الهندسة الجبرية

في الهندسة الجبرية الكلاسيكية، تُعدّ المجموعات المتلاشية لمجموعات كثيرات الحدود هي العناصر الرئيسية محل الاهتمام ، أي مجموعة جميع النقاط التي تُحقق في آنٍ واحد معادلةً واحدةً أو أكثر من معادلات كثيرات الحدود . على سبيل المثال، يمكن تعريف الكرة ثنائية الأبعاد ذات نصف القطر 1 في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد R³ على أنها مجموعة جميع النقاط ^.${\displaystyle (x,y,z)}$مع

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0.\,}$

يمكن تعريف الدائرة "المائلة" في الفضاء ثلاثي الأبعاد ^R³ بأنها مجموعة جميع النقاط${\displaystyle (x,y,z)}$ والتي تحقق معادلتي كثير الحدود

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0,\,}$

${\displaystyle x+y+z=0.\,}$

نبدأ أولًا بحقل k . في الهندسة الجبرية الكلاسيكية، كان هذا الحقل دائمًا هو الأعداد المركبة C ، ولكن العديد من النتائج نفسها صحيحة إذا افترضنا فقط أن k مغلق جبريًا . نعتبر الفضاء الأفيني ذو البعد n على k ، والذي يُرمز له بـ A n ( k ) (أو ببساطة A n ، عندما يكون k واضحًا من السياق). عند تثبيت نظام إحداثيات، يمكن تعريف A n ( k ) على أنه k n . الغرض من عدم التعامل مع k n هو التأكيد على أننا "نتجاهل" بنية الفضاء المتجهي التي يحملها k n .

تُسمى الدالة f  : A ⁿ → A ^{1 دالة} متعددة الحدود (أو منتظمة ) إذا أمكن كتابتها على صورة متعددة حدود، أي إذا وُجدت متعددة حدود p في k [ x ₁ ,..., x _n ] بحيث يكون f ( M ) = p ( t ₁ ,..., t _n ) لكل نقطة M ذات إحداثيات ( t ₁ ,..., t _n ) في A ⁿ . ولا تعتمد خاصية كون الدالة متعددة الحدود (أو منتظمة) على اختيار نظام إحداثيات في A ⁿ .

عند اختيار نظام إحداثيات، يمكن تعريف الدوال المنتظمة على الفضاء الأفيني ذي البعد n بحلقة الدوال متعددة الحدود في n متغيرًا على k . لذلك، فإن مجموعة الدوال المنتظمة على A ⁿ هي حلقة، ويرمز لها بـ k [ A ⁿ ].

نقول إنّ كثيرة الحدود تتلاشى عند نقطة ما إذا ^كان تقييمها عند تلك النقطة يُعطي صفرًا. ليكن S مجموعة كثيرات الحدود في k [ Aⁿ ]. مجموعة التلاشي لـ S (أو موضع التلاشي أو مجموعة الأصفار ) هي المجموعة V ( S ) لجميع النقاط في ^Aⁿ حيث تتلاشى كل كثيرة حدود في S. رمزيًا،

${\displaystyle V(S)=\{(t_{1},\dots ,t_{n})\mid p(t_{1},\dots ,t_{n})=0{\text{ لجميع }}p\in S\}.\,}$

تُسمى المجموعة الجزئية من A ⁿ التي هي V ( S )، لبعض S ، مجموعة جبرية . يرمز V إلى التنوع (نوع محدد من المجموعات الجبرية سيتم تعريفه لاحقًا).

بفرض وجود مجموعة جزئية U من A  n ، هل يمكن استعادة مجموعة كثيرات الحدود التي تولدها؟ إذا كانت U أي مجموعة جزئية من A n ، فإن I ( U ) تُعرَّف بأنها مجموعة جميع كثيرات الحدود التي تحتوي مجموعتها الصفرية على U. يرمز I إلى المثالي : إذا كانت كثيرتا الحدود f و g تتلاشىان على U ، فإن f + g تتلاشى على U ، وإذا كانت h أي كثيرة حدود، فإن hf تتلاشى على U ، لذا فإن I ( U ) هي دائمًا مثالي في حلقة كثيرات الحدود k [ A  n ].

