شبكة (ترتيب)

العلاقات الثنائية المتعدية  v ت هـ
متماثل مضاد للتناظر متصل مؤسس بشكل جيد لديه روابط لديه لقاءات انعكاسي غير انعكاسي غير متماثل توتال، سيميكونكس مضاد للانعكاس علاقة التكافؤ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ طلب مسبق (طلب شبه رسمي) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ طلب جزئي ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ إجمالي الطلبات المسبقة ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ إجمالي الطلب ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ الطلب المسبق ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ ترتيب شبه جيد ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ ترتيب جيد ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ شعرية ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ الانضمام إلى شبه الشبكة ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ شبكة اللقاءات ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ ترتيب جزئي صارم ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y ترتيب ضعيف صارم ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y إجمالي الطلب الصارم ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y متماثل مضاد للتناظر متصل مؤسس بشكل جيد لديه روابط لديه لقاءات انعكاسي غير انعكاسي غير متماثل التعريفات، للجميع${\displaystyle a,b}$و${\displaystyle S\neq \varnothing$ :} ${\displaystyle {\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb{\text{ و }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\vee b\\{\text{يوجد}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle aRa}$ ${\displaystyle {\text{not }}aRa}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}}$
يشير الرمز Y إلى أن خاصية العمود صحيحة دائمًا بالنسبة لعنصر الصف (في أقصى اليسار)، بينما يشير الرمز ✗ إلى أن الخاصية غير مضمونة بشكل عام (قد تكون صحيحة أو خاطئة). على سبيل المثال، يُشار إلى أن كل علاقة تكافؤ متناظرة، ولكن ليس بالضرورة مضادة للتناظر، بالرمز Y في عمود "متناظر" والرمز ✗ في عمود "مضاد للتناظر". تتطلب جميع التعريفات ضمنيًا العلاقة المتجانسة${\displaystyle R}$يكون متعدياً : للجميع${\displaystyle a,b,c,}$لو${\displaystyle aRb}$و${\displaystyle bRc}$ثم${\displaystyle aRc.}$ قد يتطلب تعريف المصطلح خصائص إضافية غير مدرجة في هذا الجدول.

الشبكة هي بنية مجردة تُدرس في فرعي نظرية الترتيب والجبر المجرد في الرياضيات . تتكون من مجموعة مرتبة جزئيًا، حيث يمتلك كل زوج من العناصر حدًا أعلى فريدًا (يُسمى أيضًا الحد الأعلى الأدنى أو التقاطع ) وحدًا أدنى فريدًا (يُسمى أيضًا الحد الأدنى الأعلى أو التقاطع ). مثال على ذلك مجموعة القوى لمجموعة مرتبة جزئيًا حسب الاحتواء ، حيث يكون الحد الأعلى هو الاتحاد والحد الأدنى هو التقاطع . مثال آخر هو الأعداد الطبيعية ، مرتبة جزئيًا حسب قابلية القسمة ، حيث يكون الحد الأعلى هو المضاعف المشترك الأصغر والحد الأدنى هو القاسم المشترك الأكبر .

يمكن أيضًا وصف الشبكات بأنها هياكل جبرية تحقق متطابقات بديهية معينة . ولأن التعريفين متكافئان، فإن نظرية الشبكات تستند إلى كل من نظرية الترتيب والجبر الشامل . ويمكن تعميم فئة الشبكات لتشمل أنصاف الشبكات ، ومن أبرز فئات الشبكات الفرعية: جبر هيتينغ ، والجبر البولياني ، والشبكات التوزيعية ، والشبكات الهندسية ( الماترويدات ). وتسمح جميع هذه الهياكل الشبيهة بالشبكات بوصفها من منظور نظرية الترتيب، بالإضافة إلى الوصف الجبري.

يُطلق على المجال الفرعي الذي يدرس الشبكات اسم نظرية الشبكات .

يمكن تعريف الشبكة إما من الناحية النظرية كمجموعة مرتبة جزئياً، أو كبنية جبرية.

