نموذج بور

في الفيزياء الذرية ، يُعدّ نموذج بور ، أو نموذج رذرفورد-بور، نموذجًا قديمًا للذرة، وقد استُخدمت فيه بعض المفاهيم الكمومية المبكرة. طُوّر هذا النموذج بين عامي 1911 و1918 على يد نيلز بور ، استنادًا إلى اكتشاف إرنست رذرفورد لنواة الذرة ، ليحلّ محلّ نموذج "بودنغ البرقوق" لج . ج. طومسون، قبل أن يُستبدل بنموذج الذرة الكمومي في عشرينيات القرن العشرين. يتكوّن هذا النموذج من نواة ذرية صغيرة وكثيفة محاطة بإلكترونات تدور حولها . وهو يُشابه بنية النظام الشمسي ، لكنّ التجاذب فيه ناتج عن قوة كهروستاتيكية بدلًا من الجاذبية الأرضية ، كما أنّ طاقات الإلكترونات فيه مُكمّمة (بافتراض قيم منفصلة فقط).

في تاريخ الفيزياء الذرية، جاء هذا النموذج ليحل محل عدة نماذج سابقة، بما في ذلك نموذج جوزيف لارمور للنظام الشمسي (1897)، ونموذج جان بيرين (1901)، ^{[ 2 ]} والنموذج المكعب (1902)، ونموذج هانتارو ناغاوكا لزحل (1904)، ونموذج حلوى البرقوق (1904)، ونموذج آرثر هاس الكمي (1910)، ونموذج رذرفورد ( 1911)، ونموذج جون ويليام نيكلسون الكمي النووي (1912). وتركز التحسين الذي طرأ على نموذج رذرفورد لعام 1911 بشكل أساسي على التفسير الكمي الجديد الذي قدمه هاس ونيكلسون، مع التخلي عن أي محاولة لتفسير الإشعاع وفقًا للفيزياء الكلاسيكية .

يكمن سر نجاح هذا النموذج في تفسيره لصيغة ريدبيرغ لخطوط الانبعاث الطيفي للهيدروجين . ورغم أن صيغة ريدبيرغ كانت معروفة تجريبياً، إلا أنها لم تكتسب أساساً نظرياً إلا بعد ظهور نموذج بور. لم يقتصر دور نموذج بور على تفسير أسباب بنية صيغة ريدبيرغ فحسب، بل قدم أيضاً تبريراً للثوابت الفيزيائية الأساسية التي تشكل نتائج الصيغة التجريبية.

يُعدّ نموذج بور نموذجًا بدائيًا نسبيًا لذرة الهيدروجين، مقارنةً بنموذج غلاف التكافؤ . وكنظرية، يُمكن اشتقاقه كتقريب من الدرجة الأولى لذرة الهيدروجين باستخدام ميكانيكا الكم الأوسع نطاقًا والأكثر دقة، وبالتالي يُمكن اعتباره نظرية علمية قديمة . مع ذلك، ونظرًا لبساطته، ونتائجه الصحيحة لأنظمة مُحددة (انظر أدناه للتطبيق)، لا يزال نموذج بور يُدرّس بشكل شائع لتعريف الطلاب بميكانيكا الكم أو مخططات مستويات الطاقة قبل الانتقال إلى نموذج غلاف التكافؤ الأكثر دقة، ولكنه أكثر تعقيدًا. اقترح آرثر إريك هاس نموذجًا كميًا مشابهًا في عام 1910، لكنه رُفض حتى مؤتمر سولفاي عام 1911 حيث نُوقش باستفاضة. ^{[ 3 ]} غالبًا ما يُشار إلى نظرية الكم في الفترة ما بين اكتشاف بلانك للكم (1900) وظهور ميكانيكا الكم الناضجة (1925) باسم نظرية الكم القديمة .

حتى العقد الثاني من القرن العشرين، كانت النماذج الذرية في الغالب مجرد تكهنات. حتى مفهوم الذرات، ناهيك عن الذرات ذات البنية الداخلية، واجه معارضة من بعض العلماء. ^{[ 5 ] : 2}

بعد ذلك، أخبر هانز هانسن صديقه بور أن متسلسلة بالمر تُحسب باستخدام صيغة بالمر، وهي معادلة تجريبية اكتشفها يوهان بالمر عام 1885، تصف أطوال موجات بعض الخطوط الطيفية للهيدروجين. ^{[ 18 ] [ 22 ]} وقد عمم يوهانس ريدبيرغ هذه الصيغة عام 1888، مما أدى إلى ما يُعرف الآن بصيغة ريدبيرغ. بعد ذلك، أعلن بور: "أصبح كل شيء واضحًا". ^{[ 22 ]}

في عام 1913، طرح نيلز بور خمسة افتراضات أو مسلمات لتوفير نموذج إلكتروني متسق مع نموذج رذرفورد النووي: ^{[ 23 ]}

1. لا تستطيع الذرة امتصاص الطاقة المستمرة أو إشعاعها، خلافًا لما تقترحه الكهرومغناطيسية الكلاسيكية . ولذلك، يحافظ الإلكترون على مدارات مستقرة، أي مدارات ثابتة، ولا يمكنه أن يتخذ أي مدار آخر بين هذه المدارات المنفصلة.
2. تخضع الإلكترونات في غير ذلك للقوانين الميكانيكية العادية في المدارات الثابتة.
3. امتصاص أو انبعاث الإشعاع الكهرومغناطيسي بتردد معين${\displaystyle \nu }$يرتبط بالطاقة وفقًا لعلاقة بلانك :${\displaystyle E=h\nu }$، أين${\displaystyle h}$هو ثابت بلانك.
4. يتم الحصول على المدارات الثابتة من خلال الشرط الذي ينص على أن نسبة الطاقة الكلية المنبعثة في تكوين الحالة إلى تردد دوران الإلكترون حول النواة الموجبة هي مضاعف صحيح لـ${\displaystyle h/2}$.
5. في الحالة الذرية التي تتوافق مع أقصى طاقة منبعثة، يتم الوصول إلى المدارات الثابتة عند مسافات يكون فيها الزخم الزاوي للإلكترون الدوار مساوياً لثابت بلانك المختزل.${\displaystyle h/2\pi }$.

تُصاغ الفرضيتان الأوليان الملاحظات التجريبية التي تُشير إلى أن امتصاص وانبعاث الإشعاع من الهيدروجين لا يخضعان للقواعد المعروفة آنذاك. أما الفرضية الثالثة، فتعيد صياغة نظرية بلانك الكمية للإشعاع، والتي كانت مقبولة على نطاق واسع بحلول عام ١٩١٣. وتُدمج الفرضيتان الرابعة والخامسة في المناقشات الحديثة. ^{[ ٢٣ ]} في الصيغة المدمجة، تُعطى المدارات الثابتة بالعلاقة التالية: ${\displaystyle m_{\mathrm {e} }vr=n\hbar }$، أين${\displaystyle n=1,2,3,...}$يُطلق عليه اسم العدد الكمي الرئيسي ، و${\displaystyle \hbar =h/2\pi }$أقل قيمة لـ${\displaystyle n}$تبلغ قيمة 1؛ وهذا يعطي أصغر نصف قطر مداري ممكن، يُعرف بنصف قطر بور ، ويبلغ 0.0529  نانومتر للهيدروجين. بمجرد أن يكون الإلكترون في هذا المدار الأدنى، لا يمكنه الاقتراب أكثر من النواة.

