تحلل هيلمهولتز

لو${\displaystyle (\Phi _{1},{\mathbf {A} _{1}})}$هو تحليل هيلمهولتز لـ${\displaystyle \mathbf {F} }$، ثم ${\displaystyle (\Phi _{2},{\mathbf {A} _{2}})}$يُعدّ تفكيكًا آخر إذا، وفقط إذا،

${\displaystyle \Phi _{1}-\Phi _{2}=\lambda \quad }$و${\displaystyle \quad \mathbf {A} _{1}-\mathbf {A} _{2}={\mathbf {A} }_{\lambda }+\nabla \varphi ,}$

أين

• ${\displaystyle \lambda }$هو حقل قياسي توافقي ،
• ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{\lambda }}$هو حقل متجه يحقق${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {A} }_{\lambda }=\nabla \lambda ,}$
• ${\displaystyle \varphi }$هو حقل قياسي.

البرهان: مجموعة${\displaystyle \lambda =\Phi _{2}-\Phi _{1}}$و${\displaystyle {\mathbf {B} =A_{2}-A_{1}}}$وفقًا لتعريف تحليل هيلمهولتز، فإن الشرط مكافئ لـ

${\displaystyle -\nabla \lambda +\nabla \times \mathbf {B} =0}$.

بأخذ تباعد كل طرف من أطراف هذه المعادلة ينتج ${\displaystyle \nabla ^{2}\lambda =0}$، لذلك${\displaystyle \lambda }$هو توافقي.

وعلى العكس من ذلك، بالنظر إلى أي دالة توافقية${\displaystyle \lambda }$، ${\displaystyle \nabla \lambda }$هو ملف لولبي لأن

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \lambda )=\nabla ^{2}\lambda =0.}$

وبالتالي، وفقًا للقسم أعلاه، يوجد حقل متجهي${\displaystyle {\mathbf {A} }_{\lambda }}$بحيث ${\displaystyle \nabla \lambda =\nabla \times {\mathbf {A} }_{\lambda }}$.

لو${\displaystyle {\mathbf {A} '}_{\lambda }}$إذا كان حقل متجه آخر من هذا القبيل، فإن${\displaystyle \mathbf {C} ={\mathbf {A} }_{\lambda }-{\mathbf {A} '}_{\lambda }}$ يفي${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {C} }=0}$، لذلك${\displaystyle C=\nabla \varphi }$ لبعض الحقول العددية${\displaystyle \varphi }$.

^{يمكن أن} يشير مصطلح "نظرية هيلمهولتز" أيضًا إلى ما يلي: ليكن C حقلًا متجهيًا لولبيًا و d حقلًا قياسيًا على R³ ^، وهما سلسلان بدرجة كافية ويتلاشيان أسرع من 1/ r² عند اللانهاية. عندئذٍ يوجد حقل متجهي F بحيث

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =d\quad {\text{ and }}\quad \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {C}$$ ;}

إذا كان حقل المتجهات F يتلاشى أيضًا عندما r → ∞ ، فإن F يكون فريدًا. ^{[ 20 ]}

بمعنى آخر، يمكن إنشاء حقل متجهي بتباعد ودوران محددين، وإذا انعدم أيضًا عند اللانهاية، فإنه يُحدد بشكل فريد من خلال تباعده ودورانه. لهذه النظرية أهمية بالغة في علم الكهرباء الساكنة ، لأن معادلات ماكسويل للحقول الكهربائية والمغناطيسية في الحالة الساكنة هي من هذا النوع تحديدًا. ^{[ 20 ]} يتم البرهان عن طريق بناء يُعمم البناء المذكور أعلاه: نضع

$${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla ({\mathcal {G}}(d))-\nabla \times ({\mathcal {G}}(\mathbf {C} )),}$$

أين${\displaystyle {\mathcal {G}}}$يمثل عامل الجهد النيوتوني . (عند تطبيقه على حقل متجه، مثل ∇ × F ، فإنه يُعرَّف بأنه يؤثر على كل مكون من مكوناته.)

