المشتق المتغير

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعدّ المشتق المتغير طريقةً لتحديد المشتقة على طول متجهات المماس لمتشعب . كما يُستخدم المشتق المتغير لإدخال اتصال على متشعب والتعامل معه باستخدام مؤثر تفاضلي ، وذلك على عكس النهج الذي يوفره الاتصال الرئيسي على حزمة الإطار (انظر الاتصال الأفيني) . في حالة خاصة، وهي حالة متشعب مُضمّن بشكل متساوي القياس في فضاء إقليدي ذي أبعاد أعلى ، يُمكن اعتبار المشتق المتغير بمثابة الإسقاط المتعامد للمشتق الاتجاهي الإقليدي على فضاء المماس للمتشعب. في هذه الحالة، ينقسم المشتق الإقليدي إلى جزأين: المكون العمودي الخارجي (الذي يعتمد على التضمين) ومكون المشتق المتغير الداخلي.

يستمد هذا الاسم دافعه من أهمية تغييرات الإحداثيات في الفيزياء : إذ يتحول المشتق المتغير بشكل متغير تحت تحويل إحداثيات عام، أي خطيًا عبر مصفوفة جاكوبي للتحويل. [ 1 ]

تُقدّم هذه المقالة مدخلاً إلى المشتقة التغايرية لحقل متجهي بالنسبة إلى حقل متجهي آخر، وذلك باستخدام لغة لا تعتمد على الإحداثيات، وكذلك باستخدام نظام إحداثيات محلي ورمز الفهرسة التقليدي. كما تُقدّم المشتقة التغايرية لحقل موتر كامتداد للمفهوم نفسه. وتُعمّم المشتقة التغايرية بسهولة إلى مفهوم التفاضل المرتبط بوصلة على حزمة متجهية ، والمعروفة أيضاً بوصلة كوزول .

تاريخ

تاريخيًا، في مطلع القرن العشرين، قدّم غريغوريو ريتشي-كورباسترو وتوليو ليفي-سيفيتا مفهوم المشتقة المتغيرة في نظرية الهندسة الريمانية وشبه الريمانية . [ 2 ] لاحظ ريتشي وليفي-سيفيتا (مستندين إلى أفكار إلوين برونو كريستوفيل ) أن رموز كريستوفيل المستخدمة لتعريف الانحناء يمكن أن توفر أيضًا مفهومًا للتفاضل يُعمّم المشتقة الاتجاهية الكلاسيكية لحقول المتجهات على مشعب. [ 3 ] [ 4 ] كانت هذه المشتقة الجديدة - اتصال ليفي-سيفيتا - متغيرة بمعنى أنها استوفت شرط ريمان بأن تكون الكائنات في الهندسة مستقلة عن وصفها في نظام إحداثيات معين.

سرعان ما لاحظ علماء رياضيات آخرون، من أبرزهم هيرمان فايل ، ويان أرنولدوس شوتين ، وإيلي كارتان ، [ 5 ] أنه يمكن تعريف المشتقة المتغيرة بشكل مجرد دون وجود مقياس . لم تكن السمة الأساسية هي الاعتماد على المقياس، بل أن رموز كريستوفيل تحقق قانون تحويل دقيق من الدرجة الثانية. يمكن أن يكون قانون التحويل هذا بمثابة نقطة انطلاق لتعريف المشتقة بطريقة متغيرة. وهكذا، انفصلت نظرية التفاضل المتغير عن السياق الريماني البحت لتشمل نطاقًا أوسع من الهندسات الممكنة.

في أربعينيات القرن العشرين، بدأ ممارسو الهندسة التفاضلية في تقديم مفاهيم أخرى للتفاضل المتغير في حزم المتجهات العامة ، والتي لم تكن، على عكس الحزم الكلاسيكية التي تهم علماء الهندسة، جزءًا من تحليل الموترات للمتشعب. وبشكل عام، كان لا بد من تحديد هذه المشتقات المتغيرة المعممة بشكل خاص باستخدام صيغة ما من مفهوم الاتصال. في عام 1950، وحد جان لويس كوزول هذه الأفكار الجديدة للتفاضل المتغير في حزمة متجهات من خلال ما يُعرف اليوم باسم اتصال كوزول أو الاتصال على حزمة متجهات. [ 6 ] وباستخدام أفكار من علم التماثل في جبر لي ، نجح كوزول في تحويل العديد من الخصائص التحليلية للتفاضل المتغير إلى خصائص جبرية. وعلى وجه الخصوص، ألغت اتصالات كوزول الحاجة إلى التعاملات المعقدة مع رموز كريستوفيل (وغيرها من الكائنات غير الموترية المماثلة ) في الهندسة التفاضلية. وهكذا حلت هذه المفاهيم بسرعة محل المفهوم الكلاسيكي للمشتق المتغير في العديد من المعالجات التي أجريت بعد عام 1950 لهذا الموضوع.

تحفيز

المشتقة المتغيرة هي تعميم للمشتقة الاتجاهية من حساب المتجهات . وكما هو الحال مع المشتقة الاتجاهية، فإن المشتقة المتغيرة هي قاعدة.∇uv{\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }}تأخذ هذه الدالة كمدخلات: (1) متجهًا u معرفًا عند النقطة P ، و(2) حقلًا متجهيًا v معرفًا في جوار النقطة P. [ 7 ] ويكون الناتج هو المتجه∇uv(P){\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }(P)}وكذلك عند النقطة P. والفرق الأساسي عن المشتقة الاتجاهية المعتادة هو أن∇uv{\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }}يجب، بمعنى دقيق معين، أن يكون مستقلاً عن الطريقة التي يتم التعبير بها عنه في نظام إحداثيات .

