الفضاء الأفيني

في الرياضيات ، الفضاء الأفيني هو بنية هندسية تعمم بعض خصائص الفضاءات الإقليدية بطريقة تجعلها مستقلة عن مفاهيم المسافة وقياس الزوايا ، مع الاحتفاظ فقط بالخصائص المتعلقة بالتوازي ونسبة أطوال القطع المستقيمة المتوازية . الفضاء الأفيني هو الإطار للهندسة الأفينية .

كما هو الحال في الفضاء الإقليدي، تسمى الأشياء الأساسية في الفضاء التآلفي نقاطًا ، والتي يمكن اعتبارها مواقع في الفضاء بدون أي حجم أو شكل: صفرية الأبعاد . من خلال أي زوج من النقاط يمكن رسم خط مستقيم لانهائي ، مجموعة أحادية البعد من النقاط؛ من خلال أي ثلاث نقاط ليست متوازية، يمكن رسم مستوى ثنائي الأبعاد ؛ وبشكل عام، من خلال k  + 1 نقطة في موضع عام، يمكن رسم فضاء فرعي مسطح أو تآلفي ذي أبعاد k . يتميز الفضاء التآلفي بفكرة أزواج الخطوط المتوازية التي تقع داخل نفس المستوى ولكنها لا تلتقي أبدًا ( تتقاطع الخطوط غير المتوازية داخل نفس المستوى في نقطة). يمكن رسم خط موازٍ لأي خط معطى من خلال أي نقطة في الفضاء، ويقال إن فئة التكافؤ للخطوط المتوازية تشترك في اتجاه .

على عكس المتجهات في فضاء المتجه ، لا توجد في الفضاء التآلفي نقطة مميزة تعمل كأصل . لا يوجد مفهوم محدد مسبقًا لإضافة أو ضرب النقاط معًا، أو ضرب نقطة في عدد قياسي. ومع ذلك، بالنسبة لأي فضاء تآلفي، يمكن إنشاء فضاء متجه مرتبط من الاختلافات بين نقاط البداية والنهاية، والتي تسمى متجهات حرة أو متجهات إزاحة أو متجهات ترجمة أو ببساطة ترجمات . ^[1] وبالمثل، من المنطقي إضافة متجه إزاحة إلى نقطة في فضاء تآلفي، مما يؤدي إلى نقطة جديدة مترجمة من نقطة البداية بواسطة هذا المتجه. وبينما لا يمكن إضافة النقاط معًا بشكل تعسفي، فمن المنطقي أخذ مجموعات تآلفية من النقاط: مجموعات مرجحة مع معاملات عددية مجموعها 1، مما يؤدي إلى نقطة أخرى. تحدد هذه المعاملات نظام إحداثيات مركزية الثقل للمسطح عبر النقاط.

يمكن النظر إلى أي فضاء متجه على أنه فضاء أفيني؛ وهذا يعادل "نسيان" الدور الخاص الذي يلعبه المتجه الصفري . في هذه الحالة، يمكن النظر إلى عناصر الفضاء المتجه إما كنقط للفضاء الأفيني أو كمتجهات إزاحة أو ترجمات . عند النظر إليها كنقطة، يُطلق على المتجه الصفري الأصل . يؤدي إضافة متجه ثابت إلى عناصر فضاء فرعي خطي (فضاء فرعي متجه) لفضاء متجه إلى إنتاج فضاء فرعي أفيني للفضاء المتجه. يقال عادةً أن هذا الفضاء الفرعي الأفيني تم الحصول عليه عن طريق ترجمة (بعيدًا عن الأصل) الفضاء الفرعي الخطي بواسطة متجه الترجمة (المتجه المضاف إلى جميع عناصر الفضاء الخطي). في الأبعاد المحدودة، يكون هذا الفضاء الفرعي الأفيني هو مجموعة الحلول لنظام خطي غير متجانس. متجهات الإزاحة لهذا الفضاء الأفيني هي حلول النظام الخطي المتجانس المقابل ، وهو فضاء فرعي خطي. على النقيض من ذلك، تحتوي الفضاءات الفرعية الخطية دائمًا على أصل الفضاء المتجه.

يتم تعريف بُعد الفضاء الأفيني على أنه بُعد الفضاء المتجه لترجماته. الفضاء الأفيني ذو البعد الأول هو خط أفيني . الفضاء الأفيني ذو البعد الثاني هو مستوى أفيني . الفضاء الفرعي الأفيني ذو البعد n – 1 في الفضاء الأفيني أو الفضاء المتجه ذو البعد n هو مستوى فائق أفيني .

قد يكون التوصيف التالي أسهل في الفهم من التعريف الرسمي المعتاد: الفضاء الأفيني هو ما تبقى من الفضاء المتجهي بعد أن ينسى المرء أي نقطة هي الأصل (أو، على حد تعبير عالم الرياضيات الفرنسي مارسيل بيرجر ، "الفضاء الأفيني ليس أكثر من فضاء متجه نحاول نسيان أصله، عن طريق إضافة ترجمات إلى الخرائط الخطية" ^[2] ). تخيل أن أليس تعرف أن نقطة معينة هي الأصل الفعلي، لكن بوب يعتقد أن نقطة أخرى - نسميها p - هي الأصل. يجب إضافة متجهين، a و b . يرسم بوب سهمًا من النقطة p إلى النقطة a وسهمًا آخر من النقطة p إلى النقطة b ، ويكمل متوازي الأضلاع لإيجاد ما يعتقد بوب أنه a + b ، لكن أليس تعرف أنه قد حسب بالفعل

ص + ( أ − ص ) + ( ب − ص ) .

على نحو مماثل، قد يقوم أليس وبوب بتقييم أي تركيبة خطية من a و b ، أو أي مجموعة محدودة من المتجهات، وسيحصلان عمومًا على إجابات مختلفة. ومع ذلك، إذا كان مجموع المعاملات في تركيبة خطية يساوي 1، فسيصل أليس وبوب إلى نفس الإجابة.

إذا سافرت أليس إلى

λ أ + (1 − λ) ب

ثم يمكن لبوب أن يسافر بنفس الطريقة إلى

p + lect( a − p ) + (1 − lect)( b − p ) = lect a + (1 − lect) b .

في ظل هذا الشرط، لجميع المعاملات λ + (1 − λ) = 1 ، يصف أليس وبوب نفس النقطة بنفس التركيبة الخطية، على الرغم من استخدام أصول مختلفة.

