120 خلية

في الهندسة ، تُعرف الخلية ذات الـ 120 بأنها متعدد الوجوه المنتظم المحدب رباعي الأبعاد (المكافئ رباعي الأبعاد للأجسام الأفلاطونية ) برمز شلافلي {5,3,3}. وتُسمى أيضًا C ₁₂₀ ، و dodecaplex (اختصارًا لـ "مركب ذو 12 وجهًا")، و hyperdodecahedron ، و polydodecahedron ، و hecatonicosachoron ، و dodecacontachoron ^{[ 1 ]} ، و hecatonicosahedroid . ^{[ 2 ]}

يتكون محيط المجسم ذي الـ 120 خلية من 120 خلية اثني عشرية الأوجه ، تلتقي 4 منها عند كل رأس. تشكل هذه الخلايا مجتمعةً 720 وجهًا خماسيًا ، و1200 ضلعًا، و600 رأس. وهو المجسم ذو الـ 120 خلية هو النظير رباعي الأبعاد للمجسم الاثني عشري المنتظم ، فكما أن للمجسم الاثني عشري 12 وجهًا خماسيًا، 3 منها حول كل رأس، فإن للمجسم ذي الـ 120 خلية 120 وجهًا اثني عشريًا، 3 منها حول كل ضلع. ^{[ أ ]} متعدد السطوح الثنائي له هو المجسم ذو الـ 600 خلية .

الهندسة

تتضمن الخلية ذات الـ 120 خلية هندسة كل متعدد سطوح منتظم محدب في الأبعاد الأربعة الأولى (باستثناء المضلعات {7} وما فوق). ^{[ ب ]} وباعتبارها سادس وأكبر متعدد سطوح منتظم محدب رباعي الأبعاد، ^{[ ج ]} فإنها تحتوي على نسخ محصورة من أسلافها الأربعة (بشكل متكرر). كما تحتوي على 120 نسخة محصورة من أول خلية في التسلسل، وهي الخلية ذات الـ 5 خلايا ، ^{[ د ]} والتي لا توجد في أي من الخلايا الأخرى. ^{[ 4 ]}

تحتوي الخلية ذات الـ 120 خلية على أمثلة لكل علاقة بين جميع متعددات الوجوه المنتظمة المحدبة الموجودة في الأبعاد الأربعة الأولى. في المقابل، لا يمكن فهمها إلا بفهم كل من أسلافها أولًا، وتسلسل التناظرات المتزايدة التعقيد التي تُظهرها. ^{[ 5 ]} لهذا السبب عنون ستيلويل بحثه حول متعددات الوجوه الرباعية وتاريخ الرياضيات ^{[ 6 ]} لأكثر من 3 أبعاد بـ "قصة الخلية ذات الـ 120 خلية" . ^{[ 7 ]}

متعددات الوجوه المحدبة المنتظمة ذات البعد 4
مجموعة التناظر	أ ₄	ب ₄		F ₄	H ₄
اسم	5 خلايا الهرم الرباعي الفائق ذو الخمس نقاط	16 خلية ثماني الأوجه المفرط ذو 8 نقاط	8 خلايا مكعب فائق ذو 16 نقطة	24 خلية 24 نقطة	600 خلية مجسم ذو عشرين وجهًا فائقًا ذو 120 نقطة	120 خلية مجسم ذو اثني عشر وجهًا فائقًا مكون من 600 نقطة
رمز شلافلي	{3, 3, 3}	{3، 3، 4}	{4، 3، 3}	{3، 4، 3}	{3، 3، 5}	{5، 3، 3}
مرايا كوكسيتر
زوايا ثنائية السطوح معكوسة	⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠	⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٤ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠	⁠ 𝝅 / ٤ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠	⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٤ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠	⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٥ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠	⁠ 𝝅 / ٥ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠
الرسم البياني
الرؤوس	5 رباعي الأوجه	8 ثماني الأوجه	16 رباعي الأوجه	24 مكعبًا	120 شكل عشروني الوجوه	600 رباعي الأوجه
الحواف	10 مثلثات	24 مربع	32 مثلثي	96 مثلثي	720 خماسي الأضلاع	1200 مثلث
وجوه	10 مثلثات	32 مثلثًا	24 مربعًا	96 مثلثًا	1200 مثلث	720 شكل خماسي
الخلايا	5 رباعيات الأوجه	16 رباعي الأوجه	8 مكعبات	24 ثماني السطوح	600 رباعي الأوجه	120 مجسم ذو اثني عشر وجهًا
توري	1 رباعي الأوجه خماسي	2 رباعي الأوجه 8	2 مكعب رباعي	4 ثماني السطوح 6	20 رباعي الأوجه 30	12 مجسم ذو 10 أوجه
منقوش	120 في خلية 120	675 في 120 خلية	2 خلايا 16	3 خلايا ثمانية	25 خلية من نوع 24	10600 خلية
مضلعات رائعة		مربعان × 3	4 مستطيلات × 4	4 أشكال سداسية × 4	12 مضلعًا عشريًا × 6	100 شكل سداسي غير منتظم × 4
مضلعات بيتري	خماسي واحد × 2	1 مثمن × 3	2 مثمنات × 4	2 شكل ذو اثني عشر ضلعًا × 4	4 مضلعات 30 × 6	20 مضلعًا من 30 ضلعًا × 4
نصف قطر كبير	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
طول الحافة	${\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581$	${\sqrt {2}}\approx 1.414$	$1$	$1$	${\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618$	${\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0.270$
نصف قطر قصير	${\tfrac {1}{4}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$
منطقة	$10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\approx 10.825$	$32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\approx 27.713$	$24$	$96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\approx 41.569$	$1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 198.48$	$720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\approx 90.366$
مقدار	$5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2.329$	$16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5.333$	$8$	$24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11.314$	$600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693$	$120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118$
4-المحتوى	${\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146$	${\tfrac {2}{3}}\approx 0.667$	$1$	$2$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.863$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193$

الإحداثيات الديكارتية

تظهر الإحداثيات الديكارتية الطبيعية لمتعدد الوجوه رباعي الأبعاد المتمركز عند نقطة الأصل في الفضاء رباعي الأبعاد في أطر مرجعية مختلفة، اعتمادًا على نصف القطر الطويل (من المركز إلى الرأس) المختار.

إحداثيات نصف القطر √8

الخلية المكونة من 120 خلية ذات نصف قطر طويل √ 8 = 2 √ 2 ≈ 2.828 لها طول حافة 4−2φ = 3− √ 5 ≈ 0.764.

في هذا الإطار المرجعي، فإن إحداثيات رؤوسها الـ 600 هي { التباديل } و [ التباديل الزوجية ] لما يلي: ^{[ 8 ]}

24	({0, 0, ±2, ±2})	24 خلية	600 نقطة 120 خلية
64	({±φ, ±φ, ±φ, ±φ ⁻² })
64	({±1, ±1, ±1, ± √ 5})
64	({±φ ⁻¹ , ±φ ⁻¹ , ±φ ⁻¹ , ±φ ² })
96	([0, ±φ ⁻¹ , ±φ, ± √ 5 ])	سنوب 24 خلية
96	([0, ±φ ⁻² , ±1, ±φ ² ])	سنوب 24 خلية
192	([±φ ⁻¹ , ±1, ±φ, ±2])

حيث φ (تسمى أيضًا 𝝉) ^{[ f ]} هي النسبة الذهبية ، 1 + √ 5 / 2 ≈ 1.618.

إحداثيات نصف القطر للوحدة

يبلغ طول حافة الخلية ذات نصف القطر الواحد 120 ⁠ 1 / φ ²√ 2 ⁠ ≈ 0.270.

في هذا الإطار المرجعي، تقع الخلية المكونة من 120 خلية ورأسها لأعلى في الوضع القياسي، وإحداثياتها ^{[ 9 ]} هي { التباديل } و [ التباديل الزوجية ] في العمود الأيسر أدناه:

480	خلية 120 متناقصة		5 نقاط 5 خلايا	24 خلية	600 خلية
120	8	({±1, 0, 0, 0})	16 خلية	24 خلية	600 خلية	120 خلية
	16	({±1, ±1, ±1, ±1}) / 2	تيسيراكت	24 خلية
	96	([0, ±φ ⁻¹ , ±1, ±φ]) / 2	سنوب 24 خلية
	32	([±φ, ±φ, ±φ, ±φ ⁻² ]) / √ 8	(1, 0, 0, 0) (−1, √5 , √5 , √5 ) / 4 ( −1 , −√5 , −√5 , √5 ) / 4 ( −1 , −√5 , √5 , −√5 ) / 4 ( −1 , √5 , −√5 , −√5 ) / 4	({± √ 1/2 , ± √ 1/2 , 0, 0})	({±1, 0, 0, 0}) ({±1, ±1, ±1, ±1}) / 2 ([0, ±φ ⁻¹ , ±1, ±φ]) / 2
	32	([±1, ±1, ±1, ± √ 5 ]) / √ 8
	32	([±φ ⁻¹ , ±φ ⁻¹ , ±φ ⁻¹ , ±φ ² ]) / √ 8
	96	([0, ±φ ⁻¹ , ±φ, ± √ 5 ]) / √ 8
	96	([0, ±φ ⁻² , ±1, ±φ ² ]) / √ 8
	192	([±φ ⁻¹ , ±1, ±φ, ±2]) / √ 8
ترتبط إحداثيات نصف القطر الواحد للمضلعات المحدبة المنتظمة رباعية الأبعاد بضرب الكواترنيونات . ولأن المضلعات رباعية الأبعاد المنتظمة مركبة من بعضها، فإن مجموعات إحداثياتها الديكارتية رباعية الأبعاد (الكواترنيونات) هي حاصل ضرب مجموعات بعضها. إحداثيات نصف القطر الواحد للرؤوس الـ 600 للخلية ذات الـ 120 رأسًا (في العمود الأيسر أعلاه) هي جميع حاصلات ضرب الكواترنيونات الممكنة ^{[ 10 ]} للرؤوس الـ 5 للخلية ذات الـ 5 رؤوس، والرؤوس الـ 24 للخلية ذات الـ 24 رأسًا، والرؤوس الـ 120 للخلية ذات الـ 600 رأس (في الأعمدة الثلاثة الأخرى أعلاه). ^{[ g ]}

يُبيّن الجدول إحداثيات نسخة واحدة على الأقل من كل مُضلّع رباعي الأبعاد، لكن الخلية ذات الـ 120 نقطة تحتوي على مضاعفات العدد خمسة من النسخ المُحاطة بكل مُضلّع رباعي الأبعاد سابق لها، تشغل مجموعات فرعية مختلفة من رؤوسها. الخلية ذات الـ 120 نقطة (ذات 600 نقطة) هي الغلاف المحدب لخمس خلايا منفصلة ذات 600 نقطة (ذات 120 نقطة). كل خلية ذات 600 نقطة (ذات 120 نقطة) هي الغلاف المحدب لخمس خلايا منفصلة ذات 24 نقطة (ذات 24 نقطة)، لذا فإن الخلية ذات الـ 120 نقطة هي الغلاف المحدب لخمس وعشرين خلية منفصلة ذات 24 نقطة. كل خلية ذات 24 نقطة هي الغلاف المحدب لثلاث خلايا منفصلة ذات 16 نقطة (ذات 8 نقاط)، لذا فإن الخلية ذات الـ 120 نقطة هي الغلاف المحدب لخمس وسبعين خلية منفصلة ذات 16 نقطة. بشكل فريد، فإن الخلية المكونة من 120 خلية (600 نقطة) هي الغلاف المحدب لـ 120 خلية منفصلة (5 نقاط) مكونة من 5 خلايا. ^{[ k ]}

الأوتار

يحتوي الشكل ذو الـ 600 نقطة والمكون من 120 خلية على جميع أطوال الأوتار الثمانية المميزة للشكل ذي الـ 600 نقطة والمكون من 120 نقطة، بالإضافة إلى وترين مهمين إضافيين: حوافه الأقصر، وحواف خلاياه الخمسية المنتظمة الـ 120 المحيطة به. ^{[ د ]} يمنح هذان الوتران الإضافيان الشكل المكون من 120 خلية دورانه المتساوي الميل المميز ، ^{[ ز ]} بالإضافة إلى جميع دورانات الأشكال الرباعية المنتظمة الأخرى التي يرثها. ^{[ 14 ]} كما يمنحان الشكل المكون من 120 خلية مضلعًا دائريًا عظيمًا مميزًا: سداسي كبير غير منتظم تتناوب فيه ثلاثة حواف من خلايا الـ 120 مع ثلاثة حواف من خلايا الـ 5. ^{[ ص ]}

لا تُشكّل حوافّ المكعب ذي الـ 120 خلية مضلعات دائرية عظمى منتظمة في مستوى مركزي واحد، كما هو الحال في حوافّ المكعبات ذات الـ 600 خلية، والـ 24 خلية، والـ 16 خلية. ومثل حوافّ المكعب ذي الـ 5 خلايا والـ 8 خلايا ، فإنها تُشكّل مضلعات بتري متعرجة . ^{[ y ]} مضلع بتري الخاص بالمكعب ذي الـ 120 خلية هو مضلع ثلاثي الأضلاع {30} متعرج مائل . ^{[ aa ]}

بما أن محيط الخلية ذات الـ 120 ضلعًا يتكون من 30 ضلعًا، فإن لها ما لا يقل عن 15 طولًا مختلفًا للوتر، تتراوح من طول ضلعها إلى قطرها. ^{[ af ]} كل متعدد سطوح منتظم محدب رباعي الأبعاد مُحاط بالخلية ذات الـ 120 ضلعًا، والأوتار الـ 15 المذكورة في صفوف الجدول التالي هي جميع الأوتار المختلفة التي تُشكل متعددات السطوح المنتظمة رباعية الأبعاد ومضلعات دوائرها العظمى. ^{[ ai ]}

أول ما يُلاحظ في هذا الجدول هو أنه يحتوي على ثمانية أعمدة، وليس ستة؛ فبالإضافة إلى الأشكال الرباعية المحدبة الستة المنتظمة، يظهر شكلان رباعيان غير منتظمين بشكل طبيعي في تسلسل الأشكال الرباعية المتداخلة: الشكل الرباعي ذو 24 خلية المقطوعة بـ 96 نقطة، والشكل الرباعي ذو 120 خلية المتناقصة بـ 480 نقطة . ^{[ ج ]}

الأمر الثاني الذي يجب ملاحظته هو أن كل صف مرقم (كل وتر) مُعلَّم بمثلث △ أو مربع ☐ أو رمز فاي 𝜙 أو نجمة خماسية ✩. تُشكِّل الأوتار الخمسة عشر مُضلَّعات من أربعة أنواع: مربعات كبيرة ☐ مميزة للخلية السداسية عشرة ، وسداسيات كبيرة ومثلثات كبيرة △ مميزة للخلية الرباعية والعشرين ، وعُشاريات كبيرة وخماسيات كبيرة 𝜙 مميزة للخلية الستمائة ، ونجوم خماسية مائلة ✩ مميزة للخلية الخماسية ، والتي تدور عبر مجموعة من المستويات المركزية وتُشكِّل مُضلَّعات أوجه، ولكنها ليست ^{مُضلَّعات كبيرة .}

الأوتار الرئيسية للخلية ذات الـ 120 خلية ومضلعاتها الأربعة المحفورة ^{[ 15 ]}
منقوش ^{[ ak ]}					5 خلايا	16 خلية	8 خلايا	24 خلية	سحق	600 خلية	ديمين	120 خلية
الرؤوس					5	8	16	24	96	120	480	600 ^{[ j ]}
الحواف					10 ^{[ ص ]}	24	32	96	432	720	1200	1200 ^{[ ص ]}
وتر الحافة					#8 ^{[ د ]}	7	75	75	3	23 ^{[ q ]}	رقم 1	#1 ^{[ aa ]}
وتر التساوي ^{[ ن ]}					18	رقم 15	210	210	75	75	J4	24 ^{[ v ]}
مضلع كليفورد ^{[ ae ]}					{5/2}	{8/3}		{6/2}		{15/2}		{15/4} ^{[ z ]}
وتر		قوس	حافة
رقم 1 △	30		حافة مكونة من 120 خلية ^{[ aa ]}									1 1200^{[ z ]}	4 {3,3}
رقم 1 △	30	15.5 درجة	√ 𝜀 ^{[ ar ]}	0.270~								1 1200^{[ z ]}	4 {3,3}
#2 ☐	15		الوجه قطري ^{[ au ]}									3600	12 2{3,4}
#2 ☐	15	25.2 درجة	√ 0.19~	0.437~								3600	12 2{3,4}
#3 𝜙	10	𝝅/5	المضلع العشري العظيم $\phi ^{-1}$							10 ^{[ k ]} 720		7200	24 2{3,5}
#3 𝜙	10	36 درجة	√ 0.𝚫	0.618~						10 ^{[ k ]} 720		7200	24 2{3,5}
4 △	15 / 2		قطر الخلية ^{[ كما ]}									1200	4 {3,3}
4 △	15 / 2	44.5 درجة	√ 0.57~	0.757~								1200	4 {3,3}
5 △	6	𝝅/3	سداسي كبير ^{[ av ]}				32	225 ^{[ ك ]} 96	225	5 ^{[ k ]} 1200		2400	32 4{4,3}
5 △	6	60 درجة	√ 1	1			32	225 ^{[ ك ]} 96	225	5 ^{[ k ]} 1200		2400	32 4{4,3}
#6 𝜙	5	2P/5	خماسي الأضلاع العظيم ^{[ s ]}							720		7200	24 2{3,5}
#6 𝜙	5	72 درجة	√ 1.𝚫	1.175~						720		7200	24 2{3,5}
رقم 7 ☐	30 / 7	𝝅/2	المربع الكبير ^{[ j ]}			675 ^{[ j ]} 24	675 48	72		1800		9000	54 9{3,4}
رقم 7 ☐	30 / 7	90 درجة	√ 2	1.414~		675 ^{[ j ]} 24	675 48	72		1800		9000	54 9{3,4}
٨ ✩	15 / 4		حافة 5 خلايا ^{[ د ]}		120 ^{[ د ]} 10						720	1200 ^{[ z ]}	4 {3,3}
٨ ✩	15 / 4	104.5 درجة	√ 2.5	1.581~	120 ^{[ د ]} 10						720	1200 ^{[ z ]}	4 {3,3}
#9 𝜙	10 / 3	3/5	النسبة الذهبية $\phi$							720		7200	24 2{3,5}
#9 𝜙	10 / 3	108 درجة	√ 2.𝚽	1.618~						720		7200	24 2{3,5}
10 △	3	2π/3	المثلث العظيم				32	25 ^{[ ك ]} 96		1200		2400	32 4{4,3}
10 △	3	120 درجة	√ 3	1.732~			32	25 ^{[ ك ]} 96		1200		2400	32 4{4,3}
رقم 11 ✩	30 / 11		30/11 غرام ^{[ al ]}									1200	4 {3,3}
رقم 11 ✩	30 / 11	135.5 درجة	√ 3.43~	1.851~								1200	4 {3,3}
#12 𝜙	5 / 2	4/5	رسم تخطيطي خماسي كبير ^{[ aw ]}							720		7200	24 2{3,5}
#12 𝜙	5 / 2	144° ^{[ أ ]}	√ 3.𝚽	1.902~						720		7200	24 2{3,5}
رقم 13 ✩	30 / 13		30/13 جرام									3600	12 2{3,4}
رقم 13 ✩	30 / 13	154.8 درجة	√ 3.81~	1.952~								3600	12 2{3,4}
14 △	15 / 7		{30/14}=2{15/7}									1200	4 {3,3}
14 △	15 / 7	164.5 درجة	√ 3.93~	1.982~								1200	4 {3,3}
#15 △☐𝜙	2	فو	القطر			75 ^{[ ك ]} 4	8	12	48	60	240	300 ^{[ j ]}	1
#15 △☐𝜙	2	180 درجة	√ 4	2		75 ^{[ ك ]} 4	8	12	48	60	240	300 ^{[ j ]}	1
مجموع مربعات الأطوال ^{[ ax ]}					25	64	256	576		14400		360000 ^{[ الذكاء الاصطناعي ]}	300

يُعدّ جدول الأوتار المُعلّق عليه قائمة كاملة بالمواد اللازمة لبناء المجسم ذي الـ 120 خلية. جميع المجسمات ثنائية وثلاثية ورباعية الأبعاد في المجسم ذي الـ 120 خلية مصنوعة من المجسمات أحادية الأبعاد الخمسة عشر الموجودة في الجدول.

تمثل الأعداد الصحيحة السوداء في خلايا الجدول عدد مرات تكرار وتر الصف في متعدد السطوح الرباعي للعمود. على سبيل المثال، في صف الوتر رقم 3 ، تحتوي المضلعات العشرية الكبيرة الـ 72 المكونة من 600 خلية على 720 وترًا من الرتبة 3 إجمالاً.

الأعداد الصحيحة الحمراء تمثل عدد المضلعات الرباعية المنفصلة المذكورة أعلاه (عنوان العمود) والتي تشكل مجتمعةً مضلعًا مكونًا من 120 خلية. على سبيل المثال، يتكون المضلع المكون من 120 خلية من 25 مضلعًا رباعيًا منفصلًا (25 × 24 رأسًا = 600 رأس).

تمثل الأعداد الصحيحة الخضراء عدد الأشكال الرباعية المميزة المذكورة أعلاه (عنوان العمود) والتي يمكن تحديدها في الخلية المكونة من 120 خانة. على سبيل المثال، تحتوي الخلية المكونة من 120 خانة على 225 خلية رباعية مميزة تشترك في مكونات.

تمثل الأعداد الصحيحة الزرقاء في العمود الأيمن عدد مرات تكرار وتر الصف عند كل رأس من رؤوس الخلايا الـ 120. على سبيل المثال، في صف الوتر رقم 3 ، تلتقي 24 وترًا من الوتر رقم 3 عند كل رأس من رؤوس الخلايا الـ 120 البالغ عددها 600 رأس، لتشكل شكلًا رأسيًا مزدوجًا عشريني الوجوه 2{3,5}. إجمالًا، تلتقي 300 وتر رئيسي ^{[ ai ]} بأطوال مختلفة تبلغ 15 طولًا عند كل رأس من رؤوس الخلايا الـ 120.

العلاقات بين متعددات الوجوه الداخلية

الخلية 120 هي مُركّب من جميع الأشكال المُحدّبة المُنتظمة الأخرى ذات الأبعاد 4. ^{[ 20 ]} جميع العلاقات بين الأشكال المُنتظمة ذات الأبعاد 1 و2 و3 و4 موجودة في الخلية 120. ^{[ ب ]} إنها أحجية تركيب رباعية الأبعاد ، حيث تُمثّل جميع هذه الأشكال أجزاءها. ^{[ 21 ]} على الرغم من وجود العديد من التسلسلات التي يُمكن من خلالها بناء الخلية 120 عن طريق تجميع هذه الأجزاء، إلا أنها في النهاية لا تتلاءم معًا إلا بطريقة واحدة. الخلية 120 هي الحل الوحيد لتركيب جميع هذه الأشكال. ^{[ 7 ]}

يظهر متعدد السطوح المنتظم ذو البعد 1 في 15 طولًا مختلفًا فقط في أي من متعددات السطوح المكونة للخلية المكونة من 120 خلية. ^{[ ai ]} وبحسب نظرية ألكسندروف للتفرد ، فإن متعددات السطوح المحدبة ذات الأشكال المختلفة عن بعضها البعض لها أيضًا فضاءات مترية مختلفة لمسافات السطح، لذلك فإن كل متعدد سطوح منتظم ذو البعد 4 له مجموعة فرعية فريدة خاصة به من هذه الأوتار الـ 15.

أربعة فقط من تلك الأوتار الخمسة عشر موجودة في الأشكال الهندسية ذات الست عشرة خلية، والثماني خلايا، والأربع والعشرين خلية. الأوتار المكعبة الفائقة الأربعة √1 ، √2 ، √3 ، و√4 كافية لبناء الشكل الهندسي ذي الأربع والعشرين خلية وجميع مكوناته. يُعدّ الشكل الهندسي ذو الأربع والعشرين خلية الحل الأمثل لدمج هذه الأوتار الأربعة وجميع الأشكال الهندسية المنتظمة التي يمكن بناؤها منها.

يلزم استخدام 4 أوتار إضافية من أصل 15 وترًا لبناء المجسم ذي الـ 600 خلية. الأوتار الذهبية الأربعة هي جذور تربيعية لكسور غير نسبية، وهي دوال للجذر التربيعي للعدد 5. يُعدّ المجسم ذو الـ 600 خلية الحل الوحيد لتركيب هذه الأوتار الثمانية وجميع المجسمات المنتظمة التي يمكن بناؤها منها. ومن بين الأجزاء الجديدة الملحوظة في المجسم ذي الـ 600 خلية، والتي لا توجد في المجسم ذي الـ 24 خلية، الأشكال الخماسية والعشرونية الوجوه.

تظهر جميع الأوتار الخمسة عشر، بالإضافة إلى خمسة عشر مسافة وترية مميزة أخرى مذكورة أدناه، في الخلية ذات الـ 120 نقطة. ومن بين الأجزاء الجديدة البارزة الموجودة في الخلية ذات الـ 120 نقطة والتي لا تظهر في الخلية ذات الـ 600 نقطة، الخلايا الخماسية المنتظمة وأوتار √5 /2 . ^{[ ay ]} تتجلى العلاقات بين الخلية الخماسية المنتظمة ( متعدد الوجوه الرباعي المنتظم البسيط ) ومتعددات الوجوه الرباعية المنتظمة الأخرى بشكل مباشر فقط في الخلية ذات الـ 120 نقطة. ^{[ i ]} تتكون الخلية ذات الـ 120 نقطة ذات الـ 600 نقطة من 120 خلية خماسية منفصلة، وهي أيضًا مكونة من 5 خلايا سداسية منفصلة ذات 120 نقطة (بطريقتين مختلفتين). تحتوي كل خلية خماسية على رأس واحد في كل من 5 خلايا منفصلة من 600، وبالتالي في كل من 5 خلايا منفصلة من 24، و5 خلايا منفصلة من 8، و5 خلايا منفصلة من 16. ^{[ bc ]} كل خلية خماسية عبارة عن حلقة (بطريقتين مختلفتين) تربط 5 حالات منفصلة من كل من متعددات الوجوه المنتظمة الأخرى ذات 4 أبعاد. ^{[ t ]}

مركب من خمس خلايا 600

تحتوي الخلية ذات الـ 120 وحدة على عشر خلايا ذات 600 وحدة، والتي يمكن تقسيمها إلى خمس خلايا منفصلة تمامًا ذات 600 وحدة بطريقتين مختلفتين. ^{[ ح ]} نتيجةً لكونها مركبة من خمس خلايا منفصلة ذات 600 وحدة، فإن الخلية ذات الـ 120 وحدة تحتوي على 200 مستوى مركزي غير منتظم على شكل اثنتي عشرة وحدة {12}، وهي عبارة عن مركبات من عدة مضلعات دائرية عظمى تشترك في نفس المستوى المركزي، كما هو موضح. تنشأ المستويات المركزية الـ 200 {12} من كونها مركبات من المستويات المركزية السداسية للخلايا الـ 25 المنفصلة المحيطة ذات 24 وحدة، والمستويات المركزية الثنائية للخلايا الـ 120 المنفصلة المحيطة ذات 5 وحدات؛ وهي تحتوي على جميع حواف الخلايا ذات 24 وحدة والخلايا ذات 5 وحدات، وكذلك حواف الخلية ذات الـ 120 وحدة. وبالتالي، تقع حواف ودورانات ^{[ x ]} المميزة للمكعب الفائق ذي الخمس خلايا، والمكعب الفائق ذي الثماني خلايا، والمكعب الفائق ذي الأربع والعشرين خلية، والمكعب الفائق ذي المئة والعشرين خلية، جميعها في نفس مستويات الدوران المئتين. ^{[ aj ]} تشغل كل خلية من الخلايا العشر ذات الستمائة خلية مجموعة المستويات المئتين بأكملها.

يحتوي المضلع الدائري العظيم ذو الاثني عشر ضلعًا غير المنتظم {12}، والمكون من 120 خلية، على 6 أضلاع قصيرة ( أوتار رقم 1 مُشار إليها بـ 𝜁 ) تتناوب مع 6 أقطار خلايا أطول للمجسم ذي الاثني عشر وجهًا ( أوتار رقم 4 ). ^[^as^] يُحيط بالمضلع ذي الاثني عشر ضلعًا غير المنتظم شكلان سداسيان عظيمان غير منتظمين ( باللون الأحمر ) في مواقع متبادلة. ^[^p^] كما يُحيط بالمضلع ذي الاثني عشر ضلعًا شكلان سداسيان عظيمان منتظمان بأضلاع ذات حجم ثالث ( √1 ، الوتر رقم 5). ^[^av^] تُمثل مستويات المضلع ذي الاثني عشر ضلعًا غير المنتظم، ومستويات الشكل السداسي العظيم غير المنتظم، ومستويات الشكل السداسي العظيم المنتظم، ومستويات المثلث العظيم متساوي الأضلاع، نفس مجموعة مستويات المضلع ذي الاثني عشر ضلعًا البالغ عددها 200. تظهر على شكل 100 زوج متعامد تمامًا، وهي نفس المستويات المركزية الـ 200 التي يحتوي كل منها على شكل سداسي والتي توجد في كل خلية من الخلايا الـ 600 العشرة المضمنة.

