الرياضيات البحتة

في سياق فلسفة الرياضيات ، تُستخدم الرياضيات البحتة بشكل غير رسمي لوصف دراسة المفاهيم الرياضية بمعزل عن أي تطبيقات خارج نطاق الرياضيات . قد تنشأ هذه المفاهيم من اهتمامات واقعية، وقد تُثبت النتائج المُستخلصة لاحقًا فائدتها في تطبيقات عملية، إلا أن البحث لا يُحفز في المقام الأول على هذه التطبيقات. بل يُعزى جاذبيتها إلى التحدي الفكري والجمال الجمالي الذي ينطوي عليه تعريف كائنات رياضية جديدة أو استنباط النتائج الرياضية للمبادئ الأساسية.

على الرغم من وجود التمييز بين الرياضيات البحتة والتطبيقية منذ اليونان القديمة على الأقل ، إلا أن هذا المفهوم تطور بشكل ملحوظ حوالي عام 1900، ^{[ 2 ]} بعد ظهور نظريات ذات خصائص غير بديهية (مثل الهندسات غير الإقليدية ونظرية كانتور للمجموعات اللانهائية)، واكتشاف مفارقات ظاهرة (مثل الدوال المتصلة غير القابلة للتفاضل في أي نقطة ، ومفارقة راسل ). وقد أدى ذلك إلى ضرورة تجديد مفهوم الدقة الرياضية وإعادة صياغة الرياضيات بأكملها وفقًا لذلك، مع استخدام منهجي للأساليب البديهية .

مع ذلك، ظلت معظم النظريات الرياضية مدفوعةً بمشكلاتٍ من العالم الواقعي أو بنظريات رياضية أقل تجريدًا. كما استُخدمت العديد من النظريات الرياضية، التي بدت في البداية رياضياتٍ بحتة، في مجالاتٍ تطبيقية، لا سيما الفيزياء وعلوم الحاسوب . ومن الأمثلة المبكرة الشهيرة برهان إسحاق نيوتن على أن قانونه للجاذبية الكونية يُشير إلى أن الكواكب تتحرك في مداراتٍ مخروطية الشكل ، وهي منحنيات هندسية درسها أبولونيوس في العصور القديمة . ومثال آخر هو مسألة تحليل الأعداد الصحيحة الكبيرة إلى عواملها الأولية ، والتي تُشكل أساس نظام التشفير RSA ، المستخدم على نطاق واسع لتأمين اتصالات الإنترنت . ^{[ 3 ]}

وبناءً على ذلك، فإن التمييز بين الرياضيات البحتة والتطبيقية في الوقت الحالي هو أقرب إلى وجهة نظر فلسفية أو تفضيل منه إلى تقسيم جامد للرياضيات. ^{[ 4 ]}

في مطلع القرن العشرين، تبنى علماء الرياضيات المنهج البديهي ، متأثرين بشدة بمثال ديفيد هيلبرت . وبدا الصياغة المنطقية للرياضيات البحتة التي اقترحها برتراند راسل من حيث بنية الكميات للقضايا أكثر منطقية، حيث أصبحت أجزاء كبيرة من الرياضيات بديهية وبالتالي خاضعة لمعايير البرهان الصارمة .

الرياضيات البحتة، وفقًا لرأي يُنسب إلى مجموعة بورباكي ، هي ما يتم إثباته. وقد أصبح "عالم الرياضيات البحتة" مهنة معترف بها، يمكن اكتسابها من خلال التدريب. ومع ذلك، فقد تم التأكيد على أن الرياضيات البحتة مفيدة في التعليم الهندسي : ^{[ 12 ]}

هناك تدريب على عادات التفكير، ووجهات النظر، والفهم الفكري لمشاكل الهندسة العادية، وهو ما لا يمكن أن توفره إلا دراسة الرياضيات العليا.

كان من أهم التطورات في بداية القرن العشرين صياغة الجبر المجرد والطوبولوجيا بشكل رسمي ؛ وقد تأثر هذان المجالان بشدة بفلسفة الرياضيات البحتة.

