المتجهات الذاتية لـ${\displaystyle T}$، والمدخلات القطرية لـ${\displaystyle D}$ هي القيم الذاتية المقابلة لـ${\displaystyle T}$فيما يتعلق بقاعدة المتجهات الذاتية هذه،${\displaystyle T}$ يمثلها${\displaystyle D}$.

عملية القطرنة هي عملية إيجاد ما سبق${\displaystyle P}$ و${\displaystyle D}$وهذا يُسهّل العديد من العمليات الحسابية اللاحقة. يمكن للمرء رفع مصفوفة قطرية${\displaystyle D}$ يمكن رفع مصفوفة قطرية إلى قوة معينة برفع عناصر القطر الرئيسي إلى تلك القوة. محدد المصفوفة القطرية هو ببساطة حاصل ضرب جميع عناصر القطر الرئيسي. ويمكن تعميم هذه الحسابات بسهولة إلى${\displaystyle A=PDP^{-1}}$.

التحويل الهندسي الذي تمثله مصفوفة قابلة للتقطير هو تمدد غير متجانس (أو تغيير في الحجم غير متناحٍ ). أي أنه يُمكنه تغيير حجم الفضاء بمقادير مختلفة في اتجاهات مختلفة. ويتم تغيير اتجاه كل متجه ذاتي بمعامل يُحدده قيمته الذاتية المقابلة.

تُسمى المصفوفة المربعة التي لا يمكن تحويلها إلى مصفوفة قطرية بالمصفوفة المعيبة . قد يحدث أن تكون المصفوفة${\displaystyle A}$مع المدخلات الحقيقية يكون معيبًا على الأعداد الحقيقية، مما يعني أن${\displaystyle A=PDP^{-1}}$من المستحيل أن يحدث ذلك لأي شيء قابل للانعكاس${\displaystyle P}$وقطريًا${\displaystyle D}$مع المدخلات الحقيقية، ولكن من الممكن استخدام المدخلات المركبة ، بحيث${\displaystyle A}$يمكن تحويلها إلى مصفوفة قطرية على الأعداد المركبة. على سبيل المثال، هذا هو الحال بالنسبة لمصفوفة الدوران العامة .

Many results for diagonalizable matrices hold only over an algebraically closed field (such as the complex numbers). In this case, diagonalizable matrices are dense in the space of all matrices, which means any defective matrix can be deformed into a diagonalizable matrix by a small perturbation; and the Jordan–Chevalley decomposition states that any matrix is uniquely the sum of a diagonalizable matrix and a nilpotent matrix. Over an algebraically closed field, diagonalizable matrices are equivalent to semi-simple matrices.

A square ${\displaystyle n\times n}$ matrix ${\displaystyle A}$ with entries in a field${\displaystyle F}$ is called diagonalizable or nondefective if there exists an ${\displaystyle n\times n}$ invertible matrix (i.e. an element of the general linear group${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {F} )}$), ${\displaystyle P}$, such that ${\displaystyle P^{-1}AP}$ is a diagonal matrix.

The fundamental fact about diagonalizable maps and matrices is expressed by the following:

• An ${\displaystyle n\times n}$ matrix ${\displaystyle A}$ over a field ${\displaystyle F}$ is diagonalizable if and only if the sum of the dimensions of its eigenspaces is equal to ${\displaystyle n}$, which is the case if and only if there exists a basis of ${\displaystyle F^{n}}$ consisting of eigenvectors of ${\displaystyle A}$. If such a basis has been found, one can form the matrix ${\displaystyle P}$ having these basis vectors as columns, and ${\displaystyle P^{-1}AP}$ will be a diagonal matrix whose diagonal entries are the eigenvalues of ${\displaystyle A}$. The matrix ${\displaystyle P}$ is known as a modal matrix for ${\displaystyle A}$.
• A linear map ${\displaystyle T:V\to V}$ is diagonalizable if and only if the sum of the dimensions of its eigenspaces is equal to ${\displaystyle \dim(V)}$, which is the case if and only if there exists a basis of ${\displaystyle V}$ consisting of eigenvectors of ${\displaystyle T}$. With respect to such a basis, ${\displaystyle T}$ will be represented by a diagonal matrix. The diagonal entries of this matrix are the eigenvalues of ${\displaystyle T}$.