شرط بور، وهو أن يكون الزخم الزاوي مضاعفًا صحيحًا لـ${\displaystyle \hbar ,}$أُعيد تفسيرها لاحقًا في عام 1924 من قبل دي برولي على أنها حالة موجة مستقرة . ^{[ 23 ]} في هذا النموذج، يُوصف الإلكترون بموجة، ويجب أن يتناسب عدد صحيح من الأطوال الموجية على محيط مدار الإلكترون:

${\displaystyle n\lambda =2\pi r.}$

وفقًا لفرضية دي برولي، تتصرف جسيمات المادة، مثل الإلكترون، كموجات . طول موجة دي برولي للإلكترون هو

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{mv}},}$

مما يعني أن

${\displaystyle {\frac {nh}{mv}}=2\pi r,}$

أو

${\displaystyle {\frac {nh}{2\pi }}=mvr,}$

أين${\displaystyle mvr}$يمثل الزخم الزاوي للإلكترون الدائر. كتابة${\displaystyle \ell }$بالنسبة لهذا الزخم الزاوي، تصبح المعادلة السابقة

${\displaystyle \ell ={\frac {nh}{2\pi }},}$

وهو الشكل المدمج للفرضيتين الرابعة والخامسة لبور. ^{[ 23 ]}

في عام 1932، تم تبرير هاتين الفرضيتين بشكل أكبر عندما أثبت سي في رامان وسوري بهاجافانتام تجريبياً أن الفوتون يحمل زخمًا زاويًا قدره${\displaystyle \hbar }$[ ^{24 ] [ 25 ] افترض بور ​​أن الإلكترونات يمكنها الانتقال بين مدارات ثابتة، وخلال هذه الانتقالات} يتم امتصاص فوتون أو انبعاثه من النظام. وبقياس الزخم الزاوي للفوتون، يتنبأ قانون حفظ الزخم الزاوي بأن الزخم الزاوي للإلكترون في مدار ثابت يجب أن يساوي مضاعفًا صحيحًا لـ${\displaystyle \hbar }$[ ^{23 ]​}

انطلاقًا من قاعدة الكمّ للزخم الزاوي، كما أقرّ بور بأنها سبق أن طرحها نيكلسون في بحثه عام 1912، ^{[ 18 ] [ 19 ] [ 21 ] [ 20 ]} تمكّن بور ^{[ 11 ]} من حساب طاقات المدارات المسموحة لذرة الهيدروجين وذرات وأيونات أخرى شبيهة بالهيدروجين . ترتبط هذه المدارات بطاقات محددة، وتُسمى أيضًا أغلفة الطاقة أو مستويات الطاقة . في هذه المدارات، لا ينتج عن تسارع الإلكترون إشعاع أو فقدان للطاقة.

تم اقتراح العديد من التحسينات على نموذج بور، أبرزها نموذج سومرفيلد أو بور-سومرفيلد ، الذي اقترح أن الإلكترونات تتحرك في مدارات إهليلجية حول النواة بدلاً من المدارات الدائرية في نموذج بور. ^{[ 1 ]} وقد أضاف هذا النموذج شرطًا إضافيًا للكمية الشعاعية، وهو شرط ويلسون - سومرفيلد، إلى شرط الزخم الزاوي الكمي في نموذج بور. ^{[ 26 ] [ 27 ]}

${\displaystyle \int _{0}^{T}p_{\text{r}}\,dq_{\text{r}}=nh,}$

حيث يمثل p_{_r} الزخم الشعاعي المرافق بشكل قانوني للإحداثي q _{_r} ، وهو الموضع الشعاعي، و T دورة مدارية كاملة. التكامل هو فعل إحداثيات زاوية الفعل . هذا الشرط، الذي يقترحه مبدأ التوافق ، هو الشرط الوحيد الممكن، لأن الأعداد الكمومية ثوابت ثابتة حراريًا .

كان نموذج بور-سومرفيلد غير متسق جوهريًا وأدى إلى العديد من المفارقات. يقيس العدد الكمي المغناطيسي ميل مستوى المدار بالنسبة إلى المستوى xy  ، ولا يمكنه أن يأخذ إلا عددًا محدودًا من القيم المنفصلة. يتناقض هذا مع الحقيقة البديهية المتمثلة في أن الذرة يمكن أن تتخذ أي اتجاه بالنسبة للإحداثيات، دون قيود. يمكن إجراء تكميم سومرفيلد في إحداثيات قانونية مختلفة ، وأحيانًا يعطي نتائج مختلفة. كان دمج تصحيحات الإشعاع صعبًا، لأنه يتطلب إيجاد إحداثيات الفعل والزاوية لنظام إشعاع/ذرة مُدمج، وهو أمر صعب عندما يُسمح للإشعاع بالهروب. لم تمتد النظرية بأكملها إلى الحركات غير القابلة للتكامل، مما يعني أنه لا يمكن معالجة العديد من الأنظمة حتى من حيث المبدأ. في النهاية، تم استبدال النموذج بالمعالجة الميكانيكية الكمية الحديثة لذرة الهيدروجين، والتي قدمها فولفغانغ باولي لأول مرة عام 1925، باستخدام ميكانيكا المصفوفات لهايزنبرغ . تعتمد الصورة الحالية لذرة الهيدروجين على المدارات الذرية لميكانيكا الموجة ، التي طورها إرفين شرودنغر في عام 1926.

مع ذلك، لا يعني هذا أن نموذج بور-سومرفيلد كان خاليًا من النجاحات. فقد استطاعت الحسابات المستندة إليه تفسير عدد من التأثيرات الطيفية الذرية الأكثر تعقيدًا بدقة. على سبيل المثال، حتى الرتبة الأولى من الاضطرابات ، يتطابق نموذج بور وميكانيكا الكم في التنبؤ بانقسام خط الطيف في تأثير ستارك . أما عند الرتب الأعلى من الاضطرابات، فيختلف النموذجان، وقد ساعدت قياسات تأثير ستارك تحت شدة مجال عالية في تأكيد صحة ميكانيكا الكم على حساب نموذج بور. وتكمن النظرية السائدة وراء هذا الاختلاف في أشكال مدارات الإلكترونات، التي تتغير تبعًا لحالة طاقة الإلكترون.

تُثير شروط التكميم لبور-سومرفيلد تساؤلات في الرياضيات الحديثة. يتطلب شرط التكميم شبه الكلاسيكي المتسق نوعًا معينًا من البنية على فضاء الطور، مما يفرض قيودًا طوبولوجية على أنواع المشعبات التبسيطية التي يمكن تكميمها. على وجه الخصوص، يجب أن يكون الشكل التبسيطي هو شكل انحناء اتصال حزمة خطية هيرميتية ، وهو ما يُسمى بالتكميم المسبق .

