نظرية المجموعات (الموسيقى)

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 7 صور
الموسوعة الحرة
مثال على علاقة Z على مجموعتين من النغمات يمكن تحليلها أو اشتقاقها من Z17، [1] مع تمييز الفواصل بين فئات النغمات لسهولة المقارنة بين المجموعتين ومتجه الفاصل المشترك بينهما، 212320

توفر نظرية المجموعة الموسيقية مفاهيم لتصنيف الأشياء الموسيقية ووصف علاقاتها. كان هوارد هانسون أول من وضع العديد من المفاهيم لتحليل الموسيقى النغمية . [2] كما قام منظرون آخرون، مثل ألين فورتي ، بتطوير نظرية تحليل الموسيقى غير النغمية ، [3] مستفيدين من نظرية الاثني عشر نغمة لميلتون بابيت . مفاهيم نظرية المجموعة الموسيقية عامة جدًا ويمكن تطبيقها على الأنماط النغمية وغير النغمية في أي نظام ضبط مزاجي متساوٍ ، وإلى حد ما بشكل عام أكثر من ذلك.

يتعامل أحد فروع نظرية المجموعات الموسيقية مع مجموعات ( مجموعات وتباديل ) النغمات وفئات النغمات ( نظرية مجموعة فئات النغمات )، والتي قد تكون مرتبة أو غير مرتبة ، ويمكن ربطها بعمليات موسيقية مثل النقل ، والانعكاس اللحني ، والتكامل . يطبق بعض المنظرين أساليب نظرية المجموعات الموسيقية على تحليل الإيقاع أيضًا.

مقارنة مع نظرية المجموعات الرياضية

على الرغم من الاعتقاد الشائع بأن نظرية المجموعات الموسيقية تنطوي على تطبيق نظرية المجموعات الرياضية على الموسيقى، إلا أن هناك العديد من الاختلافات بين أساليب ومصطلحات الاثنين. على سبيل المثال، يستخدم الموسيقيون مصطلحي النقل والانعكاس بينما يستخدم علماء الرياضيات الترجمة والانعكاس . وعلاوة على ذلك، حيث تشير نظرية المجموعات الموسيقية إلى مجموعات مرتبة، فإن الرياضيات تشير عادةً إلى الثنائيات أو المتتاليات (على الرغم من أن الرياضيات تتحدث عن المجموعات المرتبة ، وعلى الرغم من أنه يمكن اعتبارها تشمل النوع الموسيقي بمعنى ما، إلا أنها أكثر انخراطًا).

علاوة على ذلك، ترتبط نظرية المجموعات الموسيقية ارتباطًا وثيقًا بنظرية المجموعات والتركيبات أكثر من ارتباطها بنظرية المجموعات الرياضية، والتي تهتم بأمور مثل، على سبيل المثال، أحجام مختلفة من المجموعات الكبيرة بلا حدود. في التركيبات، تسمى المجموعة الفرعية غير المرتبة المكونة من n كائنًا ، مثل فئات النغمة، تركيبة ، والمجموعة الفرعية المرتبة تبديل . من الأفضل اعتبار نظرية المجموعات الموسيقية تطبيقًا للتركيبات على نظرية الموسيقى وليس كفرع من فروع نظرية المجموعات الرياضية. يتمثل ارتباطها الرئيسي بنظرية المجموعات الرياضية في استخدام مفردات نظرية المجموعات للحديث عن المجموعات المحدودة.

أنواع المجموعات

المفهوم الأساسي لنظرية المجموعة الموسيقية هو المجموعة (الموسيقية)، وهي مجموعة غير مرتبة من فئات النغمات. [4] وبشكل أكثر دقة، فإن مجموعة فئة النغمات هي تمثيل رقمي يتكون من أعداد صحيحة مميزة (أي بدون تكرارات). [5] قد تتجلى عناصر المجموعة في الموسيقى على هيئة أوتار متزامنة أو نغمات متتالية (كما في اللحن) أو كليهما. [ بحاجة لمصدر ] تختلف اتفاقيات التدوين من مؤلف إلى آخر، ولكن المجموعات عادة ما تكون محاطة بأقواس متعرجة: {}، [6] أو أقواس مربعة: []. [5]

