القسمة (الرياضيات)

قرص يحتوي على 20 تفاحة مقسم إلى أربعة قطاعات، يحتوي كل منها على 5 تفاحات. — 20 ÷ 4 = 5، موضح هنا بالتفاح. ويُقال هذا شفهياً: "عشرون مقسومة على أربعة تساوي خمسة".

القسمة هي إحدى العمليات الحسابية الأربع الأساسية . أما العمليات الأخرى فهي الجمع والطرح والضرب . يُسمى العدد الذي يُقسم على المقسوم عليه بالمقسوم ، وتُسمى النتيجة بالناتج .

على المستوى الابتدائي، تُعدّ قسمة عددين طبيعيين ، من بين تفسيرات أخرى محتملة ، عملية حساب عدد مرات احتواء أحد العددين على الآخر. ^{[ 1 ]}^{: 7} على سبيل المثال، إذا قُسّمت 20 تفاحة بالتساوي بين 4 أشخاص، فسيحصل كل شخص على 5 تفاحات (انظر الصورة).

القسمة مع الباقي، أو القسمة الإقليدية، لعددين طبيعيين تُعطي ناتج قسمة صحيحًا ، وهو عدد مرات احتواء العدد الثاني بالكامل في العدد الأول، وباقيًا ، وهو الجزء المتبقي من العدد الأول عندما لا يُمكن تخصيص أي جزء كامل آخر من العدد الثاني أثناء حساب ناتج القسمة. على سبيل المثال، إذا قُسّمت 21 تفاحة على 4 أشخاص، يحصل كل شخص على 5 تفاحات، وتبقى تفاحة واحدة.

لكي ينتج عن القسمة دائمًا عدد واحد بدلًا من ناتج قسمة وباقٍ، يجب توسيع نطاق الأعداد الطبيعية ليشمل الأعداد النسبية أو الحقيقية . في هذه الأنظمة العددية الموسعة ، تُعدّ القسمة العملية العكسية للضرب، أي أن $a = c / b$ تعني $a \times b = c$ ، طالما أن $b$ لا يساوي صفرًا؛ فالقسمة على صفر غير مُعرّفة. ^{[ a ]}^{[ 4 ]}^{: 246} في مثال التفاحات الـ 21، سيحصل كل شخص على 5 تفاحات وربع تفاحة، ولن يتبقى شيء.

يظهر كلا شكلي القسمة في بنى جبرية متنوعة ، وهي طرق مختلفة لتعريف البنية الرياضية. تُسمى تلك التي تُعرَّف فيها القسمة الإقليدية (مع الباقي) بالمجالات الإقليدية ، وتشمل حلقات كثيرات الحدود في متغير واحد (والتي تُعرِّف الضرب والجمع على صيغ ذات متغير واحد). أما تلك التي تُعرَّف فيها القسمة (بنتيجة واحدة) على جميع العناصر غير الصفرية فتُسمى الحقول وحلقات القسمة . في الحلقة، تُسمى العناصر التي يمكن القسمة عليها دائمًا بالوحدات (على سبيل المثال، 1 و-1 في حلقة الأعداد الصحيحة). ومن التعميمات الأخرى للقسمة على البنى الجبرية زمرة القسمة ، حيث تكون نتيجة "القسمة" زمرةً وليست عددًا.

مقدمة

أبسط طريقة لفهم القسمة هي من منظور الاقتباس والتقسيم : من منظور الاقتباس، $20 \div 5$ تعني عدد مرات إضافة الرقم 5 للحصول على 20. أما من منظور التقسيم، $فـ 20 \div 5$ تعني حجم كل جزء من الأجزاء الخمسة التي تُقسّم إليها مجموعة من 20. على سبيل المثال، تُقسّم 20 تفاحة إلى خمس مجموعات، كل مجموعة تحتوي على أربع تفاحات، أي أن "20 مقسومة على 5 تساوي 4". يُشار إلى ذلك بـ $20$ $\div$ $5$ $=$ $4.$ $[$ ²^]^{في هذا المثال،} $20$ هو المقسوم، و5 هو المقسوم عليه، و4 هو ناتج القسمة .