الشبكة المحدودة هي شبكة تحتوي بالإضافة إلى ذلك على عنصر أعظم (يسمى أيضًا العنصر الأقصى أو العنصر الأعلى ، ويرمز له بـ${\displaystyle 1}$أو${\displaystyle \top }$) وأصغر عنصر (يسمى أيضًا الحد الأدنى أو القاع ، ويرمز له بـ${\displaystyle 0}$أو${\displaystyle \bot }$، والتي تحقق $${\displaystyle 0\leq x\leq 1\;{\text{ for every }}x\in L.}$$

يمكن تعريف الشبكة المحدودة أيضًا على أنها بنية جبرية من الشكل التالي:${\displaystyle (L,\vee ,\wedge ,0,1)}$بحيث${\displaystyle (L,\vee ,\wedge )}$هي شبكة،${\displaystyle 0}$(الجزء السفلي من الشبكة) هو عنصر الهوية لعملية الربط${\displaystyle \vee ,}$و${\displaystyle 1}$(قمة الشبكة) هي العنصر المحايد لعملية الالتقاء${\displaystyle \wedge .}$$${\displaystyle a\vee 0=a}$$$${\displaystyle a\wedge 1=a}$$

يمكن إثبات أن المجموعة المرتبة جزئيًا هي شبكة محدودة إذا وفقط إذا كان لكل مجموعة منتهية من العناصر (بما في ذلك المجموعة الفارغة) وصلة وتقاطع.

يمكن تضمين أي شبكة في شبكة محدودة بإضافة عنصر أكبر وعنصر أصغر. علاوة على ذلك، فإن كل شبكة منتهية غير فارغة تكون محدودة، وذلك بأخذ وصل (أو تقاطع) جميع العناصر، ويرمز له بـ${\textstyle 1=\bigvee L=a_{1}\lor \cdots \lor a_{n}}$(على التوالى${\textstyle 0=\bigwedge L=a_{1}\land \cdots \land a_{n}}$) أين${\displaystyle L=\left\{a_{1},\ldots ,a_{n}\right\}}$هي مجموعة جميع العناصر.

ترتبط الشبكات ببعض البنى الجبرية الشبيهة بالمجموعات . ولأنّ خاصيتي الالتقاء والوصل تتبادلان وتترافقان، يمكن اعتبار الشبكة مكونة من مجموعتين شبهيتين تبادليتين لهما نفس المجال. بالنسبة للشبكة المحدودة، تكون هاتان المجموعتان شبهيتين في الواقع أحاديات تبادلية . قانون الامتصاص هو المتطابقة الوحيدة المميزة لنظرية الشبكات. كما يمكن اعتبار الشبكة المحدودة هيكلاً تبادلياً بدون بديهية التوزيع.

بفضل خصائص التبديل والتجميع والتكرار، يمكن اعتبار عمليتي الربط والالتقاء عمليتين على مجموعات منتهية غير فارغة، بدلاً من كونهما عمليتين على أزواج من العناصر. في شبكة محدودة، يمكن تعريف عمليتي الربط والالتقاء للمجموعة الفارغة أيضاً (على النحو التالي:${\displaystyle 0}$و${\displaystyle 1,}$على التوالي). وهذا يجعل الشبكات المحدودة أكثر طبيعية إلى حد ما من الشبكات العامة، ويشترط العديد من المؤلفين أن تكون جميع الشبكات محدودة.

يلعب التفسير الجبري للشبكات دورًا أساسيًا في الجبر الشامل .

• 
  الصورة  1: مجموعات فرعية من${\displaystyle \{x,y,z\},}$تحت مفهوم احتواء المجموعة . يُستدل على اسم "الشبكة" من شكل مخطط هاس الذي يصورها.
• 
  الصورة  2: شبكة من قواسم العدد 60 الصحيحة، مرتبة حسب " القواسم ".
• 
  الصورة  3: شبكة من التقسيمات${\displaystyle \{1,2,3,4\},}$مرتبة حسب " التحسينات ".
• 
  الشكل  4: شبكة من الأعداد الصحيحة الموجبة، مرتبة حسب${\displaystyle \,\leq ,}$
• 
  الشكل  5: شبكة من أزواج الأعداد الصحيحة غير السالبة، مرتبة حسب مكوناتها.