يمكن وصف المتجه كقائمة من الأرقام بدلالة أساس معين ، ولكن ككائن هندسي، يحتفظ المتجه بهويته بغض النظر عن كيفية وصفه. بالنسبة لمتجه هندسي مكتوب بمركباته بالنسبة لأساس واحد، عند تغيير الأساس، تتحول المركبات وفقًا لصيغة تغيير الأساس ، مع خضوع الإحداثيات لتحويل متغاير . يجب أن يتحول المشتق المتغاير، عند تغيير الإحداثيات، بتحويل متغاير بنفس طريقة تحول الأساس (ومن هنا جاءت التسمية).

في حالة الفضاء الإقليدي ، يُعرَّف المشتق الاتجاهي لحقل متجهي عادةً بدلالة الفرق بين متجهين عند نقطتين متجاورتين. في هذا النظام، يُنقل أحد المتجهين إلى نقطة الأصل للآخر مع الحفاظ على التوازي بينهما، ثم يُحسب الفرق بينهما ضمن نفس الفضاء المتجهي. أما في نظام الإحداثيات الديكارتية ( المتعامدة الثابتة )، فإن "الحفاظ على التوازي" يعني الحفاظ على ثبات مركبات المتجهين. يُعد هذا المشتق الاتجاهي العادي في الفضاء الإقليدي أول مثال على المشتق المتغير.

بعد ذلك، يجب مراعاة تغيرات نظام الإحداثيات. على سبيل المثال، إذا وُصف المستوى الإقليدي بالإحداثيات القطبية، فإن "إبقائه متوازيًا" لا يعني بالضرورة ثبات المركبات القطبية تحت تأثير الإزاحة، لأن شبكة الإحداثيات نفسها "تدور". وبالتالي، فإن المشتقة المتغيرة نفسها المكتوبة بالإحداثيات القطبية تحتوي على حدود إضافية تصف كيفية دوران شبكة الإحداثيات نفسها، أو كيف تتمدد الشبكة أو تنكمش أو تلتوي أو تتشابك، وما إلى ذلك، في إحداثيات أكثر عمومية.

لنأخذ مثالاً على جسيم يتحرك على طول منحنى γ ( t ) في المستوى الإقليدي. في الإحداثيات القطبية، يمكن كتابة γ بدلالة إحداثياته ​​القطرية والزاوية على النحو التالي: γ ( t ) = ( r ( t ), θ ( t )) . يُعبَّر عن متجه عند زمن معين t [ 8 ] (على سبيل المثال، تسارع ثابت للجسيم) بدلالة(هـر،هـθ){\displaystyle (\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta })}، أينهـر{\displaystyle \mathbf {e} _{r}}وهـθ{\displaystyle \mathbf {e} _{\theta }}تمثل هذه المتجهات متجهات مماسية وحدوية للإحداثيات القطبية، وتُستخدم كأساس لتحليل المتجه إلى مركباته القطرية والمماسية . بعد فترة وجيزة، يظهر الأساس الجديد في الإحداثيات القطبية مُدارًا قليلًا بالنسبة للمجموعة الأولى. ويُستخدم المشتق المتغير لمتجهات الأساس ( رموز كريستوفيل ) للتعبير عن هذا التغيير.

في الفضاء المنحني، كسطح الأرض (المُعتبر كرةً)، لا يكون انتقال متجهات المماس بين النقاط المختلفة مُحددًا بدقة، ويعتمد نظيره، النقل الموازي ، على المسار الذي يُنقل عليه المتجه. متجه على كرة أرضية عند خط الاستواء عند النقطة Q يكون مُوجهًا نحو الشمال. لنفترض أننا نقلنا المتجه (مع الحفاظ على موازاته) أولًا على طول خط الاستواء إلى النقطة P ، ثم سحبناه على طول خط زوال إلى القطب الشمالي ، وأخيرًا نقلناه على طول خط زوال آخر عائدًا إلى Q. نلاحظ حينها أن المتجه المنقول موازيًا على طول مسار مغلق لا يعود كما هو، بل يكون له اتجاه مختلف. هذا لا يحدث في الفضاء الإقليدي، ويعود سببه إلى انحناء سطح الكرة الأرضية. يحدث التأثير نفسه إذا سحبنا المتجه على طول سطح مغلق متناهي الصغر على طول اتجاهين متتاليين ثم عدنا. هذا التغير المتناهي الصغر في المتجه هو مقياس للانحناء ، ويمكن تعريفه بدلالة المشتقة المتغيرة.

ملاحظات

  • لا يستخدم تعريف المشتقة المتغيرة المقياس في الفضاء. ومع ذلك، لكل مقياس توجد مشتقة متغيرة فريدة خالية من الالتواء تُسمى وصلة ليفي-سيفيتا، بحيث تكون المشتقة المتغيرة للمقياس صفرًا.
  • تشير خصائص المشتقة إلى أن∇vu{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} }يعتمد على قيم u في جوار النقطة p بنفس الطريقة التي يعتمد بها مشتق الدالة العددية f على طول منحنى عند نقطة معينة p على قيم f في جوار p .
  • يمكن استخدام المعلومات الموجودة في جوار النقطة p في المشتقة المتغيرة لتحديد النقل المتوازي للمتجه. كما يمكن تعريف الانحناء والالتواء والخطوط الجيوديسية فقط بدلالة المشتقة المتغيرة أو أي صيغة أخرى مشابهة لفكرة الاتصال الخطي .
  • يمكن حل بعض المعادلات التي تتضمن مشتقة متغيرة محليًا باستخدام تكاملات تشين المتكررة [ 9 ] أو باستخدام نهج يعتمد على عامل التماثل الخطي. [ 10 ]