على عكس العمليات الحسابية الأساسية الأخرى، عند قسمة الأعداد الطبيعية، قد يكون هناك باقٍ لا يقبل القسمة على المقسوم. على سبيل المثال، ينتج عن قسمة $10 على 3$ باقٍ قدره 1، لأن 10 ليس من مضاعفات 3. أحيانًا يُضاف هذا الباقي إلى ناتج القسمة كجزء كسري ، لذا فإن $10$ $\div 3$ يساوي $3$ $+$ $1$ $\div$ $3$ $أو$ $3.33...$ ، ولكن في سياق قسمة الأعداد الصحيحة ، حيث لا تحتوي الأعداد على جزء كسري، يُحتفظ بالباقي بشكل منفصل (أو في حالات استثنائية، يُهمل أو يُقرّب ). ^[⁵^] عندما يُحتفظ بالباقي ككسر، ينتج عنه عدد نسبي . تُنشأ مجموعة جميع الأعداد النسبية بتوسيع مجموعة الأعداد الصحيحة لتشمل جميع نتائج قسمة الأعداد الصحيحة الممكنة.

على عكس الضرب والجمع، فإن القسمة ليست عملية تبديلية ، بمعنى أن $a / b$ لا تساوي دائمًا $b / a$ . ^{[ 6 ]} كما أن القسمة ليست عملية تجميعية بشكل عام ، بمعنى أنه عند القسمة عدة مرات، قد يؤدي تغيير ترتيب القسمة إلى تغيير النتيجة. ^{[ 7 ]} على سبيل المثال، $(24 / 6) / 2 = 2$ ، ولكن $24 / (6 / 2) = 8$ (حيث يشير استخدام الأقواس إلى أن العمليات داخل الأقواس تُجرى قبل العمليات خارجها).

تُعتبر عملية القسمة تقليدياً عملية تجميعية من اليسار . أي أنه إذا كانت هناك عدة عمليات قسمة متتالية، فإن ترتيب الحساب يكون من اليسار إلى اليمين: ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

a/b/c=(a/b)/c=a/(b\times c)\;\neq \;a/(b/c)=(a\times c)/b.

القسمة عملية توزيع يمينية مقارنة بالجمع والطرح، بمعنى أن

{\frac {a\pm b}{c}}=(a\pm b)/c=(a/c)\pm (b/c)={\frac {a}{c}}\pm {\frac {b}{c}}.

وينطبق الأمر نفسه على الضرب ، كما $(a+b)\times c=a\times c+b\times c$ ومع ذلك، فإن القسمة ليست توزيعية من اليسار ، كما

{\frac {a}{b+c}}=a/(b+c)\;\neq \;(a/b)+(a/c)={\frac {ac+ab}{bc}}.

على سبيل المثال

{\frac {12}{2+4}}={\frac {12}{6}}=2,

لكن

{\frac {12}{2}}+{\frac {12}{4}}=6+3=9.

وهذا يختلف عن حالة الضرب، الذي يكون توزيعيًا من اليسار ومن اليمين، وبالتالي توزيعيًا .

الترميز

يُشار إلى القسمة في الجبر والعلوم عادةً بوضع المقسوم فوق المقسوم عليه مع وجود خط أفقي بينهما ، يُسمى أيضًا خط الكسر . على سبيل المثال، يمكن كتابة " أ مقسومًا على ب " على النحو التالي:

{\frac {a}{b}}

ويمكن قراءتها بصوت عالٍ أيضًا على النحو التالي: "قسمة أ على ب " أو " أ على ب ". إحدى طرق كتابة القسمة على سطر واحد هي كتابة المقسوم (أو البسط)، ثم علامة القسمة ، ثم المقسوم عليه (أو المقام)، كما يلي:

a/b

غالبًا ما تكون هذه الطريقة المُفضلة للتعبير عن عملية قسمة بسيطة في النصوص المتصلة . وهي أيضًا الطريقة المُعتادة لتحديد القسمة في معظم لغات البرمجة ، إذ يُمكن كتابتها بسهولة كسلسلة بسيطة من أحرف ASCII . (وهي أيضًا الصيغة الوحيدة المُستخدمة لكائنات ناتج القسمة في الجبر المجرد ). تسمح بعض البرامج الرياضية ، مثل MATLAB و GNU Octave ، بكتابة المعاملات بترتيب عكسي باستخدام الشرطة المائلة العكسية كعامل قسمة.