في حين أن أليس فقط تعرف "البنية الخطية"، فإن كلًا من أليس وبوب يعرفان "البنية الأفينية" - أي قيم التركيبات الأفينية ، والتي تُعرف بأنها تركيبات خطية يكون مجموع المعاملات فيها 1. المجموعة ذات البنية الأفينية هي فضاء أفيني.

في حين يمكن تعريف الفضاء التآلفي بشكل بديهي (انظر § البديهيات أدناه)، على نحو مماثل لتعريف الفضاء الإقليدي الذي يتضمنه كتاب عناصر إقليدس ، فمن أجل الراحة، تحدد معظم المصادر الحديثة الفضاءات التآلفية من حيث نظرية الفضاء المتجهي المتطورة جيدًا.

الفضاء الأفيني هو مجموعة A مع فضاء متجه ، وفعل متعدٍ وحر للمجموعة المضافة على المجموعة A. ^[3] تسمى عناصر الفضاء الأفيني A نقاط . ويقال إن الفضاء المتجه مرتبط بالفضاء الأفيني، وتسمى عناصره متجهات ، أو ترجمات ، أو أحيانًا متجهات حرة . ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$

صراحةً، يعني التعريف أعلاه أن الإجراء عبارة عن تعيين، يُشار إليه عمومًا بالإضافة،

${\displaystyle {\begin{aligned}A\times {\overrightarrow {A}}&\to A\\(a,v)\;&\mapsto a+v,\end{aligned}}}$

الذي يتمتع بالخصائص التالية. ^{[4] [5] [6]}

1. الهوية الصحيحة :

   ${\displaystyle \لكل أ\في أ،\;أ+0=أ}$حيث 0 هو المتجه الصفري في${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$

2. الترابطية :

   ${\displaystyle \forall v,w\in {\overrightarrow {A}},\forall a\in A,\;(a+v)+w=a+(v+w)}$(هنا آخر + هو الإضافة في )${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$

3. الفعل الحر والمتعدي :

   بالنسبة لكل ، فإن التعيين هو تطابق .${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle {\overrightarrow {A}}\to A\colon v\mapsto a+v}$

الخاصيتان الأوليتان هما ببساطة خاصيتان تعريفيتان لفعل جماعي (يمين). الخاصية الثالثة تميز الأفعال الحرة والمتعدية، حيث تأتي الخاصية الضمنية من التعدية، ثم تأتي الخاصية الضمنية من كون الفعل حرًا. هناك خاصية رابعة تنبع من 1، 2 أعلاه:

4. وجود ترجمات فردية

بالنسبة للجميع ، فإن التعيين هو تطابق.${\displaystyle v\in {\overrightarrow {A}}}$${\displaystyle A\to A\colon a\mapsto a+v}$

غالبًا ما يتم استخدام الخاصية 3 في الشكل المكافئ التالي (الخاصية الخامسة).

5. الطرح:

لكل a , b في A ، يوجد فريد ، يُشار إليه بـ a ، بحيث .${\displaystyle v\in {\overrightarrow {A}}}$${\displaystyle b=a+v}$

هناك طريقة أخرى للتعبير عن التعريف وهي أن الفضاء الأفيني هو فضاء متجانس رئيسي لفعل المجموعة المضافة لفضاء متجه. الفضاءات المتجانسة، بحكم التعريف، تتمتع بفعل مجموعة متعدية، وبالنسبة للفضاء المتجانس الرئيسي، فإن هذا الفعل المتعدي، بحكم التعريف، يكون حرًا.

تسمح خصائص إجراء المجموعة بتعريف الطرح لأي زوج مرتب معين ( b , a ) من النقاط في A ، مما ينتج متجهًا من . يتم تعريف هذا المتجه، المشار إليه أو ، ليكون المتجه الوحيد في مثل هذا ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$${\displaystyle b-a}$${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$

${\displaystyle a+(b-a)=b.}$

إن الوجود يتبع تعدية الفعل، والتفرد يتبع لأن الفعل حر.

يتمتع هذا الطرح بالخاصيتين التاليتين، والتي تسمى بديهيات ويل : ^[7]

1. ${\displaystyle \forall a\in A,\;\forall v\in {\overrightarrow {A}}}$، هناك نقطة فريدة من نوعها بحيث${\displaystyle b\in A}$${\displaystyle b-a=v.}$
2. ${\displaystyle \forall a,b,c\in A,\;(c-b)+(b-a)=c-a.}$

تتحقق خاصية متوازي الأضلاع في الفضاءات الأفينية، حيث يتم التعبير عنها على النحو التالي: عند إعطاء أربع نقاط، تكون المتساويات و متكافئة . وهذا ينتج عن بديهية ويل الثانية، حيث${\displaystyle a,b,c,d,}$${\displaystyle b-a=d-c}$${\displaystyle c-a=d-b}$${\displaystyle d-a=(d-b)+(b-a)=(d-c)+(c-a).}$

يمكن تعريف الفضاءات الأفينية على نحو مكافئ على أنها مجموعة نقاط A ، مع فضاء متجه ، وطرح يلبي بديهيات ويل. في هذه الحالة، يتم تعريف إضافة متجه إلى نقطة من البديهية الأولى لويل. ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$

الفضاء الفرعي الأفيني ( يُطلق عليه أيضًا في بعض السياقات، تنوع خطي ، أو مسطح ، أو، على الأعداد الحقيقية ، متعدد الشعب الخطي ) B للفضاء الأفيني A هو مجموعة فرعية من A بحيث، عند إعطاء نقطة ، تكون مجموعة المتجهات فضاء فرعي خطي لـ . هذه الخاصية، التي لا تعتمد على اختيار a ، تعني أن B هو فضاء أفيني، له فضاء متجه مرتبط به. ${\displaystyle a\in B}$${\displaystyle {\overrightarrow {B}}=\{b-a\mid b\in B\}}$${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {B}}}$

الفضاءات الفرعية الأفينية لـ A هي مجموعات فرعية من A من النموذج

${\displaystyle a+V=\{a+w:w\in V\},}$

حيث a هي نقطة A ، و V هي فضاء خطي لـ . ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$

غالبًا ما يُطلق على الفضاء الفرعي الخطي المرتبط بالفضاء الفرعي الأفيني اسمالاتجاه ، ويقال إن الفضائين الجزئيين اللذين يشتركان في نفس الاتجاهمتوازيان.

وهذا يعني التعميم التالي لبديهية بلاي فير : إذا كان الاتجاه V ، لأي نقطة a من A يوجد فضاء فرعي واحد فقط في الاتجاه V ، والذي يمر عبر a ، ألا وهو الفضاء الفرعي a + V.