The following sufficient (but not necessary) condition is often useful.

• An ${\displaystyle n\times n}$ matrix ${\displaystyle A}$ is diagonalizable over the field ${\displaystyle F}$ if it has ${\displaystyle n}$ distinct eigenvalues in ${\displaystyle F}$, i.e. if its characteristic polynomial has ${\displaystyle n}$ distinct roots in ${\displaystyle F}$; however, the converse may be false. Consider $${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&3&-1\\-3&5&-1\\-3&3&1\end{bmatrix}},}$$ which has eigenvalues 1, 2, 2 (not all distinct) and is diagonalizable with diagonal form (similar to ${\displaystyle A}$)$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}}}$$ and change of basis matrix${\displaystyle P}$: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&-1\\1&1&0\\1&0&3\end{bmatrix}}.}$$ The converse fails when ${\displaystyle A}$ has an eigenspace of dimension higher than 1. In this example, the eigenspace of ${\displaystyle A}$ associated with the eigenvalue 2 has dimension 2.
• A linear map ${\displaystyle T:V\to V}$ with ${\displaystyle n=\dim(V)}$ is diagonalizable if it has ${\displaystyle n}$ distinct eigenvalues, i.e. if its characteristic polynomial has ${\displaystyle n}$ distinct roots in ${\displaystyle F}$.

Let ${\displaystyle A}$ be a matrix over ${\displaystyle F}$. If ${\displaystyle A}$ is diagonalizable, then so is any power of it. Conversely, if ${\displaystyle A}$ is invertible, ${\displaystyle F}$ is algebraically closed, and ${\displaystyle A^{n}}$ is diagonalizable for some ${\displaystyle n}$وهو ليس مضاعفًا صحيحًا لخاصية${\displaystyle F}$، ثم${\displaystyle A}$قابلة للتقطير. البرهان: إذا${\displaystyle A^{n}}$إذا كانت قابلة للتقطير، فإن${\displaystyle A}$يتم إبادتها بواسطة متعددة حدود ما${\displaystyle \left(x^{n}-\lambda _{1}\right)\cdots \left(x^{n}-\lambda _{k}\right)}$، والتي ليس لها جذر متعدد (لأن${\displaystyle \lambda _{j}\neq 0}$) ويتم قسمته على الحد الأدنى لكثير الحدود لـ${\displaystyle A}$.

حول الأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} }$، تقريبًا كل مصفوفة قابلة للتقطير. بتعبير أدق: مجموعة الأعداد المركبة${\displaystyle n\times n}$المصفوفات التي لا يمكن قطريتها على${\displaystyle \mathbb {C} }$، باعتبارها مجموعة فرعية من${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$، لها قياس ليبيغ يساوي صفرًا. يمكن أيضًا القول إن المصفوفات القابلة للتقطير تُشكّل مجموعة جزئية كثيفة بالنسبة لطوبولوجيا زاريسكي : تقع المصفوفات غير القابلة للتقطير داخل المجموعة المتلاشية لمميز كثير الحدود المميز، وهو سطح فائق . ومن ذلك يترتب أيضًا الكثافة في الطوبولوجيا المعتادة ( القوية ) المعطاة بمعيار . لا ينطبق الأمر نفسه على${\displaystyle \mathbb {R} }$.