b\backslash a

يوجد اختلاف طباعي يقع في منتصف الطريق بين هذين الشكلين، حيث يستخدم الشرطة المائلة ، ولكنه يرفع المقسوم ويخفض المقسوم عليه:

{}^{a}\!/{}_{b}

يمكن استخدام أي من هذه الأشكال لعرض الكسر . الكسر هو تعبير قسمة، وغالبًا ما يكون كل من المقسوم والمقسوم عليه (يُطلق عليهما عادةً البسط والمقام ) في أبسط صورة ممكنة ، ولا يوجد ما يشير إلى ضرورة إجراء تقييم إضافي للقسمة.

هناك طريقة أخرى لإظهار القسمة وهي استخدام علامة القسمة (÷، والمعروفة أيضًا باسم أوبيلوس على الرغم من أن المصطلح له معانٍ إضافية)، وهي شائعة في الحساب، على النحو التالي:

a\div b

هذا الشكل نادر الاستخدام إلا في العمليات الحسابية الأساسية. تنص المواصفة القياسية ISO 80000-2-10.6 على عدم استخدامه. (يُستخدم رمز ÷ للدلالة على الطرح أو النطاق العددي في بعض الدول الأوروبية، لذا قد يُساء فهم استخدامه. ^{[ 10 ]} ) تُستخدم علامة القسمة هذه أيضًا بمفردها لتمثيل عملية القسمة نفسها، كما هو الحال مثلاً كعلامة على مفتاح في الآلة الحاسبة . وقد أدخل عالم الرياضيات السويسري يوهان ران علامة القسمة (obelus) عام 1659 في كتابه "الجبر الألماني" (Teutsche Algebra) . ^{[ 11 ]}^{: 211}

في بعض البلدان غير الناطقة باللغة الإنجليزية ، يتم استخدام النقطتين للدلالة على القسمة: ^{[ 12 ]}

a:b

أدخل غوتفريد فيلهلم لايبنتز هذا الترميز في كتابه "أكتا إيروديتوروم " عام 1684. ^{[ 11 ]}^{: 295.} لم يكن لايبنتز يفضل استخدام رموز منفصلة للنسبة والقسمة. مع ذلك، في اللغة الإنجليزية، يقتصر استخدام النقطتين الرأسيتين على التعبير عن مفهوم النسب .

الرمز $b$ ⟌ $a$ – يُكتب أيضًا على النحو التالي $b)a$ أو $b{\overline {)a}}$ يُستخدم الرمز (-) كجزء من القسمة المطولة للدلالة على قسمة $a$ على $b$ . ليس من الواضح تمامًا متى ظهر هذا الرمز لأول مرة لأنه تطور بمرور الوقت. ^{[ 13 ]} يُستخدم القوس على الأقل منذ عام 1773، وربما قبل ذلك. ^{[ 14 ]}

الحوسبة

الطرق اليدوية

يُعرَّف القسمة عادةً من خلال مفهوم "توزيع" مجموعة من الأشياء، مثل كومة من الحلوى، إلى عدد من الأجزاء المتساوية. ويؤدي توزيع الأشياء على دفعات في كل جولة من جولات التوزيع إلى فكرة " التجميع " - وهو شكل من أشكال القسمة حيث يتم طرح مضاعفات المقسوم عليه من المقسوم نفسه بشكل متكرر.

من خلال السماح بطرح مضاعفات أكثر مما يسمح به الباقي الجزئي في مرحلة معينة، يمكن تطوير طرق أكثر مرونة، مثل النسخة ثنائية الاتجاه من التجزئة.