تقوم كل ترجمة بتعيين أي فضاء فرعي متآلف إلى فضاء فرعي موازٍ. ${\displaystyle A\to A:a\mapsto a+v}$

يُستخدم مصطلح الموازي أيضًا للإشارة إلى فضائين فرعيين متآلفين بحيث يكون اتجاه أحدهما مدرجًا في اتجاه الآخر.

بالنظر إلى فضائين أفينيين A و B حيث تكون فضاءات المتجهات المرتبطة بهما هي و ، فإن الخريطة الأفينية أو التماثل الأفيني من A إلى B هي خريطة ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {B}}}$

${\displaystyle f:A\to B}$

مثل هذا

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {f}}:{\overrightarrow {A}}&\to {\overrightarrow {B}}\\b-a&\mapsto f(b)-f(a)\end{aligned}}}$

هي خريطة خطية محددة جيدًا . ويقصد بكونها محددة جيدًا أن b – a = d – c تعني f ( b ) – f ( a ) = f ( d ) – f ( c ) . ${\displaystyle f}$

وهذا يعني أنه بالنسبة لنقطة ومتجه ، لدينا ${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle v\in {\overrightarrow {A}}}$

${\displaystyle f(a+v)=f(a)+{\overrightarrow {f}}(v).}$

لذلك، بما أنه بالنسبة لأي b في A ، b = a + v لـ v فريدة ، فإن f يتم تعريفها بالكامل من خلال قيمتها على نقطة واحدة والخريطة الخطية المرتبطة بها . ${\displaystyle {\overrightarrow {f}}}$

التحويل الأفيني أو الشكل الداخلي للفضاء الأفيني هو خريطة أفينية من ذلك الفضاء إلى نفسه. إحدى العائلات المهمة من الأمثلة هي الترجمات: نظرًا للمتجه ، فإن خريطة الترجمة التي ترسل لكل in هي خريطة أفينية. عائلة مهمة أخرى من الأمثلة هي الخرائط الخطية التي تتركز عند الأصل: نظرًا لنقطة وخريطة خطية ، يمكن للمرء تعريف الخريطة الأفينية بواسطة لكل in . ${\displaystyle A}$${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$${\displaystyle T_{\overrightarrow {v}}:A\rightarrow A}$${\displaystyle a\mapsto a+{\overrightarrow {v}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$${\displaystyle b}$${\displaystyle M}$${\displaystyle L_{M,b}:A\rightarrow A}$$${\displaystyle L_{M,b}(a)=b+M(a-b)}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$

بعد اختيار الأصل ، يمكن كتابة أي خريطة أفينية بشكل فريد كمزيج من الترجمة وخريطة خطية تتركز في . ${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$

يمكن اعتبار كل فضاء متجه V بمثابة فضاء تآلفي على نفسه. وهذا يعني أن كل عنصر من V يمكن اعتباره إما نقطة أو متجهًا. يُشار أحيانًا إلى هذا الفضاء التآلفي ( V , V ) للتأكيد على الدور المزدوج لعناصر V. عند اعتباره نقطة، يُشار عادةً إلى المتجه الصفري بـ o (أو O ، عندما تُستخدم الأحرف الكبيرة للنقاط) ويُسمى الأصل .

إذا كانت A فضاءً تآلفيًا آخر على نفس فضاء المتجه (أي ) فإن اختيار أي نقطة a في A يحدد تماثلًا تآلفيًا فريدًا، وهو هوية V ويربط a بـ o . بعبارة أخرى، يسمح لنا اختيار الأصل a في A بتحديد A و ( V , V ) حتى تماثل قياسي . نظير هذه الخاصية هو أنه يمكن تحديد الفضاء التآلفي A بفضاء المتجه V حيث "تم نسيان مكان الأصل". ${\displaystyle V={\overrightarrow {A}}}$

المساحات الإقليدية (بما في ذلك الخط أحادي البعد، والمستوى ثنائي الأبعاد، والفضاء ثلاثي الأبعاد الذي تتم دراسته عادة في الهندسة الأولية، بالإضافة إلى نظائرها ذات الأبعاد الأعلى) هي مساحات متآلفة.

في الواقع، في أغلب التعريفات الحديثة، يتم تعريف الفضاء الإقليدي على أنه فضاء أفيني، بحيث يكون الفضاء المتجهي المرتبط به عبارة عن فضاء حاصل ضرب داخلي حقيقي ذو بعد محدود، أي فضاء متجهي على الأعداد الحقيقية مع شكل تربيعي محدد موجب q ( x ) . الحاصل الداخلي لمتجهين x و y هو قيمة الشكل الخطي الثنائي المتماثل

${\displaystyle x\cdot y={\frac {1}{2}}(q(x+y)-q(x)-q(y)).}$

المسافة الإقليدية المعتادة بين نقطتين A و B هي

${\displaystyle d(A,B)={\sqrt {q(B-A)}}.}$

في التعريف الأقدم للمساحات الإقليدية من خلال الهندسة التركيبية ، يتم تعريف المتجهات على أنها فئات تكافؤ للأزواج المرتبة من النقاط تحت التكافؤ (الأزواج (أ، ب) و (ج، د) متساوية إذا كانت النقاط أ ، ب ، د ، ج ( بهذا الترتيب ) تشكل متوازي أضلاع ) . من السهل التحقق من أن المتجهات تشكل فضاء متجه، وأن مربع المسافة الإقليدية هو شكل تربيعي على فضاء المتجهات، وأن التعريفين للمساحات الإقليدية متكافئان.

في الهندسة الإقليدية ، تشير العبارة الشائعة " الخاصية التآلفية " إلى خاصية يمكن إثباتها في الفضاءات التآلفية، أي أنه يمكن إثباتها دون استخدام الشكل التربيعي والضرب الداخلي المرتبط به. بعبارة أخرى، الخاصية التآلفية هي خاصية لا تتضمن أطوالًا وزوايا. ومن الأمثلة النموذجية التوازي ، وتعريف المماس . أما غير المثال فهو تعريف العمودي .

على نحو مماثل، الخاصية التآلفية هي خاصية ثابتة تحت التحويلات التآلفية للفضاء الإقليدي.