يستخدم بعض المنظرين أقواس الزاوية ⟨ ⟩ للإشارة إلى التسلسلات المرتبة، [7] بينما يميز آخرون المجموعات المرتبة عن طريق فصل الأرقام بمسافات. [8] وبالتالي، قد يُدوَّن المجموعة غير المرتبة لفئات النغمات 0 و1 و2 (المقابلة في هذه الحالة لـ C وC ♯ وD) على أنها {0,1,2}. سيتم تدوين التسلسل المرتب CC ♯ -D على أنه ⟨0,1,2⟩ أو (0,1,2). على الرغم من اعتبار C صفرًا في هذا المثال، إلا أن هذا ليس هو الحال دائمًا. على سبيل المثال، قد يكون من المفيد تحليل القطعة (سواء كانت نغمية أو غير نغمية) ذات مركز نغمة واضح لـ F مع ضبط F على الصفر (في هذه الحالة، يمثل {0,1,2} F وF ♯ وG. (لاستخدام الأرقام لتمثيل النوتات، انظر فئة النغمة .)

على الرغم من أن منظري المجموعات عادة ما يأخذون في الاعتبار مجموعات من فئات النغمات المتساوية، فمن الممكن النظر في مجموعات من النغمات، وفئات النغمات غير المتساوية، [ بحاجة لمصدر ] البدايات الإيقاعية، أو "فئات الإيقاع". [9] [10]

تسمى المجموعات المكونة من عنصرين ثنائيات ، والمجموعات المكونة من ثلاثة عناصر ثلاثية الأوتار (أحيانًا "ثلاثيات"، على الرغم من أن هذا من السهل الخلط بينه وبين المعنى التقليدي لكلمة ثلاثية ). تسمى المجموعات ذات الكاردينالات الأعلى رباعيات الأوتار (أو رباعيات)، وخماسيات الأوتار (أو خماسيات)، وسداسيات الأوتار (أو سداسيات)، وسباعيات الأوتار (سباعيات أو، في بعض الأحيان، مزيج من الجذور اللاتينية واليونانية، "سبعات الأوتار" - على سبيل المثال راهن )، [11] وثمانيات الأوتار (ثمانيات)، وتاسونات الأوتار (نوناد)، وعشريات الأوتار (ديكادات)، وغير عشرية الأوتار ، وأخيرًا، اثني عشري الأوتار .

العمليات الأساسية

عكس فئة النغمة: 234te تنعكس حول 0 لتصبح t9821

العمليات الأساسية التي يمكن إجراؤها على مجموعة هي النقل والانعكاس . يُقال عن المجموعات المرتبطة بالنقل أو الانعكاس أنها مرتبطة نقليًا أو مرتبطة عكسيًا، وتنتمي إلى نفس فئة المجموعة . نظرًا لأن النقل والانعكاس عبارة عن تماثلات لمساحة فئة النغمة، فإنهما يحافظان على البنية الفاصلة للمجموعة، حتى لو لم يحافظا على الطابع الموسيقي (أي الواقع المادي) لعناصر المجموعة. [ بحاجة لمصدر ] يمكن اعتبار هذا الفرضية المركزية لنظرية المجموعة الموسيقية. في الممارسة العملية، غالبًا ما يتكون التحليل الموسيقي النظري للمجموعات من تحديد العلاقات النقلية أو العكسية غير الواضحة بين المجموعات الموجودة في القطعة.

يعتبر بعض المؤلفين عمليات التكميل والضرب أيضًا. إن مكملة المجموعة X هي المجموعة المكونة من جميع فئات النغمات غير الموجودة في X. [12] حاصل ضرب فئتي النغمات هو حاصل ضرب أرقام فئة النغمات الخاصة بهما modulo 12. نظرًا لأن التكميل والضرب ليسا متماثلين لمساحة فئة النغمات، فإنهما لا يحافظان بالضرورة على الطابع الموسيقي للأشياء التي يحولانها. أكد كتاب آخرون، مثل ألين فورتي، على العلاقة Z ، والتي تنشأ بين مجموعتين تشتركان في نفس محتوى الفاصل الزمني الإجمالي، أو متجه الفاصل الزمني - لكنهما غير متكافئين من الناحية الانتقالية أو العكسية. [13] اسم آخر لهذه العلاقة، استخدمه هانسون، [14] هو "المتماثل". [15]

تتضمن العمليات على التسلسلات المرتبة لفئات النغمة أيضًا النقل والانعكاس، بالإضافة إلى التراجع والدوران . يؤدي التراجع في التسلسل المرتب إلى عكس ترتيب عناصره. تدوير التسلسل المرتب يعادل التبديل الدوري .