بطريقة أكثر منهجية وكفاءة، يمكن قسمة عددين صحيحين باستخدام القلم والورقة، إما بطريقة القسمة المختصرة إذا كان المقسوم عليه صغيرًا، أو بطريقة القسمة المطولة إذا كان المقسوم عليه كبيرًا. إذا كان المقسوم يحتوي على جزء كسري (معبر عنه بكسر عشري )، يمكن مواصلة العملية بعد خانة الآحاد حسب الحاجة. أما إذا كان المقسوم عليه يحتوي على جزء كسري، فيمكن إعادة صياغة المسألة بتحريك الفاصلة العشرية إلى اليمين في كلا العددين حتى يصبح المقسوم عليه بدون كسر، مما يُسهّل حل المسألة (مثلاً، 10/2.5 = 100/25 = 4).

يمكن إجراء عملية القسمة باستخدام المعداد . ^{[ 15 ]}

يمكن استخدام جداول اللوغاريتمات لقسمة عددين، عن طريق طرح لوغاريتمات العددين، ثم البحث عن اللوغاريتم العكسي للنتيجة.

يمكن إجراء عملية القسمة باستخدام المسطرة الحاسبة عن طريق محاذاة المقسوم عليه على المقياس C مع المقسوم عليه على المقياس D. ويمكن إيجاد الناتج على المقياس D عند محاذاته مع المؤشر الأيسر على المقياس C. ومع ذلك، يقع على عاتق المستخدم مسؤولية تذكر موضع الفاصلة العشرية.

بواسطة الحاسوب

تقوم الآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر الحديثة بحساب القسمة إما بطرق مشابهة للقسمة المطولة، أو بطرق أسرع؛ انظر خوارزمية القسمة .

في الحساب النمطي (باقي القسمة على عدد أولي) وللأعداد الحقيقية ، تمتلك الأعداد غير الصفرية معكوسًا ضربيًا . في هذه الحالات، يمكن حساب القسمة على $x$ كحاصل ضربها في المعكوس الضربي لـ $x$ . غالبًا ما يرتبط هذا الأسلوب بالطرق الأسرع في الحساب الحاسوبي.

الانقسام في سياقات مختلفة

التقسيم الإقليدي

القسمة الإقليدية هي الصيغة الرياضية لنتيجة عملية القسمة المعتادة للأعداد الصحيحة. وتنص على أنه إذا أُعطي عددان صحيحان، a (المقسوم ) و b (المقسوم عليه) ، بحيث b ≠ 0، فإنه يوجد عددان صحيحان وحيدان ، q (الناتج) و r (الباقي)، بحيث يكون a = bq + r و 0 ≤ r < | b | ، حيث | b | هي القيمة المطلقة لـ b .

من الأعداد الصحيحة

الأعداد الصحيحة ليست مغلقة تحت القسمة. فباستثناء أن القسمة على صفر غير معرفة، فإن ناتج القسمة ليس عددًا صحيحًا إلا إذا كان المقسوم عليه مضاعفًا صحيحًا للمقسوم عليه. على سبيل المثال، لا يمكن قسمة 26 على 11 للحصول على عدد صحيح. في هذه الحالة، تُستخدم إحدى خمس طرق:

لنفترض أن العدد 26 لا يمكن قسمته على 11؛ تصبح عملية القسمة دالة جزئية .
أعطِ إجابة تقريبية كرقم عشري . هذا هو النهج المتبع عادةً في الحساب العددي .
أعطِ الإجابة على شكل كسر يمثل عددًا نسبيًا ، لذا فإن نتيجة قسمة 26 على 11 هي ${\tfrac {26}{11}}$ (أو كعدد كسري ، لذلك ${\tfrac {26}{11}}=2{\tfrac {4}{11}}.$ عادةً ما يجب تبسيط الكسر الناتج: نتيجة قسمة 52 على 22 هي أيضًا ${\tfrac {26}{11}}$ يمكن إجراء هذا التبسيط عن طريق استخراج العامل المشترك الأكبر .
أعطِ الإجابة على شكل ناتج قسمة صحيح وباقي القسمة ، لذا ${\tfrac {26}{11}}=2{\mbox{ الباقي }}4.$ ولتمييزها عن الحالة السابقة، فإن هذا القسمة، الذي ينتج عنه عددان صحيحان، يسمى أحيانًا القسمة الإقليدية ، لأنه أساس الخوارزمية الإقليدية .
أعطِ ناتج القسمة الصحيح كإجابة، لذلك ${\tfrac {26}{11}}=2.$ هذه هي دالة الجزء الصحيح المطبقة على الحالة 2 أو 3. وتسمى أحيانًا القسمة الصحيحة ، ويرمز لها بـ "//".