ليكن a ₁ ، ..., a _n مجموعة من n نقطة في فضاء أفيني، وليكن n عنصرًا من الحقل الأرضي . ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}$

افترض أن . لأي نقطتين o و o' واحدة لها ${\displaystyle \lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=0}$

${\displaystyle \lambda _{1}{\overrightarrow {oa_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {oa_{n}}}=\lambda _{1}{\overrightarrow {o'a_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {o'a_{n}}}.}$

وبالتالي، فإن هذا المجموع مستقل عن اختيار الأصل، ويمكن الإشارة إلى المتجه الناتج

${\displaystyle \lambda _{1}a_{1}+\dots +\lambda _{n}a_{n}.}$

عندما ، يتم استرجاع تعريف طرح النقاط. ${\displaystyle n=2,\lambda _{1}=1,\lambda _{2}=-1}$

الآن افترض بدلاً من ذلك أن عناصر الحقل تلبي . لبعض اختيارات الأصل o ، يتم الإشارة إليها بالنقطة الفريدة بحيث ${\displaystyle \lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=1}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle \lambda _{1}{\overrightarrow {oa_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {oa_{n}}}={\overrightarrow {og}}.}$

يمكننا أن نثبت أن الأمر مستقل عن اختيار o . لذلك، إذا ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=1,}$

قد يكتب المرء

${\displaystyle g=\lambda _{1}a_{1}+\dots +\lambda _{n}a_{n}.}$

تسمى هذه النقطة مركز ثقل الأوزان . ويُقال أيضًا إنها عبارة عن تركيبة متآلفة لـ مع معاملات . ${\displaystyle g}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$

• عندما يجد الأطفال إجابات لمجاميع مثل 4 + 3 أو 4 − 2 عن طريق العد إلى اليمين أو اليسار على خط الأعداد ، فإنهم يعاملون خط الأعداد كمساحة تآلفية أحادية البعد.
• يمكن نمذجة الزمن على أنه فضاء أفيني أحادي البعد. النقاط المحددة في الزمن (مثل التاريخ في التقويم) هي نقاط في الفضاء الأفيني، في حين أن الفترات الزمنية (مثل عدد الأيام) هي إزاحات.
• إن فضاء الطاقات هو فضاء متقارب بالنسبة لـ ، لأنه غالبًا ما لا يكون من المفيد التحدث عن الطاقة المطلقة، ولكن من المفيد التحدث عن الاختلافات في الطاقة. إن طاقة الفراغ عندما يتم تعريفها تنتقي أصلًا قانونيًا.${\displaystyle \mathbb {R} }$
• غالبًا ما يتم تصميم الفضاء المادي كمساحة متقاربة في الإعدادات غير النسبية وفي الإعدادات النسبية. لتمييزها عن الفضاء المتجهي، تسمى أحيانًا بالفضاء الإقليدي و .${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$ ${\displaystyle {\text{E}}(3)}$${\displaystyle {\text{E}}(1,3)}$
• أي مجموعة مشتركة لفضاء فرعي V من فضاء متجه هي فضاء أفيني فوق هذا الفضاء الفرعي.
• على وجه الخصوص، الخط في المستوى الذي لا يمر عبر الأصل هو فضاء أفيني ليس فضاء متجهًا بالنسبة للعمليات التي يرثها من ، على الرغم من أنه يمكن إعطاؤه بنية فضاء متجهية أساسية عن طريق اختيار النقطة الأقرب إلى الأصل كمتجه صفري؛ وبالمثل في الأبعاد الأعلى ولأي فضاء متجه معياري${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• إذا كانت T مصفوفة و b تقع في فضاء عمودي لها ، فإن مجموعة حلول المعادلة T x = b هي فضاء أفيني على الفضاء الفرعي لحلول T x = 0 .
• تشكل حلول المعادلة التفاضلية الخطية غير المتجانسة فضاءً أفينيًا فوق حلول المعادلة الخطية المتجانسة المقابلة.
• بتعميم كل ما سبق، إذا كانت T  : V → W عبارة عن خريطة خطية و y تقع في صورتها ، فإن مجموعة الحلول x ∈ V لمعادلة T x = y هي مجموعة جزئية لنواة T  ، وبالتالي فهي فضاء أفيني على Ker  T. 
• فضاء الفضاءات التكميلية (الخطية) لفضاء متجه فرعي V في فضاء متجه W هو فضاء أفيني، على Hom( W / V , V ) . أي إذا كانت 0 → V → W → X → 0 عبارة عن تسلسل دقيق قصير من فضاءات المتجهات، فإن فضاء جميع انقسامات التسلسل الدقيق يحمل بشكل طبيعي بنية فضاء أفيني على Hom( X , V ) .
• مساحة الاتصالات (كما نراها من حزمة المتجهات ، حيث هو متعدد الشعب السلس ) هي مساحة تآلفية لمساحة المتجه للأشكال 1 ذات القيمة . مساحة الاتصالات (كما نراها من الحزمة الرئيسية ) هي مساحة تآلفية لمساحة المتجه للأشكال 1 ذات القيمة السالبة، حيث هي الحزمة المرافقة المرتبطة .${\displaystyle E\xrightarrow {\pi } M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\text{End}}(E)}$ ${\displaystyle P\xrightarrow {\pi } M}$${\displaystyle {\text{ad}}(P)}$${\displaystyle {\text{ad}}(P)}$

بالنسبة لأي مجموعة فرعية غير فارغة X من فضاء أفيني A ، يوجد أصغر فضاء فرعي أفيني يحتوي عليها، ويسمى المدى الأفيني لـ X. وهو تقاطع جميع الفضاءات الفرعية الأفينية التي تحتوي على X ، واتجاهه هو تقاطع اتجاهات الفضاءات الفرعية الأفينية التي تحتوي على X.

المدى الأفيني لـ X هو مجموعة كل التركيبات الأفينية (المحدودة) لنقاط X ، واتجاهه هو المدى الخطي لـ x − y لـ x و y في X. إذا اختار المرء نقطة معينة x ₀ ، فإن اتجاه المدى الأفيني لـ X هو أيضًا المدى الخطي لـ x − x ₀ لـ x في X.

يقال أيضًا أن المدى الأفيني لـ X يتم إنشاؤه بواسطة X وأن X هي مجموعة مولدة لمدى أفيني الخاص بها.

يقال أن مجموعة X من نقاط الفضاء الأفيني هيمستقل تآلفيًا أو، ببساطة،مستقل، إذا كان الامتداد التآلفي لأيمجموعة فرعية صارمةمن X هو مجموعة فرعية صارمة من الامتداد التآلفيلـ X.الأساس الأفيني أوالإطار الباريمركزي(انظر § إحداثيات الباريمركزية، أدناه) للفضاء الأفيني هو مجموعة مولدة مستقلة أيضًا (أيمجموعة مولدة دنيا).