يمكن تمثيل النقل والعكس كعمليات حسابية أولية. إذا كان x رقمًا يمثل فئة النغمة، فإن نقله بمقدار n نصف نغمة يُكتب على النحو التالي T n  =  x  +  n  mod 12. يتوافق العكس مع الانعكاس حول نقطة ثابتة في مساحة فئة النغمة . إذا كانت x فئة نغمية، فإن العكس برقم فهرس n يُكتب على النحو التالي I n  =  n  -  x  mod 12.

علاقة التكافؤ

"لكي تكون العلاقة في المجموعة S علاقة تكافؤ [في الجبر ]، يجب أن تلبي ثلاثة شروط: يجب أن تكون انعكاسية ... ومتماثلة ... ومتعدية ... ". [16] "في الواقع، كان المفهوم غير الرسمي للتكافؤ دائمًا جزءًا من نظرية الموسيقى والتحليل. ومع ذلك، التزمت نظرية مجموعة الكمبيوتر الشخصي بالتعريفات الرسمية للتكافؤ". [17]

فئات المجموعات الانتقالية والعكسية

يقال إن مجموعتين مرتبطتين بالنقل تنتميان إلى نفس فئة المجموعة النقلية (T n ). يقال إن مجموعتين مرتبطتين بالنقل أو العكس تنتميان إلى نفس فئة المجموعة النقلية/العكسية (يُكتب العكس T n I أو I n ). المجموعات التي تنتمي إلى نفس فئة المجموعة النقلية متشابهة جدًا في الصوت؛ بينما يمكن أن تتضمن المجموعات التي تنتمي إلى نفس فئة المجموعة النقلية/العكسية وترين من نفس النوع ولكن بمفاتيح مختلفة، والتي ستكون أقل تشابهًا في الصوت ولكن من الواضح أنها لا تزال فئة محدودة. ولهذا السبب، غالبًا ما يعتبر منظرو الموسيقى فئات المجموعات أشياء أساسية ذات أهمية موسيقية.

توجد اتفاقيتان رئيسيتان لتسمية فئات المجموعات المتساوية المزاج. الأولى، المعروفة برقم فورتي ، مشتقة من ألين فورتي، الذي يُعد كتابه بنية الموسيقى غير النغمية (1973)، أحد الأعمال الأولى في نظرية المجموعات الموسيقية. قدم فورتي لكل فئة مجموعة رقمًا من النموذج c - d ، حيث يشير c إلى عددية المجموعة و d هو الرقم الترتيبي. [18] وبالتالي فإن الثلاثي اللوني {0، 1، 2} ينتمي إلى فئة المجموعة 3-1، مما يشير إلى أنه أول فئة مجموعة مكونة من ثلاث نغمات في قائمة فورتي. [19] يتلقى الثلاثي الموسع {0، 4، 8} العلامة 3-12، والتي تصادف أنها الثلاثي الأخير في قائمة فورتي.

الانتقادات الأساسية لتسمية فورتي هي: (1) تسميات فورتي تعسفية ويصعب حفظها، وفي الممارسة العملية غالبًا ما يكون من الأسهل ببساطة إدراج عنصر من فئة المجموعة؛ (2) يفترض نظام فورتي مزاجًا متساويًا ولا يمكن توسيعه بسهولة ليشمل مجموعات الدياتونيك، ومجموعات النغمات (على عكس مجموعات فئة النغمات)، والمجموعات المتعددة أو المجموعات في أنظمة ضبط أخرى؛ (3) يعتبر نظام فورتي الأصلي المجموعات ذات الصلة العكسية تنتمي إلى نفس فئة المجموعة. وهذا يعني، على سبيل المثال، أن الثالوث الرئيسي والثالوث الثانوي يُعتبران نفس المجموعة.