تعريف غير رسمي باستخدام تضمين في الفضاء الإقليدي

لنفترض أن مجموعة جزئية مفتوحة U من مشعب ريماني M ذي d بُعد مُضمنة في الفضاء الإقليدي(Rن،⟨⋅،⋅⟩){\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}عن طريق عملية تحويل قابلة للتفاضل مرتين بشكل مستمر (C 2 )Ψ→:Rد⊃يو→Rن{\displaystyle {\vec {\Psi }}:\mathbb {R} ^{d}\supset U\to \mathbb {R} ^{n}}بحيث يكون الفضاء المماسي عندΨ→(ص){\displaystyle {\vec {\Psi }}(p)}يمتد بواسطة المتجهات {∂Ψ→∂xأنا|ص:أنا∈{1،...،د}}{\displaystyle \left\{\left.{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}}}\right|_{p}:i\in \{1,\dots ,d\}\right\}} والضرب القياسي⟨⋅،⋅⟩{\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle }علىRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}متوافق مع المقياس على M : زأناج=⟨∂Ψ→∂xأنا،∂Ψ→∂xج⟩.{\displaystyle g_{ij}=\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}\right\rangle .}

(بما أن مقياس التشعب يفترض دائمًا أنه منتظم، فإن شرط التوافق يستلزم الاستقلال الخطي لمتجهات المماس للمشتقات الجزئية.)

بالنسبة لحقل متجه مماس،V→=vج∂Ψ→∂xج{\displaystyle {\vec {V}}=v^{j}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}}، لدى المرء ∂V→∂xأنا=∂∂xأنا(vج∂Ψ→∂xج)=∂vج∂xأنا∂Ψ→∂xج+vج∂2Ψ→∂xأنا∂xج.{\displaystyle {\frac {\partial {\vec {V}}}{\partial x^{i}}}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left(v^{j}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}\right)={\frac {\partial v^{j}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}+v^{j}{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}.}

الحد الأخير ليس مماساً لـ M ، ولكن يمكن التعبير عنه كتركيبة خطية لمتجهات أساس الفضاء المماسي باستخدام رموز كريستوفيل كعوامل خطية بالإضافة إلى متجه متعامد مع الفضاء المماسي: vج∂2Ψ→∂xأنا∂xج=vجΓكأناج∂Ψ→∂xك+ن→.$

في حالة اتصال ليفي-تشيفيتا ، المشتق المتغير∇هـأناV→{\displaystyle \nabla _{\mathbf {e} _{i}}{\vec {V}}}مكتوب أيضًا∇أناV→{\displaystyle \nabla _{i}{\vec {V}}}، ويُعرَّف بأنه الإسقاط المتعامد للمشتقة المعتادة على الفضاء المماسي: ∇هـأناV→:=∂V→∂xأنا-ن→=(∂vك∂xأنا+vجΓكأناج)∂Ψ→∂xك.{\displaystyle \nabla _{\mathbf {e} _{i}}{\vec {V}}:={\frac {\partial {\vec {V}}}{\partial x^{i}}}-{\vec {n}}=\left({\frac {\partial v^{k}}{\partial x^{i}}}+v^{j}{\Gamma ^{k}}_{ij}\right){\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}}.}

من هنا، قد يكون من الملائم حسابيًا الحصول على علاقة بين رموز كريستوفيل لاتصال ليفي-تشيفيتا والمقياس. وللقيام بذلك، نلاحظ أولًا أنه، نظرًا لأن المتجهن→{\displaystyle {\vec {n}}}في المعادلة السابقة يكون متعامدًا مع الفضاء المماسي، ⟨∂2Ψ→∂xأنا∂xج،∂Ψ→∂xل⟩=⟨Γكأناج∂Ψ→∂xك+ن→،∂Ψ→∂xل⟩=⟨∂Ψ→∂xك،∂Ψ→∂xل⟩Γكأناج=زكلΓكأناج.{\displaystyle \left\langle {\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{l}}}\right\rangle =\left\langle {\Gamma ^{k}}_{ij}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}}+{\vec {n}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{l}}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{l}}}\right\rangle {\Gamma ^{k}}_{ij}=g_{kl}\,{\Gamma ^{k}}_{ij}.}

ثم، بما أن المشتقة الجزئية للمكونزأب{\displaystyle g_{ab}}المقياس بالنسبة إلى إحداثيxج{\displaystyle x^{c}}يكون ∂زأب∂xج=∂∂xج⟨∂Ψ→∂xأ،∂Ψ→∂xب⟩=⟨∂2Ψ→∂xج∂xأ،∂Ψ→∂xب⟩+⟨∂Ψ→∂xأ،∂2Ψ→∂xج∂xب⟩،{\displaystyle {\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{c}}}={\frac {\partial }{\partial x^{c}}}\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{a}}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{b}}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{c}\,\partial x^{a}}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{b}}}\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{a}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{c}\,\partial x^{b}}}\right\rangle ,} أي ثلاثية من المؤشرات i و j و k تُنتج نظامًا من المعادلات {∂زجك∂xأنا=⟨∂Ψ→∂xج،∂2Ψ→∂xك∂xأنا⟩+⟨∂Ψ→∂xك،∂2Ψ→∂xأنا∂xج⟩∂زكأنا∂xج=⟨∂Ψ→∂xأنا،∂2Ψ→∂xج∂xك⟩+⟨∂Ψ→∂xك،∂2Ψ→∂xأنا∂xج⟩∂زأناج∂xك=⟨∂Ψ→∂xأنا،∂2Ψ→∂xج∂xك⟩+⟨∂Ψ→∂xج،∂2Ψ→∂xك∂xأنا⟩.{\displaystyle \left\{{\begin{alignedat}{2}{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{i}}}=&&\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}\partial x^{i}}}\right\rangle &+\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}\right\rangle \\{\frac {\partial g_{ki}}{\partial x^{j}}}=&\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}\right\rangle &&+\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}\right\rangle \\{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}=&\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}\right\rangle &+\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}\partial x^{i}}}\right\rangle &&.\end{alignedat}}\right.} (هنا تم استخدام تناظر الضرب القياسي وتم تبديل ترتيب التفاضلات الجزئية.)