يمكن تعميم تحليل هيلمهولتز بتقليل افتراضات الانتظام (الحاجة إلى وجود مشتقات قوية). لنفترض أن Ω نطاق محدود، بسيط الاتصال، وليبشيتز . كل حقل متجه قابل للتكامل التربيعي u ∈ ( L² ⁽ Ω)) ^³ له تحليل متعامد : ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}

$${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \varphi +\nabla \times \mathbf {A} }$$

حيث φ في فضاء سوبوليف H ¹ (Ω) للدوال القابلة للتكامل التربيعي على Ω والتي تكون مشتقاتها الجزئية المعرفة بمعنى التوزيع قابلة للتكامل التربيعي، و A ∈ H (curl, Ω) ، فضاء سوبوليف لحقول المتجهات التي تتكون من حقول متجهات قابلة للتكامل التربيعي مع curl قابل للتكامل التربيعي.

بالنسبة لحقل متجه أكثر سلاسة قليلاً u ∈ H (curl, Ω) ، ينطبق تحليل مماثل:

$${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \varphi +\mathbf {v} }$$

حيث φ ∈ H ¹ (Ω)، v ∈ ( H ¹ (Ω)) ^d .

لاحظ أنه في النظرية المذكورة هنا، فرضنا الشرط التالي: إذا${\displaystyle \mathbf {F} }$إذا لم تكن الدالة معرفة على نطاق محدود،${\displaystyle \mathbf {F} }$سوف يتحلل أسرع من${\displaystyle 1/r}$وبالتالي، فإن تحويل فورييه لـ${\displaystyle \mathbf {F} }$، المشار إليه بـ${\displaystyle \mathbf {G} }$، مضمون وجوده. نطبق الاتفاقية $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\iiint \mathbf {G} (\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}}$$

إن تحويل فورييه لحقل قياسي هو حقل قياسي، وتحويل فورييه لحقل متجه هو حقل متجه من نفس البعد.

والآن، لننظر في الحقول العددية والمتجهة التالية: $${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\Phi }(\mathbf {k} )&=i{\frac {\mathbf {k} \cdot \mathbf {G} (\mathbf {k} )}{\|\mathbf {k} \|^{2}}}\\\mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )&=i{\frac {\mathbf {k} \times \mathbf {G} (\mathbf {k} )}{\|\mathbf {k} \|^{2}}}\\[8pt]\Phi (\mathbf {r} )&=\iiint G_{\Phi }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\\\mathbf {A} (\mathbf {r} )&=\iiint \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\end{aligned}}}$$

لذلك

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {G} (\mathbf {k} )&=-i\mathbf {k} G_{\Phi }(\mathbf {k} )+i\mathbf {k} \times \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )\\[6pt]\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=-\iiint i\mathbf {k} G_{\Phi }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}+\iiint i\mathbf {k} \times \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\\&=-\nabla \Phi (\mathbf {r} )+\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )\end{aligned}}}$$

يُستخدم مصطلح شائع في الفيزياء للإشارة إلى المركبة الخالية من الدوران لحقل متجه باسم المركبة الطولية، وإلى المركبة الخالية من التباعد باسم المركبة العرضية . ^{[ 24 ]} ويستند هذا المصطلح إلى البناء التالي: حساب تحويل فورييه ثلاثي الأبعاد${\displaystyle {\hat {\mathbf {F} }}}$حقل المتجهات${\displaystyle \mathbf {F} }$ثم نحلل هذا المجال، عند كل نقطة k ، إلى مركبتين، إحداهما تشير طولياً، أي موازية لـ k ، والأخرى تشير عرضياً، أي عمودية على k . حتى الآن، لدينا

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {F} }}(\mathbf {k} )={\hat {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )+{\hat {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )}$$$${\displaystyle \mathbf {k} \cdot {\hat {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )=0.}$$$${\displaystyle \mathbf {k} \times {\hat {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )=\mathbf {0} .}$$