• لأي مجموعة${\displaystyle A,}$مجموعة جميع المجموعات الفرعية من${\displaystyle A}$(تسمى مجموعة القوى لـ${\displaystyle A}$يمكن ترتيبها عبر تضمين المجموعات الجزئية للحصول على شبكة محدودة بـ${\displaystyle A}$نفسها والمجموعة الفارغة. في هذه الشبكة، يتم توفير الحد الأعلى عن طريق اتحاد المجموعات ويتم توفير الحد الأدنى عن طريق تقاطع المجموعات (انظر الشكل  1).
• لأي مجموعة${\displaystyle A,}$مجموعة جميع المجموعات الجزئية المنتهية من${\displaystyle A,}$مرتبة حسب الاحتواء، هي أيضًا شبكة، وستكون محدودة إذا وفقط إذا${\displaystyle A}$محدود.
• لأي مجموعة${\displaystyle A,}$مجموعة جميع أقسام${\displaystyle A,}$مرتبة حسب التحسين ، هي شبكة (انظر الشكل  3).
• تشكل الأعداد الصحيحة الموجبة بترتيبها المعتاد شبكة غير محدودة، تحت عمليتي "min" و "max". 1 هو الأدنى؛ لا يوجد أعلى (انظر الشكل  4).
• المربع الديكارتي للأعداد الطبيعية، مرتبة بحيث${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$لو${\displaystyle a\leq c{\text{ and }}b\leq d.}$الزوجان${\displaystyle (0,0)}$هو العنصر السفلي؛ لا يوجد عنصر علوي (انظر الصورة  5).
• تشكل الأعداد الطبيعية أيضًا شبكة تحت عمليات أخذ القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر ، مع قابلية القسمة كعلاقة ترتيب:${\displaystyle a\leq b}$لو${\displaystyle a}$يقسم${\displaystyle b.}$${\displaystyle 1}$هو الأسفل؛${\displaystyle 0}$هذا هو الأعلى. الصورة  2 تُظهر شبكة فرعية محدودة.
• كل شبكة كاملة (انظر أدناه أيضًا ) هي شبكة محدودة (محددة نوعًا ما). وتنتج عن هذه الفئة مجموعة واسعة من الأمثلة العملية .
• مجموعة العناصر المدمجة في شبكة حسابية كاملة هي شبكة ذات عنصر أصغر، حيث تُحدد عمليات الشبكة بتقييد العمليات المقابلة في الشبكة الحسابية. هذه هي الخاصية المميزة التي تُفرق الشبكات الحسابية عن الشبكات الجبرية ، التي لا تُشكل عناصرها المدمجة سوى شبه شبكة متصلة . تُدرس هاتان الفئتان من الشبكات الكاملة في نظرية المجالات .

تُقدم أمثلة إضافية للشبكات لكل خاصية من الخصائص الإضافية التي نناقشها أدناه.

معظم المجموعات المرتبة جزئياً ليست شبكات، بما في ذلك ما يلي.

• مجموعة جزئية منفصلة، ​​أي مجموعة جزئية بحيث${\displaystyle x\leq y}$يشير إلى${\displaystyle x=y,}$تُعتبر المجموعة شبكةً إذا وفقط إذا احتوت على عنصر واحد على الأكثر. وعلى وجه الخصوص، فإن المجموعة الجزئية المرتبة المنفصلة المكونة من عنصرين ليست شبكة.
• على الرغم من أن المجموعة${\displaystyle \{1,2,3,6\}}$الترتيب الجزئي حسب قابلية القسمة هو شبكة، المجموعة${\displaystyle \{1,2,3\}}$الترتيب المرتب ليس شبكة لأن الزوج 2، 3 يفتقر إلى وصلة؛ وبالمثل، يفتقر الزوج 2، 3 إلى نقطة التقاء في${\displaystyle \{2,3,6\}.}$
• المجموعة${\displaystyle \{1,2,3,12,18,36\}}$الترتيب الجزئي حسب قابلية القسمة ليس شبكة. لكل زوج من العناصر حد أعلى وحد أدنى، لكن الزوج 2، 3 له ثلاثة حدود عليا، وهي 12 و18 و36، ولا يوجد بينها أصغر هذه الحدود الثلاثة في حالة قابلية القسمة (12 و18 لا يقسمان بعضهما). وبالمثل، للزوج 12، 18 ثلاثة حدود دنيا، وهي 1 و2 و3، ولا يوجد بينها أكبر هذه الحدود الثلاثة في حالة قابلية القسمة (2 و3 لا يقسمان بعضهما).