تذكّر أن بُعد الفضاء الأفيني هو بُعد فضاء المتجه المرتبط به. قواعد الفضاء الأفيني ذي البعد المحدود n هي المجموعات الفرعية المستقلة لعناصر n + 1 ، أو على نحو مكافئ، المجموعات الفرعية المولدة لعناصر n + 1. وعلى نحو مكافئ، فإن { x ₀ , ..., x _n } هو أساس أفيني لمساحة أفينية إذا وفقط إذا كان { x ₁ − x ₀ , ..., x _n − x ₀ } أساسًا خطيًا لمساحة المتجه المرتبطة.

هناك نوعان مرتبطان بقوة من أنظمة الإحداثيات التي يمكن تعريفها على المساحات الأفينية.

ليكن A فضاءً أفينيًا له بعد n على حقل k ، وليكن أساسًا أفينيًا لـ A. تشير خصائص الأساس الأفيني إلى أنه لكل x في A يوجد مجموعة فريدة ( n + 1) من عناصر k بحيث${\displaystyle \{x_{0},\dots ,x_{n}\}}$ ${\displaystyle (\lambda _{0},\dots ,\lambda _{n})}$

${\displaystyle \lambda _{0}+\dots +\lambda _{n}=1}$

و

${\displaystyle x=\lambda _{0}x_{0}+\dots +\lambda _{n}x_{n}.}$

تسمى إحداثيات مركز الثقل لـ x على أساس أفيني . إذا تم النظر إلى x _i كأجسام لها أوزان (أو كتل) ، فإن النقطة x هي مركز الثقل لـ x _i ، وهذا يفسر أصل مصطلح إحداثيات مركز الثقل . ${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \{x_{0},\dots ,x_{n}\}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$

تعرف إحداثيات مركز الثقل تماثلًا تآلفيًا بين الفضاء التآلفي A والفضاء التآلفي الفرعي لـ k ^{n + 1} المحدد بالمعادلة . ${\displaystyle \lambda _{0}+\dots +\lambda _{n}=1}$

بالنسبة للمساحات التآلفية ذات الأبعاد اللانهائية، ينطبق نفس التعريف، باستخدام مجموعات محدودة فقط. وهذا يعني أنه بالنسبة لكل نقطة، هناك عدد محدود فقط من الإحداثيات غير الصفرية.

الإطار الأفيني هو إطار إحداثي لمساحة أفينية، يتكون من نقطة تسمى الأصل ، وأساس خطي لمساحة المتجه المرتبطة. وبشكل أكثر دقة، بالنسبة لمساحة أفينية A مع مساحة متجه مرتبطة ، فإن الأصل o ينتمي إلى A ، والأساس الخطي هو أساس ( v ₁ ، ...، v _n ) لـ (لتبسيط التدوين، نأخذ في الاعتبار فقط حالة البعد المحدود، والحالة العامة مماثلة). ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$

لكل نقطة p من A ، يوجد تسلسل فريد من عناصر المجال الأرضي بحيث ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}$

${\displaystyle p=o+\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n},}$

أو ما يعادله

${\displaystyle {\overrightarrow {op}}=\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n}.}$

تسمى الإحداثيات الأفينية لـ p على الإطار الأفيني ( o ، v ₁ ، ...، v _n ) . ${\displaystyle \lambda _{i}}$

مثال: في الهندسة الإقليدية ، الإحداثيات الديكارتية هي إحداثيات تآلفية بالنسبة لإطار متعامد عمودي ، أي إطار تآلفي ( o , v ₁ , ..., v _n ) بحيث يكون ( v ₁ , ..., v _n ) أساسًا متعامدًا عموديًا .

ترتبط إحداثيات مركز الثقل والإحداثيات التآلفية بقوة، ويمكن اعتبارها متكافئة.

في الواقع، نظرا لإطار مركز الثقل

${\displaystyle (x_{0},\dots ,x_{n}),}$

يستنتج المرء على الفور الإطار الأفيني

${\displaystyle (x_{0},{\overrightarrow {x_{0}x_{1}}},\dots ,{\overrightarrow {x_{0}x_{n}}})=\left(x_{0},x_{1}-x_{0},\dots ,x_{n}-x_{0}\right),}$

وإذا كان

${\displaystyle \left(\lambda _{0},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right)}$

إذا كانت إحداثيات مركز الثقل لنقطة فوق الإطار مركز الثقل، فإن الإحداثيات التآلفية لنفس النقطة فوق الإطار التآلفي هي

${\displaystyle \left(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right).}$

وعلى العكس من ذلك، إذا

${\displaystyle \left(o,v_{1},\dots ,v_{n}\right)}$

هو إطار أفيني، إذن

${\displaystyle \left(o,o+v_{1},\dots ,o+v_{n}\right)}$

هو إطار مركزي الثقل. إذا

${\displaystyle \left(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right)}$

هي إحداثيات نقطة فوق الإطار الأفيني، ثم إحداثياتها المركزية فوق الإطار المركزي هي

${\displaystyle \left(1-\lambda _{1}-\dots -\lambda _{n},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right).}$

لذلك، فإن إحداثيات مركز الثقل والإحداثيات التآلفية متكافئة تقريبًا. وفي معظم التطبيقات، تُفضَّل الإحداثيات التآلفية، لأنها تنطوي على عدد أقل من الإحداثيات المستقلة. ومع ذلك، في المواقف التي تكون فيها النقاط المهمة في المشكلة المدروسة مستقلة تآلفيًا، قد تؤدي إحداثيات مركز الثقل إلى حساب أبسط، كما في المثال التالي.