يتطلب قسمة الأعداد الصحيحة في برامج الحاسوب عناية خاصة. بعض لغات البرمجة تتعامل مع قسمة الأعداد الصحيحة كما في الحالة 5 أعلاه، لذا يكون الناتج عددًا صحيحًا. بينما لغات أخرى، مثل MATLAB وجميع أنظمة الجبر الحاسوبية، تُرجع عددًا نسبيًا كنتيجة، كما في الحالة 3 أعلاه. توفر هذه اللغات أيضًا دوالًا للحصول على نتائج الحالات الأخرى، إما مباشرةً أو من نتيجة الحالة 3.

تشمل الأسماء والرموز المستخدمة في قسمة الأعداد الصحيحة div و / و \ . ^[¹⁶^] تختلف التعريفات المتعلقة بقسمة الأعداد الصحيحة عندما يكون المقسوم أو المقسوم عليه سالبًا: قد يكون التقريب باتجاه الصفر (ما يسمى قسمة T) أو باتجاه −∞ (قسمة F)؛ يمكن أن تحدث أنماط نادرة - انظر عملية باقي القسمة لمزيد من التفاصيل.

يمكن أحيانًا استخدام قواعد قابلية القسمة لتحديد ما إذا كان عدد صحيح يقسم عددًا صحيحًا آخر بشكل دقيق.

من الأعداد النسبية

نتيجة قسمة عددين نسبيين هي عدد نسبي آخر عندما لا يكون المقسوم عليه صفرًا. ويمكن حساب قسمة عددين نسبيين p / q و r / s على النحو التالي: ${p/q \over r/s}={p \over q}\times {s \over r}={ps \over qr}.$

جميع الكميات الأربع هي أعداد صحيحة، و p فقط يمكن أن تكون 0. هذا التعريف يضمن أن القسمة هي العملية العكسية للضرب .

من الأعداد الحقيقية

ينتج عن قسمة عددين حقيقيين عدد حقيقي آخر (عندما يكون المقسوم عليه غير صفري). وتُعرَّف هذه العملية بحيث يكون a / b = c إذا وفقط إذا كان a = cb و b ≠ 0.

من الأعداد المركبة

ينتج عن قسمة عددين مركبين (عندما يكون المقسوم عليه غير صفري) عدد مركب آخر، والذي يتم إيجاده باستخدام مرافق المقام: ${p+iq \over r+is}={(p+iq)(r-is) \over (r+is)(r-is)}={pr+qs+i(qr-ps) \over r^{2}+s^{2}}={pr+qs \over r^{2}+s^{2}}+i{qr-ps \over r^{2}+s^{2}}.$

عملية الضرب والقسمة هذه $r-is$ يُطلق عليه اسم "التحقيق" أو (قياساً) الترشيد . جميع الكميات الأربع p و q و r و s هي أعداد حقيقية، ولا يجوز أن تكون r و s كلاهما صفرًا.

القسمة على الأعداد المركبة المعبر عنها بالصيغة القطبية أبسط من التعريف أعلاه: ${pe^{iq} \over re^{is}}={pe^{iq}e^{-is} \over re^{is}e^{-is}}={p \over r}e^{i(q-s)}.$

مرة أخرى، جميع الكميات الأربع p و q و r و s هي أعداد حقيقية، وقد لا تكون قيمة r تساوي صفرًا.

من كثيرات الحدود

يمكن تعريف عملية القسمة لكثيرات الحدود في متغير واحد على حقل . عندئذٍ، كما هو الحال مع الأعداد الصحيحة، يكون لدينا باقي. انظر القسمة الإقليدية لكثيرات الحدود ، وللحساب اليدوي، انظر القسمة المطولة لكثيرات الحدود أو القسمة التركيبية .

من المصفوفات

يمكن تعريف عملية قسمة للمصفوفات. الطريقة المعتادة هي تعريف A / B = AB ^{− 1} ، حيث B ^{− 1} يرمز إلى معكوس B ، ولكن من الشائع كتابة AB ^{− 1} صراحةً لتجنب الالتباس. كما يمكن تعريف القسمة العنصرية بدلالة جداء هادامارد .