لقد اعتبرت الموسيقى النغمية الغربية لعدة قرون أن الإيقاعات الرئيسية والثانوية، وكذلك انعكاسات الوتر، مختلفة بشكل كبير. فهي تولد بالفعل أشياء مادية مختلفة تمامًا. إن تجاهل الواقع المادي للصوت هو قيد واضح لنظرية عدم النغمية. ومع ذلك، فقد تم الدفاع عن أن النظرية لم يتم إنشاؤها لملء الفراغ الذي لم تشرح فيه النظريات القائمة الموسيقى النغمية بشكل كافٍ. بدلاً من ذلك، تُستخدم نظرية فورتي لتفسير الموسيقى غير النغمية، حيث اخترع الملحن نظامًا حيث قد لا يكون التمييز بين {0، 4، 7} (يُطلق عليه "الأساسي" في نظرية النغمة) وانعكاسه {0، 3، 7} (يُطلق عليه "الثانوي" في نظرية النغمة) ذا صلة.

يقوم النظام التدويني الثاني بتسمية المجموعات من حيث شكلها الطبيعي ، والذي يعتمد على مفهوم الترتيب الطبيعي . لوضع مجموعة في ترتيب طبيعي، رتبها كمقياس تصاعدي في مساحة فئة النغمة التي تمتد على أقل من أوكتاف. ثم قم بتبديلها دوريًا حتى تصبح نغمتها الأولى والأخيرة متقاربة قدر الإمكان. في حالة التعادلات، قلل المسافة بين النغمة الأولى وما قبل الأخيرة. (في حالة التعادلات هنا، قلل المسافة بين النغمة الأولى وما قبل الأخيرة، وهكذا.) وبالتالي فإن {0، 7، 4} بالترتيب الطبيعي هو {0، 4، 7}، بينما {0، 2، 10} بالترتيب الطبيعي هو {10، 0، 2}. لوضع مجموعة في شكل طبيعي، ابدأ بوضعها في ترتيب طبيعي، ثم انقلها بحيث تكون فئة درجة الصوت الأولى لها هي 0. [20] غالبًا ما يقوم علماء الرياضيات وعلماء الكمبيوتر بترتيب التركيبات باستخدام إما الترتيب الأبجدي، أو الترتيب الثنائي (الأساس الثاني)، أو الترميز الرمادي ، وكل منها يؤدي إلى أشكال طبيعية مختلفة ولكنها منطقية. [ بحاجة لمصدر ]

نظرًا لأن المجموعات المرتبطة انتقاليًا تشترك في نفس الشكل الطبيعي، فمن الممكن استخدام الأشكال الطبيعية لتمييز فئات المجموعة T n .

لتحديد فئة مجموعة T n /I n :

  • حدد فئة مجموعة T n للمجموعة .
  • اعكس المجموعة وأوجد فئة مجموعة T n المعكوسة .
  • قم بمقارنة هذين الشكلين الطبيعيين لمعرفة أيهما "أكثر تعبئة".

المجموعة الناتجة تشير إلى فئة مجموعة T n /I n للمجموعة الأولية .

التماثلات

عدد العمليات المميزة في النظام الذي يرسم مجموعة على نفسها هو درجة تماثل المجموعة . [21] درجة التماثل، "تحدد عدد العمليات التي تحافظ على مجموعات أجهزة الكمبيوتر غير المرتبة لقسم؛ وتخبرنا إلى أي مدى ترسم مجموعات فئة الملعب لهذا القسم على (أو على) بعضها البعض تحت النقل أو الانعكاس". [22] كل مجموعة لها تماثل واحد على الأقل ، حيث ترسم على نفسها تحت عملية الهوية T 0. [23] المجموعات المتماثلة نقليًا ترسم على نفسها لـ T n حيث لا يساوي n 0 (mod 12). المجموعات المتماثلة عكسيًا ترسم على نفسها تحت T n I. لأي نوع T n / T n I معين، تتمتع جميع المجموعات بنفس درجة التماثل. عدد المجموعات المميزة في نوع ما هو 24 (إجمالي عدد العمليات والنقل والانعكاس، لـ n = 0 إلى 11) مقسومًا على درجة تماثل النوع T n / T n I.

