خطة المجموعة

في الرياضيات ، يُعدّ مخطط المجموعة نوعًا من الكائنات في الهندسة الجبرية مزودًا بقانون التركيب. تنشأ مخططات المجموعات بشكل طبيعي كتناظرات للمخططات ، وهي تُعمّم المجموعات الجبرية ، بمعنى أن جميع المجموعات الجبرية تمتلك بنية مخطط المجموعة، لكن مخططات المجموعات ليست بالضرورة متصلة أو سلسة أو مُعرّفة على حقل. تُمكّن هذه العمومية الإضافية من دراسة بنى متناهية الصغر أكثر ثراءً، مما يُساعد على فهم مسائل ذات دلالة حسابية والإجابة عنها. تُعتبر فئة مخططات المجموعات أكثر انتظامًا من فئة أصناف المجموعات ، نظرًا لأن جميع التشاكلات لها نوى ، وتوجد نظرية تشويه منتظمة . تلعب مخططات المجموعات غير الجبرية دورًا هامًا في الهندسة الحسابية والطوبولوجيا الجبرية ، إذ تظهر في سياقات تمثيلات غالوا ومسائل المعاملات . يعود الفضل في التطور الأولي لنظرية مخططات المجموعات إلى ألكسندر غروتينديك وميشيل رينو وميشيل ديمازور في أوائل الستينيات.

مخطط المجموعة هو كائن مجموعة ضمن فئة المخططات التي تحتوي على منتجات ألياف وكائن نهائي S. أي أنه مخطط S - G مزود بإحدى مجموعات البيانات المتكافئة.

• ثلاثية من التشكلات μ: G × _S G → G ، e: S → G ، و ι: G → G ، تحقق التوافقات المعتادة للمجموعات (أي التجميعية لـ μ ، والهوية ، والبديهيات العكسية).
• دالة من المخططات فوق S إلى فئة المجموعات ، بحيث يكون التركيب مع الدالة النسيانية للمجموعات مكافئًا للحزمة المسبقة المقابلة لـ G تحت تضمين يونيدا . (انظر أيضًا: دالة المجموعة .)

التشاكل بين مخططات الزمر هو تطبيق بين المخططات يحافظ على عملية الضرب. ويمكن التعبير عن ذلك بدقة إما بالقول إن التطبيق f يحقق المعادلة f μ = μ( f × f )، أو بالقول إن f هو تحويل طبيعي للدوال من المخططات إلى الزمر (وليس فقط من المجموعات).

الفعل الأيسر لمخطط زمرة G على مخطط X هو تشاكل G × _S X → X يُولِّد فعلًا أيسرًا للزمرة G ( T ) على المجموعة X ( T ) لأي مخطط S - T . تُعرَّف الأفعال اليمنى بشكل مماثل. أي مخطط زمرة يقبل أفعالًا يسارية ويمنية طبيعية على مخططه الأساسي عن طريق الضرب والاقتران . الاقتران هو فعل بواسطة التشاكلات الذاتية، أي أنه يتبادل مع بنية الزمرة، وهذا يُولِّد أفعالًا خطية على الكائنات المشتقة طبيعيًا، مثل جبر لي الخاص به ، وجبر المؤثرات التفاضلية الثابتة يساريًا.

تكون مخططات الزمرة S - G تبديلية إذا كانت الزمرة G ( T ) زمرة تبديلية لجميع مخططات S - T . وهناك عدة شروط مكافئة أخرى، مثل أن يؤدي الاقتران إلى فعل تافه، أو أن تكون خريطة الانعكاس ι تشاكلاً ذاتياً لمخططات الزمرة.