التقسيم الأيسر والأيمن

لأن ضرب المصفوفات ليس عملية تبديلية ، يمكن تعريف القسمة اليسرى $،$ أو ما يُسمى بالقسمة العكسية، $على$ النحو التالي: $A$ $\div$ $B = A⁻¹B . ولكي$ يكون هذا التعريف دقيقًا، لا يشترط وجود $B⁻¹$ ، بينما يشترط وجود $A⁻¹$ . ولتجنب الالتباس، تُسمى $القسمة المُعرَّفة بالعلاقة$ $A \div B = AB⁻¹$ أحيانًا بالقسمة اليمنى أو القسمة المائلة في هذا السياق.

مع تعريف القسمة اليسرى واليمنى بهذه الطريقة، فإن $A / (BC)$ لا تساوي عمومًا $(A / B) / C$ ، كما أن $( AB ) \ C$ لا تساوي $A \ ( B \ C )$ . ومع ذلك، فإن $A / (BC) = (A / C) / B$ و $( AB ) \ C = B \ ( A \ C )$ .

المعكوس الزائف

لتجنب المشاكل عندما لا يكون $A -1$ و/أو $B -1$ موجودين، يمكن تعريف القسمة أيضًا على أنها ضرب في المعكوس الزائف . أي أن $A$ $/$ $B$ $=$ $AB$ $+$ و $A$ $\$ $B$ $=$ $A$ $+$ $B$ ، حيث يرمز $A$ $+$ و $B$ $+$ إلى المعكوسين الزائفين لـ $A$ و $B$ على التوالي .

الجبر المجرد

في الجبر المجرد ، إذا كان لدينا مجموعة عناصر (magma) تحتوي على عملية ثنائية * (والتي يمكن تسميتها مجازًا بالضرب)، فإن القسمة اليسرى لـ b على a (وتُكتب $a \ b$ ) تُعرَّف عادةً بأنها الحل x للمعادلة $a * x = b$ ، إن وُجد وكان وحيدًا. وبالمثل، فإن القسمة اليمنى لـ b على a (وتُكتب $b / a$ ) هي الحل y للمعادلة $y * a = b$ . لا تتطلب القسمة بهذا المعنى أن يكون لـ * أي خصائص محددة (مثل التبديلية، أو التجميعية، أو وجود عنصر محايد). تُسمى المجموعة التي يوجد فيها كل من $a \ b$ و $b / a$ ويكونان وحيدين لجميع قيم a و b ( خاصية المربع اللاتيني ) شبه زمرة . في شبه الزمرة، تكون القسمة بهذا المعنى ممكنة دائمًا، حتى بدون وجود عنصر محايد، وبالتالي بدون معكوسات.

يمكن إجراء "القسمة" بمعنى "الإلغاء" في أي جبر باستخدام عنصر له خاصية الإلغاء . ومن الأمثلة على ذلك جبر المصفوفات ، وجبر الكواترنيونات، وشبه الزمر. في مجال تكاملي ، حيث لا يشترط أن يكون لكل عنصر معكوس، يمكن إجراء القسمة على عنصر قابل للإلغاء a على عناصر من الشكل ab أو ca عن طريق الإلغاء من اليسار أو اليمين، على التوالي. إذا كانت الحلقة منتهية وكان كل عنصر غير صفري فيها قابلاً للإلغاء، فبتطبيق مبدأ خانة الحمام ، يكون كل عنصر غير صفري في الحلقة قابلاً للعكس، وبالتالي تكون القسمة على أي عنصر غير صفري ممكنة. لمعرفة متى تحتوي الجبر (بالمعنى التقني) على عملية قسمة، راجع صفحة جبر القسمة . على وجه الخصوص، يمكن استخدام دورية بوت لإثبات أن أي جبر قسمة معياري حقيقي يجب أن يكون متماثلاً إما مع الأعداد الحقيقية R ، أو الأعداد المركبة C ، أو الكواترنيونات H ، أو الأوكتونيونات O.