هناك سؤالان طبيعيان يجب طرحهما:

• إذا كانت لدينا مجموعة جزئية U من A ⁿ ، فمتى تكون U = V ( I ( U ))؟
• بالنظر إلى مجموعة S من كثيرات الحدود، متى تكون S = I ( V ( S ))؟

يُقدَّم جواب السؤال الأول من خلال تعريف طوبولوجيا زاريسكي ، وهي طوبولوجيا على A n تكون مجموعاتها المغلقة هي المجموعات الجبرية، وتعكس مباشرةً البنية الجبرية لـ k [ A n ]. عندئذٍ، U = V ( I ( U )) إذا وفقط إذا كانت U مجموعة جبرية، أو ما يُكافئها، مجموعة مغلقة وفقًا لطوبولوجيا زاريسكي. أما جواب السؤال الثاني، فيُقدَّم من خلال نظرية هيلبرت للأصفار . في إحدى صيغها، تنص هذه النظرية على أن I ( V ( S )) هو جذر المثالي المُوَلَّد بواسطة S. بعبارة أخرى، يوجد اتصال غالوا ، يُنتج عنه مُؤثران للإغلاق ؛ يُمكن تحديدهما، ويلعبان دورًا أساسيًا في النظرية؛ ويُشرح المثال بالتفصيل في قسم اتصال غالوا.

لأسباب مختلفة ، قد لا نرغب دائمًا في العمل مع المثالي الكامل المقابل لمجموعة جبرية U. تنص نظرية أساس هيلبرت على أن المثالي في k [ A ⁿ ] مولدة بشكل نهائي دائمًا.

تُسمى المجموعة الجبرية غير قابلة للاختزال إذا لم يكن بالإمكان كتابتها كاتحاد لمجموعتين جبريتين أصغر منها. أي مجموعة جبرية هي اتحاد منتهٍ لمجموعات جبرية غير قابلة للاختزال، وهذا التفكيك فريد. لذا تُسمى عناصرها بالمكونات غير القابلة للاختزال للمجموعة الجبرية. تُسمى المجموعة الجبرية غير القابلة للاختزال أيضًا بالتنوع . ويتضح أن المجموعة الجبرية تكون تنوعًا إذا وفقط إذا أمكن تعريفها على أنها مجموعة التلاشي لمثال أولي في حلقة كثيرات الحدود .

بعض المؤلفين لا يفرقون بوضوح بين المجموعات الجبرية والمتنوعات ويستخدمون التنوع غير القابل للاختزال للتمييز عند الحاجة.

كما أن الدوال المتصلة هي التطبيقات الطبيعية على الفضاءات الطوبولوجية ، والدوال الملساء هي التطبيقات الطبيعية على المشعبات التفاضلية ، توجد فئة طبيعية من الدوال على مجموعة جبرية، تُسمى الدوال المنتظمة أو الدوال متعددة الحدود . الدالة المنتظمة على مجموعة جبرية V محتواة في A  n هي تقييد دالة منتظمة على A n على V. بالنسبة لمجموعة جبرية معرفة على حقل الأعداد المركبة، تكون الدوال المنتظمة ملساء، بل وحتى تحليلية .

قد يبدو من غير الطبيعي أن نشترط أن تمتد الدالة المنتظمة دائمًا إلى الفضاء المحيط، لكن هذا يشبه إلى حد كبير الوضع في الفضاء الطوبولوجي العادي ، حيث تضمن نظرية تيتز للتمديد أن الدالة المستمرة على مجموعة فرعية مغلقة تمتد دائمًا إلى الفضاء الطوبولوجي المحيط.

كما هو الحال مع الدوال المنتظمة على الفضاء الأفيني، فإن الدوال المنتظمة على V تشكل حلقة، والتي نرمز إليها بـ k [ V ]. تسمى هذه الحلقة حلقة الإحداثيات لـ V.

بما أن الدوال المنتظمة على V تنشأ من الدوال المنتظمة على An ^، فهناك علاقة بين حلقات الإحداثيات. تحديدًا، إذا كانت دالة منتظمة على V هي تقييد دالتين f و g في k [ An ]، فإن f − g دالة متعددة الحدود معدومة على V ، وبالتالي تنتمي إلى I ( V ). ومن ثم، ^يمكن تعريف k [ V ] على أنها k [ An ^] / I ( V ).  

باستخدام الدوال المنتظمة من فضاء تآلفي إلى A₁ ^، يمكننا تعريف تطبيقات منتظمة من فضاء تآلفي إلى آخر. أولًا، سنُعرّف تطبيقًا منتظمًا من فضاء تآلفي إلى فضاء تآلفي: ليكن _V فضاءً تآلفيًا مُحتوى في Aₙ ^. نختار m دالة منتظمة على V ، ونُسميها f₁ , ..., fₘ _. نُعرّف تطبيقًا منتظمًا f من V إلى Aₘ بجعل f = ( f₁ _, ..., fₘ ₎ . بعبارة أخرى، تُحدد ^كل _fᵢ إحداثية واحدة من مدى f .

إذا كانت V ′ مجموعة متنوعة موجودة في Am ^، فإننا نقول أن f عبارة عن خريطة منتظمة من V إلى V ′ إذا كان مدى f موجودًا في V ′.