تشكل رؤوس المثلث غير المسطح أساسًا متوازيًا للمستوى الإقليدي . تسمح إحداثيات مركز الثقل بتوصيف عناصر المثلث التي لا تتضمن زوايا أو مسافات بسهولة:

الرؤوس هي نقاط إحداثيات مركز الثقل (1، 0، 0) و (0، 1، 0) و (0، 0، 1) . الخطوط التي تدعم الحواف هي النقاط التي لها إحداثيات صفرية. الحواف نفسها هي النقاط التي لها إحداثيات صفرية واحدة وإحداثيان غير سالبين. الجزء الداخلي من المثلث هو النقاط التي تكون إحداثياتها موجبة. المتوسطات هي النقاط التي لها إحداثيان متساويان، ومركز الثقل هو نقطة الإحداثيات (1/3⁠ , ⁠1/3⁠ , ⁠1/3) .​

تتغير إحداثيات مركز الثقل بسهولة من أساس إلى آخر. دع و تكونا قاعدتين متآلفتين لـ A . لكل x في A يوجد بعض الثنائيات التي ${\displaystyle \{x_{0},\dots ,x_{n}\}}$${\displaystyle \{x'_{0},\dots ,x'_{n}\}}$${\displaystyle \{\lambda _{0},\dots ,\lambda _{n}\}}$

${\displaystyle x=\lambda _{0}x_{0}+\dots +\lambda _{n}x_{n}.}$

وبالمثل، لكل من الأساس الأول، لدينا الآن في الأساس الثاني ${\displaystyle x_{i}\in \{x_{0},\dots ,x_{n}\}}$

${\displaystyle x_{i}=\lambda _{i,0}x'_{0}+\dots +\lambda _{i,j}x'_{j}+\dots +\lambda _{i,n}x'_{n}}$

لبعض التوبلات . الآن يمكننا إعادة كتابة تعبيرنا في الأساس الأول كواحد في الأساس الثاني مع ${\displaystyle \{\lambda _{i,0},\dots ,\lambda _{i,n}\}}$

${\displaystyle \,x=\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}x_{i}=\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\sum _{j=0}^{n}\lambda _{i,j}x'_{j}=\sum _{j=0}^{n}{\biggl (}\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\lambda _{i,j}{\biggr )}x'_{j}\,,}$

إعطائنا إحداثيات في الأساس الثاني كمجموعة . ${\textstyle {\bigl \{}\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,0},\,\dots ,\,{}}$${\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,n}{\bigr \}}}$

تتغير الإحداثيات الأفينية بسهولة أيضًا من أساس إلى آخر. دع و و تكون إطارات أفينية لـ A. لكل نقطة p من A ، يوجد تسلسل فريد من عناصر المجال الأرضي بحيث ${\displaystyle o}$${\displaystyle \{v_{1},\dots ,v_{n}\}}$${\displaystyle o'}$${\displaystyle \{v'_{1},\dots ,v'_{n}\}}$${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}$

${\displaystyle p=o+\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n},}$

وبالمثل، لكل من الأساس الأول، لدينا الآن في الأساس الثاني ${\displaystyle v_{i}\in \{v_{1},\dots ,v_{n}\}}$

${\displaystyle o=o'+\lambda _{o,1}v'_{1}+\dots +\lambda _{o,j}v'_{j}+\dots +\lambda _{o,n}v'_{n}\,}$

${\displaystyle v_{i}=\lambda _{i,1}v'_{1}+\dots +\lambda _{i,j}v'_{j}+\dots +\lambda _{i,n}v'_{n}}$

بالنسبة للثنائيات والثنائيات . الآن يمكننا إعادة كتابة تعبيرنا في الأساس الأول كتعبير في الأساس الثاني مع ${\displaystyle \{\lambda _{o,1},\dots ,\lambda _{o,n}\}}$${\displaystyle \{\lambda _{i,1},\dots ,\lambda _{i,n}\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\,p&=o+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}={\biggl (}o'+\sum _{j=1}^{n}\lambda _{o,j}v'_{j}{\biggr )}+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\sum _{j=1}^{n}\lambda _{i,j}v'_{j}\\&=o'+\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}\lambda _{o,j}+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\lambda _{i,j}{\biggr )}v'_{j}\,,\end{aligned}}}$

إعطائنا إحداثيات في الأساس الثاني كمجموعة . ${\textstyle {\bigl \{}\lambda _{o,1}+\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,1},\,\dots ,\,{}}$${\textstyle \lambda _{o,n}+\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,n}{\bigr \}}}$

يتم تنفيذ التحويل الأفيني على مساحة إسقاطية لـ ، بواسطة مصفوفة 4 × 4 مع عمود رابع خاص ^[8] : ${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&0\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&0\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}T(1,0,0)&0\\T(0,1,0)&0\\T(0,0,1)&0\\T(0,0,0)&1\end{bmatrix}}}$

يكون التحويل أفيني وليس خطيًا بسبب تضمين النقطة ، حيث يكشف الناتج المحول عن التحول الأفيني. ${\displaystyle (0,0,0)}$

يترك

${\displaystyle f\colon E\to F}$

كن تماثلًا تقاربيًا، مع

${\displaystyle {\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}}$

الخريطة الخطية المرتبطة بها. صورة f هي الفضاء الفرعي الأفيني لـ F ، والذي له فضاء متجه مرتبط به. ونظرًا لأن الفضاء الأفيني لا يحتوي على عنصر صفري ، فإن التماثل الأفيني لا يحتوي على نواة . ومع ذلك، فإن الخريطة الخطية تحتوي على نواة، وإذا أشرنا إلى ذلك بنواتها، فعند أي نقطة x من ، فإن الصورة العكسية لـ x هي فضاء فرعي أفيني لـ E يكون اتجاهه . ويسمى هذا الفضاء الفرعي الأفيني بألياف x . ${\displaystyle f(E)=\{f(a)\mid a\in E\}}$${\displaystyle {\overrightarrow {f}}({\overrightarrow {E}})}$${\displaystyle {\overrightarrow {f}}}$${\displaystyle K=\{v\in {\overrightarrow {E}}\mid {\overrightarrow {f}}(v)=0\}}$${\displaystyle f(E)}$ ${\displaystyle f^{-1}(x)}$${\displaystyle K}$

من الأمثلة المهمة على ذلك الإسقاط الموازي لبعض الاتجاهات على فضاء فرعي أفيني. تكمن أهمية هذا المثال في حقيقة أن الفضاءات الإقليدية هي فضاءات أفيني، وأن هذه الأنواع من الإسقاطات أساسية في الهندسة الإقليدية .

بتعبير أدق، إذا كان لدينا فضاء أفيني E مع فضاء متجه مرتبط به ، فليكن F فضاء فرعي أفيني باتجاه ، وليكن D فضاء فرعي مكمل لـ in (وهذا يعني أن كل متجه لـ يمكن تحليله بطريقة فريدة كمجموع عنصر لـ وعنصر لـ D ). لكل نقطة x من E ، فإن إسقاطها إلى F الموازي لـ D هو النقطة الفريدة p ( x ) في F بحيث ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$

${\displaystyle p(x)-x\in D.}$

هذا هو التماثل الشكلي المتجانس الذي يتم تعريف خريطته الخطية المرتبطة به بواسطة ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$

${\displaystyle {\overrightarrow {p}}(x-y)=p(x)-p(y),}$

لـ x و y في E .