المجموعات المتماثلة انتقاليًا إما تقسم الأوكتاف بالتساوي، أو يمكن كتابتها على أنها اتحاد مجموعات متساوية الحجم تقسم الأوكتاف بالتساوي. الأوتار المتماثلة عكسيًا ثابتة تحت الانعكاسات في مساحة فئة النغمة. وهذا يعني أنه يمكن ترتيب الأوتار دوريًا بحيث تكون سلسلة الفواصل بين النغمات المتعاقبة هي نفسها قراءة للأمام أو للخلف. على سبيل المثال، في الترتيب الدوري (0، 1، 2، 7)، تكون الفترة بين النغمة الأولى والثانية 1، والفترة بين النغمة الثانية والثالثة 1، والفترة بين النغمة الثالثة والرابعة 5، والفترة بين النغمة الرابعة والنغمة الأولى 5. [24]

نحصل على نفس التسلسل إذا بدأنا بالعنصر الثالث من السلسلة وانتقلنا للخلف: الفاصل بين العنصر الثالث من السلسلة والثاني هو 1؛ الفاصل بين العنصر الثاني من السلسلة والأول هو 1؛ الفاصل بين العنصر الأول من السلسلة والرابع هو 5؛ والفاصل بين العنصر الأخير من السلسلة والعنصر الثالث هو 5. وبالتالي، نجد التماثل بين T 0 وT 2 I، وهناك 12 مجموعة في فئة التكافؤ T n /T n I. [24]

انظر أيضا

مراجع

  1. ^ شويجر 2008، 99.
  2. ^ هانسون 1960.
  3. ^ فورتي 1973.
  4. ^ راهن 1980، 27.
  5. ^ ab Forte 1973، 3.
  6. ^ راهن 1980، 28.
  7. ^ راهن 1980، 21، 134.
  8. ^ فورتي 1973، 60-61.
  9. ^ واربورتون 1988، 148.
  10. ^ كوهن 1992، 149.
  11. ^ راهن 1980، 140.
  12. ^ فورتي 1973، 73-74.
  13. ^ فورتي 1973، 21.
  14. ^ هانسون 1960، 22.
  15. ^ كوهين 2004، 33.
  16. ^ شويجر 2008، 29-30.
  17. ^ شويجر 2008، 85.
  18. ^ فورتي 1973، 12.
  19. ^ فورتي 1973، 179-181.
  20. ^ راهن 1980، 33-38.
  21. ^ راهن 1980، 90.
  22. ^ أليجانت 2001، 5.
  23. ^ راهن 1980، 91.
  24. ^ ab Rahn 1980، 148.

مصادر

  • أليجانت، بريان. 2001. "التقسيمات المتقاطعة كتناغم وقيادة صوتية في الموسيقى ذات النغمات الاثنتي عشرة". مجلة نظرية الموسيقى 23، العدد 1 (الربيع): 1-40.
  • كوهين، ألين لورانس. 2004. هوارد هانسون في النظرية والتطبيق . مساهمات في دراسة الموسيقى والرقص 66. ويستبورت، كونيتيكت ولندن: براجر. ISBN  0-313-32135-3 .
  • كوهن، ريتشارد . 1992. "التركيبة الانتقالية لمجموعات فئة الإيقاع في موسيقى ستيف رايش المتغيرة الطور". آفاق الموسيقى الجديدة 30، العدد 2 (الصيف): 146-177.
  • فورتي، ألين . 1973. بنية الموسيقى غير النغمية . نيوهافن ولندن: مطبعة جامعة ييل. ISBN 0-300-01610-7 (قماش) ISBN 0-300-02120-8 (غلاف ورقي).  
  • هانسون، هوارد . 1960. المواد التوافقية للموسيقى الحديثة: موارد السلم الموسيقي المعتدل . نيويورك: أبلتون-سنتشري-كروفتس.
  • راهن، جون . 1980. نظرية الأتونالية الأساسية . نيويورك: كتب شيرمر؛ لندن وتورنتو: برنتيس هول إنترناشيونال. ISBN 0-02-873160-3 . 
  • شويجر، ميشيل. 2008. تحليل الموسيقى غير النغمية: نظرية مجموعة الطبقات الصوتية وسياقاتها . ISBN 978-1-58046-270-9 . 
  • واربورتون، دان. 1988. "مصطلحات عملية للموسيقى البسيطة". مجلة إنتيجرال 2: 135-159.