ينطبق تعريف التطبيقات المنتظمة أيضًا على المجموعات الجبرية. تُسمى التطبيقات المنتظمة أيضًا بالتشاكلات ، لأنها تُحوّل مجموعة جميع المجموعات الجبرية الأفينية إلى فئة ، حيث تكون العناصر هي المجموعات الجبرية الأفينية، والتشاكلات هي التطبيقات المنتظمة. تُعدّ المتنوعات الأفينية فئة فرعية من فئة المجموعات الجبرية.

بفرض وجود دالة منتظمة g من V إلى V ′ ودالة منتظمة f من k [ V ′]، فإن f ∘ g ∈ k [ V ] . الدالة f → f ∘ g هي تشاكل حلقي من k [ V ′] إلى k [ V ]. وبالعكس، يُعرّف كل تشاكل حلقي من k [ V ′] إلى k [ V ] دالة منتظمة من V إلى V ′. وهذا يُعرّف تكافؤًا بين فئة المجموعات الجبرية والفئة المقابلة لها، وهي فئة الجبر المختزل k- المولد نهائيًا . يُعد هذا التكافؤ أحد الركائز الأساسية لنظرية المخططات .

على عكس الأقسام السابقة، يقتصر هذا القسم على دراسة المتنوعات دون المجموعات الجبرية. من جهة أخرى، تمتد التعريفات بشكل طبيعي لتشمل المتنوعات الإسقاطية (القسم التالي)، إذ أن المتنوع الأفيني وإكماله الإسقاطي يشتركان في نفس حقل الدوال.

إذا كانت V منوعًا تآلفيًا، فإن حلقة إحداثياتها هي مجال تكاملي ، وبالتالي لها حقل كسور يُرمز له بـ k ( V ) ويُسمى حقل الدوال الكسرية على V ، أو باختصار، حقل الدوال لـ V. عناصره هي قيود الدوال الكسرية على V فوق الفضاء التآلفي الذي يحتوي V. مجال الدالة الكسرية f ليس V، بل هو مكمل المنوع الفرعي (سطح فائق) حيث مقام f يساوي صفرًا.

كما هو الحال مع الخرائط المنتظمة، يمكن تعريف خريطة كسرية من مجموعة متنوعة V إلى مجموعة متنوعة V ' . وكما هو الحال مع الخرائط المنتظمة، يمكن تعريف الخرائط الكسرية من V إلى V ' على أنها تشاكلات الحقول من k ( V ' ) إلى k ( V ).

تكون المتنوعتان الأفينيتان متكافئتين ثنائياً إذا وُجدت دالتان كسريتان بينهما، إحداهما معكوسة للأخرى في المناطق التي تُعرَّف فيها كلتاهما. وبصورة مكافئة، تكونان متكافئتين ثنائياً إذا كانت حقول دالاتهما متماثلة.

تُعتبر المتنوعة الأفينية متنوعةً كسريةً إذا كانت مكافئةً كسريًا ثنائيًا لفضاء أفيني. وهذا يعني أن المتنوعة تقبل تمثيلًا كسريًا ، أي تمثيلًا باستخدام دوال كسرية . على سبيل المثال، دائرة المعادلة${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$هو منحنى كسري، لأنه يمتلك معادلة وسيطية

${\displaystyle x={\frac {2\,t}{1+t^{2}}}}$

${\displaystyle y={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\,,}$

والتي يمكن اعتبارها أيضاً خريطة منطقية من الخط إلى الدائرة.

تتمثل مشكلة حل التفردات في معرفة ما إذا كان كل صنف جبري مكافئًا ثنائيًا لصنف يكون إكماله الإسقاطي غير متفرد (انظر أيضًا الإكمال الأملس ). وقد حُلّت هذه المشكلة بالإيجاب في خاصية صفر بواسطة هيسوكه هيروناكا عام 1964، ولا تزال غير محلولة في خاصية محدودة.

كما تشير صيغ جذور كثيرات الحدود من الدرجة الثانية والثالثة والرابعة إلى إمكانية توسيع نطاق الأعداد الحقيقية لتشمل مجموعة الأعداد المركبة الأكثر اكتمالًا جبريًا، فإن العديد من خصائص التنوعات الجبرية تشير إلى إمكانية توسيع نطاق الفضاء الأفيني ليشمل فضاءً إسقاطيًا أكثر اكتمالًا هندسيًا. فبينما تُحسب الأعداد المركبة بإضافة العدد ⁱ ، وهو جذر لكثيرة الحدود x² + 1 ، يُحسب الفضاء الإسقاطي بإضافة نقاط مناسبة "عند اللانهاية"، وهي النقاط التي قد تتقاطع عندها الخطوط المتوازية.

لفهم كيفية حدوث ذلك، لننظر إلى المتنوع V ( y - x² ) . إذا رسمناه، نحصل على ^قطع مكافئ . عندما تؤول x إلى ما لا نهاية موجبة، يؤول ميل الخط المستقيم الواصل بين نقطة الأصل والنقطة ( x , x² ⁾ أيضًا إلى ما لا نهاية موجبة. وعندما تؤول x إلى ما لا نهاية سالبة، يؤول ميل الخط نفسه إلى ما لا نهاية سالبة. 