صورة هذا الإسقاط هي F ، وأليافه هي الفضاءات الفرعية في الاتجاه D.

على الرغم من عدم تعريف النوى للمساحات التآلفية، فإن المساحات الحاصلة محددة. وينتج هذا عن حقيقة مفادها أن "الانتماء إلى نفس الألياف من التماثل التآلفي" هو علاقة تكافؤ.

ليكن E فضاءً أفينيًا، وليكن D فضاءً جزئيًا خطيًا لفضاء المتجه المرتبط . يكون حاصل قسمة E / D لـ E على D هو حاصل قسمة E على علاقة التكافؤ بحيث يكون x و y متكافئين إذا ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$

${\displaystyle x-y\in D.}$

هذا الحاصل هو فضاء أفيني، والذي له فضاء متجه مرتبط به. ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}/D}$

بالنسبة لكل تماثل تآلفي ، تكون الصورة متماثلة مع حاصل قسمة E بواسطة نواة الخريطة الخطية المرتبطة. هذه هي أول نظرية تماثل للمساحات التآلفية. ${\displaystyle E\to F}$

تُدرس المساحات الأفينية عادةً باستخدام الهندسة التحليلية باستخدام الإحداثيات، أو ما يعادلها من مساحات متجهية. ويمكن أيضًا دراستها كهندسة تركيبية عن طريق كتابة البديهيات، على الرغم من أن هذا النهج أقل شيوعًا. هناك العديد من الأنظمة المختلفة للمسلمات للفضاء الأفيني.

يقدم كوكستر (1969، ص 192) بديهية للحالة الخاصة للهندسة التآلفية على الأعداد الحقيقية كهندسة مرتبة جنبًا إلى جنب مع الشكل التآلفي لنظرية ديسارج وبديهية تنص على أنه في المستوى يوجد خط واحد على الأكثر عبر نقطة معينة لا يلتقي بخط معين.

تلبي المستويات الأفينية البديهيات التالية (كاميرون 1991، الفصل 2): (حيث يُطلق على الخطين متوازيين إذا كانا متساويين أو منفصلين):

• أي نقطتين متميزتين تقعان على خط واحد فريد.
• إذا أعطينا نقطة وخطًا، فسيكون هناك خط فريد يحتوي على النقطة وموازي للخط
• توجد ثلاث نقاط غير متوازية.

بالإضافة إلى المستويات الأفينية فوق الحقول (أو حلقات التقسيم )، هناك أيضًا العديد من المستويات غير الديسارجية التي تلبي هذه البديهيات. (كاميرون 1991، الفصل 3) يعطي بديهيات للمساحات الأفينية ذات الأبعاد الأعلى.

الهندسة التآلفية البديهية البحتة هي أكثر عمومية من المساحات التآلفية ويتم تناولها في مقال منفصل .

توجد المساحات الإسقاطية في الفراغات الإسقاطية . على سبيل المثال، يمكن الحصول على المستوى الإسقاطي من أي مستوى إسقاطي عن طريق إزالة خط واحد وجميع النقاط عليه، وعلى العكس من ذلك، يمكن استخدام أي مستوى إسقاطي لإنشاء مستوى إسقاطي كإغلاق عن طريق إضافة خط في اللانهاية تتوافق نقاطه مع فئات التكافؤ للخطوط المتوازية . تنطبق الإنشاءات المماثلة في الأبعاد الأعلى.

علاوة على ذلك، فإن تحويلات الفضاء الإسقاطي التي تحافظ على الفضاء التآلفي (على نحو مكافئ، التي تترك المستوى الفائق عند اللانهاية ثابتًا كمجموعة ) تنتج تحويلات للفضاء التآلفي. وعلى العكس من ذلك، فإن أي تحويل خطي تآلفي يمتد بشكل فريد إلى تحويل خطي إسقاطي ، وبالتالي فإن المجموعة التآلفية هي مجموعة فرعية من المجموعة الإسقاطية . على سبيل المثال، تكون تحويلات موبيوس (تحويلات الخط الإسقاطي المركب ، أو كرة ريمان ) تآلفية (تحويلات المستوى المركب ) إذا وفقط إذا كانت تثبت النقطة عند اللانهاية .

في الهندسة الجبرية ، يتم تعريف التنوع الأفيني (أو بشكل عام، المجموعة الجبرية الأفينية ) على أنها مجموعة فرعية من فضاء أفيني وهي مجموعة الأصفار المشتركة لمجموعة من ما يسمى بالدوال الحدودية على الفضاء الأفيني . لتحديد دالة حدودية على الفضاء الأفيني ، يجب على المرء اختيار إطار أفيني . بعد ذلك، تكون الدالة الحدودية دالة بحيث تكون صورة أي نقطة هي قيمة بعض الدوال الحدودية المتعددة المتغيرات لإحداثيات النقطة. نظرًا لأنه يمكن التعبير عن تغيير الإحداثيات الأفينية بواسطة دوال خطية (أو بالأحرى دوال أفينية) للإحداثيات، فإن هذا التعريف مستقل عن اختيار معين للإحداثيات.

يؤدي اختيار نظام إحداثيات أفينية لمساحة أفينية ذات بعد n على حقل k إلى إحداث تماثل أفيني بين ومساحة الإحداثيات الأفينية k ⁿ . وهذا يفسر لماذا، من أجل التبسيط، تكتب العديد من الكتب المدرسية ، وتقدم أصنافًا جبرية أفينية كأصفار مشتركة للوظائف متعددة الحدود على k ⁿ . ^[9]${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}=k^{n}}$

نظرًا لأن الفضاء الأفيني بأكمله هو مجموعة الأصفار المشتركة لمتعددة الحدود الصفرية ، فإن الفضاءات الأفينية هي أصناف جبرية أفينية.