يحتوي الشكل ذو الـ 120 خلية على 400 سداسي منتظم بالضبط (اثنان في كل مستوى مركزي من مستويات الشكل ذي الاثني عشر ضلعًا)، وتحتوي كل خلية من الخلايا العشر ذات الـ 600 خلية على مجموعة فرعية مميزة خاصة بها من 200 سداسي منتظم (واحد من كل مستوى مركزي من مستويات الشكل ذي الاثني عشر ضلعًا). تحتوي كل خلية من خلايا الـ 600 خلية على سداسي منتظم واحد فقط من بين السداسيين المنتظمين المتقابلين المرسومين داخل أي مستوى مركزي من مستويات الشكل ذي الاثني عشر ضلعًا، تمامًا كما تحتوي على رباعي أوجه واحد فقط من بين رباعيي الأوجه المتقابلين المرسومين داخل أي خلية من خلايا الشكل ذي الاثني عشر ضلعًا. كل خلية من خلايا الـ 600 خلية منفصلة عن 4 خلايا أخرى من خلايا الـ 600 خلية، وتتشارك في السداسيات المنتظمة مع 5 خلايا أخرى من خلايا الـ 600 خلية. ^{[ bf ]} يشغل كل زوج منفصل من خلايا الـ 600 خلية الزوج المقابل من السداسيات المنتظمة المنفصلة في كل مستوى مركزي من مستويات الشكل ذي الاثني عشر ضلعًا. يتقاطع كل زوج غير منفصل من الخلايا المكونة من 600 خلية في 16 سداسيًا تُشكل خلية مكونة من 24 خلية. تحتوي الخلية المكونة من 120 خلية على 9 أضعاف عدد الخلايا المكونة من 24 خلية المتميزة (225) مقارنةً بالخلايا المكونة من 24 خلية المنفصلة (25). ^{[ j ]} تظهر كل خلية مكونة من 24 خلية في 9 خلايا مكونة من 600 خلية، وتغيب عن خلية واحدة فقط من خلايا 600 خلية، وتشترك فيها خليتان من خلايا 600 خلية.

المستطيلات الجيوديسية

تظهر الأوتار الثلاثون المتميزة ^{[ ai ]} الموجودة في الخلية المكونة من 120 خلية على شكل 15 زوجًا من الأوتار المتكاملة بزاوية 180 درجة. وتشكل هذه الأوتار 15 نوعًا متميزًا من مضلعات الدائرة العظمى التي تقع في مستويات مركزية من عدة أنواع: △ مستويات تتقاطع مع {12} رأسًا في شكل اثني عشري كبير غير منتظم ، و𝜙 مستويات تتقاطع مع {10} رؤوس في شكل عشري منتظم، و☐ مستويات تتقاطع مع {4} رؤوس في عدة أنواع من المستطيلات ، بما في ذلك المربع .

يتميز كل مضلع دائري عظيم بزوج من الأوتار المتكاملة بزاوية 180 درجة. تشكل أزواج الأوتار مضلعات دائرية عظيمة ذات حواف متقابلة متوازية، لذا فإن كل مضلع عظيم إما مستطيل أو شكل مركب من مستطيل، حيث يمثل الوتران حواف المستطيل.

كل زوج من أزواج الأوتار المتكاملة الخمسة عشر يُقابل زوجًا مميزًا من المقاطع متعددة الأوجه المتقابلة للخلية ذات الـ 120، بدءًا من رأس، وهو المقطع 0 _0. يكمن التوافق في أن كل رأس من رؤوس الخلية ذات الـ 120 مُحاط برؤوس كل مقطع متعدد الأوجه على مسافة متساوية (طول الوتر)، كما تُحيط رؤوس المجسم متعدد الأوجه بمركزه على مسافة نصف قطره الأكبر. ^{[ bg ]} الوتر رقم 1 هو "نصف قطر" المقطع 1 ₀ ، وهو شكل الرأس رباعي الأوجه للخلية ذات الـ 120. ^{[ au ]} الوتر رقم 14 هو "نصف قطر" المقطع 29 ₀ المقابل له . الوتر رقم 7 هو "نصف قطر" المقطع المركزي للخلية ذات الـ 120، حيث يتطابق مقطعان متقابلان 15 _{0 .}

30 وترًا (15 زوجًا بزاوية 180 درجة) تشكل 15 نوعًا من المضلعات الدائرية العظمى والمقاطع متعددة السطوح ^{0_−_16₀-83" id="mwBQ8">[ 24 ]}
وتر قصير				المضلعات الدائرية العظمى		وتر طويل
1 ₀ 1	^{[ إعلان ]}	$1/\phi ^{2}{\sqrt {2}}$			400 شكل سداسي كبير غير منتظم (600 مستطيل كبير) في 200 مستوى △				29 ₀ 14
1 ₀ 1	15.5 درجة	√ 0.𝜀 ^{[ ar ]}	0.270~			164.5 درجة	√ 3.93~	1.982~	29 ₀ 14
2 ₀ 2	^{[ au ]}	$1/\phi {\sqrt {2}}$			مستطيلات كبيرة في مستويات ☐				28 ₀ 13
2 ₀ 2	25.2 درجة	√ 0.19~	0.437~		مستطيلات كبيرة في مستويات ☐	154.8 درجة	√ 3.81~	1.952~	28 ₀ 13
3 ₀₃	$\pi /5$	$1/\phi$			720 شكلًا عشريًا كبيرًا (3600 مستطيلًا كبيرًا) في 720 مستوى 𝜙	$4\pi /5$	${\sqrt {2+\phi }}$		27 ₀ 12
3 ₀₃	36 درجة	√ 0.𝚫	0.618~			144° ^{[ أ ]}	√ 3.𝚽	1.902~	27 ₀ 12
4 ₀ 3~4		${\sqrt {1}}/{\sqrt {2}}$			مستطيلات كبيرة في مستويات ☐		${\sqrt {7}}/{\sqrt {2}}$		26 ₀ #11~12
4 ₀ 3~4	41.4 درجة	√ 0.5	0.707~		مستطيلات كبيرة في مستويات ☐	138.6 درجة	√ 3.5	1.871~	26 ₀ #11~12
5 ₀₄		${\sqrt {3}}/\phi {\sqrt {2}}$			200 شكل هندسي كبير غير منتظم مكون من 12 ضلعًا ^{[ bi ]} (600 مستطيل كبير) في 200 مستوى △		$\phi ^{2}/{\sqrt {2}}$		25 ₀₁₁
5 ₀₄	44.5 درجة	√ 0.57~	0.757~			135.5 درجة	√ 3.43~	1.851~	25 ₀₁₁
6 ₀₄ ~5					مستطيلات كبيرة في مستويات ☐				24 ₀ #10~11~11
6 ₀₄ ~5	49.1 درجة	√ 0.69~	0.831~		مستطيلات كبيرة في مستويات ☐	130.9 درجة	√ 3.31~	1.819~	24 ₀ #10~11~11
7 ₀₄ ~5~5					مستطيلات كبيرة في مستويات ☐				23 ₀ #10~11
7 ₀₄ ~5~5	56 درجة	√ 0.88~	0.939~		مستطيلات كبيرة في مستويات ☐	124 درجة	√ 3.12~	1.766~	23 ₀ #10~11
8 ₀₅	$\pi /3$				400 شكل سداسي منتظم كبير ^{[ متوسط ]} (1200 مستطيل كبير) في 200 مستوى △	$2\pi /3$			22 ₀ 10
8 ₀₅	60 درجة	√ 1	1			120 درجة	√ 3	1.732~	22 ₀ 10
9 ₀ #5~6					مستطيلات كبيرة في مستويات ☐				21 ₀ #9~10~10
9 ₀ #5~6	66.1 درجة	√ 1.19~	1.091~		مستطيلات كبيرة في مستويات ☐	113.9 درجة	√ 2.81~	1.676~	21 ₀ #9~10~10
10 ₀ #5~6~6					مستطيلات كبيرة في مستويات ☐				20 ₀ 9~10
10 ₀ #5~6~6	69.8 درجة	√ 1.31~	1.144~		مستطيلات كبيرة في مستويات ☐	110.2 درجة	√ 2.69~	1.640~	20 ₀ 9~10
11 ₀ #6	$2\pi /5$	${\sqrt {3-\phi }}$			1440 خماسيًا عظيمًا ^{[ s ]} (3600 مستطيلًا كبيرًا) في 720 طائرة	$3\pi /5$	$\phi$		19 ₀ 9
11 ₀ #6	72 درجة	√ 1.𝚫	1.175~			108 درجة	√ 2.𝚽	1.618~	19 ₀ 9
12 ₀ #6~6~7		${\sqrt {3}}/{\sqrt {2}}$			1200 ضلعًا كبيرًا من نوع ديجون ذي 5 خلايا ^{[ bj ]} (600 مستطيلًا كبيرًا) في 200 طائرة		${\sqrt {5}}/{\sqrt {2}}$		18 ₀ 8
12 ₀ #6~6~7	75.5 درجة	√ 1.5	1.224~			104.5 درجة	√ 2.5	1.581~	18 ₀ 8
13 ₀ #6~7					مستطيلات كبيرة في مستويات ☐				17 ₀ #7~8~8
13 ₀ #6~7	81.1 درجة	√ 1.69~	1.300~		مستطيلات كبيرة في مستويات ☐	98.9 درجة	√ 2.31~	1.520~	17 ₀ #7~8~8
14 ₀ #6~7~7					مستطيلات كبيرة في مستويات ☐				16 ₀ #7~8
14 ₀ #6~7~7	84.5 درجة	√ 0.81~	1.345~		مستطيلات كبيرة في مستويات ☐	95.5 درجة	√ 2.19~	1.480~	16 ₀ #7~8
15 ₀₇	$\pi /2$				4050 مربعًا كبيرًا ^{[ j ]} في 4050 ☐ طائرات	$\pi /2$			15 ₀₇
15 ₀₇	90 درجة	√ 2	1.414~		4050 مربعًا كبيرًا ^{[ j ]} في 4050 ☐ طائرات	90 درجة	√ 2	1.414~	15 ₀₇

هياكل متحدة المركز

تُوضّح هذه الهياكل الأقسام من 1 إلى 8 من مجسم ذي 120 خلية ، بدءًا من الخلية (الهيكل 1). ^{[ 25 ]} المقطع هو شريحة مستوية ثلاثية الأبعاد تخترق كرة ثلاثية الأبعاد : كرة ثنائية الأبعاد (كرة عادية). وهو يُماثل من حيث الأبعاد شريحة مستوية ثنائية الأبعاد تخترق كرة ثنائية الأبعاد: كرة أحادية الأبعاد (دائرة عادية).

تُصوَّر الهياكل كما لو كانت جميعها متساوية الحجم، لكنها في الواقع تزداد في نصف القطر مع ترقيمها: فهي عبارة عن كرات متحدة المركز ثنائية الأبعاد تتداخل مع بعضها البعض. كل خلية من الخلايا الـ 120 هي أصغر هيكل في مجموعتها الخاصة المكونة من 8 هياكل متحدة المركز. يوجد 120 مجموعة متداخلة مختلفة من 8 هياكل.

يتكون إسقاط الخلية الأولى للخلية المكونة من 120 خلية من 15 قسمًا، تبدأ كل منها بخلية مرقمة من 1 إلى 15، وتتوسطها الخلية رقم 8. بعد زيادة حجم الأغلفة من 1 إلى 8، تصغر الأغلفة تدريجيًا. القسمان 1 و15 كلاهما غلاف 1، وهو أصغر غلاف، ويمثل خلية اثني عشرية الأوجه من بين خلايا الـ 120. القسم 8 هو القسم المركزي، وهو أكبر غلاف، وله نفس نصف قطر خلية الـ 120. باستثناء القسم المركزي 8، تظهر الأقسام في أزواج متوازية على جانبي القسم المركزي. يُشابه الغلاف 8 خط الاستواء من حيث الأبعاد، بينما تُشابه الأغلفة من 1 إلى 7 خطوط العرض. يوجد 120 من كل نوع من أنواع الهياكل من 1 إلى 7 في الخلية المكونة من 120 خلية، ولكن 60 فقط من الهيكل المركزي 8. يتوفر تصور لهذه المقاطع المبسطة الـ 15 في ويكيميديا كومنز مع مقاطع المجموعات الفرعية (عندما يكون للمجسم المحيط أكثر من تبديل واحد في مداره) هنا . يحتوي الإسقاط الرأسي الأول (أدناه) للخلية المكونة من 120 خلية {5،3،3} على 31 مقطعًا. ^{[ 26 ]}

الرسم البياني متعدد الأوجه

بالنظر إلى مصفوفة التجاور للرؤوس التي تمثل الرسم البياني متعدد السطوح للخلية ذات نصف القطر الواحد 120، فإن قطر الرسم البياني هو 15، ويربط كل رأس بنفيه الإحداثي على مسافة إقليدية تبلغ 2 (قطر محيطه)، وهناك 24 مسارًا مختلفًا لربطها على طول حواف متعدد السطوح. من كل رأس، توجد 4 رؤوس على مسافة 1، و12 على مسافة 2، و24 على مسافة 3، و36 على مسافة 4، و52 على مسافة 5، و68 على مسافة 6، و76 على مسافة 7، و78 على مسافة 8، و72 على مسافة 9، و64 على مسافة 10، و56 على مسافة 11، و40 على مسافة 12، و12 على مسافة 13، و4 على مسافة 14، ورأس واحد على مسافة 15. تحتوي مصفوفة التجاور على 27 قيمة ذاتية مميزة تتراوح من 1^/ φ²√2 ≈ 0.270 ، بتكرار 4 ، إلى 2، بتكرار 1. تكرار القيمة الذاتية 0 هو 18، ورتبة مصفوفة التجاور هي 582.

رؤوس الرسم البياني متعدد السطوح المكون من 120 خلية قابلة للتلوين بثلاثة ألوان .

الرسم البياني هو رسم بياني أويلري ذو درجة 4 في كل رأس. يمكن تحليل مجموعة حوافه إلى دورتين هاميلتونيتين . ^{[ 27 ]}

الإنشاءات

الخلية ذات الـ 120 خلية هي السادسة في سلسلة من ستة متعددات وجوه منتظمة محدبة رباعية الأبعاد (مرتبة حسب الحجم والتعقيد). ^{[ ج ]} يمكن تفكيكها إلى عشرة نماذج متميزة (أو خمسة نماذج منفصلة) من سابقتها (وثنائيتها) الخلية ذات الـ 600 خلية ، ^{[ ح ]} تمامًا كما يمكن تفكيك الخلية ذات الـ 600 خلية إلى خمسة وعشرين نموذجًا متميزًا (أو خمسة نماذج منفصلة) من سابقتها الخلية ذات الـ 24 خلية ، ^{[ ب ]} ويمكن تفكيك الخلية ذات الـ 24 خلية إلى ثلاثة نماذج متميزة من سابقتها المكعب الفائق (الخلية ذات الـ 8 خلايا)، ويمكن تفكيك الخلية ذات الـ 8 خلايا إلى نموذجين منفصلين من سابقتها (وثنائيتها) الخلية ذات الـ 16 خلية . ^{[ 30 ]} تحتوي الخلية ذات الـ 120 خلية على 675 نموذجًا متميزًا (75 نموذجًا منفصلًا) من الخلية ذات الـ 16 خلية. ^{[ ي ]}

تحافظ العملية العكسية لإنشاء كل من هذه الأشكال من نسخة من سابقتها على نصف قطر السابقة، ولكنها تُنتج عمومًا شكلًا لاحقًا بطول حافة أصغر. يبلغ طول حافة الشكل ذي الـ 600 خلية حوالي 0.618 ضعف نصف قطره ( النسبة الذهبية المعكوسة )، بينما يبلغ طول حافة الشكل ذي الـ 120 خلية حوالي 0.270 ضعف نصف قطره.

الخلية المكونة من 120 خلية هي أيضًا الغلاف المحدب للمركب المنتظم المكون من 120 خلية منتظمة منفصلة من 5 خلايا. ويمكن ملاحظة أن هذا المركب مكافئ لمركب مكون من 5 خلايا منفصلة من 600 خلية، كما يلي: بدءًا من خلية واحدة من 600 نقطة مكونة من 120 نقطة، يتم توسيع كل رأس إلى خلية منتظمة من 5 خلايا. لكل رأس من الرؤوس الـ 120، تُضاف 4 رؤوس جديدة متساوية البعد، بحيث تُشكل الرؤوس الخمسة خلية منتظمة من 5 خلايا محصورة داخل الكرة ثلاثية الأبعاد. الخلايا الـ 120 من 5 خلايا منفصلة، والرؤوس الـ 600 تُشكل 5 خلايا منفصلة من 600 نقطة مكونة من 120 نقطة: أي خلية من 120 خلية.

خلايا مزدوجة 600

خمسة أشكال رباعية الأوجه محصورة داخل شكل اثني عشري الأوجه. ويمكن أيضاً حصر خمسة أشكال رباعية الأوجه متقابلة (غير موضحة).

بما أن الخلية ذات الـ 120 خلية هي ثنائية الخلية ذات الـ 600 خلية، فإنه يمكن إنشاؤها من الخلية ذات الـ 600 خلية بوضع رؤوسها الـ 600 في مركز حجم كل خلية من الخلايا الرباعية الأوجه الـ 600. ومن خلية ذات 600 خلية بنصف قطر طولي يساوي الوحدة، ينتج عن ذلك خلية ذات 120 خلية بنصف قطر طولي أصغر قليلاً ( φ²/ √8 ≈ 0.926 ⁾وطول ضلع يساوي 1/4 بالضبط. وبالتالي، يمكن إنشاء خلية ذات طول ضلع وحدة 120 (بنصف قطر كبير φ ²√ 2 ≈ 3.702) بهذه الطريقة داخل خلية 600 ذات نصف قطر كبير 4. ويمكن إنشاء خلية ذات نصف قطر وحدة 120 (بطول ضلع ⁠ 1 / φ ²√ 2 ⁠ ≈ 0.270) بهذه الطريقة داخل خلية 600 ذات نصف قطر كبير ⁠ √ 8 / φ ² ⁠ ≈ 1.080.

وبالمقابل، يمكن إنشاء خلية ذات نصف قطر وحدة واحد مكونة من 120 خلية خارج خلية مكونة من 600 خلية ذات نصف قطر أطول أصغر قليلاً φ² ^/√8 ≈ 0.926 ، وذلك بوضع مركز كل خلية من خلايا الشكل الاثني عشري عند أحد رؤوس خلايا الـ 600 البالغ عددها 120 خلية. ويمكن إنشاء الخلية المكونة من 120 خلية، والتي إحداثياتها معطاة أعلاه ^، بنصف قطر أطول √8 = 2√2 ≈ 2.828 وطول ضلع √2 / φ² = 3− √5 ≈ 0.764 ، بهذه الطريقة خارج خلية مكونة من 600 خلية ذات نصف قطر أطول φ² ^،وهو أصغر من √8 بنفس النسبة ≈ 0.926. إنها في النسبة الذهبية لطول ضلع الخلية المكونة من 600، لذا يجب أن تكون φ. يمكن إنشاء الخلية المكونة من 120 خلية ذات طول ضلع 2 ونصف قطر كبير φ ²√ 8 ≈ 7.405، كما ورد في مرجع كوكسيتر ^[³^] ، بهذه الطريقة خارج خلية مكونة من 600 خلية ذات نصف قطر كبير φ ⁴ وطول ضلع φ ³ .

لذلك، يمكن إنشاء الخلية ذات نصف القطر الواحد 120 من سابقتها ذات نصف القطر الواحد 600 في ثلاث خطوات تبادلية.

دوران الخلايا للثنائيات المحصورة

بما أن الخلية ذات الـ 120 وحدة تحتوي على خلايا محيطة بها ذات 600 وحدة، فإنها تحتوي على نظيرتها الثنائية بنفس نصف القطر. تحتوي الخلية ذات الـ 120 وحدة على خمس خلايا منفصلة ذات 600 وحدة (عشر خلايا محيطة متداخلة ذات 600 وحدة، يمكننا اختيار خمس منها منفصلة بطريقتين مختلفتين)، لذا يمكن اعتبارها مركبة من خمس نظائر ثنائية لها (بطريقتين). رؤوس كل خلية محيطة ذات 600 وحدة هي رؤوس الخلية ذات الـ 120 وحدة، و(بشكل ثنائي) يمثل مركز كل خلية اثني عشرية الأوجه مركز خلية رباعية الأوجه في كل خلية من الخلايا المحيطية ذات 600 وحدة.

تحتوي الخلايا الاثني عشرية في المجسم ذي الـ 120 خلية على خلايا رباعية الأوجه من المجسم ذي الـ 600 خلية محصورة داخلها. ^{[ 32 ]} وكما أن المجسم ذي الـ 120 خلية هو مركب من خمس خلايا من المجسم ذي الـ 600 خلية (بطريقتين)، فإن المجسم الاثني عشري هو مركب من خمسة رباعيات أوجه منتظمة (بطريقتين). وبما أنه يمكن حصر رباعيي أوجه متقابلين داخل مكعب، ويمكن حصر خمسة مكعبات داخل مجسم اثني عشري، فإنه يمكن حصر عشرة رباعيات أوجه في خمسة مكعبات داخل مجسم اثني عشري: مجموعتان متقابلتان من خمسة، حيث تغطي كل مجموعة جميع الرؤوس العشرين، وكل رأس في رباعيي أوجه (واحد من كل مجموعة، ولكن ليس الزوج المقابل من المكعب بالطبع). ^{[ 33 ]} يُظهر هذا أن الخلية المكونة من 120 وحدة تحتوي، من بين العديد من خصائصها الداخلية، على 120 مركباً من عشرة رباعيات أوجه ، كل منها مماثل من حيث الأبعاد للخلية الكاملة المكونة من 120 وحدة كمركب من عشر خلايا مكونة من 600 وحدة. ^{[ ح ]}

يمكن توليد جميع الأشكال الرباعية الأوجه العشرة من خلال دورتين حلزونيتين بخمس نقرات لأي شكل رباعي الأوجه. في كل خلية من خلايا الشكل الاثني عشري الأوجه، تنشأ خلية رباعية الأوجه واحدة من كل خلية من الخلايا العشر ذات الـ 600 نقطة والمحاطة بالخلية ذات الـ 120 نقطة. ^{[ bk ]} لذلك، يمكن توليد الخلية الكاملة ذات الـ 120 نقطة، بجميع خلاياها العشر ذات الـ 600 نقطة والمحاطة بها، من خلية واحدة ذات 600 نقطة فقط عن طريق تدوير خلاياها.

زيادة

من النتائج الأخرى لوجود 120 خلية تحتوي على 600 خلية محصورة بداخلها، إمكانية بنائها بوضع أهرامات رباعية الأوجه من نوع ما على خلايا الـ 600 خلية. يجب أن تكون هذه الأهرامات رباعية الأوجه غير منتظمة تمامًا في هذه الحالة (برأس مُدبب إلى أربعة رؤوس)، ولكن يمكننا تمييز شكلها من خلال طريقة وضع رباعي الأوجه داخل مجسم ذي ^اثني^عشر^وجهًا .

لا يمكن حصر سوى 120 خلية رباعية الأوجه من كل مجسم مكون من 600 خلية داخل المجسم ذي الاثني عشر وجهًا المكون من 120 خلية؛ أما المجسمات الأخرى البالغ عددها 480 خلية رباعية الأوجه فتمتد عبر خلايا المجسم ذي الاثني عشر وجهًا. كل مجسم رباعي الأوجه محصور داخل المجسم ذي الاثني عشر وجهًا هو الخلية المركزية لمجموعة من خمسة مجسمات رباعية الأوجه ، بينما تقع المجسمات الأربعة الأخرى المحيطة به، والمرتبطة به من الأوجه، جزئيًا فقط داخل المجسم ذي الاثني عشر وجهًا. يرتبط المجسم المركزي من الحواف باثنتي عشرة خلية رباعية الأوجه إضافية، تقع هي الأخرى جزئيًا فقط داخل المجسم ذي الاثني عشر وجهًا. ^{[ bm ]} ترتبط الخلية المركزية من الرؤوس بأربعين خلية رباعية الأوجه أخرى تقع بالكامل خارج المجسم ذي الاثني عشر وجهًا.

مدارات فايل

تستخدم طريقة بناء أخرى الأعداد الرباعية والتناظر العشري الوجوه لمدارات مجموعة ويل . $O(\Lambda )=W(H_{4})=I$ من الرتبة 120. ^{[ 35 ]} يصف ما يلي $T$ و $T'$ 24 خلية كأوزان مدارية رباعية لـ D4 تحت زمرة فايل W(D4): O(0100) : T = {±1,±e1,±e2,±e3,(±1±e1±e2±e3)/2} O(1000) : V1 O(0010) : V2 O(0001) : V3

$T'={\sqrt {2}}\{V1\oplus V2\oplus V3\}={\begin{pmatrix}{\frac {-1-e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1-e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1+e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1+e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{2}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{2}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{2}+e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{2}+e_{3}}{\sqrt {2}}}\\{\frac {-1-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{1}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{1}+e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}+e_{3}}{\sqrt {2}}}\\{\frac {-e_{1}-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{1}+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1+e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1+e_{3}}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}};$

باستخدام الرباعيات $(p,q)$ أين ${\bar {p}}$ هو مرافق لـ $p$ و $[p,q]:r\rightarrow r'=prq$ و $[p,q]^{*}:r\rightarrow r''=p{\bar {r}}q$ ثم مجموعة كوكسيتر $W(H_{4})=\lbrace [p,{\bar {p}}]\oplus [p,{\bar {p}}]^{*}\rbrace$ هي مجموعة التناظر للخلية ذات 600 والخلية ذات 120 من الرتبة 14400.

منح $p\in T$ بحيث ${\bar {p}}=\pm p^{4},{\bar {p}}^{2}=\pm p^{3},{\bar {p}}^{3}=\pm p^{2},{\bar {p}}^{4}=\pm p$ و $p^{\dagger }$ كعملية تبادل $-1/\varphi \leftrightarrow \varphi$ داخل $p$ ، يمكننا أن نبني:

سنوب 24 خلية $S=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}T$
الخلية الـ 600 $I=T+S=\sum _{i=0}^{4}\oplus p^{i}T$
الخلية ذات الـ 120 $J=\sum _{i,j=0}^{4}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger j}T'$
النسخة البديلة ذات 24 خلية $S'=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger i}T'$
بطارية مزدوجة ذات 24 خلية = $T\oplus T'\oplus S'$ .

كتكوين

تمثل مصفوفة التكوين هذه خليةً مكونةً من 120 خلية. تتوافق الصفوف والأعمدة مع الرؤوس والحواف والوجوه والخلايا على التوالي. تشير الأرقام القطرية إلى عدد مرات ظهور كل عنصر في الخلية المكونة من 120 خلية. وتشير الأرقام غير القطرية إلى عدد مرات ظهور عنصر العمود في عنصر الصف أو عنده. ^{[ 36 ]}^{[ 37 ]}

${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}600&4&6&4\\2&1200&3&3\\5&5&720&2\\20&30&12&120\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

هذا هو التكوين الموسع بعناصر ذات k وجهًا و k شكلًا. عدد العناصر القطرية هو نسبة رتبة مجموعة كوكسيتر الكاملة ، 14400، مقسومة على رتبة المجموعة الفرعية بعد إزالة المرآة.

H ₄	الوجه k	ف _ك	f ₀	f ₁	f ₂	f ₃	k -fig	ملحوظات
أ ₃	( )	f ₀	600	4	6	4	{3,3}	H ₄ /A ₃ = 14400/24 = 600
أ ₁ أ ₂	{ }	f ₁	2	1200	3	3	{3}	H ₄ /A ₂ A ₁ = 14400/6/2 = 1200
H ₂ A ₁	{5}	f ₂	5	5	720	2	{ }	H ₄ /H ₂ A ₁ = 14400/10/2 = 720
H ₃	{5,3}	f ₃	20	30	12	120	( )	H ₄ /H ₃ = 14400/120 = 120

التصور

يتكون المجسم ذو الـ 120 خلية من 120 خلية اثني عشرية الأوجه. ولأغراض التوضيح، من المفيد أن يكون للمجسم الاثني عشري الأوجه أوجه متقابلة متوازية (وهي سمة يشترك فيها مع خلايا المكعب الفائق والمجسم ذي الـ 24 خلية ). يمكن تكديس المجسمات الاثني عشرية الأوجه وجهًا لوجه في خط مستقيم منحني في الاتجاه الرابع لتشكيل دائرة عظمى محيطها 10 خلايا. انطلاقًا من هذا البناء الأولي ذي العشر خلايا، توجد طريقتان شائعتان للتوضيح: إسقاط مجسم متعدد الطبقات، وبنية من حلقات متشابكة ( تليف هوبف المنفصل ). ^{[ 38 ]}

إسقاط مجسم متعدد الطبقات

تُتيح مواقع الخلايا وصفًا كرويًا فائقًا. ^{[ 39 ]} اختر مجسمًا ذا اثني عشر وجهًا عشوائيًا وسمّه "القطب الشمالي". تشعّ اثنا عشر خطًا من خطوط الطول الدائرية العظمى (طول كل منها أربع خلايا) في ثلاثة أبعاد، وتتقارب عند الخلية الخامسة "القطب الجنوبي". يُمثّل هذا الهيكل 50 خلية من أصل 120 خلية (2 + 4 × 12).

انطلاقًا من القطب الشمالي، يمكننا بناء نموذج الخلايا الـ 120 في 9 طبقات عرضية، مع الإشارة إلى تضاريس الكرة الأرضية ثنائية الأبعاد في الجدول أدناه. باستثناء القطبين، تقع مراكز خلايا كل طبقة على كرة ثنائية الأبعاد منفصلة، بينما تقع مراكز الخلايا الاستوائية على كرة ثنائية الأبعاد كبيرة. تشكل مراكز الخلايا الاستوائية الـ 30 رؤوس مجسم ذي 12 وجهًا ، حيث تمر خطوط الطول (كما هو موضح أعلاه) عبر مركز كل وجه خماسي. الخلايا المصنفة "بينية" في الجدول التالي لا تقع على دوائر الطول العظمى.