قام بور أيضًا بتحديث نموذجه في عام 1922، بافتراض أن أعدادًا معينة من الإلكترونات (على سبيل المثال، 2 و8 و18) تتوافق مع " أغلفة مغلقة " مستقرة. ^{[ 28 ]}

في عام ١٩٢٥، طُرح نوع جديد من الميكانيكا، وهو ميكانيكا الكم، حيث تم توسيع نموذج بور للإلكترونات التي تتحرك في مدارات كمية ليصبح نموذجًا أكثر دقة لحركة الإلكترونات. وقد اقترح فيرنر هايزنبرغ الإطار النظري الجديد في ورقة بحثية بعنوان "Umdeutung" ، والتي تم توسيعها لاحقًا إلى ميكانيكا المصفوفات مع ماكس بورن وباسكوال جوردان . واكتشف الفيزيائي النمساوي إرفين شرودنغر، بشكل مستقل، وبمنطق مختلف، شكلاً آخر من النظرية نفسها، وهو ميكانيكا الموجة. استخدم شرودنغر موجات المادة لدي برولي، لكنه سعى إلى إيجاد حلول موجية لمعادلة موجية ثلاثية الأبعاد تصف الإلكترونات المقيدة بالحركة حول نواة ذرة شبيهة بالهيدروجين ، نتيجةً لحصرها بفعل جهد الشحنة النووية الموجبة.

لا يُعطي نموذج بور نتائج دقيقة تقريبًا إلا لنظام يدور فيه نقطتان مشحونتان حول بعضهما البعض بسرعات أقل بكثير من سرعة الضوء. ولا يقتصر هذا على الأنظمة أحادية الإلكترون مثل ذرة الهيدروجين ، والهيليوم أحادي التأين ، والليثيوم ثنائي التأين ، بل يشمل أيضًا البوزيترونيوم وحالات ريدبيرغ لأي ذرة يكون فيها إلكترون واحد بعيدًا عن باقي الإلكترونات. ويمكن استخدامه لحسابات انتقالات الأشعة السينية لخط K إذا أُضيفت افتراضات أخرى (انظر قانون موزلي أدناه). وفي فيزياء الطاقة العالية، يُمكن استخدامه لحساب كتل ميزونات الكواركات الثقيلة .

يتطلب حساب المدارات افتراضين.

• الميكانيكا الكلاسيكية

  يُحفظ الإلكترون في مدار دائري بفعل التجاذب الكهروستاتيكي. وتساوي قوة الجذب المركزي قوة كولوم .

  ${\displaystyle {\frac {m_{\mathrm {e} }v^{2}}{r}}={\frac {Zk_{\mathrm {e} }e^{2}}{r^{2}}},}$

  حيث m _{_e} هي كتلة الإلكترون، وe هي الشحنة الأولية ، و _ke هو ثابت كولوم ، و Z هو العدد الذري للذرة . يُفترض هنا أن كتلة النواة أكبر بكثير من كتلة الإلكترون (وهو افتراض صحيح). تحدد هذه المعادلة سرعة الإلكترون عند أي نصف قطر.

  ${\displaystyle v={\sqrt {\frac {Zk_{\mathrm {e} }e^{2}}{m_{\mathrm {e} }r}}}.}$

  كما أنه يحدد الطاقة الكلية للإلكترون عند أي نصف قطر:

  ${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}m_{\mathrm {e} }v^{2}.}$

  الطاقة الكلية سالبة وتتناسب عكسيًا مع نصف القطر r . هذا يعني أن سحب الإلكترون الدائر بعيدًا عن البروتون يتطلب طاقة. عند قيم r اللانهائية ، تكون الطاقة صفرًا، ما يُشير إلى إلكترون ساكن على بُعد لانهائي من البروتون. الطاقة الكلية تساوي نصف طاقة الوضع ، والفرق بينهما هو الطاقة الحركية للإلكترون. وينطبق هذا أيضًا على المدارات غير الدائرية وفقًا لنظرية فيريال .

• قاعدة الكم

  الزخم الزاوي L = m _e vr هو مضاعف صحيح لـ ħ :

  ${\displaystyle m_{\mathrm {e} }vr=n\hbar .}$

الاشتقاق

في الميكانيكا الكلاسيكية، إذا كان الإلكترون يدور حول ذرة بفترة T، وإذا كان اقترانه بالمجال الكهرومغناطيسي ضعيفًا، بحيث لا يتلاشى المدار كثيرًا في دورة واحدة، فإنه سيصدر إشعاعًا كهرومغناطيسيًا بنمط يتكرر في كل فترة، بحيث يكون لتحويل فورييه للنمط ترددات من مضاعفات 1/T فقط.

مع ذلك، في ميكانيكا الكم، يؤدي تكميم الزخم الزاوي إلى مستويات طاقة منفصلة للمدارات، وتُكمّم الترددات المنبعثة وفقًا لفروق الطاقة بين هذه المستويات. تُحدث هذه الطبيعة المنفصلة لمستويات الطاقة انحرافًا جوهريًا عن قانون الإشعاع الكلاسيكي، مما يُنتج خطوطًا طيفية مميزة في الإشعاع المنبعث.

يفترض بور ​​أن الإلكترون يدور حول النواة في مدار بيضاوي الشكل يخضع لقواعد الميكانيكا الكلاسيكية، ولكن دون فقدان للإشعاع بسبب صيغة لارمور .

باعتبار الطاقة الكلية E ، وشحنة الإلكترون −e ، وشحنة النواة K = Ze ، وكتلة الإلكترون m _e ، ونصف المحور الأكبر للقطع الناقص a ، يبدأ بهذه المعادلات: ^{[ 11 ] : 3}

${\displaystyle \nu ={\frac {\sqrt {2}}{\pi }}{\frac {\vert E\vert ^{\frac {3}{2}}}{eK{\sqrt {m}}_{\text{e}}}}\ \ \ (1a)}$

${\displaystyle 2a={\frac {eK}{\vert E\vert }}\ \ \ (1b)}$

يُفترض أن تكون قيمة E سالبة، لأنه يلزم طاقة موجبة لفصل الإلكترون عن النواة ووضعه في حالة سكون على مسافة لا نهائية.

تُستنتج المعادلة (1أ) من مساواة القوة المركزية بقوة كولوم المؤثرة بين النواة والإلكترون، مع الأخذ في الاعتبار أن${\displaystyle E=T+U}$(حيث T هي متوسط ​​الطاقة الحركية و U هو متوسط ​​الجهد الكهروستاتيكي)، وبالنسبة لقانون كبلر الثاني، فإن متوسط ​​المسافة بين الإلكترون والنواة هو a .

تم الحصول على المعادلة (1ب) من نفس مقدمات المعادلة (1أ) بالإضافة إلى نظرية فيريال، التي تنص على أنه بالنسبة للمدار الإهليلجي،

${\displaystyle T=-{\frac {1}{2}}U\ \ \ (1c).}$

ثم يفترض بور ​​أن${\displaystyle \vert E\vert }$هو مضاعف صحيح لطاقة كم من الضوء بنصف تردد دوران الإلكترون، ^{[ 11 ] : 4} أي:

${\displaystyle \vert E\vert =nh{\frac {\nu }{2}}\ \ \ (2).}$

من المعادلة (1أ، 1ب، 2)، ينحدر الأمر إلى:

${\displaystyle \vert E\vert ={\frac {2\pi ^{2}m_{\text{e}}e^{2}K^{2}}{n^{2}h^{2}}}\ \ \ (3a)}$

${\displaystyle \nu ={\frac {4\pi ^{2}m_{\text{e}}e^{2}K^{2}}{n^{3}h^{3}}}\ \ \ (3b)}$

${\displaystyle 2a={\frac {n^{2}h^{2}}{2\pi ^{2}m_{\text{e}}eK}}\ \ \ (3c).}$

ويفترض كذلك أن المدار دائري، أي${\displaystyle a=r}$، وباعتبار الزخم الزاوي للإلكترون L ، نحصل على المعادلة التالية:

${\displaystyle \pi L={\frac {T}{\nu }}\ \ \ (4).}$

المعادلة (4) تنبع من نظرية فيريال ، ومن علاقات الميكانيكا الكلاسيكية بين الزخم الزاوي والطاقة الحركية وتردد الدوران.