يُعبّر تحليل جوردان -شيفالي عن المؤثر كمجموع جزئيه شبه البسيط (أي القابل للتقطير) وجزئه الصفري . وبالتالي، تكون المصفوفة قابلة للتقطير إذا وفقط إذا كان جزؤها الصفري يساوي صفرًا. بعبارة أخرى، تكون المصفوفة قابلة للتقطير إذا لم يكن لكل كتلة في شكل جوردان أي جزء صفري؛ أي أن كل "كتلة" هي مصفوفة أحادية البعد.

لنفترض الأساسين العشوائيين التاليين${\displaystyle E=\{{{\boldsymbol {e}}_{i}|\forall i\in [n]}\}}$و${\displaystyle F=\{{{\boldsymbol {\alpha }}_{i}|\forall i\in [n]}\}}$لنفترض وجود تحويل خطي ممثل بمصفوفة${\displaystyle A_{E}}$والتي كُتبت بالنسبة للأساس E. لنفترض أيضًا وجود معادلة ذاتية كما يلي:

${\displaystyle A_{E}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,i}=\lambda _{i}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,i}}$

تُكتب المتجهات الذاتية ألفا أيضًا بالنسبة إلى أساس E. بما أن المجموعة F هي مجموعة من المتجهات الذاتية للمصفوفة A، وهي تولد فضاءً متجهيًا اختياريًا، فإننا نقول إنه توجد مصفوفة${\displaystyle D_{F}}$وهي مصفوفة قطرية مشابهة لـ${\displaystyle A_{E}}$. بعبارة أخرى،${\displaystyle A_{E}}$تكون المصفوفة قابلة للتقطير إذا كُتبت في الأساس F. ونجري حساب تغيير الأساس باستخدام مصفوفة الانتقال.${\displaystyle S}$، والذي يغير الأساس من E إلى F على النحو التالي:

${\displaystyle D_{F}=S_{E}^{F}\ A_{E}\ S_{E}^{-1F}}$،

أين${\displaystyle S_{E}^{F}}$هي مصفوفة الانتقال من الأساس E إلى الأساس F. ويمكن بعد ذلك مساواة معكوسها بمصفوفة انتقال جديدة.${\displaystyle P}$مما يغير الأساس من F إلى E بدلاً من ذلك، وبالتالي لدينا العلاقة التالية  :

${\displaystyle S_{E}^{-1F}=P_{F}^{E}}$

كلاهما${\displaystyle S}$و${\displaystyle P}$مصفوفات الانتقال قابلة للعكس. وبالتالي يمكننا التعامل مع المصفوفات بالطريقة التالية:$${\displaystyle {\begin{aligned}D=S\ A_{E}\ S^{-1}\\D=P^{-1}\ A_{E}\ P\end{aligned}}}$$المصفوفة${\displaystyle A_{E}}$سيتم الإشارة إليه على النحو التالي:${\displaystyle A}$، والتي لا تزال في الأساس E. وبالمثل، فإن المصفوفة القطرية في الأساس F.

إذا كانت المصفوفة${\displaystyle A}$يمكن تحويلها إلى شكل قطري، أي

${\displaystyle P^{-1}AP={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}=D,}$

ثم:

${\displaystyle AP=P{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}.}$

تحتوي مصفوفة الانتقال S على متجهات الأساس E كأعمدة مكتوبة في الأساس F. وعلى العكس من ذلك، تحتوي مصفوفة الانتقال العكسية P على متجهات الأساس F.${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{i}}$مكتوبة على أساس E بحيث يمكننا تمثيل P في شكل مصفوفة كتلية بالطريقة التالية:

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}},}$

ونتيجة لذلك يمكننا أن نكتب:$${\displaystyle {\begin{aligned}A{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}D.\end{aligned}}}$$

في صيغة المصفوفة المقطعية، يمكننا اعتبار المصفوفة A مصفوفة ذات بُعد 1×1، بينما المصفوفة P مصفوفة ذات بُعد 1×n. ويمكن كتابة المصفوفة D بصيغتها الكاملة، حيث تكون جميع عناصر القطر الرئيسي مصفوفة ذات بُعد n×n.

