مشعب G2

في الهندسة التفاضلية ، متعدد الشعب G ₂ أو متعدد شعب جويس هو متعدد شعب ريماني سباعي الأبعاد مع مجموعة هولونومي موجودة في G _2. المجموعة هي واحدة من مجموعات لي البسيطة الخمس الاستثنائية . يمكن وصفها بأنها مجموعة التماثل الذاتي للثمانيات ، أو على نحو مكافئ، كمجموعة فرعية مناسبة للمجموعة المتعامدة الخاصة SO(7) التي تحافظ على سبينور في تمثيل سبينور ثماني الأبعاد أو أخيرًا كمجموعة فرعية للمجموعة الخطية العامة GL(7) التي تحافظ على الشكل الثلاثي غير المتحلل ، الشكل الترابطي. ثنائي هودج ، هو إذن شكل رباعي متوازي، الشكل الترابطي. هذه الأشكال هي معايرات بمعنى ريس هارفي و إتش بلين لوسون ، ^[1] وبالتالي تحدد فئات خاصة من متعددات الشعب الفرعية ثلاثية ورباعية الأبعاد. ${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi =*\phi }$

متعدد الشعب الكل هو متعدد شعب ريتشي مسطح سباعي الأبعاد ، قابل للتوجيه، مغزلي . بالإضافة إلى ذلك، فإن أي متعدد شعب مضغوط ذو هولونومي يساوي له مجموعة أساسية منتهية ، وفئة بونترياجين أولى غير صفرية ، وأرقام بيتي ثالثة ورابعة غير صفرية . ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle G_{2}}$

تم اقتراح حقيقة أنه من المحتمل أن تكون مجموعة هولونومي لبعض متعددات الشعب الريمانية السبعية لأول مرة بواسطة نظرية التصنيف لعام 1955 لمارسيل بيرجر ، وظل هذا متسقًا مع الدليل المبسّط الذي قدمه لاحقًا جيم سيمونز في عام 1962. على الرغم من عدم اكتشاف مثال واحد لمثل هذا المتعدد حتى الآن، إلا أن إدموند بونان قدم مساهمة مفيدة من خلال إظهار أنه إذا كان مثل هذا المتعدد موجودًا بالفعل، فإنه سيحمل شكلًا متوازيًا من 3 وشكلًا متوازيًا من 4، وأنه سيكون بالضرورة مسطحًا ريتشي. ^[2]${\displaystyle G_{2}}$

تم إنشاء أول أمثلة محلية لمتعددات الشعب ذات السبعة مع الهولونومي أخيرًا حوالي عام 1984 بواسطة روبرت براينت ، وظهر دليله الكامل على وجودها في الحوليات عام 1987. ^[3] بعد ذلك، تم إنشاء متعددات الشعب ذات السبعة كاملة (ولكن لا تزال غير مضغوطة) مع الهولونومي بواسطة براينت وسيمون سالامون في عام 1989. ^[4] تم إنشاء أول متعددات الشعب ذات السبعة المدمجة مع الهولونومي بواسطة دومينيك جويس في عام 1994. لذلك تُعرف المتعددات المدمجة أحيانًا باسم "متعددات جويس"، وخاصة في أدبيات الفيزياء. ^[5] في عام 2013، أظهر م. فيرات أريكان وهيونجو تشو وسيما سالور أن أي متعدد شعب ذو بنية دوران، وبالتالي بنية -، يسمح ببنية مترية متوافقة تقريبًا، وتم إنشاء بنية اتصال تقريبًا متوافقة صريحة لمتعددات الشعب ذات البنية -. ^[6] في نفس الورقة، تم توضيح أن فئات معينة من المتشعبات تسمح ببنية اتصال. ${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$

في عام 2015، تم إنشاء تصميم جديد للمشعبات المدمجة، من قبل أليسيو كورتي ومارك هاسكينز ويوهانس نوردستروم وتوماسو باتشيني، حيث تم الجمع بين فكرة اللصق التي اقترحها سيمون دونالدسون مع تقنيات تحليلية وجبرية هندسية جديدة لإنشاء مشعبات كالابي-ياو ذات الأطراف الأسطوانية، مما أدى إلى عشرات الآلاف من أنواع التشكل التفاضلي من الأمثلة الجديدة. ^[7]${\displaystyle G_{2}}$

هذه المتشعبات مهمة في نظرية الأوتار . فهي تكسر التناظر الفائق الأصلي إلى 1/8 من الكمية الأصلية. على سبيل المثال، تؤدي نظرية M المضغوطة على متشعب إلى نظرية واقعية رباعية الأبعاد (11-7 = 4) مع تناظر فائق N = 1. تحتوي الجاذبية الفائقة الفعالة منخفضة الطاقة الناتجة على مضاعف فائق واحد للجاذبية الفائقة ، وعدد من المضاعفات الفائقة الكيرالية يساوي رقم بيتي الثالث للمتشعب وعدد من المضاعفات الفائقة لمتجه U (1) يساوي رقم بيتي الثاني. وقد تبين مؤخرًا أن الهياكل شبه المتصلة (التي بناها سيما سالور وآخرون) ^[6] تلعب دورًا مهمًا في الهندسة". ^[8]${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$

• متعدد الشعب ذو الدوران (7)
• متعدد كالابي-ياو

• بيكر، كاترين؛ بيكر، ميلاني ؛ شوارتز، جون هـ. (2007)، "المتعددات ذات G ₂ وSpin(7) holonomy"، نظرية الأوتار ونظرية M: مقدمة حديثة ، مطبعة جامعة كامبريدج، ص 433-455، ISBN 978-0-521-86069-7.
• فرنانديز، م.؛ جراي، أ. (1982)، "متعددات ريمان ذات مجموعة البنية G ₂ "، Ann. Mat. Pura Appl. ، 32 : 19–845، doi : 10.1007/BF01760975 ، S2CID  123137620.
• Karigiannis, Spiro (2011)، "ما هو ... متعدد الأشكال G2؟" (PDF) ، إشعارات AMS ، 58 (4): 580-581.