قراءة إضافية

  • كارتر، إليوت . 2002. كتاب التناغم ، تحرير نيكولاس هوبكنز وجون إف لينك. نيويورك: كارل فيشر. ISBN 0-8258-4594-7 . 
  • ليوين، ديفيد . 1993. الشكل الموسيقي والتحول: أربع مقالات تحليلية . نيوهافين: مطبعة جامعة ييل. ISBN 0-300-05686-9 . أعيد طبعه بمقدمة من إدوارد جولين، نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد، 2007. ISBN 978-0-19-531712-1 .  
  • ليوين، ديفيد. 1987. الفواصل الموسيقية والتحولات المعممة . نيوهافين: مطبعة جامعة ييل. ISBN 0-300-03493-8 . أعيد طبعه، نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد، 2007. ISBN 978-0-19-531713-8 .  
  • موريس، روبرت . 1987. التكوين باستخدام فئات النغمة: نظرية التصميم التكويني . نيو هافن: مطبعة جامعة ييل. ISBN 0-300-03684-1 . 
  • بيرل، جورج . 1996. Twelve-Tone Tonality ، الطبعة الثانية، منقحة وموسعة. بيركلي: مطبعة جامعة كاليفورنيا. ISBN 0-520-20142-6 . (الطبعة الأولى 1977، ISBN 0-520-03387-6 )  
  • ستار، دانييل. 1978. "المجموعات والثبات والتقسيمات". مجلة نظرية الموسيقى 22، العدد 1 (الربيع): 1-42.
  • شتراوس، جوزيف ن. 2005. مقدمة إلى نظرية ما بعد النغمة ، الطبعة الثالثة. أبر سادل ريفر، نيوجيرسي: برنتيس هول. ISBN 0-13-189890-6 . 
  • تكر، جاري (2001) "مقدمة موجزة لتحليل مجموعة درجات الصوت"، قسم الموسيقى، جامعة ماونت أليسون .
  • نيك كولينز "تفرد مساحات فئة الملعب والقواعد الدنيا وشركاء Z"، سونيك آرتس .
  • "نظرية الملعب في القرن العشرين: بعض المصطلحات والتقنيات المفيدة"، الشكل والتحليل: كتاب مدرسي افتراضي .
  • سليمان، لاري (2005). "نظرية المجموعات التمهيدية للموسيقى"، SolomonMusic.net .
  • كيلي، روبرت ت. (2001). "مقدمة إلى تحليل الموسيقى ما بعد الوظيفية: مصطلحات نظرية ما بعد الوظيفية"، RobertKelleyPhd.com .
  • كيلي، روبرت ت. (2002). "مقدمة إلى تحليل الموسيقى ما بعد الوظيفية: نظرية المجموعة، والمصفوفة، وطريقة الاثني عشر نغمة".
  • "SetClass View (SCv)"، Flexatone.net . أداة athenaCL netTool لتحليل فئة الملعب والمرجع عبر الإنترنت.
  • توملين، جاي. "كل شيء عن نظرية المجموعات". JayTomlin.com .
  • "آلة نظرية المجموعات في جافا" أو الآلة الحاسبة
  • كايزر، أولريش. "حاسبة مجموعة فئات النغمات"، musikanalyse.net . (بالألمانية)
  • "نظرية مجموعة فئة الملعب والإدراك"، Ohio-State.edu .
  • "أدوات برمجية للملحنين"، ComposerTools.com . آلة حاسبة لمجموعات Javascript للكمبيوتر الشخصي، وآلات حاسبة لعلاقة المجموعتين، ودروس نظرية.
  • "حاسبة مجموعة الكمبيوتر"، MtA.Ca .
  • تايلور، ستيفن أندرو. "SetFinder"، stephenandrewtaylor.net . مكتبة مجموعة فئة الملعب وحاسبة الشكل الأولي.
تم الاسترجاع من "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=نظرية_المجموعات_(الموسيقى)&oldid=1190178633"
Original text
Rate this translation
Your feedback will be used to help improve Google Translate