قانون بنفورد

قانون بنفورد ، المعروف أيضًا بقانون نيوكومب-بنفورد ، أو قانون الأعداد الشاذة ، أو قانون الرقم الأول ، هو ملاحظة مفادها أنه في العديد من مجموعات البيانات العددية الواقعية ، يكون الرقم الأول صغيرًا على الأرجح. ^{[ 1 ]} في المجموعات التي تخضع لهذا القانون، يظهر الرقم 1 كرقم أول ذي دلالة إحصائية حوالي 30% من الحالات، بينما يظهر الرقم 9 كرقم أول ذي دلالة إحصائية أقل من 5% من الحالات. أما الأرقام الموزعة توزيعًا منتظمًا، فيظهر كل منها حوالي 11.1% من الحالات. ^{[ 2 ]} كما يقدم قانون بنفورد تنبؤات حول توزيع الأرقام الثانية والثالثة، وتراكيب الأرقام، وما إلى ذلك.

يمكن استنتاج قانون بنفورد بافتراض أن قيم مجموعة البيانات موزعة توزيعًا منتظمًا على مقياس لوغاريتمي. يوضح الرسم البياني على اليمين قانون بنفورد للأساس 10. على الرغم من أن الأساس العشري هو الأكثر شيوعًا، إلا أن النتيجة قابلة للتعميم على أي أساس صحيح أكبر من 2. تضمنت تعميمات أخرى نُشرت عام 1995 ^{[ 3 ]} عبارات مماثلة لكل من الرقم الأول النوني والتوزيع المشترك للأرقام الأولى النونية ، مما يؤدي إلى نتيجة فرعية تُظهر أن الأرقام المعنوية كمية تابعة إحصائيًا .

لقد ثبت أن هذه النتيجة تنطبق على مجموعة واسعة من البيانات، بما في ذلك فواتير الكهرباء، وعناوين الشوارع، وأسعار الأسهم، وأسعار المنازل، وعدد السكان، ومعدلات الوفيات، وأطوال الأنهار، والثوابت الفيزيائية والرياضية . [ ⁴^]^ومثل المبادئ العامة الأخرى المتعلقة بالبيانات الطبيعية - على سبيل المثال، حقيقة أن العديد من مجموعات البيانات يمكن تقريبها جيدًا بالتوزيع الطبيعي - توجد أمثلة توضيحية وتفسيرات تغطي العديد من الحالات التي ينطبق عليها قانون بنفورد، على الرغم من وجود العديد من الحالات الأخرى التي ينطبق عليها قانون بنفورد والتي يصعب تفسيرها ببساطة. ^[⁵^]^[⁶^] يميل قانون بنفورد إلى أن يكون أكثر دقة عندما تتوزع القيم عبر مراتب متعددة من حيث الحجم ، خاصة إذا كانت العملية التي تولد الأرقام موصوفة بقانون القوة (وهو أمر شائع في الطبيعة).

سُمي القانون على اسم الفيزيائي فرانك بنفورد ، الذي ذكره في عام 1938 في مقال بعنوان "قانون الأعداد الشاذة"، ^{[ 7 ]} على الرغم من أنه سبق أن ذكره سيمون نيومكومب في عام 1881. ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

يتشابه القانون في المفهوم، وإن لم يكن متطابقاً في التوزيع، مع قانون زيبف .

تعريف

يقال إن مجموعة من الأرقام تحقق قانون بنفورد إذا ظهر الرقم الأول $d$ ( $d$ $\in$ ${1,$ $...,$ $9} )$ باحتمالية ^[¹⁰^].

P(d)=\log _{10}(d+1)-\log _{10}(d)=\log _{10}\left({\frac {d+1}{d}}\right)=\log _{10}\left(1+{\frac {1}{d}}\right).

وبالتالي، فإن الأرقام الأولى في هذه المجموعة لها التوزيع التالي:

$د$	⁠ $P(d)$ ⁠	الحجم النسبي لـ $P(d)$ ⁠
1	30.1%
2	17.6%
3	12.5%
4	9.7%
5	7.9%
6	6.7%
7	5.8%
8	5.1%
9	4.6%

الكمية $P(d)$ يتناسب هذا مع المسافة بين $d$ و $d + 1$ على مقياس لوغاريتمي . لذلك، هذا هو التوزيع المتوقع إذا كانت لوغاريتمات الأعداد (وليس الأعداد نفسها) موزعة بشكل منتظم وعشوائي .

على سبيل المثال، العدد $x$ ، المحصور بين 1 و10، يبدأ بالرقم 1 إذا كان $1 \leq x < 2$ ، ويبدأ بالرقم 9 إذا كان $9 \leq x < 10.$ بالتالي، يبدأ $x$ بالرقم 1 إذا كان $log 1 \leq log x < log 2$ ، أو يبدأ بالرقم 9 إذا كان $log 9 \leq log x < log 10.$ الفترة $[log 1, log 2]$ أوسع بكثير من الفترة $[log 9, log 10]$ (0.30 و0.05 على التوالي)؛ لذلك، إذا كان log $x$ موزعًا توزيعًا منتظمًا وعشوائيًا، فمن المرجح أن يقع في الفترة الأوسع أكثر من الفترة الأضيق، أي أنه من المرجح أن يبدأ بالرقم 1 أكثر من 9؛ وتتناسب الاحتمالات مع عرض الفترتين، مما يعطي المعادلة المذكورة أعلاه (بالإضافة إلى التعميم على أنظمة حسابية أخرى غير النظام العشري).

يُصاغ قانون بنفورد أحيانًا بصيغة أقوى، مؤكدًا أن الجزء الكسري من لوغاريتم البيانات عادةً ما يكون موزعًا بشكل منتظم تقريبًا بين 0 و1؛ ومن هذا، يمكن استنتاج الادعاء الرئيسي حول توزيع الأرقام الأولى. ^{[ 5 ]}

في قواعد أخرى

يتنبأ امتداد قانون بنفورد بتوزيع الأرقام الأولى في أنظمة حسابية أخرى غير النظام العشري ؛ في الواقع، أي نظام حسابي $b \geq 2.$ الصيغة العامة هي ^{[ 11 ]}

P(d)=\log _{b}(d+1)-\log _{b}(d)=\log _{b}\left(1+{\frac {1}{d}}\right).

بالنسبة لأنظمة الأعداد الثنائية والأحادية التي يكون فيها $b = 2 و 1$ ، فإن قانون بنفورد صحيح ولكنه بديهي: جميع الأعداد الثنائية والأحادية (باستثناء 0 أو المجموعة الفارغة) تبدأ بالرقم 1. (من ناحية أخرى، فإن تعميم قانون بنفورد على الرقم الثاني وما بعده ليس بديهيًا، حتى بالنسبة للأعداد الثنائية. ^[¹²^] )

أمثلة

يُظهر فحص قائمة ارتفاعات أطول 58 مبنى في العالم حسب الفئة أن الرقم 1 هو الرقم الأكثر شيوعًا في البداية، بغض النظر عن وحدة القياس (انظر "ثبات المقياس" أدناه):

الرقم الرئيسي	م		قدم		وفقًا لقانون بنفورد
الرقم الرئيسي	عدد	يشارك	عدد	يشارك	وفقًا لقانون بنفورد
1	23	39.7 %	15	25.9%	30.1%
2	12	20.7 %	8	13.8%	17.6%
3	6	10.3%	5	8.6%	12.5%
4	5	8.6%	7	12.1%	9.7%
5	2	3.4 %	9	15.5%	7.9%
6	5	8.6%	4	6.9%	6.7%
7	1	1.7%	3	5.2%	5.8%
8	4	6.9%	6	10.3%	5.1%
9	0	0%	1	1.7%	4.6%

مثال آخر هو الرقم الأول من العدد $2^n$ . يُظهر تسلسل الأرقام الستة والتسعين الأولى (1، 2، 4، 8، 1، 3، 6، 1، 2، 5، 1، 2، 4، 8، 1، 3، 6، 1، ... (التسلسل A008952 في OEIS ) ) التزامًا أكبر بقانون بنفورد مما هو متوقع للتسلسلات العشوائية ذات الطول نفسه، لأنه مشتق من تسلسل هندسي. ^{[ 13 ]}

الرقم الرئيسي	حدوث		وفقًا لقانون بنفورد
الرقم الرئيسي	عدد	يشارك	وفقًا لقانون بنفورد
1	29	30.2%	30.1%
2	17	17.7%	17.6%
3	12	12.5%	12.5%
4	10	10.4%	9.7%
5	7	7.3%	7.9%
6	6	6.3%	6.7%
7	5	5.2%	5.8%
8	5	5.2%	5.1%
9	5	5.2%	4.6%

تاريخ

يعود اكتشاف قانون بنفورد إلى عام 1881، عندما لاحظ عالم الفلك الكندي الأمريكي سيمون نيومكومب أن الصفحات الأولى من جداول اللوغاريتمات (التي تبدأ بالرقم 1) كانت أكثر تآكلاً من الصفحات الأخرى. ^{[ 8 ]} وتُعد نتيجة نيومكومب المنشورة أول حالة معروفة لهذه الملاحظة، وتشمل توزيعًا للرقم الثاني أيضًا. اقترح نيومكومب قانونًا ينص على أن احتمال كون الرقم N هو الرقم الأول في عدد ما يساوي log( N + 1) − log( N ).

لوحظت هذه الظاهرة مجددًا عام 1938 على يد الفيزيائي فرانك بنفورد ، ^{[ 7 ]} الذي اختبرها على بيانات من 20 مجالًا مختلفًا، ونُسب إليه الفضل في ذلك. شملت بياناته مساحات 335 نهرًا، وأحجام 3259 مجموعة سكانية في الولايات المتحدة، و104 ثوابت فيزيائية ، و1800 وزن جزيئي ، و5000 مدخل من دليل رياضي، و308 أرقام من مجلة ريدرز دايجست ، وعناوين الشوارع لأول 342 شخصًا مُدرجين في كتاب "رجال العلم الأمريكيون" ، و418 معدل وفيات. بلغ إجمالي عدد الملاحظات المستخدمة في البحث 20229 ملاحظة. سُمّي هذا الاكتشاف لاحقًا باسم بنفورد (مما يجعله مثالًا على قانون ستيجلر ).

في عام 1995، أثبت تيد هيل النتيجة المتعلقة بالتوزيعات المختلطة المذكورة أدناه . ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}

التفسيرات

ينطبق قانون بنفورد بدقة أكبر على البيانات التي تغطي نطاقًا واسعًا من القيم . وكقاعدة عامة، كلما زاد نطاق القيم الذي تغطيه البيانات بشكل متساوٍ، زادت دقة تطبيق قانون بنفورد. على سبيل المثال، من المتوقع أن ينطبق قانون بنفورد على قائمة أرقام تمثل عدد سكان المستوطنات في المملكة المتحدة. ولكن إذا عُرّفت "المستوطنة" بأنها قرية يتراوح عدد سكانها بين 300 و999 نسمة، فلن ينطبق قانون بنفورد. ^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}

انظر إلى توزيعات الاحتمالات الموضحة أدناه، والمُقاسة بمقياس لوغاريتمي . في كل حالة، تمثل المساحة الكلية باللون الأحمر الاحتمال النسبي لأن يكون الرقم الأول 1، وتمثل المساحة الكلية باللون الأزرق الاحتمال النسبي لأن يكون الرقم الأول 8. بالنسبة للتوزيع الأول، يتناسب حجم المساحات الحمراء والزرقاء تقريبًا مع عرض كل شريط أحمر أو أزرق. لذلك، فإن الأرقام المسحوبة من هذا التوزيع ستتبع قانون بنفورد تقريبًا. من ناحية أخرى، بالنسبة للتوزيع الثاني، تختلف نسبة المساحات الحمراء والزرقاء اختلافًا كبيرًا عن نسبة عرض كل شريط أحمر أو أزرق. بل إن المساحات النسبية للأحمر والأزرق تتحدد بشكل أكبر بارتفاع الأشرطة وليس بعرضها. وبناءً على ذلك، فإن الأرقام الأولى في هذا التوزيع لا تخضع لقانون بنفورد على الإطلاق. ^{[ 17 ]}

توزيع احتمالي واسع للوغاريتم متغير، معروض على مقياس لوغاريتمي. يمكن ملاحظة قانون بنفورد في المساحة الأكبر التي يغطيها اللون الأحمر (الرقم الأول واحد) مقارنةً باللون الأزرق (الرقم الأول ثمانية).