من المعادلة (1c، 2، 4)، ينتج ما يلي:

${\displaystyle L=nL_{0},}$

أين:

${\displaystyle L_{0}={\frac {h}{2\pi }}=\hbar ,}$

إنه:

${\displaystyle L=n\hbar .}$

تُشير هذه النتيجة إلى أن الزخم الزاوي للإلكترون هو مضاعف صحيح لثابت بلانك المُختزل. ^{[ 11 ] : 15}

باستبدال تعبير السرعة نحصل على معادلة لـ r بدلالة n :

${\displaystyle m_{\text{e}}{\sqrt {\dfrac {k_{\text{e}}Ze^{2}}{m_{\text{e}}r}}}r=n\hbar ,}$

بحيث يكون نصف قطر المدار المسموح به عند أي قيمة لـ n هو

${\displaystyle r_{n}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}}{Zk_{\mathrm {e} }e^{2}m_{\mathrm {e} }}}.}$

أصغر قيمة ممكنة لـ r في ذرة الهيدروجين ( Z = 1 ) تسمى نصف قطر بور وتساوي:

${\displaystyle r_{1}={\frac {\hbar ^{2}}{k_{\mathrm {e} }e^{2}m_{\mathrm {e} }}}\approx 5.29\times 10^{-11}~\mathrm {m} =52.9~\mathrm {pm} .}$

يتم تحديد طاقة المستوى n لأي ذرة من خلال نصف القطر والعدد الكمي:

${\displaystyle E=-{\frac {Zk_{\mathrm {e} }e^{2}}{2r_{n}}}=-{\frac {Z^{2}(k_{\mathrm {e} }e^{2})^{2}m_{\mathrm {e} }}{2\hbar ^{2}n^{2}}}\approx {\frac {-13.6\ Z^{2}}{n^{2}}}~\mathrm {eV} .}$

يمتلك الإلكترون في أدنى مستوى طاقة للهيدروجين ( n = 1 ) طاقةً أقل بحوالي 13.6 إلكترون فولت من طاقة إلكترون ساكن بعيد جدًا عن النواة. مستوى الطاقة التالي ( n = 2 ) طاقته -3.4 إلكترون فولت، والثالث ( n = 3 ) طاقته -1.51 إلكترون فولت، وهكذا. بالنسبة لقيم n الأكبر ، تمثل هذه القيم أيضًا طاقات الربط لذرة مثارة للغاية مع إلكترون واحد في مدار دائري واسع حول بقية الذرة. تتطابق صيغة الهيدروجين أيضًا مع حاصل ضرب واليس . ^{[ 29 ]}   

يُطلق على مجموعة الثوابت الطبيعية في صيغة الطاقة اسم طاقة ريدبيرج ( RE ₎ :

${\displaystyle R_{\mathrm {E} }={\frac {(k_{\mathrm {e} }e^{2})^{2}m_{\mathrm {e} }}{2\hbar ^{2}}}.}$

يتم توضيح هذا التعبير من خلال تفسيره في تركيبات تشكل وحدات أكثر طبيعية :

${\displaystyle m_{\mathrm {e} }c^{2}}$هي طاقة الكتلة السكونية للإلكترون (511  كيلو إلكترون فولت)،

${\displaystyle {\frac {k_{\mathrm {e} }e^{2}}{\hbar c}}=\alpha \approx {\frac {1}{137}}}$هو ثابت البنية الدقيقة ،

${\displaystyle R_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}(m_{\mathrm {e} }c^{2})\alpha ^{2}}$.

بما أن هذا الاشتقاق مبني على افتراض أن النواة تدور حولها إلكترون واحد، يمكننا تعميم هذه النتيجة بجعل شحنة النواة q = Ze ، حيث Z هو العدد الذري. وهذا سيعطينا مستويات الطاقة للذرات الهيدروجينية (شبيهة الهيدروجين)، والتي يمكن اعتبارها تقريبًا تقريبيًا لمستويات الطاقة الفعلية. لذا، بالنسبة للنوى التي تحتوي على Z بروتون، تكون مستويات الطاقة (تقريبًا):

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {Z^{2}R_{\mathrm {E} }}{n^{2}}}.}$

لا يمكن حل مستويات الطاقة الفعلية تحليليًا لأكثر من إلكترون واحد (انظر مسألة الجسم n ) لأن الإلكترونات لا تتأثر بالنواة فحسب، بل تتفاعل أيضًا مع بعضها البعض عبر قوة كولوم .

عندما تكون ^Z = 1/ α ( ^حيث Z ≈ 137 )، تصبح الحركة نسبية للغاية، وتلغي Z² قيمة α² في R ؛ وتبدأ طاقة المدار في أن تصبح قابلة للمقارنة مع طاقة السكون. إذا كانت النوى كبيرة بما يكفي ومستقرة، فإنها ستخفض شحنتها عن طريق تكوين إلكترون مرتبط من الفراغ، مما يؤدي إلى قذف البوزيترون إلى ما لا نهاية. هذه هي الظاهرة النظرية لحجب الشحنة الكهرومغناطيسية التي تتنبأ بأقصى شحنة نووية. وقد لوحظ انبعاث مثل هذه البوزيترونات في تصادمات الأيونات الثقيلة لتكوين نوى فائقة الثقل مؤقتة. ^{[ 30 ]}

تستخدم صيغة بور بشكل صحيح الكتلة المختزلة للإلكترون والبروتون في جميع الحالات، بدلاً من كتلة الإلكترون.

${\displaystyle m_{\text{red}}={\frac {m_{\mathrm {e} }m_{\mathrm {p} }}{m_{\mathrm {e} }+m_{\mathrm {p} }}}=m_{\mathrm {e} }{\frac {1}{1+m_{\mathrm {e} }/m_{\mathrm {p} }}}.}$

مع ذلك، فإن هذه الأرقام متقاربة جدًا، نظرًا لكتلة البروتون الأكبر بكثير، والتي تبلغ حوالي 1836.1 ضعف كتلة الإلكترون، وبالتالي فإن الكتلة المختزلة في النظام تساوي كتلة الإلكترون مضروبة في الثابت 1836.1/(1 + 1836.1) = 0.99946 . كانت هذه الحقيقة ذات أهمية تاريخية في إقناع رذرفورد بأهمية نموذج بور، إذ فسرت حقيقة أن ترددات الخطوط في أطياف الهيليوم أحادي التأين لا تختلف عن ترددات الهيدروجين بمعامل 4 بالضبط، بل بمعامل 4 أضعاف نسبة الكتلة المختزلة لنظامي الهيدروجين والهيليوم، وهي نسبة أقرب بكثير إلى النسبة التجريبية من 4 بالضبط.

