المجال التكاملي

📅 آخر تحديث: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 75 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، المجال التكاملي هو حلقة تبديلية غير صفرية يكون فيها حاصل ضرب أي عنصرين غير صفريين غير صفري . [ 1 ] [ 2 ] في المجال التكاملي، يتمتع كل عنصر غير صفري a بخاصية الحذف ، أي إذا كان a ≠ 0 ، فإن ab = ac يستلزم b = c . تُعد المجالات التكاملية تعميمًا لحلقة الأعداد الصحيحة ، وتوفر إطارًا مفيدًا لدراسة قابلية القسمة .

يُعرَّف "المجال التكاملي" بشكل شبه عالمي كما ذُكر أعلاه، مع وجود بعض الاختلافات. تتبع هذه المقالة الاصطلاح القائل بأن الحلقات لها عنصر محايد ضربي ، يُرمز له عادةً بالرقم 1، لكن بعض المؤلفين لا يتبعون هذا الاصطلاح، إذ لا يشترطون وجود عنصر محايد ضربي في المجالات التكاملية. [ 3 ] [ 4 ] ويُسمح أحيانًا بالمجالات التكاملية غير التبادلية. [ 5 ] مع ذلك، تتبع هذه المقالة الاصطلاح الأكثر شيوعًا، وهو حصر مصطلح "المجال التكاملي" في الحالة التبادلية، واستخدام مصطلح " المجال " للحالة العامة التي تشمل الحلقات غير التبادلية.

تستخدم بعض المصادر، ولا سيما لانغ ، مصطلح الحلقة الكاملة للدلالة على المجال التكاملي. [ 6 ]

تُعطى بعض الأنواع المحددة من المجالات التكاملية مع سلسلة تضمين الفئات التالية :

الحلقات ⊃ الحلقات ⊃ الحلقات التبادلية ⊃ المجالات التكاملية ⊃ المجالات المغلقة تكامليًا ⊃ مجالات القاسم المشترك الأكبر ⊃ مجالات التحليل الفريد ⊃ مجالات المثالي الرئيسي ⊃ المجالات الإقليدية ⊃ الحقول ⊃ الحقول المغلقة جبريًا

تعريف

المجال التكاملي هو حلقة تبديلية غير صفرية يكون فيها حاصل ضرب أي عنصرين غير صفريين غير صفري. أو بصورة مكافئة:

  • المجال التكاملي هو حلقة تبديلية غير صفرية لا تحتوي على قواسم صفرية غير صفرية .
  • المجال التكاملي هو حلقة تبديلية يكون فيها المثالي الصفري {0} مثاليًا أوليًا .
  • المجال التكاملي هو حلقة تبديلية غير صفرية يمكن حذف كل عنصر غير صفري فيها تحت عملية الضرب.
  • المجال التكاملي هو حلقة تكون فيها مجموعة العناصر غير الصفرية عبارة عن أحادي تبديلي تحت الضرب (لأن الأحادي يجب أن يكون مغلقًا تحت الضرب).
  • المجال التكاملي هو حلقة تبديلية غير صفرية، حيث تكون الدالة التي تربط كل عنصر x من الحلقة بالناتج xr دالة أحادية لكل عنصر غير صفري r . تُسمى العناصر r التي تتمتع بهذه الخاصية منتظمة ، لذا فإن اشتراط أن يكون كل عنصر غير صفري في الحلقة منتظمًا يكافئ ذلك.
  • المجال التكاملي هو حلقة متماثلة مع حلقة فرعية من حقل . (إذا أُعطي مجال تكاملي، فيمكن تضمينه في حقل الكسور الخاص به .)