توزيع احتمالي ضيق للوغاريتم متغير ما، معروض على مقياس لوغاريتمي. لا ينطبق قانون بنفورد، لأن التوزيع الضيق لا يستوفي معايير قانون بنفورد.

لذا، من المرجح أن تُحقق التوزيعات الواقعية التي تمتد على عدة مراتب حجمية بشكل منتظم (مثل أسعار سوق الأسهم وسكان القرى والبلدات والمدن) قانون بنفورد بدقة عالية. من ناحية أخرى، من غير المرجح أن يُحقق التوزيع الذي يقع معظمه أو كله ضمن مرتبة حجمية واحدة (مثل درجات الذكاء أو أطوال البالغين) قانون بنفورد بدقة عالية، إن حققه أصلاً. ^{[ 16 ]}^{[ 17 ]} ومع ذلك، فإن الفرق بين الأنظمة القابلة للتطبيق وغير القابلة للتطبيق ليس فاصلاً حاداً: فكلما ضاق نطاق التوزيع، زادت الانحرافات عن قانون بنفورد تدريجياً.

(لا يمثل هذا النقاش شرحًا كاملاً لقانون بنفورد، لأنه لم يوضح سبب مصادفة مجموعات البيانات بشكل متكرر والتي، عند تمثيلها بيانيًا كتوزيع احتمالي للوغاريتم المتغير، تكون منتظمة نسبيًا على مدى عدة مراتب من حيث الحجم. ^{[ 18 ]}^{[ ملاحظات 2 ]} )

أحد التفسيرات المحتملة يأتي من بنية الترميز الموضعي المستخدم لكتابة الأرقام. ^{[ 19 ]}

تفسير إنتروبيا كريجر-كافري

في عام 1970، أثبت فولفغانغ كريغر ما يُعرف الآن بنظرية مولد كريغر. ^{[ 20 ]}^{[ 21 ]} يمكن اعتبار نظرية مولد كريغر بمثابة تبرير للافتراض الوارد في نموذج كافري للكرة والصندوق، والذي ينص على أنه في قاعدة معينة $B$ مع عدد ثابت من الأرقام 0، 1، ...، ن ، ...، $B-1$ الرقم n يُعادل صندوق كافري الذي يحتوي على n كرة غير متفاعلة. وقد اقترح علماء وإحصائيون آخرون تفسيرات متعلقة بالإنتروبيا لقانون بنفورد. ^[²²^]^[²³^]^[¹⁰^]^[²⁴^]

تقلبات مضاعفة

تنشأ العديد من الأمثلة الواقعية لقانون بنفورد من التقلبات المضاعفة. ^{[ 25 ]} على سبيل المثال، إذا بدأ سعر سهم ما عند 100 دولار، ثم ضُرب كل يوم بمعامل مختار عشوائيًا بين 0.99 و1.01، فإن التوزيع الاحتمالي لسعره على مدى فترة طويلة سيحقق قانون بنفورد بدقة متزايدة.

السبب هو أن لوغاريتم سعر السهم يخضع لحركة عشوائية ، لذا بمرور الوقت، سيصبح توزيع احتماليته أكثر اتساعًا وسلاسة (انظر أعلاه ). ^{[ 25 ]} (بشكل أدق، تنص نظرية النهاية المركزية على أن ضرب المزيد والمزيد من المتغيرات العشوائية سيؤدي إلى إنشاء توزيع لوغاريتمي طبيعي ذي تباين متزايد، بحيث يغطي في النهاية نطاقات واسعة من المقادير بشكل شبه منتظم). ولضمان التوافق التقريبي مع قانون بنفورد، يجب أن يكون التوزيع ثابتًا تقريبًا عند تكبيره بأي عامل يصل إلى 10؛ وستتمتع مجموعة البيانات الموزعة توزيعًا لوغاريتميًا طبيعيًا ذات التشتت الواسع بهذه الخاصية التقريبية.

على عكس التقلبات المضاعفة، لا تؤدي التقلبات الجمعية إلى قانون بنفورد، بل تؤدي إلى توزيعات احتمالية طبيعية (بحسب نظرية النهاية المركزية )، والتي لا تخضع لقانون بنفورد. في المقابل، يمكن كتابة سعر السهم الافتراضي المذكور أعلاه كحاصل ضرب العديد من المتغيرات العشوائية (أي عامل تغير السعر لكل يوم)، لذا فمن المرجح أن يتبع قانون بنفورد بدقة.

توزيعات احتمالية متعددة

قدّم أنطون فورمان تفسيرًا بديلًا بتوجيه الانتباه إلى العلاقة المتبادلة بين توزيع الأرقام المعنوية وتوزيع المتغير المرصود . وأظهر في دراسة محاكاة أن التوزيعات ذات الذيل الطويل الأيمن لمتغير عشوائي تتوافق مع قانون نيوكومب-بنفورد، وأن التوافق يتحسن عمومًا بالنسبة لتوزيعات نسبة متغيرين عشوائيين. ^{[ 26 ]} بالنسبة للأرقام المستمدة من توزيعات معينة ( مثل درجات الذكاء ، وأطوال البشر)، لا ينطبق قانون بنفورد لأن هذه المتغيرات تخضع للتوزيع الطبيعي، المعروف أنه لا يحقق قانون بنفورد، ^{[ 9 ]} نظرًا لأن التوزيعات الطبيعية لا يمكنها تغطية عدة مراتب من حيث الحجم، ولن يكون الجزء المعنوي من لوغاريتماتها موزعًا بشكل منتظم (حتى تقريبًا). ومع ذلك، إذا تم "خلط" أرقام من تلك التوزيعات، على سبيل المثال، عن طريق أخذ أرقام من مقالات صحفية، فإن قانون بنفورد يظهر مرة أخرى. يمكن إثبات ذلك رياضيًا أيضًا: إذا اختار شخص ما توزيعًا احتماليًا (من مجموعة غير مترابطة) بشكل متكرر وعشوائي، ثم اختار رقمًا عشوائيًا وفقًا لهذا التوزيع، فإن قائمة الأرقام الناتجة ستخضع لقانون بنفورد. ^{[ 14 ]}^{[ 27 ]} وقد طُرح تفسير احتمالي مماثل لظهور قانون بنفورد في أرقام الحياة اليومية، وذلك بإثبات أنه ينشأ بشكل طبيعي عند النظر في مخاليط التوزيعات المنتظمة. ^{[ 28 ]}

الثبات

في قائمة الأطوال، قد يكون توزيع الأرقام الأولى للأرقام في القائمة متشابهًا بشكل عام بغض النظر عما إذا كانت جميع الأطوال معبر عنها بالمتر أو الياردة أو القدم أو البوصة، إلخ. وينطبق الشيء نفسه على الوحدات النقدية.

ليس هذا هو الحال دائمًا. على سبيل المثال، يبدأ طول الإنسان البالغ عادةً بالرقم 1 أو 2 عند قياسه بالمتر، ويبدأ عادةً بالرقم 4 أو 5 أو 6 أو 7 عند قياسه بالقدم. ولكن في قائمة أطوال موزعة بالتساوي على نطاق واسع - على سبيل المثال، قائمة تضم 1000 طول مذكورة في أوراق علمية تشمل قياسات الجزيئات والبكتيريا والنباتات والمجرات - فمن المنطقي توقع أن يكون توزيع الأرقام الأولى متماثلًا سواء كُتبت الأطوال بالمتر أو بالقدم.

عندما يكون توزيع الأرقام الأولى لمجموعة بيانات غير متأثر بالمقياس (أي مستقل عن الوحدات التي تُعبَّر بها البيانات)، فإنه يُعطى دائمًا بقانون بنفورد. ^{[ 29 ]}^{[ 30 ]}

على سبيل المثال، يجب أن يكون للرقم الأول (غير الصفري) في قائمة الأطوال المذكورة آنفًا نفس التوزيع سواء كانت وحدة القياس قدمًا أو ياردة. ولكن بما أن الياردة تساوي ثلاثة أقدام، فإن احتمال أن يكون الرقم الأول لطول ما بالياردة هو 1 يجب أن يكون مساويًا لاحتمال أن يكون الرقم الأول لطول ما بالقدم هو 3 أو 4 أو 5؛ وبالمثل، فإن احتمال أن يكون الرقم الأول لطول ما بالياردة هو 2 يجب أن يكون مساويًا لاحتمال أن يكون الرقم الأول لطول ما بالقدم هو 6 أو 7 أو 8. بتطبيق هذا على جميع مقاييس القياس الممكنة، نحصل على التوزيع اللوغاريتمي لقانون بنفورد.

يُعدّ قانون بنفورد للأرقام الأولى ثابتًا بالنسبة لأنظمة الأعداد. وهناك شروط وبراهين لثبات المجموع، وثبات المعكوس، وثبات الجمع والطرح. ^{[ 31 ]}^{[ 32 ]}

التطبيقات

كشف الاحتيال المحاسبي

في عام 1972، اقترح هال فاريان إمكانية استخدام القانون لكشف أي تزوير محتمل في قوائم البيانات الاجتماعية والاقتصادية المقدمة لدعم قرارات التخطيط العام. وانطلاقًا من الافتراض المعقول بأن الأشخاص الذين يختلقون الأرقام يميلون إلى توزيع أرقامهم بشكل متساوٍ إلى حد كبير، فإن مقارنة بسيطة لتوزيع تكرار الرقم الأول من البيانات مع التوزيع المتوقع وفقًا لقانون بنفورد من شأنها أن تكشف أي نتائج شاذة. ^{[ 33 ]}

الاستخدام في المحاكمات الجنائية

في الولايات المتحدة، تم قبول الأدلة المستندة إلى قانون بنفورد في القضايا الجنائية على المستويات الفيدرالية والولائية والمحلية. ^{[ 34 ]}

بيانات الانتخابات

كان والتر ميبان ، عالم السياسة والإحصاء بجامعة ميشيغان، أول من طبق اختبار قانون بنفورد للرقم الثاني (اختبار 2BL) في التحليل الجنائي للانتخابات . ^{[ 35 ]} يُعتبر هذا التحليل طريقة بسيطة، وإن لم تكن مضمونة النتائج، لتحديد المخالفات في نتائج الانتخابات. ^{[ 36 ]} لم يتم التوصل إلى إجماع علمي يدعم تطبيق قانون بنفورد على الانتخابات في الدراسات المنشورة. جادلت دراسة أجراها علماء السياسة جوزيف ديكرت وميخائيل مياغكوف وبيتر سي. أوردشوك عام 2011 بأن قانون بنفورد إشكالي ومضلل كمؤشر إحصائي على تزوير الانتخابات. ^{[ 37 ]} انتقد ميبان طريقتهم في رده، مع أنه أقر بوجود العديد من المحاذير المتعلقة بتطبيق قانون بنفورد على بيانات الانتخابات. ^{[ 38 ]}