طبقة #	عدد الخلايا	وصف	التضامن	منطقة
1	خلية واحدة	القطب الشمالي	0°	نصف الكرة الشمالي
2	12 خلية	الطبقة الأولى من الخلايا الزوالية / " الدائرة القطبية الشمالية "	36 درجة
3	20 خلية	غير خط الزوال / بيني	60 درجة
4	12 خلية	الطبقة الثانية من الخلايا الميريديانية / " مدار السرطان "	72 درجة
5	30 خلية	غير خط الزوال / بيني	90 درجة	خط الاستواء
6	12 خلية	الطبقة الثالثة من الخلايا الزوالية / " مدار الجدي "	108 درجة	نصف الكرة الجنوبي
7	20 خلية	غير خط الزوال / بيني	120 درجة
8	12 خلية	الطبقة الرابعة من الخلايا الزوالية / " الدائرة القطبية الجنوبية "	144 درجة
9	خلية واحدة	القطب الجنوبي	180 درجة
المجموع	120 خلية

تقع خلايا الطبقات 2 و4 و6 و8 فوق أوجه خلية القطب. وتقع خلايا الطبقتين 3 و7 مباشرة فوق رؤوس خلية القطب. أما خلايا الطبقة 5 فتقع فوق حواف خلية القطب.

حلقات متشابكة

يمكن تقسيم الخلية المكونة من 120 خلية إلى 12 حلقة دائرية عظمى منفصلة، كل منها مكونة من 10 خلايا، لتشكيل تليف هوبف منفصل/كمي . ^{[ 40 ]}^{[ 41 ]}^{[ 42 ]}^[⁴³^]^[³⁸^] بدءًا من حلقة واحدة مكونة من 10 خلايا، يمكن وضع حلقة أخرى بجانبها تدور حول الحلقة الأصلية دورة كاملة في 10 خلايا. يمكن وضع خمس حلقات من هذا النوع، كل منها مكونة من 10 خلايا، بجوار الحلقة الأصلية. على الرغم من أن الحلقات الخارجية "تدور" حول الحلقة الداخلية (وحول بعضها البعض)، إلا أنها في الواقع لا تمتلك التواءً حلزونيًا . جميعها متكافئة. ينتج الدوران الحلزوني عن انحناء الكرة الثلاثية. تشكل الحلقة الداخلية والحلقات الخارجية الخمس الآن طارة صلبة مكونة من 60 خلية وست حلقات . يمكن الاستمرار في إضافة حلقات مكونة من 10 خلايا مجاورة للحلقات السابقة، ولكن من الأجدى بناء حلقة ثانية منفصلة عن الحلقة السابقة، مكونة من الخلايا الستين المتبقية، بحيث تتداخل مع الأولى. الحلقة المكونة من 120 خلية، مثل الكرة ثلاثية الأبعاد، هي اتحاد هاتين الحلقتين ( حلقات كليفورد ). إذا كانت الحلقة المركزية للحلقة الأولى هي دائرة الزوال العظمى كما هو موضح أعلاه، فإن الحلقة المركزية للحلقة الثانية هي دائرة خط الاستواء العظمى المتمركزة على دائرة الزوال. ^[⁴⁴^] تجدر الإشارة أيضًا إلى أن الغلاف الحلزوني المكون من 50 خلية حول الحلقة المركزية يمكن أن يكون يساريًا أو يمينيًا. الأمر يتعلق فقط بتقسيم الخلايا في الغلاف بشكل مختلف، أي اختيار مجموعة أخرى من الدوائر العظمى المنفصلة (دوائر كليفورد المتوازية ).

هياكل أخرى للدائرة العظمى

يوجد مسار دائري عظيم آخر مثير للاهتمام يمر بالتناوب عبر رؤوس الخلايا المتقابلة، ثم على طول أحد الحواف. يتكون هذا المسار من 6 حواف تتناوب مع 6 أوتار بطول قطر الخلية ، مشكلةً شكلاً غير منتظم مكونًا من 12 ضلعًا في مستوى مركزي . لكل من هذين المسارين الدائريين العظيمين مساران دائريان عظيمان في الخلية ذات 600 ضلع . المسار المكون من 10 خلايا والممتد من وجه إلى وجه، والمذكور أعلاه، يُقابله مسار مكون من 10 رؤوس يمر فقط على طول الحواف في الخلية ذات 600 ضلع، مشكلاً شكلاً مكونًا من 12 ضلعًا . ^{[ q ]} يُقابل المسار المتناوب بين الخلية والحافة مسارًا يتكون من 12 هرمًا رباعي الأوجه تلتقي بالتناوب وجهًا لوجه ثم رأسًا لرأس (ستة أهرامات ثنائية مثلثة ) في الخلية ذات 600 ضلع. يتوافق هذا المسار الأخير مع حلقة من ستة أشكال عشرينية الوجوه تلتقي وجهًا لوجه في الخلية ذات 24 ضلعًا (أو أهرامات عشرينية الوجوه في الخلية ذات 600 ضلع)، مشكلةً شكلاً سداسيًا .

يوجد مسار مضلع دائري عظيم آخر خاص بالخلية ذات الـ 120 خلية، ولا يوجد له نظير في الخلية ذات الـ 600 خلية. يتكون هذا المسار من 3 أضلاع للخلية ذات الـ 120 خلية تتناوب مع 3 أضلاع داخلية للخلية ذات 5 خلايا (أوتار رقم 8)، مُشكلةً سداسيًا عظيمًا غير منتظم ذي أضلاع قصيرة وطويلة متناوبة كما هو موضح أعلاه . ^{[ p ]} يمتد كل ضلع من أضلاع الخلية ذات 5 خلايا عبر حجم ثلاث خلايا اثني عشرية الأوجه (في حلقة من عشر خلايا اثني عشرية الأوجه مترابطة الأوجه)، إلى الوجه الخماسي المقابل للخلية الاثني عشرية الأوجه الثالثة. يقع هذا السداسي العظيم غير المنتظم في نفس المستوى المركزي (على نفس الدائرة العظمى) مثل السداسي العظيم غير المنتظم الموصوف أعلاه، ولكنه يتقاطع مع 6 رؤوس فقط من رؤوس السداسي العظيم الاثني عشري الأوجه البالغ عددها 12 رأسًا. يوجد سداسيان عظيمان غير منتظمين داخل كل سداسي عظيم غير منتظم، في مواقع متبادلة.

إسقاطات متعامدة ثنائية الأبعاد

يمكن إجراء الإسقاطات المتعامدة للخلية المكونة من 120 خلية في بُعدين بتحديد متجهين أساسيين متعامدين لاتجاه رؤية محدد. وقد طُوّر الإسقاط ذو الثلاثين ضلعًا عام 1963 بواسطة بي. إل. تشيلتون . ^{[ 45 ]} وتُبيّن الأقواس عدد رؤوس الإسقاطات حسب اللون.

يُظهر الإسقاط العشري H3 مستوى مضلع فان أوس .

الإسقاطات المتعامدة بواسطة مستويات كوكسيتر ^{[ 46 ]}
H ₄	-	F ₄
[30] (أحمر=1)	[20] (أحمر=1)	[12] (أحمر=1)
H ₃	أ _٢ / ب _٣ / د _٤	أ ₃ / ب ₂
[10] (أحمر=5، برتقالي=10)	[6] (أحمر=1، برتقالي=3، أصفر=6، ليموني=9، أخضر=12)	[4] (أحمر=1، برتقالي=2، أصفر=4، ليموني=6، أخضر=8)

إسقاطات منظور ثلاثي الأبعاد

تستخدم هذه الإسقاطات تقنية الإسقاط المنظوري ، من وجهة نظر محددة في أربعة أبعاد، حيث يتم إسقاط النموذج كظل ثلاثي الأبعاد. لذلك، فإن الوجوه والخلايا التي تبدو أكبر حجماً هي ببساطة أقرب إلى وجهة النظر رباعية الأبعاد.

تُظهر مقارنة إسقاطات المنظور للمجسم ثلاثي الأبعاد ذي الاثني عشر وجهًا على ثنائي الأبعاد (أعلى اليسار)، وإسقاطات المجسم رباعي الأبعاد ذي الـ 120 خلية على ثلاثي الأبعاد (أسفل اليمين)، طريقتين مترابطتين لإسقاط المنظور، وذلك من خلال القياس البُعدي. تستخدم مخططات شليغل المنظور لإظهار العمق في البُعد المُسطّح، باختيار نقطة رؤية فوق خلية مُحددة، مما يجعل تلك الخلية غلافًا للنموذج، بينما تبدو الخلايا الأخرى أصغر حجمًا داخلها. تستخدم الإسقاطات المجسمة نفس النهج، ولكنها تُعرض بحواف منحنية، مُمثلةً متعدد السطوح الكروي على أنه تبليط لكرة ثلاثية الأبعاد . تُشوّه كلتا الطريقتين المجسم، لأن الخلايا ليست مُتداخلة فعليًا (بل تلتقي وجهًا لوجه)، وجميعها بنفس الحجم. توجد طرق أخرى لإسقاط المنظور، مثل الرسوم المتحركة الدوارة أدناه، والتي لا تُظهر هذا النوع من التشوه تحديدًا، بل تُظهر نوعًا آخر من التشوه (كما هو الحال في جميع الإسقاطات).

مقارنة مع المجسم ذي الاثني عشر وجهًا المنتظم
عرض	مجسم ذو اثني عشر وجهًا	120 خلية
مخطط شليغل	12 وجهًا خماسيًا في الطائرة	120 خلية اثني عشرية الأوجه في الفضاء ثلاثي الأبعاد
الإسقاط المجسم		بأوجه شفافة

إسقاطات منظور محسّنة
	إسقاط منظور الخلية أولاً على مسافة 5 أضعاف المسافة من المركز إلى الرأس، مع تطبيق هذه التحسينات: أقرب مجسم ذي اثني عشر وجهًا إلى وجهة النظر رباعية الأبعاد مُصوَّر باللون الأصفر تم رسم الأشكال الاثني عشرية الـ 12 المجاورة لها مباشرة باللون السماوي؛ تم رسم الأشكال الاثني عشرية المتبقية باللون الأخضر؛ تم استبعاد الخلايا التي تواجه بعيدًا عن وجهة النظر رباعية الأبعاد (تلك التي تقع على "الجانب البعيد" من 120 خلية) لتقليل الفوضى في الصورة النهائية.
	إسقاط منظوري يعتمد على الرؤوس أولاً عند مسافة 5 أضعاف المسافة من المركز إلى الرأس، مع هذه التحسينات: الخلايا الأربع المحيطة بأقرب رأس موضحة بأربعة ألوان أقرب رأس موضح باللون الأبيض (مركز الصورة حيث تلتقي 4 خلايا) الخلايا المتبقية موضحة باللون الأخضر الشفاف تم حذف الخلايا التي تواجه الجهة المقابلة لوجهة النظر رباعية الأبعاد لزيادة الوضوح

الرسوم المتحركة

إسقاطات ثلاثية الأبعاد لخلية رباعية الأبعاد مكونة من 120 خلية تقوم بدوران بسيط

من خارج الكرة الثلاثية في الفضاء الرباعي	داخل السطح ثلاثي الأبعاد للكرة ثلاثية الأبعاد

في جميع الرسومات التوضيحية المذكورة أعلاه للخلية ذات الـ 120 خلية، لا تظهر سوى حوافها. أما باقي الأوتار فهي غير ظاهرة. الأجزاء الداخلية المعقدة للخلية ذات الـ 120 خلية، بما فيها الخلايا الداخلية المكونة من 600 خلية، و24 خلية، و8 خلايا، و16 خلية، و5 خلايا، فهي غير مرئية تمامًا في جميع الرسومات. على المشاهد أن يتخيلها.

يُعدّ الرسم المتحرك التالي استثناءً، إذ يُظهر بعض أوتار الخلية الكاملة المقطوعة ذات 120 رأسًا (المطابقة للخلية الكاملة المقطوعة ذات 600 رأس نظرًا لتناظر مخطط كوكسيتر-دينكين الخاص بهما)، مع أنه لا يُظهر متعددات الوجوه الرباعية المُحاطة بها. للاطلاع على عرض كامل لمدارات كل قسم، بالإضافة إلى مدارات الأقسام الفرعية، يُرجى مراجعة ملف SVG الخاص بالخلية الكاملة المقطوعة ذات 120 رأسًا على موقع ويكيميديا كومنز .

مقاطع عرضية من كوكسيتر
مقاطع من هيكل رباعي الأبعاد متعدد البنى مكون من 600/120 خلية و97 إطارًا (=48 × 2 يمين/يسار + 1 مركزي) معروضة في مناظر ثلاثية الأبعاد من منظور Flatlander . تم إبراز المقطع المركزي أيضًا من خلال عرضه كمجموعة مدمجة من الأغلفة المحدبة.

الأشكال متعددة الأوجه ذات الصلة وخلايا النحل

H ₄ متعددات الوجوه

الخلية المكونة من 120 خلية هي واحدة من 15 متعدد الوجوه المنتظم والموحد بنفس التناظر H ₄ [3,3,5]: ^{[ 47 ]}

عائلة H4 _{من متعددات الوجوه}
120 خلية	خلية مقومة 120	خلية واحدة مختصرة مكونة من 120 خلية	خلايا كانتليتد 120	خلايا 120 ممزقة	خلية واحدة مقطوعة	120 خلية مقطوعة	خلية أومنيترونيكتد 120

{5,3,3}	r{5,3,3}	t{5,3,3}	rr{5,3,3}	t _0,3 {5,3,3}	tr{5,3,3}	t _0,1,3 {5,3,3}	t _0,1,2,3 {5,3,3}


600 خلية	خلية مقومة 600	خلية 600 مختصرة	خلية كانتليتد 600	600 خلية مقطوعة	خلية 600 مقطوعة	600 خلية مقطوعة	600 خلية مقطوعة بالكامل

{3,3,5}	r{3,3,5}	t{3,3,5}	rr{3,3,5}	2t{3,3,5}	tr{3,3,5}	t _0,1,3 {3,3,5}	t _0,1,2,3 {3,3,5}

v ت هـ المضلعات المحدبة الأساسية المنتظمة والمتجانسة في الأبعاد من 2 إلى 10
عائلة	$أن $	$ب ن$	$I 2 (p)$ / $D n$	$E 6$ / $E 7$ / $E 8$ / $F 4$ / $G 2$	$H n$
مضلع منتظم	مثلث	مربع	بي-جون	مسدس	البنتاغون
متعدد السطوح منتظم	رباعي الأوجه	ثماني الأوجه • مكعب	مكعب ديميكيوب		المجسم ذو الاثني عشر وجهًا • المجسم ذو العشرين وجهًا
بوليكلورون موحد	بنتاشورون	16 خلية • تيسيراكت	ديميتسيراكت	24 خلية	120 خلية • 600 خلية
متعدد الوجوه الخماسي المنتظم	5-simplex	5-أورثوبليكس • 5-كيوب	5-نصف مكعب
متعدد الوجوه سداسي منتظم	6-simplex	6-أورثوبليكس • 6-كيوب	6-نصف مكعب	1 ₂₂ • 2 ₂₁
متعدد الوجوه المنتظم ذو 7 أوجه	7-simplex	7-أورثوبليكس • 7-كيوب	7-نصف مكعب	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
متعدد الوجوه منتظم ذو 8 أوجه	8-simplex	8-أورثوبليكس • 8-كيوب	8-نصف مكعب	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
متعدد الوجوه ذو 9 أجزاء متجانس	9-simplex	9-أورثوبليكس • 9-كيوب	9-نصف مكعب
متعدد الوجوه منتظم مكون من 10 أجزاء	10-simplex	10-أورثوبليكس • 10-كيوب	10-نصف مكعب
متعدد السطوح المنتظم من النوع n	n - سيمبلكس	ن - أورثوبليكس • ن - كيوب	ن - نصف مكعب	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁	متعدد الوجوه الخماسي n
المواضيع: عائلات متعددات الوجوه • متعدد الوجوه المنتظم • قائمة متعددات الوجوه المنتظمة والمركبات • عمليات متعددات الوجوه

{p,3,3} متعددات الوجوه

يشبه الشكل ذو الـ 120 خلية ثلاثة أشكال متعددة الوجوه منتظمة رباعية الأبعاد : الشكل الخماسي {3,3,3} والمكعب الفائق {4,3,3} في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد، وشكل قرص العسل السداسي {6,3,3} في الفضاء الزائدي. جميع هذه الأشكال لها شكل رأس رباعي الأوجه {3,3}.

{p,3,3} متعددات الوجوه
فضاء	S ³			H ³
استمارة	محدود			شبه مضغوط	غير مضغوط
اسم	{3,3,3}	{4,3,3}	{5,3,3}	{6,3,3}	{7,3,3}	{8,3,3}	... { ∞ ,3,3}
صورة
الخلايا {p,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{ ∞ ,3}

{5,3,p} متعددات الوجوه

الخلية المكونة من 120 خلية هي جزء من سلسلة من متعددات الوجوه الرباعية وخلايا قرص العسل ذات الخلايا الاثني عشرية الأوجه :

{5,3,p} متعددات الوجوه
فضاء	S ³	H ³
استمارة	محدود	صغير الحجم		شبه مضغوط	غير مضغوط
اسم	{5,3,3}	{5,3,4}	{5,3,5}	{5,3,6}	{5,3,7}	{5,3,8}	... {5,3, ∞ }
صورة
شكل الرأس	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3, ∞ }

خلايا رباعية الأوجه متضائلة مكونة من 120 خلية

بما أن المضلع ذو الـ 600 نقطة والمكون من 120 خلية يحتوي على 5 خلايا داخلية منفصلة مكونة من 600 نقطة، فإنه يمكن تقليصه بإزالة إحدى تلك الخلايا المكونة من 120 نقطة والمكونة من 600 نقطة، مما ينتج عنه مضلع رباعي غير منتظم مكون من 480 نقطة. ^{[ bn ]}

تُصغَّر كل خلية من خلايا المجسم ذي الاثني عشر وجهًا (المكون من 120 خلية) بإزالة 4 من رؤوسها العشرين، مما يُنتج مجسمًا متعدد الأوجه غير منتظم ذو 16 نقطة يُسمى المجسم الاثني عشري المُصغَّر رباعي الأوجه، لأن الرؤوس الأربعة المُزالة تُشكِّل هرمًا رباعي الأوجه مُحاطًا بالمجسم الاثني عشري . وبما أن شكل رأس المجسم الاثني عشري هو المثلث، فإن كل رأس مُقتطع يُستبدل بمثلث. وتُستبدل أوجه الخماسي الاثني عشر باثني عشر شبه منحرف، حيث يُزال رأس واحد من كل خماسي ويُستبدل ضلعان من أضلاعه بوتر قطر الخماسي. يحتوي المجسم ^{الاثني عشري المُصغَّر رباعي الأوجه} على 16 رأسًا و16 وجهًا: 12 وجهًا شبه منحرف وأربعة أوجه مثلثية متساوية الأضلاع ^.

بما أن شكل رأس المجسم ذي الـ 120 خلية هو رباعي الأوجه، ^{[ bl ]} يُستبدل كل رأس مقطوع برباعي الأوجه، تاركًا 120 خلية من خلايا المجسم ذي الاثني عشر وجهًا المصغر رباعي الأوجه و120 خلية من خلايا المجسم ذي الاثني عشر وجهًا المنتظم. يحتوي كل من المجسم ذي الاثني عشر وجهًا المنتظم والمجسم ذي الاثني عشر وجهًا المصغر رباعي الأوجه على 30 ضلعًا، بينما يحتوي كل من المجسم ذي الـ 120 خلية المنتظم والمجسم ذي الـ 120 خلية المصغر رباعي الأوجه على 1200 ضلع.

يمكن تسمية الشكل الرباعي الأوجه المصغر ذو الـ 120 خلية والمكون من 480 نقطة بالشكل الرباعي الأوجه المصغر ذو الـ 120 خلية لأن خلاياه مصغرة رباعياً، أو بالشكل الرباعي الأوجه المصغر ذو الـ 600 خلية لأن الرؤوس التي أُزيلت شكلت شكلاً رباعي الأوجه مكوناً من 600 خلية داخل الشكل الرباعي الأوجه المكون من 120 خلية، أو حتى بالشكل الرباعي الأوجه المصغر ذو الـ 5 خلايا المنتظمة لأن إزالة الرؤوس الـ 120 تُزيل رأساً واحداً من كل خلية من الخلايا الـ 5 المنتظمة الـ 120 المُحاطة، تاركةً 120 شكلاً رباعي الأوجه منتظماً. ^{[ د ]}

مشعب ديفيس ذو 120 خلية

إن مشعب ديفيس ذو 120 خلية ، الذي قدمه ديفيس (1985) ، هو مشعب زائدي مضغوط رباعي الأبعاد يتم الحصول عليه عن طريق تحديد الوجوه المتقابلة للخلية ذات 120 خلية، والتي يعطي غطاؤها العالمي قرص العسل المنتظم {5,3,3,5} للفضاء الزائدي رباعي الأبعاد.

انظر أيضاً

57-cell – متعدد الوجوه المنتظم المجرد ذو 4 أضلاع مكون من 57 نصف اثني عشر وجهًا.
600 خلية - متعدد الأوجه المزدوج ذو 4 أضلاع إلى 120 خلية
عائلة متعددة الأوجه رباعية منتظمة ذات تناظر [5،3،3]