حساب التفاضل والتكامل

مشتقة ناتج قسمة دالتين تُعطى بقاعدة القسمة : ${\left({\frac {f}{g}}\right)}'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}.$

القسمة على صفر

قسمة أي عدد على صفر في معظم الأنظمة الرياضية غير مُعرَّفة، لأن ضرب الصفر في أي عدد محدود ينتج عنه دائمًا صفر . ^{[ 17 ]} إدخال مثل هذه العملية في معظم الآلات الحاسبة يُنتج رسالة خطأ. مع ذلك، في بعض البنى الرياضية، تكون القسمة على صفر ممكنة، كما هو الحال في حلقة الصفر وفي البنى الجبرية مثل العجلات . ^{[ 18 ]} في هذه البنى، يختلف معنى القسمة عن التعريفات التقليدية.

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ يمكن تعريف القسمة على صفر في بعض الحالات، إما بتمديد الأعداد الحقيقية إلى خط الأعداد الحقيقية الممتد أو إلى خط الأعداد الحقيقية الممتد إسقاطيًا، أو عند حدوثها كنهاية للقسمة على أعداد تقترب من الصفر. على سبيل المثال: $lim x \to0 ⁠ sin x / x ⁠ = 1.$ ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

مراجع

↑ بليك، أ.ج. (1887). الحساب . دبلن، أيرلندا : ألكسندر ثوم وشركاه .
1 2 وايسشتاين، إريك دبليو. "القسمة" . عالم الرياضيات .
↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "القسمة على صفر" . عالم الرياضيات .
↑ ديربيشاير، جون (2004). هاجس الأعداد الأولية: برنارد ريمان وأعظم مشكلة لم تُحل في الرياضيات . مدينة نيويورك : دار بنغوين للنشر . ISBN 978-0-452-28525-5.
^ وايسستين ، إريك دبليو. “قسم الأعداد الصحيحة” . عالم الرياضيات .
↑ http://www.mathwords.com/c/commutative.htm مؤرشف بتاريخ 28 أكتوبر 2018 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine). تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 أكتوبر 2018.
↑ http://www.mathwords.com/a/associative_operation.htm مؤرشف بتاريخ 28 أكتوبر 2018 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine). تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 أكتوبر 2018.
↑ جورج مارك بيرغمان: ترتيب العمليات الحسابية. مؤرشف بتاريخ 5 مارس 2017 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).
↑ مكان التعليم: ترتيب العمليات (مؤرشف بتاريخ 8 يونيو 2017 في أرشيف الإنترنت)
↑ "6. أنظمة الكتابة وعلامات الترقيم" (ملف PDF) . معيار يونيكود®: الإصدار 10.0 - المواصفات الأساسية . اتحاد يونيكود. يونيو 2017. ص 280، أوبيلوس.
1 2 كاجوري، فلوريان (1929). تاريخ الرموز الرياضية . دار النشر أوبن كورت.
↑ توماس سونابيند (2010). الرياضيات للمعلمين: منهج تفاعلي للصفوف من الروضة إلى الصف الثامن . بروكس/كول، سينجايج ليرنينج (تشارلز فان واغنر). ص 126. ISBN 978-0-495-56166-8.
↑ سميث، ديفيد يوجين (1925). "قسمتنا المطولة". تاريخ الرياضيات، المجلد الثاني . دار جين وشركاه للنشر. ص 140.
↑ https://file.arabipedia.wiki/wikipedia/commons/d/d0/A_Complete_System_of_Practical_Arithmetic%2C_(both_Vulgar_and_Decimal)_on_an_Entire_New_Plan_..._(IA_acompletesystem00sadlgoog).pdf#page=133 ص 106
↑ كوجيما، تاكاشي (9 يوليو 2012). المعداد المتقدم: النظرية والتطبيق . دار نشر تاتل. رقم ISBN 978-1-4629-0365-8.
↑ وايسشتاين، إريك و. "القسمة الصحيحة" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 4 مايو 2026 .
↑ http://mathworld.wolfram.com/DivisionbyZero.html مؤرشف بتاريخ 23 أكتوبر 2018 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine). تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 أكتوبر 2018.
↑ جيسبر كارلستروم. "حول القسمة على صفر" مؤرشف بتاريخ 17 أغسطس 2019 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine). تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 أكتوبر 2018.