استُخدم قانون بنفورد كدليل على التزوير في الانتخابات الإيرانية لعام 2009. [ ^{39 ] وخلص} تحليلٌ أجراه ميبان إلى أن الأرقام الثانية في نتائج التصويت للرئيس محمود أحمدي نجاد ، الفائز بالانتخابات، تميل إلى الاختلاف بشكلٍ كبير عن توقعات قانون بنفورد، وأن صناديق الاقتراع التي تحتوي على عدد قليل جدًا من الأصوات الباطلة كان لها تأثيرٌ أكبر على النتائج، مما يشير إلى تزوير واسع النطاق في صناديق الاقتراع . ^{[ 40 ]} واستخدمت دراسةٌ أخرى محاكاة بوتستراب لتجد أن المرشح مهدي كروبي حصل على ما يقرب من ضعف عدد الأصوات التي تبدأ بالرقم 7 مقارنةً بما هو متوقع وفقًا لقانون بنفورد، ^{[ 41 ]} بينما خلص تحليلٌ من جامعة كولومبيا إلى أن احتمال أن تُنتج انتخاباتٌ نزيهة عددًا قليلًا جدًا من الأرقام غير المتجاورة والانحرافات المشبوهة في ترددات الرقم الأخير، كما وُجد في الانتخابات الرئاسية الإيرانية لعام 2009، أقل من 0.5%. ^{[ 42 ]} طُبِّق قانون بنفورد أيضًا في التدقيق الجنائي وكشف الاحتيال على بيانات انتخابات حاكم ولاية كاليفورنيا لعام 2003 ، ^{[ 43 ]} والانتخابات الرئاسية الأمريكية لعامي 2000 و 2004 ، ^[⁴⁴^] والانتخابات الفيدرالية الألمانية لعام 2009. [ ⁴⁵^]^وُجِد أن اختبار قانون بنفورد "يستحق أن يُؤخذ على محمل الجد كاختبار إحصائي للاحتيال"، على الرغم من أن "الاختبار ليس حساسًا للتشوهات التي نعلم أنها أثرت بشكل كبير على العديد من الأصوات. وعلى وجه الخصوص، لا يُشير الاختبار إلى وجود مشاكل في فلوريدا عام 2000". ^[⁴⁴^]

أُسيء تطبيق قانون بنفورد أيضًا للادعاء بتزوير الانتخابات. فعند تطبيق القانون على نتائج جو بايدن في انتخابات الرئاسة الأمريكية لعام 2020 في شيكاغو وميلووكي ومناطق أخرى ، لم يتبع توزيع الرقم الأول قانون بنفورد. ويعود هذا التطبيق الخاطئ إلى النظر في بيانات ذات نطاق ضيق، وهو ما يخالف الافتراض الأساسي في قانون بنفورد بأن يكون نطاق البيانات واسعًا. طُبِّق اختبار الرقم الأول على بيانات على مستوى الدوائر الانتخابية، ولكن نظرًا لأن الدوائر الانتخابية نادرًا ما تتلقى أكثر من بضعة آلاف أو أقل من بضع عشرات من الأصوات، فلا يُتوقع تطبيق قانون بنفورد. ووفقًا لميبان، "من المتعارف عليه أن الأرقام الأولى من نتائج فرز الأصوات في الدوائر الانتخابية غير مفيدة في تشخيص تزوير الانتخابات". ^[⁴⁶^]^[⁴⁷^]

بيانات الاقتصاد الكلي

وبالمثل، تبين أن البيانات الاقتصادية الكلية التي قدمتها الحكومة اليونانية إلى الاتحاد الأوروبي قبل انضمامها إلى منطقة اليورو كانت على الأرجح مزورة باستخدام قانون بنفورد، وذلك بعد سنوات من انضمام البلاد. ^{[ 48 ]}^{[ 49 ]}

تحليل أرقام الأسعار

استخدم الباحثون قانون بنفورد للكشف عن أنماط التسعير النفسي ، وذلك في دراسة أوروبية شملت أسعار المنتجات الاستهلاكية قبل وبعد إدخال اليورو عام 2002. ^{[ 50 ]} وتقوم الفكرة على أنه في غياب التسعير النفسي، ينبغي أن تتبع الأرقام الأولى من سعر السلعة قانون بنفورد. وبالتالي، إذا انحرف توزيع الأرقام عن قانون بنفورد (كوجود عدد كبير من الرقم 9)، فهذا يعني أن التجار ربما استخدموا التسعير النفسي.

عندما حلّ اليورو محل العملات المحلية عام ٢٠٠٢ ، ولفترة وجيزة، تم تحويل أسعار السلع باليورو من أسعارها بالعملات المحلية قبل الاستبدال. ولأنه من المستحيل عمليًا تطبيق التسعير النفسي على كلٍّ من أسعار اليورو وأسعار العملات المحلية في آنٍ واحد، فإن التسعير النفسي سيتأثر خلال الفترة الانتقالية، حتى وإن كان موجودًا سابقًا. ولن يُعاد تطبيقه إلا بعد أن يعتاد المستهلكون على الأسعار بعملة واحدة، وهذه المرة باليورو.

وكما توقع الباحثون، اتبع توزيع الرقم الأول للسعر قانون بنفورد، لكن توزيع الرقمين الثاني والثالث انحرف بشكل كبير عن قانون بنفورد قبل الإدخال، ثم انحرف بشكل أقل أثناء الإدخال، ثم انحرف بشكل أكبر مرة أخرى بعد الإدخال.

بيانات الجينوم

يختلف عدد إطارات القراءة المفتوحة وعلاقتها بحجم الجينوم بين حقيقيات النوى وبدائيات النوى ، حيث تُظهر الأولى علاقة لوغاريتمية خطية، بينما تُظهر الثانية علاقة خطية. وقد استُخدم قانون بنفورد لاختبار هذه الملاحظة، حيث أظهر تطابقًا ممتازًا مع البيانات في كلتا الحالتين. ^{[ 51 ]}

كشف الاحتيال العلمي

أظهر اختبار معاملات الانحدار في الأبحاث المنشورة توافقًا مع قانون بنفورد. ^{[ 52 ]} وللمقارنة، طُلب من المشاركين اختلاق تقديرات إحصائية. توافقت النتائج المختلقة مع قانون بنفورد في الأرقام الأولى، لكنها لم تتوافق معه في الأرقام الثانية.

الاختبارات الإحصائية

على الرغم من استخدام اختبار مربع كاي لاختبار مدى الامتثال لقانون بنفورد، إلا أن له قوة إحصائية منخفضة عند استخدامه مع عينات صغيرة.

يُعدّ اختبار كولموغوروف -سميرنوف واختبار كويبر أكثر فعالية عندما يكون حجم العينة صغيرًا، لا سيما عند استخدام عامل تصحيح ستيفنز. ^{[ 53 ]} قد تكون هذه الاختبارات متحفظة بشكل مفرط عند تطبيقها على التوزيعات المنفصلة. وقد قام مورو بتوليد قيم لاختبار بنفورد. ^{[ 54 ]} تُعرض القيم الحرجة لإحصائيات الاختبار أدناه:

$⍺$ امتحان	0.10	0.05	0.01
كويبر	1.191	1.321	1.579
كولموغوروف-سميرنوف	1.012	1.148	1.420

توفر هذه القيم الحرجة الحد الأدنى من قيم إحصائية الاختبار المطلوبة لرفض فرضية الامتثال لقانون بنفورد عند مستويات الدلالة المعطاة .

نُشر اختباران بديلان خاصان بهذا القانون: أولهما، إحصائية max( $m$ ) ^{[ 55 ]} تُعطى بواسطة

m={\sqrt {N}}\cdot \max _{k=1}^{9}\left\{\left|\Pr \left(X{\text{ has FSD}}=k\right)-\log _{10}\left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right|\right\}.

العامل الرئيسي ${\sqrt {N}}$ لا يظهر في الصيغة الأصلية التي وضعها ليميس؛ ^{[ 55 ]} وقد أضافه مورو في ورقة بحثية لاحقة. ^{[ 54 ]}

ثانيًا، تُعطى إحصائية المسافة ( $d$ ) ^{[ 56 ] بالصيغة التالية:}

d={\sqrt {N\cdot \sum _{l=1}^{9}\left[\Pr \left(X{\text{ has FSD}}=l\right)-\log _{10}\left(1+{\frac {1}{l}}\right)\right]^{2}}},

حيث FSD هو الرقم المعنوي الأول و $N$ هو حجم العينة. وقد حدد مورو القيم الحرجة لكلا الإحصائيتين، والتي تظهر أدناه: ^{[ 54 ]}

$⍺$ إحصائية	0.10	0.05	0.01
ليميس $م$	0.851	0.967	1.212
تشو وجينز $د$	1.212	1.330	1.569

أظهر مورو أيضًا أنه لأي متغير عشوائي $X$ (ذو دالة كثافة احتمالية متصلة ) مقسومًا على انحرافه المعياري ( $σ$ )، يمكن إيجاد قيمة $A$ بحيث يكون احتمال توزيع الرقم المعنوي الأول للمتغير العشوائي $|X/\sigma |^{A}$ سيختلف عن قانون بنفورد بأقل من $ε$ > 0. ^{[ 54 ]} تعتمد قيمة $A$ على قيمة $ε$ وتوزيع المتغير العشوائي.

تم اقتراح طريقة للكشف عن الاحتيال المحاسبي تعتمد على إعادة التوزيع العشوائي والانحدار. ^{[ 57 ]}

إذا كان الهدف هو التوصل إلى اتفاق مع قانون بنفورد بدلاً من عدم الاتفاق، فإن اختبارات جودة المطابقة المذكورة أعلاه غير مناسبة. في هذه الحالة، ينبغي تطبيق اختبارات التكافؤ المحددة . يُقال إن التوزيع التجريبي مكافئ لقانون بنفورد إذا كانت المسافة (على سبيل المثال، مسافة التباين الكلي أو المسافة الإقليدية المعتادة) بين دالتي كتلة الاحتمال صغيرة بما يكفي. تم وصف طريقة الاختبار هذه، مع تطبيقها على قانون بنفورد، في مرجع أوستروفسكي ^{[ 58 ] .}

نطاق التطبيق

التوزيعات المعروفة بأنها تخضع لقانون بنفورد

تُحقق بعض المتتاليات العددية اللانهائية المعروفة قانون بنفورد بدقة (في الحد التقاربي مع زيادة عدد حدود المتتالية). ومن بين هذه المتتاليات أعداد فيبوناتشي ، ^[⁵⁹^]^[⁶⁰^] والمضروب ، ^[⁶¹^] وقوى العدد 2، ^[¹³^] وقوى أي عدد آخر تقريبًا. ^[^{ملاحظات}³ ]

وبالمثل، فإن بعض العمليات المستمرة تحقق قانون بنفورد بدقة (في الحد التقاربي مع استمرار العملية بمرور الوقت). ومن هذه العمليات عملية النمو أو الاضمحلال الأسي : إذا كانت كمية ما تتزايد أو تتناقص أسيًا مع مرور الوقت، فإن النسبة المئوية للوقت الذي يكون فيه كل رقم من أرقامها الأولى يحقق قانون بنفورد تقاربيًا (أي تزداد دقته مع استمرار العملية بمرور الوقت).

