معضلة زورن

يمكن استخدام ليمّة زورن لإثبات أن كل فضاء متجهي V له أساس . ^{[ 13 ]}

إذا كانت V = { 0 }، فإن المجموعة الفارغة تُشكّل أساسًا لـ V. الآن، لنفترض أن V ≠ { 0 }. ولتكن P المجموعة التي تتكون من جميع المجموعات الجزئية المستقلة خطيًا من V. بما أن V ليست فضاء المتجهات الصفري ، فإنه يوجد عنصر غير صفري v في V ، وبالتالي فإن P تحتوي على المجموعة الجزئية المستقلة خطيًا { v }. علاوة على ذلك، فإن P مرتبة جزئيًا وفقًا لترتيب الاحتواء (انظر ترتيب الاحتواء ). إن إيجاد مجموعة جزئية مستقلة خطيًا قصوى من V يُعادل إيجاد عنصر أقصى في P.

لتطبيق مبرهنة زورن، نأخذ سلسلة T في P (أي أن T مجموعة جزئية من P مرتبة ترتيبًا كليًا). إذا كانت T هي المجموعة الفارغة، فإن { v } حدٌّ أعلى لـ T في P. لنفترض إذًا أن T غير فارغة. علينا أن نُثبت أن T لها حدٌّ أعلى، أي أنه توجد مجموعة جزئية B مستقلة خطيًا من V تحتوي على جميع عناصر T.

لنفترض أن B هي اتحاد جميع المجموعات في T. نريد أن نثبت أن B حدٌّ أعلى لـ T في P. وللقيام بذلك، يكفي أن نثبت أن B مجموعة جزئية مستقلة خطيًا من V.

لنفترض خلاف ذلك، أي أن _B ليست مستقلة خطيًا. عندئذٍ توجد متجهات v1 _، v2 _، ...، vk ∈ B وقيم قياسية a1 _، a2 ، _... ، ak _، ليست جميعها أصفارًا، بحيث

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} .}$

بما أن B هي اتحاد جميع المجموعات في T ، فإنه توجد بعض المجموعات S1 _، S2 _، ...، _Sk ∈ T بحيث يكون _vᵢ ∈ Sᵢ لكل i = 1، 2، ...، k . ولأن T مرتبة ترتيبًا كليًا ، فلا بد أن تحتوي إحدى المجموعات S1 _، S2 _، ...، Sᵢ _على المجموعات الأخرى، لذا توجد مجموعة ما Sᵢ _تحتوي على جميع المتجهات _v₁ ، _v₂ ، _... ، vᵢ _. وهذا يدل على وجود مجموعة متجهات مرتبطة خطيًا في _Sᵢ ، وهو ما _يناقض كون Sᵢ مستقلة خطيًا (لأنها عنصر من P ).

تم التحقق من فرضية لِمة زورن، وبالتالي يوجد عنصر أقصى في P ، بمعنى آخر مجموعة فرعية خطية مستقلة قصوى B من V.

أخيرًا، نُبين أن B هي بالفعل أساس لـ V. يكفي أن نُبين أن B مجموعة مولدة لـ V. لنفترض جدلًا أن B ليست مولدة. عندئذٍ، يوجد عنصر v ∈ V غير مُغطى بامتداد B. هذا يعني أن B ∪ { v } مجموعة جزئية مستقلة خطيًا من V أكبر من B ، مما يُناقض شرط كون B مجموعة قصوى . لذلك، B مجموعة مولدة لـ V ، وبالتالي، أساس لـ V.

ملاحظة : على الرغم من ندرة ذلك، فإنه من الممكن بناء أساس بطريقة مباشرة باستخدام الاستدعاء الذاتي المتسامي، مع افتراض صحة بديهية الاختيار. للاطلاع على ذلك، انظر على سبيل المثال نظرية الاستدعاء الذاتي المتسامي §  مثال: بناء أساس للمقارنة.

يمكن استخدام ليمّة زورن لإظهار أن كل حلقة غير تافهة R ذات وحدة تحتوي على مثالي أقصى .