بجمع المعادلتين الأوليين وطرح الثالثة، نحصل على ∂زجك∂xأنا+∂زكأنا∂xج-∂زأناج∂xك=2⟨∂Ψ→∂xك،∂2Ψ→∂xأنا∂xج⟩.{\displaystyle {\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{ki}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}=2\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}\right\rangle .}

وبالتالي، ترتبط رموز كريستوفيل الخاصة بعلاقة ليفي-تشيفيتا بالمقياس من خلال زكلΓكأناج=12(∂زجل∂xأنا+∂زلأنا∂xج-∂زأناج∂xل).{\displaystyle g_{kl}{\Gamma ^{k}}_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{jl}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{li}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{l}}}\right).}

إذا كانت الدالة g غير منحلة،Γكأناج{\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}}يمكن حلها مباشرة كما Γكأناج=12زكل(∂زجل∂xأنا+∂زلأنا∂xج-∂زأناج∂xل).{\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}={\frac {1}{2}}g^{kl}\left({\frac {\partial g_{jl}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{li}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{l}}}\right).}

للحصول على مثال بسيط جدًا يُجسّد جوهر الوصف أعلاه، ارسم دائرة على ورقة مسطحة. تحرّك حول الدائرة بسرعة ثابتة. مشتقة سرعتك، أي متجه تسارعك، تشير دائمًا شعاعيًا نحو الداخل. لفّ هذه الورقة على شكل أسطوانة. الآن، للمشتقة الإقليدية لسرعتك مركبة تشير أحيانًا نحو الداخل باتجاه محور الأسطوانة، وذلك اعتمادًا على ما إذا كنت قريبًا من الانقلاب الشمسي أو الاعتدال. (عند نقطة الدائرة التي تتحرك فيها موازيًا للمحور، لا يوجد تسارع نحو الداخل. وعلى العكس، عند نقطة (بعد ربع دائرة) عندما تكون السرعة على طول انحناء الأسطوانة، يكون التسارع نحو الداخل في أقصى قيمة له). هذه هي المركبة العمودية الإقليدية. أما مركبة المشتقة المتغيرة فهي المركبة الموازية لسطح الأسطوانة، وهي نفسها قبل لفّ الورقة على شكل أسطوانة.

التعريف الرسمي

المشتقة المتغيرة هي اتصال (كوزول) على حزمة المماس وحزم الموترات الأخرى : فهي تُفاضل حقول المتجهات بطريقة مماثلة للتفاضل المعتاد على الدوال. يمتد التعريف ليشمل التفاضل على ثنائية حقول المتجهات (أي حقول المتجهات المرافقة ) وعلى حقول الموترات العشوائية ، بطريقة فريدة تضمن التوافق مع عمليات الضرب الموتري والأثر (انكماش الموترات).

الوظائف

بافتراض نقطةص∈م{\displaystyle p\in M}من المتشعب M ، دالة حقيقيةو:م→R{\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }على المتشعب ومتجه مماسv∈تيصم{\displaystyle \mathbf {v} \in T_{p}M}، المشتقة المتغيرة للدالة f عند النقطة p على طول المحور v هي الكمية العددية عند النقطة p ، ويرمز لها بـ(∇vو)ص{\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }f\right)_{p}}يمثل هذا الجزء الرئيسي من التغير في قيمة f عندما تتغير وسيطة f بواسطة متجه الإزاحة المتناهي الصغر v . (هذا هو تفاضل f بالنسبة للمتجه v ) . رسميًا، يوجد منحنى قابل للتفاضلϕ:[-1،1]→م{\displaystyle \phi :[-1,1]\to M} بحيثϕ(0)=ص{\displaystyle \phi (0)=p}وϕ′(0)=v{\displaystyle \phi '(0)=\mathbf {v} }والمشتقة المتغيرة للدالة f عند النقطة p تُعرَّف كما يلي: (∇vو)ص=(و∘ϕ)′(0)=ليمت→0و(ϕ(ت))-و(ص)ت.{\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }f\right)_{p}=\left(f\circ \phi \right)^{\prime }\left(0\right)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\phi \left(t\right))-f(p)}{t}}.}

متىv:م→تيصم{\displaystyle \mathbf {v} :M\to T_{p}M}هو حقل متجه على M ، والمشتق المتغير∇vو:م→R{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f:M\to \mathbb {R} }هي الدالة التي تربط كل نقطة p في المجال المشترك لـ f و v بالقيمة العددية(∇vو)ص{\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }f\right)_{p}}.

بالنسبة لدالة قياسية f وحقل متجه v ، فإن المشتقة المتغيرة∇vو{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f}يتطابق مع مشتق ليلv(و){\displaystyle L_{\mathbf {v} }(f)}ومع المشتق الخارجيدو(v){\displaystyle df(\mathbf {v} )}.

حقول المتجهات

بفرض نقطة p على المتشعب M ، حقل متجهu:م→تيصم{\displaystyle \mathbf {u} :M\to T_{p}M}معرفة في جوار النقطة p ومتجه مماسv∈تيصم{\displaystyle \mathbf {v} \in T_{p}M}، المشتقة المتغيرة لـ u عند النقطة p على طول v هي متجه المماس عند النقطة p ، ويرمز لها بـ(∇vu)ص{\displaystyle (\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} )_{p}}، بحيث تتحقق الخصائص التالية (لأي متجهات مماسية v و x و y عند النقطة p ، وحقول متجهة u و w معرفة في جوار النقطة p ، وقيم قياسية g و h عند النقطة p ، ودالة قياسية f معرفة في جوار النقطة p ):