${\displaystyle A{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}.}$

بإجراء عملية ضرب المصفوفات المذكورة أعلاه، نحصل على النتيجة التالية:$${\displaystyle {\begin{aligned}A{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}{\boldsymbol {\alpha }}_{1}&\lambda _{2}{\boldsymbol {\alpha }}_{2}&\cdots &\lambda _{n}{\boldsymbol {\alpha }}_{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$بأخذ كل مكون من مكونات مصفوفة الكتلة بشكل فردي على كلا الجانبين، نحصل على ما يلي:

${\displaystyle A{\boldsymbol {\alpha }}_{i}=\lambda _{i}{\boldsymbol {\alpha }}_{i}\qquad (i=1,2,\dots ,n).}$

إذن، متجهات الأعمدة لـ${\displaystyle P}$هي المتجهات الذاتية اليمنى لـ${\displaystyle A}$، والعنصر القطري المقابل هو القيمة الذاتية المقابلة . قابلية عكس${\displaystyle P}$ويشير ذلك أيضًا إلى أن المتجهات الذاتية مستقلة خطيًا وتشكل أساسًا لـ${\displaystyle F^{n}}$هذا هو الشرط الضروري والكافي لإمكانية القطرنة والنهج المتعارف عليه للقطرنة. متجهات الصفوف لـ${\displaystyle P^{-1}}$هي المتجهات الذاتية اليسرى لـ${\displaystyle A}$.

عندما تكون المصفوفة معقدة${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$هي مصفوفة هيرميتية (أو بشكل أعم مصفوفة عادية )، والمتجهات الذاتية لـ${\displaystyle A}$يمكن اختيارها لتشكيل أساس متعامد لـ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$، و${\displaystyle P}$يمكن اختيارها لتكون مصفوفة وحدوية . إذا بالإضافة إلى ذلك،${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$إذا كانت مصفوفة متناظرة حقيقية ، فيمكن اختيار متجهاتها الذاتية لتكون أساسًا متعامدًا.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$و${\displaystyle P}$يمكن اختيارها لتكون مصفوفة متعامدة .

في معظم الأعمال العملية، يتم تحويل المصفوفات إلى مصفوفات قطرية عددياً باستخدام برامج الحاسوب. وتوجد العديد من الخوارزميات لتحقيق ذلك.

يقال إن مجموعة من المصفوفات قابلة للتقطير المتزامن إذا وُجدت مصفوفة واحدة قابلة للعكس${\displaystyle P}$بحيث${\displaystyle P^{-1}AP}$هي مصفوفة قطرية لكل${\displaystyle A}$في المجموعة. تُحدد النظرية التالية خصائص المصفوفات القابلة للتقطير المتزامن: تكون مجموعة المصفوفات القابلة للتقطير تبادلية إذا وفقط إذا كانت المجموعة قابلة للتقطير المتزامن. ^{[ 1 ] : ص 64}

مجموعة الكل${\displaystyle n\times n}$المصفوفات القابلة لقطرنة (فوق${\displaystyle \mathbb {C} }$) مع${\displaystyle n>1}$لا يمكن تحويلها إلى مصفوفات قطرية في آن واحد. على سبيل المثال، المصفوفات

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

يمكن تحويلها إلى مصفوفات قطرية ولكن لا يمكن تحويلها إلى مصفوفات قطرية في نفس الوقت لأنها لا تتبادل.

تتكون المجموعة من مصفوفات عادية تبادلية إذا وفقط إذا كانت قابلة للتقطير المتزامن بواسطة مصفوفة وحدوية ؛ أي أنه توجد مصفوفة وحدوية${\displaystyle U}$بحيث${\displaystyle U^{*}AU}$يكون قطريًا لكل${\displaystyle A}$في المجموعة.

بلغة نظرية لي ، فإن مجموعة من المصفوفات القابلة للتقطير المتزامن تولد جبر لي تورال .