التوزيعات المعروفة بمخالفتها لقانون بنفورد

لا تخضع الجذور التربيعية ومقلوبات الأعداد الطبيعية المتتالية لهذا القانون. [ 62 ] تتبع ^{الأعداد}^{الأولية}^في نطاق محدود قانون بنفورد المعمم، الذي يقترب من الانتظام كلما اقترب حجم النطاق من اللانهاية. ^[⁶³^] تخالف قوائم أرقام الهواتف المحلية قانون بنفورد. ^[⁶⁴^] يُخالف قانون بنفورد في تعداد سكان جميع الأماكن التي يبلغ عدد سكانها 2500 نسمة على الأقل في خمس ولايات أمريكية وفقًا لتعدادي عامي 1960 و1970، حيث بدأ 19% فقط من الأرقام بالرقم 1، بينما بدأ 20% منها بالرقم 2، وذلك لأن التقريب عند 2500 يُدخل تحيزًا إحصائيًا. ^[⁶²^] تخالف الأرقام الأخيرة في تقارير علم الأمراض قانون بنفورد بسبب التقريب. ^[⁶⁵^]

التوزيعات التي لا تغطي نطاقًا واسعًا من المقادير لا تخضع لقانون بنفورد. ومن الأمثلة على ذلك الطول والوزن ودرجات الذكاء. ^{[ 9 ]}^{[ 66 ]}

معايير التوزيعات المتوقع وغير المتوقع أن تخضع لقانون بنفورد

تم اقتراح عدد من المعايير، التي تنطبق بشكل خاص على البيانات المحاسبية، حيث يُتوقع تطبيق قانون بنفورد. ^{[ 67 ]}

التوزيعات التي يُتوقع أن تخضع لقانون بنفورد

عندما يكون المتوسط أكبر من الوسيط ويكون الالتواء موجبًا
الأرقام الناتجة عن الجمع الرياضي للأرقام: على سبيل المثال الكمية × السعر
بيانات مستوى المعاملة: على سبيل المثال، المدفوعات، المبيعات

التوزيعات التي لا يُتوقع أن تخضع لقانون بنفورد

حيث يتم تعيين الأرقام بالتسلسل: على سبيل المثال أرقام الشيكات، أرقام الفواتير
حيث تتأثر الأرقام بالفكر البشري: على سبيل المثال، الأسعار التي تحددها العتبات النفسية (9.99 دولارًا).
الحسابات التي تحتوي على عدد كبير من الأرقام الخاصة بالشركة: على سبيل المثال، الحسابات التي تم إنشاؤها لتسجيل عمليات استرداد الأموال بقيمة 100 دولار.
حسابات ذات حد أدنى أو أقصى مدمج
التوزيعات التي لا تغطي نطاقًا واسعًا من الأرقام.

نظرية بنفورد للامتثال للقانون

رياضيًا، ينطبق قانون بنفورد إذا كان التوزيع قيد الاختبار يطابق "نظرية امتثال قانون بنفورد". ^{[ 16 ]} ينص الاشتقاق على أن قانون بنفورد يُتبع إذا كان تحويل فورييه للوغاريتم دالة كثافة الاحتمال يساوي صفرًا لجميع القيم الصحيحة. والأهم من ذلك، يتحقق هذا الشرط إذا كان تحويل فورييه يساوي صفرًا (أو ضئيلًا) لـ n ≥ 1. ويتحقق هذا الشرط أيضًا إذا كان التوزيع واسعًا (لأن التوزيع الواسع يستلزم تحويل فورييه ضيقًا). يلخص سميث ^{[ 16 ]} المسألة قائلًا ^{: 716}

ينطبق قانون بنفورد على التوزيعات الواسعة مقارنةً بمسافة الوحدة على المقياس اللوغاريتمي. وبالمثل، لا ينطبق القانون على التوزيعات الضيقة مقارنةً بمسافة الوحدة ... إذا كان التوزيع واسعًا مقارنةً بمسافة الوحدة على المحور اللوغاريتمي، فهذا يعني أن مدى انتشار مجموعة الأرقام قيد الدراسة أكبر بكثير من عشرة.

باختصار، يتطلب قانون بنفورد أن يكون للأرقام في التوزيع الذي يتم قياسه انتشار على مدى رتبة مقدارية على الأقل.

الاختبارات ذات التوزيعات الشائعة

تم اختبار قانون بنفورد تجريبياً على الأرقام (حتى الرقم العاشر) الناتجة عن عدد من التوزيعات المهمة، بما في ذلك التوزيع المنتظم ، والتوزيع الأسي ، والتوزيع الطبيعي ، وغيرها. ^{[ 9 ]}

كما هو متوقع، لا يخضع التوزيع المنتظم لقانون بنفورد. في المقابل، فإن التوزيع النسبي لتوزيعين منتظمين يخضع لقانون بنفورد بشكل جيد.

لا يخضع التوزيع الطبيعي ولا توزيع النسبة لتوزيعين طبيعيين ( توزيع كوشي ) لقانون بنفورد. مع أن التوزيع نصف الطبيعي لا يخضع لقانون بنفورد، فإن توزيع النسبة لتوزيعين نصف طبيعيين يخضع له. كما لا يُوصف التوزيع الطبيعي المبتور من اليمين ولا توزيع النسبة لتوزيعين طبيعيين مبتورين من اليمين وصفًا دقيقًا بقانون بنفورد. وهذا ليس مستغربًا لأن هذا التوزيع يميل نحو الأعداد الكبيرة.

يصف قانون بنفورد التوزيع الأسي وتوزيع النسبة بين توزيعين أسيين بدقة. يعتمد مدى ملاءمة توزيع كاي تربيع على درجات الحرية، حيث يكون التوافق جيدًا عند درجة حرية تساوي 1، ويتناقص مع ازدياد درجات الحرية. أما توزيع F ، فيُناسب التوزيع جيدًا عند درجات الحرية المنخفضة. ومع ازدياد درجات الحرية، يتناقص التوافق، ولكن بوتيرة أبطأ بكثير من توزيع كاي تربيع. يعتمد مدى ملاءمة التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي على متوسط التوزيع وتباينه . وللتباين تأثير أكبر بكثير على الملاءمة من المتوسط. وتؤدي القيم الأكبر لكلا المعاملين إلى توافق أفضل مع القانون. ونظرًا لأن نسبة توزيعين لوغاريتميين طبيعيين هي توزيع لوغاريتمي طبيعي، لم يتم دراسة هذا التوزيع.

تشمل التوزيعات الأخرى التي تم فحصها توزيع موث، وتوزيع جومبيرتز ، وتوزيع ويبول ، وتوزيع جاما ، والتوزيع اللوجستي اللوغاريتمي ، وتوزيع القوة الأسية ، وجميعها تُظهر توافقًا معقولًا مع القانون. ^{[ 55 ]}^{[ 68 ]} أما توزيع جامبل - الذي تزداد كثافته مع ازدياد قيمة المتغير العشوائي - فلا يُظهر توافقًا مع هذا القانون. ^{[ 68 ]}

التعميم على الأرقام التي تتجاوز الرقم الأول

من الممكن توسيع نطاق القانون ليشمل أرقامًا تتجاوز الرقم الأول. ^{[ 69 ]} على وجه الخصوص، لأي عدد معين من الأرقام، فإن احتمال مصادفة عدد يبدأ بسلسلة الأرقام n ذات ذلك الطول - مع استبعاد الأصفار البادئة - يُعطى بالصيغة التالية:

\log _{10}(n+1)-\log _{10}(n)=\log _{10}\left(1+{\frac {1}{n}}\right).

وبالتالي، فإن احتمال أن يبدأ رقم ما بالأرقام 3 و 1 و 4 (بعض الأمثلة هي 3.14 و 3.142 و $π$ و 314280.7 و 0.00314005) هو $log 10 (1 + 1/314) \approx 0.00138$ ، كما هو موضح في المربع الذي يحتوي على الرسم البياني اللوغاريتمي على اليمين.

يمكن استخدام هذه النتيجة لإيجاد احتمال ظهور رقم معين في موضع محدد ضمن عدد. على سبيل المثال، احتمال ظهور الرقم "2" كرقم ثانٍ هو ^{[ 69 ].}

\log _{10}\left(1+{\frac {1}{12}}\right)+\log _{10}\left(1+{\frac {1}{22}}\right)+\cdots +\log _{10}\left(1+{\frac {1}{92}}\right)\approx 0.109

.

احتمالية ظهور الرقم d ( حيث d = 0، 1، ...، 9) كرقم رقم n (حيث n > 1) هي

\sum _{k=10^{n-2}}^{10^{n-1}-1}\log _{10}\left(1+{\frac {1}{10k+d}}\right).

مع ازدياد قيمة n ، يقترب توزيع الرقم النوني بسرعة من التوزيع المنتظم بنسبة 10% لكل رقم من الأرقام العشرة، كما هو موضح أدناه. ^{[ 69 ]} غالبًا ما تكفي أربعة أرقام لافتراض توزيع منتظم بنسبة 10%، حيث يظهر الرقم "0" بنسبة 10.0176% في الرقم الرابع، بينما يظهر الرقم "9" بنسبة 9.9824%.

رقم	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
الأول	غير متوفر	30.1%	17.6%	12.5%	9.7%	7.9%	6.7%	5.8%	5.1%	4.6%
الثاني	12.0%	11.4%	10.9%	10.4%	10.0%	9.7%	9.3%	9.0%	8.8%	8.5%
الثالث	10.2%	10.1%	10.1%	10.1%	10.0%	10.0%	9.9%	9.9%	9.9%	9.8%

لحظات

تم حساب المتوسطات وعزوم المتغيرات العشوائية للأرقام من 1 إلى 9 وفقًا لهذا القانون: ^{[ 70 ]}

بالنسبة للتوزيع المكون من رقمين وفقًا لقانون بنفورد، فإن هذه القيم معروفة أيضًا: ^{[ 71 ]}

يتوفر جدول الاحتمالات الدقيقة للظهور المشترك لأول رقمين وفقًا لقانون بنفورد، ^{[ 71 ]} وكذلك ارتباط السكان بين الرقمين الأول والثاني: ^{[ 71 ]} ρ = 0.0561 .

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ من المفترض أن تكون أشرطة، ولكنها معروضة كخطوط للتوضيح.
↑ يصف بيرغر وهيل هذه الحجة لكنهما يقولان إنها "لا تزال تترك السؤال مفتوحًا حول سبب كون افتراض أن لوغاريتم الانتشار، على عكس الانتشار نفسه - أو لنقل، لوغاريتم الانتشار - يجب أن يكون كبيرًا" وأن "افتراض انتشار كبير على مقياس لوغاريتمي يعادل افتراض توافق تقريبي مع [قانون بنفورد]" (تمت إضافة الخط المائل)، وهو أمر يقولان إنه يفتقر إلى "تفسير بسيط".
↑^{بشكل عام، فإن} المتتالية k1 ، k2 ^،k3 ^، إلخ، تحقق قانونبنفورد تمامًا، بشرط أنيكون_{لوغاريتم}k عددًا غير نسبي . هذه نتيجة مباشرة لنظرية التوزيع المتساوي .