أمثلة

  • المثال النموذجي هو الخاتمZ{\displaystyle \mathbb {Z} }من بين جميع الأعداد الصحيحة .
  • كل حقل هو مجال تكاملي. على سبيل المثال، الحقلR{\displaystyle \mathbb {R} }جميع الأعداد الحقيقية هي مجال تكاملي. وعلى العكس، فإن كل مجال تكاملي أرتيني هو حقل. وعلى وجه الخصوص، فإن جميع المجالات التكاملية المنتهية هي حقول منتهية (وبشكل أعم، وفقًا لنظرية ويدربورن الصغرى ، فإن المجالات المنتهية هي حقول منتهية ). حلقة الأعداد الصحيحةZ{\displaystyle \mathbb {Z} }يقدم مثالاً على مجال تكاملي لانهائي غير أرتيني ليس حقلاً، ويمتلك تسلسلات تنازلية لانهائية من المُثُل مثل:
    Z⊃2Z⊃⋯⊃2نZ⊃2ن+1Z⊃⋯{\displaystyle \mathbb {Z} \supset 2\mathbb {Z} \supset \cdots \supset 2^{n}\mathbb {Z} \supset 2^{n+1}\mathbb {Z} \supset \cdots }
  • تُعتبر حلقات كثيرات الحدود مجالات تكاملية إذا كانت المعاملات تنتمي إلى مجال تكاملي. على سبيل المثال، الحلقةZ[x]{\displaystyle \mathbb {Z} [x]}جميع كثيرات الحدود في متغير واحد ذات المعاملات الصحيحة هي مجال تكاملي؛ وكذلك الحلقةج[x1،...،xن]{\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}من جميع كثيرات الحدود في n متغيرات ذات معاملات مركبة .
  • يمكن استغلال المثال السابق بشكل أكبر عن طريق أخذ نواتج القسمة من المثاليّات الأولية. على سبيل المثال، الحلقةج[x،y]/(y2-x(x-1)(x-2)){\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(y^{2}-x(x-1)(x-2))}المجال التكاملي هو المجال المقابل لمنحنى إهليلجي مستوٍ . ويمكن التحقق من التكامل من خلال إظهارy2-x(x-1)(x-2){\displaystyle y^{2}-x(x-1)(x-2)}هي متعددة حدود غير قابلة للاختزال .
  • الخاتمZ[x]/(x2-ن)≅Z[ن]{\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n)\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]}هي مجال تكاملي لأي عدد صحيح غير مربعن{\displaystyle n}. لون>0{\displaystyle n>0}إذن، هذه الحلقة هي دائمًا حلقة فرعية منR{\displaystyle \mathbb {R} }وإلا، فهي حلقة فرعية منج.{\displaystyle \mathbb {C} .}
  • حلقة الأعداد الصحيحة p -adicZص{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}هو مجال متكامل.
  • حلقة متسلسلات القوى الرسمية لمجال تكاملي هي مجال تكاملي.
  • لويو{\displaystyle U}هي مجموعة فرعية مفتوحة متصلة من المستوى المركبج{\displaystyle \mathbb {C} }ثم الخاتمح(يو){\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}تُعتبر المجموعة التي تضم جميع الدوال التحليلية مجالًا تكامليًا. وينطبق الأمر نفسه على حلقات الدوال التحليلية على المجموعات الفرعية المفتوحة المتصلة من المشعبات التحليلية .
  • الحلقة المحلية المنتظمة هي مجال تكاملي. في الواقع، الحلقة المحلية المنتظمة هي مجال تكاملي غير مكتمل . [ 7 ] [ 8 ]

أمثلة مضادة

الحلقات التالية ليست نطاقات تكاملية.