  1. (∇vu)ص{\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}}خطي فيv{\displaystyle \mathbf {v} }لذا(∇زx+حyu)ص=ز(ص)(∇xu)ص+ح(ص)(∇yu)ص{\displaystyle \left(\nabla _{g\mathbf {x} +h\mathbf {y} }\mathbf {u} \right)_{p}=g(p)\left(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} \right)_{p}+h(p)\left(\nabla _{\mathbf {y} }\mathbf {u} \right)_{p}}
  2. (∇vu)ص{\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}}مادة مضافة فيu{\displaystyle \mathbf {u} }لذا:(∇v[u+w])ص=(∇vu)ص+(∇vw)ص{\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }\left[\mathbf {u} +\mathbf {w} \right]\right)_{p}=\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}+\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {w} \right)_{p}}
  3. (∇vu)ص{\displaystyle (\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} )_{p}}يلتزم بقاعدة الضرب ؛ أي، حيث∇vو{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f}كما هو موضح أعلاه،(∇v[وu])ص=و(ص)(∇vu)ص+(∇vو)صuص.{\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }\left[f\mathbf {u} \right]\right)_{p}=f(p)\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} )_{p}+(\nabla _{\mathbf {v} }f\right)_{p}\mathbf {u} _{p}.}

لاحظ أن(∇vu)ص{\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}}لا يعتمد فقط على قيمة u عند p ولكن أيضًا على قيم u في جوار p ، لأن الخاصية الأخيرة ، قاعدة الضرب ، تتضمن المشتق الاتجاهي لـ f (بواسطة المتجه v ).

إذا كان كل من u و v حقلين متجهين معرفين على نطاق مشترك، فإن∇vu{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} }يرمز إلى حقل المتجهات الذي تكون قيمته عند كل نقطة p من المجال هي متجه المماس(∇vu)ص{\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}}.

حقول المتجهات

بالنظر إلى حقل من المتجهات المرافقة (أو شكل تفاضلي أحادي )α{\displaystyle \alpha }معرفة في جوار p ، مشتقها المتغير(∇vα)ص{\displaystyle (\nabla _{\mathbf {v} }\alpha )_{p}}يتم تعريفها بطريقة تجعل العملية الناتجة متوافقة مع انكماش الموتر وقاعدة الضرب. أي،(∇vα)ص{\displaystyle (\nabla _{\mathbf {v} }\alpha )_{p}}يُعرَّف بأنه الشكل التفاضلي الأحادي الوحيد عند النقطة p الذي يحقق المتطابقة التالية لجميع حقول المتجهات u في جوار النقطة p(∇vα)ص(uص)=∇v[α(u)]ص-αص[(∇vu)ص].{\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }\alpha \right)_{p}\left(\mathbf {u} _{p}\right)=\nabla _{\mathbf {v} }\left[\alpha \left(\mathbf {u} \right)\right]_{p}-\alpha _{p}\left[\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}\right].}

إن المشتقة المتغيرة لحقل متجه مشترك على طول حقل متجه v هي أيضاً حقل متجه.

حقول الموترات

بمجرد تعريف المشتقة المتغيرة لحقول المتجهات والمتجهات المرافقة، يمكن تعريفها لحقول الموترات العشوائية بفرض المتطابقات التالية لكل زوج من حقول الموتراتφ{\displaystyle \varphi }وψ{\displaystyle \psi }في جوار النقطة p : ∇v(φ⊗ψ)ص=(∇vφ)ص⊗ψ(ص)+φ(ص)⊗(∇vψ)ص،{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }\left(\varphi \otimes \psi \right)_{p}=\left(\nabla _{\mathbf {v} }\varphi \right)_{p}\otimes \psi (p)+\varphi (p)\otimes \left(\nabla _{\mathbf {v} }\psi \right)_{p},} ولـφ{\displaystyle \varphi }وψ{\displaystyle \psi }من نفس التكافؤ ∇v(φ+ψ)ص=(∇vφ)ص+(∇vψ)ص.{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(\varphi +\psi )_{p}=(\nabla _{\mathbf {v} }\varphi )_{p}+(\nabla _{\mathbf {v} }\psi )_{p}.} إن المشتق المتغير لحقل موتر على طول حقل متجه v هو مرة أخرى حقل موتر من نفس النوع.

بصورةٍ أدق، ليكن T حقلًا موترًا من النوع ( p , q ) . ولنعتبر T تطبيقًا متعدد الخطية قابلًا للتفاضل للمقاطع الملساء α₁ , α₂ , ..., αq من حزمة المماس المشترك T * M ، وللمقاطع X₁ , X₂ , ..., Xp من حزمة المماس TM ، مكتوبًا T ( α₁ , α₂ , ... , X₁ , X₂ , ... ) في R. ويُعطى المشتق المتغير لـ T على طول Y بالصيغة التالية :(∇Yتي)(α1،α2،...،X1،X2،...)=∇Y(تي(α1،α2،...،X1،X2،...))-تي(∇Yα1،α2،...،X1،X2،...)-تي(α1،∇Yα2،...،X1،X2،...)-⋯-تي(α1،α2،...،∇YX1،X2،...)-تي(α1،α2،...،X1،∇YX2،...)-⋯{\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla _{Y}T)\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots \right)=&{}\nabla _{Y}\left(T\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots \right)\right)\\&{}-T\left(\nabla _{Y}\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots \right)-T\left(\alpha _{1},\nabla _{Y}\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots \right)-\cdots \\&{}-T\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\nabla _{Y}X_{1},X_{2},\ldots \right)-T\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},\nabla _{Y}X_{2},\ldots \right)-\cdots \end{aligned}}}

وصف الإحداثيات

دوال الإحداثيات المعطاةxأنا، أنا=0،1،2،...،{\displaystyle x^{i},\ i=0,1,2,\dots ,}يمكن وصف أي متجه مماس بمكوناته في الأساسهـأنا=∂∂xأنا.{\displaystyle \mathbf {e} _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}.}

المشتقة المتغيرة لمتجه أساس على طول متجه أساس هي متجه أيضًا، وبالتالي يمكن التعبير عنها كتركيبة خطية.Γكهـك{\displaystyle \Gamma ^{k}\mathbf {e} _{k}}لتحديد المشتقة المتغيرة، يكفي تحديد المشتقة المتغيرة لكل حقل متجه أساسي.هـأنا{\displaystyle \mathbf {e} _{i}}على امتدادهـج{\displaystyle \mathbf {e} _{j}}. ∇هـجهـأنا=Γكأناجهـك،{\displaystyle \nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}={\Gamma ^{k}}_{ij}\mathbf {e} _{k},}

المعاملاتΓكأناج{\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}}هي مكونات الاتصال بالنسبة لنظام إحداثيات محلية. في نظرية مشعبات ريمان وشبه ريمان، تُسمى مكونات اتصال ليفي-تشيفيتا بالنسبة لنظام إحداثيات محلية برموز كريستوفيل .