وفقًا للتعريف أعلاه، يسمح اختيار إطار أفيني لمساحة أفينية بتحديد الدوال الحدودية على مع كثيرات حدود في n متغير، حيث يمثل المتغير i الدالة التي تربط نقطة بإحداثياتها i . ويترتب على ذلك أن مجموعة الدوال الحدودية على هي جبر k ، يُشار إليه بـ ، وهو متماثل لحلقة كثيرات الحدود . ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$${\displaystyle k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]}$ ${\displaystyle k\left[X_{1},\dots ,X_{n}\right]}$

عندما يتم تغيير الإحداثيات، يتغير التماثل بين و وفقًا لذلك، وهذا يؤدي إلى تماثل ذاتي لـ ، والذي يرسم كل غير محدد إلى كثير حدود من الدرجة الأولى. ويترتب على ذلك أن الدرجة الكلية تحدد ترشيحًا لـ ، وهو مستقل عن اختيار الإحداثيات. تحدد الدرجة الكلية أيضًا تدرجًا ، لكنه يعتمد على اختيار الإحداثيات، حيث أن تغيير الإحداثيات التآلفية قد يرسم غير محدد على كثيرات حدود غير متجانسة . ${\displaystyle k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]}$${\displaystyle k[X_{1},\dots ,X_{n}]}$${\displaystyle k\left[X_{1},\dots ,X_{n}\right]}$${\displaystyle k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]}$

المساحات الأفينية فوق الحقول الطوبولوجية ، مثل الأعداد الحقيقية أو المركبة، لها طوبولوجيا طبيعية . تسمح طوبولوجيا زاريسكي، التي تم تعريفها للمساحات الأفينية فوق أي حقل، باستخدام الأساليب الطوبولوجية في أي حالة. طوبولوجيا زاريسكي هي الطوبولوجيا الفريدة على مساحة أفينية تكون مجموعاتها المغلقة عبارة عن مجموعات جبرية أفينية (أي مجموعات الأصفار المشتركة للدوال متعددة الحدود فوق المجموعة الأفينية). نظرًا لأن الدوال متعددة الحدود متصلة فوق حقل طوبولوجي، فإن كل مجموعة مغلقة زاريسكي تكون مغلقة بالنسبة للطوبولوجيا المعتادة، إن وجدت. بعبارة أخرى، فوق حقل طوبولوجي، تكون طوبولوجيا زاريسكي أكثر خشونة من الطوبولوجيا الطبيعية.

توجد دالة حقن طبيعية من فضاء أفيني إلى مجموعة المثل العليا الأولية (أي الطيف ) لحلقة الدوال متعددة الحدود. عندما يتم اختيار إحداثيات أفيني، تقوم هذه الدالة بتعيين نقطة الإحداثيات إلى المثل الأعلى . هذه الدالة هي تماثل متماثل (لطوبولوجيا زاريسكي للفضاء الأفيني وطيف حلقة الدوال متعددة الحدود) للفضاء الأفيني على صورة الدالة. ${\displaystyle \left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)}$ ${\displaystyle \left\langle X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n}\right\rangle }$

تعتبر حالة الحقل الأرضي المغلق جبريًا مهمة بشكل خاص في الهندسة الجبرية، لأنه في هذه الحالة، فإن التماثل الموضح أعلاه هو خريطة بين الفضاء الأفيني ومجموعة جميع المثل العليا القصوى لحلقة الوظائف (هذا هو Nullstellensatz لهيلبرت ).

هذه هي الفكرة الأولية لنظرية المخططات التي وضعها جروثينديك ، والتي تتألف، لدراسة الأصناف الجبرية، من اعتبار نقاط الفضاء الأفيني، وكذلك جميع المثل العليا الأولية للطيف، بمثابة "نقاط". وهذا يسمح بلصق الأصناف الجبرية معًا بنفس الطريقة التي يتم بها لصق المخططات معًا لبناء متعدد الشعب.

مثل جميع الأصناف الأفينية، يمكن دائمًا تجميع البيانات المحلية على الفضاء الأفيني معًا عالميًا: التماثل في الفضاء الأفيني تافه. بتعبير أدق، لجميع الحزم المتماسكة F ، والأعداد الصحيحة . تتمتع جميع الأصناف الأفينية الأخرى بهذه الخاصية أيضًا . ولكن أيضًا جميع مجموعات التماثل الإتالي في الفضاء الأفيني تافهة. على وجه الخصوص، كل حزمة خطية تافهة. بشكل عام، تعني نظرية كويلن-سوسلين أن كل حزمة متجهات جبرية على فضاء أفيني تافهة. ${\displaystyle H^{i}\left(\mathbb {A} _{k}^{n},\mathbf {F} \right)=0}$ ${\displaystyle i>0}$

• الغلاف الأفيني  – أصغر فضاء فرعي أفيني يحتوي على مجموعة فرعية
• الفضاء الأفيني المركب  – الفضاء الأفيني على الأعداد المركبة
• التحليل البعدي § الهندسة: الموضع مقابل الإزاحة
• الفضاء الأفيني الغريب  – الفضاء الأفيني الحقيقي ذو البعد الزوجي الذي لا يتشابه مع الفضاء الأفيني المعقد
• الفضاء (الرياضيات)  - مجموعة رياضية مع بعض البنية المضافة
• نظام إحداثيات مركزية الثقل  – نظام إحداثيات يتم تحديده بالنقاط بدلاً من المتجهات

• بيرجر، مارسيل (1984)، "الفضاءات الأفينية"، مشاكل في الهندسة ، دار نشر سبرينغر، رقم ISBN 978-0-387-90971-4
• بيرجر، مارسيل (1987)، الهندسة 1 ، برلين: سبرينغر، ISBN 3-540-11658-3
• كاميرون، بيتر جيه. (1991)، الفضاءات الإسقاطية والقطبية، مذكرات الرياضيات QMW، المجلد 13، لندن: كلية كوين ماري وويستفيلد للعلوم الرياضية، MR  1153019
• كوكستر، هارولد سكوت ماكدونالد (1969)، مقدمة في الهندسة (الطبعة الثانية)، نيويورك: جون وايلي وأولاده ، رقم ISBN 978-0-471-50458-0السيد 0123930 ​
• دولجاتشيف، الرابع ؛ شيروكوف، أ. ب. (2001) [1994]، "الفضاء الأفيني"، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS
• هارتشورن، روبن (1977). الهندسة الجبرية . دار نشر سبرينغر . رقم ISBN 978-0-387-90244-9. زبل  0367.14001.
• نوميزو، ك .؛ ساساكي، س. (1994)، الهندسة التفاضلية الأفينية (طبعة جديدة)، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-44177-3
• Snapper, Ernst ؛ Troyer, Robert J. (1989)، الهندسة المترية الأفينية (طبعة دوفر، نُشرت لأول مرة في طبعة 1989)، منشورات دوفر، رقم ISBN 0-486-66108-3
• Reventós Tarrida، Agustí (2011)، “Affine spaces”، خرائط Affine، الحركات الإقليدية والكوادريكس، سبرينغر، ISBN 978-0-85729-709-9