• بفرض وجود زمرة G ، يمكن تكوين مخطط الزمرة الثابتة GS _. كمخطط، هو اتحاد منفصل لنسخ من S ، وباختيار تعريف لهذه النسخ بعناصر G ، يمكن تعريف عمليات الضرب والوحدة والمعكوس عن طريق نقل البنية . كدالة، يأخذ أي مخطط S - T إلى حاصل ضرب نسخ من الزمرة G ، حيث يساوي عدد النسخ عدد المكونات المتصلة لـ T. يكون GS خطيًا على S إذا وفقط إذا كانت _G زمرة منتهية. مع ذلك، يمكن أخذ حد إسقاطي لمخططات الزمر الثابتة المنتهية للحصول على مخططات زمر شبه منتهية، والتي تظهر في دراسة الزمر الأساسية وتمثيلات غالوا أو في نظرية مخطط الزمرة الأساسية ، وهذه المخططات خطية من النوع اللانهائي. بشكل أعم، بأخذ حزمة زمر ثابتة محليًا على S ، نحصل على مخطط زمرة ثابت محليًا، والذي يمكن أن يؤدي فيه التناظر الأحادي على القاعدة إلى توليد تشاكلات ذاتية غير تافهة على الألياف.
• يُتيح وجود نواتج الألياف للمخططات إمكانية إنشاء العديد من البنى. تتمتع نواتج الضرب المباشر المنتهية لمخططات الزمر ببنية مخطط زمرة معيارية. عند تطبيق تأثير مخطط زمرة على آخر بواسطة التشاكلات الذاتية، يُمكن تكوين نواتج ضرب شبه مباشر باتباع البنية المعتادة في نظرية المجموعات. تُعدّ نوى تشاكلات مخططات الزمر مخططات زمر، وذلك بأخذ ناتج ضرب ليفي على دالة الوحدة من القاعدة. يُحوّل تغيير القاعدة مخططات الزمر إلى مخططات زمر أخرى.
• يمكن تكوين مخططات الزمر من مخططات زمر أصغر عن طريق تقييد الكميات العددية بالنسبة إلى تشاكل ما في المخططات الأساسية، مع ضرورة استيفاء شروط التناهي لضمان تمثيل الدالة الناتجة. عندما يكون هذا التشاكل على امتداد محدود للحقول، يُعرف بتقييد ويل .
• لأي زمرة تبديلية A ، يمكن تكوين الزمرة القطرية المناظرة D ( A )، المعرفة كدالة بجعل D ( A )( T ) مجموعة تشاكلات الزمر التبديلية من A إلى المقاطع العالمية القابلة للعكس لـ O( _T) لكل مخطط S - T . إذا كانت S زمرة أفينية، فيمكن تكوين D ( A ) كطيف لحلقة زمر . وبشكل أعم، يمكن تكوين زمر من النوع الضربي بجعل A حزمة غير ثابتة من الزمر التبديلية على S.
• بالنسبة لمخطط زمرة جزئية H من مخطط زمرة G ، فإن الدالة التي تحوّل مخطط S - T إلى G ( T )/ H ( T ) لا تُمثّل حزمةً في الغالب، وحتى تحويلها إلى حزمة لا يُمكن تمثيله كمخطط. مع ذلك، إذا كانت H منتهية، ومسطحة ، ومغلقة في G ، فإن خارج القسمة يكون قابلاً للتمثيل، ويقبل فعلًا يساريًا قانونيًا من G عن طريق الإزاحة. إذا كان تقييد هذا الفعل على H تافهًا، يُقال إن H طبيعية، ويقبل مخطط خارج القسمة قانون زمرة طبيعيًا. يتحقق التمثيل في العديد من الحالات الأخرى، مثل عندما تكون H مغلقة في G وكلاهما خطيتان. ^{[ 1 ]}