الآن نطبق تحويل فورييه العكسي على كل مكون من هذه المكونات. باستخدام خصائص تحويلات فورييه، نستنتج ما يلي:

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} )+\mathbf {F} _{l}(\mathbf {r} )}$$$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} )=0}$$$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} _{l}(\mathbf {r} )=\mathbf {0} }$$

منذ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \Phi )=0}$و${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$،

يمكننا الحصول على

$${\displaystyle \mathbf {F} _{t}=\nabla \times \mathbf {A} ={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'}$$$${\displaystyle \mathbf {F} _{l}=-\nabla \Phi =-{\frac {1}{4\pi }}\nabla \int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'}$$

إذن هذا هو بالفعل تحليل هيلمهولتز. ^{[ 25 ]}

التعميم إلى${\displaystyle d}$لا يمكن تحديد الأبعاد باستخدام جهد متجهي، لأن عامل الدوران والضرب الاتجاهي معرفان (كمتجهات) فقط في ثلاثة أبعاد.

يترك${\displaystyle \mathbf {F} }$ليكن حقل متجه في${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$والذي يتحلل أسرع من${\displaystyle |\mathbf {r} |^{-\delta }}$ل${\displaystyle |\mathbf {r} |\to \infty }$و${\displaystyle \delta >2}$.

يُعرَّف الجهد القياسي بشكل مشابه للحالة ثلاثية الأبعاد على النحو التالي: $${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=-\int _{\mathbb {R} ^{d}}\operatorname {div} (\mathbf {F} (\mathbf {r} '))K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\mathrm {d} V'=-\int _{\mathbb {R} ^{d}}\sum _{i}{\frac {\partial F_{i}}{\partial r_{i}}}(\mathbf {r} ')K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\mathrm {d} V',}$$ بينما نواة التكامل${\displaystyle K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}$وهو مرة أخرى الحل الأساسي لمعادلة لابلاس ، ولكن في فضاء ذي أبعاد d: $${\displaystyle K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }}\log {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}&d=2,\\{\frac {1}{d(2-d)V_{d}}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2-d}&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$$ مع${\displaystyle V_{d}=\pi ^{\frac {d}{2}}/\Gamma {\big (}{\tfrac {d}{2}}+1{\big )}}$حجم الكرات ذات الأبعاد d و${\displaystyle \Gamma (\mathbf {r} )}$دالة غاما .

ل${\displaystyle d=3}$،${\displaystyle V_{d}}$يساوي تمامًا${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}}$مما ينتج عنه نفس المعامل المسبق المذكور أعلاه. الجهد الدوراني عبارة عن مصفوفة متناظرة عكسيًا بعناصر: $${\displaystyle A_{ij}(\mathbf {r} )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\left({\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathbf {r} ')-{\frac {\partial F_{j}}{\partial x_{i}}}(\mathbf {r} ')\right)K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\mathrm {d} V'.}$$ أعلى الخط القطري${\displaystyle \textstyle {\binom {d}{2}}}$تظهر المدخلات مرة أخرى معكوسة على القطر، ولكن بإشارة سالبة. في الحالة ثلاثية الأبعاد، تتوافق عناصر المصفوفة مع مكونات الجهد الشعاعي.${\displaystyle \mathbf {A} =[A_{1},A_{2},A_{3}]=[A_{23},A_{31},A_{12}]}$ومع ذلك، لا يمكن كتابة مثل هذا الجهد المصفوفي كمتجه إلا في الحالة ثلاثية الأبعاد، لأن${\displaystyle \textstyle {\binom {d}{2}}=d}$صالحة فقط لـ${\displaystyle d=3}$.

