سطح ريمان

الموسوعة الحرة
سطح ريمان للدالة المركبة متعددة القيمو(z)=سجل⁡(z){\displaystyle f(z)=\log(z)}في حي الأصل. ال(x،y){\displaystyle (x,y)}الإحداثيات هي إحداثياتz{\displaystyle z}في المستوى المركب؛ يمثل الإحداثي الرأسي الجزء التخيلي منو(z){\displaystyle f(z)}، والذي يُمثل الجزء الحقيقي منه باللون.

في الرياضيات ، وخاصة في التحليل المركب ، سطح ريمان هو فضاء مركب أحادي البعد متصل . دُرست هذه الأسطح لأول مرة على يد برنارد ريمان ، وسُميت نسبةً إليه . يمكن اعتبار أسطح ريمان نسخًا مشوهة من المستوى المركب : فهي تبدو محليًا بالقرب من كل نقطة كأجزاء من المستوى المركب، لكن بنيتها الكلية قد تختلف اختلافًا كبيرًا. على سبيل المثال، قد تبدو ككرة أو طارة أو عدة صفائح ملتصقة ببعضها.

تشمل أمثلة أسطح ريمان رسومًا بيانية لدوال متعددة القيم مثلz{\displaystyle {\sqrt {z}}}أوسجل⁡(z){\displaystyle \log(z)}على سبيل المثال، مجموعة فرعية من الأزواج(z،w)∈ج2{\displaystyle (z,w)\in \mathbb {C} ^{2}}معw=سجل⁡(z){\displaystyle w=\log(z)}.

كل سطح ريمان هو سطح : مشعب حقيقي ثنائي الأبعاد ، ولكنه يحتوي على بنية أكثر تعقيدًا (وتحديدًا بنية معقدة ). في المقابل، يمكن تحويل مشعب حقيقي ثنائي الأبعاد إلى سطح ريمان (عادةً بعدة طرق غير متكافئة) إذا وفقط إذا كان قابلاً للتوجيه والقياس . بناءً على ذلك، تسمح الكرة والطارة بوجود بنى معقدة، بينما لا يسمح شريط موبيوس وزجاجة كلاين والمستوى الإسقاطي الحقيقي بذلك . كل سطح ريمان مضغوط هو منحنى جبري معقد وفقًا لنظرية تشاو ونظرية ريمان-روخ .

التعريفات

توجد عدة تعريفات مكافئة لسطح ريمان.

  1. سطح ريمانX{\displaystyle X}هو فضاء معقد متصل ذو بُعد معقد يساوي واحدًا. هذا يعني أنX{\displaystyle X}هو فضاء هاوسدورف متصل مزود بأطلس من المخططات للقرص المفتوح للوحدة في المستوى المركب : لكل نقطةx∈X{\displaystyle x\in X}يوجد حي منx{\displaystyle x}والتي تكون متماثلة مع القرص المفتوح للوحدة في المستوى المركب، ويجب أن تكون خرائط الانتقال بين مخططين متداخلين متماثلة الشكل . [ 1 ]
  2. سطح ريمان هو متعدد شعب (متصل) موجه ذو بُعد (حقيقي) اثنين - سطح ثنائي الجوانب - بالإضافة إلى بنية توافقية . ومرة ​​أخرى، تعني كلمة متعدد الشعب أنه محليًا عند أي نقطةx{\displaystyle x}لX{\displaystyle X}الفضاء متماثل شكليًا مع مجموعة جزئية من المستوى الحقيقي. يشير الملحق "ريمان" إلى أنX{\displaystyle X}تتمتع هذه البنية بخاصية إضافية تسمح بقياس الزوايا على المتشعب، وهي فئة تكافؤ لما يُسمى بالمقاييس الريمانية . يُعتبر مقياسان من هذا النوع متكافئين إذا كانت الزوايا التي يقيسانها متطابقة. اختيار فئة تكافؤ المقاييس علىX{\displaystyle X}وهي البيانات الإضافية للبنية المطابقة.

