مشكلة ابن الهيثم

بحلول زمن بابوس الإسكندري ، في القرن الرابع الميلادي، صنّف علماء الرياضيات اليونانيون الحلول الهندسية إلى ثلاثة أنواع: الإنشاءات باستخدام المسطرة والفرجار ، والإنشاءات باستخدام القطوع المخروطية ، والإنشاءات باستخدام المسطرة المدرجة، مفضلين النوع الأول على النوع الثاني. ^{[ 14 ]} حل ابن الهيثم من النوع الثاني، إذ استخدم القطع الزائد ، ومن خلاله طور إنشاءً هندسيًا باستخدام المسطرة المدرجة. ^{[ 15 ] [ 16 ]} في دراسته للمسألة عام 1881، وصف ماركوس بيكر حل ابن الهيثم بأنه "مطول ومعقد للغاية"، ونقل عن إسحاق بارو رأيًا مشابهًا. ^{[ 17 ]} في وقت لاحق من القرن الحادي عشر، قام يوسف المؤتمن بن هود ، ملك طائفة سرقسطة في إسبانيا، بتبسيط معضلات الهيثم إلى حد ما، لكنه لم يُحرز تقدمًا ملحوظًا في حل المسألة. ^{[ 18 ]} عُرف عمل الهيثم في بقية أوروبا من خلال ترجمات لاتينية مخطوطة في القرنين الثاني عشر أو الثالث عشر، ونُشرت ترجمة له في بازل عام 1572. ^{[ 15 ]} استخدمت الحلول الهندسية اللاحقة التي قدمها كريستيان هويغنز ، ورينيه فرانسوا دي سلوز ، وغيوم دي لوبيتال نفس فكرة القطع المخروطي المساعد : القطع الزائد لهيغنز، والقطع المكافئ لسلوز، ^{[ 17 ] [ 19 ] [ 20 ]} وكلا الطريقتين للوبيتال. يستشهد بيكر بحل هيغنز باعتباره "الحل الأكثر أناقة الذي حظيت به هذه المشكلة على الإطلاق". ^{[ 17 ]}

في حل الهيثم، يُستخدم القطع الزائد ضمن بناء زاوية الانعكاس، وبعد ذلك يسهل إيجاد نقطة الانعكاس. يُقسّم الهيثم المسألة إلى حالات، وفقًا لعدد الصور المنعكسة (صورة واحدة للمرآة المحدبة، وتصل إلى أربع صور للمرآة المقعرة)، ويحل كل حالة على حدة. ^{[ 15 ] [ 16 ]} في المقابل، يجد هيغنز قطعًا زائدًا يحل المسألة مباشرةً في جميع الحالات: نقاط الانعكاس هي نقاط تقاطع هذا القطع الزائد مع الدائرة المعطاة. يمكن توصيف هذا القطع الزائد بطرق عديدة؛ إحداها تتضمن الهندسة العكسية . ^{[ 21 ]} المحل الهندسي للنقاط${\displaystyle L}$عند النقطة التي يتقاطع فيها الخطان المؤديان إلى النقطتين المعطيتين بزوايا متساوية، تكون الدائرة متحدة المركز مع الدائرة المعطاة، وهي منحنى مكعب يحتوي على كلتا النقطتين المعطيتين. معكوس${\displaystyle L}$يمثل الشكل ^{[ أ ]} قطعًا زائدًا قائمًا يمر عبر الدائرة المعطاة، ويمر بنقطتين معكوستين للنقطتين المعطيتين، ومركزه منتصف المسافة بين هاتين النقطتين. خطوطه التقاربية موازية وعمودية على منصف الزاوية المحصورة بين النقطتين المعطيتين (أو معكوسيهما) في مركز الدائرة. تشمل نقاط تقاطع هذا القطع الزائد مع الدائرة المعطاة نقطة أو نقاط الحل المطلوبة. ^{[ 21 ] [ 22 ]}

يمكن تحديد عدد الحلول، بالنسبة للنقاط داخل الدائرة، هندسيًا أيضًا. بشكل عام، تحتوي أزواج النقاط المعطاة المتقاربة داخل الدائرة، والقريبة من مركزها، على نقطتي انعكاس؛ بينما تحتوي أزواج النقاط المتباعدة والبعيدة عن المركز على أربع انعكاسات. إذا تم تثبيت إحدى النقاط، فإن مواقع النقطة الأخرى التي تُنتج انعكاسين تفصلها عن المواقع التي تُنتج أربعة انعكاسات الكاوستيك الناتج عن انعكاسات مصدر الضوء عند النقطة الثابتة. على الكاوستيك نفسه، بعيدًا عن رؤوسه، توجد ثلاث انعكاسات. أما عند الرؤوس، فلا يوجد سوى انعكاسين. ^{[ 2 ]}