ثم باستخدام القواعد الواردة في التعريف، نجد أنه بالنسبة لحقول المتجهات العامةv=vجهـج{\displaystyle \mathbf {v} =v^{j}\mathbf {e} _{j}}وu=uأناهـأنا{\displaystyle \mathbf {u} =u^{i}\mathbf {e} _{i}}نحصل ∇vu=∇vجهـجuأناهـأنا=vج∇هـجuأناهـأنا=vجuأنا∇هـجهـأنا+vجهـأنا∇هـجuأنا=vجuأناΓكأناجهـك+vج∂uأنا∂xجهـأنا{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} &=\nabla _{v^{j}\mathbf {e} _{j}}u^{i}\mathbf {e} _{i}\\&=v^{j}\nabla _{\mathbf {e} _{j}}u^{i}\mathbf {e} _{i}\\&=v^{j}u^{i}\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}+v^{j}\mathbf {e} _{i}\nabla _{\mathbf {e} _{j}}u^{i}\\&=v^{j}u^{i}{\Gamma ^{k}}_{ij}\mathbf {e} _{k}+v^{j}{\partial u^{i} \over \partial x^{j}}\mathbf {e} _{i}\end{aligned}}} لذا ∇vu=(vجuأناΓكأناج+vج∂uك∂xج)هـك.{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} =\left(v^{j}u^{i}{\Gamma ^{k}}_{ij}+v^{j}{\partial u^{k} \over \partial x^{j}}\right)\mathbf {e} _{k}.}

يُعنى الحد الأول في هذه الصيغة بـ "تغيير" نظام الإحداثيات بالنسبة للمشتقة المتغيرة، بينما يُعنى الحد الثاني بتغييرات مكونات حقل المتجهات.u{\displaystyle \mathbf {u} }. بخاصة ∇هـجu=∇جu=(∂uأنا∂xج+uكΓأناكج)هـأنا{\displaystyle \nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {u} =\nabla _{j}\mathbf {u} =\left({\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{j}}}+u^{k}{\Gamma ^{i}}_{kj}\right)\mathbf {e} _{i}}

بعبارة أخرى: المشتقة المتغيرة هي المشتقة المعتادة على طول الإحداثيات مع حدود تصحيح توضح كيفية تغير الإحداثيات.

وبالمثل، لدينا بالنسبة للمتجهات الحاملة. ∇هـجθ=(∂θأنا∂xج-θكΓكأناج)هـ*أنا،{\displaystyle \nabla _{\mathbf {e} _{j}}{\mathbf {\theta } }=\left({\frac {\partial \theta _{i}}{\partial x^{j}}}-\theta _{k}{\Gamma ^{k}}_{ij}\right){\mathbf {e} ^{*}}^{i},} أينهـ*أنا(هـج)=دلتاأناج{\displaystyle {\mathbf {e} ^{*}}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\delta ^{i}}_{j}}.

المشتق المتغير لحقل موتر من النوع ( r , s ) على طولهـج{\displaystyle e_{c}}يُعطى بالصيغة التالية:

(∇هـجتي)أ1...أرب1...بs=∂∂xجتيأ1...أرب1...بs+Γأ1دجتيدأ2...أرب1...بs+⋯+Γأردجتيأ1...أر-1دب1...بs-Γدب1جتيأ1...أردب2...بs-⋯-Γدبsجتيأ1...أرب1...بs-1د.{\displaystyle {\begin{aligned}{(\nabla _{e_{c}}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s}}={}&{\frac {\partial }{\partial x^{c}}}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s}}\\&+\,{\Gamma ^{a_{1}}}_{dc}{T^{da_{2}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s}}+\cdots +{\Gamma ^{a_{r}}}_{dc}{T^{a_{1}\ldots a_{r-1}d}}_{b_{1}\ldots b_{s}}\\&-\,{\Gamma ^{d}}_{b_{1}c}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{db_{2}\ldots b_{s}}-\cdots -{\Gamma ^{d}}_{b_{s}c}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s-1}d}.\end{aligned}}} أو بعبارة أخرى: خذ المشتقة الجزئية للموتر وأضف:+Γأأنادج{\displaystyle +{\Gamma ^{a_{i}}}_{dc}}لكل فهرس علويأأنا{\displaystyle a_{i}}، و-Γدبأناج{\displaystyle -{\Gamma ^{d}}_{b_{i}c}}لكل مؤشر أدنىبأنا{\displaystyle b_{i}}.

إذا كان الهدف هو اشتقاق كثافة موتر (بوزن +1) بدلاً من موتر، فسيتم إضافة حد أيضًا. -Γددجتيأ1...أرب1...بs.{\displaystyle -{\Gamma ^{d}}_{dc}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s}}.} إذا كانت كثافة موتر وزنها W ، فاضرب هذا الحد في W. على سبيل المثال،-ز{\textstyle {\sqrt {-g}}}هي كثافة قياسية (وزنها +1)، لذلك نحصل على: (-ز)؛ج=(-ز)،ج--زΓددج{\displaystyle \left({\sqrt {-g}}\right)_{;c}=\left({\sqrt {-g}}\right)_{,c}-{\sqrt {-g}}\,{\Gamma ^{d}}_{dc}} حيث تشير الفاصلة المنقوطة ";" إلى التفاضل التغايري، وتشير الفاصلة "","" إلى التفاضل الجزئي. وبالمناسبة، فإن هذا التعبير تحديدًا يساوي صفرًا، لأن المشتقة التغايرية لدالة تعتمد فقط على المقياس تساوي صفرًا دائمًا.