تُنتج البنية المعقدة بنيةً مطابقةً عن طريق اختيار المقياس الإقليدي القياسي المُعطى على المستوى المركب ونقله إلىX{\displaystyle X}باستخدام المخططات. أما إثبات أن البنية المطابقة تحدد بنية معقدة فهو أكثر صعوبة. [ 2 ]

أمثلة

  • المستوى المركبج{\displaystyle \mathbb {C} }هو أبسط سطح ريمان.
  • كل مجموعة فرعية مفتوحة متصلة غير فارغة من المستوى المركبيو⊆ج{\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }هي سطح ريمان. وبشكل أعم، فإن كل مجموعة جزئية مفتوحة غير فارغة من سطح ريمان هي سطح ريمان.
    كرة ريمان والإسقاط المجسم.
  • الكرة الثنائيةS2{\displaystyle S^{2}}يمتلك سطح ريمان بنية فريدة تسمى كرة ريمان . ويحتوي على مجموعتين فرعيتين مفتوحتين نحددهما بالمستوى المركب من خلال الإسقاط المجسم من القطبين الشمالي أو الجنوبي.
    ج↪S2↩ج{\displaystyle \mathbb {C} \hookrightarrow S^{2}\hookleftarrow \mathbb {C} }.

    عند تقاطع هاتين المجموعتين المفتوحتين، فإن تركيب أحد التضمينات مع معكوس الآخر يعطي

    ج×→ج×:z↦z-1{\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times }:z\mapsto z^{-1}}.

    خريطة الانتقال هذه هي خريطة هولومورفية، لذا فإن هذين التضمينين يحددان بنية سطح ريمان علىS2{\displaystyle S^{2}}. أصول،S2=ج∪{∞}{\displaystyle S^{2}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}للكرة الريمانية وصف آخر، وهو الخط الإسقاطيجP1=(ج2∖{0})/ج×{\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}=(\mathbb {C} ^{2}\setminus \{0\})/\mathbb {C} ^{\times }}.

    حلقة دائرية.
  • الحلقة الثنائيةتي2{\displaystyle T^{2}}يحتوي على العديد من هياكل سطح ريمان المختلفة، وكلها على شكلج/(Z+τZ){\displaystyle \mathbb {C} /(\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} )}، أينτ{\displaystyle \tau }أي عدد مركب غير حقيقي. وتسمى هذه المنحنيات بالمنحنيات الإهليلجية .
  • تُقدم أمثلة مهمة لأسطح ريمان غير المدمجة من خلال الاستمرار التحليلي .

المنحنيات الجبرية

  • لوP(x،y){\displaystyle P(x,y)}أي متعددة حدود معقدة في متغيرين، موضعها المتلاشي
    {(x،y):P(x،y)=0}⊆ج2{\displaystyle \{(x,y):P(x,y)=0\}\subseteq \mathbb {C} ^{2}}
    يُعرّف سطح ريمان بشرط عدم وجود نقاط على هذا الموضع مع∂P/∂x=∂P/∂y=0{\displaystyle \partial P/\partial x=\partial P/\partial y=0}(أو نقتصر على مجموعة جزئية مفتوحة لا تحتوي على مثل هذه النقاط). هذا مثال على منحنى جبري .
  • كل منحنى إهليلجي هو منحنى جبري، يُعطى بواسطة (تكثيف) الموضع
    y2=x3+أx+ب{\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}
    بالنسبة لبعض الأعداد المركبةأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}.اعتمادا عليτ{\displaystyle \tau }نقطةz∈ج/(Z+τZ){\displaystyle z\in \mathbb {C} /(\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} )}يتم إرسالها إلى(x،y)=(℘(z)،℘′(z)){\displaystyle (x,y)=(\wp (z),\wp '(z))}، أين℘{\displaystyle \wp }هي دالة فايرشتراس الإهليلجية .
  • وبالمثل، الجنسز{\displaystyle g}تتميز الأسطح ببنية سطح ريمان، مثل ( تكثيفات ) الأسطح الإهليلجية الفائقة
    y2=سؤال(x){\displaystyle y^{2}=Q(x)}،
    أينسؤال{\displaystyle Q}هي متعددة حدود معقدة من الدرجة2ز+1{\displaystyle 2g+1}بحيث لا تحتوي المسألة المذكورة أعلاه على نقاط شاذة . عندماز>1{\displaystyle g>1}توجد هياكل سطحية أخرى من نوع ريمان من هذا الجنسز{\displaystyle g}.