ملحوظات

في المجسم ذي الـ 120 خلية، تلتقي 3 مجسمات اثني عشرية الأوجه و3 مجسمات خماسية الأضلاع عند كل حافة. وتلتقي 4 مجسمات اثني عشرية الأوجه و6 مجسمات خماسية الأضلاع و4 حواف عند كل رأس. الزاوية ثنائية السطوح (بين المستويات الفائقة للمجسمات الاثني عشرية الأوجه) هي 144 درجة . ^[³^]
١ ٢ تحتوي الخلية ذات الـ ١٢٠ على جميع المضلعات المحدبة المنتظمة من الرتبة ١، ٢، ٣، و٤، باستثناء المضلعات المنتظمة {٧} وما فوق، والتي لا يظهر معظمها. {١٠} استثناء ملحوظ يظهر بالفعل . تظهر العديد من المضلعات المنتظمة المائلة {٧} وما فوق في الخلية ذات الـ ١٢٠، ولا سيما {١١}،^{[ al ]،} {١٥}^{، [ z ]} ، و{٣٠}.^{[ q ]}
١ ٢ ٣ يمكن ترتيب المضلعات المنتظمة المحدبة رباعية الأبعاد حسب الحجم كمقياس للمحتوى رباعي الأبعاد (الحجم الفائق) لنفس نصف القطر. كل مضلع أكبر في التسلسل يكون أكثر استدارة من سابقه، مما يعني احتواءه على محتوى رباعي الأبعاد أكبر ضمن نفس نصف القطر. المضلع الرباعي البسيط (خماسي الخلايا) هو أصغر حالة حدية، والمضلع ذو ١٢٠ خلية هو الأكبر. يتبع التعقيد (كما يُقاس بمقارنة مصفوفات التكوين أو ببساطة عدد الرؤوس) نفس الترتيب. يوفر هذا نظام تسمية عددية بديل للمضلعات المنتظمة، حيث يكون المضلع ذو ١٢٠ خلية هو المضلع الرباعي ذو ٦٠٠ نقطة: السادس والأخير في التسلسل التصاعدي الذي يبدأ بالمضلع الرباعي ذو ٥ نقاط.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
في الشكل الثلاثي {30/12}=6{5/2} ، تظهر ستة من أصل 120 خلية منتظمة منفصلة ذات 5 أضلاع، طول ضلعها √2.5، والمُحاطة بالخلية ذات 120 خلية، على شكل ستة أشكال خماسية، وهي مضلع كليفورد للخلية ذات 5 أضلاع . تتكون الرؤوس الثلاثون من مضلع بيتري للخلية ذات 120 خلية، ^{[ q ]} ذي 30 ضلعًا متعرجًا (غير موضح)، وثلاثة أشكال عشرية كبيرة مُحاطة (أضلاعها غير موضحة) تقع موازية لمستوى الإسقاط. ^{[ s ]}
تحتوي الخلية ذات نصف القطر الواحد (120) على 120 خلية منتظمة منفصلة من 5 أضلاع، ^{[ 12 ]} طول ضلعها √2.5 . لا تحتوي أي متعددات وجوه منتظمة من 4 أضلاع، باستثناء الخلية ذات 5 أضلاع والخلية ذات 120، على أوتار طولها √2.5 (الوتر رقم 8). ^{[ هـ ]} تحتوي الخلية ذات 120 على 10 خلايا داخلية مميزة من 600 أضلاع، والتي يمكن اعتبارها 5 خلايا منفصلة من 600 أضلاع بطريقتين مختلفتين. يربط كل وتر طوله √2.5 رأسين في خلايا 600 أضلاع منفصلة، وبالتالي في خلايا 24 أضلاع و8 أضلاع و16 أضلاع منفصلة. ^{[ ط ]} تربط أضلاع كل من الخلية ذات 5 أضلاع والخلية ذات 120 رأسين في خلايا 600 أضلاع منفصلة. تكون متعددات الوجوه المتناظرة من النوع نفسه في خلايا منفصلة مكونة من 600 خلية متوازية وفقًا لمعيار كليفورد، وتبعد عن بعضها مسافة √2.5 . تحتوي كل خلية مكونة من 5 خلايا على رأس واحد من كل خلية من الخلايا الخمس المنفصلة المكونة من 600 خلية. ^{[ t ]}
1 2 3 4Multiple instances of each of the regular convex 4-polytopes can be inscribed in any of their larger successor 4-polytopes, except for the smallest, the regular 5-cell, which occurs inscribed only in the largest, the 120-cell.^[i] To understand the way in which the 4-polytopes nest within each other, it is necessary to carefully distinguish disjoint multiple instances from merely distinct multiple instances of inscribed 4-polytopes. For example, the 600-point 120-cell is the convex hull of a compound of 75 8-point 16-cells that are completely disjoint: they share no vertices, and 75 * 8 = 600. But it is also possible to pick out 675 distinct 16-cells within the 120-cell, most pairs of which share some vertices, because two concentric equal-radius 16-cells may be rotated with respect to each other such that they share 2 vertices (an axis), or even 4 vertices (a great square plane), while their remaining vertices are not coincident.^[j] In 4-space, any two congruent regular 4-polytopes may be concentric but rotated with respect to each other such that they share only a common subset of their vertices. Only in the case of the 4-simplex (the 5-point regular 5-cell) that common subset of vertices must always be empty, unless it is all 5 vertices. It is impossible to rotate two concentric 4-simplexes with respect to each other such that some, but not all, of their vertices are coincident: they may only be completely coincident, or completely disjoint. Only the 4-simplex has this property; the 16-cell, and by extension any larger regular 4-polytope, may lie rotated with respect to itself such that the pair shares some, but not all, of their vertices. Intuitively we may see how this follows from the fact that only the 4-simplex does not possess any opposing vertices (any 2-vertex central axes) which might be invariant after a rotation. The 120-cell contains 120 completely disjoint regular 5-cells, which are its only distinct inscribed regular 5-cells, but every other nesting of regular 4-polytopes features some number of disjoint inscribed 4-polytopes and a larger number of distinct inscribed 4-polytopes.
↑(Coxeter 1973) uses the greek letter 𝝓 (phi) to represent one of the three characteristic angles 𝟀, 𝝓, 𝟁 of a regular polytope. Because 𝝓 is commonly used to represent the golden ratio constant ≈ 1.618, for which Coxeter uses 𝝉 (tau), we reverse Coxeter's conventions, and use 𝝉 to represent the characteristic angle.
↑To obtain all 600 coordinates by quaternion cross-multiplication of these three 4-polytopes' coordinates with less redundancy, it is sufficient to include just one vertex of the 24-cell: (√1/2, √1/2, 0, 0).^[9]
1 2 3 4The 600 vertices of the 120-cell can be partitioned into those of 5 disjoint inscribed 120-vertex 600-cells in two different ways.^[34] The geometry of this 4D partitioning is dimensionally analogous to the 3D partitioning of the 20 vertices of the dodecahedron into 5 disjoint inscribed tetrahedra, which can also be done in two different ways because each dodecahedral cell contains two opposing sets of 5 disjoint inscribed tetrahedral cells. The 120-cell can be partitioned in a manner analogous to the dodecahedron because each of its dodecahedral cells contains one tetrahedral cell from each of the 10 inscribed 600-cells.
1 2 3There is a geometric relationship between the regular 5-cell (4-simplex) and the regular 16-cell (4-orthoplex), but it is manifest only indirectly through the 3-simplex and 5-orthoplex. An $n$ -simplex is bounded by $n+1$ vertices and $n+1$ ( $n$ -1)-simplex facets, and has $n+1$ long diameters (its edges) of length ${\sqrt {n+1}}/{\sqrt {n}}$ radii. An $n$ -orthoplex is bounded by $2n$ vertices and $2^{n}$ ( $n$ -1)-simplex facets, and has $n$ long diameters (its orthogonal axes) of length $2$ radii. An $n$ -cube is bounded by $2^{n}$ vertices and $2n$ ( $n$ -1)-cube facets, and has $2^{n-1}$ long diameters of length ${\sqrt {n}}$ radii.^[az] The ${\sqrt {3}}$ long diameters of the 3-cube are shorter than the ${\sqrt {4}}$ axes of the 3-orthoplex. The coordinates of the 4-orthoplex are the permutations of $(0,0,0,\pm 1)$ , and the 4-space coordinates of one of its 16 facets (a 3-simplex) are the permutations of $(0,0,0,1)$ .^[ba] The ${\sqrt {4}}$ long diameters of the 4-cube are the same length as the ${\sqrt {4}}$ axes of the 4-orthoplex. The coordinates of the 5-orthoplex are the permutations of $(0,0,0,0,\pm 1)$ , and the 5-space coordinates of one of its 32 facets (a 4-simplex) are the permutations of $(0,0,0,0,1)$ .^[bb] The ${\sqrt {5}}$ long diameters of the 5-cube are longer than the ${\sqrt {4}}$ axes of the 5-orthoplex.
١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩ ١٠ تحتوي الخلية ذات الـ ١٢٠ على ٦٠٠ رأس موزعة بشكل متناظر على سطح كرة ثلاثية الأبعاد في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد. تأتي الرؤوس في أزواج متقابلة، وتحدد الخطوط المارة بأزواج الرؤوس المتقابلة ٣٠٠ شعاع (أو محور) للخلية ذات الـ ١٢٠. سنطلق على أي مجموعة من أربعة أشعة (أو اتجاهات) متعامدة اسم " قاعدة" . تشكل الأشعة الـ ٣٠٠ ما مجموعه ٦٧٥ قاعدة، حيث يظهر كل شعاع في ٩ قواعد ويكون متعامدًا مع رفاقه الـ ٢٧ المتميزين في هذه القواعد، ولا يكون متعامدًا مع أي أشعة أخرى. تشكل الأشعة والقواعد تكوينًا هندسيًا ، والذي يُكتب في لغة التكوينات على النحو التالي: ٣٠٠_٩ ٦٧٥_٤، للدلالة على أن كل شعاع ينتمي إلى ٩ قواعد، وأن كل قاعدة تحتوي على ٤ أشعة.^{[ 31 ]} يتوافق كل أساس مع خلية مميزة مكونة من 16 خلية تحتوي على أربعة محاور متعامدة وستة مربعات كبيرة متعامدة. يمكن اختيار 75 خلية منفصلة تمامًا مكونة من 16 خلية، تحتوي على جميع رؤوس الخلية المكونة من 120 خلية والبالغ عددها 600 رأس، من بين 675 خلية مميزة مكونة من 16 خلية.^{[ هـ ]}
١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ يمكن إنشاء المجسم ذي الـ ١٢٠ خلية كمجموعة مركبة من ٥ مجسمات منفصلة ذات ٦٠٠ خلية،^{[ ح ]} أو ٢٥ مجسمًا منفصلًا ذات ٢٤ خلية، أو ٧٥ مجسمًا منفصلًا ذات ١٦ خلية، أو ١٢٠ مجسمًا منفصلًا ذات ٥ خلايا. باستثناء حالة ١٢٠ مجسمًا من ٥ خلايا،^{[ هـ ]} فإن هذه الأعداد لا تمثل جميع المجسمات المنتظمة الرباعية المتميزة التي يمكن إيجادها محصورة داخل المجسم ذي الـ ١٢٠ خلية، بل تمثل فقط أعداد المجسمات الرباعية المحصورة المنفصلة تمامًا والتي تشكل عند تجميعها الغلاف المحدب للمجسم ذي الـ ١٢٠ خلية. يحتوي المجسم ذو الـ ١٢٠ خلية على ١٠ مجسمات متميزة ذات ٦٠٠ خلية، و ٢٢٥ مجسمًا متميزًا ذات ٢٤ خلية، و ٦٧٥ مجسمًا متميزًا ذات ١٦ خلية.^{[ ي ]}
1 2 جميع المنحنيات المتساوية على سطح الكرة الثلاثية التي لها نفس المحيط هي دوائر متطابقة تمامًا. الدائرة العظمى العادية هي منحنى متساوي المحيط. $2\pi r$ تحدث الدورانات البسيطة للمضلعات ذات نصف القطر الواحد على منحنيات تساوي الانحدار 2π. قد يكون للدورانات المزدوجة منحنيات تساوي انحدار أخرى غير $2\pi r$ المحيط. الدوران المميز لمتعدد السطوح المنتظم رباعي الأبعاد هو الدوران المتساوي الميل، حيث تكون المستويات المركزية التي تحتوي على حوافه مستويات دوران ثابتة. يدور متعدد السطوح ذو 16 خلية و24 خلية على مستويات متساوية الميل بمحيط 4π. أما متعدد السطوح ذو 600 خلية فيدور على مستويات متساوية الميل بمحيط 5π.
1 2 3 4 5 6 7 8 الخط المتساوي هو دائرة عظمى مغلقة، منحنية، حلزونية الشكل، تمر عبر الأبعاد الأربعة. على عكس الدائرة العظمى العادية، لا يقع الخط المتساوي في مستوى مركزي واحد، ولكنه، كأي دائرة عظمى، عند النظر إليه ضمن الفضاء ثلاثي الأبعاد المنحني لسطح حدود متعدد السطوح الرباعي، يكون خطًا مستقيمًا ، أو خطًا جيوديسيًا . كل من الدوائر العظمى العادية والدوائر العظمى ذات الخطوط المتساوية حلزونية بمعنى أن حزمًا متوازية من الدوائر العظمى مرتبطة ببعضها البعض وتلتف حلزونيًا حول بعضها، ولكن لا يوجد التواء حقيقي بينهما (ليس لهما التواء جوهري). انحناؤهما ليس خاصًا بهما، بل هو خاصية من انحناء الكرة ثلاثية الأبعاد الطبيعي، حيث تكون ضمن هذا الفضاء المنحني عبارة عن قطع مستقيمة محدودة (مغلقة).^{[ ل ]} لتجنب الالتباس، نشير دائمًا إلى الخط المتساوي على هذا النحو، ونحتفظ بمصطلح الدائرة العظمى للدائرة العظمى العادية في المستوى.
١ ٢ ٣ ٤ ٥ الدوران المتساوي الميل^{[ o ]} هو دوران مزدوج متساوي الزوايافي مستويين مركزيين ثابتين ومتعامدين تمامًا في الوقت نفسه. لكل دوران متساوي الميل منفصل زاويتان قوسيتان مميزتان (طولا وتر)، زاوية الدوران وزاوية الميل المتساوي .^{[ x ]} في كل خطوة دوران متزايدة من رأس إلى رأس مجاور، يدور كل مستوى دوران ثابت بزاوية الدوران، ويميل أيضًا جانبيًا (مثل قلب عملة معدنية) بزاوية دوران مساوية.^{[ am ]} وبالتالي، يدور كل رأس على دائرة عظمى بمقدار زيادة زاوية دوران واحدة، بينما تدور الدائرة العظمى بأكملها في الوقت نفسه مع الدائرة العظمى المتعامدة تمامًا بمقدار زيادة زاوية دوران مساوية.^{[ ap ]} ناتج هاتين الزيادتين المتزامنتين والمتساويتين في دوران الدائرة العظمى هو إزاحة كلية لكل رأس بمقدار زيادة زاوية الميل المتساوي (طول وتر الميل المتساوي). وبالتالي، تقيس زاوية الدوران إزاحة الرأس في الإطار المرجعي لدائرة عظمى متحركة، وكذلك الإزاحة الجانبية للدائرة العظمى المتحركة (المسافة بين مضلع الدائرة العظمى ومضلع الدائرة العظمى الموازي له في مسار كليفورد الذي ينتقل إليه الدوران) في الإطار المرجعي الثابت. أما طول وتر خط التساوي فهو إجمالي إزاحة الرأس في الإطار المرجعي الثابت، وهو وتر مائل بين مضلعي الدائرة العظمى (المسافة بين رؤوسهما المتناظرة في الدوران).
1 2 3 4 5 6 يلزم وجود زاويتين لتحديد المسافة الفاصلة بين مستويين في الفضاء الرباعي الأبعاد.^{[ 11 ]} إذا كانت الزاويتان متطابقتين، يُطلق على المستويين اسم متساوي الميل (أو متوازي كليفورد )، ويتقاطعان في نقطة واحدة. في الدوران المزدوج ، تدور النقاط داخل مستويات الدوران المركزية الثابتة بزاوية معينة، ويميل مستوى الدوران المركزي الثابت بأكمله جانبيًا (في مستوى دوران مركزي ثابت متعامد) بزاوية معينة. لذلك، يقطع كل رأس منحنىً حلزونيًا أملسًا يُسمى منحنى متساوي الميل ^{[ m ]} بين نقطتين في مستويين مركزيين مختلفين، بينما يقطع دائرة عظمى عادية في كل من المستويين المركزيين المتعامدين (حيث تميل المستويات بالنسبة إلى مستوياتها الأصلية). إذا كانت الزاويتان المتعامدتان متطابقتين، فإن المسافة المقطوعة على طول كل دائرة عظمى تكون متساوية، ويُطلق على الدوران المزدوج اسم متساوي الميل (أو إزاحة كليفورد ). الدوران الذي ينقل المستويات المركزية المتساوية الميل إلى بعضها البعض هو دوران متساوي الميل.^{[ ن ]}
١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩ يحتوي المستوى المركزي الثابت للدوران المتساوي الميل المميز للخلية ١٢٠^{[ z ]} على سداسي كبير غير منتظم {٦} ذي حواف متناوبة بطولين مختلفين: ٣ حواف من ١٢٠ خلية طولها 𝜁 = √ 𝜀 (أوتار رقم ١)، و٣ حواف منتظمة محيطة من ٥ خلايا طولها √ ٢٫٥ (أوتار رقم ٨). هذه، على التوالي، هي أقصر وأطول حواف أي متعدد وجوه منتظم رباعي الأبعاد.^{[ ab ]} كل سداسي كبير غير منتظم متعامد تمامًا مع سداسي كبير غير منتظم آخر.^{[ ac ]} تحتوي الخلية ذات الـ 120 شكلاً على 400 شكل سداسي كبير غير منتظم (200 زوج متعامد تمامًا)، والتي يمكن تقسيمها إلى 100 شكل سداسي كبير غير منتظم منفصل (تليف منفصل للخلية ذات الـ 120 شكلاً) بأربع طرق مختلفة. لكل تليف دورانه المتساوي الميل الأيسر (والأيمن) المميز في 50 زوجًا من المستويات المركزية الثابتة المتعامدة تمامًا. يشغل شكلان سداسيان كبيران غير منتظمين نفس المستوى المركزي، في مواقع متبادلة، تمامًا كما يشغل شكلان خماسيان كبيران مستوى شكل عشري كبير. يشكل الشكلان السداسيان الكبيران غير المنتظمين شكلًا اثني عشريًا كبيرًا غير منتظم ، وهو مضلع دائري كبير مركب للخلية ذات الـ 120 شكلاً .
1 2 3 4 5 6 7
In triacontagram {30/9}=3{10/3} we see the 120-cell Petrie polygon (on the circumference of the 30-gon, with 120-cell edges not shown) as a compound of three Clifford parallel 600-cell great decagons (seen as three disjoint {10/3} decagrams) that spiral around each other. The 600-cell edges (#3 chords) connect vertices which are 3 600-cell edges apart (on a great circle), and 9 120-cell edges apart (on a Petrie polygon). The three disjoint {10/3} great decagons of 600-cell edges delineate a single Boerdijk–Coxeter helix 30-tetrahedron ring of an inscribed 600-cell.
The 120-cell and 600-cell both have 30-gon Petrie polygons.^[ag] They are two distinct skew 30-gon helices, composed of 30 120-cell edges (#1 chords) and 30 600-cell edges (#3 chords) respectively, but they occur in completely orthogonal pairs that spiral around the same 0-gon great circle axis. The 120-cell's Petrie helix winds closer to the axis than the 600-cell's Petrie helix does, because its 30 edges are shorter than the 600-cell's 30 edges (and they zig-zag at less acute angles). A dual pair^[ag] of these Petrie helices of different radii sharing an axis do not have any vertices in common; they are completely disjoint.^[ak] The 120-cell Petrie helix (versus the 600-cell Petrie helix) twists around the 0-gon axis 9 times (versus 11 times) in the course of one circular orbit, forming a skew {30/9}=3{10/3} polygram (versus a skew {30/11} polygram).^[al]
↑In 600-cell § Decagons and pentadecagrams, see the illustration of triacontagram {30/6}=6{5}.
1 2 3Inscribed in the 3 Clifford parallel great decagons of each helical Petrie polygon of the 120-cell^[d] are 6 great pentagons^[r] in which the 6 pentagrams (regular 5-cells) appear to be inscribed, but the pentagrams are skew (not parallel to the projection plane); each 5-cell actually has vertices in 5 different decagon-pentagon central planes in 5 completely disjoint 600-cells.
1 2The 120 regular 5-cells are completely disjoint. Each 5-cell contains two distinct Petrie pentagons of its #8 edges, pentagonal circuits each binding 5 disjoint 600-cells together in a distinct isoclinic rotation characteristic of the 5-cell. But the vertices of two disjoint 5-cells are not linked by 5-cell edges, so each distinct circuit of #8 chords is confined to a single 5-cell, and there are no other circuits of 5-cell edges (#8 chords) in the 120-cell.
↑ كل منحنى متساوي التماثل أسود أو أبيض في الرسم البياني الخماسي عشري يعمل كمنحنى متساوي التماثل يميني في دوران متساوي التماثل يميني مميز، وكمنحنى متساوي التماثل يساري في دوران متساوي التماثل يساري مميز، لكن المنحنيات متساوية التماثل لا تمتلك كيرالية جوهرية.^{[ م ]} لا يوجد منحنى متساوي التماثل يكون منحنى متساوي التماثل يميني ويساري في نفس الدوران المنفصل يمين-يسار (نفس التليف).
١ ٢ ٣ يؤدي الدوران المتساوي الميل المميز للخلية ذات الـ ١٢٠، في المستويات الثابتة التي تقع فيها حوافها (أوتار رقم ١)، إلى تحويل تلك الحواف إلى حواف مماثلة في مستويات مركزية متوازية وفقًا لمعيار كليفورد. وبما أن الدوران المتساوي الميل^{[ ن ]} هو دوران مزدوج (في مستويين مركزيين ثابتين متعامدين تمامًا في آن واحد)، ففي كل خطوة دوران تزايدية من رأس إلى رأس مجاور، تنتقل الرؤوس بين المستويات المركزية على منحنيات متساوية الميل حلزونية، وليس على دوائر عظمى عادية،^{[ م ]} فوق وتر متساوي الميل، وهو في هذا الدوران تحديدًا وتر رقم ٤ بطول قوس ٤٤.٥ درجة.^{[ أك ]}
1 2 3 الخط المتساوي المميز^{[ م ]} للخلية المكونة من 120 خلية هو شكل خماسي عشري مائل مكون من 15 وترًا من النوع #4. تقع الأوتار المتتالية من النوع #4 لكل شكل خماسي عشري في مستويات مركزية مختلفة مائلة بزاوية متساوية قدرها 12 درجة، وهي 1/30 من دائرة عظمى (ولكنها ليست قوس حافة الخلية المكونة من 120 خلية، أي الوتر رقم 1).^{[ أد ]} هذا يعني أن المستويين مفصولان بزاوية 12 درجة متساوية،^{[ أو ]} ويشغلهما مضلعات كبيرة متوازية متجاورة (سداسيات كبيرة غير منتظمة) تتصل رؤوسها المتناظرة بأوتار مائلة من النوع #4. الرؤوس المتتالية لكل شكل خماسي عشري هي رؤوس في خلايا خماسية منفصلة تمامًا. كل شكل خماسي عشري هو مسار وتر رقم 4^{[ y ]} يمر بـ 15 رأسًا تنتمي إلى ثلاث خلايا خماسية مختلفة. الشكلان الخماسيان العشريان الموضحان في الإسقاط {30/8}=2{15/4}^{[ z ]} يمران بالخلايا الخماسية الست التي تظهر على شكل ستة أشكال خماسية منفصلة في الإسقاط {30/12}=6{5/2}.^{[ d ]}
1 2 3 تتميز كل فئة من فئات الدوران المتساوي الميل المنفصل^{[ n ]} بزوايا الدوران والميل، وبمجموعة المستويات المركزية المتوازية لكليفورد التي تمثل مستويات الدوران الثابتة. الدوران المتساوي الميل المميز لمتعدد السطوح رباعي الأبعاد هو فئة الدوران المتساوي الميل المنفصل التي تحتوي فيها مجموعة مستويات الدوران الثابتة على حواف متعدد السطوح رباعي الأبعاد؛ يوجد دوران يساري (وأيمني) مميز لكل مجموعة من هذه المستويات المركزية المتوازية لكليفورد (كل تليف هوبف لمستويات الحواف). إذا شكلت حواف متعدد السطوح رباعي الأبعاد دوائر عظمى منتظمة، فإن زاوية الدوران المميزة هي ببساطة زاوية قوس الحافة (وتر الحافة هو ببساطة وتر الدوران). ولكن في متعدد السطوح رباعي الأبعاد منتظم ذي شكل رأس رباعي الأوجه^{[ y ]،} لا تشكل الحواف دوائر عظمى منتظمة، بل تشكل دوائر عظمى غير منتظمة بالاشتراك مع وتر آخر. على سبيل المثال، حواف الوتر رقم 1 في المجسم ذي 120 خلية هي حواف مضلع اثني عشري كبير غير منتظم ، والذي يحتوي أيضًا على حواف وتر رقم 4. في مثل هذا المجسم الرباعي، لا تكون زاوية الدوران هي زاوية قوس الحافة ^؛^بل إنها في الواقع ليست بالضرورة قوس أي وتر من رؤوسه^.
١ ٢ ٣ ٤ جميع الأشكال ذات الخلايا الخمس والثماني والمئة والعشرين تحتوي على أشكال رؤوس رباعية الأوجه. في متعدد السطوح رباعي الأبعاد ذي شكل رأس رباعي الأوجه، لا يقع المسار على طول الحواف على دائرة عظمى عادية في مستوى مركزي واحد: كل حافة متتالية تقع في مستوى مركزي مختلف عن الحافة السابقة. في الشكل ذي المئة والعشرين، يتبع المسار المحيطي ذو الثلاثين حافة على طول الحواف مضلع بيتري مائل متعرج، وهو ليس دائرة عظمى. ومع ذلك، يوجد مسار محيطي ذو خمسة عشر وترًا يمثل دائرة عظمى جيوديسية حقيقية تمر عبر تلك الرؤوس الخمسة عشر: ولكنه ليس دائرة عظمى "مسطحة" عادية محيطها ٢πr، بل هو منحنى متساوي التساوي حلزوني ^{[ m ]} ينحني في دائرة في مستويين مركزيين متعامدين تمامًا في آن واحد، يدور عبر أربعة أبعاد بدلاً من أن يكون محصورًا في مستوى ثنائي الأبعاد.^{[ w ]} تُسمى مجموعة الأوتار المائلة لمنحنى متساوي الميل بمضلع كليفورد الخاص به .^{[ ae ]}
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
في الشكل الثلاثي {30/8}=2{15/4} ، يظهر خطان متساويان منفصلان للشكل الخماسي عشري : خط أسود وآخر أبيض (موضحان هنا باللون البرتقالي والأصفر الباهت) للدوران المتساوي المميز للخلايا الـ 120. ^{[ u ]} حواف الشكل الخماسي عشري هي أوتار رقم 4 ^{[ v ]} تصل بين رؤوس تفصل بينها 8 رؤوس على محيط هذا الإسقاط ذي الـ 30 رأسًا، وهو مضلع بيتري المتعرج. ^{[ w ]}
يحدث الدوران المتساوي الميل المميز ^{[ x ]} للخلية المكونة من 120 خلية في المستويات الثابتة لحوافها الـ 1200 ^{[ y ]} وحوافها الـ 1200 المقابلة لها في الخلايا المنتظمة المكونة من 5 خلايا . ^{[ p ]} توجد أربعة دورانات متساوية الميل مميزة لليمين (واليسار)، كل زوج من اليمين واليسار يتوافق مع تليف هوبف منفصل . ^{[ 13 ]} في كل دوران، تدور جميع الرؤوس الـ 600 على مسارات متساوية الميل حلزونية مكونة من 15 رأسًا، متتبعة دائرة جيوديسية ^{[ m ]} ذات 15 وترًا تشكل شكلًا خماسي عشري {15/4}. ^{[ w ]}
1 2 3 4 5
مضلع بيتري للخلية المكونة من 120 خلية هو مضلع ثلاثي منتظم منحرف {30}. ^{[ af ]} لا تقع جميع حواف الوتر رقم 1 البالغ عددها 30 على نفس مضلع الدائرة العظمى {30}، ولكنها تقع في مجموعات من 6 (متباعدة بالتساوي حول المحيط) في 5 مضلعات دوائر عظمى متوازية من نوع كليفورد {12}.
يحتوي المضلع ذو الـ 120 خلية على 80 مضلعًا من مضلعات بتري ذات 30 ضلعًا ، من أصل 1200 ضلع، ويمكن تقسيمه إلى 20 مضلعًا منفصلًا من مضلعات بتري ذات 30 ضلعًا. ^{[ ag ]} يلتف مضلع بتري ذو الـ 30 ضلعًا حول محوره الدائري الأعظم ذي الـ 0 ضلعًا 9 مرات خلال دورة دائرية واحدة، ويمكن اعتباره شكلًا ثلاثيًا مركبًا {30/9}=3{10/3} مكونًا من 600 ضلع (أوتار من الدرجة الثالثة) تربط أزواجًا من الرؤوس تفصل بينها 9 رؤوس على مضلع بتري. ^{[ q ]} يُعد الشكل {30/9} (بأضلاعه ذات الأوتار من الدرجة الثالثة) تسلسلًا بديلًا لنفس الرؤوس الثلاثين الموجودة في مضلع بتري ذي الـ 30 ضلعًا (بأضلاعه ذات الأوتار من الدرجة الأولى).
↑ يمتد كل وتر √2.5 على 8 أضلاع متعرجة من مضلع بيتري ذي 30 ضلعًا، [aa] ولا يقع أي منها في الدائرة العظمى للمضلع السداسي الكبير غير المنتظم. وبدلاً من ذلك، يمتد الوتر √2.5 ^{على 9 أضلاع} متعرجة ، يقع أحدها (فوق منتصفه) في نفس الدائرة العظمى.^{[ p ]}
1 2 على الرغم من كونها متعامدة ومتصلة (مثل الحلقات المتجاورة في سلسلة مشدودة)، فإن المضلعات الكبيرة المتعامدة تمامًا تكون متوازية أيضًا، وتقع مقابل بعضها البعض تمامًا في متعدد الوجوه الرباعي، في مستويات لا تتقاطع إلا عند نقطة واحدة، وهي المركز المشترك للدائرتين المتصلتين.
في الدوران المتساوي الميل للخلية المكونة من 120 خلية ، تكون زاوية قوس الدوران 12 درجة ( 1/30 من الدائرة)، وليست زاوية قوس وتر الحافة رقم 1 البالغة 15.5 درجة. وبغض النظر عن المستويات المركزية التي تمثل مستويات الدوران الثابتة، فإن أي دوران متساوي الميل للخلية المكونة من 120 خلية بمقدار 12 درجة سينقل المضلع الكبير في كل مستوى مركزي إلى مضلع كبير مطابق في مستوى مركزي موازٍ لمستوى كليفورد يبعد عنه 12 درجة. المضلعات الكبيرة الموازية لمستوى كليفورد المتجاورة (من أي نوع) منفصلة تمامًا، وترتبط رؤوسها الأقرب بحافتين من الخلية المكونة من 120 خلية (وتر رقم 1 بطول قوس 15.5 درجة). زاوية الدوران البالغة 12 درجة ليست زاوية قوس أي وتر بين رأسين في الخلية المكونة من 120 خلية. يحدث ذلك فقط كزاويتين متساويتين بين مستويين مركزيين متوازيين متجاورين من نوع كليفورد ،^{[ o ]} وهو الفصل بين مستويات الدوران المتجاورة في جميع الدورانات المتساوية الميل المختلفة للخلايا الـ 120 (ليس فقط في دورانها المميز).
1 2 يمكن تسميةمسار الوتر لمنحنى متساوي^{[ م ]} بمضلع كليفورد للمضلع الرباعي ، لأنه شكل متعدد الأضلاع المائل للدوائر الدورانية التي تجتازها رؤوس المضلع الرباعي في إزاحة كليفورد المميزة له .^{[ o ]}
1 2 يتبع محيط الـ 30 ضلعًا للخلية المكونة من 120 خلية شكل مضلع بيتري منحرف، وليس مضلع دائرة عظمى. مضلع بيتري لأي متعدد السطوح رباعي الأبعاد هو حلزون متعرج يلتف عبر الفضاء ثلاثي الأبعاد المنحني لسطح متعدد السطوح رباعي الأبعاد.^{[ ah ]} تمثل الأوتار الخمسة عشر المرقمةللخلية المكونة من 120 خلية المسافة بين رأسين في تلك الحلقة الحلزونية المكونة من 30 رأسًا.^{[ ai ]} تتراوح هذه المسافات الفيثاغورية الخمسة عشر المتميزة عبر الفضاء رباعي الأبعاد من طول ضلع الخلية المكونة من 120 خلية الذي يربط أي رأسين متجاورين في الحلقة (الوتر رقم 1)، إلى طول محور الخلية المكونة من 120 خلية (القطر) الذي يربط أي رأسين متقابلين (الأبعد) في الحلقة (الوتر رقم 15).
١ ٢ ٣ المضلع المنتظم المائل ذو الثلاثين ضلعًا هو مضلع بتري للخلية ذات الـ ٦٠٠ ضلع، ونظيره للخلية ذات الـ ١٢٠ ضلعًا. تظهر مضلعات بتري للخلية ذات الـ ١٢٠ ضلعًا في الخلية ذات الـ ٦٠٠ ضلعًا كنظائر لحلقات بويرديك-كوكسيتر الحلزونية ذات الثلاثين ضلعًا (مضلعات بتري للخلية ذات الـ ٦٠٠ ضلعًا):^{[ al ]} يؤدي توصيل مراكز خلاياها الرباعية الأوجه الثلاثين معًا إلى إنتاج مضلعات بتري للخلية الثنائية ذات الـ ١٢٠ ضلعًا، كما لاحظ رولفديتر فرانك (حوالي عام ٢٠٠١). وهكذا اكتشف أن مجموعة رؤوس الخلية ذات الـ ١٢٠ ضلعًا تنقسم إلى ٢٠ مضلع بتري غير متقاطعة. تُشكّل هذه المجموعة المكونة من 20 مضلعًا متوازيًا من نوع كليفورد، منفصلة، تليفًا منفصلاً لهوبف للخلية المكونة من 120 خلية (تمامًا كما تُشكّل حلقاتها العشرين المزدوجة المكونة من 30 خلية تليفًا منفصلاً للخلية المكونة من 600 خلية ).^{[ q ]}
↑ يمكن اعتبار مضلع بتري لمتعدد السطوح ثلاثي الأبعاد (متعدد الوجوه) ذي الوجوه المثلثية (مثل المجسم العشري الوجوه) شريطًا خطيًا من الوجوه المتصلة حوافها، منحنية على شكل حلقة. ضمن هذا الشريط الدائري من المثلثات المتصلة حوافها (10 مثلثات في حالة المجسم العشري الوجوه)،يمكن تمييز مضلع بتري كمضلع منحرف ذي حواف متعرجة (وليست دائرية) عبر الفضاء ثنائي الأبعاد لسطح متعدد السطوح: تنحني بالتناوب يمينًا ويسارًا، وتتلوى حول محور دائرة عظمى يمر عبر المثلثات ولكنه لا يتقاطع مع أي من رؤوسها. يمكن اعتبار مضلع بتري لمتعدد السطوح رباعي الأبعاد (متعدد الخلايا) ذي الخلايا رباعية الأوجه (مثل المجسم ذي 600 خلية) حلزونًا خطيًا من الخلايا المتصلة وجوهها، منحنية على شكل حلقة: حلقة حلزونية من نوع بورديك-كوكسيتر . ضمن هذا الحلزون الدائري من رباعيات الأوجه المرتبطة بالوجوه (30 في حالة الخلية المكونة من 600 خلية) يمكن تمييز مضلع بيتري المائل على أنه حلزون من الحواف المتعرجة (لا تدور) عبر الفضاء ثلاثي الأبعاد لسطح البوليكورون: ينحني بالتناوب إلى اليسار واليمين، ويدور حول محور دائرة عظمى يمر عبر رباعيات الأوجه ولكنه لا يتقاطع مع أي رؤوس.
١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ تحتوي الخلية ذات الـ ١٢٠ على عدد من الأوتار يفوق عدد الأوتار الـ ١٥ المرقمة من ١ إلى ١٥، ولكن هذه الأوتار الإضافية تظهر فقط داخل الخلية ذات الـ ١٢٠، وليست كحواف لأي من المضلعات المحدبة المنتظمة الستة ذات البعد ٤ أو حلقات الدائرة العظمى المميزة لها.تم ترقيم الأوتار الرئيسية الـ ١٥ بهذا الشكل لأن الوتر رقم n يربط رأسين يفصل بينهما n طول حافة على مضلع بيتري للخلية ذات الـ ١٢٠. تقع الأوتار الرئيسية الـ ١٥ على دوائر عظمى في مستويات مركزية تحتوي على مضلعات منتظمة وغير منتظمة ذات ٤ أو ١٠ أو ١٢ رأسًا. يوجد 30 مسافة وترية مميزة بين رؤوس الخلية المكونة من 120 وحدة (15 زوجًا من الأوتار المكملة بزاوية 180 درجة)، بما في ذلك المسافة رقم 15 التي تمثل القطر بزاوية 180 درجة (ومكملها الوتر بزاوية 0 درجة). تقع الأوتار الصغرى الخمسة عشر على دوائر عظمى مستطيلة الشكل {4}، ولا تظهر إلا داخل الخلية المكونة من 120 وحدة. في هذه المقالة، نسمي الأوتار الصغرى الخمسة عشر غير المرقمة بزوايا أقواسها، على سبيل المثال، الوتر 41.4 درجة، الذي يبلغ طوله √0.5 ، ويقع بين الوترين رقم 3 و4.
1 2 تقع الحواف √2 والدورانات المميزة 4π [ ^{l ] للخلية} ذات الـ 16 خلية في المستويات المركزية للمربع الكبير ☐؛ وتُعد الدورانات من هذا النوع تعبيرًا عن مجموعة التناظر $B_{4}$ تقع الحواف ذات الزاوية √1 ، والأوتار ذات الزاوية √3 ، والدورانات المميزة ذات الزاوية 4π للخلية المكونة من 24 خلية في المستويات المركزية للمثلث الكبير (السداسي الكبير) △؛ وتُعد هذه الدورانات تعبيرًا عن... $F_{4}$ مجموعة التناظر. تقع حواف ودورانات 5π المميزة للخلية المكونة من 600 خلية في المستويات المركزية للخماسي الكبير (العُشاري الكبير) π؛ هذه الأوتار هي دوال لـ √5 ، والدورانات من هذا النوع هي تعبير عن مجموعة التناظر. $H_{4}$ لا تقع المضلعات والدورانات المميزة للخلية الخماسية المنتظمة في مستوى مركزي واحد؛ فهي تصف شكلاً خماسياً مائلاً أو شكلاً متعدد الأضلاع مائلاً أكبر، وتشكل فقط مضلعات الأوجه، وليس المضلعات المركزية؛ وتُعد الدورانات من هذا النوع تعبيرات عن... $A_{4}$ مجموعة التناظر.
1 2 "عند نقطة التماس، تقع [عناصر متعدد السطوح المنتظم وعناصر ثنائيّه الذي يُحاط به بطريقة ما] في فضاءات فرعية متعامدة تمامًا من المستوى الفائق المماس للكرة [للتبادل]، لذا فإن نقطتها المشتركة الوحيدة هي نقطة التماس نفسها.... في الواقع، تحدد أنصاف الأقطار [المختلفة]₀ 𝑹،₁ 𝑹،₂ 𝑹، ... متعددات السطوح ... التي رؤوسها هي مراكز العناصر 𝐈𝐈₀ ، 𝐈𝐈₁ ، 𝐈𝐈₂ ، ... لمتعدد السطوح الأصلي."^{[ 16 ]}
1 2 3 4
يمكن رؤية مضلع بتري ذي الـ 600 خلية في هذا الإسقاط على مستوى ثلاثي الأضلاع {30/11}، وهو شكل ثلاثي الأبعاد مكون من 30 وترًا من النوع 11. مضلع بتري ذو الـ 600 خلية عبارة عن حلقة حلزونية تلتف حول محورها 11 مرة. يُظهر هذا الإسقاط على طول محور أسطوانة الحلقة الرؤوس الثلاثين التي تفصل بينها زاوية 12 درجة حول المقطع العرضي الدائري للأسطوانة، حيث يربط وتر من النوع 11 كل رأس من الرؤوس الحادي عشر على الدائرة. حواف الـ 600 خلية (أوتار من النوع 3) التي تمثل حواف مضلع بتري غير موضحة في هذا الرسم التوضيحي، ولكن يمكن رسمها حول المحيط، بحيث تربط كل رأس من الرؤوس الثلاثة.
مضلع بتري ذو الـ 600 خلية هو حلقة حلزونية تلتف حول محورها الدائري ذي الـ 0 ضلع 11 مرة خلال دورة كاملة. عند إسقاطه على مستوى متعامد تمامًا مع مستوى الـ 0 ضلع، يمكن اعتبار مضلع بتري ذو الـ 600 خلية شكلًا ثلاثيًا {30/11} مكونًا من 30 وترًا من النوع #11 تربط أزواجًا من الرؤوس تفصل بينها مسافة 11 رأسًا على محيط الإسقاط. ^{[ 17 ]} يُعد الشكل الثلاثي {30/11} (بأضلاعه الوترية من النوع #11) تسلسلًا بديلًا لنفس الرؤوس الثلاثين الموجودة في مضلع بتري ذي الـ 30 ضلعًا (بأضلاعه الوترية من النوع #3).
في الدوران المتساوي الميل، يكون كل مستوى ثابت موازياً تماماً للمستوى الذي ينتقل إليه، ولا يتقاطعان أبداً (إلا عند النقطة المركزية). أما في الدوران البسيط ، فيتقاطع المستوى الثابت مع المستوى الذي ينتقل إليه في خط مستقيم، وينتقل إليه بالدوران حول هذا الخط.
↑ المستوى الذي يدور فيه مستوى ثابت كامل (يميل جانبياً) يكون متعامداً (بشكل غير كامل) مع كلا المستويين الثابتين المتعامدين تماماً، كما أنه موازٍ لهما من جهة كليفورد.^{[ ac ]}
↑ يؤدي الدوران المتساوي الميل بزاوية 90 درجة لمستويين متعامدين تمامًا إلى تقاربهما. في مثل هذا الدوران لمضلع رباعي صلب، تدور جميع المستويات المتعامدة الستة بزاوية 90 درجة، وتميل أيضًا جانبيًا بزاوية 90 درجة بالنسبة لمستواها المتعامد تمامًا (المتوازي مع كليفورد).^{[ 18 ]} تفصل بين الرؤوس المتناظرة للمضلعين الكبيرين المتعامدين تمامًا زاوية √4 ( 180 درجة)؛ ويفصل بين المضلعين الكبيرين (المتوازيين مع كليفورد) زاوية √4 ( 180 درجة)؛ لكن المستويين المتعامدين تمامًا يفصل بينهما زاوية 90 درجة، في الزاويتين المتعامدتين اللتين تفصلان بينهما.^{[ o ]} إذا استمر الدوران المتساوي الميل بمقدار 90 درجة أخرى، فإن كل رأس يُكمل دورانًا كاملًا بزاوية 360 درجة، ويعود كل مضلع كبير إلى مستواه الأصلي، ولكن في اتجاه مختلف (مع تبديل المحاور): لقد انقلب رأسًا على عقب على سطح متعدد السطوح الرباعي (الذي أصبح الآن مقلوبًا). ويؤدي الاستمرار في الدوران المتساوي الميل بزاوية 360 درجة ثانية (عبر أربع خطوات متساوية الميل بزاوية 90 درجة × 90 درجة، أي دوران بزاوية 720 درجة) إلى إعادة كل شيء إلى مكانه واتجاهه الأصليين.
↑ من الأسهل تصور هذا بشكل خاطئ ، لأن الدوائر العظمى المتعامدة تمامًا متوازية كليفورد ولا تتقاطع (إلا عند النقطة المركزية). وكذلك الحال بالنسبة للمستوى الثابت والمستوى الذي ينتقل إليه. يميل المستوى الثابت جانبيًا في مستوى مركزي متعامد ليس مستواه المتعامد تمامًا ، ولكنه موازٍ له كليفورد. يدور مع مستواه المتعامد تمامًا، ولكنه ليس فيه . إنه موازٍ كليفورد لمستواه المتعامد تمامًا وللمستوى الذي ينتقل إليه، ولا يتقاطع معهما؛ المستوى الذي يدور فيه متعامد مع جميع هذه المستويات ويتقاطع معها جميعًا.^{[ an ]} في الدوران المميز للخلية 120،^{[ z ]} يكون كل مستوى دوران ثابت موازيًا كليفورد لمستواه المتعامد تمامًا، ولكنه ليس مجاورًا له؛ يصل أولًا إلى مستوى موازٍ آخر (أقرب) إليه.^{لكن إذا استمر الدوران المتساوي الميل الذي يمر عبر مستويات كليفورد المتوازية المتتالية بزاوية 90 درجة،}^فإن الرؤوس ستتحرك بزاوية 180 درجة، وسيصل مستوى الدوران المائل إلى مستواه الأصلي المتعامد تمامًا^.
1 2 وتر التساوي للدوران المميز للخلية المكونة من 120 خلية^{[ z ]} هو الوتر رقم 4 بزاوية قوس 44.5 درجة (الحافة الأكبر للمضلع الكبير غير المنتظم المكون من 12 ضلعًا)، لأنه في هذا الدوران المتساوي بزاوية دوران متساوية قدرها 12 درجة^{[ ad ]،} ينتقل كل رأس إلى رأس آخر يبعد عنه 4 أطوال حواف على مضلع بيتري، والمسار الجيوديسي الدائري الذي يدور عليه (التساوي الخاص به)^{[ m ]} لا يتقاطع مع أي رؤوس أقرب.
1 2 تُعطى أطوال الأوتار الجذرية التربيعية الكسرية على شكل كسور عشرية حيث: 𝚽 ≈ 0.618 هي النسبة الذهبية المعكوسة ⁠ 1 / φ ⁠ 𝚫 = 1 - 𝚽 = 𝚽² = ⁠ 1 / φ ² ⁠ ≈ 0.382 𝜀 = 𝚫² /2 = ⁠ 1 / 2φ ⁴ ⁠ ≈ 0.073 وطول حافة الخلية المكونة من 120 خلية هو: 𝛇 = √ 𝜀 = ⁠ 1 / φ ²√ 2 ⁠ ≈ 0.270 على سبيل المثال: 𝛇 = √ 𝜀 = √ 0.073 ≈ 0.270
في الخلية ذات الاثني عشر وجهًا لخلية 120 ذات نصف القطر الواحد، يبلغ طول الحافة (^{الوتر رقم 1 لخلية 120) 1/φ²√2}^≈0.270 . تقع ثمانية رؤوس برتقالية عند الإحداثياتالديكارتية (±φ³√8 ، ± φ³√8 ، ± φ³√8 ) بالنسبة لنقطة الأصل في مركز الخلية. تشكل هذه الرؤوس مكعبًا (خطوط متقطعة) طول حافته 1 /^φ√2≈ 0.437 ( قطر الخماسي، والوتر^رقم2 لخلية 120 ) . تمثل أقطار أوجه المكعب (غير الموضح) التي يبلغ طول ضلعها 1 / φ ≈ 0.618 أضلاع الخلايا رباعية الأوجه المحصورة داخل المكعب (أضلاع الخلية 600، والوتر رقم 3 للخلية 120). أما قطر المجسم ذي الاثني عشر وجهًا فيبلغ √3 / φ√2 ≈ 0.757 ( قطر المكعب ، والوتر رقم 4 للخلية 120).
1 2 قطر الخماسي الوجهي(الوتر رقم 2) في النسبة الذهبية φ ≈ 1.618 إلى ضلع الخماسي الوجهي (ضلع الخلية 120، الوتر رقم 1).^[^كما^]
١ ٢ ٣ الوتر رقم ٢ يربط رؤوسًا تفصل بينها مسافة طول ضلعين: رؤوس الشكل الرباعي الأوجه للخلية المكونة من ١٢٠ خلية، والقسم الثاني من الخلية المكونة من ١٢٠ خلية الذي يبدأ برأس، ويرمز له بـ ١٠._{الأوتار} رقم ٢ هي أضلاع هذا الشكل الرباعي الأوجه، والأوتار رقم ١ هي أنصاف أقطاره الطويلة. الأوتار رقم ٢ هي أيضًا أوتار قطرية لأوجه الخماسي للخلية المكونة من ١٢٠ خلية.^{[ at ]}
1 2 3 4
Triacontagram {30/5}=5{6} ، وهو شكل بيتري 30 المائل ذو 120 خلية كمركب من 5 سداسيات كبيرة.
كل ضلع من أضلاع السداسي الكبير هو محور متعرج مكون من 5 أضلاع، كل منها مكون من 120 خلية. مضلع بتري المكون من 120 خلية هو متعرج حلزوني مكون من 30 ضلعًا، كل منها مكون من 120 خلية، يلتف حلزونيًا حول محور دائرة عظمى مكونة من 0 ضلع لا يتقاطع مع أي من رؤوسه. ^{[ q ]} يوجد 5 سداسيات كبيرة محصورة داخل كل مضلع بتري، في خمسة مستويات مركزية مختلفة.
↑ مضلع بتري للخلية الخماسية هو النجمة الخماسية {5/2}. مضلع بتري للخلية 120 هو المضلع الثلاثي {30}، وأحد إسقاطاته العديدة على المستوى هو النجمة الثلاثية {30/12}=6{5/2}.^{[ aa ]} كل مضلع بتري 6{5/2} للخلية 120 متعامد تمامًا مع ستة مضلعات بتري {5/2} للخلية الخماسية، والتي تنتمي إلى ستة من الخلايا الخماسية المنتظمة المنفصلة 120 المُحاطة بالخلية 120.^{[ d ]}
↑ مجموع مربعات أطوال جميع الأوتار المختلفة لأي متعدد سطوح منتظم محدب من الرتبة n ونصف قطره يساوي مربع عدد رؤوسه.^{[ 19 ]}
↑ تظهر الأشكال ذات الاثني عشر وجهاً كسمة مرئية في الخلية ذات الـ 120 خلية، ولكنها تظهر أيضاً في الخلية ذات الـ 600 خلية كأشكال متعددة الأوجه داخلية .^{[ 22 ]}
↑ الـ $n$ -أوجه سيمبلكس أكبر من $n$ أوجه أورثوبليكس. لـ $n=4$ تكون أطوال حواف الخلايا الخمس والست عشرة والثماني بنسبة ${\sqrt {5}}$ ل ${\sqrt {4}}$ ل ${\sqrt {2}}$ .
↑ كل وجه ثلاثي من أوجه الشكل الرباعي المتعامد، وهو شكل رباعي الأوجه قابل للتبديل $(0,0,0,1)$ ، وتبديلها المتعامد تمامًا ذو الثلاثة أوجه $(0,0,0,-1)$ تتألف هذه الأشكال من جميع رؤوس الشكل الرباعي المتعامد الثمانية. وبشكل فريد، يُعد الشكل الرباعي المتعامد أيضًا الشكل الرباعي نصف المكعب ، أي نصف رؤوس المكعب الرباعي. هذه العلاقة بين الشكل الرباعي البسيط والشكل الرباعي المتعامد والمكعب الرباعي فريدة من نوعها. $n=4$ تُشكّل أوجه المجسم الرباعي المتعامدة تمامًا ثلاثية الأبعاد زوجًا من المكعبات النصفية ثلاثية الأبعاد التي تشغل رؤوسًا متبادلة لمكعبات ثلاثية الأبعاد متعامدة تمامًا في نفس المكعب الرباعي الأبعاد. عند إسقاطها بشكل متعامد على نفس المستوى الفائق ثلاثي الأبعاد، تُصبح هذه الأوجه الثلاثية الأبعاد عبارة عن هرمين رباعيي الأوجه محصورين داخل نفس المكعب الثلاثي الأبعاد. (بشكل عام، تُعتبر المجسمات متعددة الأوجه المتعامدة تمامًا انعكاسات مرآوية لبعضها البعض).
↑ كل وجه رباعي من الأوجه الخمسة المتعامدة، عبارة عن تبديل رباعي بسيط (خماسي الخلايا) $(0,0,0,0,1)$ ، وتبديلها المتعامد تمامًا ذو الأربعة أوجه $(0,0,0,0,-1)$ ، تشمل جميع الرؤوس العشرة للـ 5-orthoplex.
↑ لا يوجد زوج من رؤوس أي من الخلايا الخمسية الـ 120 (لا يوجد مستوى مركزي ثنائي كبير لخلية خماسية ) في أي من الخلايا الست عشرة الـ 675 ( مجموعات الأساس الديكارتية الـ 675 المكونة من 6 مستويات مركزية متعامدة ).^{[ j ]}
↑ تحتوي الخلية المكونة من 24 خلية على 16 سداسيًا. في الخلية المكونة من 600 خلية، والتي تضم 25 خلية مكونة من 24 خلية، تكون كل خلية من 24 خلية منفصلة عن 8 خلايا أخرى مكونة من 24 خلية، وتتقاطع مع كل خلية من الخلايا الـ 16 الأخرى المكونة من 24 خلية في ستة رؤوس تُشكل سداسيًا.^{[ 23 ]} تحتوي الخلية المكونة من 600 خلية على 25 × 16 / 2 = 200 سداسيًا من هذا النوع.
في المجسم ذي الـ 120 خلية ، تنتمي كل خلية من خلايا الـ 24 إلى خليتين مختلفتين من خلايا الـ 600.^{[ 28 ]} يحتوي المجسم ذو الـ 120 خلية على 225 خلية مميزة من خلايا الـ 24، ويمكن تقسيمه إلى 25 خلية منفصلة من خلايا الـ 24، لذا فهو الغلاف المحدب لمركب مكون من 25 خلية من خلايا الـ 24.^{[ 29 ]}
↑ يشترك كل سداسي منتظم كبير في خليتين من 24 خلية ضمن نفس الخلية المكونة من 600 خلية،^{[ bd ]} وتشترك كل خلية من 24 خلية في خليتين من 600 خلية.^{[ be ]} يشترك كل سداسي منتظم في أربع خلايا من 600 خلية.
في الفضاء ثلاثي الأبعاد المنحني لسطح الخلية المكونة من 120 خلية، تُحاط كل رأس من الرؤوس الـ 600 بـ 15 زوجًا من المقاطع متعددة السطوح، يقع كل مقطع على مسافة "شعاعية" تساوي أحد الأوتار الثلاثين المميزة. لا يقع الرأس فعليًا في مركز متعدد السطوح، لأنه مُزاح في البعد الرابع خارج المستوى الفائق للمقطع، بحيث يشكل رأس القمة ومتعدد السطوح القاعدي المحيط به هرمًا متعدد السطوح . الوتر المميز شعاعي حول القمة، كما هو الحال في الحواف الجانبية للهرم.
↑ تُقرّب الدورانات متساوية الميل المستويات المتوازية لكليفورد من بعضها، حيث تميل مستويات الدوران جانبيًا كما لو كانت عملات معدنية تُقلب.^{[ ن ]} يُعدّ جسر الوتر رقم 4^{[ v ]} مهمًا في الدوران متساوي الميل فيالسداسيات الكبيرة المنتظمة ( الدوران المميز للخلية 24 )، حيث تكون مستويات الدوران الثابتة مجموعة فرعية من نفس المستويات المركزية للخلية 200 ذات الاثني عشر ضلعًا كما في الدوران المميز للخلية 120 (فيالسداسيات الكبيرة غير المنتظمة ). ^{[ ز ]} في كل قوس 12°^{[ aq ]} من الدوران المميز للخلية 24 للخلية 120، يُزاح كل رأس من رؤوس السداسيات الكبيرة المنتظمة إلى رأس آخر، في سداسي كبير منتظم موازٍ لكليفورد يبعد عنه وتر رقم 4. تحتوي السداسيات الكبيرة المنتظمة المتجاورة المتوازية لكليفورد على ستة أزواج من الرؤوس المتناظرة المتصلة بأوتار رقم 4. الأوتار الستة رقم 4 هي حواف ستة مستطيلات كبيرة متميزة في ستة مستويات مركزية منفصلة ذات اثني عشر ضلعًا متوازية بشكل متبادل وفقًا لمعيار كليفورد.
↑ يوضح هذا الرسم التوضيحي واحدًا فقط من ثلاثة أشكال هندسية كبيرة غير منتظمة ذات اثني عشر ضلعًا، تقع في ثلاثة مستويات مركزية مختلفة. اثنان منها (غير موضحين) يقعان في مستويين متوازيين (منفصلين) من أشكال الاثني عشر ضلعًا، ولا يشتركان في أي رؤوس. يقع المستطيل المركزي الأزرق ذو الضلعين رقم 4 ورقم 11 في مستوى ثالث من أشكال الاثني عشر ضلعًا، وهو ليس موازيًا لأي من المستويين المنفصلين من أشكال الاثني عشر ضلعًا، ولا يتقاطع معهما؛ ويشترك في رأسين ( محور √4 للمستطيل) مع كل منهما. يحتوي كل مستوى من مستويات أشكال الاثني عشر ضلعًا على شكلين سداسيين كبيرين غير منتظمين في مواقع متبادلة (غير موضحين). وبالتالي، فإن كل وتر رقم 4 من المستطيل الكبير الموضح هو جسر بين شكلين سداسيين كبيرين غير منتظمين متوازيين يقعان في مستويي أشكال الاثني عشر ضلعًا غير الموضحين.^[^bh^]
↑ تحتوي الخلية الخماسية المنتظمة على مستويين مركزيين ثنائيي الأضلاع يتقاطعان مع رأسين فقط. أما الخلية ذات الـ 120 خلية، والتي تضم 120 خلية خماسية منتظمة مُحاطة بها، فتحتوي على مستطيلات كبيرة أضلاعها الأطول هي هذه الثنائيات، وهي أضلاع الخلايا الخماسية المُحاطة بها والتي يبلغ طولها √2.5 . تظهر ثلاثة مستطيلات منفصلة في مستوى مركزي واحد {12}، حيث تنتمي الأوتار الستة رقم 8 التي يبلغ طولها √2.5 إلى ست خلايا خماسية منفصلة. أما المقاطع 12₀ والمقاطع 18₀ فهي رباعيات أوجه منتظمة يبلغ طول ضلعها √2.5 ، وهي خلايا الخلايا الخماسية المنتظمة. تقع أوجه المثلثات العشرة للخلايا الخماسية المنتظمة في هذه المقاطع؛ ويقع كل ضلع من أضلاع الوجه الثلاثة التي يبلغ طولها √2.5 في مستوى مركزي مختلف {12}.
↑The 10 tetrahedra in each dodecahedron overlap; but the 600 tetrahedra in each 600-cell do not, so each of the 10 must belong to a different 600-cell.
1 2Each 120-cell vertex figure is actually a low tetrahedral pyramid, an irregular 5-cell with a regular tetrahedron base.
↑As we saw in the 600-cell, these 12 tetrahedra belong (in pairs) to the 6 icosahedral clusters of twenty tetrahedral cells which surround each cluster of five tetrahedral cells.
↑The diminishment of the 600-point 120-cell to a 480-point 4-polytope by removal of one if its 600-cells is analogous to the diminishment of the 120-point 600-cell by removal of one of its 5 disjoint inscribed 24-cells, creating the 96-point snub 24-cell. Similarly, the 8-cell tesseract can be seen as a 16-point diminished 24-cell from which one 8-point 16-cell has been removed.