مراجع

↑ بيرغر، آرنو؛ هيل، ثيودور ب. (1 مارس 2011). "قانون بنفورد يرد بقوة: لا يوجد تفسير بسيط في الأفق لهذه الجوهرة الرياضية" . مجلة الرياضيات الذكية . 33 (1): 85-91 . doi : 10.1007/s00283-010-9182-3 . ISSN 1866-7414 .
↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "قانون بنفورد" . ماث وورلد، مورد ويب من وولفرام . تم الاسترجاع في 7 يونيو 2015 .
↑ هيل، ثيودور (1995). "اشتقاق إحصائي لقانون الرقم المعنوي" . العلوم الإحصائية . 10 (4): 09869. Bibcode : 1995StaSc..1009869H . doi : 10.1214/ss/1177009869 .
↑ بول هـ. كفام، براني فيداكوفيتش، الإحصاءات غير البارامترية مع تطبيقات في العلوم والهندسة ، ص 158.
1 2 بيرغر، أرنو؛ هيل، ثيودور ب. (30 يونيو 2020). "رياضيات قانون بنفورد: مدخل تمهيدي". أساليب الإحصاء التطبيقية . 30 (3): 779-795 . arXiv : 1909.07527 . doi : 10.1007/s10260-020-00532-8 . S2CID 202583554 .
↑ كاي، تشاودونغ؛ فاوست، ماثيو؛ هيلدبراند، إيه جيه؛ لي، جونشيان؛ تشانغ، يوان (15 مارس 2020). "الدقة المذهلة لقانون بنفورد في الرياضيات". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 127 (3): 217-237 . arXiv : 1907.08894 . doi : 10.1080/00029890.2020.1690387 . ISSN 0002-9890 . S2CID 198147766 .
1 2 فرانك بنفورد (مارس 1938). "قانون الأعداد الشاذة". وقائع الجمعية الفلسفية الأمريكية 78 (4): 551-572 . Bibcode : 1938PAPhS..78..551B . JSTOR 984802 .
1 2 سيمون نيوكومب (1881). "ملاحظة حول تكرار استخدام الأرقام المختلفة في الأعداد الطبيعية". المجلة الأمريكية للرياضيات . 4 (1/4): 39-40 . Bibcode : 1881AmJM ....4...39N . doi : 10.2307/2369148 . JSTOR 2369148. S2CID 124556624 .
1 2 3 4 فورمان، أ.ك. (2010). موريس، ريتشارد جيمس (محرر). "قانون نيوكومب-بينفورد وعلاقته ببعض التوزيعات الشائعة" . PLOS ONE . 5 (5) e10541. Bibcode : 2010PLoSO...510541F . doi : 10.1371/journal.pone.0010541 . PMC 2866333. PMID 20479878 .
1 2 ميلر، ستيفن ج. ، محرر. (9 يونيو 2015). قانون بنفورد: النظرية والتطبيقات . مطبعة جامعة برينستون. ص 309. ISBN 978-1-4008-6659-5.
↑ بيمبلي، جيه إم (2014). "قانون بنفورد كتحويل لوغاريتمي" (ملف PDF) . ماكسويل للاستشارات، ذ.م.م. مؤرشف ( ملف PDF) من الأصل في 9 أكتوبر 2022. تم الاطلاع عليه في 15 نوفمبر 2020 .
↑ خسرواني، أ. (2012). ثبات تحويل متغيرات بنفورد ونمذجتها العددية . أبحاث حديثة في التحكم الآلي والإلكترونيات. ص 57-61 . ISBN 978-1-61804-080-0.
أشار رالف رايمي إلى أن أول 100 قوة للعدد 2 تُحقق قانون بنفورد تقريبًا. رايمي ، رالف أ. (1976). "مسألة الرقم الأول". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 83 (7): 521-538 . doi : 10.2307/2319349 . JSTOR 2319349 .
1 2 ثيودور ب. هيل (1995). "اشتقاق إحصائي لقانون الأرقام المعنوية" . العلوم الإحصائية . 10 (4): 354-363 . Bibcode : 1995StaSc..1009869H . doi : 10.1214/ss/1177009869 . MR 1421567 .
↑ هيل، ثيودور ب. (1995). "ثبات الأساس يستلزم قانون بنفورد" . وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية . 123 (3): 887-895 . doi : 10.1090/S0002-9939-1995-1233974-8 . ISSN 0002-9939 .
1 2 3 4 ستيفن دبليو سميث. "الفصل 34: شرح قانون بنفورد. قوة معالجة الإشارات" . دليل العالم والمهندس لمعالجة الإشارات الرقمية . تم الاطلاع عليه بتاريخ 15 ديسمبر 2012 .
1 2 3 فيوستر، آر إم (2009). "شرح مبسط لقانون بنفورد" ( ملف PDF) . الإحصائي الأمريكي . 63 (1): 26-32 . CiteSeerX 10.1.1.572.6719 . doi : 10.1198/tast.2009.0005 . S2CID 39595550. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 9 أكتوبر 2022.
↑ أرنو بيرغر وثيودور ب. هيل، قانون بنفورد يضرب من جديد: لا يوجد تفسير بسيط في الأفق للجوهرة الرياضية ، 2011.
↑ وايمان، ج.؛ شولزنجر، إ.؛ بورماشينكو، محرر. (2016). "اعتبارات بديهية توضح أصل قانون بنفورد ومدى قابليته للتطبيق". نتائج في الفيزياء . 6. إلسيفير بي في: 3-6 . arXiv : 1510.07220 . Bibcode : 2016ResPh...6....3W . doi : 10.1016/j.rinp.2015.11.010 . ISSN 2211-3797 . تركز هذه المقالة على قانون بنفورد كنتيجة لبنية أنظمة الأرقام الموضعية. من هذا المنطلق، فإن محاولات التفسير القائمة على ثبات المقياس، أو ثبات الأساس، أو حتى تصوير قانون بنفورد كقانون غامض من قوانين الطبيعة، تستدعي على الأقل مزيدًا من التحسين. ومن الأمثلة المقنعة للغاية نظام الأرقام الموضعية الثنائية (بأساس 2) الذي ينص "قانون بنفورد" على أن احتمال العثور على الرقم 1 في المكان الأول من الرقم هو 100٪.
↑ كريجر، فولفغانغ (1970). "حول الإنتروبيا ومولدات التحويلات الحافظة للقياس" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 149 (2): 453. doi : 10.1090/S0002-9947-1970-0259068-3 . ISSN 0002-9947 .
↑ داوناروفيتش، توماس (12 مايو 2011). الإنتروبيا في الأنظمة الديناميكية . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 106. ISBN 978-1-139-50087-6.
↑ سمورودينسكي، مئير (1971). "الفصل التاسع. الإنتروبيا والمولدات. نظرية كريجر". نظرية الإرجودية، الإنتروبيا . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد 214. برلين، هايدلبرغ: سبرينغر. الصفحات 54-57 . doi : 10.1007/BFb0066096 . ISBN 978-3-540-05556-3.
↑ جوليون، جان ميشيل (2001). "الصور وقانون بنفورد". مجلة التصوير الرياضي والرؤية . 14 (1): 73-81 . Bibcode : 2001JMIV...14...73J . doi : 10.1023/A:1008363415314 . ISSN 0924-9907 . S2CID 34151059 .
↑ ليمونز، دون س. (2019). "الديناميكا الحرارية لقانون بنفورد للرقم الأول". المجلة الأمريكية للفيزياء . 87 (10): 787-790 . arXiv : 1604.05715 . Bibcode : 2019AmJPh..87..787L . doi : 10.1119/1.5116005 . ISSN 0002-9505 . S2CID 119207367 .
1 2 ل. بيترونيرو؛ إ. توساتي؛ ف. توساتي؛ أ. فيسبينياني (2001). "شرح التوزيع غير المتكافئ للأعداد في الطبيعة: قوانين بنفورد وزيبف". فيزيكا أ . 293 ( 1-2 ): 297-304 . arXiv : cond-mat/9808305 . Bibcode : 2001PhyA..293..297P . doi : 10.1016/S0378-4371(00)00633-6 .
↑ فورمان، أ.ك. (2010). "قانون نيوكومب-بنفورد وعلاقته ببعض التوزيعات الشائعة" . PLOS ONE . 5 (5) e10541. Bibcode : 2010PLoSO...510541F . doi : 10.1371/ journal.pone.0010541 . PMC 2866333. PMID 20479878 .
↑ ثيودور ب. هيل (يوليو-أغسطس 1998). "ظاهرة الرقم الأول" (ملف PDF) . مجلة ساينتست الأمريكية . 86 (4): 358. Bibcode : 1998AmSci..86..358H . doi : 10.1511/1998.4.358 . S2CID 13553246 .
↑ جانفرس، إليز؛ تيري (2004). "من التوزيعات المنتظمة إلى قانون بنفورد" (ملف PDF) . مجلة الاحتمالات التطبيقية . 41 (4): 1203-1210 . doi : 10.1239/jap/1101840566 . MR 2122815. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 4 مارس 2016. تم الاطلاع عليه في 13 أغسطس 2015 .
↑ بينكهام، روجر س. (1961). "حول توزيع الأرقام المعنوية الأولى" . حوليات الإحصاء الرياضي . 32 (4): 1223-1230 . Bibcode : 1961AnnMS..32.1223P . doi : 10.1214/aoms/1177704862 .
↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "قانون بنفورد" . mathworld.wolfram.com .
↑ جامين، أدريان (سبتمبر 2001). "قانون بنفورد" (ملف PDF) . إمبريال كوليدج لندن . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 9 أكتوبر 2022. تم الاطلاع عليه في 15 نوفمبر 2020 .
↑ بيرغر، أرنو (يونيو 2011). "نظرية أساسية لقانون بنفورد" . استطلاعات الاحتمالات . 8 (2011): 1-126 .
↑ فاريان، هال (1972). "قانون بنفورد (رسائل إلى المحرر)". الإحصائي الأمريكي . 26 (3): 65. doi : 10.1080/00031305.1972.10478934 .
↑ "من بنفورد إلى إردوس" . مختبر الراديو . الحلقة 2009-10-09. 30 سبتمبر 2009.
↑ والتر ر. ميبان الابن، " التحليل الجنائي للانتخابات: فرز الأصوات وقانون بنفورد " (18 يوليو 2006).
↑ " تحليلات جنائية للانتخابات "، مجلة الإيكونوميست (22 فبراير 2007).
↑ ديكرت، جوزيف؛ مياغكوف، ميخائيل؛ أوردشوك، بيتر سي. (2011). "قانون بنفورد وكشف تزوير الانتخابات" . التحليل السياسي . 19 (3): 245-268 . doi : 10.1093/pan/mpr014 . ISSN 1047-1987 .
↑ ميبان، والتر ر. (2011). "تعليق على "قانون بنفورد والكشف عن تزوير الانتخابات"" . التحليل السياسي . 19 (3): 269– 272. doi : 10.1093/pan/mpr024 .
↑ ستيفن باترسبي: إحصائيات تشير إلى تزوير في الانتخابات الإيرانية، مجلة نيو ساينتست ، 24 يونيو 2009
↑ والتر ر. ميبان الابن، " ملاحظة حول الانتخابات الرئاسية في إيران، يونيو 2009 " (جامعة ميشيغان، 29 يونيو 2009)، ص 22-23.
↑ روكيما، بودوين ف. (2014). "شذوذ الرقم الأول في الانتخابات الرئاسية الإيرانية لعام 2009". مجلة الإحصاء التطبيقي . 41 : 164-199 . arXiv : 0906.2789 . Bibcode : 2014JApSt..41..164R . doi : 10.1080/02664763.2013.838664 . S2CID 88519550 .
↑ بيرند بيبر وألكسندرا سكاكو، " الشيطان يكمن في الأرقام: دليل على تزوير الانتخابات الإيرانية "، صحيفة واشنطن بوست (20 يونيو 2009).
↑ مارك ج. نيغريني، قانون بنفورد: تطبيقات في المحاسبة الجنائية والتدقيق والكشف عن الاحتيال (هوبوكين، نيوجيرسي: وايلي، 2012)، ص 132-35.
1 2 والتر ر. ميبان الابن، "علم الأدلة الجنائية للانتخابات: اختبار قانون بنفورد للرقم الثاني والانتخابات الرئاسية الأمريكية الأخيرة" في كتاب تزوير الانتخابات: كشف التلاعب الانتخابي وردعه ، تحرير ر. مايكل ألفاريز وآخرون (واشنطن العاصمة: مطبعة مؤسسة بروكينغز، 2008)، الصفحات 162-181. PDF
^ شيكانو، سوسومو. ماك، فيرينا (2011). “متى يشير اختبار قانون بنفورد ذو الرقم الثاني إلى تزوير الانتخابات؟ حقائق أو نتائج اختبار مضللة “. Jahrbücher للاقتصاد الوطني والإحصاء . 231 ( 5– 6): 719– 732. دوى : 10.1515/jbnst-2011-5-610 . S2CID 153896048 .
↑ "تدقيق الحقائق: الانحراف عن قانون بنفورد لا يثبت تزوير الانتخابات" . رويترز . 10 نوفمبر 2020.
↑ دايسي، جيمس (19 نوفمبر 2020). "قانون بنفورد والانتخابات الرئاسية الأمريكية لعام 2020: لا شيء غير عادي" . عالم الفيزياء .
↑ ويليام جودمان، وعود ومخاطر قانون بنفورد ، الأهمية ، الجمعية الإحصائية الملكية (يونيو 2016)، ص 38.
↑ غولديكر، بن (16 سبتمبر 2011). "الحيلة الخاصة التي تساعد في تحديد الإحصائيات المشكوك فيها" . صحيفة الغارديان . تم الاطلاع عليه في 1 فبراير 2019 .
↑ سيهيتي، طارق؛ هولز، إريك؛ كيرشلر، إريك (1 ديسمبر 2005). "تطورات الأسعار بعد صدمة اسمية: قانون بنفورد والتسعير النفسي بعد إدخال اليورو". المجلة الدولية لبحوث التسويق . 22 (4): 471-480 . doi : 10.1016/j.ijresmar.2005.09.002 . S2CID 154273305 .
↑ فراير، جيه إل؛ غولدمان، تي؛ بيريز-ميركادر، جيه (2012). "أحجام الجينوم وتوزيع بنفورد" . PLOS ONE . 7 (5) e36624. arXiv : 1205.6512 . Bibcode : 2012PLoSO...736624F . doi : 10.1371/journal.pone.0036624 . PMC 3356352. PMID 22629319 .
↑ ديكمان، أ. (2007). "ليس الرقم الأول! استخدام قانون بنفورد للكشف عن البيانات العلمية المزورة". مجلة الإحصاء التطبيقي . 34 (3): 321-329 . Bibcode : 2007JApSt..34..321D . doi : 10.1080/02664760601004940 . hdl : 20.500.11850/310246 . S2CID 117402608 .
↑ ستيفنز، ماجستير (1970). "استخدام إحصاءات كولموغوروف-سميرنوف، وكريمر-فون ميزس، والإحصاءات ذات الصلة دون جداول مطولة". مجلة الجمعية الإحصائية الملكية، السلسلة ب . 32 (1): 115-122 . doi : 10.1111/j.2517-6161.1970.tb00821.x
1 2 3 4 مورو، جون (أغسطس 2014). قانون بنفورد، وعائلات التوزيعات، وأساس الاختبار . لندن، المملكة المتحدة . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 مارس 2022 .{{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
1 2 3 ليميس، إل إم؛ شميسر، بي دبليو؛ إيفانز، دي إل (2000). "توزيعات البقاء التي تحقق قانون بنفورد". الإحصائي الأمريكي . 54 (4): 236-241 . doi : 10.1080/00031305.2000.10474554 . S2CID 122607770 .
↑ تشو، دبليو كيه تي؛ غينز، بي جيه (2007). "خرق قانون (بنفورد): الكشف عن الاحتيال الإحصائي في تمويل الحملات الانتخابية". الإحصائي الأمريكي . 61 (3): 218-223 . doi : 10.1198/000313007X223496 . S2CID 7938920 .
↑ سوه، آي إس؛ هيدريك، تي سي؛ مينابورو، إس. (2011). "تقنية تحليلية فعالة وكفؤة: إجراء انحدار بوتستراب وقانون بنفورد". مجلة المحاسبة الجنائية والتحقيقية . 3 (3).
↑ أوستروفسكي، فلاديمير (مايو 2017). "اختبار تكافؤ التوزيعات متعددة الحدود" . رسائل الإحصاء والاحتمالات . 124 : 77-82 . doi : 10.1016/j.spl.2017.01.004 . S2CID 126293429 .
↑ واشنطن، إل سي (1981). "قانون بنفورد لأعداد فيبوناتشي ولوكاس". مجلة فيبوناتشي الفصلية . 19 (2): 175-177 . doi : 10.1080/00150517.1981.12430109 .
↑ دنكان، آر إل (1967). "تطبيق التوزيع المنتظم على أعداد فيبوناتشي". مجلة فيبوناتشي الفصلية . 5 (2): 137-140 . doi : 10.1080/00150517.1967.12431312 .
↑ ساركار، بي بي (1973). "ملاحظة حول الأرقام المعنوية لمعاملات ذات الحدين والمضروب". سانخيا ب . 35 : 363-364 .
1 2 رايمي، رالف أ. (أغسطس-سبتمبر 1976). "مسألة الرقم الأول". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 83 (7): 521-538 . doi : 10.2307/2319349 . JSTOR 2319349 .
↑ زيغا، ليزا؛ Phys.org. "نمط جديد تم اكتشافه في الأعداد الأولية" . phys.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 يناير 2022 .
↑ تشو، ويندي ك. تام؛ غينز، برايان ج. (2007). "خرق قانون (بنفورد): الكشف عن الاحتيال الإحصائي في تمويل الحملات الانتخابية". الإحصائي الأمريكي . 61 (3): 218-223 . doi : 10.1198/000313007X223496 . ISSN 0003-1305 . JSTOR 27643897. S2CID 7938920 .
↑ بير، تريفور و . (2009). "تفضيل الرقم الأخير: احذر قانون بنفورد". مجلة علم الأمراض السريرية 62 (2): 192. doi : 10.1136/jcp.2008.061721 . PMID 19181640. S2CID 206987736 .
↑ سينغلتون، تومي دبليو. (1 مايو 2011). " فهم وتطبيق قانون بنفورد "، مجلة ISACA ، جمعية تدقيق ومراقبة نظم المعلومات . تم الاطلاع عليه في 9 نوفمبر 2020.
↑ دورتشي، سي؛ هيلسون، دبليو؛ باتشيني، سي (2004). "الاستخدام الفعال لقانون بنفورد للمساعدة في كشف الاحتيال في البيانات المحاسبية". مجلة المحاسبة الجنائية . 5 : 17-34 .
1 2 دومبجن، ل؛ لوينبرجر، س (2008). "حدود صريحة لخطأ التقريب في قانون بنفورد". الاتصالات الإلكترونية في الاحتمالات . 13 : 99-112 . arXiv : 0705.4488 . doi : 10.1214/ECP.v13-1358 . S2CID 2596996 .
هيل ، ثيودور ب. ( 1995). "ظاهرة الأرقام المعنوية" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 102 (4): 322-327 . doi : 10.1080/00029890.1995.11990578 . JSTOR 2974952 .
↑ سكوت، بي دي؛ فاسلي، إم. (2001) "قانون بنفورد: دراسة تجريبية وتفسير جديد". مؤرشف في 13 ديسمبر 2014 على موقع Wayback Machine . التقرير الفني رقم 349، قسم علوم الحاسوب، جامعة إسكس.
1 2 3 سوه، آي إس؛ هيدريك، تي سي (2010). "تحليل مقارن بين أسلوب بوتستراب والإجراءات الإحصائية التقليدية المطبقة على التحليل الرقمي بناءً على قانون بنفورد" (ملف PDF) . مجلة المحاسبة الجنائية والتحقيقية . 2 (2): 144-175 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 7 أكتوبر 2018. تم الاطلاع عليه في 30 يونيو 2012 .