ليكن P المجموعة التي تضم جميع المُثُل الحقيقية في R (أي جميع المُثُل في R باستثناء R نفسها). بما أن R غير تافهة، فإن المجموعة P تحتوي على المُثُل التافهة {0}. علاوة على ذلك، فإن P مرتبة جزئيًا وفقًا لخاصية الاحتواء. إيجاد مُثُل أعظمية في R يُعادل إيجاد عنصر أعظمي في P.

لتطبيق مبرهنة زورن، نأخذ سلسلة T في P. إذا كانت T فارغة، فإن المثالي التافه {0} يمثل حدًا أعلى لـ T في P. لنفترض إذن أن T غير فارغة. من الضروري إثبات أن T لها حد أعلى، أي أنه يوجد مثالي I ⊆ R يحتوي على جميع عناصر T ولكنه أصغر من R (وإلا لما كان مثاليًا حقيقيًا، وبالتالي فهو ليس في P ).

لنفترض أن I هو اتحاد جميع المُثُل في T. نريد أن نُثبت أن I حدٌّ أعلى لـ T في P. سنُثبت أولًا أن I مُثُل في R. لكي يكون I مُثُلًا، يجب أن يُحقق ثلاثة شروط:

1. I هي مجموعة جزئية غير فارغة من R ،
2. لكل x و y ∈ I ، يكون المجموع x + y في I ،
3. لكل r ∈ R ولكل x ∈ I ، فإن حاصل الضرب rx موجود في I.

#1 - I هي مجموعة جزئية غير فارغة من R.

بما أن المجموعة T تحتوي على عنصر واحد على الأقل، وهذا العنصر يحتوي على صفر على الأقل، فإن الاتحاد I يحتوي على صفر على الأقل وهو ليس فارغًا. كل عنصر من T هو مجموعة جزئية من R ، لذا فإن الاتحاد I يتكون فقط من عناصر في R.

#2 - لكل x و y ∈ I ، فإن المجموع x + y ينتمي إلى I.

لنفترض أن x و y عنصران من I. عندئذٍ، يوجد مثاليان J و K ∈ T بحيث يكون x عنصرًا من J و y عنصرًا من K. بما أن T مرتبة ترتيبًا كليًا، نعلم أن J ⊆ K أو K ⊆ J. دون الإخلال بعمومية البرهان ، لنفترض الحالة الأولى. كل من x و y عنصران من المثالي K ، وبالتالي فإن مجموعهما x + y عنصر من K ، مما يدل على أن x + y عنصر من I.

#3 - لكل r ∈ R ولكل x ∈ I ، فإن حاصل الضرب rx موجود في I.

لنفترض أن x عنصر من I. عندئذٍ يوجد مثالي J ∈ T بحيث يكون x في J. إذا كان r ∈ R ، فإن rx عنصر من J ، وبالتالي عنصر من I. إذن، I مثالي في R.

الآن، سنُبين أن I مثالي حقيقي . يكون المثالي مساويًا لـ R إذا وفقط إذا كان يحتوي على 1. (من الواضح أنه إذا كان I هو R فإنه يحتوي على 1؛ من ناحية أخرى، إذا كان يحتوي على 1 وكان r عنصرًا عشوائيًا من R ، فإن r 1 = r هو عنصر من المثالي، وبالتالي يكون المثالي مساويًا لـ R ). إذن، إذا كان I مساويًا لـ R ، فإنه سيحتوي على 1، وهذا يعني أن أحد عناصر T سيحتوي على 1 وبالتالي سيكون مساويًا لـ R - لكن R مستبعد صراحةً من P.

تم التحقق من فرضية لِمة زورن، وبالتالي يوجد عنصر أقصى في P ، بعبارة أخرى يوجد مثال أقصى في R.