قارن هذا بالنوع V ( y - x³ ). هذا منحنى تكعيبي . عندما تؤول x إلى ما لا نهاية موجبة، يؤول ميل الخط الواصل بين نقطة الأصل والنقطة ( x , x³ ) إلى ما لا نهاية موجبة كما كان من قبل. ولكن على عكس السابق، عندما ^{تؤول x} إلى ما لا نهاية سالبة، يؤول ميل الخط نفسه إلى ما لا نهاية موجبة أيضًا؛ وهو عكس ما ^{يحدث تمامًا في القطع المكافئ. لذا ،} فإن سلوك V ( y - x³ ) عند اللانهاية يختلف عن سلوك V ( y - x² ) عند اللانهاية.       

إنّ دراسة الإكمال الإسقاطي للمنحنيين، أي امتدادهما "عند اللانهاية" في المستوى الإسقاطي ، تُمكّننا من تحديد هذا الاختلاف كميًا: فالنقطة عند اللانهاية في القطع المكافئ هي نقطة منتظمة ، ومماسها هو الخط عند اللانهاية ، بينما النقطة عند اللانهاية في المنحنى التكعيبي هي نقطة مدببة . كذلك، كلا المنحنيين كسريان، إذ يُحددان بواسطة x ، وتُشير نظرية ريمان-روخ إلى أن المنحنى التكعيبي لا بد أن يحتوي على نقطة شاذة، والتي يجب أن تكون عند اللانهاية، لأن جميع نقاطه في الفضاء الأفيني منتظمة.

لذا، فإن العديد من خصائص المتنوعات الجبرية، بما في ذلك التكافؤ الثنائي النسبي وجميع الخصائص الطوبولوجية، تعتمد على سلوكها "عند اللانهاية"، ومن ثم فمن الطبيعي دراسة هذه المتنوعات في الفضاء الإسقاطي. علاوة على ذلك، ساهم إدخال التقنيات الإسقاطية في تبسيط وتوضيح العديد من النظريات في الهندسة الجبرية: فعلى سبيل المثال، لا يمكن صياغة نظرية بيزو حول عدد نقاط التقاطع بين نوعين من المتنوعات بأدق صورها إلا في الفضاء الإسقاطي. لهذه الأسباب، يلعب الفضاء الإسقاطي دورًا أساسيًا في الهندسة الجبرية.

في الوقت الحاضر، يُعرَّف الفضاء الإسقاطي P n  ذو البعد n عادةً بأنه مجموعة الخطوط المارة بنقطة تُعتبر نقطة الأصل في الفضاء الأفيني ذي البعد n + 1 ، أو بصورة مكافئة، مجموعة الخطوط المتجهة في فضاء متجهي ذي البعد n + 1. عند اختيار نظام إحداثيات في الفضاء ذي البعد n + 1 ، فإن جميع نقاط الخط لها نفس مجموعة الإحداثيات، باستثناء الضرب بعنصر من k . وهذا يُعرّف الإحداثيات المتجانسة لنقطة في P n على أنها متتالية من n + 1 عنصرًا من الحقل الأساسي k ، مُعرَّفة باستثناء الضرب بعنصر غير صفري من k (وينطبق الأمر نفسه على المتتالية بأكملها).

تتلاشى متعددة الحدود في n + 1 متغيرًا عند جميع نقاط الخط المار بنقطة الأصل إذا وفقط إذا كانت متجانسة . في هذه الحالة، يُقال إن متعددة الحدود تتلاشى عند النقطة المقابلة لها في P ^_n . يسمح لنا هذا بتعريف مجموعة جبرية إسقاطية في P ^_n على أنها المجموعة V ( f _₁ , ..., f_{_k} ) ، حيث تتلاشى مجموعة منتهية من متعددات الحدود المتجانسة { f _₁ , ..., f_{_k} } . كما هو الحال بالنسبة للمجموعات الجبرية الأفينية، يوجد تقابل بين المجموعات الجبرية الإسقاطية والمثاليّات المتجانسة المختزلة التي تُعرّفها. تُعرف المتنوعات الإسقاطية بأنها المجموعات الجبرية الإسقاطية التي يكون مثاليّها المُعرّف أوليًا. بمعنى آخر، التنوع الإسقاطي هو مجموعة جبرية إسقاطية، تكون حلقة إحداثياتها المتجانسة مجالًا تكامليًا ، وتُعرَّف حلقة الإحداثيات الإسقاطية بأنها خارج قسمة الحلقة المتدرجة أو كثيرات الحدود في n + 1 متغيرًا على المثالي المتجانس (المختزل) الذي يُعرِّف التنوع. يمكن تحليل كل مجموعة جبرية إسقاطية بشكل فريد إلى اتحاد منتهٍ من التنوعات الإسقاطية.