أُثبت استحالة حل المسألة باستخدام المسطرة والفرجار أخيرًا عام 1965، باستخدام الأساليب الجبرية، على يد جاك إم.  إلكين (خبير اكتواري ). ^{[ 23 ] [ 10 ]} وأُعيد اكتشاف برهان مماثل للاستحالة عام 1997 على يد عالم الرياضيات بجامعة أكسفورد، بيتر إم. نيومان . ^{[ 1 ] [ 24 ]} ويمكن أيضًا تنفيذ بناء النيوسيس باستخدام طيات الأوريغامي باتباع بديهيات هوزيتا-هاتوري ، ^{[ 25 ] [ 26 ]} وقد جادل روجر سي. ألبيرين، من خلال الأساليب الجبرية، بأنه يمكن حل المسألة باستخدام المسطرة والفرجار ومنصف الزوايا ، ولكن دون تقديم بناء صريح. ^{[ 27 ]}

بحسب روبرتو ماركولونغو ، قدّم ليوناردو دافنشي حلاً ميكانيكياً بعد عجزه عن إيجاد حل رياضي. يتخذ الحل، كما أعاد ماركولونغو صياغته، شكل وصلة ميكانيكية ، عند تثبيت طرفها في مركز الدائرة والسماح للنقطتين المعطيتين بالانزلاق على طول ذراعيها، تحافظ دائماً على زوايا متساوية مع هاتين النقطتين عند نقطة ارتكاز الذراعين. بالتالي، إذا تم تحريك الآلية لوضع نقطة الارتكاز هذه على الدائرة المعطاة، فسيتم الحصول على الحل عند هذه النقطة. ^{[ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ]}

حاول علماء رياضيات لاحقون، مثل جيمس غريغوري وغيره الكثير، إيجاد حل جبري للمسألة، باستخدام طرق متنوعة، بما في ذلك الطرق التحليلية للهندسة والاشتقاق باستخدام الأعداد المركبة . ^{[ 10 ] [ 32 ] [ 17 ]} وأخيرًا، تم التوصل إلى حل جبري للمسألة عام 1965 على يد إلكين، باستخدام متعددة حدود من الدرجة الرابعة . ^{[ 23 ]} وأُعيد اكتشاف حلول أخرى لاحقًا: في عام 1989، على يد هارالد ريدي؛ ^{[ 33 ]} وفي عام 1990 (قُدِّم عام 1988)، على يد ميلر وفيغ؛ ^{[ 34 ]} وفي عام 1992، على يد جون د.  سميث ^{[ 10 ]} وكذلك على يد يورغ فالدفوغل. ^{[ 22 ]}

يبسط فالدفوغل الجبر من خلال صياغة المسألة لدائرة الوحدة ونقطتين معطيتين${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$في المستوى المركب . وبمساعدة القطع الزائد لهويجنز، يستنتج فالدفوغل معادلة من الدرجة الرابعة لنقطة الانعكاس.${\displaystyle \zeta }$،$${\displaystyle {\overline {ab}}\zeta ^{4}-({\overline {a}}+{\overline {b}})\zeta ^{3}+(a+b)\zeta -ab=0,}$$أين${\displaystyle {\overline {a}}}$و${\displaystyle {\overline {b}}}$هي المركبات المترافقة المعقدة لـ${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$[ ^{22 ]} قد لا تقع بعض جذور هذه المعادلة على دائرة الوحدة، أو قد لا تُعطي مسار انعكاس صحيحًا، ولكن يمكن إيجاد جميع الحلول الصحيحة بين هذه الجذور. الجذر الواقع على دائرة الوحدة والذي ^يُقلل المسافة الكلية إلى النقاط المُعطاة،${\displaystyle |a-\zeta |+|\zeta -b|}$يُعدّ هذا حلاً صحيحاً دائماً. ^{[ 32 ]} وبإجراء بعض التعديلات الإضافية، يمكن إعادة صياغة هذه المعادلة كمعادلة تتضمن أعداداً حقيقية بدلاً من الأعداد المركبة. ^{[ 22 ]} بدلاً من ذلك، يصوغ إلكين المسألة بدلالة مربعات المسافات الإقليدية بين النقاط المعطاة ومركز دائرة الوحدة المعطاة، ويجد معادلة من الدرجة الرابعة "غير أنيقة وغير متناظرة" لمربع المسافة من نقطة معطاة إلى نقطة الانعكاس، مع استخدام تراكيب من مربعات المسافات الأخرى كمعاملات لها. ^{[ 23 ]}

