مجموعة فارغة

عند الحديث عن مجموع عناصر مجموعة منتهية، يُلجأ حتمًا إلى الاصطلاح القائل بأن مجموع عناصر المجموعة الفارغة ( المجموع الفارغ ) يساوي صفرًا. والسبب في ذلك هو أن الصفر هو العنصر المحايد لعملية الجمع. وبالمثل، يُعتبر حاصل ضرب عناصر المجموعة الفارغة ( الضرب الفارغ ) مساويًا للواحد ، لأن الواحد هو العنصر المحايد لعملية الضرب. ^{[ 6 ]}

التبديل غير المنتظم هو تبديل لمجموعة بدون نقاط ثابتة . يمكن اعتبار المجموعة الفارغة تبديلاً غير منتظم لنفسها، لأنها لا تملك سوى تبديل واحد (${\displaystyle 0!=1}$)، ومن الواضح أنه لا يمكن العثور على أي عنصر (من المجموعة الفارغة) يحتفظ بموقعه الأصلي.

بما أن المجموعة الفارغة لا تحتوي على أي عنصر عند اعتبارها مجموعة جزئية من أي مجموعة مرتبة ، فإن كل عنصر من عناصر تلك المجموعة يمثل حدًا أعلى وحدًا أدنى للمجموعة الفارغة. على سبيل المثال، عند اعتبارها مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية، بترتيبها المعتاد، والممثلة بخط الأعداد الحقيقية ، فإن كل عدد حقيقي يمثل حدًا أعلى وحدًا أدنى للمجموعة الفارغة. ^{[ 7 ]} وعند اعتبارها مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية الموسعة المتكونة من إضافة "عددين" أو "نقطتين" إلى الأعداد الحقيقية (أي سالب ما لا نهاية ، ويرمز له بـ${\displaystyle -\infty \!\,,}$والذي يُعرَّف بأنه أقل من كل عدد حقيقي ممتد آخر، واللانهاية الموجبة ، ويرمز لها بـ${\displaystyle +\infty \!\,,}$والذي يُعرَّف بأنه أكبر من كل عدد حقيقي ممتد آخر)، لدينا ما يلي: $${\displaystyle \sup \varnothing =\min(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=-\infty ,}$$ و $${\displaystyle \inf \varnothing =\max(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=+\infty .}$$

أي أن الحد الأعلى الأدنى (الأعلى أو القيمة العليا ) للمجموعة الفارغة هو سالب ما لا نهاية، بينما الحد الأدنى الأعلى (الأسفل أو القيمة الدنيا ) هو موجب ما لا نهاية. وبالمثل، في مجال الأعداد الحقيقية الموسعة، يمثل سالب ما لا نهاية العنصر المحايد لمؤثري القيمة القصوى والقيمة العليا، بينما يمثل موجب ما لا نهاية العنصر المحايد لمؤثري القيمة الدنيا والقيمة الدنيا.

في الفضاء الأنيبيولوجي${\displaystyle X}$المجموعة الفارغة مفتوحة بحكم تعريفها، كما هو الحال مع${\displaystyle X}$بما أن متممة المجموعة المفتوحة هي مجموعة مغلقة ، والمجموعة الفارغة هي مجموعة مغلقة، فإن${\displaystyle X}$بما أن المجموعتين متكاملتان، فإن المجموعة الفارغة مغلقة أيضاً، مما يجعلها مجموعة مفتوحة مغلقة . علاوة على ذلك، فإن المجموعة الفارغة متراصة لأن كل مجموعة منتهية متراصة.

فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$يُقال إن لها طوبولوجيا غير منفصلة إذا كانت المجموعات المفتوحة الوحيدة هي${\displaystyle \varnothing }$والمساحة بأكملها.

إغلاق المجموعة الفارغة يكون فارغًا. وهذا ما يُعرف باسم "حفظ الاتحادات الصفرية " . ^{[ 8 ]}

لو${\displaystyle A}$إذا كانت مجموعة، فإنه يوجد دالة واحدة فقط${\displaystyle f}$من${\displaystyle \varnothing }$ل${\displaystyle A,}$الدالة الفارغة . ونتيجة لذلك، فإن المجموعة الفارغة هي الكائن الأولي الوحيد لفئة المجموعات والدوال.

يمكن تحويل المجموعة الفارغة إلى فضاء طوبولوجي ، يُسمى الفضاء الفارغ، بطريقة واحدة فقط: بتعريف المجموعة الفارغة على أنها مفتوحة . هذا الفضاء الطوبولوجي الفارغ هو الكائن الأولي الوحيد في فئة الفضاءات الطوبولوجية ذات التطبيقات المتصلة . في الواقع، هو كائن أولي صارم : فالمجموعة الفارغة وحدها هي التي لها دالة على المجموعة الفارغة.

في بناء فون نيومان للأعداد الترتيبية ، يُعرَّف الصفر بأنه المجموعة الفارغة، ويُعرَّف العدد التالي للعدد الترتيبي على النحو التالي:${\displaystyle S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}}$وبالتالي، لدينا${\displaystyle 0=\varnothing }$،${\displaystyle 1=0\cup \{0\}=\{\varnothing \}}$،${\displaystyle 2=1\cup \{1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}}$وهكذا دواليك. يمكن استخدام بناء فون نيومان، إلى جانب بديهية اللانهاية التي تضمن وجود مجموعة لانهائية واحدة على الأقل، لبناء مجموعة الأعداد الطبيعية.${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$، بحيث يتم استيفاء بديهيات بيانو في الحساب.