في بداية القرن الحادي والعشرين، اجتذب تطبيق الذكاء الاصطناعي على الرياضيات البحتة انتباه شخصيات بارزة مثل كين أونو ^{[ 22 ]} وفرانسوا شارتون . ^{[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]}

بالنظر إلى مجالات البحث الحديثة، مثل حدسية لانجلاندز التحليلية ^{[ 25 ]} ، يتضح أن التمييز بين الرياضيات البحتة والتطبيقية يتلاشى مجدداً. ومن الأمثلة الأخرى ظهور الفوضى في نظرية الأعداد ^{[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]} ، ويدعو مؤلفون مثل روبرت لانجلاندز إلى توحيد الرياضيات مع الفيزياء ^{[ 31 ] [ 32 ]} من خلال برنامج لانجلاندز .

لطالما تباينت آراء علماء الرياضيات حول التمييز بين الرياضيات البحتة والتطبيقية. ومن أشهر الأمثلة الحديثة (وربما التي أُسيء فهمها) على هذا النقاش مقال جي إتش هاردي "اعتذار عالم رياضيات" الذي نُشر عام 1940 .

يُعتقد على نطاق واسع أن هاردي كان يعتبر الرياضيات التطبيقية قبيحة ومملة. مع أن هاردي كان يفضل الرياضيات البحتة، التي كان يُشبهها غالبًا بالرسم والشعر ، إلا أنه رأى أن الفرق بين الرياضيات البحتة والتطبيقية يكمن ببساطة في أن الرياضيات التطبيقية تسعى إلى التعبير عن الحقائق الفيزيائية ضمن إطار رياضي، بينما تُعبّر الرياضيات البحتة عن حقائق مستقلة عن العالم المادي. وقد ميّز هاردي في الرياضيات بين ما أسماه الرياضيات "الحقيقية"، "التي لها قيمة جمالية دائمة"، و"الأجزاء المملة والأساسية من الرياضيات" ذات الاستخدام العملي. ^{[ 33 ]}

اعتبر هاردي بعض الفيزيائيين، مثل أينشتاين وديراك ، من بين علماء الرياضيات "الحقيقيين"، لكنه في الوقت الذي كان يكتب فيه كتابه "اعتذاره" ، كان يعتبر النسبية العامة وميكانيكا الكم "غير مجدية"، مما سمح له بالتمسك برأيه بأن الرياضيات "الرتيبة" فقط هي المفيدة. علاوة على ذلك، أقر هاردي بإيجاز بأنه - كما حدث بشكل غير متوقع مع تطبيق نظرية المصفوفات ونظرية الزمر على الفيزياء - قد يأتي وقت تصبح فيه بعض أنواع الرياضيات الجميلة "الحقيقية" مفيدة أيضًا.

يقدم عالم الرياضيات الأمريكي آندي ماجيد وجهة نظر ثاقبة أخرى :

لطالما اعتقدتُ أن نموذجًا جيدًا هنا يمكن استخلاصه من نظرية الحلقات. في هذا المجال، توجد فرعان: نظرية الحلقات التبادلية ونظرية الحلقات غير التبادلية . قد يظنّ المراقب غير المطلع أن هذين الفرعين يمثلان ثنائية، لكن في الواقع، يشمل الفرع غير التبادلي الفرع التبادلي: فالحلقة غير التبادلية هي حلقة ليست بالضرورة تبادلية. إذا استخدمنا اصطلاحات مماثلة، فيمكننا الإشارة إلى الرياضيات التطبيقية والرياضيات غير التطبيقية، حيث نعني بالأخيرة الرياضيات غير التطبيقية بالضرورة ... [تمت إضافة التأكيد] ^{[ 34 ]}

جادل فريدريك إنجلز في كتابه "ضد دوهرينغ" الصادر عام 1878 بأنه "ليس صحيحًا على الإطلاق أن العقل في الرياضيات البحتة يتعامل فقط مع إبداعاته وتخيلاته. لم تُخترع مفاهيم العدد والشكل من أي مصدر آخر غير عالم الواقع". ^{[ 35 ] : 36} وأضاف قائلًا: "قبل أن يتوصل المرء إلى فكرة استنتاج شكل الأسطوانة من دوران مستطيل حول أحد أضلاعها، كان لا بد من فحص عدد من المستطيلات والأسطوانات الحقيقية، مهما كانت غير كاملة الشكل. وكما هو الحال في جميع العلوم الأخرى، نشأت الرياضيات من احتياجات البشر... ولكن، كما هو الحال في كل مجال من مجالات الفكر، في مرحلة معينة من التطور، تنفصل القوانين، التي كانت مُستخلصة من العالم الحقيقي، عنه، وتُوضع في مقابله كشيء مستقل، كقوانين قادمة من الخارج، يتعين على العالم أن يتوافق معها". ^{[ 35 ] : 37}