للمزيد من القراءة

أرنو بيرغر؛ ثيودور ب. هيل (2017). "ما هو... قانون بنفورد؟" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الأمريكية للرياضيات . 64 (2): 132-134 . doi : 10.1090/noti1477 .
أرنو بيرغر وثيودور ب. هيل (2015). مقدمة في قانون بنفورد . مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-0-691-16306-2.
أليكس إيلي كوسوفسكي. قانون بنفورد: النظرية، والقانون العام للكميات النسبية، وتطبيقات كشف الاحتيال الجنائي ، 2014، دار النشر العالمية العلمية. ISBN 978-981-4583-68-8.
"قانون بنفورد - وولفرام ماث وورلد" . Mathworld.wolfram.com. 14 يونيو 2012. تم الاطلاع عليه بتاريخ 26 يونيو 2012 .
أليساندرو غامبيني؛ وآخرون . (2012). "احتمالية الأرقام بتقسيم الأرقام العشوائية: نهج الدالتين ψ و ζ" (PDF) . المعارض الرياضيات . 30 (4): 223-238 . دوى : 10.1016/j.exmath.2012.03.001 .
سيهيتي؛ هولز، إريك؛ كيرشلر، إريك (2005). "تطورات الأسعار بعد صدمة اسمية: قانون بنفورد والتسعير النفسي بعد إدخال اليورو". المجلة الدولية لبحوث التسويق . 22 (4): 471-480 . doi : 10.1016/j.ijresmar.2005.09.002 . S2CID 154273305 .
نيكولاس غوفريت ؛ جان بول ديلاهاي (2011). التشتت والانتظام يستلزمان قانون بنفورد...والمزيد . الصفحات 58-69 . arXiv : 0910.1359 . Bibcode : 2009arXiv0910.1359G . doi : 10.1142/9789814327756_0004 . ISBN 978-981-4327-75-6. S2CID 88518074 . كوسوفسكي، أليكس إيلي (2025). ملخص شامل لظاهرة قانون بنفورد: حول التوزيع غير المتساوي للأرقام ضمن البيانات العلمية والنموذجية . دار النشر العالمية للعلوم. ISBN 978-981-98-0128-2.كوسوفسكي، أليكس إيلي (2025). الألغاز الرياضية في العالم الطبيعي: لماذا يفوق عدد الصغير عدد الكبير . دار النشر العالمية للعلوم. رقم ISBN 978-981-98-0182-4.
برنارد راوخ؛ ماكس غوتشه؛ غيرنوت برالر؛ ستيفان إنجل (أغسطس 2011). "الحقيقة والخيال في البيانات الاقتصادية الحكومية للاتحاد الأوروبي". المجلة الاقتصادية الألمانية . 12 (3): 243-255 . doi : 10.1111/j.1468-0475.2011.00542.x . S2CID 155072460 .
ويندي تشو وبريان غينز (أغسطس 2007). "خرق قانون (بنفورد): كشف الاحتيال الإحصائي في تمويل الحملات الانتخابية". الإحصائي الأمريكي . 61 (3): 218-223 . doi : 10.1198/000313007X223496 . S2CID 7938920 .
جيرينجر، هيلدا ؛ فورلان، إل في (1948). "قانون الانسجام في الإحصاء: دراسة للترابط القياسي للظواهر الاجتماعية. بقلم إل في فورلان". مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية . 43 (242): 325-328 . doi : 10.2307/2280379 . JSTOR 2280379 .