في سياق مجموعات الأعداد الحقيقية، استخدم كانتور${\displaystyle P\equiv O}$للدلالة على "${\displaystyle P}$لا يحتوي على نقطة واحدة. هذا${\displaystyle \equiv O}$استُخدمت رموز معينة في التعريفات؛ فعلى سبيل المثال، عرّف كانتور مجموعتين بأنهما منفصلتان إذا كان تقاطعهما خالياً من النقاط؛ ومع ذلك، يبقى من غير المؤكد ما إذا كان كانتور قد نظر إلى${\displaystyle O}$كمجموعة موجودة بذاتها، أو إذا كان كانتور قد استخدمها فقط${\displaystyle \equiv O}$كصفة فراغ. قبل زيرميلو${\displaystyle O}$^{[ 9 ]}​

في نظرية زيرميلو للمجموعات ، يُضمن وجود المجموعة الفارغة بواسطة بديهية المجموعة الفارغة ، وتنتج وحدانية هذه المجموعة من بديهية التمديد . ومع ذلك، يمكن إثبات أن بديهية المجموعة الفارغة زائدة عن الحاجة بطريقتين على الأقل:

• يستنتج منطق الرتبة الأولى القياسي ، انطلاقاً من البديهيات المنطقية فحسب ، وجود شيء ما ، وفي لغة نظرية المجموعات، يجب أن يكون هذا الشيء مجموعة. ويترتب وجود المجموعة الفارغة بسهولة من بديهية الفصل .
• حتى باستخدام المنطق الحر (الذي لا يعني منطقياً أن شيئاً ما موجود)، هناك بالفعل بديهية تشير إلى وجود مجموعة واحدة على الأقل، وهي بديهية اللانهاية .

على الرغم من أن المجموعة الفارغة هي مفهوم رياضي قياسي ومقبول على نطاق واسع، إلا أنها لا تزال فضولًا وجوديًا ، حيث يتم مناقشة معناها وفائدتها من قبل الفلاسفة والمنطقيين.

المجموعة الفارغة ليست هي العدم ؛ بل هي مجموعة لا تحتوي على شيء ، والمجموعة دائمًا ما تحتوي على شيء . يمكن تجاوز هذه المسألة بالنظر إلى المجموعة كحقيبة - ولا شك في وجود حقيبة فارغة. يوضح دارلينج (2004) أن المجموعة الفارغة ليست العدم، بل هي "مجموعة جميع المثلثات ذات الأربعة أضلاع، ومجموعة جميع الأعداد الأكبر من تسعة والأصغر من ثمانية، ومجموعة جميع حركات الافتتاح في الشطرنج التي تتضمن الملك ". ^{[ 10 ]}

القياس المنطقي الشائع

لا شيء أفضل من السعادة الأبدية؛ شطيرة لحم الخنزير أفضل من لا شيء؛ لذلك، شطيرة لحم الخنزير أفضل من السعادة الأبدية

يُستخدم هذا المصطلح غالبًا لتوضيح العلاقة الفلسفية بين مفهوم العدم والمجموعة الفارغة. يكتب دارلينج أن التباين يمكن ملاحظته بإعادة صياغة العبارتين "لا شيء أفضل من السعادة الأبدية" و"شطيرة لحم الخنزير أفضل من لا شيء" بأسلوب رياضي. ووفقًا لدارلينج، فإن الأولى تُعادل "مجموعة كل الأشياء التي هي أفضل من السعادة الأبدية هي${\displaystyle \varnothing }$والأخيرة إلى "المجموعة {ساندويتش لحم الخنزير} أفضل من المجموعة${\displaystyle \varnothing }$". يقارن الأول عناصر المجموعات، بينما يقارن الثاني المجموعات نفسها. ^{[ 10 ]}

يجادل جوناثان لوي بأنه في حين أن المجموعة الفارغة

كان بلا شك علامة فارقة مهمة في تاريخ الرياضيات،  ... لا ينبغي لنا أن نفترض أن فائدته في الحساب تعتمد على كونه يدل فعليًا على شيء ما.

وينطبق الأمر نفسه على ما يلي:

كل ما نعرفه عن المجموعة الفارغة هو أنها (1) مجموعة، (2) لا تحتوي على عناصر، و(3) فريدة بين المجموعات لكونها خالية من العناصر. مع ذلك، هناك أشياء كثيرة "لا تحتوي على عناصر" بالمعنى النظري للمجموعات، أي كل ما ليس مجموعة. من الواضح تمامًا لماذا لا تحتوي هذه الأشياء على عناصر، لأنها ليست مجموعات. ما هو غير واضح هو كيف يمكن أن توجد، بشكل فريد بين المجموعات، مجموعة لا تحتوي على عناصر. لا يمكننا استحضار مثل هذا الكيان بمجرد افتراض ذلك. ^{[ 11 ]}

جادل جورج بولوس بأن الكثير مما تم الحصول عليه حتى الآن من خلال نظرية المجموعات يمكن الحصول عليه بسهولة عن طريق التكميم الجمعي على الأفراد، دون تجسيد المجموعات ككيانات مفردة لها كيانات أخرى كأعضاء. ^{[ 12 ]}