بالنسبة للبوزيترونيوم، تستخدم الصيغة الكتلة المختزلة أيضًا، ولكن في هذه الحالة، هي بالضبط كتلة الإلكترون مقسومة على 2. لأي قيمة لنصف القطر، يتحرك كل من الإلكترون والبوزيترون بنصف السرعة حول مركز كتلتهما المشترك، ويمتلك كل منهما ربع الطاقة الحركية فقط. الطاقة الحركية الكلية تساوي نصف ما ستكون عليه لإلكترون واحد يتحرك حول نواة ثقيلة.

${\displaystyle E_{n}={\frac {R_{\mathrm {E} }}{2n^{2}}}}$(بوزيترونيوم).

ابتداءً من أواخر ستينيات القرن التاسع عشر، طوّر يوهان بالمر، ولاحقًا يوهانس ريدبرغ ووالتر ريتز، صيغًا تجريبية أكثر دقة تُطابق خطوط الطيف الذري المقاسة. وكان ريدبرغ، الذي عبّر عن صيغته بدلالة العدد الموجي، المكافئ للتردد، أمرًا بالغ الأهمية لأعمال بور اللاحقة. ^{[ 31 ]} احتوت هذه الصيغ على ثابت.${\displaystyle R}$، والمعروف الآن بثابت ريدبيرغ وزوج من الأعداد الصحيحة التي تشير إلى الأسطر: ^{[ 14 ] : 247}$${\displaystyle \nu =R\left({\frac {1}{m^{2}}}-{\frac {1}{n^{2}}}\right).}$$ على الرغم من المحاولات العديدة، لم تتمكن أي نظرية للذرة من إعادة إنتاج هذه الصيغ البسيطة نسبيًا. ^{[ 14 ] : 169}

في نظرية بور، يمكن لوصف طاقات الانتقالات أو القفزات الكمومية بين مستويات طاقة المدارات أن يفسر صيغة ريدبيرغ. بالنسبة لذرة الهيدروجين، يبدأ بور بصيغته المشتقة للطاقة المنبعثة عندما ينتقل إلكترون حر إلى مدار دائري مستقر مُفهرس بـ${\displaystyle \tau }$: ^{[ 32 ]}$${\displaystyle W_{\tau }={\frac {2\pi ^{2}me^{4}}{h^{2}\tau ^{2}}}}$$ يكون فرق الطاقة بين مستويين من هذا القبيل هو: $${\displaystyle h\nu =W_{\tau _{2}}-W_{\tau _{1}}={\frac {2\pi ^{2}me^{4}}{h^{2}}}\left({\frac {1}{\tau _{2}^{2}}}-{\frac {1}{\tau _{1}^{2}}}\right)}$$ لذلك، فإن نظرية بور تعطي صيغة ريدبيرج، وعلاوة على ذلك القيمة العددية لثابت ريدبيرج للهيدروجين بدلالة ثوابت الطبيعة الأساسية، بما في ذلك شحنة الإلكترون وكتلة الإلكترون وثابت بلانك : ^{[ 33 ] : 31 [ 34 ]}$${\displaystyle cR_{\text{H}}={\frac {2\pi ^{2}me^{4}}{h^{3}}}.}$$

بما أن طاقة الفوتون هي

${\displaystyle E={\frac {hc}{\lambda }},}$

يمكن التعبير عن هذه النتائج بدلالة الطول الموجي للفوتون المنبعث:

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=R\left({\frac {1}{n_{\text{f}}^{2}}}-{\frac {1}{n_{\text{i}}^{2}}}\right).}$

كان اشتقاق بور لثابت ريدبيرغ، بالإضافة إلى التوافق المصاحب لصيغة بور مع الخطوط الطيفية المرصودة تجريبياً لسلاسل ليمان ( n _f = 1) وبالمر ( n _f = 2) وباشن ( n _f = 3)، والتنبؤ النظري الناجح بخطوط أخرى لم تُرصد بعد، أحد الأسباب التي أدت إلى قبول نموذجه على الفور. ^{[ 34 ] : 34}

لتطبيق صيغة ريدبيرغ على الذرات التي تحتوي على أكثر من إلكترون واحد، يمكن تعديلها باستبدال Z بـ Z − b أو n بـ n − b ، حيث b ثابت يمثل تأثير الحجب الناتج عن الإلكترونات الموجودة في الغلاف الداخلي والإلكترونات الأخرى (انظر غلاف الإلكترون والمناقشة اللاحقة لـ "نموذج الغلاف الذري" أدناه). وقد تم إثبات ذلك تجريبياً قبل أن يقدم بور نموذجه.

وصفت أوراق بور الثلاث الأصلية عام 1913 التوزيع الإلكتروني للعناصر الأخف وزنًا بشكل أساسي. أطلق بور على أغلفة الإلكترونات اسم "حلقات" في ذلك العام. لم تكن المدارات الذرية داخل الأغلفة موجودة وقت وضع نموذجه الكوكبي. يوضح بور في الجزء الثالث من ورقته الشهيرة عام 1913 أن الحد الأقصى للإلكترونات في الغلاف هو ثمانية، حيث كتب: "نرى أيضًا أن حلقة من n إلكترون لا يمكنها الدوران في حلقة واحدة حول نواة ذات شحنة ne إلا إذا كان n < 8" _. بالنسبة للذرات الأصغر حجمًا، تُملأ أغلفة الإلكترونات على النحو التالي: "لا تتصل حلقات الإلكترونات ببعضها إلا إذا احتوت على أعداد متساوية من الإلكترونات؛ وبالتالي، فإن أعداد الإلكترونات في الحلقات الداخلية ستكون 2، 4، 8 فقط". مع ذلك، في الذرات الأكبر حجمًا، يحتوي الغلاف الداخلي على ثمانية إلكترونات، "من ناحية أخرى، يشير الجدول الدوري للعناصر بقوة إلى أنه حتى في النيون N = 10، ستوجد حلقة داخلية من ثمانية إلكترونات". كتب بور: "من خلال ما سبق، نصل إلى المخطط المحتمل التالي لترتيب الإلكترونات في الذرات الخفيفة:" ^{[ 35 ] [ 4 ] [ 8 ]}

في بحث بور الثالث عام 1913، الجزء الثالث بعنوان "الأنظمة التي تحتوي على عدة نوى"، ذكر أن ذرتين تُشكلان جزيئات على مستوى متناظر، ثم عاد لوصف الهيدروجين. ^{[ 36 ]} لم يتناول نموذج بور لعام 1913 العناصر الأعلى بالتفصيل، وكان جون ويليام نيكلسون من أوائل من أثبتوا عام 1914 أنه لا ينطبق على الليثيوم، ولكنه كان نظرية جذابة للهيدروجين والهيليوم المتأين. ^{[ 8 ] [ 37 ]}

في عام 1921، وبعد أعمال الكيميائيين وغيرهم ممن شاركوا في دراسة الجدول الدوري ، وسّع بور نموذج الهيدروجين ليقدم نموذجًا تقريبيًا للذرات الأثقل. وقد أعطى هذا النموذج صورة فيزيائية تحاكي العديد من الخصائص الذرية المعروفة لأول مرة، على الرغم من أن هذه الخصائص قد طُرحت في نفس الفترة الزمنية من خلال العمل نفسه للكيميائي تشارلز روجلي بوري ^{[ 4 ] [ 38 ].}