Citations

↑N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite Symmetry Groups, 11.5 Spherical Coxeter groups, p.249
↑Matila Ghyka, The Geometry of Art and Life (1977), p.68
1 2Coxeter 1973, pp. 292–293, Table I(ii); "120-cell".
↑Dechant 2021, p. 18, Remark 5.7, explains why not.^[e]
↑Dechant 2021, Abstract; "[E]very 3D root system allows the construction of a corresponding 4D root system via an ‘induction theorem’. In this paper, we look at the icosahedral case of H3 → H4 in detail and perform the calculations explicitly. Clifford algebra is used to perform group theoretic calculations based on the versor theorem and the Cartan-Dieudonné theorem ... shed[ding] light on geometric aspects of the H4 root system (the 600-cell) as well as other related polytopes and their symmetries ... including the construction of the Coxeter plane, which is used for visualising the complementary pairs of invariant polytopes.... This approach therefore constitutes a more systematic and general way of performing calculations concerning groups, in particular reflection groups and root systems, in a Clifford algebraic framework."
↑Mathematics and Its History, John Stillwell, 1989, 3rd edition 2010, ISBN 0-387-95336-1
1 2Stillwell 2001.
↑Coxeter 1973, pp. 156–157, §8.7 Cartesian coordinates.
1 2 مامون، بيليو وليفيت 2010 ، ص. 1442، الجدول 3.
↑ مامون، بيليو وليفيت 2010 ، ص 1433، §4.1؛ النقطة في نظام الإحداثيات الديكارتية الرباعية (w,x,y,z) هي متجه في الفضاء رباعي الأبعاد من النقطة (0,0,0,0). الفضاء الحقيقي رباعي الأبعاد هو فضاء متجهي: يمكن جمع أي متجهين أو ضربهما في عدد قياسي للحصول على متجه آخر. تُوسّع الكواترنيونات البنية المتجهة للفضاء الحقيقي رباعي الأبعاد من خلال السماح بضرب متجهين رباعيي الأبعاد. $\left(w,x,y,z\right)_{1}$ و $\left(w,x,y,z\right)_{2}$ وفق ${\begin{pmatrix}w_{2}\\x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}w_{1}\\x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{w_{2}w_{1}-x_{2}x_{1}-y_{2}y_{1}-z_{2}z_{1}}\\{w_{2}x_{1}+x_{2}w_{1}+y_{2}z_{1}-z_{2}y_{1}}\\{w_{2}y_{1}-x_{2}z_{1}+y_{2}w_{1}+z_{2}x_{1}}\\{w_{2}z_{1}+x_{2}y_{1}-y_{2}x_{1}+z_{2}w_{1}}\end{pmatrix}}$
↑ كيم وروت 2016 ، ص 7، §6 الزوايا بين مستويين في الفضاء الرباعي الأبعاد؛ "في أربعة أبعاد (وأكثر)، نحتاج إلى زاويتين لتحديد الموضع النسبي بين مستويين. (بشكل أعم،يتم تعريف k زاوية بين الفضاءات الفرعية ذات k بُعد.)".
↑ Coxeter 1973 ، ص 304 ، الجدول السادس (رابعاً): 𝐈𝐈 = {5,3,3}.
↑ مامون، بيليو وليفيت 2010 ، الصفحات 1438-1439، §4.5 متعددات الوجوه المحدبة المنتظمة رباعية الأوجه، الجدول 2، عمليات التناظر؛ في مجموعة التناظر 𝛢_4، العملية [15]𝑹_q3,q3 هي 15 إزاحة دورانية مميزة تشكل فئة الدورانات المتساوية الميل للخماسي عشر خلية فردية خماسية الأوجه ؛ في مجموعة التناظر 𝛨_4، العملية [1200]𝑹_q3,q13 هي 1200 إزاحة دورانية مميزة تشكل فئة الدورانات المتساوية الميل للخماسي عشر خلية 120، الدوران المميز لخلية 120.
↑ مامون، بيليو وليفيت 2010 ، ص 1438-1439، §4.5 متعددات الوجوه المحدبة المنتظمة 4، الجدول 2، مجموعة التناظر₄ ؛ تحتوي الخلية 120 على 7200 إزاحة دورانية مميزة (و7200 انعكاس)، والتي يمكن تجميعها في 25دورانًا متساوي الميل مميزًا.
↑ Coxeter 1973 ، ص 300-301 ، الجدول الخامس: (v) مقاطع مبسطة من {5،3،3} (الحافة 2φ⁻² √2 [نصف القطر 4]) تبدأ برأس ؛ يسرد جدول كوكسيتر 16 مقطعًا غير نقطي مُرقمة من 1₀ إلى 16₀ ، وهي متعددات السطوح التي تتزايد "أقطارها" تباعًا على الكرة ثلاثية الأبعاد (في العمود 2 a ) وهي الأوتار التالية في تدويننا:^{[ ai ]} #1، #2، #3، 41.4 درجة، #4، 49.1 درجة، 56.0 درجة، #5، 66.1 درجة، 69.8 درجة، #6، 75.5 درجة، 81.1 درجة، 84.5 درجة، #7، 95.5 درجة، ...، #15. تظهر الأوتار المتميزة المتبقية على شكل "أقطار" أطول للمجموعة الثانية المكونة من 16 قسمًا متعدد السطوح متقابلًا (في العمود أ لـ (30− i )₀ ) والتي تسرد #15، #14، #13، #12، 138.6 درجة، #11، 130.1 درجة، 124 درجة، #10، 113.9 درجة، 110.2 درجة، #9، #8، 98.9 درجة، 95.5 درجة، #7، 84.5 درجة، ...، أو على الأقل تظهر بين مكملات 180 درجة لجميع تلك الأوتار المدرجة في قائمة كوكسيتر. المجموعة المرتبة الكاملة المكونة من 30 وترًا مميزًا هي 0°، #1، #2، #3، 41.4~°، #4، 49.1~°، 56~°، #5، 66.1~°، 69.8~°، #6، 75.5~°، 81.1~°، 84.5~°، #7، 95.5~°، #8، #9، 110.2°، 113.9°، #10، 124°، 130.1°، #11، 138.6°، #12، #13، #14، #15. تظهر الأوتار أيضًا بين أطوال حواف المقاطع متعددة السطوح (في العمود 2 lb ، الذي يسرد فقط: #2، ..، #3، ..، 69.8~°، ..، ..، #3، ..، ..، #5، #8، ..، ..، ..، #7، ... لأن أطوال الحواف المتعددة للمقاطع متعددة السطوح غير المنتظمة غير معطاة).
↑ Coxeter 1973 ، ص 147 ، §8.1 القطع البسيطة للمضلع المنتظم العام.
↑ Sadoc 2001 ، ص 577-578 ، §2.5 التناظر 30/11: مثال على أنواع أخرى من التناظرات.
↑ كيم وروت 2016 ، ص 8-10، العلاقات بتوازي كليفورد.
↑ Copher 2019 ، ص. 6 ، §3.2 نظرية 3.4.
↑ Coxeter 1973 ، ص 269 ، المركبات؛ "من المثير للدهشة أن رؤوس {5 ، 3 ، 3} تشمل رؤوس جميع الأشكال المتعددة المنتظمة الخمسة عشر الأخرى في أربعة أبعاد."
^ شلايمر وسيجرمان 2013 .
↑ Coxeter 1973 ، ص 298 ، الجدول الخامس: (iii) أقسام {3،3،5} تبدأ برأس.
^ ديني وآخرون. 2020 ، ص. 438.
0_−_16₀_83-0" rel="mw:referencedBy" id="mwEsU">↑ كوكسيتر 1973 ، الصفحات 300-301، الجدول الخامس: (5) مقاطع مبسطة من {5،3،3} (الحافة 2φ⁻² √2 [نصف القطر 4]) تبدأ برأس؛ يسرد جدول كوكسيتر 16 مقطعًا غير نقطي مُصنفة 1₀ − 16₀ ، لكن 14₀ و16₀ مقطعان متقابلان متطابقان و15₀ يقابل نفسه؛ هناك 29 مقطعًا غير نقطي، يُشار إليها بـ 1₀ − 29₀ ، في 15 زوجًا متقابلًا.
↑ Coxeter 1973 ، ص 299 ، الجدول الخامس (رابعاً) أقسام {5،3،3} تبدأ بخلية (النصف الأيمن من الجدول).
↑ Coxeter 1973 ، ص 300-301 ، الجدول الخامس: (v) أقسام مبسطة.
↑ كارلو هـ. سيكوين (يوليو 2005). مشعبات هاميلتونية متناظرة على متعددات وجوه منتظمة ثلاثية ورباعية الأبعاد . Mathartfun.com. الصفحات 463-472 . ISBN 9780966520163تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 مارس 2023 .
↑ van Ittersum 2020 ، ص 435 ، §4.3.5 الخليتان 600 تحيطان بخلية 24.
↑ Denney et al. 2020 ، ص. 5 ، §2 تسمية H4.
↑ Coxeter 1973 ، ص 305 ، الجدول السابع: المركبات المنتظمة في أربعة أبعاد.
↑ Waegell & Aravind 2014 ، ص 3-4 ، §2 هندسة الخلية 120: الأشعة والقواعد.
↑ سوليفان 1991 ، ص 4-5، المجسم ذو الاثني عشر وجهًا.
↑Coxeter et al. 1938, p. 4; "Just as a tetrahedron can be inscribed in a cube, so a cube can be inscribed in a dodecahedron. By reciprocation, this leads to an octahedron circumscribed about an icosahedron. In fact, each of the twelve vertices of the icosahedron divides an edge of the octahedron according to the "golden section". Given the icosahedron, the circumscribed octahedron can be chosen in five ways, giving a compound of five octahedra, which comes under our definition of stellated icosahedron. (The reciprocal compound, of five cubes whose vertices belong to a dodecahedron, is a stellated triacontahedron.) Another stellated icosahedron can at once be deduced, by stellating each octahedron into a stella octangula, thus forming a compound of ten tetrahedra. Further, we can choose one tetrahedron from each stella octangula, so as to derive a compound of five tetrahedra, which still has all the rotation symmetry of the icosahedron (i.e. the icosahedral group), although it has lost the reflections. By reflecting this figure in any plane of symmetry of the icosahedron, we obtain the complementary set of five tetrahedra. These two sets of five tetrahedra are enantiomorphous, i.e. not directly congruent, but related like a pair of shoes. [Such] a figure which possesses no plane of symmetry (so that it is enantiomorphous to its mirror-image) is said to be chiral."
↑Waegell & Aravind 2014, pp. 5–6.
↑Koca, Al-Ajmi & Ozdes Koca 2011, pp. 986–988, 6. Dual of the snub 24-cell.
↑Coxeter 1973, §1.8 Configurations.
↑Coxeter 1991, p. 117.
1 2Sullivan 1991, p. 15, Other Properties of the 120-cell.
↑Schleimer & Segerman 2013, p. 16, §6.1. Layers of dodecahedra.
↑Coxeter 1970, pp. 19–23, §9. The 120-cell and the 600-cell.
↑Schleimer & Segerman 2013, pp. 16–18, §6.2. Rings of dodecahedra.
↑Banchoff 2013.
↑Zamboj 2021, pp. 6–12, §2 Mathematical background.
↑Zamboj 2021, pp. 23–29, §5 Hopf tori corresponding to circles on B².
↑Chilton 1964.
↑Dechant 2021, pp. 18–20, 6. The Coxeter Plane.
↑Denney et al. 2020.