تستلزم ليمّة زورن ليمّة المرشح الفائق ، والتي بدورها تستلزم نظرية تيكونوف (بالإضافة إلى بديهية الاختيار). ومع ذلك، من الممكن أيضًا إثبات نظرية تيكونوف مباشرةً من ليمّة زورن على النحو التالي (باستخدام مرشح فائق ضمنيًا). ^{[ 14 ]}

يترك${\displaystyle X_{i}}$لنفترض أن عائلة من المساحات المدمجة ، وليست بالضرورة من نوع هاوسدورف. سنبين أن عائلة${\displaystyle F}$من المجموعات الفرعية المغلقة من${\displaystyle X:=\prod _{i}X_{i}}$تتمتع بخاصية التقاطع المحدود ولها تقاطع غير فارغ. ليكن${\displaystyle P}$لتكن مجموعة جميع عائلات المجموعات الجزئية من${\displaystyle X}$مع خاصية التقاطع المحدود (ليس بالضرورة مجموعات جزئية مغلقة). لنفترض${\displaystyle P}$يتم ترتيبها حسب تضمين المجموعة. إذا${\displaystyle C\subset P}$إذا كانت سلسلة، فمن الواضح أن اتحاد${\displaystyle C}$تتمتع بخاصية التقاطع المحدود؛ لذا، فإن الاتحاد موجود في${\displaystyle P}$وبالتالي، وفقًا لفرضية زورن، يوجد عنصر أقصى${\displaystyle M}$في${\displaystyle P}$يحتوي على${\displaystyle F}$سنبين أن تقاطع جميع المجموعات المغلقة في${\displaystyle M}$لديه تقاطع غير فارغ؛ من باب أولى ،${\displaystyle F}$له تقاطع غير فارغ.

لكل مجموعة جزئية منتهية${\displaystyle M'\subset M}$، منذ${\displaystyle \cap M'}$غير فارغ،${\displaystyle \cap p_{i}(M')}$غير فارغ بالنسبة للإسقاط${\displaystyle p_{i}:X\to X_{i}.}$وبالتالي، لكل${\displaystyle i}$المجموعة

${\displaystyle N_{i}:=\left\{{\overline {p_{i}(A)}}\mid A\in M\right\}}$

لها تقاطع غير فارغ لأنها تتمتع بخاصية التقاطع المحدود و${\displaystyle X_{i}}$إنها صغيرة الحجم. نلاحظ

1. لو${\displaystyle M'\subset M}$هي مجموعة جزئية منتهية،${\displaystyle \cap M'}$هو في${\displaystyle M}$.
2. لمجموعة مفتوحة${\displaystyle U_{i}}$متقاطع${\displaystyle \cap N_{i}}$لدينا${\displaystyle p_{i}^{-1}(U_{i})}$هو في${\displaystyle M}$.

في الواقع، (1) صحيح لأن${\displaystyle M=M\cup \{\cap M'\}}$بحسب خاصية التقاطع الأقصى، لأن المجموعة على اليمين لها خاصية التقاطع المحدود. وبالمثل، بالنسبة لمجموعة جزئية محدودة${\displaystyle M'\subset M}$، منذ${\displaystyle A=\cap M'}$هو في${\displaystyle M}$،${\displaystyle U_{i}\cap p_{i}(A)\neq \emptyset }$أو${\displaystyle p_{i}^{-1}(U_{i})\cap A\neq \emptyset }$وبالتالي، فإن المجموعة${\displaystyle M\cup \{p_{i}^{-1}(U_{i})\}}$تتمتع بخاصية التقاطع المحدود، ويتبع (2) من خلال خاصية الحد الأقصى لـ${\displaystyle M}$.

الآن، وبحسب بديهية الاختيار، يمكننا إيجاد عنصر${\displaystyle m}$في${\displaystyle \prod _{i}(\cap N_{i})}$نؤكد هذا${\displaystyle m}$يوجد في كل مجموعة مغلقة${\displaystyle A}$في${\displaystyle M}$. منذ${\displaystyle A}$مغلق، يكفي أن تُظهر${\displaystyle m}$يحدث ذلك في إغلاق${\displaystyle A}$أي، كل حي أساسي من${\displaystyle m}$يتقاطع${\displaystyle A}$حي أساسي من${\displaystyle m}$له الشكل${\displaystyle \cap _{j=1}^{r}p_{i_{j}}^{-1}(U_{i_{j}})}$ولكن وفقًا للخاصية (2) أعلاه، لدينا${\displaystyle \left\{A,p_{i_{j}}^{-1}(U_{i_{j}})\mid j=1,\dots ,r\right\}\subset M}$، مما يعطي الادعاء من خلال خاصية التقاطع المحدود.${\displaystyle \square }$