بعد عام 2000، ^{[ 36 ]} طرح مؤلفون مثل سيدريك فيلاني فكرة أن الرياضيات البحتة والمجردة دون منهج بنائي ، ودون مراعاة العمليات المعرفية الأخرى، ^{[ 37 ]} قد تُلحق الضرر بالتعليم. ^{[ 38 ]} وبشكل أدق، أنه في سبيل إصلاح النظام المدرسي والمناهج الدراسية خلال الستينيات والسبعينيات، طُلب من كبار علماء الرياضيات تقديم المشورة حول كيفية تدريس الرياضيات، وبدا أن تأسيس النظام التعليمي على نظرية المجموعات هو الحل الأمثل. ^{[ 39 ]} وقد أدى ذلك إلى جيل من المعلمين غير المؤهلين، وجيل من المواد التعليمية الرديئة، وفي نهاية المطاف، إلى تعليم متدنٍ.

في الواقع، نحن لا نعرف كيف يتعلم الناس الرياضيات، وينبغي تشجيع اتباع نهج تجريبي لفهم كيفية تدريس الرياضيات.

ومن الأمثلة القليلة على ذلك الاستثمار في تعليم الرياضيات ^{[ 40 ]} ومن قبل مؤسسة سيمونز . ^{[ 41 ]}

يتضمن أي علم دقيق عادةً عمليتين معرفيتين: عملية استقرائية (أي من الأدلة التجريبية إلى التجريد) وعملية استنتاجية (أي من البديهيات إلى النظريات والبراهين ). وكلاهما أساسي في العملية التعليمية ، وبشكل أدق، تُعدّ العملية الاستنتاجية سمة مميزة للرياضيات البحتة ، بينما تُعدّ العملية الاستقرائية أساسية لتعليم الرياضيات والرياضيات التجريبية .

كما أدت جائحة كوفيد إلى ما يسمى بأزمة التعلم العالمية ^{[ 42 ]} مع آثار سلبية على جميع التعليم العلمي .

بحلول عام 2026، باتت برامج التعلم القائمة على القانون والمتاحة تجاريًا قادرة على إعادة إنتاج العديد من البراهين للنظريات الكلاسيكية، بينما حققت برامج أخرى درجات عالية جدًا في أولمبياد الرياضيات ^{[ 43 ]،} ما يعكس مستوى الرياضيات في المرحلة الثانوية. هذه التقنية، حتى وإن لم تكن قادرة على ابتكار الجديد، لديها القدرة على إحداث نقلة نوعية في التعليم، لكن هذا ليس هو الحال حاليًا.

بحلول عام 2026، قد يصبح من الممكن في بعض الحالات إنشاء قواعد بيانات ضخمة للمعرفة الرياضية تلقائيًا ^{[ 44 ]} (أي أتمتة جوانب من العملية التجريبية)، واكتشاف الأنماط تلقائيًا عبر مجموعات بيانات كبيرة باستخدام الذكاء الاصطناعي لاستخلاص التخمينات الرياضية (أي أتمتة جوانب من العملية الاستقرائية ) ^{[ 45 ]} . بعد ذلك، يمكن التحقق من البراهين المفترضة التي يولدها الذكاء الاصطناعي عبر أدوات مساعدة البرهان مثل Lean ، وقواعد بيانات داعمة ضخمة للنظريات ^{[ 46 ]} (أتمتة العملية الاستنتاجية ). يعتقد بعض علماء الرياضيات أن هذه المناهج قد تصبح سائدة في القرن الحادي والعشرين ^{[ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] .}

• الرياضيات التطبيقية
• منطق
• ميتالوجيك
• الرياضيات الفوقية

• لينيبو، أويستين (2024)، "الأفلاطونية في فلسفة الرياضيات" ، في زالتا، إدوارد ن.؛ نودلمان، أوري (محرران)، موسوعة ستانفورد للفلسفة (طبعة صيف 2024  )، مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد ، تاريخ الاسترجاع 2026-06-02

• ما هي الرياضيات البحتة؟ – قسم الرياضيات البحتة، جامعة واترلو
• مبادئ الرياضيات لبرتراند راسل