References

كوكسيتر، إتش إس إم (1973) [1948]. متعددات الوجوه المنتظمة ( الطبعة الثالثة). نيويورك: دوفر.
كوكسيتر، إتش إس إم (1991). متعددات الوجوه المعقدة المنتظمة ( الطبعة الثانية). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج.
كوكسيتر، إتش إس إم (1995). شيرك، إف. آرثر؛ ماكمولين، بيتر؛ طومسون، أنتوني سي؛ فايس، آسيا إيفيتش (محررون). كاليدوسكوبات: مختارات من كتابات إتش إس إم كوكسيتر ( الطبعة الثانية). منشورات وايلي-إنترساينس. رقم ISBN 978-0-471-01003-6.
- (الورقة 22) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة I ، [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407، MR 2,10]
- (الورقة 23) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة II ، [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
- (الورقة 24) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة III ، [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
كوكسيتر، إتش إس إم؛ دو فال، باتريك ؛ فلاثر، إتش تي؛ بيتري، جيه إف (1938). المجسمات العشرية الوجوه التسعة والخمسون . المجلد 6. دراسات جامعة تورنتو (سلسلة الرياضيات).
كوكسيتر، إتش إس إم (1970)، "خلايا النحل الملتوية"، سلسلة المؤتمرات الإقليمية في الرياضيات لمجلس مؤتمرات العلوم الرياضية ، 4 ، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية
ستيلويل، جون (يناير 2001). "قصة الخلية ذات 120 خلية" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الأمريكية للرياضيات . 48 (1): 17-25 .
جيه إتش كونواي وإم جيه تي جاي : متعددات الوجوه الأرخميدية رباعية الأبعاد ، وقائع ندوة التحدب في كوبنهاغن، الصفحتان 38 و39، 1965
إن دبليو جونسون : نظرية متعددات الوجوه المنتظمة وخلايا النحل ، أطروحة دكتوراه، جامعة تورنتو، 1966
متعددات الوجوه الأرخميدية رباعية الأبعاد (بالألمانية)، ماركو مولر، أطروحة دكتوراه، 2004. مؤرشفة بتاريخ 22 مارس 2005 على موقع Wayback Machine.
ديفيس، مايكل دبليو. (1985)، "متعدد الشعب الزائدي رباعي الأبعاد"، وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية ، 93 (2): 325-328 ، doi : 10.2307/2044771 ، ISSN 0002-9939 ، JSTOR 2044771 ، MR 0770546
ديني، تومي؛ هوكر، داشاي؛ جونسون، دي جانيك؛ روبنسون، تيانا؛ بتلر، ماجد؛ كلايبورن، سانديرنيش (2020). "هندسة متعددات الوجوه H4". التقدم في الهندسة . 20 (3): 433-444 . arXiv : 1912.06156v1 . doi : 10.1515/advgeom-2020-0005 . S2CID 220367622 .
شتاينباخ، بيتر (1997). "الحقول الذهبية: حالة لصالح الشكل السباعي". مجلة الرياضيات . 70 (فبراير 1997): 22-31 . doi : 10.1080/0025570X.1997.11996494 . JSTOR 2691048 .
كوفير، جيسيكا (2019). "مجموعات وحاصل ضرب مربعات أطوال الأوتار للمضلعات المنتظمة". arXiv : 1903.06971 [ math.MG ].
ميازاكي، كوجي (1990). "المضلعات الفوق جيوديسية الأولية". المجلة الدولية لهياكل الفضاء . 5 ( 3-4 ): 309-323 . doi : 10.1177/026635119000500312 . S2CID 113846838 .
فان إيترسوم، كلارا (2020). "مجموعات التناظر للمضلعات المنتظمة في ثلاثة وأربعة أبعاد" . جامعة دلفت للتكنولوجيا .
ماموني، سالفاتوري؛ بيليو، جوزيبي؛ ليفيت، مالكولم هـ. (2010). "مخططات أخذ العينات الاتجاهية القائمة على متعددات الوجوه رباعية الأبعاد" . التناظر . 2 (3): 1423-1449 . Bibcode : 2010Symm....2.1423M . doi : 10.3390/sym2031423 .
سوليفان، جون م. (1991). "توليد وعرض متعددات الوجوه رباعية الأبعاد" . مجلة ماتيماتيكا . 1 (3): 76-85 .
وايجيل، موردخاي؛ أرافيند، ب.ك. (10 سبتمبر 2014). "براهين التكافؤ لنظرية كوشين-سبيكر بناءً على الخلية 120". أسس الفيزياء . 44 (10): 1085-1095 . arXiv : 1309.7530v3 . Bibcode : 2014FoPh...44.1085W . doi : 10.1007/s10701-014-9830-0 . S2CID 254504443 .
زامبوج، ميخال (8 يناير 2021). "البناء التركيبي لتليف هوبف في إسقاط متعامد مزدوج للفضاء الرباعي". مجلة التصميم والهندسة الحاسوبية . 8 (3): 836-854 . arXiv : 2003.09236v2 . doi : 10.1093/jcde/qwab018 .
سادوك، جان فرانسوا (2001). "الحلزونات وتعبئة الحلزونات المشتقة من متعدد السطوح {3,3,5}" . المجلة الأوروبية للفيزياء E. 5 : 575-582 . doi : 10.1007 /s101890170040 . S2CID 121229939 .
تشيلتون، بي إل (سبتمبر 1964). "حول إسقاط متعدد السطوح المنتظم {5،3،3} على ثلاثي الأضلاع منتظم" . النشرة الرياضية الكندية . 7 (3): 385-398 . doi : 10.4153/CMB-1964-037-9 .
شلايمر، شاول؛ سيجرمان، هنري (2013). "لغز الخلية ذات الـ 120". إشعارات الجمعية الأمريكية للرياضيات 62 (11): 1309-1316 . arXiv : 1310.3549 . doi : 10.1090/noti1297 . S2CID 117636740 .
بانشوف، توماس ف. (2013). "تحليل الطارة للمضلعات المنتظمة في الفضاء الرباعي الأبعاد". في: سينشال، مارجوري (محررة). تشكيل الفضاء . نيويورك: سبرينغر. ص 257-266 . doi : 10.1007/978-0-387-92714-5_20 . ISBN 978-0-387-92713-8.
كوجا، محمد؛ أوزديس كوجا، نظيفة؛ البرواني، معتز (2012). "خلية 24 مقطوعة مشتقة من مجموعة كوكسيتر-ويل W(D4)" . المجلة الدولية للأساليب الهندسية في الفيزياء الحديثة . 9 (8). arXiv : 1106.3433 . doi : 10.1142/S0219887812500685 . S2CID 119288632 .
كوجا، محمد؛ العجمي، مدهير؛ أوزديس كوجا، نظيفة (2011). "التمثيل الرباعي للخلية المقطوعة ذات 24 خلية ومضلعها الثنائي المشتق من نظام الجذر E8" . الجبر الخطي وتطبيقاته . 434 (4): 977-989 . arXiv : 0906.2109 . doi : 10.1016/j.laa.2010.10.005 . ISSN 0024-3795 . S2CID 18278359 .
ديشان، بيير-فيليب (2021). "متجهات كليفورد الدورانية واستقراء نظام الجذور: H4 والمنشور المضاد الكبير" . التقدم في جبر كليفورد التطبيقي . 31 (3). سبرينغر للعلوم والأعمال. arXiv : 2103.07817 . doi : 10.1007/s00006-021-01139-2 .
كيم، هيونا؛ روت، غونتر (2016). "اختبار التطابق لمجموعات النقاط في 4 أبعاد". arXiv : 1603.07269 [ cs.CG ].
بيريز-غراسيا، ألبا؛ توماس، فيديريكو (2017). "حول تحليل كايلي للدوران رباعي الأبعاد وتطبيقاته" (ملف PDF) . مجلة التقدم في الجبر التطبيقي لكليفورد . 27 : 523-538 . doi : 10.1007/s00006-016-0683-9 . hdl : 2117/113067 . S2CID 12350382 .

روابط خارجية

وايسشتاين، إريك دبليو. "خلية 120" . عالم الرياضيات .
أولشيفسكي، جورج. "Hecatonicosachoron" . مسرد مصطلحات الفضاء الفائق . مؤرشف من الأصل في 4 فبراير 2007.
- متعدد الألوان محدب منتظم يعتمد على الهيكاتونيكوساكورون (120 خلية) والهيكساكوساكورون (600 خلية) - النموذج 32 ، جورج أولشيفسكي.
كليتزينغ، ريتشارد. "مضلعات منتظمة رباعية الأبعاد (مضلعات متعددة) o3o3o5x - hi" .
Der 120-Zeller (120 خلية) متعددات الأسطح المنتظمة لماركو مولر في R ⁴ (الألمانية)
مستكشف الخلايا الـ 120 – برنامج تفاعلي مجاني يتيح لك التعرف على عدد من تناظرات الخلايا الـ 120. يتم إسقاط الخلية الـ 120 إلى ثلاثة أبعاد ثم يتم عرضها باستخدام OpenGL.
بناء المجسم ذي الاثني عشر وجهًا الفائق
فيديو رسوم متحركة على يوتيوب يوثق عملية بناء جهاز جيان ماركو توديسكو المكون من 120 خلية .

[dihedral-4] في المجسم ذي الـ 120 خلية، تلتقي 3 مجسمات اثني عشرية الأوجه و3 مجسمات خماسية الأضلاع عند كل حافة. وتلتقي 4 مجسمات اثني عشرية الأوجه و6 مجسمات خماسية الأضلاع و4 حواف عند كل رأس. الزاوية ثنائية السطوح (بين المستويات الفائقة للمجسمات الاثني عشرية الأوجه) هي 144 درجة . ^[³^]

[elements-5] ١ ٢ تحتوي الخلية ذات الـ ١٢٠ على جميع المضلعات المحدبة المنتظمة من الرتبة ١، ٢، ٣، و٤، باستثناء المضلعات المنتظمة {٧} وما فوق، والتي لا يظهر معظمها. {١٠} استثناء ملحوظ يظهر بالفعل . تظهر العديد من المضلعات المنتظمة المائلة {٧} وما فوق في الخلية ذات الـ ١٢٠، ولا سيما {١١}،^{[ al ]،} {١٥}^{، [ z ]} ، و{٣٠}.^{[ q ]}

[polytopes_ordered_by_size_and_complexity-6] ١ ٢ ٣ يمكن ترتيب المضلعات المنتظمة المحدبة رباعية الأبعاد حسب الحجم كمقياس للمحتوى رباعي الأبعاد (الحجم الفائق) لنفس نصف القطر. كل مضلع أكبر في التسلسل يكون أكثر استدارة من سابقه، مما يعني احتواءه على محتوى رباعي الأبعاد أكبر ضمن نفس نصف القطر. المضلع الرباعي البسيط (خماسي الخلايا) هو أصغر حالة حدية، والمضلع ذو ١٢٠ خلية هو الأكبر. يتبع التعقيد (كما يُقاس بمقارنة مصفوفات التكوين أو ببساطة عدد الرؤوس) نفس الترتيب. يوفر هذا نظام تسمية عددية بديل للمضلعات المنتظمة، حيث يكون المضلع ذو ١٢٠ خلية هو المضلع الرباعي ذو ٦٠٠ نقطة: السادس والأخير في التسلسل التصاعدي الذي يبدأ بالمضلع الرباعي ذو ٥ نقاط.

[inscribed_5-cells-7] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
في الشكل الثلاثي {30/12}=6{5/2} ، تظهر ستة من أصل 120 خلية منتظمة منفصلة ذات 5 أضلاع، طول ضلعها √2.5، والمُحاطة بالخلية ذات 120 خلية، على شكل ستة أشكال خماسية، وهي مضلع كليفورد للخلية ذات 5 أضلاع . تتكون الرؤوس الثلاثون من مضلع بيتري للخلية ذات 120 خلية، ^{[ q ]} ذي 30 ضلعًا متعرجًا (غير موضح)، وثلاثة أشكال عشرية كبيرة مُحاطة (أضلاعها غير موضحة) تقع موازية لمستوى الإسقاط. ^{[ s ]}
تحتوي الخلية ذات نصف القطر الواحد (120) على 120 خلية منتظمة منفصلة من 5 أضلاع، ^{[ 12 ]} طول ضلعها √2.5 . لا تحتوي أي متعددات وجوه منتظمة من 4 أضلاع، باستثناء الخلية ذات 5 أضلاع والخلية ذات 120، على أوتار طولها √2.5 (الوتر رقم 8). ^{[ هـ ]} تحتوي الخلية ذات 120 على 10 خلايا داخلية مميزة من 600 أضلاع، والتي يمكن اعتبارها 5 خلايا منفصلة من 600 أضلاع بطريقتين مختلفتين. يربط كل وتر طوله √2.5 رأسين في خلايا 600 أضلاع منفصلة، وبالتالي في خلايا 24 أضلاع و8 أضلاع و16 أضلاع منفصلة. ^{[ ط ]} تربط أضلاع كل من الخلية ذات 5 أضلاع والخلية ذات 120 رأسين في خلايا 600 أضلاع منفصلة. تكون متعددات الوجوه المتناظرة من النوع نفسه في خلايا منفصلة مكونة من 600 خلية متوازية وفقًا لمعيار كليفورد، وتبعد عن بعضها مسافة √2.5 . تحتوي كل خلية مكونة من 5 خلايا على رأس واحد من كل خلية من الخلايا الخمس المنفصلة المكونة من 600 خلية. ^{[ t ]}

[rotated_4-simplexes_are_completely_disjoint-8] 1 2 3 4Multiple instances of each of the regular convex 4-polytopes can be inscribed in any of their larger successor 4-polytopes, except for the smallest, the regular 5-cell, which occurs inscribed only in the largest, the 120-cell.^[i] To understand the way in which the 4-polytopes nest within each other, it is necessary to carefully distinguish disjoint multiple instances from merely distinct multiple instances of inscribed 4-polytopes. For example, the 600-point 120-cell is the convex hull of a compound of 75 8-point 16-cells that are completely disjoint: they share no vertices, and 75 * 8 = 600. But it is also possible to pick out 675 distinct 16-cells within the 120-cell, most pairs of which share some vertices, because two concentric equal-radius 16-cells may be rotated with respect to each other such that they share 2 vertices (an axis), or even 4 vertices (a great square plane), while their remaining vertices are not coincident.^[j] In 4-space, any two congruent regular 4-polytopes may be concentric but rotated with respect to each other such that they share only a common subset of their vertices. Only in the case of the 4-simplex (the 5-point regular 5-cell) that common subset of vertices must always be empty, unless it is all 5 vertices. It is impossible to rotate two concentric 4-simplexes with respect to each other such that some, but not all, of their vertices are coincident: they may only be completely coincident, or completely disjoint. Only the 4-simplex has this property; the 16-cell, and by extension any larger regular 4-polytope, may lie rotated with respect to itself such that the pair shares some, but not all, of their vertices. Intuitively we may see how this follows from the fact that only the 4-simplex does not possess any opposing vertices (any 2-vertex central axes) which might be invariant after a rotation. The 120-cell contains 120 completely disjoint regular 5-cells, which are its only distinct inscribed regular 5-cells, but every other nesting of regular 4-polytopes features some number of disjoint inscribed 4-polytopes and a larger number of distinct inscribed 4-polytopes.

[reversed_greek_symbols-14] (Coxeter 1973) uses the greek letter 𝝓 (phi) to represent one of the three characteristic angles 𝟀, 𝝓, 𝟁 of a regular polytope. Because 𝝓 is commonly used to represent the golden ratio constant ≈ 1.618, for which Coxeter uses 𝝉 (tau), we reverse Coxeter's conventions, and use 𝝉 to represent the characteristic angle.

[17] To obtain all 600 coordinates by quaternion cross-multiplication of these three 4-polytopes' coordinates with less redundancy, it is sufficient to include just one vertex of the 24-cell: (√1/2, √1/2, 0, 0).^[9]

[2_ways_to_get_5_disjoint_600-cells-18] 1 2 3 4The 600 vertices of the 120-cell can be partitioned into those of 5 disjoint inscribed 120-vertex 600-cells in two different ways.^[34] The geometry of this 4D partitioning is dimensionally analogous to the 3D partitioning of the 20 vertices of the dodecahedron into 5 disjoint inscribed tetrahedra, which can also be done in two different ways because each dodecahedral cell contains two opposing sets of 5 disjoint inscribed tetrahedral cells. The 120-cell can be partitioned in a manner analogous to the dodecahedron because each of its dodecahedral cells contains one tetrahedral cell from each of the 10 inscribed 600-cells.

[simplex-orthoplex-cube_relation-19] 1 2 3There is a geometric relationship between the regular 5-cell (4-simplex) and the regular 16-cell (4-orthoplex), but it is manifest only indirectly through the 3-simplex and 5-orthoplex. An $n$ -simplex is bounded by $n+1$ vertices and $n+1$ ( $n$ -1)-simplex facets, and has $n+1$ long diameters (its edges) of length ${\sqrt {n+1}}/{\sqrt {n}}$ radii. An $n$ -orthoplex is bounded by $2n$ vertices and $2^{n}$ ( $n$ -1)-simplex facets, and has $n$ long diameters (its orthogonal axes) of length $2$ radii. An $n$ -cube is bounded by $2^{n}$ vertices and $2n$ ( $n$ -1)-cube facets, and has $2^{n-1}$ long diameters of length ${\sqrt {n}}$ radii.^[az] The ${\sqrt {3}}$ long diameters of the 3-cube are shorter than the ${\sqrt {4}}$ axes of the 3-orthoplex. The coordinates of the 4-orthoplex are the permutations of $(0,0,0,\pm 1)$ , and the 4-space coordinates of one of its 16 facets (a 3-simplex) are the permutations of $(0,0,0,1)$ .^[ba] The ${\sqrt {4}}$ long diameters of the 4-cube are the same length as the ${\sqrt {4}}$ axes of the 4-orthoplex. The coordinates of the 5-orthoplex are the permutations of $(0,0,0,0,\pm 1)$ , and the 5-space coordinates of one of its 32 facets (a 4-simplex) are the permutations of $(0,0,0,0,1)$ .^[bb] The ${\sqrt {5}}$ long diameters of the 5-cube are longer than the ${\sqrt {4}}$ axes of the 5-orthoplex.

[rays_and_bases-20] ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩ ١٠ تحتوي الخلية ذات الـ ١٢٠ على ٦٠٠ رأس موزعة بشكل متناظر على سطح كرة ثلاثية الأبعاد في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد. تأتي الرؤوس في أزواج متقابلة، وتحدد الخطوط المارة بأزواج الرؤوس المتقابلة ٣٠٠ شعاع (أو محور) للخلية ذات الـ ١٢٠. سنطلق على أي مجموعة من أربعة أشعة (أو اتجاهات) متعامدة اسم " قاعدة" . تشكل الأشعة الـ ٣٠٠ ما مجموعه ٦٧٥ قاعدة، حيث يظهر كل شعاع في ٩ قواعد ويكون متعامدًا مع رفاقه الـ ٢٧ المتميزين في هذه القواعد، ولا يكون متعامدًا مع أي أشعة أخرى. تشكل الأشعة والقواعد تكوينًا هندسيًا ، والذي يُكتب في لغة التكوينات على النحو التالي: ٣٠٠_٩ ٦٧٥_٤، للدلالة على أن كل شعاع ينتمي إلى ٩ قواعد، وأن كل قاعدة تحتوي على ٤ أشعة.^{[ 31 ]} يتوافق كل أساس مع خلية مميزة مكونة من 16 خلية تحتوي على أربعة محاور متعامدة وستة مربعات كبيرة متعامدة. يمكن اختيار 75 خلية منفصلة تمامًا مكونة من 16 خلية، تحتوي على جميع رؤوس الخلية المكونة من 120 خلية والبالغ عددها 600 رأس، من بين 675 خلية مميزة مكونة من 16 خلية.^{[ هـ ]}

[inscribed_counts-21] ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ يمكن إنشاء المجسم ذي الـ ١٢٠ خلية كمجموعة مركبة من ٥ مجسمات منفصلة ذات ٦٠٠ خلية،^{[ ح ]} أو ٢٥ مجسمًا منفصلًا ذات ٢٤ خلية، أو ٧٥ مجسمًا منفصلًا ذات ١٦ خلية، أو ١٢٠ مجسمًا منفصلًا ذات ٥ خلايا. باستثناء حالة ١٢٠ مجسمًا من ٥ خلايا،^{[ هـ ]} فإن هذه الأعداد لا تمثل جميع المجسمات المنتظمة الرباعية المتميزة التي يمكن إيجادها محصورة داخل المجسم ذي الـ ١٢٠ خلية، بل تمثل فقط أعداد المجسمات الرباعية المحصورة المنفصلة تمامًا والتي تشكل عند تجميعها الغلاف المحدب للمجسم ذي الـ ١٢٠ خلية. يحتوي المجسم ذو الـ ١٢٠ خلية على ١٠ مجسمات متميزة ذات ٦٠٠ خلية، و ٢٢٥ مجسمًا متميزًا ذات ٢٤ خلية، و ٦٧٥ مجسمًا متميزًا ذات ١٦ خلية.^{[ ي ]}

[isocline_circumference-23] 1 2 جميع المنحنيات المتساوية على سطح الكرة الثلاثية التي لها نفس المحيط هي دوائر متطابقة تمامًا. الدائرة العظمى العادية هي منحنى متساوي المحيط. $2\pi r$ تحدث الدورانات البسيطة للمضلعات ذات نصف القطر الواحد على منحنيات تساوي الانحدار 2π. قد يكون للدورانات المزدوجة منحنيات تساوي انحدار أخرى غير $2\pi r$ المحيط. الدوران المميز لمتعدد السطوح المنتظم رباعي الأبعاد هو الدوران المتساوي الميل، حيث تكون المستويات المركزية التي تحتوي على حوافه مستويات دوران ثابتة. يدور متعدد السطوح ذو 16 خلية و24 خلية على مستويات متساوية الميل بمحيط 4π. أما متعدد السطوح ذو 600 خلية فيدور على مستويات متساوية الميل بمحيط 5π.

[isocline-24] 1 2 3 4 5 6 7 8 الخط المتساوي هو دائرة عظمى مغلقة، منحنية، حلزونية الشكل، تمر عبر الأبعاد الأربعة. على عكس الدائرة العظمى العادية، لا يقع الخط المتساوي في مستوى مركزي واحد، ولكنه، كأي دائرة عظمى، عند النظر إليه ضمن الفضاء ثلاثي الأبعاد المنحني لسطح حدود متعدد السطوح الرباعي، يكون خطًا مستقيمًا ، أو خطًا جيوديسيًا . كل من الدوائر العظمى العادية والدوائر العظمى ذات الخطوط المتساوية حلزونية بمعنى أن حزمًا متوازية من الدوائر العظمى مرتبطة ببعضها البعض وتلتف حلزونيًا حول بعضها، ولكن لا يوجد التواء حقيقي بينهما (ليس لهما التواء جوهري). انحناؤهما ليس خاصًا بهما، بل هو خاصية من انحناء الكرة ثلاثية الأبعاد الطبيعي، حيث تكون ضمن هذا الفضاء المنحني عبارة عن قطع مستقيمة محدودة (مغلقة).^{[ ل ]} لتجنب الالتباس، نشير دائمًا إلى الخط المتساوي على هذا النحو، ونحتفظ بمصطلح الدائرة العظمى للدائرة العظمى العادية في المستوى.

[isoclinic_rotation-25] ١ ٢ ٣ ٤ ٥ الدوران المتساوي الميل^{[ o ]} هو دوران مزدوج متساوي الزوايافي مستويين مركزيين ثابتين ومتعامدين تمامًا في الوقت نفسه. لكل دوران متساوي الميل منفصل زاويتان قوسيتان مميزتان (طولا وتر)، زاوية الدوران وزاوية الميل المتساوي .^{[ x ]} في كل خطوة دوران متزايدة من رأس إلى رأس مجاور، يدور كل مستوى دوران ثابت بزاوية الدوران، ويميل أيضًا جانبيًا (مثل قلب عملة معدنية) بزاوية دوران مساوية.^{[ am ]} وبالتالي، يدور كل رأس على دائرة عظمى بمقدار زيادة زاوية دوران واحدة، بينما تدور الدائرة العظمى بأكملها في الوقت نفسه مع الدائرة العظمى المتعامدة تمامًا بمقدار زيادة زاوية دوران مساوية.^{[ ap ]} ناتج هاتين الزيادتين المتزامنتين والمتساويتين في دوران الدائرة العظمى هو إزاحة كلية لكل رأس بمقدار زيادة زاوية الميل المتساوي (طول وتر الميل المتساوي). وبالتالي، تقيس زاوية الدوران إزاحة الرأس في الإطار المرجعي لدائرة عظمى متحركة، وكذلك الإزاحة الجانبية للدائرة العظمى المتحركة (المسافة بين مضلع الدائرة العظمى ومضلع الدائرة العظمى الموازي له في مسار كليفورد الذي ينتقل إليه الدوران) في الإطار المرجعي الثابت. أما طول وتر خط التساوي فهو إجمالي إزاحة الرأس في الإطار المرجعي الثابت، وهو وتر مائل بين مضلعي الدائرة العظمى (المسافة بين رؤوسهما المتناظرة في الدوران).

[isoclinic-26] 1 2 3 4 5 6 يلزم وجود زاويتين لتحديد المسافة الفاصلة بين مستويين في الفضاء الرباعي الأبعاد.^{[ 11 ]} إذا كانت الزاويتان متطابقتين، يُطلق على المستويين اسم متساوي الميل (أو متوازي كليفورد )، ويتقاطعان في نقطة واحدة. في الدوران المزدوج ، تدور النقاط داخل مستويات الدوران المركزية الثابتة بزاوية معينة، ويميل مستوى الدوران المركزي الثابت بأكمله جانبيًا (في مستوى دوران مركزي ثابت متعامد) بزاوية معينة. لذلك، يقطع كل رأس منحنىً حلزونيًا أملسًا يُسمى منحنى متساوي الميل ^{[ m ]} بين نقطتين في مستويين مركزيين مختلفين، بينما يقطع دائرة عظمى عادية في كل من المستويين المركزيين المتعامدين (حيث تميل المستويات بالنسبة إلى مستوياتها الأصلية). إذا كانت الزاويتان المتعامدتان متطابقتين، فإن المسافة المقطوعة على طول كل دائرة عظمى تكون متساوية، ويُطلق على الدوران المزدوج اسم متساوي الميل (أو إزاحة كليفورد ). الدوران الذي ينقل المستويات المركزية المتساوية الميل إلى بعضها البعض هو دوران متساوي الميل.^{[ ن ]}

[irregular_great_hexagon-27] ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩ يحتوي المستوى المركزي الثابت للدوران المتساوي الميل المميز للخلية ١٢٠^{[ z ]} على سداسي كبير غير منتظم {٦} ذي حواف متناوبة بطولين مختلفين: ٣ حواف من ١٢٠ خلية طولها 𝜁 = √ 𝜀 (أوتار رقم ١)، و٣ حواف منتظمة محيطة من ٥ خلايا طولها √ ٢٫٥ (أوتار رقم ٨). هذه، على التوالي، هي أقصر وأطول حواف أي متعدد وجوه منتظم رباعي الأبعاد.^{[ ab ]} كل سداسي كبير غير منتظم متعامد تمامًا مع سداسي كبير غير منتظم آخر.^{[ ac ]} تحتوي الخلية ذات الـ 120 شكلاً على 400 شكل سداسي كبير غير منتظم (200 زوج متعامد تمامًا)، والتي يمكن تقسيمها إلى 100 شكل سداسي كبير غير منتظم منفصل (تليف منفصل للخلية ذات الـ 120 شكلاً) بأربع طرق مختلفة. لكل تليف دورانه المتساوي الميل الأيسر (والأيمن) المميز في 50 زوجًا من المستويات المركزية الثابتة المتعامدة تمامًا. يشغل شكلان سداسيان كبيران غير منتظمين نفس المستوى المركزي، في مواقع متبادلة، تمامًا كما يشغل شكلان خماسيان كبيران مستوى شكل عشري كبير. يشكل الشكلان السداسيان الكبيران غير المنتظمين شكلًا اثني عشريًا كبيرًا غير منتظم ، وهو مضلع دائري كبير مركب للخلية ذات الـ 120 شكلاً .