مزيد من التعريفات والخصائص

كما هو الحال مع أي دالة بين متعددات الشعب المعقدة، فإن الدالةو:م→شمال{\displaystyle f:M\to N}بين سطحين من أسطح ريمانم{\displaystyle M}وشمال{\displaystyle N}يُطلق عليه اسم هولومورفي إذا كان لكل مخططز{\displaystyle g}في أطلس​م{\displaystyle M}وكل مخططح{\displaystyle h}في أطلسشمال{\displaystyle N}الخريطةح∘و∘ز-1{\displaystyle h\circ f\circ g^{-1}}هي دالة هولومورفية (كدالة منج{\displaystyle \mathbb {C} }لج{\displaystyle \mathbb {C} }أينما تم تعريفها. تركيب خريطتين هولومورفيتين هولومورفي. سطحا ريمانم{\displaystyle M}وشمال{\displaystyle N}تُسمى الدوال ثنائية الشكل (أو متكافئة توافقياً للتأكيد على وجهة النظر التوافقية) إذا وُجدت دالة ثنائية الشكل منم{\displaystyle M}لشمال{\displaystyle N}والتي يكون معكوسها أيضاً تام الشكل (اتضح أن الشرط الأخير تلقائي ويمكن بالتالي حذفه). سطحان ريمان متكافئان توافقياً متطابقان عملياً.

قابلية التوجيه

كل سطح ريمان، كونه متعدد الشعب المركب، قابل للتوجيه كمتعدد شعب حقيقي. بالنسبة للمخططات المركبةو{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}مع دالة الانتقالح=و(ز-1(z)){\displaystyle h=f(g^{-1}(z))}،ح{\displaystyle h}يمكن اعتبارها خريطة من مجموعة مفتوحة منR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}لR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}الذي يعقوبي في نقطةz{\displaystyle z}هي ببساطة التحويل الخطي الحقيقي الناتج عن الضرب في العدد المركبح′(z){\displaystyle h'(z)}ومع ذلك، فإن المحدد الحقيقي لعملية الضرب في عدد مركبα{\displaystyle \alpha }يساوي|α|2{\displaystyle |\alpha |^{2}}، لذا فإن جاكوبيانح{\displaystyle h}له محدد إيجابي. وبالتالي، فإن الأطلس المركب هو أطلس موجه.

الوظائف

كل سطح ريمان غير متراص يقبل دوالًا تحليلية غير ثابتة (بقيم فيج{\displaystyle \mathbb {C} }في الواقع، كل سطح ريمان غير مضغوط هو متعدد شعب شتاين .

في المقابل، على سطح ريمان المضغوطX{\displaystyle X}كل دالة هولومورفية ذات قيم فيج{\displaystyle \mathbb {C} }تكون ثابتة بسبب مبدأ القيمة القصوى . ومع ذلك، توجد دائمًا دوال ميرومورفية غير ثابتة (دوال هولومورفية ذات قيم في كرة ريمان).ج∪{∞}{\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}). وبشكل أدق، مجال الدالة لـX{\displaystyle X}هو امتداد محدود لـج(ت){\displaystyle \mathbb {C} (t)}حقل الدوال في متغير واحد، أي أن أي دالتين ميرومورفيتين مرتبطتان جبريًا. يمكن تعميم هذه العبارة على أبعاد أعلى، انظر سيجل (1955) . يمكن التعبير عن الدوال الميرومورفية بشكل صريح نسبيًا، بدلالة دوال ريمان ثيتا وخريطة أبيل-جاكوبي للسطح.

الجبرية

جميع أسطح ريمان المدمجة هي منحنيات جبرية لأنه يمكن تضمينها في بعضجPن{\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}ويترتب على ذلك نظرية كودايرا للتضمين وحقيقة وجود حزمة خطية موجبة على أي منحنى معقد. [ 3 ]