الترميز

في الكتب المدرسية في الفيزياء، يتم أحيانًا ذكر المشتق المتغير بدلالة مكوناته في هذه المعادلة.

يُستخدم غالبًا ترميزٌ يُشار فيه إلى المشتقة المتغيرة بفاصلة منقوطة ، بينما تُشار إلى المشتقة الجزئية العادية بفاصلة . في هذا الترميز، نكتب ما يلي: ∇هـجv =دهـو vs؛جهـsvأنا؛ج=vأنا،ج+vكΓأناكج{\displaystyle \nabla _{e_{j}}\mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {v^{s}}_{;j}\mathbf {e} _{s}\;\;\;\;\;\;{v^{i}}_{;j}={v^{i}}_{,j}+v^{k}{\Gamma ^{i}}_{kj}} في حالة ظهور مؤشرين أو أكثر بعد الفاصلة المنقوطة، يجب فهم جميعها على أنها مشتقات متغايرة: ∇هـك(∇هـجv) =دهـو vs؛جكهـs{\displaystyle \nabla _{e_{k}}\left(\nabla _{e_{j}}\mathbf {v} \right)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {v^{s}}_{;jk}\mathbf {e} _{s}}

في بعض النصوص القديمة (ولا سيما كتاب أدلر، بازين وشيفر، مقدمة في النسبية العامة )، يُرمز إلى المشتق المتغير بخط مزدوج، ويُرمز إلى المشتق الجزئي بخط مفرد: ∇هـجv =دهـو vأنا||ج=vأنا|ج+vكΓأناكج{\displaystyle \nabla _{e_{j}}\mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {v^{i}}_{||j}={v^{i}}_{|j}+v^{k}{\Gamma ^{i}}_{kj}}

المشتق المتغير حسب نوع الحقل

بالنسبة للحقل القياسيϕ{\displaystyle \phi \,}التفاضل المتغير هو ببساطة تفاضل جزئي: ϕ؛أ≡∂أϕ{\displaystyle \phi _{;a}\equiv \partial _{a}\phi }

بالنسبة لحقل متجه متغايرλأ{\displaystyle \lambda ^{a}}لدينا: λأ؛ب≡∂بλأ+Γأبجλج{\displaystyle {\lambda ^{a}}_{;b}\equiv \partial _{b}\lambda ^{a}+{\Gamma ^{a}}_{bc}\lambda ^{c}}

بالنسبة لحقل متجه متغايرλأ{\displaystyle \lambda _{a}}لدينا: λأ؛ج≡∂جλأ-Γبجأλب{\displaystyle \lambda _{a;c}\equiv \partial _{c}\lambda _{a}-{\Gamma ^{b}}_{ca}\lambda _{b}}

بالنسبة لحقل موتر من النوع (2,0)τأب{\displaystyle \tau ^{ab}}لدينا: τأب؛ج≡∂جτأب+Γأجدτدب+Γبجدτأد{\displaystyle {\tau ^{ab}}_{;c}\equiv \partial _{c}\tau ^{ab}+{\Gamma ^{a}}_{cd}\tau ^{db}+{\Gamma ^{b}}_{cd}\tau ^{ad}}

بالنسبة لحقل موتر من النوع (0,2)τأب{\displaystyle \tau _{ab}}لدينا: τأب؛ج≡∂جτأب-Γدجأτدب-Γدجبτأد{\displaystyle \tau _{ab;c}\equiv \partial _{c}\tau _{ab}-{\Gamma ^{d}}_{ca}\tau _{db}-{\Gamma ^{d}}_{cb}\tau _{ad}}

بالنسبة لحقل موتر من النوع (1,1)τأب{\displaystyle {\tau ^{a}}_{b}}لدينا: τأب؛ج≡∂جτأب+Γأجدτدب-Γدجبτأد{\displaystyle {\tau ^{a}}_{b;c}\equiv \partial _{c}{\tau ^{a}}_{b}+{\Gamma ^{a}}_{cd}{\tau ^{d}}_{b}-{\Gamma ^{d}}_{cb}{\tau ^{a}}_{d}}

المقصود بالرمز أعلاه هو المعنى التالي τأب؛ج≡(∇هـجτ)أب{\displaystyle {\tau ^{ab}}_{;c}\equiv \left(\nabla _{\mathbf {e} _{c}}\tau \right)^{ab}}

ملكيات

بشكل عام، لا تتبادل المشتقات المتغيرة. على سبيل المثال، المشتقات المتغيرة لحقل متجهيλأ؛بج≠λأ؛جب{\displaystyle \lambda _{a;bc}\neq \lambda _{a;cb}}موتر ريمانRدأبج{\displaystyle {R^{d}}_{abc}}يتم تعريفها بحيث: λأ؛بج-λأ؛جب=Rدأبجλد{\displaystyle \lambda _{a;bc}-\lambda _{a;cb}={R^{d}}_{abc}\lambda _{d}} أو، على نحو مماثل، λأ؛بج-λأ؛جب=-Rأدبجλد{\displaystyle {\lambda ^{a}}_{;bc}-{\lambda ^{a}}_{;cb}=-{R^{a}}_{dbc}\lambda ^{d}}

المشتقة المتغيرة لحقل موتر (2,0) تحقق ما يلي: τأب؛جد-τأب؛دج=-Rأهـجدτهـب-Rبهـجدτأهـ{\displaystyle {\tau ^{ab}}_{;cd}-{\tau ^{ab}}_{;dc}=-{R^{a}}_{ecd}\tau ^{eb}-{R^{b}}_{ecd}\tau ^{ae}}

ويمكن إثبات ذلك بأخذ (دون فقدان للعمومية) أنτأب=λأμب{\displaystyle \tau ^{ab}=\lambda ^{a}\mu ^{b}}.