ملاحظة : إنّ مبرهنة المرشح الفائق أضعف بكثير من بديهية الاختيار؛ فهي مكافئة لنظرية المثالي الأولي البولياني . من جهة أخرى، وبشكلٍ مثير للدهشة، فإنّ نظرية تيكونوڤ تستلزم (وبالتالي فهي مكافئة) بديهية الاختيار. لذا، لا يمكن الاستغناء عن استخدام بديهية الاختيار المذكورة أعلاه. (إذا${\displaystyle X_{i}}$إذا كانت منازل هاوسدورف صغيرة الحجم، فيمكن الاستغناء عن استخدام مكيف الهواء؛ في الواقع، كل منها${\displaystyle \cap p_{i}(M)}$ما سبق له نقطة واحدة بالضبط في تلك الحالة.)

يتمثل أحد البراهين البديلة (وربما الأكثر شيوعًا) لنظرية تيكونوف في إثبات نظرية ألكسندر الفرعية أولاً ، ولكن برهان تلك النظرية يستخدم عادة نظرية زورن.

يترك${\displaystyle P}$لتكن مجموعة مرتبة جزئيًا، حيث يكون لكل سلسلة فيها، بما في ذلك السلسلة الفارغة، حد أعلى. عرّف الدالة

${\displaystyle f:P\to P}$

بواسطة${\displaystyle f(x)=x}$لو${\displaystyle x}$هو عنصر أقصى و${\displaystyle f(x)=c(\{y\mid y>x\})}$وإلا، حيث

${\displaystyle c:{\mathcal {P}}(P)-\{\emptyset \}\to P}$

هي دالة اختيار ؛ أي${\displaystyle c(S)\in S}$لاحظ عنصرًا أقصى من${\displaystyle P}$هي بالضبط نقطة ثابتة لـ${\displaystyle f}$وبالتالي، فإن البرهان يكافئ إيجاد نقطة ثابتة لـ${\displaystyle f}$.

بشكل غير رسمي، سنقوم بإنشاء متتالية طويلة جدًا ( متتالية متسامية ) عن طريق تطبيق بشكل متكرر${\displaystyle f}$أي، اختر أولاً بعضاً${\displaystyle x_{0}}$في${\displaystyle P}$، ممكن لأن${\displaystyle P}$إذا كانت غير فارغة. فلنفرض${\displaystyle x_{1}=f(x_{0})}$ثم دع${\displaystyle x_{2}=f(x_{1})}$وهكذا دواليك. إذا استنفدنا جميع الأعداد الطبيعية، فسنستمر في استخدام

${\displaystyle x_{\omega }=c(\{{\text{upper bounds of the chain }}\,x_{0}\leq x_{1}\leq \cdots \})}$

أين${\displaystyle \omega =\{0,1,2,\cdots \}}$ثم دع${\displaystyle x_{\omega +1}=f(x_{\omega })}$وهكذا دواليك. ينتج عن هذه العملية سلسلة من الطول${\displaystyle \alpha }$لكل ترتيب${\displaystyle \alpha }$،

${\displaystyle x_{0}\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{\omega }\leq x_{\omega +1}\leq \cdots }$

لاحظ أنه طالما أن المتتالية تتزايد، فإن الخريطة${\displaystyle \alpha \to P,\,\beta \mapsto x_{\beta }}$دالة أحادية. لكن لا يمكن لمجموعة أن تحتوي على مجموعة جزئية ذات عدد عناصر أكبر. لذا، إذا كانت المتتالية طويلة جدًا، فلا يمكن أن تكون متزايدة، ولا يمكن أن يكون أحد حدودها بحيث${\displaystyle x_{\beta }=x_{\beta +1}}$هي نقطة ثابتة لـ${\displaystyle f}$(أي عنصر أقصى من${\displaystyle P}$).