كان والتر كوسل شريك بور في الأبحاث خلال الفترة من 1914 إلى 1916، وقد صحّح كوسل عمل بور ليُظهر أن الإلكترونات تتفاعل عبر الحلقات الخارجية، وأطلق كوسل على هذه الحلقات اسم "الأغلفة". ^{[ 39 ] [ 40 ]} يُنسب إلى إيرفينغ لانغمير الفضل في أول ترتيب عملي للإلكترونات في أغلفة، حيث يحتوي الغلاف الأول على إلكترونين فقط، ويصل العدد إلى ثمانية في الغلاف التالي وفقًا لقاعدة الثمانية لعام 1904، على الرغم من أن كوسل كان قد تنبأ بالفعل بحد أقصى ثمانية إلكترونات لكل غلاف في عام 1916. ^{[ 41 ]} تحتوي الذرات الأثقل على عدد أكبر من البروتونات في النواة، وعدد أكبر من الإلكترونات لمعادلة الشحنة. استقى بور من هؤلاء الكيميائيين فكرة أن كل مدار منفصل لا يمكنه استيعاب سوى عدد معين من الإلكترونات. ووفقًا لكوسل ، بعد امتلاء المدار، يجب استخدام المستوى التالي. ^{[ 4 ]} وهذا يعطي الذرة بنية غلاف مصممة بواسطة كوسيل ولانغمير وبوري، حيث يتوافق كل غلاف مع مدار بور.

يُعدّ هذا النموذج أكثر تقريبًا من نموذج الهيدروجين، لأنه يتعامل مع الإلكترونات في كل غلاف على أنها غير متفاعلة. ولكن يتم أخذ تنافر الإلكترونات في الحسبان إلى حد ما من خلال ظاهرة الحجب . فالإلكترونات في المدارات الخارجية لا تدور حول النواة فحسب، بل تتحرك أيضًا حول الإلكترونات الداخلية، لذا فإن الشحنة الفعّالة Z التي تشعر بها تقلّ بمقدار عدد الإلكترونات في المدار الداخلي.

على سبيل المثال، تحتوي ذرة الليثيوم على إلكترونين في المدار 1s الأدنى، ويدوران عند Z  =  2. يتعرض كل منهما للشحنة النووية Z  =  3 مطروحًا منها تأثير الحجب للإلكترون الآخر، مما يقلل الشحنة النووية تقريبًا بمقدار وحدة واحدة. هذا يعني أن الإلكترونات الأقرب إلى النواة تدور عند نصف قطر بور تقريبًا. أما الإلكترون الأبعد في الليثيوم فيدور عند نصف قطر بور تقريبًا، لأن الإلكترونين الداخليين يقللان الشحنة النووية بمقدار 2. يجب أن يكون هذا الإلكترون الخارجي على بُعد نصف قطر بور تقريبًا من النواة. ولأن الإلكترونات تتنافر بشدة، فإن وصف الشحنة الفعالة تقريبي للغاية؛ فالشحنة الفعالة Z لا تكون عادةً عددًا صحيحًا.

استطاع نموذج الغلاف النووي أن يفسر نوعيًا العديد من الخصائص الغامضة للذرات، والتي تم تدوينها في أواخر القرن التاسع عشر في الجدول الدوري للعناصر . إحدى هذه الخصائص هي حجم الذرات، والذي يمكن تحديده تقريبًا بقياس لزوجة الغازات وكثافة المواد الصلبة البلورية النقية. تميل الذرات إلى أن تصبح أصغر حجمًا كلما اتجهنا يمينًا في الجدول الدوري، وتصبح أكبر حجمًا بكثير في الصف التالي. تميل الذرات الموجودة على يمين الجدول إلى اكتساب الإلكترونات، بينما تميل الذرات الموجودة على يساره إلى فقدانها. كل عنصر في العمود الأخير من الجدول خامل كيميائيًا ( غاز نبيل ).

في نموذج الغلاف الإلكتروني، تُفسَّر هذه الظاهرة بملء الأغلفة الإلكترونية. تصبح الذرات المتتالية أصغر حجمًا لأنها تملأ مدارات بنفس الحجم، حتى يمتلئ المدار، وعندها يكون للذرة التالية في الجدول إلكترون خارجي ضعيف الارتباط، مما يؤدي إلى تمددها. يمتلئ مدار بور الأول عندما يحتوي على إلكترونين، وهذا يفسر خمول الهيليوم. يسمح المدار الثاني بثمانية إلكترونات، وعندما يمتلئ تصبح الذرة نيونًا، وهي خاملة أيضًا. يحتوي المدار الثالث على ثمانية إلكترونات أيضًا، باستثناء أنه في معالجة سومرفيلد الأكثر دقة (المُستنسخة في ميكانيكا الكم الحديثة) توجد إلكترونات إضافية من نوع "d". قد يستوعب المدار الثالث عشرة إلكترونات إضافية من نوع d، لكن هذه المواقع لا تُملأ حتى تُملأ بضعة مدارات أخرى من المستوى التالي (ملء مدارات n = 3 d يُنتج العناصر الانتقالية العشرة ). إن نمط التعبئة غير المنتظم هو نتيجة للتفاعلات بين الإلكترونات، والتي لا تؤخذ في الاعتبار في نماذج بور أو سومرفيلد والتي يصعب حسابها حتى في المعالجة الحديثة.

قال نيلز بور في عام 1962: "كما ترون، لم يؤخذ عمل رذرفورد على محمل الجد. لا يمكننا أن نفهم ذلك اليوم، لكنه لم يؤخذ على محمل الجد على الإطلاق. لم يُذكر في أي مكان. جاء التغيير الكبير من موسلي." ^{[ 42 ]}

في عام 1913، اكتشف هنري موزلي علاقة تجريبية بين أقوى خط أشعة سينية ينبعث من الذرات عند قصفها بالإلكترونات (المعروف آنذاك بخط ألفا-ك )، وعددها الذري Z. وقد وُجد أن صيغة موزلي التجريبية قابلة للاشتقاق من صيغة ريدبيرغ، ولاحقًا من صيغة بور (في الواقع، لم يذكر موزلي سوى إرنست رذرفورد وأنطونيوس فان دن بروك فيما يتعلق بالنماذج، حيث نُشرت هذه النماذج قبل عمل موزلي، ونُشرت ورقة موزلي البحثية عام 1913 في نفس شهر نشر أول ورقة بحثية عن نموذج بور). ^{[ 43 ]} ويفترض موزلي افتراضين إضافيين: [1] أن خط الأشعة السينية هذا ناتج عن انتقال بين مستويات طاقة ذات أعداد كمية 1 و2، و [2] أن العدد الذري Z، عند استخدامه في صيغة الذرات الأثقل من الهيدروجين، يجب أن يُنقص بمقدار 1، ليصبح ( Z  -  1) ^² .

كتب موزلي إلى بور، متحيراً من نتائج بحثه، لكن بور لم يستطع مساعدته. في ذلك الوقت، كان يعتقد أن الغلاف الإلكتروني الداخلي المفترض "K" يجب أن يحتوي على أربعة إلكترونات على الأقل، وليس اثنين فقط، وهو ما كان سيفسر النتيجة بشكل واضح. لذلك نشر موزلي نتائجه دون تفسير نظري.