• تعتمد المجموعة الضربية G m على الخط الأفيني المثقوب كبنية أساسية، وكدالة، تُرسل مخطط S - T إلى المجموعة الضربية للمقاطع العالمية القابلة للعكس لحزمة البنية. يمكن وصفها بأنها المجموعة القطرية D ( Z ) المرتبطة بالأعداد الصحيحة. على قاعدة أفينية مثل Spec A ، تُمثل طيف الحلقة A [ x , y ]/( xy − 1)، والتي تُكتب أيضًا A [ x , x − 1 ]. تُعطى دالة الوحدة بإرسال x إلى واحد، والضرب بإرسال x إلى x ⊗ x ، والمعكوس بإرسال x إلى x − 1. تُشكل الطورات الجبرية فئة مهمة من مخططات المجموعات التبادلية، تُعرف إما بخاصية كونها محليًا على S ناتج نسخ من G m  ، أو كمجموعات من النوع الضربي مرتبطة بمجموعات أبيلية حرة مولدة نهائيًا .  
• الزمرة الخطية العامة GL n هي صنف جبري أفيني يُمكن اعتباره الزمرة الضربية لصنف حلقة المصفوفات من الرتبة n × n . كدالة، تُرسل مخطط S - T إلى زمرة المصفوفات القابلة للعكس من الرتبة n × n التي عناصرها مقاطع عامة من T. على أساس أفيني، يُمكن بناؤها كحاصل قسمة حلقة متعددة الحدود في n² + 1 متغيرًا بواسطة مثالي يُشفّر قابلية عكس المحدد. بدلاً من ذلك، يُمكن بناؤها باستخدام 2ⁿ² متغيرًا ، مع علاقات تصف زوجًا مرتبًا من المصفوفات المعكوسة المتبادلة.
• لأي عدد صحيح موجب n ، فإن المجموعة μ n  للجذور n للوحدة هي نواة تطبيق القوة n من G m  إلى نفسها. كدالة، تُرسل هذه المجموعة أي مخطط S - T إلى مجموعة المقاطع العامة f لـ T بحيث f n  = 1. على أساس أفيني مثل Spec A ، فهي طيف A [x]/( x n - 1). إذا لم يكن n قابلاً للعكس في الأساس، فإن هذا المخطط ليس أملسًا. على وجه الخصوص، على حقل ذي خاصية p ، فإن μ p ليس أملسًا.
• تعتمد المجموعة الجمعية G a على الخط الأفيني A 1 كخط أساسي لها. وبصفتها دالة، فإنها تُرسل أي مخطط S- T إلى المجموعة الجمعية الأساسية للمقاطع العامة لحزمة البنية. وعلى قاعدة أفينية مثل Spec A ، فإنها تمثل طيف حلقة كثيرات الحدود A [ x ]. وتُعطى دالة الوحدة بإرسال x إلى الصفر، وتُعطى عملية الضرب بإرسال x إلى 1  ⊗ x + x ⊗ 1، وتُعطى الدالة العكسية بإرسال x إلى − x .      
• إذا كان p = 0 في S لعدد أولي p ، فإن أخذ القوى من الرتبة p يُنشئ تشاكلاً داخلياً لـ Ga ، والنواة هي مخطط المجموعة α p . على قاعدة أفينية مثل Spec A ، يكون طيف A [x]/( x p ).
• مجموعة التشاكل الذاتي للخط الأفيني (انظر المجموعة الأفينية ) متماثلة مع حاصل الضرب شبه المباشر لـ G a في G  m ، حيث تعمل المجموعة الجمعية عن طريق الإزاحات، وتعمل المجموعة الضربية عن طريق التمددات. المجموعة الجزئية التي تثبت نقطة أساس مختارة متماثلة مع المجموعة الضربية، وباعتبار نقطة الأساس هي عنصر محايد لبنية مجموعة جمعية، فإن G m تُطابق مجموعة التشاكل الذاتي لـ G  a  .
• المنحنى الأملس من النوع الأول ذو النقطة المميزة (أي المنحنى الإهليلجي ) له بنية مخطط مجموعة فريدة، حيث تمثل تلك النقطة عنصر الوحدة. وعلى عكس الأمثلة السابقة ذات الأبعاد الموجبة، فإن المنحنيات الإهليلجية إسقاطية (وخاصةً إسقاطية ).

لنفترض أن G مخطط زمرة من النوع المحدود على حقل k . ولتكن G₀ المكون المتصل للعنصر المحايد، أي مخطط الزمرة الفرعية المتصلة القصوى. عندئذٍ، ^G امتداد لمخطط زمرة إيتال منتهية بواسطة G₀ . تمتلك G مخططًا فرعيًا مختزلًا أقصى وحيدًا ^Gₓred ، وإذا كان k مثاليًا ، فإن Gₓred _{عبارة عن تنوع زمر} أملس وهو مخطط زمرة فرعية من G. مخطط القسمة هو طيف حلقة محلية من الرتبة المحدودة.

أي مخطط زمرة أفينية هو طيف جبر هوبف تبديلي (على أساس S ، يُعطى هذا بالطيف النسبي لجبر O _-S ). تُعطى عمليات الضرب والعنصر المحايد والمعكوس لمخطط الزمرة بواسطة بنى الضرب المشترك والعنصر المحايد والمضاد في جبر هوبف. تُعد بنى العنصر المحايد والضرب في جبر هوبف جزءًا لا يتجزأ من المخطط الأساسي. بالنسبة لأي مخطط زمرة G ، فإن حلقة المقاطع العامة لها أيضًا بنية جبر هوبف تبديلي، وبأخذ طيفها، نحصل على زمرة القسمة الأفينية القصوى. تُعرف أصناف الزمر الأفينية باسم الزمر الجبرية الخطية ، نظرًا لإمكانية تضمينها كزمر جزئية من الزمر الخطية العامة.