كما هو الحال في الحالة ثلاثية الأبعاد، يُعرَّف حقل التدرج على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbf {r} )=-\nabla \Phi (\mathbf {r} ).}$$ أما المجال الدوراني، من ناحية أخرى، فيُعرَّف في الحالة العامة على أنه تباعد الصفوف للمصفوفة: $${\displaystyle \mathbf {R} (\mathbf {r} )=\left[\sum \nolimits _{k}\partial _{r_{k}}A_{ik}(\mathbf {r} );{1\leq i\leq d}\right].}$$ في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يُعادل هذا دوران الكمون الشعاعي. ^{[ 8 ] [ 26 ]}

في${\displaystyle d}$فضاء متجهي ذو أبعاد n مع${\displaystyle d\neq 3}$،${\textstyle -{\frac {1}{4\pi \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}}$يمكن استبدالها بدالة غرين المناسبة لمؤثر لابلاس ، والمحددة بواسطة $${\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=\delta ^{d}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}$$ حيث يتم استخدام اصطلاح جمع أينشتاين للمؤشر${\displaystyle \mu }$. على سبيل المثال،${\textstyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\frac {1}{2\pi }}\ln \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}$في بُعدين.

باتباع نفس الخطوات المذكورة أعلاه، يمكننا كتابة $${\displaystyle F_{\mu }(\mathbf {r} )=\int _{V}F_{\mu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '=\delta _{\mu \nu }\delta _{\rho \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '}$$ أين${\displaystyle \delta _{\mu \nu }}$هي دلتا كرونكر (ويُستخدم اصطلاح الجمع مرة أخرى). بدلاً من تعريف لابلاس المتجهي المستخدم أعلاه، نستخدم الآن متطابقة لرمز ليفي-تشيفيتا${\displaystyle \varepsilon }$، $${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \mu \rho }\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }=(d-2)!(\delta _{\mu \nu }\delta _{\rho \sigma }-\delta _{\mu \sigma }\delta _{\nu \rho })}$$ وهو أمر صحيح في${\displaystyle d\geq 2}$الأبعاد، حيث${\displaystyle \alpha }$هو${\displaystyle (d-2)}$-component multi-index . هذا يعطي $${\displaystyle F_{\mu }(\mathbf {r} )=\delta _{\mu \sigma }\delta _{\nu \rho }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '+{\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \mu \rho }\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '}$$

لذلك يمكننا أن نكتب $${\displaystyle F_{\mu }(\mathbf {r} )=-{\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}\Phi (\mathbf {r} )+\varepsilon _{\mu \rho \alpha }{\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}A_{\alpha }(\mathbf {r} )}$$ أين $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&=-\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\nu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\\A_{\alpha }&={\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\end{aligned}}}$$ لاحظ أن الجهد الشعاعي يُستبدل برتبة-${\displaystyle (d-2)}$الموتر في${\displaystyle d}$أبعاد.

لأن${\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}$هي وظيفة خاصة بـ${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} '}$يمكن للمرء أن يستبدل${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}\rightarrow -{\frac {\partial }{\partial r'_{\mu }}}}$، إعطاء $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&=\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r'_{\nu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\\A_{\alpha }&=-{\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }'}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\end{aligned}}}$$يمكن بعد ذلك استخدام التكامل بالتجزئة لإعطاء $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&=-\int _{V}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r'_{\nu }}}F_{\nu }(\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '+\oint _{S}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')F_{\nu }(\mathbf {r} '){\hat {n}}'_{\nu }\,\mathrm {d} ^{d-1}\mathbf {r} '\\A_{\alpha }&={\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }'}}F_{\nu }(\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '-{\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\oint _{S}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')F_{\nu }(\mathbf {r} '){\hat {n}}'_{\sigma }\,\mathrm {d} ^{d-1}\mathbf {r} '\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle S=\partial V}$هي حدود${\displaystyle V}$هذه التعبيرات مماثلة لتلك المذكورة أعلاه للفضاء ثلاثي الأبعاد .

للحصول على تعميم إضافي للمتشعبات، انظر مناقشة تفكيك هودج أدناه .