في عامي 1914 و1916، أوضح والتر كوسيل أن العناصر الجديدة في الجدول الدوري تتكون بإضافة الإلكترونات إلى الغلاف الخارجي. كتب كوسيل في بحثه: "يؤدي هذا إلى استنتاج مفاده أن الإلكترونات المضافة يجب أن تُوضع في حلقات أو أغلفة متحدة المركز، بحيث يحتوي كل غلاف على عدد محدد من الإلكترونات، ثمانية في حالتنا. بمجرد اكتمال حلقة أو غلاف، يجب البدء بآخر جديد للعنصر التالي؛ ويزداد عدد الإلكترونات، الأكثر سهولة في الوصول إليها والواقعة على المحيط الخارجي، من عنصر إلى آخر، وبالتالي، تتكرر الدورية الكيميائية عند تكوين كل غلاف جديد." ^{[ 39 ] [ 40 ]} لاحقًا، أدرك الكيميائي لانغمير أن هذا التأثير ناتج عن حجب الشحنة، حيث يحتوي الغلاف الداخلي على إلكترونين فقط. في ورقته البحثية التي نشرها عام 1919، افترض إيرفينغ لانغمير وجود "خلايا" لا يمكن أن تحتوي كل منها إلا على إلكترونين، وقد تم ترتيب هذه الخلايا في "طبقات متساوية البعد".

في تجربة موزلي، يُنتزع أحد الإلكترونات الأقرب إلى الإلكترونات في الذرة، تاركًا فراغًا في أدنى مدار بور، والذي يحتوي على إلكترون واحد متبقٍ. ثم يُملأ هذا الفراغ بإلكترون من المدار التالي، الذي n=2. لكن الإلكترونات n=2 تتعرض لشحنة فعالة مقدارها Z  −  1، وهي القيمة المناسبة لشحنة النواة، عندما يبقى إلكترون واحد في أدنى مدار بور ليحجب الشحنة النووية + Z ، ويخفضها بمقدار −1 (بسبب الشحنة السالبة للإلكترون التي تحجب الشحنة النووية الموجبة). الطاقة المكتسبة من انتقال الإلكترون من الغلاف الثاني إلى الأول تُعطي قانون موزلي لخطوط K-alpha.

${\displaystyle E=h\nu =E_{i}-E_{f}=R_{\mathrm {E} }(Z-1)^{2}\left({\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}\right),}$

أو

${\displaystyle f=\nu =R_{\mathrm {v} }\left({\frac {3}{4}}\right)(Z-1)^{2}=(2.46\times 10^{15}~{\text{Hz}})(Z-1)^{2}.}$

هنا، R _v = R _E / h هو ثابت ريدبيرغ، بدلالة التردد يساوي3.28 × 10¹⁵ هرتز  . بالنسبة لقيم Z بين 11 و ³¹ ، استنتج موزلي هذه العلاقة تجريبيًا، من خلال رسم بياني بسيط (خطي) للجذر التربيعي لتردد الأشعة السينية مقابل العدد الذري (مع ذلك، بالنسبة للفضة، Z = 47، يجب استبدال مصطلح الحجب المُستنتج تجريبيًا بـ 0.4). على الرغم من محدودية صلاحيته، ^{[ 44 ]} لم يُرسِ قانون موزلي المعنى الموضوعي للعدد الذري فحسب، بل كما لاحظ بور، فقد تجاوز اشتقاق ريدبيرغ في إثبات صحة نموذج رذرفورد/فان دن بروك/بور النووي للذرة، حيث يُمثل العدد الذري (الموقع في الجدول الدوري) وحدات كاملة من الشحنة النووية. نشر فان دن بروك نموذجه في يناير 1913، موضحًا أن الجدول الدوري مُرتب وفقًا للشحنة، بينما لم يُنشر نموذج بور الذري حتى يوليو 1913. ^{[ 45 ]}

من المعروف الآن أن خط K -alpha في زمن موسلي هو زوج من الخطوط المتقاربة، مكتوبة على النحو التالي ( Kα ₁ و Kα ₂ ) في تدوين سيغبان .

يُعطي نموذج بور قيمةً خاطئةً L = ħ لعزم الدوران المداري في الحالة الأرضية: من المعروف تجريبيًا أن عزم الدوران في الحالة الأرضية الحقيقية يساوي صفرًا. ورغم أن التصورات الذهنية قد لا تكون دقيقةً تمامًا على هذه المستويات، يُمكن تصور الإلكترون في أدنى مدار حديث، والذي لا يمتلك عزم دوران مداري، على أنه لا يدور حول النواة إطلاقًا، بل يدور حولها بشكل ضيق في شكل قطع ناقص مساحته صفر (يمكن تصوير ذلك على أنه حركة ذهابًا وإيابًا، دون أن يصطدم بالنواة أو يتفاعل معها). ولا يُمكن إعادة إنتاج هذا إلا في معالجة شبه كلاسيكية أكثر تطورًا مثل معالجة سومرفيلد. ومع ذلك، حتى أكثر النماذج شبه الكلاسيكية تطورًا تعجز عن تفسير حقيقة أن أدنى حالة طاقة متناظرة كرويًا - فهي لا تشير إلى أي اتجاه محدد.

في ميكانيكا الكم الحديثة، يُنظر إلى الإلكترون في ذرة الهيدروجين على أنه سحابة كروية من الاحتمالات تزداد كثافتها قرب النواة. يساوي ثابت معدل اضمحلال الاحتمال في الهيدروجين مقلوب نصف قطر بور، ولكن بما أن بور تعامل مع مدارات دائرية، لا مع أشكال بيضاوية ذات مساحة صفرية، فإن تطابق هذين الرقمين تمامًا يُعتبر "مصادفة". (مع ذلك، وُجدت العديد من هذه المصادفات بين المعالجة شبه الكلاسيكية والمعالجة الكمية الكاملة للذرة؛ وتشمل هذه المصادفات تطابق مستويات الطاقة في ذرة الهيدروجين، واستنباط ثابت البنية الدقيقة، الذي ينشأ من نموذج بور-سومرفيلد النسبي (انظر أدناه)، والذي يُصادف أنه يساوي مفهومًا مختلفًا تمامًا في ميكانيكا الكم الحديثة).