روابط خارجية

قسم بلانيت ماث
قسمة على عداد ياباني مختار من كتاب "العداد: لغز الخرزة"
تقنيات القسمة القصيرة الصينية على لوح سوان بان

[4] يمكن تعريف القسمة على صفر في بعض الحالات، إما بتمديد الأعداد الحقيقية إلى خط الأعداد الحقيقية الممتد أو إلى خط الأعداد الحقيقية الممتد إسقاطيًا، أو عند حدوثها كنهاية للقسمة على أعداد تقترب من الصفر. على سبيل المثال: $lim x \to0 ⁠ sin x / x ⁠ = 1.$ ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

[1] بليك، أ.ج. (1887). الحساب . دبلن، أيرلندا : ألكسندر ثوم وشركاه .

[mwdiv-2] 1 2 وايسشتاين، إريك دبليو. "القسمة" . عالم الرياضيات .

[db0-3] وايسشتاين، إريك دبليو. "القسمة على صفر" . عالم الرياضيات .

[5] ديربيشاير، جون (2004). هاجس الأعداد الأولية: برنارد ريمان وأعظم مشكلة لم تُحل في الرياضيات . مدينة نيويورك : دار بنغوين للنشر . ISBN 978-0-452-28525-5.

[mwintdiv-6] وايسستين ، إريك دبليو. “قسم الأعداد الصحيحة” . عالم الرياضيات .

[7] ttp://www.mathwords.com/c/commutative.htm مؤرشف بتاريخ 28 أكتوبر 2018 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine). تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 أكتوبر 2018.

[8] ttp://www.mathwords.com/a/associative_operation.htm مؤرشف بتاريخ 28 أكتوبر 2018 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine). تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 أكتوبر 2018.

[Order_of_arithmetic_operations-9] جورج مارك بيرغمان: ترتيب العمليات الحسابية. مؤرشف بتاريخ 5 مارس 2017 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).

[The_Order_of_Operations-10] مكان التعليم: ترتيب العمليات (مؤرشف بتاريخ 8 يونيو 2017 في أرشيف الإنترنت)

[11] "6. أنظمة الكتابة وعلامات الترقيم" (ملف PDF) . معيار يونيكود®: الإصدار 10.0 - المواصفات الأساسية . اتحاد يونيكود. يونيو 2017. ص 280، أوبيلوس.

[Cajori-12] 1 2 كاجوري، فلوريان (1929). تاريخ الرموز الرياضية . دار النشر أوبن كورت.

[13] توماس سونابيند (2010). الرياضيات للمعلمين: منهج تفاعلي للصفوف من الروضة إلى الصف الثامن . بروكس/كول، سينجايج ليرنينج (تشارلز فان واغنر). ص 126. ISBN 978-0-495-56166-8.

[Smith-14] سميث، ديفيد يوجين (1925). "قسمتنا المطولة". تاريخ الرياضيات، المجلد الثاني . دار جين وشركاه للنشر. ص 140.

[15] ttps://file.arabipedia.wiki/wikipedia/commons/d/d0/A_Complete_System_of_Practical_Arithmetic%2C_(both_Vulgar_and_Decimal)_on_an_Entire_New_Plan_..._(IA_acompletesystem00sadlgoog).pdf#page=133 ص 106

[16] كوجيما، تاكاشي (9 يوليو 2012). المعداد المتقدم: النظرية والتطبيق . دار نشر تاتل. رقم ISBN 978-1-4629-0365-8.

[17] وايسشتاين، إريك و. "القسمة الصحيحة" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 4 مايو 2026 .

[18] ttp://mathworld.wolfram.com/DivisionbyZero.html مؤرشف بتاريخ 23 أكتوبر 2018 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine). تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 أكتوبر 2018.

[19] جيسبر كارلستروم. "حول القسمة على صفر" مؤرشف بتاريخ 17 أغسطس 2019 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine). تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 أكتوبر 2018.

[ 1 ]

[ a ]

[ 4 ]

2

[

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 3 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