[two_coaxial_Petrie_30-gons-28] 1 2 3 4 5 6 7
In triacontagram {30/9}=3{10/3} we see the 120-cell Petrie polygon (on the circumference of the 30-gon, with 120-cell edges not shown) as a compound of three Clifford parallel 600-cell great decagons (seen as three disjoint {10/3} decagrams) that spiral around each other. The 600-cell edges (#3 chords) connect vertices which are 3 600-cell edges apart (on a great circle), and 9 120-cell edges apart (on a Petrie polygon). The three disjoint {10/3} great decagons of 600-cell edges delineate a single Boerdijk–Coxeter helix 30-tetrahedron ring of an inscribed 600-cell.
The 120-cell and 600-cell both have 30-gon Petrie polygons.^[ag] They are two distinct skew 30-gon helices, composed of 30 120-cell edges (#1 chords) and 30 600-cell edges (#3 chords) respectively, but they occur in completely orthogonal pairs that spiral around the same 0-gon great circle axis. The 120-cell's Petrie helix winds closer to the axis than the 600-cell's Petrie helix does, because its 30 edges are shorter than the 600-cell's 30 edges (and they zig-zag at less acute angles). A dual pair^[ag] of these Petrie helices of different radii sharing an axis do not have any vertices in common; they are completely disjoint.^[ak] The 120-cell Petrie helix (versus the 600-cell Petrie helix) twists around the 0-gon axis 9 times (versus 11 times) in the course of one circular orbit, forming a skew {30/9}=3{10/3} polygram (versus a skew {30/11} polygram).^[al]

[29] In 600-cell § Decagons and pentadecagrams, see the illustration of triacontagram {30/6}=6{5}.

[great_pentagon-30] 1 2 3Inscribed in the 3 Clifford parallel great decagons of each helical Petrie polygon of the 120-cell^[d] are 6 great pentagons^[r] in which the 6 pentagrams (regular 5-cells) appear to be inscribed, but the pentagrams are skew (not parallel to the projection plane); each 5-cell actually has vertices in 5 different decagon-pentagon central planes in 5 completely disjoint 600-cells.

[distinct_circuits_of_the_5-cell-32] 1 2The 120 regular 5-cells are completely disjoint. Each 5-cell contains two distinct Petrie pentagons of its #8 edges, pentagonal circuits each binding 5 disjoint 600-cells together in a distinct isoclinic rotation characteristic of the 5-cell. But the vertices of two disjoint 5-cells are not linked by 5-cell edges, so each distinct circuit of #8 chords is confined to a single 5-cell, and there are no other circuits of 5-cell edges (#8 chords) in the 120-cell.

[33] كل منحنى متساوي التماثل أسود أو أبيض في الرسم البياني الخماسي عشري يعمل كمنحنى متساوي التماثل يميني في دوران متساوي التماثل يميني مميز، وكمنحنى متساوي التماثل يساري في دوران متساوي التماثل يساري مميز، لكن المنحنيات متساوية التماثل لا تمتلك كيرالية جوهرية.^{[ م ]} لا يوجد منحنى متساوي التماثل يكون منحنى متساوي التماثل يميني ويساري في نفس الدوران المنفصل يمين-يسار (نفس التليف).

[#4_isocline_chord-34] ١ ٢ ٣ يؤدي الدوران المتساوي الميل المميز للخلية ذات الـ ١٢٠، في المستويات الثابتة التي تقع فيها حوافها (أوتار رقم ١)، إلى تحويل تلك الحواف إلى حواف مماثلة في مستويات مركزية متوازية وفقًا لمعيار كليفورد. وبما أن الدوران المتساوي الميل^{[ ن ]} هو دوران مزدوج (في مستويين مركزيين ثابتين متعامدين تمامًا في آن واحد)، ففي كل خطوة دوران تزايدية من رأس إلى رأس مجاور، تنتقل الرؤوس بين المستويات المركزية على منحنيات متساوية الميل حلزونية، وليس على دوائر عظمى عادية،^{[ م ]} فوق وتر متساوي الميل، وهو في هذا الدوران تحديدًا وتر رقم ٤ بطول قوس ٤٤.٥ درجة.^{[ أك ]}

[pentadecagram_isoclines-35] 1 2 3 الخط المتساوي المميز^{[ م ]} للخلية المكونة من 120 خلية هو شكل خماسي عشري مائل مكون من 15 وترًا من النوع #4. تقع الأوتار المتتالية من النوع #4 لكل شكل خماسي عشري في مستويات مركزية مختلفة مائلة بزاوية متساوية قدرها 12 درجة، وهي 1/30 من دائرة عظمى (ولكنها ليست قوس حافة الخلية المكونة من 120 خلية، أي الوتر رقم 1).^{[ أد ]} هذا يعني أن المستويين مفصولان بزاوية 12 درجة متساوية،^{[ أو ]} ويشغلهما مضلعات كبيرة متوازية متجاورة (سداسيات كبيرة غير منتظمة) تتصل رؤوسها المتناظرة بأوتار مائلة من النوع #4. الرؤوس المتتالية لكل شكل خماسي عشري هي رؤوس في خلايا خماسية منفصلة تمامًا. كل شكل خماسي عشري هو مسار وتر رقم 4^{[ y ]} يمر بـ 15 رأسًا تنتمي إلى ثلاث خلايا خماسية مختلفة. الشكلان الخماسيان العشريان الموضحان في الإسقاط {30/8}=2{15/4}^{[ z ]} يمران بالخلايا الخماسية الست التي تظهر على شكل ستة أشكال خماسية منفصلة في الإسقاط {30/12}=6{5/2}.^{[ d ]}

[characteristic_rotation-36] 1 2 3 تتميز كل فئة من فئات الدوران المتساوي الميل المنفصل^{[ n ]} بزوايا الدوران والميل، وبمجموعة المستويات المركزية المتوازية لكليفورد التي تمثل مستويات الدوران الثابتة. الدوران المتساوي الميل المميز لمتعدد السطوح رباعي الأبعاد هو فئة الدوران المتساوي الميل المنفصل التي تحتوي فيها مجموعة مستويات الدوران الثابتة على حواف متعدد السطوح رباعي الأبعاد؛ يوجد دوران يساري (وأيمني) مميز لكل مجموعة من هذه المستويات المركزية المتوازية لكليفورد (كل تليف هوبف لمستويات الحواف). إذا شكلت حواف متعدد السطوح رباعي الأبعاد دوائر عظمى منتظمة، فإن زاوية الدوران المميزة هي ببساطة زاوية قوس الحافة (وتر الحافة هو ببساطة وتر الدوران). ولكن في متعدد السطوح رباعي الأبعاد منتظم ذي شكل رأس رباعي الأوجه^{[ y ]،} لا تشكل الحواف دوائر عظمى منتظمة، بل تشكل دوائر عظمى غير منتظمة بالاشتراك مع وتر آخر. على سبيل المثال، حواف الوتر رقم 1 في المجسم ذي 120 خلية هي حواف مضلع اثني عشري كبير غير منتظم ، والذي يحتوي أيضًا على حواف وتر رقم 4. في مثل هذا المجسم الرباعي، لا تكون زاوية الدوران هي زاوية قوس الحافة ^؛^بل إنها في الواقع ليست بالضرورة قوس أي وتر من رؤوسه^.

[non-planar_geodesic_circle-37] ١ ٢ ٣ ٤ جميع الأشكال ذات الخلايا الخمس والثماني والمئة والعشرين تحتوي على أشكال رؤوس رباعية الأوجه. في متعدد السطوح رباعي الأبعاد ذي شكل رأس رباعي الأوجه، لا يقع المسار على طول الحواف على دائرة عظمى عادية في مستوى مركزي واحد: كل حافة متتالية تقع في مستوى مركزي مختلف عن الحافة السابقة. في الشكل ذي المئة والعشرين، يتبع المسار المحيطي ذو الثلاثين حافة على طول الحواف مضلع بيتري مائل متعرج، وهو ليس دائرة عظمى. ومع ذلك، يوجد مسار محيطي ذو خمسة عشر وترًا يمثل دائرة عظمى جيوديسية حقيقية تمر عبر تلك الرؤوس الخمسة عشر: ولكنه ليس دائرة عظمى "مسطحة" عادية محيطها ٢πr، بل هو منحنى متساوي التساوي حلزوني ^{[ m ]} ينحني في دائرة في مستويين مركزيين متعامدين تمامًا في آن واحد، يدور عبر أربعة أبعاد بدلاً من أن يكون محصورًا في مستوى ثنائي الأبعاد.^{[ w ]} تُسمى مجموعة الأوتار المائلة لمنحنى متساوي الميل بمضلع كليفورد الخاص به .^{[ ae ]}

[120-cell_characteristic_rotation-38] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
في الشكل الثلاثي {30/8}=2{15/4} ، يظهر خطان متساويان منفصلان للشكل الخماسي عشري : خط أسود وآخر أبيض (موضحان هنا باللون البرتقالي والأصفر الباهت) للدوران المتساوي المميز للخلايا الـ 120. ^{[ u ]} حواف الشكل الخماسي عشري هي أوتار رقم 4 ^{[ v ]} تصل بين رؤوس تفصل بينها 8 رؤوس على محيط هذا الإسقاط ذي الـ 30 رأسًا، وهو مضلع بيتري المتعرج. ^{[ w ]}
يحدث الدوران المتساوي الميل المميز ^{[ x ]} للخلية المكونة من 120 خلية في المستويات الثابتة لحوافها الـ 1200 ^{[ y ]} وحوافها الـ 1200 المقابلة لها في الخلايا المنتظمة المكونة من 5 خلايا . ^{[ p ]} توجد أربعة دورانات متساوية الميل مميزة لليمين (واليسار)، كل زوج من اليمين واليسار يتوافق مع تليف هوبف منفصل . ^{[ 13 ]} في كل دوران، تدور جميع الرؤوس الـ 600 على مسارات متساوية الميل حلزونية مكونة من 15 رأسًا، متتبعة دائرة جيوديسية ^{[ m ]} ذات 15 وترًا تشكل شكلًا خماسي عشري {15/4}. ^{[ w ]}

[120-cell_Petrie_{30}-gon-39] 1 2 3 4 5
مضلع بيتري للخلية المكونة من 120 خلية هو مضلع ثلاثي منتظم منحرف {30}. ^{[ af ]} لا تقع جميع حواف الوتر رقم 1 البالغ عددها 30 على نفس مضلع الدائرة العظمى {30}، ولكنها تقع في مجموعات من 6 (متباعدة بالتساوي حول المحيط) في 5 مضلعات دوائر عظمى متوازية من نوع كليفورد {12}.
يحتوي المضلع ذو الـ 120 خلية على 80 مضلعًا من مضلعات بتري ذات 30 ضلعًا ، من أصل 1200 ضلع، ويمكن تقسيمه إلى 20 مضلعًا منفصلًا من مضلعات بتري ذات 30 ضلعًا. ^{[ ag ]} يلتف مضلع بتري ذو الـ 30 ضلعًا حول محوره الدائري الأعظم ذي الـ 0 ضلعًا 9 مرات خلال دورة دائرية واحدة، ويمكن اعتباره شكلًا ثلاثيًا مركبًا {30/9}=3{10/3} مكونًا من 600 ضلع (أوتار من الدرجة الثالثة) تربط أزواجًا من الرؤوس تفصل بينها 9 رؤوس على مضلع بتري. ^{[ q ]} يُعد الشكل {30/9} (بأضلاعه ذات الأوتار من الدرجة الثالثة) تسلسلًا بديلًا لنفس الرؤوس الثلاثين الموجودة في مضلع بتري ذي الـ 30 ضلعًا (بأضلاعه ذات الأوتار من الدرجة الأولى).

[spanned_by_8_or_9_edges-40] يمتد كل وتر √2.5 على 8 أضلاع متعرجة من مضلع بيتري ذي 30 ضلعًا، [aa] ولا يقع أي منها في الدائرة العظمى للمضلع السداسي الكبير غير المنتظم. وبدلاً من ذلك، يمتد الوتر √2.5 ^{على 9 أضلاع} متعرجة ، يقع أحدها (فوق منتصفه) في نفس الدائرة العظمى.^{[ p ]}

[perpendicular_and_parallel-41] 1 2 على الرغم من كونها متعامدة ومتصلة (مثل الحلقات المتجاورة في سلسلة مشدودة)، فإن المضلعات الكبيرة المتعامدة تمامًا تكون متوازية أيضًا، وتقع مقابل بعضها البعض تمامًا في متعدد الوجوه الرباعي، في مستويات لا تتقاطع إلا عند نقطة واحدة، وهي المركز المشترك للدائرتين المتصلتين.

[12°_rotation_angle-43] في الدوران المتساوي الميل للخلية المكونة من 120 خلية ، تكون زاوية قوس الدوران 12 درجة ( 1/30 من الدائرة)، وليست زاوية قوس وتر الحافة رقم 1 البالغة 15.5 درجة. وبغض النظر عن المستويات المركزية التي تمثل مستويات الدوران الثابتة، فإن أي دوران متساوي الميل للخلية المكونة من 120 خلية بمقدار 12 درجة سينقل المضلع الكبير في كل مستوى مركزي إلى مضلع كبير مطابق في مستوى مركزي موازٍ لمستوى كليفورد يبعد عنه 12 درجة. المضلعات الكبيرة الموازية لمستوى كليفورد المتجاورة (من أي نوع) منفصلة تمامًا، وترتبط رؤوسها الأقرب بحافتين من الخلية المكونة من 120 خلية (وتر رقم 1 بطول قوس 15.5 درجة). زاوية الدوران البالغة 12 درجة ليست زاوية قوس أي وتر بين رأسين في الخلية المكونة من 120 خلية. يحدث ذلك فقط كزاويتين متساويتين بين مستويين مركزيين متوازيين متجاورين من نوع كليفورد ،^{[ o ]} وهو الفصل بين مستويات الدوران المتجاورة في جميع الدورانات المتساوية الميل المختلفة للخلايا الـ 120 (ليس فقط في دورانها المميز).

[Clifford_polygon-45] 1 2 يمكن تسميةمسار الوتر لمنحنى متساوي^{[ م ]} بمضلع كليفورد للمضلع الرباعي ، لأنه شكل متعدد الأضلاع المائل للدوائر الدورانية التي تجتازها رؤوس المضلع الرباعي في إزاحة كليفورد المميزة له .^{[ o ]}

[15_distinct_chord_lengths-46] 1 2 يتبع محيط الـ 30 ضلعًا للخلية المكونة من 120 خلية شكل مضلع بيتري منحرف، وليس مضلع دائرة عظمى. مضلع بيتري لأي متعدد السطوح رباعي الأبعاد هو حلزون متعرج يلتف عبر الفضاء ثلاثي الأبعاد المنحني لسطح متعدد السطوح رباعي الأبعاد.^{[ ah ]} تمثل الأوتار الخمسة عشر المرقمةللخلية المكونة من 120 خلية المسافة بين رأسين في تلك الحلقة الحلزونية المكونة من 30 رأسًا.^{[ ai ]} تتراوح هذه المسافات الفيثاغورية الخمسة عشر المتميزة عبر الفضاء رباعي الأبعاد من طول ضلع الخلية المكونة من 120 خلية الذي يربط أي رأسين متجاورين في الحلقة (الوتر رقم 1)، إلى طول محور الخلية المكونة من 120 خلية (القطر) الذي يربط أي رأسين متقابلين (الأبعد) في الحلقة (الوتر رقم 15).

[Petrie_polygons_of_the_120-cell-47] ١ ٢ ٣ المضلع المنتظم المائل ذو الثلاثين ضلعًا هو مضلع بتري للخلية ذات الـ ٦٠٠ ضلع، ونظيره للخلية ذات الـ ١٢٠ ضلعًا. تظهر مضلعات بتري للخلية ذات الـ ١٢٠ ضلعًا في الخلية ذات الـ ٦٠٠ ضلعًا كنظائر لحلقات بويرديك-كوكسيتر الحلزونية ذات الثلاثين ضلعًا (مضلعات بتري للخلية ذات الـ ٦٠٠ ضلعًا):^{[ al ]} يؤدي توصيل مراكز خلاياها الرباعية الأوجه الثلاثين معًا إلى إنتاج مضلعات بتري للخلية الثنائية ذات الـ ١٢٠ ضلعًا، كما لاحظ رولفديتر فرانك (حوالي عام ٢٠٠١). وهكذا اكتشف أن مجموعة رؤوس الخلية ذات الـ ١٢٠ ضلعًا تنقسم إلى ٢٠ مضلع بتري غير متقاطعة. تُشكّل هذه المجموعة المكونة من 20 مضلعًا متوازيًا من نوع كليفورد، منفصلة، تليفًا منفصلاً لهوبف للخلية المكونة من 120 خلية (تمامًا كما تُشكّل حلقاتها العشرين المزدوجة المكونة من 30 خلية تليفًا منفصلاً للخلية المكونة من 600 خلية ).^{[ q ]}

[48] يمكن اعتبار مضلع بتري لمتعدد السطوح ثلاثي الأبعاد (متعدد الوجوه) ذي الوجوه المثلثية (مثل المجسم العشري الوجوه) شريطًا خطيًا من الوجوه المتصلة حوافها، منحنية على شكل حلقة. ضمن هذا الشريط الدائري من المثلثات المتصلة حوافها (10 مثلثات في حالة المجسم العشري الوجوه)،يمكن تمييز مضلع بتري كمضلع منحرف ذي حواف متعرجة (وليست دائرية) عبر الفضاء ثنائي الأبعاد لسطح متعدد السطوح: تنحني بالتناوب يمينًا ويسارًا، وتتلوى حول محور دائرة عظمى يمر عبر المثلثات ولكنه لا يتقاطع مع أي من رؤوسها. يمكن اعتبار مضلع بتري لمتعدد السطوح رباعي الأبعاد (متعدد الخلايا) ذي الخلايا رباعية الأوجه (مثل المجسم ذي 600 خلية) حلزونًا خطيًا من الخلايا المتصلة وجوهها، منحنية على شكل حلقة: حلقة حلزونية من نوع بورديك-كوكسيتر . ضمن هذا الحلزون الدائري من رباعيات الأوجه المرتبطة بالوجوه (30 في حالة الخلية المكونة من 600 خلية) يمكن تمييز مضلع بيتري المائل على أنه حلزون من الحواف المتعرجة (لا تدور) عبر الفضاء ثلاثي الأبعاد لسطح البوليكورون: ينحني بالتناوب إلى اليسار واليمين، ويدور حول محور دائرة عظمى يمر عبر رباعيات الأوجه ولكنه لا يتقاطع مع أي رؤوس.

[additional_120-cell_chords-49] ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ تحتوي الخلية ذات الـ ١٢٠ على عدد من الأوتار يفوق عدد الأوتار الـ ١٥ المرقمة من ١ إلى ١٥، ولكن هذه الأوتار الإضافية تظهر فقط داخل الخلية ذات الـ ١٢٠، وليست كحواف لأي من المضلعات المحدبة المنتظمة الستة ذات البعد ٤ أو حلقات الدائرة العظمى المميزة لها.تم ترقيم الأوتار الرئيسية الـ ١٥ بهذا الشكل لأن الوتر رقم n يربط رأسين يفصل بينهما n طول حافة على مضلع بيتري للخلية ذات الـ ١٢٠. تقع الأوتار الرئيسية الـ ١٥ على دوائر عظمى في مستويات مركزية تحتوي على مضلعات منتظمة وغير منتظمة ذات ٤ أو ١٠ أو ١٢ رأسًا. يوجد 30 مسافة وترية مميزة بين رؤوس الخلية المكونة من 120 وحدة (15 زوجًا من الأوتار المكملة بزاوية 180 درجة)، بما في ذلك المسافة رقم 15 التي تمثل القطر بزاوية 180 درجة (ومكملها الوتر بزاوية 0 درجة). تقع الأوتار الصغرى الخمسة عشر على دوائر عظمى مستطيلة الشكل {4}، ولا تظهر إلا داخل الخلية المكونة من 120 وحدة. في هذه المقالة، نسمي الأوتار الصغرى الخمسة عشر غير المرقمة بزوايا أقواسها، على سبيل المثال، الوتر 41.4 درجة، الذي يبلغ طوله √0.5 ، ويقع بين الوترين رقم 3 و4.

[edge_rotation_planes-50] 1 2 تقع الحواف √2 والدورانات المميزة 4π [ ^{l ] للخلية} ذات الـ 16 خلية في المستويات المركزية للمربع الكبير ☐؛ وتُعد الدورانات من هذا النوع تعبيرًا عن مجموعة التناظر $B_{4}$ تقع الحواف ذات الزاوية √1 ، والأوتار ذات الزاوية √3 ، والدورانات المميزة ذات الزاوية 4π للخلية المكونة من 24 خلية في المستويات المركزية للمثلث الكبير (السداسي الكبير) △؛ وتُعد هذه الدورانات تعبيرًا عن... $F_{4}$ مجموعة التناظر. تقع حواف ودورانات 5π المميزة للخلية المكونة من 600 خلية في المستويات المركزية للخماسي الكبير (العُشاري الكبير) π؛ هذه الأوتار هي دوال لـ √5 ، والدورانات من هذا النوع هي تعبير عن مجموعة التناظر. $H_{4}$ لا تقع المضلعات والدورانات المميزة للخلية الخماسية المنتظمة في مستوى مركزي واحد؛ فهي تصف شكلاً خماسياً مائلاً أو شكلاً متعدد الأضلاع مائلاً أكبر، وتشكل فقط مضلعات الأوجه، وليس المضلعات المركزية؛ وتُعد الدورانات من هذا النوع تعبيرات عن... $A_{4}$ مجموعة التناظر.

[Coxeter_on_orthogonal_dual_pairs-53] 1 2 "عند نقطة التماس، تقع [عناصر متعدد السطوح المنتظم وعناصر ثنائيّه الذي يُحاط به بطريقة ما] في فضاءات فرعية متعامدة تمامًا من المستوى الفائق المماس للكرة [للتبادل]، لذا فإن نقطتها المشتركة الوحيدة هي نقطة التماس نفسها.... في الواقع، تحدد أنصاف الأقطار [المختلفة]₀ 𝑹،₁ 𝑹،₂ 𝑹، ... متعددات السطوح ... التي رؤوسها هي مراكز العناصر 𝐈𝐈₀ ، 𝐈𝐈₁ ، 𝐈𝐈₂ ، ... لمتعدد السطوح الأصلي."^{[ 16 ]}

[{30/11}-gram-55] 1 2 3 4
يمكن رؤية مضلع بتري ذي الـ 600 خلية في هذا الإسقاط على مستوى ثلاثي الأضلاع {30/11}، وهو شكل ثلاثي الأبعاد مكون من 30 وترًا من النوع 11. مضلع بتري ذو الـ 600 خلية عبارة عن حلقة حلزونية تلتف حول محورها 11 مرة. يُظهر هذا الإسقاط على طول محور أسطوانة الحلقة الرؤوس الثلاثين التي تفصل بينها زاوية 12 درجة حول المقطع العرضي الدائري للأسطوانة، حيث يربط وتر من النوع 11 كل رأس من الرؤوس الحادي عشر على الدائرة. حواف الـ 600 خلية (أوتار من النوع 3) التي تمثل حواف مضلع بتري غير موضحة في هذا الرسم التوضيحي، ولكن يمكن رسمها حول المحيط، بحيث تربط كل رأس من الرؤوس الثلاثة.
مضلع بتري ذو الـ 600 خلية هو حلقة حلزونية تلتف حول محورها الدائري ذي الـ 0 ضلع 11 مرة خلال دورة كاملة. عند إسقاطه على مستوى متعامد تمامًا مع مستوى الـ 0 ضلع، يمكن اعتبار مضلع بتري ذو الـ 600 خلية شكلًا ثلاثيًا {30/11} مكونًا من 30 وترًا من النوع #11 تربط أزواجًا من الرؤوس تفصل بينها مسافة 11 رأسًا على محيط الإسقاط. ^{[ 17 ]} يُعد الشكل الثلاثي {30/11} (بأضلاعه الوترية من النوع #11) تسلسلًا بديلًا لنفس الرؤوس الثلاثين الموجودة في مضلع بتري ذي الـ 30 ضلعًا (بأضلاعه الوترية من النوع #3).

[plane_movement_in_rotations-56] في الدوران المتساوي الميل، يكون كل مستوى ثابت موازياً تماماً للمستوى الذي ينتقل إليه، ولا يتقاطعان أبداً (إلا عند النقطة المركزية). أما في الدوران البسيط ، فيتقاطع المستوى الثابت مع المستوى الذي ينتقل إليه في خط مستقيم، وينتقل إليه بالدوران حول هذا الخط.

[57] المستوى الذي يدور فيه مستوى ثابت كامل (يميل جانبياً) يكون متعامداً (بشكل غير كامل) مع كلا المستويين الثابتين المتعامدين تماماً، كما أنه موازٍ لهما من جهة كليفورد.^{[ ac ]}

[exchange_of_completely_orthogonal_planes-59] يؤدي الدوران المتساوي الميل بزاوية 90 درجة لمستويين متعامدين تمامًا إلى تقاربهما. في مثل هذا الدوران لمضلع رباعي صلب، تدور جميع المستويات المتعامدة الستة بزاوية 90 درجة، وتميل أيضًا جانبيًا بزاوية 90 درجة بالنسبة لمستواها المتعامد تمامًا (المتوازي مع كليفورد).^{[ 18 ]} تفصل بين الرؤوس المتناظرة للمضلعين الكبيرين المتعامدين تمامًا زاوية √4 ( 180 درجة)؛ ويفصل بين المضلعين الكبيرين (المتوازيين مع كليفورد) زاوية √4 ( 180 درجة)؛ لكن المستويين المتعامدين تمامًا يفصل بينهما زاوية 90 درجة، في الزاويتين المتعامدتين اللتين تفصلان بينهما.^{[ o ]} إذا استمر الدوران المتساوي الميل بمقدار 90 درجة أخرى، فإن كل رأس يُكمل دورانًا كاملًا بزاوية 360 درجة، ويعود كل مضلع كبير إلى مستواه الأصلي، ولكن في اتجاه مختلف (مع تبديل المحاور): لقد انقلب رأسًا على عقب على سطح متعدد السطوح الرباعي (الذي أصبح الآن مقلوبًا). ويؤدي الاستمرار في الدوران المتساوي الميل بزاوية 360 درجة ثانية (عبر أربع خطوات متساوية الميل بزاوية 90 درجة × 90 درجة، أي دوران بزاوية 720 درجة) إلى إعادة كل شيء إلى مكانه واتجاهه الأصليين.

[rotating_with_the_completely_orthogonal_rotation_plane-60] من الأسهل تصور هذا بشكل خاطئ ، لأن الدوائر العظمى المتعامدة تمامًا متوازية كليفورد ولا تتقاطع (إلا عند النقطة المركزية). وكذلك الحال بالنسبة للمستوى الثابت والمستوى الذي ينتقل إليه. يميل المستوى الثابت جانبيًا في مستوى مركزي متعامد ليس مستواه المتعامد تمامًا ، ولكنه موازٍ له كليفورد. يدور مع مستواه المتعامد تمامًا، ولكنه ليس فيه . إنه موازٍ كليفورد لمستواه المتعامد تمامًا وللمستوى الذي ينتقل إليه، ولا يتقاطع معهما؛ المستوى الذي يدور فيه متعامد مع جميع هذه المستويات ويتقاطع معها جميعًا.^{[ an ]} في الدوران المميز للخلية 120،^{[ z ]} يكون كل مستوى دوران ثابت موازيًا كليفورد لمستواه المتعامد تمامًا، ولكنه ليس مجاورًا له؛ يصل أولًا إلى مستوى موازٍ آخر (أقرب) إليه.^{لكن إذا استمر الدوران المتساوي الميل الذي يمر عبر مستويات كليفورد المتوازية المتتالية بزاوية 90 درجة،}^فإن الرؤوس ستتحرك بزاوية 180 درجة، وسيصل مستوى الدوران المائل إلى مستواه الأصلي المتعامد تمامًا^.

[120-cell_rotation_angle-61] 1 2 وتر التساوي للدوران المميز للخلية المكونة من 120 خلية^{[ z ]} هو الوتر رقم 4 بزاوية قوس 44.5 درجة (الحافة الأكبر للمضلع الكبير غير المنتظم المكون من 12 ضلعًا)، لأنه في هذا الدوران المتساوي بزاوية دوران متساوية قدرها 12 درجة^{[ ad ]،} ينتقل كل رأس إلى رأس آخر يبعد عنه 4 أطوال حواف على مضلع بيتري، والمسار الجيوديسي الدائري الذي يدور عليه (التساوي الخاص به)^{[ m ]} لا يتقاطع مع أي رؤوس أقرب.

[fractional_square_roots-62] 1 2 تُعطى أطوال الأوتار الجذرية التربيعية الكسرية على شكل كسور عشرية حيث: 𝚽 ≈ 0.618 هي النسبة الذهبية المعكوسة ⁠ 1 / φ ⁠ 𝚫 = 1 - 𝚽 = 𝚽² = ⁠ 1 / φ ² ⁠ ≈ 0.382 𝜀 = 𝚫² /2 = ⁠ 1 / 2φ ⁴ ⁠ ≈ 0.073 وطول حافة الخلية المكونة من 120 خلية هو: 𝛇 = √ 𝜀 = ⁠ 1 / φ ²√ 2 ⁠ ≈ 0.270 على سبيل المثال: 𝛇 = √ 𝜀 = √ 0.073 ≈ 0.270

[dodecahedral_cell_metrics-63] في الخلية ذات الاثني عشر وجهًا لخلية 120 ذات نصف القطر الواحد، يبلغ طول الحافة (^{الوتر رقم 1 لخلية 120) 1/φ²√2}^≈0.270 . تقع ثمانية رؤوس برتقالية عند الإحداثياتالديكارتية (±φ³√8 ، ± φ³√8 ، ± φ³√8 ) بالنسبة لنقطة الأصل في مركز الخلية. تشكل هذه الرؤوس مكعبًا (خطوط متقطعة) طول حافته 1 /^φ√2≈ 0.437 ( قطر الخماسي، والوتر^رقم2 لخلية 120 ) . تمثل أقطار أوجه المكعب (غير الموضح) التي يبلغ طول ضلعها 1 / φ ≈ 0.618 أضلاع الخلايا رباعية الأوجه المحصورة داخل المكعب (أضلاع الخلية 600، والوتر رقم 3 للخلية 120). أما قطر المجسم ذي الاثني عشر وجهًا فيبلغ √3 / φ√2 ≈ 0.757 ( قطر المكعب ، والوتر رقم 4 للخلية 120).