تُعدّ نظرية هيلمهولتز ذات أهمية خاصة في الديناميكا الكهربائية ، إذ يُمكن استخدامها لكتابة معادلات ماكسويل في صورة الجهد وحلها بسهولة أكبر. يُمكن استخدام تحليل هيلمهولتز لإثبات أنه بمعلومية كثافة التيار الكهربائي وكثافة الشحنة ، يُمكن تحديد المجال الكهربائي وكثافة التدفق المغناطيسي . وتكون هذه القيم فريدة إذا انعدمت الكثافات عند اللانهاية، ويُفترض أن الأمر نفسه ينطبق على الجهود. ^{[ 18 ]}

في ديناميكا الموائع ، يلعب إسقاط هيلمهولتز دورًا هامًا، لا سيما في نظرية قابلية حل معادلات نافيير-ستوكس . عند تطبيق إسقاط هيلمهولتز على معادلات نافيير-ستوكس الخطية غير القابلة للانضغاط، نحصل على معادلة ستوكس . تعتمد هذه المعادلة فقط على سرعة الجسيمات في التدفق، دون الحاجة إلى الضغط الساكن، مما يسمح باختزالها إلى مجهول واحد. مع ذلك، فإن المعادلتين، معادلة ستوكس والمعادلة الخطية، متكافئتان.${\displaystyle P\Delta }$يُطلق عليه اسم عامل ستوكس . ^{[ 34 ]}

في نظرية الأنظمة الديناميكية ، يمكن استخدام تحليل هيلمهولتز لتحديد "الجهود شبه الكامنة" وكذلك لحساب دوال ليابونوف في بعض الحالات. ^{[ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]}

بالنسبة لبعض الأنظمة الديناميكية مثل نظام لورنز ( إدوارد ن. لورنز ، 1963 ^{[ 38 ]} )، وهو نموذج مبسط للحمل الحراري في الغلاف الجوي ، يمكن الحصول على تعبير مغلق لتحليل هيلمهولتز: $${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\big [}a(r_{2}-r_{1}),r_{1}(b-r_{3})-r_{2},r_{1}r_{2}-cr_{3}{\big ]}.}$$ تحلل هيلمهولتز لـ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$، مع الجهد القياسي${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\tfrac {a}{2}}r_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}r_{2}^{2}+{\tfrac {c}{2}}r_{3}^{2}}$يُعطى على النحو التالي:

$${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbf {r} )={\big [}-ar_{1},-r_{2},-cr_{3}{\big ]},}$$$${\displaystyle \mathbf {R} (\mathbf {r} )={\big [}+ar_{2},br_{1}-r_{1}r_{3},r_{1}r_{2}{\big ]}.}$$

يُوفر الجهد القياسي التربيعي حركةً في اتجاه نقطة الأصل، وهو المسؤول عن نقطة التثبيت المستقرة لنطاق معين من المعاملات. أما بالنسبة للمعاملات الأخرى، فيضمن مجال الدوران إنشاء جاذب غريب ، مما يجعل النموذج يُظهر تأثير الفراشة . ^{[ 8 ] [ 39 ]}

في التصوير بالرنين المغناطيسي المرن ، وهو نوع من التصوير بالرنين المغناطيسي حيث تُستخدم الموجات الميكانيكية لدراسة لزوجة الأعضاء، يُستخدم أحيانًا تحليل هيلمهولتز لفصل حقول الإزاحة المقاسة إلى مُركّبة القص (الخالية من التباعد) ومُركّبة الضغط (الخالية من الالتفاف). ^{[ 40 ]} وبهذه الطريقة، يُمكن حساب مُعامل القص المُركّب دون مُساهمات من موجات الضغط.

يُستخدم تحليل هيلمهولتز أيضًا في مجال هندسة الحاسوب. ويشمل ذلك الروبوتات، وإعادة بناء الصور، بالإضافة إلى الرسوم المتحركة الحاسوبية، حيث يُستخدم التحليل لتصوير السوائل أو الحقول المتجهة بشكل واقعي. ^{[ 16 ] [ 41 ]}