تُعتبر مخططات الزمر المتصلة الكاملة، من بعض النواحي، نقيضًا لمخططات الزمر الأفينية، إذ أن اكتمالها يعني أن جميع المقاطع العامة هي تلك المسحوبة من القاعدة، وعلى وجه الخصوص، لا توجد لها خرائط غير تافهة إلى المخططات الأفينية. أي تنوع زمر كامل (التنوع هنا يعني مخططًا منفصلاً مختزلًا وغير قابل للاختزال هندسيًا من نوع محدود على حقل) يكون تبديليًا تلقائيًا، وذلك من خلال حجة تتضمن فعل الاقتران على فضاءات النفاثات للعنصر المحايد. تُسمى تنوعات الزمر الكاملة بالتنوعات الأبيلية . يُعمم هذا إلى مفهوم المخطط الأبيلي؛ فمخطط الزمرة G على قاعدة S يكون أبيليًا إذا كان التشاكل البنيوي من G إلى S مناسبًا وأملسًا بألياف متصلة هندسيًا. وهي إسقاطية تلقائيًا، ولها تطبيقات عديدة، على سبيل المثال، في نظرية حقل الفئات الهندسية وفي جميع أنحاء الهندسة الجبرية. مع ذلك، لا يشترط أن يكون مخطط الزمرة الكامل على حقل تبديليًا؛ على سبيل المثال، أي مخطط زمرة محدود يكون كاملًا.

تكون مخططات الزمر G فوق مخططات نوثرية S منتهية ومسطحة إذا وفقط إذا كانت OG وحدة نمطية محلية حرة من رتبة منتهية _{على OS} . الرتبة دالة ثابتة محليًا على S ، وتُسمى رتبة G. تساوي رتبة مخطط الزمر الثابت رتبة الزمرة المناظرة، وبشكل عام، تتصرف الرتبة بشكل جيد فيما يتعلق بتغيير الأساس والتقييد المسطح المحدود للكميات العددية . 

من بين مخططات الزمر المسطحة المنتهية، تُشكّل الثوابت (انظر المثال أعلاه) فئةً خاصة، وعلى حقل مغلق جبريًا ذي خاصية صفرية، تكون فئة الزمر المنتهية مكافئة لفئة مخططات الزمر المنتهية الثابتة. وعلى قواعد ذات خاصية موجبة أو بنية حسابية أكثر تعقيدًا، توجد أنواع تشاكل إضافية. على سبيل المثال، إذا كان μ قابلًا للعكس على القاعدة، فإن جميع مخططات الزمر من الرتبة 2 تكون ثابتة، ولكن على الأعداد الصحيحة 2-adic ، يكون μ ₂ غير ثابت، لأن الليف الخاص ليس أملسًا. توجد متتاليات من الحلقات 2-adic شديدة التفرع، والتي يزداد فيها عدد أنواع تشاكل مخططات الزمر من الرتبة 2 بشكل كبير جدًا. يمكن الاطلاع على تحليل أكثر تفصيلًا لمخططات الزمر المسطحة المنتهية التبادلية على الحلقات p -adic في عمل رينو حول التمديدات.

تظهر مخططات الزمر المسطحة المنتهية التبادلية غالبًا في الطبيعة كمخططات زمر فرعية من أصناف أبيلية وشبه أبيلية، وفي الخصائص الموجبة أو المختلطة، يمكنها استيعاب الكثير من المعلومات حول الصنف المحيط. على سبيل المثال، يكون الالتواء من الرتبة p لمنحنى إهليلجي في خاصية صفرية متماثلًا محليًا مع مخطط الزمرة الأبيلية الأولية الثابتة من الرتبة p² ^، ولكن على Fₚ _، يكون مخطط زمرة مسطحة منتهية من الرتبة p² يحتوي إما على p من المكونات المتصلة (إذا كان المنحنى عاديًا) أو مكون متصل واحد (إذا كان المنحنى فائق التفرد ). إذا نظرنا إلى عائلة من المنحنيات الإهليلجية، فإن الالتواء ^{من الرتبة} p يشكل مخطط زمرة مسطحة منتهية على فضاء المعلمات، ويكون موضع التفرد الفائق هو المكان الذي تتصل فيه الألياف. يمكن دراسة هذا الاندماج للمكونات المتصلة بتفصيل دقيق من خلال الانتقال من مخطط نمطي إلى فضاء تحليلي صلب ، حيث تُستبدل النقاط فائقة التفرد بأقراص ذات نصف قطر موجب.

إن ازدواجية كارتييه هي نظير نظري للمخططات لازدواجية بونترياجين التي تأخذ مخططات المجموعة التبادلية المحدودة إلى مخططات المجموعة التبادلية المحدودة.