روابط خارجية

ببليوغرافيا بنفورد على الإنترنت ، وهي قاعدة بيانات ببليوغرافية على الإنترنت حول قانون بنفورد.

[11] من المفترض أن تكون أشرطة، ولكنها معروضة كخطوط للتوضيح.

[20] يصف بيرغر وهيل هذه الحجة لكنهما يقولان إنها "لا تزال تترك السؤال مفتوحًا حول سبب كون افتراض أن لوغاريتم الانتشار، على عكس الانتشار نفسه - أو لنقل، لوغاريتم الانتشار - يجب أن يكون كبيرًا" وأن "افتراض انتشار كبير على مقياس لوغاريتمي يعادل افتراض توافق تقريبي مع [قانون بنفورد]" (تمت إضافة الخط المائل)، وهو أمر يقولان إنه يفتقر إلى "تفسير بسيط".

[powers-64] {بشكل عام، فإن} المتتالية k1 ، k2 ^،k3 ^، إلخ، تحقق قانونبنفورد تمامًا، بشرط أنيكون_{لوغاريتم}k عددًا غير نسبي . هذه نتيجة مباشرة لنظرية التوزيع المتساوي .

[BergerHill2011-1] بيرغر، آرنو؛ هيل، ثيودور ب. (1 مارس 2011). "قانون بنفورد يرد بقوة: لا يوجد تفسير بسيط في الأفق لهذه الجوهرة الرياضية" . مجلة الرياضيات الذكية . 33 (1): 85-91 . doi : 10.1007/s00283-010-9182-3 . ISSN 1866-7414 .

[2] وايسشتاين، إريك دبليو. "قانون بنفورد" . ماث وورلد، مورد ويب من وولفرام . تم الاسترجاع في 7 يونيو 2015 .

[3] هيل، ثيودور (1995). "اشتقاق إحصائي لقانون الرقم المعنوي" . العلوم الإحصائية . 10 (4): 09869. Bibcode : 1995StaSc..1009869H . doi : 10.1214/ss/1177009869 .

[4] بول هـ. كفام، براني فيداكوفيتش، الإحصاءات غير البارامترية مع تطبيقات في العلوم والهندسة ، ص 158.

[BergerHill2020-5] 1 2 بيرغر، أرنو؛ هيل، ثيودور ب. (30 يونيو 2020). "رياضيات قانون بنفورد: مدخل تمهيدي". أساليب الإحصاء التطبيقية . 30 (3): 779-795 . arXiv : 1909.07527 . doi : 10.1007/s10260-020-00532-8 . S2CID 202583554 .

[6] كاي، تشاودونغ؛ فاوست، ماثيو؛ هيلدبراند، إيه جيه؛ لي، جونشيان؛ تشانغ، يوان (15 مارس 2020). "الدقة المذهلة لقانون بنفورد في الرياضيات". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 127 (3): 217-237 . arXiv : 1907.08894 . doi : 10.1080/00029890.2020.1690387 . ISSN 0002-9890 . S2CID 198147766 .

[Benford-7] 1 2 فرانك بنفورد (مارس 1938). "قانون الأعداد الشاذة". وقائع الجمعية الفلسفية الأمريكية 78 (4): 551-572 . Bibcode : 1938PAPhS..78..551B . JSTOR 984802 .

[Newcomb-8] 1 2 سيمون نيوكومب (1881). "ملاحظة حول تكرار استخدام الأرقام المختلفة في الأعداد الطبيعية". المجلة الأمريكية للرياضيات . 4 (1/4): 39-40 . Bibcode : 1881AmJM ....4...39N . doi : 10.2307/2369148 . JSTOR 2369148. S2CID 124556624 .

[Formann2010-9] 1 2 3 4 فورمان، أ.ك. (2010). موريس، ريتشارد جيمس (محرر). "قانون نيوكومب-بينفورد وعلاقته ببعض التوزيعات الشائعة" . PLOS ONE . 5 (5) e10541. Bibcode : 2010PLoSO...510541F . doi : 10.1371/journal.pone.0010541 . PMC 2866333. PMID 20479878 .

[Miller2015-10] 1 2 ميلر، ستيفن ج. ، محرر. (9 يونيو 2015). قانون بنفورد: النظرية والتطبيقات . مطبعة جامعة برينستون. ص 309. ISBN 978-1-4008-6659-5.

[12] بيمبلي، جيه إم (2014). "قانون بنفورد كتحويل لوغاريتمي" (ملف PDF) . ماكسويل للاستشارات، ذ.م.م. مؤرشف ( ملف PDF) من الأصل في 9 أكتوبر 2022. تم الاطلاع عليه في 15 نوفمبر 2020 .

[13] خسرواني، أ. (2012). ثبات تحويل متغيرات بنفورد ونمذجتها العددية . أبحاث حديثة في التحكم الآلي والإلكترونيات. ص 57-61 . ISBN 978-1-61804-080-0.

[:0-14] أشار رالف رايمي إلى أن أول 100 قوة للعدد 2 تُحقق قانون بنفورد تقريبًا. رايمي ، رالف أ. (1976). "مسألة الرقم الأول". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 83 (7): 521-538 . doi : 10.2307/2319349 . JSTOR 2319349 .

[Hill1995-15] 1 2 ثيودور ب. هيل (1995). "اشتقاق إحصائي لقانون الأرقام المعنوية" . العلوم الإحصائية . 10 (4): 354-363 . Bibcode : 1995StaSc..1009869H . doi : 10.1214/ss/1177009869 . MR 1421567 .

[Hill1995b-16] هيل، ثيودور ب. (1995). "ثبات الأساس يستلزم قانون بنفورد" . وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية . 123 (3): 887-895 . doi : 10.1090/S0002-9939-1995-1233974-8 . ISSN 0002-9939 .

[dspguide-17] 1 2 3 4 ستيفن دبليو سميث. "الفصل 34: شرح قانون بنفورد. قوة معالجة الإشارات" . دليل العالم والمهندس لمعالجة الإشارات الرقمية . تم الاطلاع عليه بتاريخ 15 ديسمبر 2012 .

[fewster-18] 1 2 3 فيوستر، آر إم (2009). "شرح مبسط لقانون بنفورد" ( ملف PDF) . الإحصائي الأمريكي . 63 (1): 26-32 . CiteSeerX 10.1.1.572.6719 . doi : 10.1198/tast.2009.0005 . S2CID 39595550. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 9 أكتوبر 2022.

[BergerHillExplain-19] أرنو بيرغر وثيودور ب. هيل، قانون بنفورد يضرب من جديد: لا يوجد تفسير بسيط في الأفق للجوهرة الرياضية ، 2011.

[21] وايمان، ج.؛ شولزنجر، إ.؛ بورماشينكو، محرر. (2016). "اعتبارات بديهية توضح أصل قانون بنفورد ومدى قابليته للتطبيق". نتائج في الفيزياء . 6. إلسيفير بي في: 3-6 . arXiv : 1510.07220 . Bibcode : 2016ResPh...6....3W . doi : 10.1016/j.rinp.2015.11.010 . ISSN 2211-3797 . تركز هذه المقالة على قانون بنفورد كنتيجة لبنية أنظمة الأرقام الموضعية. من هذا المنطلق، فإن محاولات التفسير القائمة على ثبات المقياس، أو ثبات الأساس، أو حتى تصوير قانون بنفورد كقانون غامض من قوانين الطبيعة، تستدعي على الأقل مزيدًا من التحسين. ومن الأمثلة المقنعة للغاية نظام الأرقام الموضعية الثنائية (بأساس 2) الذي ينص "قانون بنفورد" على أن احتمال العثور على الرقم 1 في المكان الأول من الرقم هو 100٪.

[Krieger1970-22] كريجر، فولفغانغ (1970). "حول الإنتروبيا ومولدات التحويلات الحافظة للقياس" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 149 (2): 453. doi : 10.1090/S0002-9947-1970-0259068-3 . ISSN 0002-9947 .

[Downarowicz2011-23] داوناروفيتش، توماس (12 مايو 2011). الإنتروبيا في الأنظمة الديناميكية . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 106. ISBN 978-1-139-50087-6.

[24] سمورودينسكي، مئير (1971). "الفصل التاسع. الإنتروبيا والمولدات. نظرية كريجر". نظرية الإرجودية، الإنتروبيا . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد 214. برلين، هايدلبرغ: سبرينغر. الصفحات 54-57 . doi : 10.1007/BFb0066096 . ISBN 978-3-540-05556-3.

[Jolion2001-25] جوليون، جان ميشيل (2001). "الصور وقانون بنفورد". مجلة التصوير الرياضي والرؤية . 14 (1): 73-81 . Bibcode : 2001JMIV...14...73J . doi : 10.1023/A:1008363415314 . ISSN 0924-9907 . S2CID 34151059 .

[Lemons2019-26] ليمونز، دون س. (2019). "الديناميكا الحرارية لقانون بنفورد للرقم الأول". المجلة الأمريكية للفيزياء . 87 (10): 787-790 . arXiv : 1604.05715 . Bibcode : 2019AmJPh..87..787L . doi : 10.1119/1.5116005 . ISSN 0002-9505 . S2CID 119207367 .

[Pietronero-27] 1 2 ل. بيترونيرو؛ إ. توساتي؛ ف. توساتي؛ أ. فيسبينياني (2001). "شرح التوزيع غير المتكافئ للأعداد في الطبيعة: قوانين بنفورد وزيبف". فيزيكا أ . 293 ( 1-2 ): 297-304 . arXiv : cond-mat/9808305 . Bibcode : 2001PhyA..293..297P . doi : 10.1016/S0378-4371(00)00633-6 .

[28] فورمان، أ.ك. (2010). "قانون نيوكومب-بنفورد وعلاقته ببعض التوزيعات الشائعة" . PLOS ONE . 5 (5) e10541. Bibcode : 2010PLoSO...510541F . doi : 10.1371/ journal.pone.0010541 . PMC 2866333. PMID 20479878 .

[Hill1998-29] ثيودور ب. هيل (يوليو-أغسطس 1998). "ظاهرة الرقم الأول" (ملف PDF) . مجلة ساينتست الأمريكية . 86 (4): 358. Bibcode : 1998AmSci..86..358H . doi : 10.1511/1998.4.358 . S2CID 13553246 .

[30] جانفرس، إليز؛ تيري (2004). "من التوزيعات المنتظمة إلى قانون بنفورد" (ملف PDF) . مجلة الاحتمالات التطبيقية . 41 (4): 1203-1210 . doi : 10.1239/jap/1101840566 . MR 2122815. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 4 مارس 2016. تم الاطلاع عليه في 13 أغسطس 2015 .

[Pinkham-31] بينكهام، روجر س. (1961). "حول توزيع الأرقام المعنوية الأولى" . حوليات الإحصاء الرياضي . 32 (4): 1223-1230 . Bibcode : 1961AnnMS..32.1223P . doi : 10.1214/aoms/1177704862 .

[wolfram-32] وايسشتاين، إريك دبليو. "قانون بنفورد" . mathworld.wolfram.com .

[33] جامين، أدريان (سبتمبر 2001). "قانون بنفورد" (ملف PDF) . إمبريال كوليدج لندن . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 9 أكتوبر 2022. تم الاطلاع عليه في 15 نوفمبر 2020 .