  • الحلقة الصفرية ( الحلقة التي فيها0=1{\displaystyle 0=1}), بحسب التعريف.
  • حلقة القسمةZ/مZ{\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }عندما يكون m عددًا غير أولي . ولإثبات ذلك، اختر تحليلًا مناسبًا.م=xy{\displaystyle m=xy}(بمعنى أنx{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}لا تتساوى مع1{\displaystyle 1}أوم{\displaystyle m}). ثمx≢0تعديلم{\displaystyle x\not \equiv 0{\bmod {m}}}وy≢0تعديلم{\displaystyle y\not \equiv 0{\bmod {m}}}، لكنxy≡0تعديلم{\displaystyle xy\equiv 0{\bmod {m}}}.
  • حاصل ضرب حلقتين تبديليتين غير صفريتين. في مثل هذا الناتجR×S{\displaystyle R\times S}، لدى المرء(1،0)⋅(0،1)=(0،0){\displaystyle (1,0)\cdot (0,1)=(0,0)}.
  • حلقة القسمةZ[x]/(x2-ن2){\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n^{2})}لأين∈Z{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }صورx+ن{\displaystyle x+n}وx-ن{\displaystyle x-n}هي غير صفرية، بينما حاصل ضربها يساوي صفرًا في هذه الحلقة.
  • حلقة المصفوفات من الرتبة n × n فوق أي حلقة غير صفرية عندما n ≥ 2. إذام{\displaystyle M}وشمال{\displaystyle N}هي مصفوفات بحيث تكون صورةشمال{\displaystyle N}يحتوي على نواةم{\displaystyle M}، ثممشمال=0{\displaystyle MN=0}على سبيل المثال، يحدث هذا لـم=شمال=(0100){\displaystyle M=N=({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}})}.
  • حلقة القسمةك[x1،...،xن]/(وز){\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(fg)}لأي مجالك{\displaystyle k}وأي كثيرات حدود غير ثابتةو،ز∈ك[x1،...،xن]{\displaystyle f,g\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}صورتا f و g في حلقة القسمة هذه هما عنصران غير صفريين حاصل ضربهما يساوي صفرًا. تُظهر هذه الحجة، بصورة مكافئة، أن(وز){\displaystyle (fg)}ليس مثاليًا أوليًا . التفسير الهندسي لهذه النتيجة هو أن أصفار fg تُشكّل مجموعة جبرية أفينية غير قابلة للاختزال (أي ليست تنوعًا جبريًا ) بشكل عام. الحالة الوحيدة التي قد تكون فيها هذه المجموعة الجبرية غير قابلة للاختزال هي عندما تكون fg قوة لكثير حدود غير قابل للاختزال ، والذي يُعرّف المجموعة الجبرية نفسها.
  • حلقة الدوال المتصلة على الفترة [0, 1] . لنعتبر الدوال التالية:
    و(x)={1-2xx∈[0،12]0x∈[12،1]ز(x)={0x∈[0،12]2x-1x∈[12،1]{\displaystyle f(x)={\begin{cases}1-2x&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\0&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}\qquad g(x)={\begin{cases}0&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\2x-1&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}
لاو{\displaystyle f}ولاز{\displaystyle g}صفر في كل مكان، لكنوز{\displaystyle fg}يكون.
  • حاصل الضرب الموتريج⊗Rج{\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }تحتوي هذه الحلقة على عنصرين متساويي القوة غير تافهين .هـ1=12(1⊗1)-12(أنا⊗أنا){\displaystyle e_{1}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)-{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)}وهـ2=12(1⊗1)+12(أنا⊗أنا){\displaystyle e_{2}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)+{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)}هما متعامدان، مما يعني أنهـ1هـ2=0{\displaystyle e_{1}e_{2}=0}وبالتاليج⊗Rج{\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }ليس مجالًا. في الواقع، هناك تماثل.ج×ج→ج⊗Rج{\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }محدد بواسطة(z،w)↦z⋅هـ1+w⋅هـ2{\displaystyle (z,w)\mapsto z\cdot e_{1}+w\cdot e_{2}}. ويُعرَّف معكوسه بواسطةz⊗w↦(zw،zw¯){\displaystyle z\otimes w\mapsto (zw,z{\overline {w}})}يوضح هذا المثال أن ناتج الألياف للمخططات الأفينية غير القابلة للاختزال ليس بالضرورة غير قابل للاختزال.

قابلية القسمة، والعناصر الأولية، والعناصر غير القابلة للاختزال

في هذا القسم، R هو مجال تكاملي.

إذا كان لدينا عنصران a و b من R ، نقول أن a يقسم b ، أو أن a هو قاسم b ، أو أن b هو مضاعف لـ a ، إذا كان هناك عنصر x في R بحيث يكون ax = b .