يمكن دراسة مخططات الزمر التبادلية المسطحة المنتهية على حقل مثالي k ذي خاصية موجبة p عن طريق نقل بنيتها الهندسية إلى إطار جبري (شبه) خطي. الكائن الأساسي هو حلقة ديودونيه D = W ( k ){ F , V }/( FV − p )، وهي خارج قسمة حلقة كثيرات الحدود غير التبادلية، بمعاملات في متجهات ويت k . F و V هما مؤثرا فروبينيوس وفيرشيبونغ ، ​​وقد يؤثران بشكل غير تافه على متجهات ويت. أنشأ ديودونيه وكارتييه تكافؤًا عكسيًا للفئات بين مخططات الزمر التبادلية المنتهية على k من رتبة قوة لـ "p" والوحدات النمطية على D ذات طول W ( k ) المحدود. يُعطى مُؤثر وحدة ديودونيه النمطية في اتجاه واحد بواسطة تشاكلات في الحزمة الأبيلية CW لمتجهات ويت المرافقة. هذه الحزمة ثنائية تقريبًا لحزمة متجهات ويت (التي يمكن تمثيلها في الواقع بمخطط زمرة)، إذ تُنشأ بأخذ النهاية المباشرة لمتجهات ويت ذات الطول المحدود تحت تأثير تحويلات متتالية V : W _n → W _n+1 ، ثم إكمالها. يمكن ملاحظة العديد من خصائص مخططات الزمر التبادلية بفحص وحدات ديودونيه المناظرة، على سبيل المثال، مخططات الزمر p المتصلة تُقابل وحدات D التي تكون فيها F عديمة القوة، ومخططات الزمر الإيتالية تُقابل وحدات تكون فيها F متماثلة.  

توجد نظرية ديودونيه في سياق أعمّ نوعًا ما من الزمر المسطحة المنتهية على حقل. وقد ربطت أطروحة أودا عام 1967 بين وحدات ديودونيه وأول تماثل دي رام للأصناف الأبيلية، وفي الوقت نفسه تقريبًا، اقترح غروتينديك وجود نسخة بلورية من النظرية يمكن استخدامها لتحليل الزمر القابلة للقسمة على p . تنتقل تأثيرات غالوا على مخططات الزمر عبر تكافؤات الفئات، وقد استُخدمت نظرية التشوه المرتبطة بتمثيلات غالوا في عمل وايلز على حدسية شيمورا-تانياما .

• مخطط المجموعة الأساسية
• نظرية الثوابت الهندسية
• حاصل ضرب GIT
• مخطط المجموعة
• إجراءات المخطط الجماعي
• مجموعة مكدس
• نظرية الثوابت
• مجموعة نواتج القسمة

• ديمازور، ميشيل؛ ألكسندر جروتينديك ، محرران. (1970). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1962 – 64 – مخططات في مجموعات – (SGA 3) – المجلد. 1 (مذكرات المحاضرات في الرياضيات 151 ) (باللغة الفرنسية). برلين؛ نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ص  15، 564.
• ديمازور، ميشيل؛ ألكسندر جروتينديك ، محرران. (1970). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1962 – 64 – مخططات في مجموعات – (SGA 3) – المجلد. 2 (مذكرات المحاضرات في الرياضيات 152 ) (باللغة الفرنسية). برلين؛ نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ص  التاسع، 654.
• ديمازور، ميشيل؛ ألكسندر جروتينديك ، محرران. (1970). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1962 – 64 – مخططات في مجموعات – (SGA 3) – المجلد. 3 (مذكرات المحاضرات في الرياضيات 153 ) (باللغة الفرنسية). برلين؛ نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ص.  السابع، 529.
• غابرييل، بيتر؛ ديمازور، ميشيل (1980). مقدمة في الهندسة الجبرية والمجموعات الجبرية . أمستردام: دار نشر نورث هولاند. ISBN 0-444-85443-6.
• بيرثيلوت، برين، ميسينغ Théorie de Dieudonné Crystalline II
• لاومون، تحويل فورييه العام
• شاتز، ستيفن س. (1986)، "مخططات الزمر، والزمر الشكلية، والزمر القابلة للقسمة على p "، في كورنيل، غاري؛ سيلفرمان، جوزيف هـ. (محرران)، الهندسة الحسابية (ستورز، كونيتيكت، 1984) ، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ص 29-78 ، ISBN  978-0-387-96311-2، MR 0861972 
• سيري ، جان بيير (1984)، Groupes algébriques et corps de Class ، منشورات معهد الرياضيات في جامعة نانكاغو [منشورات معهد الرياضيات بجامعة نانكاغو]، 7، باريس: هيرمان، ISBN 978-2-7056-1264-1، MR 0907288 
• جون تيت ، مخططات الزمر المسطحة المنتهية ، من كتاب الأشكال النمطية ونظرية فيرما الأخيرة
• ووترهاوس، ويليام (1979)، مقدمة في مخططات الزمر الأفينية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  66، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/978-1-4612-6217-6 ، ISBN 978-0-387-90421-4، MR 0547117