كما فشل نموذج بور في تفسير ما يلي:

• معظم أطياف الذرات الكبيرة. في أفضل الأحوال، يمكن لهذه التقنية التنبؤ بأطياف انبعاث الأشعة السينية K-alpha وبعض أطياف L-alpha للذرات الكبيرة، بافتراض فرضيتين إضافيتين. كما يمكن التنبؤ تقريبًا بأطياف انبعاث الذرات التي تحتوي على إلكترون واحد في غلافها الخارجي (ذرات مجموعة الليثيوم ). كذلك، إذا عُرفت عوامل الحجب التجريبية للإلكترونات والنوى للعديد من الذرات، يمكن استنتاج العديد من الخطوط الطيفية الأخرى من هذه المعلومات، في ذرات مماثلة لعناصر مختلفة، عبر مبادئ ريتز-ريدبيرغ (انظر صيغة ريدبيرغ ). تعتمد جميع هذه التقنيات أساسًا على نموذج بور النيوتوني للطاقة الكامنة للذرة.
• الشدة النسبية للخطوط الطيفية؛ على الرغم من أنه في بعض الحالات البسيطة، كانت صيغة بور أو تعديلاتها قادرة على تقديم تقديرات معقولة (على سبيل المثال، حسابات كرامرز لتأثير ستارك ).
• إن وجود البنية الدقيقة والبنية فائقة الدقة في الخطوط الطيفية، والتي من المعروف أنها ناتجة عن مجموعة متنوعة من التأثيرات النسبية والدقيقة، فضلاً عن التعقيدات الناجمة عن دوران الإلكترون.
• تأثير زيمان - التغيرات في الخطوط الطيفية بسبب المجالات المغناطيسية الخارجية ؛ ويرجع ذلك أيضًا إلى مبادئ الكم الأكثر تعقيدًا التي تتفاعل مع دوران الإلكترون والمجالات المغناطيسية المدارية.
• تظهر الثنائيات والثلاثيات في أطياف بعض الذرات على شكل أزواج متقاربة جدًا من الخطوط. ولا يستطيع نموذج بور تفسير سبب تقارب بعض مستويات الطاقة إلى هذا الحد.
• لا تمتلك الذرات متعددة الإلكترونات مستويات طاقة تتوافق مع ما يتنبأ به النموذج. ولا ينطبق هذا على ذرة الهيليوم (المتعادلة).

من المشاكل الأخرى التي واجهها نموذج بور أنه على الرغم من أن الإلكترون في حالة مستقرة${\displaystyle n}$يتم وصفها بحركة دورية، وبالتالي ينبغي ربطها بتردد إشعاع مميز${\displaystyle \omega (n)}$لم يتم قياس أي تردد من هذا القبيل تجريبياً. حاول هايزنبرغ حل هذه المشكلة في ورقة بحثية بعنوان "أومدويتونغ" عن طريق استبدال فكرة التردد المداري الواحد المرتبط بحركة الإلكترون بمجموعة من الترددات الطيفية القابلة للملاحظة.${\displaystyle \omega (n,n-\alpha )}$(للانتقال الكمومي من الحالة المستقرة)${\displaystyle n}$ل${\displaystyle n-\alpha }$). ولكن بحلول هذا الوقت، تم التخلي عملياً عن مفهوم المدار الإلكتروني باعتباره ذا معنى فيزيائي. ^{[ 46 ]}

اقترح نيلز بور نموذجًا للذرة ونموذجًا للرابطة الكيميائية . وفقًا لنموذجه للجزيء ثنائي الذرة ، تُشكّل إلكترونات ذرات الجزيء حلقةً دوّارةً يكون مستواها عموديًا على محور الجزيء وعلى مسافة متساوية من أنوية الذرات. يتحقق التوازن الديناميكي للنظام الجزيئي من خلال توازن القوى بين قوى تجاذب الأنوية لمستوى حلقة الإلكترونات وقوى التنافر المتبادل بين الأنوية. أخذ نموذج بور للرابطة الكيميائية في الحسبان التنافر الكولومبي ، حيث تكون الإلكترونات في الحلقة على أقصى مسافة ممكنة من بعضها البعض. ^{[ 47 ] [ 48 ]}

على الرغم من أن نموذج بور الذري قد تم تجاوزه بنماذج الكم في عشرينيات القرن العشرين، إلا أن الصورة المرئية للإلكترونات وهي تدور حول النواة ظلت المفهوم الشائع للذرات. وقد شاع استخدام مفهوم الذرة كنظام كوكبي مصغر كرمز للذرات، وحتى للطاقة "الذرية" (مع أن هذه تُعتبر بشكل أدق طاقة نووية). ^{[ 49 ] : 58} ومن أمثلة استخدامها خلال القرن الماضي، على سبيل المثال لا الحصر:

• شعار لجنة الطاقة الذرية الأمريكية ، التي كانت مسؤولة جزئياً عن استخدامه لاحقاً فيما يتعلق بتكنولوجيا الانشطار النووي على وجه الخصوص.
• علم الوكالة الدولية للطاقة الذرية هو "شعار ذرة دوارة"، ^{[ 50 ]} محاط بأغصان الزيتون .
• يُظهر شعار فريق ألبوكيرك أيزوتوبس، وهو فريق بيسبول أمريكي من الدرجة الثانية، كرات البيسبول على شكل إلكترونات تدور حول حرف "A" كبير.
• تم اختيار رمز مشابه، وهو الدوامة الذرية ، كرمز للملحدين الأمريكيين ، وأصبح يستخدم كرمز للإلحاد بشكل عام.
• تبدو نقطة رمز Unicode Miscellaneous Symbols U+269B (⚛) للذرة مثل نموذج ذرة كوكبي.
• يستخدم المسلسل التلفزيوني "نظرية الانفجار العظيم" صورة تشبه الكوكب في شعاره المطبوع.
• تستخدم مكتبة جافا سكريبت React صورة تشبه الكواكب كشعار لها.
• في الخرائط، يُستخدم هذا المصطلح بشكل عام للإشارة إلى منشأة طاقة نووية .
• يضم كل من شعار ودرع معهد القوات الجوية للتكنولوجيا ذرة بور في تصميماتهما.

• لينوس كارل باولينغ (1970). "الفصل 5-1". الكيمياء العامة (  الطبعة الثالثة). سان فرانسيسكو: دبليو إتش فريمان وشركاه.
  • إعادة طبع: لينوس باولينغ (1988). الكيمياء العامة . نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 0-486-65622-5.
• جورج غاموف (1985). "الفصل الثاني". ثلاثون عاماً هزت الفيزياء . منشورات دوفر.
• والتر ج. ليمان (1972). "الفصل 18". التركيب الذري والجزيئي: تطور مفاهيمنا . جون وايلي وأولاده. ISBN 0-471-52440-9.
• بول تيبلر ورالف لولين (2002). الفيزياء الحديثة (  الطبعة الرابعة). دبليو إتش فريمان. رقم ISBN 0-7167-4345-0.
• كلاوس هنتشيل : Elektronenbahnen، Quantensprünge und Spektren، في: شارلوت بيغ ويوخن هينيغ (محرران) أتومبيلدر. Ikonografien des Atoms in Wissenschaft und Öffentlichkeit des 20. Jahrhunderts، Göttingen: Wallstein-Verlag 2009، ص  51-61
• ستيفن وسوزان زومدال (2010). "الفصل 7.4". الكيمياء (  الطبعة الثامنة). بروكس/كول. ISBN 978-0-495-82992-8.
• كراغ، هيلج (نوفمبر 2011). "اعتراضات مفاهيمية على نظرية بور الذرية - هل للإلكترونات "إرادة حرة"؟". المجلة الأوروبية للفيزياء H. 36 ( 3): 327-352 . Bibcode : 2011EPJH...36..327K . doi : 10.1140/epjh/e2011-20031-x . S2CID 120859582 . 

• الموجات المستقرة في نموذج بور الذري - محاكاة تفاعلية لشرح شرط التكميم للموجات المستقرة في نموذج بور الذري بشكل بديهي
• ويكي الجامعة: طول موجة دي برولي