رسميًا، تُعرَّف المتتالية المذكورة أعلاه باستخدام الاستدعاء الذاتي المتسامي . وهي تُشبه تمامًا التعريف الاستدعائي المعتاد للمتتالية، ولكنها تُطبَّق على الأعداد الترتيبية. ويكمن الاختلاف الرئيسي في أن العدد الترتيبي قد يكون عددًا ترتيبيًا حديًا ، مثل${\displaystyle \omega }$. بالنسبة للترتيب الحدي${\displaystyle \alpha }$كما ذكرنا سابقاً، نأخذ${\displaystyle x_{\alpha }}$أن يكون حدًا أعلى للمتتالية${\displaystyle x_{\beta },\beta <\alpha }$عبر${\displaystyle c}$(انظر أيضًا نظرية الاستدعاء المتكرر المتسامي §  مثال: برهان لِمّة زورن لمزيد من التفاصيل حول هذا النوع من البناء الاستدعائي المتكرر). أخيرًا، نحتاج إلى عدد ترتيبي كبير بما فيه الكفاية. باستخدام بديهية الاختيار في شكل نظرية الترتيب الجيد ، يمكننا إيجاد عدد ترتيبي.${\displaystyle \kappa }$هذا تقابل مع${\displaystyle P.}$يأخذ${\displaystyle \alpha =\kappa ^{+}}$، العدد الأصلي اللاحق (= أصغر عدد ترتيبي يكون عدد عناصره أكبر من${\displaystyle \kappa }$ثم، ولسبب العددية،${\displaystyle \kappa ^{+}\not \hookrightarrow P,\,\beta \mapsto x_{\beta }}$أي التسلسل${\displaystyle x_{\beta }}$ليست متزايدة تمامًا، ولذلك فإن أحد حدودها يمثل نقطة ثابتة. ^{[ 18 ]} (بالمناسبة، هذا${\displaystyle \kappa ^{+}}$يُطلق عليه رقم هارتوغز${\displaystyle P}$.)

أو بدلاً من ذلك، إذا كنا نستخدم الأساس الذي يسمح بالفئات؛ على سبيل المثال، له كون غروتينديك ثابت ، فإن الإجراء المذكور أعلاه، إذا${\displaystyle f}$ليس له نقطة ثابتة، يقوم بإنشاء حقنة:

${\displaystyle \operatorname {Ord} \hookrightarrow P}$

أين${\displaystyle \operatorname {Ord} }$هي فئة جميع الأعداد الترتيبية (في الكون). لكن وجود مثل هذا الحقن يُعد تناقضًا يُعرف باسم مفارقة بورالي-فورتي .${\displaystyle \square }$

يمكن صياغة البرهان أعلاه دون الإشارة صراحةً إلى الأعداد الترتيبية، وذلك بالنظر إلى الأجزاء الأولية للمجموعات المرتبة ترتيبًا جيدًا، وهي حجة تعود إلى كنيسر. ^{[ 19 ] [ 20 ]} (انظر نظرية بورباكي-ويت،  القسم 3، لمزيد من التفاصيل).

يترك${\displaystyle \Gamma }$لتكن مجموعة جميع السلاسل المرتبة ترتيبًا جيدًا${\displaystyle C}$في${\displaystyle P}$بحيث يكون لكل${\displaystyle x}$في${\displaystyle C}$،

${\displaystyle x=s(\{y\in C\mid y<x\})}$

أين${\displaystyle g(S)=c(\{{\text{upper bounds of }}S\})}$و${\displaystyle s=f\circ g}$نلاحظ${\displaystyle \Gamma }$مرتبة تمامًا، فيما يتعلق بالترتيب حسب الأجزاء الأولية : في الواقع، لـ${\displaystyle C,D}$في${\displaystyle \Gamma }$، يترك${\displaystyle S}$ليكن اتحاد جميع الأجزاء الأولية المشتركة بينها، وهو أيضاً جزء أولي. عندئذٍ نرى بسهولة إما${\displaystyle C=S}$أو${\displaystyle D=S}$وأخيرًا، دع${\displaystyle U}$كن اتحاد${\displaystyle \Gamma }$وبعد ذلك يمكننا أن نرى${\displaystyle U}$هي نفسها في${\displaystyle \Gamma }$. منذ${\displaystyle s(U)\in U}$و${\displaystyle g(U)}$يمثل الحد الأعلى لـ${\displaystyle U}$،

${\displaystyle f(g(U))\leq g(U).}$

إنه،${\displaystyle g(U)}$هي نقطة ثابتة لـ${\displaystyle f}$.${\displaystyle \square }$

يُظهر هذا البرهان أن نسخة أقوى قليلاً من نظرية زورن صحيحة بالفعل:

مبدأ هاوسدورف الأقصى هو صياغة بديلة لفرضية زورن التي تؤكد أن كل مجموعة مرتبة جزئيًا${\displaystyle P}$له سلسلة قصوى${\displaystyle C\subset P}$فيما يتعلق بتضمين المجموعة .