[face_pentagon_chord-64] 1 2 قطر الخماسي الوجهي(الوتر رقم 2) في النسبة الذهبية φ ≈ 1.618 إلى ضلع الخماسي الوجهي (ضلع الخلية 120، الوتر رقم 1).^[^كما^]

[#2_chord-65] ١ ٢ ٣ الوتر رقم ٢ يربط رؤوسًا تفصل بينها مسافة طول ضلعين: رؤوس الشكل الرباعي الأوجه للخلية المكونة من ١٢٠ خلية، والقسم الثاني من الخلية المكونة من ١٢٠ خلية الذي يبدأ برأس، ويرمز له بـ ١٠._{الأوتار} رقم ٢ هي أضلاع هذا الشكل الرباعي الأوجه، والأوتار رقم ١ هي أنصاف أقطاره الطويلة. الأوتار رقم ٢ هي أيضًا أوتار قطرية لأوجه الخماسي للخلية المكونة من ١٢٠ خلية.^{[ at ]}

[great_hexagon-66] 1 2 3 4
Triacontagram {30/5}=5{6} ، وهو شكل بيتري 30 المائل ذو 120 خلية كمركب من 5 سداسيات كبيرة.
كل ضلع من أضلاع السداسي الكبير هو محور متعرج مكون من 5 أضلاع، كل منها مكون من 120 خلية. مضلع بتري المكون من 120 خلية هو متعرج حلزوني مكون من 30 ضلعًا، كل منها مكون من 120 خلية، يلتف حلزونيًا حول محور دائرة عظمى مكونة من 0 ضلع لا يتقاطع مع أي من رؤوسه. ^{[ q ]} يوجد 5 سداسيات كبيرة محصورة داخل كل مضلع بتري، في خمسة مستويات مركزية مختلفة.

[orthogonal_Petrie_polygons-67] مضلع بتري للخلية الخماسية هو النجمة الخماسية {5/2}. مضلع بتري للخلية 120 هو المضلع الثلاثي {30}، وأحد إسقاطاته العديدة على المستوى هو النجمة الثلاثية {30/12}=6{5/2}.^{[ aa ]} كل مضلع بتري 6{5/2} للخلية 120 متعامد تمامًا مع ستة مضلعات بتري {5/2} للخلية الخماسية، والتي تنتمي إلى ستة من الخلايا الخماسية المنتظمة المنفصلة 120 المُحاطة بالخلية 120.^{[ d ]}

[69] مجموع مربعات أطوال جميع الأوتار المختلفة لأي متعدد سطوح منتظم محدب من الرتبة n ونصف قطره يساوي مربع عدد رؤوسه.^{[ 19 ]}

[73] تظهر الأشكال ذات الاثني عشر وجهاً كسمة مرئية في الخلية ذات الـ 120 خلية، ولكنها تظهر أيضاً في الخلية ذات الـ 600 خلية كأشكال متعددة الأوجه داخلية .^{[ 22 ]}

[root_5/root_4/root_2-74] الـ $n$ -أوجه سيمبلكس أكبر من $n$ أوجه أورثوبليكس. لـ $n=4$ تكون أطوال حواف الخلايا الخمس والست عشرة والثماني بنسبة ${\sqrt {5}}$ ل ${\sqrt {4}}$ ل ${\sqrt {2}}$ .

[4-simplex-orthoplex-cube_relation-75] كل وجه ثلاثي من أوجه الشكل الرباعي المتعامد، وهو شكل رباعي الأوجه قابل للتبديل $(0,0,0,1)$ ، وتبديلها المتعامد تمامًا ذو الثلاثة أوجه $(0,0,0,-1)$ تتألف هذه الأشكال من جميع رؤوس الشكل الرباعي المتعامد الثمانية. وبشكل فريد، يُعد الشكل الرباعي المتعامد أيضًا الشكل الرباعي نصف المكعب ، أي نصف رؤوس المكعب الرباعي. هذه العلاقة بين الشكل الرباعي البسيط والشكل الرباعي المتعامد والمكعب الرباعي فريدة من نوعها. $n=4$ تُشكّل أوجه المجسم الرباعي المتعامدة تمامًا ثلاثية الأبعاد زوجًا من المكعبات النصفية ثلاثية الأبعاد التي تشغل رؤوسًا متبادلة لمكعبات ثلاثية الأبعاد متعامدة تمامًا في نفس المكعب الرباعي الأبعاد. عند إسقاطها بشكل متعامد على نفس المستوى الفائق ثلاثي الأبعاد، تُصبح هذه الأوجه الثلاثية الأبعاد عبارة عن هرمين رباعيي الأوجه محصورين داخل نفس المكعب الثلاثي الأبعاد. (بشكل عام، تُعتبر المجسمات متعددة الأوجه المتعامدة تمامًا انعكاسات مرآوية لبعضها البعض).

[76] كل وجه رباعي من الأوجه الخمسة المتعامدة، عبارة عن تبديل رباعي بسيط (خماسي الخلايا) $(0,0,0,0,1)$ ، وتبديلها المتعامد تمامًا ذو الأربعة أوجه $(0,0,0,0,-1)$ ، تشمل جميع الرؤوس العشرة للـ 5-orthoplex.

[77] لا يوجد زوج من رؤوس أي من الخلايا الخمسية الـ 120 (لا يوجد مستوى مركزي ثنائي كبير لخلية خماسية ) في أي من الخلايا الست عشرة الـ 675 ( مجموعات الأساس الديكارتية الـ 675 المكونة من 6 مستويات مركزية متعامدة ).^{[ j ]}

[disjoint_from_8_and_intersects_16-79] تحتوي الخلية المكونة من 24 خلية على 16 سداسيًا. في الخلية المكونة من 600 خلية، والتي تضم 25 خلية مكونة من 24 خلية، تكون كل خلية من 24 خلية منفصلة عن 8 خلايا أخرى مكونة من 24 خلية، وتتقاطع مع كل خلية من الخلايا الـ 16 الأخرى المكونة من 24 خلية في ستة رؤوس تُشكل سداسيًا.^{[ 23 ]} تحتوي الخلية المكونة من 600 خلية على 25 × 16 / 2 = 200 سداسيًا من هذا النوع.

[two_600-cells_share_a_24-cell-80] في المجسم ذي الـ 120 خلية ، تنتمي كل خلية من خلايا الـ 24 إلى خليتين مختلفتين من خلايا الـ 600.^{[ 28 ]} يحتوي المجسم ذو الـ 120 خلية على 225 خلية مميزة من خلايا الـ 24، ويمكن تقسيمه إلى 25 خلية منفصلة من خلايا الـ 24، لذا فهو الغلاف المحدب لمركب مكون من 25 خلية من خلايا الـ 24.^{[ 29 ]}

[hexagons_24-cells_and_600-cells-81] يشترك كل سداسي منتظم كبير في خليتين من 24 خلية ضمن نفس الخلية المكونة من 600 خلية،^{[ bd ]} وتشترك كل خلية من 24 خلية في خليتين من 600 خلية.^{[ be ]} يشترك كل سداسي منتظم في أربع خلايا من 600 خلية.

[82] في الفضاء ثلاثي الأبعاد المنحني لسطح الخلية المكونة من 120 خلية، تُحاط كل رأس من الرؤوس الـ 600 بـ 15 زوجًا من المقاطع متعددة السطوح، يقع كل مقطع على مسافة "شعاعية" تساوي أحد الأوتار الثلاثين المميزة. لا يقع الرأس فعليًا في مركز متعدد السطوح، لأنه مُزاح في البعد الرابع خارج المستوى الفائق للمقطع، بحيث يشكل رأس القمة ومتعدد السطوح القاعدي المحيط به هرمًا متعدد السطوح . الوتر المميز شعاعي حول القمة، كما هو الحال في الحواف الجانبية للهرم.

[#4_isocline_chord_bridge-84] تُقرّب الدورانات متساوية الميل المستويات المتوازية لكليفورد من بعضها، حيث تميل مستويات الدوران جانبيًا كما لو كانت عملات معدنية تُقلب.^{[ ن ]} يُعدّ جسر الوتر رقم 4^{[ v ]} مهمًا في الدوران متساوي الميل فيالسداسيات الكبيرة المنتظمة ( الدوران المميز للخلية 24 )، حيث تكون مستويات الدوران الثابتة مجموعة فرعية من نفس المستويات المركزية للخلية 200 ذات الاثني عشر ضلعًا كما في الدوران المميز للخلية 120 (فيالسداسيات الكبيرة غير المنتظمة ). ^{[ ز ]} في كل قوس 12°^{[ aq ]} من الدوران المميز للخلية 24 للخلية 120، يُزاح كل رأس من رؤوس السداسيات الكبيرة المنتظمة إلى رأس آخر، في سداسي كبير منتظم موازٍ لكليفورد يبعد عنه وتر رقم 4. تحتوي السداسيات الكبيرة المنتظمة المتجاورة المتوازية لكليفورد على ستة أزواج من الرؤوس المتناظرة المتصلة بأوتار رقم 4. الأوتار الستة رقم 4 هي حواف ستة مستطيلات كبيرة متميزة في ستة مستويات مركزية منفصلة ذات اثني عشر ضلعًا متوازية بشكل متبادل وفقًا لمعيار كليفورد.

[dodecagon_rotation-85] يوضح هذا الرسم التوضيحي واحدًا فقط من ثلاثة أشكال هندسية كبيرة غير منتظمة ذات اثني عشر ضلعًا، تقع في ثلاثة مستويات مركزية مختلفة. اثنان منها (غير موضحين) يقعان في مستويين متوازيين (منفصلين) من أشكال الاثني عشر ضلعًا، ولا يشتركان في أي رؤوس. يقع المستطيل المركزي الأزرق ذو الضلعين رقم 4 ورقم 11 في مستوى ثالث من أشكال الاثني عشر ضلعًا، وهو ليس موازيًا لأي من المستويين المنفصلين من أشكال الاثني عشر ضلعًا، ولا يتقاطع معهما؛ ويشترك في رأسين ( محور √4 للمستطيل) مع كل منهما. يحتوي كل مستوى من مستويات أشكال الاثني عشر ضلعًا على شكلين سداسيين كبيرين غير منتظمين في مواقع متبادلة (غير موضحين). وبالتالي، فإن كل وتر رقم 4 من المستطيل الكبير الموضح هو جسر بين شكلين سداسيين كبيرين غير منتظمين متوازيين يقعان في مستويي أشكال الاثني عشر ضلعًا غير الموضحين.^[^bh^]

[5-cell_rotation-86] تحتوي الخلية الخماسية المنتظمة على مستويين مركزيين ثنائيي الأضلاع يتقاطعان مع رأسين فقط. أما الخلية ذات الـ 120 خلية، والتي تضم 120 خلية خماسية منتظمة مُحاطة بها، فتحتوي على مستطيلات كبيرة أضلاعها الأطول هي هذه الثنائيات، وهي أضلاع الخلايا الخماسية المُحاطة بها والتي يبلغ طولها √2.5 . تظهر ثلاثة مستطيلات منفصلة في مستوى مركزي واحد {12}، حيث تنتمي الأوتار الستة رقم 8 التي يبلغ طولها √2.5 إلى ست خلايا خماسية منفصلة. أما المقاطع 12₀ والمقاطع 18₀ فهي رباعيات أوجه منتظمة يبلغ طول ضلعها √2.5 ، وهي خلايا الخلايا الخماسية المنتظمة. تقع أوجه المثلثات العشرة للخلايا الخماسية المنتظمة في هذه المقاطع؛ ويقع كل ضلع من أضلاع الوجه الثلاثة التي يبلغ طولها √2.5 في مستوى مركزي مختلف {12}.

[97] The 10 tetrahedra in each dodecahedron overlap; but the 600 tetrahedra in each 600-cell do not, so each of the 10 must belong to a different 600-cell.

[truncated_apex-98] 1 2Each 120-cell vertex figure is actually a low tetrahedral pyramid, an irregular 5-cell with a regular tetrahedron base.

[99] As we saw in the 600-cell, these 12 tetrahedra belong (in pairs) to the 6 icosahedral clusters of twenty tetrahedral cells which surround each cluster of five tetrahedral cells.

[113] The diminishment of the 600-point 120-cell to a 480-point 4-polytope by removal of one if its 600-cells is analogous to the diminishment of the 120-point 600-cell by removal of one of its 5 disjoint inscribed 24-cells, creating the 96-point snub 24-cell. Similarly, the 8-cell tesseract can be seen as a 16-point diminished 24-cell from which one 8-point 16-cell has been removed.

[1] N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite Symmetry Groups, 11.5 Spherical Coxeter groups, p.249

[2] Matila Ghyka, The Geometry of Art and Life (1977), p.68

[FOOTNOTECoxeter1973292–293Table_I(ii);_"120-cell"-3] 1 2Coxeter 1973, pp. 292–293, Table I(ii); "120-cell".

[FOOTNOTEDechant202118''Remark_5.7''-9] Dechant 2021, p. 18, Remark 5.7, explains why not.^[e]

[FOOTNOTEDechant2021Abstract-10] Dechant 2021, Abstract; "[E]very 3D root system allows the construction of a corresponding 4D root system via an ‘induction theorem’. In this paper, we look at the icosahedral case of H3 → H4 in detail and perform the calculations explicitly. Clifford algebra is used to perform group theoretic calculations based on the versor theorem and the Cartan-Dieudonné theorem ... shed[ding] light on geometric aspects of the H4 root system (the 600-cell) as well as other related polytopes and their symmetries ... including the construction of the Coxeter plane, which is used for visualising the complementary pairs of invariant polytopes.... This approach therefore constitutes a more systematic and general way of performing calculations concerning groups, in particular reflection groups and root systems, in a Clifford algebraic framework."

[11] Mathematics and Its History, John Stillwell, 1989, 3rd edition 2010, ISBN 0-387-95336-1

[FOOTNOTEStillwell2001-12] 1 2Stillwell 2001.

[FOOTNOTECoxeter1973156–157§8.7_Cartesian_coordinates-13] Coxeter 1973, pp. 156–157, §8.7 Cartesian coordinates.

[FOOTNOTEMamonePileioLevitt20101442Table_3-15] 1 2 مامون، بيليو وليفيت 2010 ، ص. 1442، الجدول 3.

[FOOTNOTEMamonePileioLevitt20101433§4.1-16] مامون، بيليو وليفيت 2010 ، ص 1433، §4.1؛ النقطة في نظام الإحداثيات الديكارتية الرباعية (w,x,y,z) هي متجه في الفضاء رباعي الأبعاد من النقطة (0,0,0,0). الفضاء الحقيقي رباعي الأبعاد هو فضاء متجهي: يمكن جمع أي متجهين أو ضربهما في عدد قياسي للحصول على متجه آخر. تُوسّع الكواترنيونات البنية المتجهة للفضاء الحقيقي رباعي الأبعاد من خلال السماح بضرب متجهين رباعيي الأبعاد. $\left(w,x,y,z\right)_{1}$ و $\left(w,x,y,z\right)_{2}$ وفق ${\begin{pmatrix}w_{2}\\x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}w_{1}\\x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{w_{2}w_{1}-x_{2}x_{1}-y_{2}y_{1}-z_{2}z_{1}}\\{w_{2}x_{1}+x_{2}w_{1}+y_{2}z_{1}-z_{2}y_{1}}\\{w_{2}y_{1}-x_{2}z_{1}+y_{2}w_{1}+z_{2}x_{1}}\\{w_{2}z_{1}+x_{2}y_{1}-y_{2}x_{1}+z_{2}w_{1}}\end{pmatrix}}$

[FOOTNOTEKimRote20167§6_Angles_between_two_Planes_in_4-Space-22] كيم وروت 2016 ، ص 7، §6 الزوايا بين مستويين في الفضاء الرباعي الأبعاد؛ "في أربعة أبعاد (وأكثر)، نحتاج إلى زاويتين لتحديد الموضع النسبي بين مستويين. (بشكل أعم،يتم تعريف k زاوية بين الفضاءات الفرعية ذات k بُعد.)".

[FOOTNOTECoxeter1973304Table_VI_(iv):_𝐈𝐈_=_{5,3,3}-31] Coxeter 1973 ، ص 304 ، الجدول السادس (رابعاً): 𝐈𝐈 = {5,3,3}.

[FOOTNOTEMamonePileioLevitt20101438–1439§4.5_Regular_Convex_4-Polytopes,_Table_2,_Symmetry_operations-42] مامون، بيليو وليفيت 2010 ، الصفحات 1438-1439، §4.5 متعددات الوجوه المحدبة المنتظمة رباعية الأوجه، الجدول 2، عمليات التناظر؛ في مجموعة التناظر 𝛢_4، العملية [15]𝑹_q3,q3 هي 15 إزاحة دورانية مميزة تشكل فئة الدورانات المتساوية الميل للخماسي عشر خلية فردية خماسية الأوجه ؛ في مجموعة التناظر 𝛨_4، العملية [1200]𝑹_q3,q13 هي 1200 إزاحة دورانية مميزة تشكل فئة الدورانات المتساوية الميل للخماسي عشر خلية 120، الدوران المميز لخلية 120.

[FOOTNOTEMamonePileioLevitt20101438–1439§4.5_Regular_Convex_4-Polytopes,_Table_2,_Symmetry_group_𝛨<sub>4</sub>-44] مامون، بيليو وليفيت 2010 ، ص 1438-1439، §4.5 متعددات الوجوه المحدبة المنتظمة 4، الجدول 2، مجموعة التناظر₄ ؛ تحتوي الخلية 120 على 7200 إزاحة دورانية مميزة (و7200 انعكاس)، والتي يمكن تجميعها في 25دورانًا متساوي الميل مميزًا.

[FOOTNOTECoxeter1973300–301Table_V:(v)_Simplified_sections_of_{5,3,3}_(edge_2φ<sup>−2</sup>√2_[radius_4])_beginning_with_a_vertex-51] Coxeter 1973 ، ص 300-301 ، الجدول الخامس: (v) مقاطع مبسطة من {5،3،3} (الحافة 2φ⁻² √2 [نصف القطر 4]) تبدأ برأس ؛ يسرد جدول كوكسيتر 16 مقطعًا غير نقطي مُرقمة من 1₀ إلى 16₀ ، وهي متعددات السطوح التي تتزايد "أقطارها" تباعًا على الكرة ثلاثية الأبعاد (في العمود 2 a ) وهي الأوتار التالية في تدويننا:^{[ ai ]} #1، #2، #3، 41.4 درجة، #4، 49.1 درجة، 56.0 درجة، #5، 66.1 درجة، 69.8 درجة، #6، 75.5 درجة، 81.1 درجة، 84.5 درجة، #7، 95.5 درجة، ...، #15. تظهر الأوتار المتميزة المتبقية على شكل "أقطار" أطول للمجموعة الثانية المكونة من 16 قسمًا متعدد السطوح متقابلًا (في العمود أ لـ (30− i )₀ ) والتي تسرد #15، #14، #13، #12، 138.6 درجة، #11، 130.1 درجة، 124 درجة، #10، 113.9 درجة، 110.2 درجة، #9، #8، 98.9 درجة، 95.5 درجة، #7، 84.5 درجة، ...، أو على الأقل تظهر بين مكملات 180 درجة لجميع تلك الأوتار المدرجة في قائمة كوكسيتر. المجموعة المرتبة الكاملة المكونة من 30 وترًا مميزًا هي 0°، #1، #2، #3، 41.4~°، #4، 49.1~°، 56~°، #5، 66.1~°، 69.8~°، #6، 75.5~°، 81.1~°، 84.5~°، #7، 95.5~°، #8، #9، 110.2°، 113.9°، #10، 124°، 130.1°، #11، 138.6°، #12، #13، #14، #15. تظهر الأوتار أيضًا بين أطوال حواف المقاطع متعددة السطوح (في العمود 2 lb ، الذي يسرد فقط: #2، ..، #3، ..، 69.8~°، ..، ..، #3، ..، ..، #5، #8، ..، ..، ..، #7، ... لأن أطوال الحواف المتعددة للمقاطع متعددة السطوح غير المنتظمة غير معطاة).

[FOOTNOTECoxeter1973147§8.1_The_simple_truncations_of_the_general_regular_polytope-52] Coxeter 1973 ، ص 147 ، §8.1 القطع البسيطة للمضلع المنتظم العام.

[FOOTNOTESadoc2001577–578§2.5_The_30/11_symmetry:_an_example_of_other_kind_of_symmetries-54] Sadoc 2001 ، ص 577-578 ، §2.5 التناظر 30/11: مثال على أنواع أخرى من التناظرات.

[FOOTNOTEKimRote20168–10Relations_to_Clifford_Parallelism-58] كيم وروت 2016 ، ص 8-10، العلاقات بتوازي كليفورد.

[FOOTNOTECopher20196§3.2_Theorem_3.4-68] Copher 2019 ، ص. 6 ، §3.2 نظرية 3.4.

[FOOTNOTECoxeter1973269Compounds-70] Coxeter 1973 ، ص 269 ، المركبات؛ "من المثير للدهشة أن رؤوس {5 ، 3 ، 3} تشمل رؤوس جميع الأشكال المتعددة المنتظمة الخمسة عشر الأخرى في أربعة أبعاد."

[FOOTNOTESchleimerSegerman2013-71] شلايمر وسيجرمان 2013 .

[FOOTNOTECoxeter1973298Table_V:_(iii)_Sections_of_{3,3,5}_beginning_with_a_vertex-72] Coxeter 1973 ، ص 298 ، الجدول الخامس: (iii) أقسام {3،3،5} تبدأ برأس.

[FOOTNOTEDenneyHookerJohnsonRobinson2020438-78] ديني وآخرون. 2020 ، ص. 438.

[FOOTNOTECoxeter1973300–301Table_V:(v)_Simplified_sections_of_{5,3,3}_(edge_2φ<sup>−2</sup>√2_[radius_4])_beginning_with_a_vertex;_Coxeter's_table_lists_16_non-point_sections_labelled_1<sub>0</sub>_−_16<sub>0</sub>-83] 0_−_16₀_83-0" rel="mw:referencedBy" id="mwEsU">↑ كوكسيتر 1973 ، الصفحات 300-301، الجدول الخامس: (5) مقاطع مبسطة من {5،3،3} (الحافة 2φ⁻² √2 [نصف القطر 4]) تبدأ برأس؛ يسرد جدول كوكسيتر 16 مقطعًا غير نقطي مُصنفة 1₀ − 16₀ ، لكن 14₀ و16₀ مقطعان متقابلان متطابقان و15₀ يقابل نفسه؛ هناك 29 مقطعًا غير نقطي، يُشار إليها بـ 1₀ − 29₀ ، في 15 زوجًا متقابلًا.

[FOOTNOTECoxeter1973299Table_V_(iv)_Sections_of_{5,3,3}_beginning_with_a_cell_(right_half_of_table)-87] Coxeter 1973 ، ص 299 ، الجدول الخامس (رابعاً) أقسام {5،3،3} تبدأ بخلية (النصف الأيمن من الجدول).

[FOOTNOTECoxeter1973300–301Table_V:(v)_Simplified_sections-88] Coxeter 1973 ، ص 300-301 ، الجدول الخامس: (v) أقسام مبسطة.

[89] كارلو هـ. سيكوين (يوليو 2005). مشعبات هاميلتونية متناظرة على متعددات وجوه منتظمة ثلاثية ورباعية الأبعاد . Mathartfun.com. الصفحات 463-472 . ISBN 9780966520163تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 مارس 2023 .

[FOOTNOTEvan_Ittersum2020435§4.3.5_The_two_600-cells_circumscribing_a_24-cell-90] van Ittersum 2020 ، ص 435 ، §4.3.5 الخليتان 600 تحيطان بخلية 24.

[FOOTNOTEDenneyHookerJohnsonRobinson20205§2_The_Labeling_of_H4-91] Denney et al. 2020 ، ص. 5 ، §2 تسمية H4.

[FOOTNOTECoxeter1973305Table_VII:_Regular_Compounds_in_Four_Dimensions-92] Coxeter 1973 ، ص 305 ، الجدول السابع: المركبات المنتظمة في أربعة أبعاد.

[FOOTNOTEWaegellAravind20143–4§2_Geometry_of_the_120-cell:_rays_and_bases-93] Waegell & Aravind 2014 ، ص 3-4 ، §2 هندسة الخلية 120: الأشعة والقواعد.

[FOOTNOTESullivan19914–5The_Dodecahedron-94] سوليفان 1991 ، ص 4-5، المجسم ذو الاثني عشر وجهًا.

[FOOTNOTECoxeterdu_ValFlatherPetrie19384-95] Coxeter et al. 1938, p. 4; "Just as a tetrahedron can be inscribed in a cube, so a cube can be inscribed in a dodecahedron. By reciprocation, this leads to an octahedron circumscribed about an icosahedron. In fact, each of the twelve vertices of the icosahedron divides an edge of the octahedron according to the "golden section". Given the icosahedron, the circumscribed octahedron can be chosen in five ways, giving a compound of five octahedra, which comes under our definition of stellated icosahedron. (The reciprocal compound, of five cubes whose vertices belong to a dodecahedron, is a stellated triacontahedron.) Another stellated icosahedron can at once be deduced, by stellating each octahedron into a stella octangula, thus forming a compound of ten tetrahedra. Further, we can choose one tetrahedron from each stella octangula, so as to derive a compound of five tetrahedra, which still has all the rotation symmetry of the icosahedron (i.e. the icosahedral group), although it has lost the reflections. By reflecting this figure in any plane of symmetry of the icosahedron, we obtain the complementary set of five tetrahedra. These two sets of five tetrahedra are enantiomorphous, i.e. not directly congruent, but related like a pair of shoes. [Such] a figure which possesses no plane of symmetry (so that it is enantiomorphous to its mirror-image) is said to be chiral."

[FOOTNOTEWaegellAravind20145–6-96] Waegell & Aravind 2014, pp. 5–6.

[FOOTNOTEKocaAl-AjmiOzdes_Koca2011986–9886._Dual_of_the_snub_24-cell-100] Koca, Al-Ajmi & Ozdes Koca 2011, pp. 986–988, 6. Dual of the snub 24-cell.

[FOOTNOTECoxeter1973§1.8_Configurations-101] Coxeter 1973, §1.8 Configurations.

[FOOTNOTECoxeter1991117-102] Coxeter 1991, p. 117.

[FOOTNOTESullivan199115Other_Properties_of_the_120-cell-103] 1 2Sullivan 1991, p. 15, Other Properties of the 120-cell.

[FOOTNOTESchleimerSegerman201316§6.1._Layers_of_dodecahedra-104] Schleimer & Segerman 2013, p. 16, §6.1. Layers of dodecahedra.

[FOOTNOTECoxeter197019–23§9._The_120-cell_and_the_600-cell-105] Coxeter 1970, pp. 19–23, §9. The 120-cell and the 600-cell.

[FOOTNOTESchleimerSegerman201316–18§6.2._Rings_of_dodecahedra-106] Schleimer & Segerman 2013, pp. 16–18, §6.2. Rings of dodecahedra.

[FOOTNOTEBanchoff2013-107] Banchoff 2013.

[FOOTNOTEZamboj20216–12§2_Mathematical_background-108] Zamboj 2021, pp. 6–12, §2 Mathematical background.

[FOOTNOTEZamboj202123–29§5_Hopf_tori_corresponding_to_circles_on_B<sup>2</sup>-109] Zamboj 2021, pp. 23–29, §5 Hopf tori corresponding to circles on B².

[FOOTNOTEChilton1964-110] Chilton 1964.

[FOOTNOTEDechant202118–206._The_Coxeter_Plane-111] Dechant 2021, pp. 18–20, 6. The Coxeter Plane.

[FOOTNOTEDenneyHookerJohnsonRobinson2020-112] Denney et al. 2020.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ أ ]

[ ب ]

[ ج ]

[ د ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ f ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ g ]

[ k ]

[ o ]

[

[ ز ]

[ 14 ]

[ y ]

[ aa ]

[ af ]

[ ai ]

مُضلَّعات كبيرة .

[ ak ]

[ j ]

[ q ]

[ ن ]

[ v ]

[ ae ]

[ ar ]

[ au ]

[ كما ]

[ av ]

[ s ]

[ al ]

[ aw ]

[ ax ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ ay ]

[ i ]

[ bc ]

[ t ]

[ ح ]

[ x ]

[ bf ]

[ bg ]

[ إعلان ]

[ bi ]

[ bj ]

[ 25 ]

[ 27 ]

[ ب ]

[

[ 32 ]

[ 33 ]

[ bk ]

اثني

[ bm ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[

[

[ 45 ]

[ 46 ]

[ 47 ]

[ bn ]

الاثني عشري المُصغَّر رباعي الأوجه

[ هـ ]

[34]

[az]

[ba]

[bb]

[ ل ]

[ am ]

[ ap ]

[ 11 ]

[ m ]

[ ab ]

[ ac ]

[ag]

[r]

[ أك ]

[ w ]

[ u ]

[ 13 ]

[ ah ]

[ 16 ]

[ 18 ]

[ an ]

لكن إذا استمر الدوران المتساوي الميل الذي يمر عبر مستويات كليفورد المتوازية المتتالية بزاوية 90 درجة،

[ 19 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