وحدات R هي العناصر التي تقسم 1؛ وهذه هي تحديداً العناصر القابلة للعكس في R. تقسم الوحدات جميع العناصر الأخرى.

إذا كان a يقسم b و b يقسم a ، فإن a و b عنصران مرتبطان أو مترافقان . [ 9 ] وبالمثل ، يكون a و b مترافقين إذا كان a = ub لبعض الوحدة u .

العنصر غير القابل للاختزال هو عنصر غير صفري لا يمكن كتابته كحاصل ضرب عنصرين غير صفريين.

يكون العنصر p غير الصفري وغير المحايد عنصرًا أوليًا إذا كان، كلما قسم p حاصل ضرب ab ، فإن p يقسم a أو p يقسم b . وبصورة مكافئة، يكون العنصر p أوليًا إذا وفقط إذا كان المثالي الرئيسي ( p ) مثاليًا أوليًا غير صفري .

يعمم كل من مفهومي العناصر غير القابلة للاختزال والعناصر الأولية التعريف العادي للأعداد الأولية في الحلقةZ،{\displaystyle \mathbb {Z} ,}إذا اعتبرنا الأعداد الأولية السالبة أعدادًا أولية.

كل عنصر أولي غير قابل للاختزال. والعكس ليس صحيحًا بشكل عام: على سبيل المثال، في حلقة الأعداد الصحيحة التربيعيةZ[-5]{\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}العنصر 3 غير قابل للاختزال (إذا كان قابلاً للتحليل إلى عوامل غير تافهة، فيجب أن يكون لكل عامل معيار 3، ولكن لا توجد عناصر ذات معيار 3 لأنأ2+5ب2=3{\displaystyle a^{2}+5b^{2}=3}ليس له حلول صحيحة)، ولكنه ليس عددًا أوليًا (لأن 3 يقسم(2+-5)(2--5){\displaystyle \left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)}(دون تقسيم أي من العاملين). في مجال التحليل الفريد (أو بشكل أعم، مجال القاسم المشترك الأكبر )، يكون العنصر غير القابل للاختزال عنصرًا أوليًا.

بينما لا ينطبق التحليل الفريد فيZ[-5]{\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}يوجد تحليل فريد للمثاليات . انظر نظرية لاسكر-نوثر .

ملكيات

مجال الكسور

حقل الكسور K لمجال تكاملي R هو مجموعة الكسور a / b حيث a و b ينتميان إلى R و b ≠ 0 بتردد علاقة تكافؤ مناسبة، مع عمليات الجمع والضرب المعتادة. وهو "أصغر حقل يحتوي على R " بمعنى أنه يوجد تشاكل حلقي أحادي من R إلى K بحيث يمكن تحليل أي تشاكل حلقي أحادي من R إلى حقل K. حقل الكسور لحلقة الأعداد الصحيحةZ{\displaystyle \mathbb {Z} }هو مجال الأعداد النسبيةسؤال.{\displaystyle \mathbb {Q} .}حقل كسور الحقل متماثل مع الحقل نفسه.

الهندسة الجبرية

تتميز المجالات التكاملية بكونها مختزلة (أي أن x² = 0 يستلزم x = 0 ) وغير قابلة للاختزال (أي أن لها مثاليًا أوليًا أدنى واحدًا فقط ). يضمن الشرط الأول أن الجذر الصفري للحلقة يساوي صفرًا، وبالتالي فإن تقاطع جميع الأعداد الأولية الدنيا للحلقة يساوي صفرًا. أما الشرط الثاني فهو أن الحلقة لا تحتوي إلا على عدد أولي أدنى واحد. وبناءً على ذلك، فإن المثالي الأولي الأدنى الوحيد لحلقة مختزلة وغير قابلة للاختزال هو المثالي الصفري، ولذلك تُعد هذه الحلقات مجالات تكاملية. والعكس واضح: لا يحتوي المجال التكاملي على عناصر صفرية غير صفرية، والمثالي الصفري هو المثالي الأولي الأدنى الوحيد.