يستمد الشكل المعتاد لفرضية زورن من مبدأ هاوسدورف الأقصى، لأنه إذا${\displaystyle P}$إذا استوفى شرط معضلة زورن، فإن سلسلته القصوى${\displaystyle C}$وله حد أعلى أيضًا${\displaystyle x}$في​​${\displaystyle P}$هذا​​${\displaystyle x}$⁠ عنصر أقصى لأنه إذا ⁠${\displaystyle y>x}$ثم​​${\displaystyle {\widetilde {C}}=C\cup \{y\}}$⁠ هي سلسلة أكبر بكثير من ⁠${\displaystyle C}$، مما يتناقض مع مبدأ الحد الأقصى لـ${\displaystyle C}$[ ²¹ ]^​​

في المقابل، يستنتج مبدأ هاوسدورف الأقصى أيضًا من مبرهنة زورن باعتبار مجموعة السلاسل مجموعة مرتبة جزئيًا مرتبة حسب احتواء المجموعة. في الواقع، لا تتطلب هذه الحالة المحددة سوى الصيغة الضعيفة التالية لمبرهنة زورن: ^{[ 22 ]}

أو الشكل الأضعف التالي:

هذا شكل أضعف لأن اتحاد كل سلسلة من${\displaystyle F}$يمثل هذا الحد الأدنى الأعلى لتلك السلسلة. تُظهر هذه الدورة من الاستلزام (مبدأ زورن ⇒ المبدأ 1 ⇒ المبدأ 2 ⇒ مبدأ هاوسدورف الأقصى ⇒ مبدأ زورن) أن جميع هذه الأشكال متكافئة في الواقع.

ويمكن إثبات اللمة 2 مباشرة من بديهية الاختيار، كما هو موضح في مبدأ هاوسدورف الأقصى §  البرهان 1 .

يمكن أيضًا استخدام نظرية بورباكي -ويت لتقديم برهان على اللمة 1، من خلال النظر في الخريطة${\displaystyle f:P\to P}$بحيث${\displaystyle f(x)=x}$لو${\displaystyle x}$أقصى حد و${\displaystyle f(x)>x}$وإلا (مثل هذا)${\displaystyle f}$(يوجد بواسطة بديهية الاختيار). بدلاً من ذلك، بما أن مجموعة جميع السلاسل في مجموعة مرتبة جزئياً هي مجموعة مرتبة جزئياً ذات عنصر أصغر، يمكن استخدام نظرية باتارايا بدلاً من ذلك لإثبات مبدأ هاوسدورف الأقصى؛ وبالتالي، ليمّة زورن.

يمكن إثبات صيغة مُخففة من مُبرهنة زورن باستخدام نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات مع استبدال بديهية الاختيار ببديهية الاختيار التابع . يُمكن التعبير عن مُبرهنة زورن ببساطة من خلال ملاحظة أن المجموعة التي لا تحتوي على عنصر أقصى تُكافئ القول بأن علاقة ترتيب المجموعة ستكون كاملة، مما يسمح لنا بتطبيق بديهية الاختيار التابع لإنشاء سلسلة قابلة للعد. ونتيجة لذلك، يجب أن تحتوي أي مجموعة مُرتبة جزئيًا ذات سلاسل منتهية حصريًا على عنصر أقصى. ^{[ 35 ]}

بشكلٍ أعم، يسمح لنا تعزيز بديهية الاختيار التابع للأعداد الترتيبية الأعلى بتعميم العبارة الواردة في الفقرة السابقة لتشمل أعدادًا أصلية أعلى. ^{[ 35 ]} في الحالة التي نسمح فيها بأعداد ترتيبية كبيرة كيفما شئنا، نستعيد برهان لِمّة زورن الكاملة باستخدام بديهية الاختيار في القسم السابق.