الدوال المنتظمة الوحيدة التي يمكن تعريفها بشكل صحيح على منوع إسقاطي هي الدوال الثابتة. لذا، لا يُستخدم هذا المفهوم في الحالات الإسقاطية. من جهة أخرى، يُعد حقل الدوال الكسرية أو حقل الدوال مفهومًا مفيدًا، والذي يُعرَّف، على غرار الحالة الأفينية، بأنه مجموعة نواتج قسمة عنصرين متجانسين من الدرجة نفسها في حلقة الإحداثيات المتجانسة.

أساس جروبنر هو نظام مولدات لمثال متعدد الحدود يسمح حسابه باستنتاج العديد من خصائص التنوع الجبري الأفيني المحدد بواسطة المثال.

بفرض وجود مثالي I يحدد مجموعة جبرية V :

• V فارغة (على امتداد مغلق جبريًا لحقل الأساس) إذا وفقط إذا تم اختزال أساس Gröbner لأي ترتيب أحادي الحد إلى {1}.
• باستخدام سلسلة هيلبرت ، يمكن للمرء حساب البعد ودرجة V من أي أساس جروبنر لـ I لترتيب أحادي الحد يعمل على تحسين الدرجة الكلية .
• إذا كان بُعد V هو 0، فيمكن للمرء حساب نقاط V (المحدودة العدد) من أي أساس Gröbner لـ I (انظر أنظمة المعادلات متعددة الحدود ).
• تسمح حسابات أساس جروبنر بإزالة جميع المكونات غير القابلة للاختزال الموجودة في سطح فائق معين من V.
• تسمح عملية حساب أساس جروبنر بحساب إغلاق زاريسكي لصورة V عن طريق الإسقاط على الإحداثيات k الأولى، والمجموعة الفرعية من الصورة حيث لا يكون الإسقاط مناسبًا .
• وبشكل أكثر عمومية، تسمح حسابات أساس جروبنر بحساب إغلاق زاريسكي للصورة والنقاط الحرجة لدالة كسرية لـ V في مجموعة متنوعة أخرى من الأشكال الأفينية.

لا تسمح حسابات أساس غروبنر بحساب التفكيك الأولي لـ I ولا المثاليّات الأولية التي تُعرّف المكونات غير القابلة للاختزال لـ V بشكل مباشر ، ولكن معظم الخوارزميات المستخدمة لهذا الغرض تعتمد على حسابات أساس غروبنر. أما الخوارزميات التي لا تعتمد على أساس غروبنر فتستخدم سلاسل منتظمة، ولكنها قد تحتاج إلى أساس غروبنر في بعض الحالات الاستثنائية.

تُعتبر قواعد غروبنر صعبة الحساب. في الواقع، قد تحتوي، في أسوأ الحالات، على كثيرات حدود درجتها أسية مضاعفة بالنسبة لعدد المتغيرات، وعدد من كثيرات الحدود أسية مضاعفة أيضًا. مع ذلك، هذه مجرد أسوأ حالة تعقيد، وقد ينطبق حد تعقيد خوارزمية لازارد لعام 1979 في كثير من الأحيان. تُحقق خوارزمية فوغير F5 هذا التعقيد، إذ يُمكن اعتبارها تحسينًا لخوارزمية لازارد لعام 1979. وبناءً على ذلك، تسمح أفضل التطبيقات بالحساب بشكل روتيني تقريبًا باستخدام مجموعات جبرية من الدرجة التي تزيد عن 100. هذا يعني أن صعوبة حساب قاعدة غروبنر حاليًا ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالصعوبة الجوهرية للمسألة.

CAD هي خوارزمية تم تقديمها في عام 1973 بواسطة جي. كولينز لتنفيذ نظرية تارسكي-سيدنبرغ حول حذف الكميات على الأعداد الحقيقية بتعقيد مقبول.

تتعلق هذه النظرية بصيغ منطق الرتبة الأولى التي تكون صيغها الذرية عبارة عن معادلات أو متباينات متعددة الحدود بين كثيرات حدود ذات معاملات حقيقية. وبالتالي، فإن هذه الصيغ هي التي يمكن بناؤها من الصيغ الذرية باستخدام عوامل الربط المنطقية: و (∧)، أو (∨)، أو نفي (¬)، لكل (∀)، ويوجد (∃). وتؤكد نظرية تارسكي أنه من الممكن، انطلاقًا من هذه الصيغة، حساب صيغة مكافئة دون استخدام المُكمِّمات (∀، ∃).