المشتقة على طول منحنى

بما أن المشتقة المتغيرة∇Xتي{\displaystyle \nabla _{X}T}يعتمد مشتق حقل الموتر T عند النقطة p فقط على قيمة حقل المتجهات X عند النقطة p ، ويمكن تعريف المشتق المتغير على طول منحنى أملس.γ(ت){\displaystyle \gamma (t)}في مشعب: دتتي=∇γ˙(ت)تي.{\displaystyle D_{t}T=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}T.} لاحظ أن حقل الموتر T يحتاج فقط إلى التعريف على المنحنىγ(ت){\displaystyle \gamma (t)}لكي يكون لهذا التعريف معنى.

بخاصة،γ˙(ت){\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}هو حقل متجه على طول المنحنىγ{\displaystyle \gamma }نفسها. إذا∇γ˙(ت)γ˙(ت){\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)}إذا انعدمت قيمة المشتقة المتغيرة، يُطلق على المنحنى اسم جيوديسية للمشتقة المتغيرة. إذا كانت المشتقة المتغيرة هي اتصال ليفي-تشيفيتا لمقياس موجب التحديد، فإن الجيوديسيات لهذا الاتصال هي تحديدًا الجيوديسيات للمقياس التي تُعطى بمعامل طول القوس .

يُستخدم المشتق على طول المنحنى أيضًا لتحديد النقل الموازي على طول المنحنى.

يُطلق أحيانًا على المشتق المتغير على طول منحنى اسم المشتق المطلق أو المشتق الجوهري .

العلاقة بمشتقة لي

يُدخل المشتق المتغير بنية هندسية إضافية على متعدد الشعب تسمح بمقارنة المتجهات في الفضاءات المماسية المجاورة: لا توجد طريقة قياسية لمقارنة المتجهات من فضاءات مماسية مختلفة لأنه لا يوجد نظام إحداثيات قياسي.

مع ذلك، يوجد تعميم آخر للمشتقات الاتجاهية يُعتبر أساسيًا : مشتقة لي ، التي تُقيّم تغير حقل متجهي واحد على طول مسار حقل متجهي آخر. لذا، يجب معرفة كلا الحقلين المتجهيين في جوار معين، وليس فقط عند نقطة واحدة. من ناحية أخرى، تُدخل المشتقة المتغيرة تغيرها الخاص للمتجهات في اتجاه معين، وهي تعتمد فقط على اتجاه المتجه عند نقطة واحدة، وليس على حقل متجهي في جوار تلك النقطة. بعبارة أخرى، تكون المشتقة المتغيرة خطية (على C∞ ( M ) ) في اتجاه المتجه، بينما تكون مشتقة لي خطية في كلا الاتجاهين.

لاحظ أن المشتقة المتغيرة المضادة للتناظر ∇ u v − ∇ v u ، ومشتقة لي L u v تختلفان عن طريق التواء الاتصال ، لذلك إذا كان الاتصال خاليًا من الالتواء ، فإن عدم تناظره هو مشتقة لي.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ أينشتاين، ألبرت (1922). "النظرية العامة للنسبية". معنى النسبية .
  2. ^ ريتشي، ج. ليفي سيفيتا، ت. (1901). "طرق حساب التفاضل المطلق وتطبيقاته" . الرياضيات أنالن . 54 ( 1 – 2): 125 – 201. دوى : 10.1007 / bf01454201 . S2CID 120009332 . 
  3. ^ ريمان، جي إف بي (1866). "Über die Hypothesen، welche der Geometrie zu Grunde liegen". Gesammelte Mathematische Werke .; إعادة طبع، تحرير ويبر، هـ. (1953)، نيويورك: دوفر.
  4. ^ كريستوفيل، إب (1869). "Über die Transformation derhomogenen Differentialausdrücke zweiten Grades" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 70 : 46 – 70.
  5. ↑ راجع. مع كارتان، É (1923). "Sur les variétés à connexion affine et la theorie de la relativité généralisée" . الحوليات العلمية للمدرسة العليا للأساتذة . 40 : 325– 412. دوى : 10.24033/asens.751 .
  6. ^ كوزول، جي إل (1950). "Homologie et cohomologie des algebres de Lie" . نشرة شركة الرياضيات في فرنسا . 78 : 65- 127. دوى : 10.24033/bsmf.1410 .
  7. ↑ يُشار إلى المشتق المتغير أيضًا بشكل مختلف بواسطة ∂ v u ، D v u ، أو رموز أخرى.
  8. ↑ في العديد من التطبيقات، قد يكون من الأفضل عدم اعتبار t مُرادفًا للزمن، على الأقل بالنسبة لتطبيقات النسبية العامة . يُنظر إليه ببساطة على أنه مُعامل مجرد يتغير بسلاسة وبشكل رتيب على طول المسار.
  9. ↑ تشين، كو-تساي (1973). "التكاملات المتكررة للأشكال التفاضلية وتماثل فضاء الحلقات" . حوليات الرياضيات . 97 (2): 217-246 . doi : 10.2307/1970846 . ISSN 0003-486X . 
  10. ↑ كيسيا، رادوسلاف أنتوني؛ شيلهان، جوزيف (21-05-2025). "عكس المشتقة الخارجية المتغيرة" . التحليل والفيزياء الرياضية . 15 (4): 82. doi : 10.1007/s13324-025-01085-3 . ISSN 1664-235X . 

مراجع