[34] بيرغر، أرنو (يونيو 2011). "نظرية أساسية لقانون بنفورد" . استطلاعات الاحتمالات . 8 (2011): 1-126 .

[35] فاريان، هال (1972). "قانون بنفورد (رسائل إلى المحرر)". الإحصائي الأمريكي . 26 (3): 65. doi : 10.1080/00031305.1972.10478934 .

[36] "من بنفورد إلى إردوس" . مختبر الراديو . الحلقة 2009-10-09. 30 سبتمبر 2009.

[37] والتر ر. ميبان الابن، " التحليل الجنائي للانتخابات: فرز الأصوات وقانون بنفورد " (18 يوليو 2006).

[38] " تحليلات جنائية للانتخابات "، مجلة الإيكونوميست (22 فبراير 2007).

[39] ديكرت، جوزيف؛ مياغكوف، ميخائيل؛ أوردشوك، بيتر سي. (2011). "قانون بنفورد وكشف تزوير الانتخابات" . التحليل السياسي . 19 (3): 245-268 . doi : 10.1093/pan/mpr014 . ISSN 1047-1987 .

[40] ميبان، والتر ر. (2011). "تعليق على "قانون بنفورد والكشف عن تزوير الانتخابات"" . التحليل السياسي . 19 (3): 269– 272. doi : 10.1093/pan/mpr024 .

[41] ستيفن باترسبي: إحصائيات تشير إلى تزوير في الانتخابات الإيرانية، مجلة نيو ساينتست ، 24 يونيو 2009

[42] والتر ر. ميبان الابن، " ملاحظة حول الانتخابات الرئاسية في إيران، يونيو 2009 " (جامعة ميشيغان، 29 يونيو 2009)، ص 22-23.

[43] روكيما، بودوين ف. (2014). "شذوذ الرقم الأول في الانتخابات الرئاسية الإيرانية لعام 2009". مجلة الإحصاء التطبيقي . 41 : 164-199 . arXiv : 0906.2789 . Bibcode : 2014JApSt..41..164R . doi : 10.1080/02664763.2013.838664 . S2CID 88519550 .

[44] بيرند بيبر وألكسندرا سكاكو، " الشيطان يكمن في الأرقام: دليل على تزوير الانتخابات الإيرانية "، صحيفة واشنطن بوست (20 يونيو 2009).

[45] مارك ج. نيغريني، قانون بنفورد: تطبيقات في المحاسبة الجنائية والتدقيق والكشف عن الاحتيال (هوبوكين، نيوجيرسي: وايلي، 2012)، ص 132-35.

[election-forensics-46] 1 2 والتر ر. ميبان الابن، "علم الأدلة الجنائية للانتخابات: اختبار قانون بنفورد للرقم الثاني والانتخابات الرئاسية الأمريكية الأخيرة" في كتاب تزوير الانتخابات: كشف التلاعب الانتخابي وردعه ، تحرير ر. مايكل ألفاريز وآخرون (واشنطن العاصمة: مطبعة مؤسسة بروكينغز، 2008)، الصفحات 162-181. PDF

[47] شيكانو، سوسومو. ماك، فيرينا (2011). “متى يشير اختبار قانون بنفورد ذو الرقم الثاني إلى تزوير الانتخابات؟ حقائق أو نتائج اختبار مضللة “. Jahrbücher للاقتصاد الوطني والإحصاء . 231 ( 5– 6): 719– 732. دوى : 10.1515/jbnst-2011-5-610 . S2CID 153896048 .

[48] "تدقيق الحقائق: الانحراف عن قانون بنفورد لا يثبت تزوير الانتخابات" . رويترز . 10 نوفمبر 2020.

[49] دايسي، جيمس (19 نوفمبر 2020). "قانون بنفورد والانتخابات الرئاسية الأمريكية لعام 2020: لا شيء غير عادي" . عالم الفيزياء .

[50] ويليام جودمان، وعود ومخاطر قانون بنفورد ، الأهمية ، الجمعية الإحصائية الملكية (يونيو 2016)، ص 38.

[Goldacre-51] غولديكر، بن (16 سبتمبر 2011). "الحيلة الخاصة التي تساعد في تحديد الإحصائيات المشكوك فيها" . صحيفة الغارديان . تم الاطلاع عليه في 1 فبراير 2019 .

[52] سيهيتي، طارق؛ هولز، إريك؛ كيرشلر، إريك (1 ديسمبر 2005). "تطورات الأسعار بعد صدمة اسمية: قانون بنفورد والتسعير النفسي بعد إدخال اليورو". المجلة الدولية لبحوث التسويق . 22 (4): 471-480 . doi : 10.1016/j.ijresmar.2005.09.002 . S2CID 154273305 .

[Friar2012-53] فراير، جيه إل؛ غولدمان، تي؛ بيريز-ميركادر، جيه (2012). "أحجام الجينوم وتوزيع بنفورد" . PLOS ONE . 7 (5) e36624. arXiv : 1205.6512 . Bibcode : 2012PLoSO...736624F . doi : 10.1371/journal.pone.0036624 . PMC 3356352. PMID 22629319 .

[Diekmann2007-54] ديكمان، أ. (2007). "ليس الرقم الأول! استخدام قانون بنفورد للكشف عن البيانات العلمية المزورة". مجلة الإحصاء التطبيقي . 34 (3): 321-329 . Bibcode : 2007JApSt..34..321D . doi : 10.1080/02664760601004940 . hdl : 20.500.11850/310246 . S2CID 117402608 .

[Stephens1970-55] ستيفنز، ماجستير (1970). "استخدام إحصاءات كولموغوروف-سميرنوف، وكريمر-فون ميزس، والإحصاءات ذات الصلة دون جداول مطولة". مجلة الجمعية الإحصائية الملكية، السلسلة ب . 32 (1): 115-122 . doi : 10.1111/j.2517-6161.1970.tb00821.x

[Morrow2014-56] 1 2 3 4 مورو، جون (أغسطس 2014). قانون بنفورد، وعائلات التوزيعات، وأساس الاختبار . لندن، المملكة المتحدة . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 مارس 2022 .{{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )

[Leemis2000-57] 1 2 3 ليميس، إل إم؛ شميسر، بي دبليو؛ إيفانز، دي إل (2000). "توزيعات البقاء التي تحقق قانون بنفورد". الإحصائي الأمريكي . 54 (4): 236-241 . doi : 10.1080/00031305.2000.10474554 . S2CID 122607770 .

[Cho2007-58] تشو، دبليو كيه تي؛ غينز، بي جيه (2007). "خرق قانون (بنفورد): الكشف عن الاحتيال الإحصائي في تمويل الحملات الانتخابية". الإحصائي الأمريكي . 61 (3): 218-223 . doi : 10.1198/000313007X223496 . S2CID 7938920 .

[Suh2011-59] سوه، آي إس؛ هيدريك، تي سي؛ مينابورو، إس. (2011). "تقنية تحليلية فعالة وكفؤة: إجراء انحدار بوتستراب وقانون بنفورد". مجلة المحاسبة الجنائية والتحقيقية . 3 (3).

[60] أوستروفسكي، فلاديمير (مايو 2017). "اختبار تكافؤ التوزيعات متعددة الحدود" . رسائل الإحصاء والاحتمالات . 124 : 77-82 . doi : 10.1016/j.spl.2017.01.004 . S2CID 126293429 .

[61] واشنطن، إل سي (1981). "قانون بنفورد لأعداد فيبوناتشي ولوكاس". مجلة فيبوناتشي الفصلية . 19 (2): 175-177 . doi : 10.1080/00150517.1981.12430109 .

[62] دنكان، آر إل (1967). "تطبيق التوزيع المنتظم على أعداد فيبوناتشي". مجلة فيبوناتشي الفصلية . 5 (2): 137-140 . doi : 10.1080/00150517.1967.12431312 .

[63] ساركار، بي بي (1973). "ملاحظة حول الأرقام المعنوية لمعاملات ذات الحدين والمضروب". سانخيا ب . 35 : 363-364 .

[Raimi1976-65] 1 2 رايمي، رالف أ. (أغسطس-سبتمبر 1976). "مسألة الرقم الأول". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 83 (7): 521-538 . doi : 10.2307/2319349 . JSTOR 2319349 .

[66] زيغا، ليزا؛ Phys.org. "نمط جديد تم اكتشافه في الأعداد الأولية" . phys.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 يناير 2022 .

[67] تشو، ويندي ك. تام؛ غينز، برايان ج. (2007). "خرق قانون (بنفورد): الكشف عن الاحتيال الإحصائي في تمويل الحملات الانتخابية". الإحصائي الأمريكي . 61 (3): 218-223 . doi : 10.1198/000313007X223496 . ISSN 0003-1305 . JSTOR 27643897. S2CID 7938920 .

[Beer2009-68] بير، تريفور و . (2009). "تفضيل الرقم الأخير: احذر قانون بنفورد". مجلة علم الأمراض السريرية 62 (2): 192. doi : 10.1136/jcp.2008.061721 . PMID 19181640. S2CID 206987736 .

[69] سينغلتون، تومي دبليو. (1 مايو 2011). " فهم وتطبيق قانون بنفورد "، مجلة ISACA ، جمعية تدقيق ومراقبة نظم المعلومات . تم الاطلاع عليه في 9 نوفمبر 2020.

[Durtschi2004-70] دورتشي، سي؛ هيلسون، دبليو؛ باتشيني، سي (2004). "الاستخدام الفعال لقانون بنفورد للمساعدة في كشف الاحتيال في البيانات المحاسبية". مجلة المحاسبة الجنائية . 5 : 17-34 .

[Dümbgen2008-71] 1 2 دومبجن، ل؛ لوينبرجر، س (2008). "حدود صريحة لخطأ التقريب في قانون بنفورد". الاتصالات الإلكترونية في الاحتمالات . 13 : 99-112 . arXiv : 0705.4488 . doi : 10.1214/ECP.v13-1358 . S2CID 2596996 .

[Hill1995sigdig-72] هيل ، ثيودور ب. ( 1995). "ظاهرة الأرقام المعنوية" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 102 (4): 322-327 . doi : 10.1080/00029890.1995.11990578 . JSTOR 2974952 .

[Scott2001-73] سكوت، بي دي؛ فاسلي، إم. (2001) "قانون بنفورد: دراسة تجريبية وتفسير جديد". مؤرشف في 13 ديسمبر 2014 على موقع Wayback Machine . التقرير الفني رقم 349، قسم علوم الحاسوب، جامعة إسكس.

[Suh2010-74] 1 2 3 سوه، آي إس؛ هيدريك، تي سي (2010). "تحليل مقارن بين أسلوب بوتستراب والإجراءات الإحصائية التقليدية المطبقة على التحليل الرقمي بناءً على قانون بنفورد" (ملف PDF) . مجلة المحاسبة الجنائية والتحقيقية . 2 (2): 144-175 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 7 أكتوبر 2018. تم الاطلاع عليه في 30 يونيو 2012 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

4

[

[

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[

[ ملاحظة 1 ]

[ 11 ]

[

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ ملاحظات 2 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[

[

[

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

39 ] وخلص

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[

45

[

[

[ 48 ]

[ 49 ]

[ 50 ]

[ 51 ]

[ 52 ]

[ 53 ]

[ 54 ]

[ 55 ]

[ 56 ] بالصيغة التالية:

[ 57 ]

[ 58 ] .

[

[

[

[

الأعداد

[

[

[

[ 66 ]

[ 67 ]

[ 68 ]

[ 69 ]

[ 70 ]

[ 71 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