تتضاعف تعقيدات التصميم بمساعدة الحاسوب (CAD) بشكل أُسّي مضاعف بالنسبة لعدد المتغيرات. وهذا يعني أن التصميم بمساعدة الحاسوب (CAD) يسمح، نظرياً، بحل أي مسألة في الهندسة الجبرية الحقيقية يمكن التعبير عنها بصيغة كهذه - وهذا يشمل تقريباً كل مسألة تتعلق بالأصناف المعطاة صراحةً والمجموعات شبه الجبرية.

بينما لا تتجاوز تعقيدات حساب أساس غروبنر ضعف التعقيد الأسي إلا في حالات نادرة، فإنّ حسابات التصميم بمساعدة الحاسوب (CAD) تتسم بهذا التعقيد العالي في معظم الأحيان. وهذا يعني أنه ما لم تكن معظم كثيرات الحدود الظاهرة في المدخلات خطية، فقد لا تتمكن من حل المسائل التي تحتوي على أكثر من أربعة متغيرات.

منذ عام 1973، تم تخصيص معظم الأبحاث حول هذا الموضوع إما لتحسين التصميم بمساعدة الحاسوب أو لإيجاد خوارزميات بديلة في حالات خاصة ذات أهمية عامة.

كمثال على أحدث التقنيات، توجد خوارزميات فعّالة لإيجاد نقطة واحدة على الأقل في كل مكون متصل من مجموعة شبه جبرية، وبالتالي لاختبار ما إذا كانت المجموعة شبه الجبرية فارغة. من ناحية أخرى، لا تزال خوارزمية CAD، عمليًا، أفضل خوارزمية لحساب عدد المكونات المتصلة.

تتميز الخوارزميات العامة الأساسية للهندسة الحسابية بتعقيد أسي مضاعف في أسوأ الحالات . وبشكل أدق، إذا كانت d هي الدرجة القصوى لكثيرات الحدود المدخلة و ⁿ هو عدد المتغيرات ^، فإن تعقيدها يكون على الأكثر d²cn ^لثابت ما c ، وبالنسبة لبعض المدخلات، يكون التعقيد على الأقل ^{d²c′n لثابت} آخر c ^′ .

خلال العشرين عامًا الأخيرة من القرن العشرين، تم تقديم العديد من الخوارزميات لحل مسائل فرعية محددة بكفاءة أعلى. معظم هذه الخوارزميات لها تعقيد${\displaystyle d^{O(n^{2})}}$[ ^{1 ]​}

من بين الخوارزميات التي تحل مشكلة فرعية من المشكلات التي تحلها قواعد غروبنر، يمكن ذكر اختبار ما إذا كان التنوع الأفيني فارغًا وحل أنظمة كثيرات الحدود غير المتجانسة التي لها عدد محدود من الحلول. نادرًا ما تُطبَّق هذه الخوارزميات لأنه، في معظم المدخلات، تتمتع خوارزميات F4 وF5 لفوغير بكفاءة عملية أفضل، وربما بتعقيد مماثل أو أفضل ( ربما لأن تقييم تعقيد خوارزميات قواعد غروبنر على فئة معينة من المدخلات مهمة صعبة لم تُجرَ إلا في حالات خاصة قليلة).

ترتبط الخوارزميات الرئيسية للهندسة الجبرية الحقيقية، التي تحل مشكلةً ما باستخدام التصميم بمساعدة الحاسوب (CAD)، بطوبولوجيا المجموعات شبه الجبرية. ومن الأمثلة على ذلك: حساب عدد المكونات المتصلة ، واختبار ما إذا كانت نقطتان تنتميان إلى نفس المكونات ، وحساب تصنيف ويتني لمجموعة جبرية حقيقية . وتبلغ تعقيداتها 100000.${\displaystyle d^{O(n^{2})}}$لكن الثابت المستخدم في ترميز O مرتفع للغاية، ما يجعل استخدامها لحل أي مشكلة معقدة تُحل بكفاءة باستخدام التصميم بمساعدة الحاسوب (CAD) أمرًا مستحيلاً حتى مع توفر جميع القدرات الحاسوبية المتاحة في العالم. لذلك، لم تُطبَّق هذه الخوارزميات قط، ويُعدّ البحث عن خوارزميات تجمع بين التعقيد التقاربي الجيد والكفاءة العملية الجيدة مجالًا بحثيًا نشطًا.