يمكن استخدام عملية التقطير لحساب قوى المصفوفة بكفاءة${\displaystyle A=PDP^{-1}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{k}&=\left(PDP^{-1}\right)^{k}=\left(PDP^{-1}\right)\left(PDP^{-1}\right)\cdots \left(PDP^{-1}\right)\\&=PD\left(P^{-1}P\right)D\left(P^{-1}P\right)\cdots \left(P^{-1}P\right)DP^{-1}=PD^{k}P^{-1},\end{aligned}}}$

والأخير سهل الحساب لأنه لا يتضمن سوى قوى المصفوفة القطرية. على سبيل المثال، بالنسبة للمصفوفة${\displaystyle A}$مع القيم الذاتية${\displaystyle \lambda =1,1,2}$في المثال أعلاه، نقوم بحساب:

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{k}=PD^{k}P^{-1}&=\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}1^{k}&0&0\\0&1^{k}&0\\0&0&2^{k}\end{bmatrix}}\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\\[1em]&={\begin{bmatrix}2-2^{k}&-1+2^{k}&2-2^{k+1}\\0&1&0\\-1+2^{k}&1-2^{k}&-1+2^{k+1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

يمكن تعميم هذا النهج ليشمل الدوال الأسية للمصفوفات وغيرها من دوال المصفوفات التي يمكن تعريفها كمتسلسلات قوى. على سبيل المثال، تعريف${\textstyle \exp(A)=I+A+{\frac {1}{2!}}A^{2}+{\frac {1}{3!}}A^{3}+\cdots }$لدينا :

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(A)=P\exp(D)P^{-1}&=\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}e^{1}&0&0\\0&e^{1}&0\\0&0&e^{2}\end{bmatrix}}\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\\[1em]&={\begin{bmatrix}2e-e^{2}&-e+e^{2}&2e-2e^{2}\\0&e&0\\-e+e^{2}&e-e^{2}&-e+2e^{2}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

يُعد هذا مفيدًا بشكل خاص في إيجاد تعبيرات مغلقة الشكل لحدود المتتاليات الخطية المتكررة ، مثل أعداد فيبوناتشي .

في الحسابات الميكانيكية الكمومية والكيميائية الكمومية، يُعدّ تحويل المصفوفات إلى عناصر قطرية من أكثر العمليات العددية استخدامًا. والسبب الرئيسي هو أن معادلة شرودنغر غير المعتمدة على الزمن هي معادلة قيم ذاتية، على الرغم من أنها في معظم الحالات الفيزيائية تقع على فضاء هيلبرت لانهائي الأبعاد .

من أكثر الطرق شيوعًا لتقريب معادلة شرودنغر هو تقليص (أو إسقاط) فضاء هيلبرت إلى بُعد محدود، وبعد ذلك يمكن صياغة المعادلة كمسألة قيم ذاتية لمصفوفة حقيقية متناظرة أو مصفوفة هيرميتية مركبة. ويستند هذا التقريب رسميًا إلى مبدأ التباين ، وهو صالح للهاملتونيين المحدودين من الأسفل.

تؤدي نظرية الاضطراب من الدرجة الأولى أيضًا إلى مشكلة القيم الذاتية للمصفوفة للحالات المنحلة.

يمكن تعميم المصفوفات إلى مؤثرات خطية . ويمكن تعميم المصفوفة القطرية إلى مؤثرات قطرية على فضاءات هيلبرت.

يترك${\displaystyle H}$ليكن فضاء هيلبرت. عامل${\displaystyle D:H\to H}$يكون مؤثرًا قطريًا إذا وفقط إذا وُجد أساس متعامد.${\displaystyle (e_{n})_{n}}$ل${\displaystyle H}$بحيث${\displaystyle De_{n}=\lambda _{n}e_{n}}$بالنسبة للبعض${\displaystyle \lambda _{n}\in \mathbb {C} }$.