ينبثق المفهوم المناسب للتشاكل بين شبكتين بسهولة من التعريف الجبري المذكور أعلاه . بالنظر إلى شبكتين${\displaystyle \left(L,\vee _{L},\wedge _{L}\right)}$و${\displaystyle \left(M,\vee _{M},\wedge _{M}\right),}$التشاكل الشبكي من L إلى M هو دالة${\displaystyle f:L\to M}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle a,b\in L:}$$${\displaystyle f\left(a\vee _{L}b\right)=f(a)\vee _{M}f(b),{\text{ and }}}$$$${\displaystyle f\left(a\wedge _{L}b\right)=f(a)\wedge _{M}f(b).}$$

هكذا${\displaystyle f}$هو تماثل بين نصفي الشبكتين الأساسيتين . عند النظر في الشبكات ذات البنية الأكثر تعقيدًا، يجب أن "تحترم" التماثلات البنية الإضافية أيضًا. على وجه الخصوص، تماثل الشبكة المحدودة (يُسمى عادةً "تماثل الشبكة").${\displaystyle f}$بين شبكتين محدودتين${\displaystyle L}$و${\displaystyle M}$ينبغي أن يتمتع أيضاً بالخاصية التالية: $${\displaystyle f\left(0_{L}\right)=0_{M},{\text{ and }}}$$$${\displaystyle f\left(1_{L}\right)=1_{M}.}$$

في صياغة نظرية الترتيب، تنص هذه الشروط ببساطة على أن تماثل الشبكات هو دالة تحافظ على التقاطعات الثنائية والوصلات. بالنسبة للشبكات المحدودة، فإن الحفاظ على أصغر وأكبر العناصر هو مجرد الحفاظ على وصلة وتقاطع المجموعة الفارغة.

أي تشاكل بين الشبكات يكون بالضرورة رتيبًا بالنسبة لعلاقة الترتيب المرتبطة به؛ انظر: دالة الحفاظ على النهايات. والعكس غير صحيح: فالرتابة لا تعني بالضرورة الحفاظ على التقاطعات والوصلات (انظر الشكل  9)، مع أن التقابل الحافظ للترتيب يكون تشاكلًا إذا كان معكوسه حافظًا للترتيب أيضًا.

بالنظر إلى التعريف القياسي للتشاكلات باعتبارها تماثلات قابلة للعكس، فإن تشاكل الشبكة هو ببساطة تشاكل شبكي تقابلي . وبالمثل، فإن تشاكل الشبكة الداخلي هو تشاكل شبكي من شبكة إلى نفسها، وتشاكل الشبكة الذاتي هو تشاكل شبكي داخلي تقابلي. تشكل الشبكات وتشاكلاتها فئةً .

يترك${\displaystyle \mathbb {L} }$و${\displaystyle \mathbb {L} '}$ليكن لدينا شبكتان تحتويان على 0 و 1 . تشاكل من${\displaystyle \mathbb {L} }$ل${\displaystyle \mathbb {L} '}$يُطلق عليه اسم 0 ، 1 - يفصل إذا وفقط إذا${\displaystyle f^{-1}\{f(0)\}=\{0\}}$(${\displaystyle f}$يفصل 0 ) و${\displaystyle f^{-1}\{f(1)\}=\{1\}}$(${\displaystyle f}$يفصل 1).