تعود بعض جذور الهندسة الجبرية إلى أعمال الإغريق الهلنستيين في القرن الخامس قبل الميلاد. فعلى سبيل المثال، كانت مسألة ديلوس تتمثل في إنشاء طول ضلعه x بحيث يكون حجم مكعب طول ضلعه x مساويًا لحجم مستطيل طول ضلعه a²b ، وذلك بمعرفة طولي الضلعين a وb. ^وقد تناول مينايخموس ( حوالي 350 قبل الميلاد ) هذه المسألة هندسيًا من خلال تقاطع زوج من القطوع المخروطية المستوية ay = x² و xy = ab . ^{[ 2 ]} وفي القرن الثالث قبل الميلاد، درس أرخميدس وأبولونيوس بشكل منهجي مسائل إضافية تتعلق بالقطوع المخروطية باستخدام الإحداثيات. ^{[ 2 ] [ 3 ]} وقد طور أبولونيوس في كتابه "القطوع المخروطية ^" طريقةً شديدة الشبه بالهندسة التحليلية، لدرجة أن عمله يُعتقد أحيانًا أنه سبق عمل ديكارت بنحو 1800 عام. ^{[ 4 ]} إن تطبيقه لخطوط المرجعية والقطر والمماس لا يختلف جوهريًا عن استخدامنا الحديث لنظام الإحداثيات، حيث تمثل المسافات المقاسة على طول القطر من نقطة التماس الإحداثيات السينية، بينما تمثل القطع المستقيمة الموازية للمماس والمقطوعة بين المحور والمنحنى الإحداثيات الصادية. وقد طور أيضًا علاقات بين الإحداثيات السينية والإحداثيات المقابلة باستخدام أساليب هندسية كاستخدام القطع المكافئ والمنحنيات. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} قام علماء الرياضيات في العصور الوسطى، بمن فيهم عمر الخيام وليوناردو البيزي وجيرسونيدس ونيكول أورسم ، [ ^{8 ] بحل} بعض المعادلات التكعيبية والتربيعية بوسائل جبرية بحتة، ثم فسروا النتائج هندسيًا. وقد اعتقد عالم الرياضيات الفارسي عمر الخيام (المولود عام 1048 ميلاديًا) بوجود علاقة بين الحساب والجبر والهندسة . ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}    وقد انتقد جيفري أوكس هذا الأمر، حيث يدعي أن دراسة المنحنيات عن طريق المعادلات تعود إلى ديكارت في القرن السابع عشر. ^{[ 12 ]}

تبنى عدد من علماء الرياضيات في عصر النهضة ، مثل جيرولامو كاردانو ونيكولو فونتانا "تارتاليا"، تقنيات مماثلة لتطبيق الإنشاءات الهندسية على المسائل الجبرية في دراساتهم للمعادلة التكعيبية. وقد فضّل معظم علماء الرياضيات في القرنين السادس عشر والسابع عشر، ولا سيما بليز باسكال الذي عارض استخدام الأساليب الجبرية والتحليلية في الهندسة، المنهج الهندسي في مسائل الإنشاء، بدلاً من المنهج الجبري. ^{[ 13 ]} أحدث علماء الرياضيات الفرنسيون ، فرانسيسكوس فييتا، ولاحقًا رينيه ديكارت وبيير دي فيرما، ثورة في الطريقة التقليدية للتفكير في مسائل الإنشاء من خلال إدخال الهندسة الإحداثية . وقد انصبّ اهتمامهم بالدرجة الأولى على خصائص المنحنيات الجبرية ، مثل تلك المُعرَّفة بالمعادلات الديوفانتية (في حالة فيرما)، وإعادة الصياغة الجبرية للأعمال اليونانية الكلاسيكية حول القطوع المخروطية والتكعيبية (في حالة ديكارت).

خلال الفترة نفسها، تناول بليز باسكال وجيرار ديزارغ الهندسة من منظور مختلف، مطورين المفاهيم التركيبية للهندسة الإسقاطية . كما درس باسكال وديزارغ المنحنيات، ولكن من وجهة نظر هندسية بحتة: ما يُشابه استخدام المسطرة والفرجار في الهندسة الإغريقية . في نهاية المطاف، انتصرت الهندسة التحليلية لديكارت وفيرما، إذ زودت علماء الرياضيات في القرن الثامن عشر بأدوات كمية ملموسة ضرورية لدراسة المسائل الفيزيائية باستخدام حساب التفاضل والتكامل الجديد لنيوتن وليبنيز . مع ذلك، وبحلول نهاية القرن الثامن عشر، طغى حساب التفاضل والتكامل للمتناهيات في الصغر للاغرانج وأويلر على معظم الطابع الجبري للهندسة الإحداثية .