لأي${\displaystyle p\geq 1}$عرّف معيار شاتن-p كما يلي.${\displaystyle T:H\to H}$كن عاملاً، ثم${\displaystyle \|T\|_{p}:=\operatorname {Tr} (|T|^{p})^{1/p}}$، أين${\displaystyle \operatorname {Tr} }$هو الأثر . فئة p-Schatten هي مجموعة جميع المؤثرات ذات معيار p-Schatten المحدود.

أظهر كل من ويل ^{[ 3 ]،} وفون نيومان ^{[ 4 ]} ، وكورودا ^{[ 5 ]} ما يلي:

لأي${\displaystyle p>1}$أي مؤثر ذاتي الترافق${\displaystyle T}$في مساحة هيلبرت${\displaystyle H}$وأي${\displaystyle \epsilon >0}$يوجد عامل قطري${\displaystyle D}$بحيث${\displaystyle \|T-D\|_{p}\leq \epsilon }$.

بمعنى آخر، أي مؤثر ذاتي مرافق هو اضطراب متناهي الصغر ناتج عن مؤثر قطري، حيث يُقصد بـ "متناهي الصغر" معيار شاتن-p. وبالتحديد، بما أن فئة مؤثرات هيلبرت-شميدت هي فئة شاتن-2، فهذا يعني أن أي مؤثر ذاتي مرافق قابل للتقطير بعد اضطرابه بواسطة مؤثر هيلبرت-شميدت متناهي الصغر. في الواقع، يمكن تعميم النتيجة السابقة بشكل أكبر:

لأي معيار مثالي ليس من فئة الأثر، مع المعيار${\displaystyle \|\cdot \|_{J}}$أي مؤثر ذاتي الترافق${\displaystyle T}$في مساحة هيلبرت${\displaystyle H}$وأي${\displaystyle \epsilon >0}$يوجد عامل قطري${\displaystyle D}$بحيث${\displaystyle \|T-D\|_{J}\leq \epsilon }$.

النتيجة خاطئة بالنسبة لـ${\displaystyle p=1}$( فئة التتبع ). هذه نتيجة بسيطة لنظرية كاتو ^{[ 6 ]} - روزنبلوم ^{[ 7 ] [ 8 ] : النظرية الحادية عشرة.8} ، والتي تنص على أنه إذا${\displaystyle T}$هو ذاتي الترافق، و${\displaystyle A}$إذا كانت فئة التتبع، فإن${\displaystyle T,T+A}$يمتلكان نفس الجزء المتصل تمامًا من الطيف . ومع ذلك، تكون النتيجة حادة، بمعنى أنه إذا${\displaystyle T}$إذا لم يكن لها جزء متصل بشكل مطلق، فيمكن تحويلها إلى شكل قطري بعد إحداث اضطراب بواسطة عامل من فئة الأثر متناهي الصغر. ^{[ 9 ]}

فيما يخص عملية التقطير المتزامن ، من المعروف أنه عند إعطاء قائمة محدودة من${\displaystyle T_{1},\dots ,T_{n}}$المؤثرات المترافقة ذاتيًا التي تتبادل مع بعضها البعض، لأي${\displaystyle \epsilon >0}$، يوجد تسلسل من المؤثرات القطرية${\displaystyle D_{1},\dots ,D_{n}}$بحيث${\displaystyle \|T_{1}-D_{1}\|_{n}\leq \epsilon ,\dots ,\|T_{n}-D_{n}\|_{n}\leq \epsilon }$، أين${\displaystyle \|\cdot \|_{n}}$هي معيار شاتن من الرتبة n. لاحظ أن${\displaystyle n\geq 2}$^{[ 10 ]}

• مصفوفة معيبة
• التحجيم (الهندسة)
• المصفوفة المثلثية
• عامل شبه بسيط
• مجموعة قابلة للقطر
• الشكل الطبيعي لجوردان
• وحدة الوزن – تعميم الجبر الترابطي
• القطرنة المتعامدة