شبكة فرعية من شبكة${\displaystyle L}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle L}$هذا عبارة عن شبكة لها نفس عمليات الالتقاء والربط مثل${\displaystyle L.}$ أي إذا${\displaystyle L}$هي شبكة و${\displaystyle M}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle L}$بحيث يكون لكل زوج من العناصر${\displaystyle a,b\in M}$كلاهما${\displaystyle a\wedge b}$و${\displaystyle a\vee b}$في${\displaystyle M,}$ثم${\displaystyle M}$هي شبكة فرعية من${\displaystyle L.}$^{[ 3 ]}

شبكة فرعية${\displaystyle M}$من شبكة${\displaystyle L}$هي شبكة فرعية محدبة من${\displaystyle L,}$لو${\displaystyle x\leq z\leq y}$و${\displaystyle x,y\in M}$يشير ذلك إلى أن${\displaystyle z}$ينتمي إلى${\displaystyle M,}$لجميع العناصر${\displaystyle x,y,z\in L.}$

نقدم الآن عدداً من الخصائص المهمة التي تؤدي إلى فئات خاصة مثيرة للاهتمام من الشبكات. وقد سبق مناقشة إحدى هذه الخصائص، وهي خاصية التقييد.

التوزيعية

بما أن الشبكات تأتي مع عمليتين ثنائيتين، فمن الطبيعي أن نتساءل عما إذا كانت إحداهما توزع على الأخرى، أي ما إذا كان أحد القانونين الثنائيين التاليين ينطبق على كل ثلاثة عناصر${\displaystyle a,b,c\in L,}$:

توزيعية${\displaystyle \vee }$زيادة${\displaystyle \wedge }$

$${\displaystyle a\vee (b\wedge c)=(a\vee b)\wedge (a\vee c).}$$

توزيعية${\displaystyle \wedge }$زيادة${\displaystyle \vee }$

$${\displaystyle a\wedge (b\vee c)=(a\wedge b)\vee (a\wedge c).}$$

تُسمى الشبكة التي تُحقق البديهية الأولى، أو ما يُكافئها (كما اتضح) البديهية الثانية، شبكةً توزيعية . ^{[ 6 ]} الشبكات غير التوزيعية الوحيدة التي تحتوي على أقل من 6 عناصر تُسمى M3 _و N5 _؛ [ ^{7 ] وهما} موضحتان في الشكلين 10 و11 على التوالي. تكون الشبكة توزيعية إذا وفقط إذا لم يكن لها شبكة فرعية متماثلة مع M3 _أو N5 _. [ ^{8 ] كل} شبكة توزيعية متماثلة مع شبكة من المجموعات (حيث الاتحاد والتقاطع هما الربط والالتقاء على التوالي). ^{[ 9 ]}

للحصول على نظرة عامة على المفاهيم الأقوى للتوزيعية المناسبة للشبكات الكاملة والتي تستخدم لتعريف فئات أكثر خصوصية من الشبكات مثل الإطارات والشبكات التوزيعية الكاملة ، انظر التوزيعية في نظرية الترتيب .

${\displaystyle r(x)+r(y)\geq r(x\wedge y)+r(x\vee y).}$

أي مجموعة${\displaystyle X}$يمكن استخدامها لتوليد الشبكة شبه الحرة${\displaystyle FX.}$تُعرَّف الشبكة شبه الحرة بأنها تتكون من جميع المجموعات الجزئية المنتهية من${\displaystyle X,}$مع عملية شبه الشبكة المعطاة باتحاد المجموعات العادي . تتمتع شبه الشبكة الحرة بالخاصية الشاملة . بالنسبة للشبكة الحرة على مجموعة${\displaystyle X,}$قدم ويتمان بناءً قائماً على كثيرات الحدود على${\displaystyle X}$أعضائها . ^{[ 13 ] [ 14 ]}

أي مجموعة (عادةً متعددة العناصر)${\displaystyle X}$يمكن أيضًا استخدامها لتعريف شبكة مسطحة ، وهي أصغر شبكة تكون فيها عناصر المجموعة غير قابلة للمقارنة، أو بشكل مكافئ، شبكة الرتبة 3 حيث${\displaystyle X}$هي بالضبط مجموعة العناصر ذات الرتبة المتوسطة. ^{[ 15 ]}

سنعرّف الآن بعض المفاهيم النظرية المتعلقة بالترتيب ذات الأهمية لنظرية الشبكة. فيما يلي، لنفترض${\displaystyle x}$أن يكون عنصرًا من عناصر شبكة ما${\displaystyle L.}$${\displaystyle x}$يُطلق عليه اسم:

• انضم إلى غير قابل للاختزال إذا${\displaystyle x=a\vee b}$يشير إلى${\displaystyle x=a{\text{ or }}x=b.}$للجميع${\displaystyle a,b\in L.}$لو${\displaystyle L}$يحتوي على عنصر سفلي${\displaystyle 0,}$بعض المؤلفين يشترطون${\displaystyle x\neq 0}$[ ^{16 ]} عند تعميم الشرط الأول ليشمل عمليات الربط ^{العشوائية}${\displaystyle \bigvee _{i\in I}a_{i},}$${\displaystyle x}$يُطلق عليه اسم الربط غير القابل للاختزال تمامًا (أو${\displaystyle \vee }$(غير قابل للاختزال). المفهوم المزدوج هو عدم قابلية الاختزال (${\displaystyle \wedge }$(غير قابلة للاختزال). على سبيل المثال، في الشكل  2، العناصر 2 و3 و4 و5 غير قابلة للاختزال بالضم، بينما العناصر 12 و15 و20 و30 غير قابلة للاختزال بالتقاطع. وبحسب التعريف، قد يُعتبر العنصر السفلي 1 غير قابل للاختزال بالضم، والعنصر العلوي 60 غير قابل للاختزال بالتقاطع. في شبكة الأعداد الحقيقية ذات الترتيب المعتاد، كل عنصر غير قابل للاختزال بالضم، ولكن لا يوجد عنصر غير قابل للاختزال بالضم بشكل كامل.
• انضم إلى برايم إذا${\displaystyle x\leq a\vee b}$يشير إلى${\displaystyle x\leq a{\text{ or }}x\leq b.}$مرة أخرى، بعض المؤلفين يطلبون${\displaystyle x\neq 0}$على الرغم من أن هذا غير معتاد. ^{[ 17 ]} يمكن تعميم هذا أيضًا للحصول على مفهوم العنصر الأولي المشترك تمامًا . المفهوم المقابل هو العنصر الأولي المتقاطع . كل عنصر مشترك أولي هو أيضًا عنصر غير قابل للاختزال المشترك، وكل عنصر متقاطع أولي هو أيضًا عنصر غير قابل للاختزال المتقاطع. ويتحقق العكس إذا${\displaystyle L}$توزيعي.

يترك${\displaystyle L}$يحتوي على عنصر سفلي 0. ​​عنصر${\displaystyle x}$ل${\displaystyle L}$هي ذرة إذا${\displaystyle 0<x}$ولا يوجد عنصر${\displaystyle y\in L}$بحيث${\displaystyle 0<y<x.}$ثم${\displaystyle L}$يُطلق عليه اسم:

• ذري إذا كان لكل عنصر غير صفري${\displaystyle x}$ل${\displaystyle L,}$توجد ذرة${\displaystyle a}$ل${\displaystyle L}$بحيث${\displaystyle a\leq x;}$^{[ 18 ]}
• ذري إذا كان كل عنصر من${\displaystyle L}$هو أعلى مستوى للذرات. ^{[ 19 ]}

ومع ذلك، تستخدم العديد من المصادر والمجتمعات الرياضية مصطلح "ذري" بمعنى "ذري" كما هو محدد أعلاه.

يشير مفهوما المُثُل ومفهوم المرشحات إلى أنواع محددة من المجموعات الجزئية لمجموعة مرتبة جزئيًا، ولذا فهما مهمان لنظرية الشبكات. يمكن الاطلاع على التفاصيل في المداخل ذات الصلة.

• انضم والتقِ – مفهوم في نظرية النظام 
• خريطة الشبكات - مفهوم في الرياضيات 
• الشبكة المتعامدة المتممة – شبكة مقيدة يكون لكل عنصر فيها مكمل. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه 
• الطلب الكلي – الطلب الذي تكون جميع عناصره قابلة للمقارنة 
• مثالي – مجموعة فرعية غير فارغة، ذات حد أعلى، ومغلقة من الأسفل، ومرشح ( مفاهيم ثنائية) 
• الشبكة المائلة (تعميم للوصل والتقاطع غير التبادليين)
• شبكة أويلر
• شبكة بوست – الشبكة في الجبر الشامل 
• شبكة تاماري – بنية جبرية 
• شبكة يونغ-فيوناشي – بنية على متواليات الأرقام 1 و2 
• شبكة بسيطة 0,1