تطلّب الأمر تطورات متزامنة في القرن التاسع عشر في الهندسة غير الإقليدية والتكاملات الأبيلية لإعادة دمج الأفكار الجبرية القديمة في المجال الهندسي. وقد استغلّ إدموند لاغير وآرثر كايلي أولى هذه التطورات ، حيث حاولا تحديد الخصائص المترية العامة للفضاء الإسقاطي. قدّم كايلي فكرة الأشكال متعددة الحدود المتجانسة ، وتحديدًا الأشكال التربيعية ، على الفضاء الإسقاطي. لاحقًا، درس فيليكس كلاين الهندسة الإسقاطية (إلى جانب أنواع أخرى من الهندسة) من منظور أن الهندسة على فضاء ما مُشفّرة في فئة معينة من التحويلات على هذا الفضاء. وبحلول نهاية القرن التاسع عشر، كان علماء الهندسة الإسقاطية يدرسون أنواعًا أكثر عمومية من التحويلات على الأشكال في الفضاء الإسقاطي. فبدلًا من التحويلات الخطية الإسقاطية التي كانت تُعتبر عادةً أساس الهندسة الكلاينية على الفضاء الإسقاطي، انصبّ اهتمامهم أيضًا على التحويلات الثنائية النسبية ذات الدرجات الأعلى . هذا المفهوم الأضعف للتطابق سيؤدي لاحقًا إلى قيام أعضاء المدرسة الإيطالية للهندسة الجبرية في القرن العشرين بتصنيف الأسطح الجبرية حتى التشاكل الثنائي النسبي .

أما التطور الثاني في أوائل القرن التاسع عشر، وهو التكاملات الأبيلية، فقد أدى إلى قيام برنارد ريمان بتطوير أسطح ريمان .

في الفترة نفسها، بدأت عملية جبر الهندسة الجبرية من خلال الجبر التبادلي . ومن أبرز النتائج في هذا الاتجاه نظرية الأساس لهيلبرت ونظرية هيلبرت للأصفار ، اللتان تُشكلان أساس العلاقة بين الهندسة الجبرية والجبر التبادلي، بالإضافة إلى محصلة ماكولي متعددة المتغيرات ، التي تُعد أساس نظرية الحذف . ولعلّ السبب في نسيان نظرية الحذف خلال منتصف القرن العشرين ^{هو حجم العمليات الحسابية الهائلة} التي تتطلبها المحصلات متعددة المتغيرات، إلى أن أُعيد إحياؤها من خلال نظرية التفرد والهندسة الجبرية الحاسوبية ^.

وضع كلٌّ من بي إل فان دير فاردن ، وأوسكار زاريسكي ، وأندريه ويل، أسسًا للهندسة الجبرية استنادًا إلى الجبر التبادلي المعاصر ، بما في ذلك نظرية التقييم ونظرية المُثُل . وكان من بين أهدافهم توفير إطار عمل دقيق لإثبات نتائج المدرسة الإيطالية في الهندسة الجبرية . وعلى وجه الخصوص، استخدمت هذه المدرسة بشكل منهجي مفهوم النقطة العامة دون أي تعريف دقيق، وهو المفهوم الذي طرحه هؤلاء المؤلفون لأول مرة خلال ثلاثينيات القرن العشرين.

في خمسينيات وستينيات القرن العشرين، أعاد جان بيير سير وألكسندر غروتينديك صياغة الأسس باستخدام نظرية الحزم . لاحقًا، بدءًا من عام 1960 تقريبًا، وبقيادة غروتينديك بشكل كبير، تم تطوير فكرة المخططات ، بالتزامن مع مجموعة متطورة للغاية من التقنيات الهومولوجية . بعد عقد من التطور السريع، استقر المجال في سبعينيات القرن العشرين، وطُبقت تطبيقات جديدة، سواء في نظرية الأعداد أو في مسائل هندسية كلاسيكية تتعلق بالأصناف الجبرية، والنقاط الشاذة ، والمعاملات ، والمعاملات الشكلية .

تُعدّ المتنوعات الأبيلية فئةً مهمةً من المتنوعات، يصعب فهمها مباشرةً من معادلاتها التعريفية، وهي المتنوعات الإسقاطية التي تُشكّل نقاطها زمرةً أبيلية . ومن الأمثلة النموذجية عليها المنحنيات الإهليلجية ، التي تتمتع بنظريةٍ غنية. وقد كان لها دورٌ أساسيٌ في إثبات نظرية فيرما الأخيرة ، كما تُستخدم في تشفير المنحنيات الإهليلجية .

بالتوازي مع التوجه التجريدي للهندسة الجبرية، الذي يهتم بالتعميمات حول المتنوعات، طُوِّرت أيضًا طرقٌ للحساب الفعال باستخدام المتنوعات المعطاة بشكل ملموس، مما أدى إلى ظهور مجال جديد هو الهندسة الجبرية الحاسوبية. ومن بين الطرق المؤسسة لهذا المجال نظرية قواعد غروبنر ، التي قدمها برونو بوخبيرغر عام 1965. وهناك طريقة مؤسسة أخرى، مخصصة بشكل خاص للهندسة الجبرية الحقيقية، وهي التفكيك الجبري الأسطواني ، الذي قدمه جورج إي. كولينز عام 1973.

انظر أيضاً: الهندسة الجبرية المشتقة .

• كلاين، م. (1972). الفكر الرياضي من العصور القديمة إلى الحديثة . المجلد  1. مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 0195061357.