وهذا يترجم، في الهندسة الجبرية ، إلى حقيقة أن حلقة الإحداثيات لمجموعة جبرية أفينية هي مجال تكاملي إذا وفقط إذا كانت المجموعة الجبرية عبارة عن تنوع جبري .

وبشكل عام، تكون الحلقة التبادلية مجالًا تكامليًا إذا وفقط إذا كان طيفها مخططًا أفينيًا تكامليًا .

الخصائص والتشاكلات

خاصية المجال التكاملي هي إما 0 أو عدد أولي .

إذا كانت R مجالًا تكامليًا ذا خاصية أولية p ، فإن التشكل الداخلي لفروبينيوس x ↦ x p يكون أحاديًا .

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ البرهان: أولًا، نفترض أن A مولدة بشكل منتهٍ كجبر k ونختارأساس kزأنا{\displaystyle g_{i}}من B. لنفترض∑وأنا⊗زأنا∑حج⊗زج=0{\textstyle \sum f_{i}\otimes g_{i}\sum h_{j}\otimes g_{j}=0}(عدد محدود فقط)وأنا،حج{\displaystyle f_{i},h_{j}}(غير صفرية). لكل مثالي أقصىم{\displaystyle {\mathfrak {m}}}بالنسبة لـ A ، ضع في اعتبارك تماثل الحلقةأ⊗كب→أ/م⊗كب=ك⊗كب≃ب{\displaystyle A\otimes _{k}B\to A/{\mathfrak {m}}\otimes _{k}B=k\otimes _{k}B\simeq B}ثم تكون الصورة∑وأنا¯زأنا∑حأنا¯زأنا=0{\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}\sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0}وبالتالي إما∑وأنا¯زأنا=0{\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}=0}أو∑حأنا¯زأنا=0{\textstyle \sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0}وبالاستقلال الخطي،وأنا¯=0{\displaystyle {\overline {f_{i}}}=0}للجميعأنا{\displaystyle i}أوحأنا¯=0{\displaystyle {\overline {h_{i}}}=0}للجميعأنا{\displaystyle i}. منذم{\displaystyle {\mathfrak {m}}}إذا كان الأمر اعتباطيًا، فلدينا(∑وأناأ)(∑حأناأ)⊂جاك⁡(أ)={\textstyle (\sum f_{i}A)(\sum h_{i}A)\subset \operatorname {Jac} (A)=}تقاطع جميع المُثُل العليا=(0){\displaystyle =(0)}حيث تكون المساواة الأخيرة بواسطة نظرية نولستيلينساتز. بما أن(0){\displaystyle (0)}إذا كان مثالاً أولياً، فهذا يعني إما∑وأناأ{\textstyle \sum f_{i}A}أو∑حأناأ{\textstyle \sum h_{i}A}هو المثال الصفري؛ أي إماوأنا{\displaystyle f_{i}}جميعها أصفار أوحأنا{\displaystyle h_{i}}جميعها أصفار. وأخيرًا، A هي حد استقرائي لجبر k المولد نهائيًا والذي يمثل مجالات تكاملية، وبالتالي، باستخدام الخاصية السابقة،أ⊗كب=ليم→⁡أأنا⊗كب{\displaystyle A\otimes _{k}B=\varinjlim A_{i}\otimes _{k}B}هو مجال متكامل.◻{\displaystyle \square }

الاقتباسات

  1. ↑ بورباكي 1998 ، ص 116
  2. ↑Dummit & Foote 2004, p. 228
  3. ↑van der Waerden 1966, p. 36
  4. ↑Herstein 1964, pp. 88–90
  5. ↑McConnell & Robson
  6. ↑Lang 1993, pp. 91–92
  7. ↑Auslander & Buchsbaum 1959
  8. ↑Nagata 1958
  9. ↑Durbin 1993, p. 224, "Elements a and b of [an integral domain] are called associates if a | b and b | a."

References