يُتيح الحل الجبري لهذه المسألة استخدام نظرية غالوا لإثبات أنه، بالنسبة لبعض المدخلات سهلة الإنشاء، فإن إحداثيات نقطة الحل ليست أعدادًا قابلة للإنشاء ، وبالتالي فإن المسألة ليس لها حل باستخدام المسطرة والفرجار. ^{[ 7 ] [ 23 ] [ 35 ]} يدرس إلكين نقطتين معطيتين بمسافات مربعة.${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$و${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$من مركز دائرة الوحدة و${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$يفصل بينهما، ويستخدم مكعب الحل الجبري لإثبات أنه غير قابل للإنشاء. ^{[ 23 ]} بدلاً من ذلك، يوضح كاريغا وحداد (2016) أن النقطتين المعطيتين${\displaystyle (-{\tfrac {1}{10}},-{\tfrac {1}{10}})}$و${\displaystyle ({\tfrac {1}{6}},-{\tfrac {1}{6}})}$لها نقاط انعكاس على دائرة الوحدة، إحداثياتها مستمدة من جذور متعددة الحدود${\displaystyle x^{4}-x-1}$، والتي تحتوي على المجموعة المتناظرة على أربعة عناصر كمجموعة غالوا . ويترتب على ذلك أنه لا يمكن إنشاء نقطة الانعكاس باستخدام المسطرة والفرجار. يعمم كاريغا وحداد هذا المثال إلى أزواج من النقاط النسبية التي تعطي نقاط انعكاسها جذور أي متعددة حدود ستيوارت${\displaystyle x^{4}-rx-1}$وأظهر أن هذا يؤدي إلى نقاط غير قابلة للإنشاء كلما${\displaystyle r}$هو عدد أولي . ^{[ 35 ]}

استخدم إسحاق بارو ، في سلسلة من المحاضرات عام 1669، معادلة مثلثية في الإحداثيات القطبية لوصف المنحنى التكعيبي${\displaystyle L}$معكوس القطع الزائد لهويجنز. له نفس خاصية القطع الزائد: يتقاطع مع الدائرة المعطاة عند نقطة الانعكاس أو النقاط التي تحل المسألة. ^{[ 10 ]}

استنتج غاندر وغرونتز (1992) معادلة معقدة تتضمن جذورًا تربيعية لكثيرات حدود الدوال المثلثية لحساب الزاوية حول دائرة نقطة الانعكاس. واقترحا استخدام طريقة نيوتن لحل هذه المعادلة عدديًا، إلا أن ذلك يتطلب اشتقاق أحد طرفي المعادلة، وكتبا أن إيجاد هذا الاشتقاق صراحةً "ليس الحل الأمثل". وبدلًا من ذلك، استخدما التفاضل التلقائي في هذا الجزء . ^{[ 36 ]}

عندما تكون المدخلات التي يكون فيها الخط الواصل بين نقطة معينة ونقطة الانعكاس عموديًا على الخط الواصل بين النقطة المعطاة الأخرى ومركز الدائرة، فإن قطع هيغنز الزائدي يتحول إلى خطين مستقيمين. قد يؤدي هذا التحول إلى عدم استقرار بعض الحلول العددية لمسألة الهيثم بالقرب من هذه المدخلات. ^{[ 37 ]} كما قد تنشأ أشكال أخرى من عدم الاستقرار عندما يكون نصف قطر الدائرة أصغر بكثير من المسافة بينها وبين النقطتين المعطيتين. لتجنب هذه المشكلات، أعاد ميلر وبارنز وماكنزي (2021) صياغة المسألة كمعادلة مثلثية لها، بشكل عام، 16 حلاً، ولكن من الممكن تحديد الحل المطلوب مسبقًا. يؤدي هذا إلى حل عددي تكراري سريع وفعال، وقد طبقوه في علم الكواكب لنمذجة انعكاس الضوء عن بحيرات تيتان . ^{[ 38 ]}

كما يمكن إيجاد حل عددي تكراري بالاعتماد إما على قانون الانعكاس أو مبدأ فيرما . ^{[ 39 ]}