التحليلي مقابل الجبري

يمكن استخدام وجود الدوال الميرومورفية غير الثابتة لإثبات أن أي سطح ريمان مضغوط هو تنوع إسقاطي ، أي يمكن تمثيله بمعادلات متعددة الحدود داخل فضاء إسقاطي . في الواقع، يمكن إثبات أن كل سطح ريمان مضغوط يمكن تضمينه في فضاء إسقاطي ثلاثي الأبعاد معقد . هذه نظرية مثيرة للدهشة: تُعطى أسطح ريمان بواسطة مخططات ترقيع محلية. إذا أُضيف شرط عالمي واحد، وهو التراص، يصبح السطح جبريًا بالضرورة. تسمح هذه الخاصية لأسطح ريمان بدراستها باستخدام الهندسة التحليلية أو الجبرية . العبارة المقابلة للأجسام ذات الأبعاد الأعلى خاطئة، أي أن هناك مشعبات ثنائية الأبعاد معقدة مضغوطة ليست جبرية. من ناحية أخرى، كل مشعب إسقاطي معقد هو جبري بالضرورة، انظر نظرية تشاو .

كمثال على ذلك، ضع في اعتبارك الطارةتي:=ج/(Z+τZ){\displaystyle T:=\mathbb {C} /(\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} )}دالة فايرشتراس℘τ(z){\displaystyle \wp _{\tau }(z)}ينتمي إلى الشبكةZ+τZ{\displaystyle \mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} }هي دالة ميرومورفية علىتي{\displaystyle T}هذه الدالة ومشتقتها℘τ′(z){\displaystyle \wp '_{\tau }(z)}قم بإنشاء حقل الوظيفة الخاص بـتي{\displaystyle T}هناك معادلة

[℘′(z)]2=4[℘(z)]3-ز2℘(z)-ز3{\displaystyle [\wp '(z)]^{2}=4[\wp (z)]^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}

حيث المعاملاتز2{\displaystyle g_{2}}وز3{\displaystyle g_{3}}يعتمد علىτ{\displaystyle \tau }وبالتالي ينتج منحنى إهليلجيهـτ{\displaystyle E_{\tau }}بمعنى الهندسة الجبرية. ويتم عكس ذلك عن طريقج{\displaystyle j}ثابتج(هـ){\displaystyle j(E)}والتي يمكن استخدامها لتحديدτ{\displaystyle \tau }وبالتالي، فإن الشكل الحلقي (التورس) هو شكل حلقي.

تصنيف أسطح ريمان

يمكن تقسيم مجموعة جميع أسطح ريمان إلى ثلاث مجموعات فرعية: أسطح ريمان الزائدية، وأسطح ريمان المكافئة، وأسطح ريمان الإهليلجية. هندسيًا، تتوافق هذه مع الأسطح ذات الانحناء المقطعي الثابت السالب، أو المعدوم، أو الموجب . أي أن كل سطح ريمان متصلX{\displaystyle X}يقبل مقياس ريمان حقيقي ثنائي الأبعاد كاملًا وفريدًا بانحناء ثابت يساوي-1{\displaystyle -1}،0{\displaystyle 0}أو1{\displaystyle 1}ينتمي هذا إلى فئة المقاييس الريمانية المطابقة، والتي تحددها بنيته كسطح ريماني. ويمكن اعتبار ذلك نتيجة لوجود إحداثيات متساوية الحرارة .

من الناحية التحليلية المعقدة، تنص نظرية التوحيد بوانكاريه-كوبي (وهي تعميم لنظرية ريمان للتحويل ) على أن كل سطح ريمان متصل ببساطة يكون مكافئًا توافقيًا لأحد الأسطح التالية:

يكون سطح ريمان إهليلجيًا أو مكافئًا أو زائديًا وفقًا لما إذا كان غطاؤه الشامل متماثلًا معP1(ج){\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} )}،ج{\displaystyle \mathbb {C} }أود{\displaystyle \mathbb {D} }. تسمح العناصر الموجودة في كل فئة بوصف أكثر دقة.

أسطح ريمان الإهليلجية

كرة ريمانP1(ج){\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} )}هو المثال الوحيد، حيث لا توجد مجموعة تؤثر عليه بتحويلات ثنائية الشكل بشكل حر وغير متصل بشكل صحيح ، وبالتالي فإن أي سطح ريمان يكون غطاؤه الشامل متماثلًا معP1(ج){\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} )}يجب أن يكون هو نفسه متماثلاً معه.

أسطح ريمان المكافئة

لوX{\displaystyle X}هو سطح ريمان الذي يكون غطاؤه الشامل متماثلًا مع المستوى المركبج{\displaystyle \mathbb {C} }إذن فهو متماثل مع أحد الأسطح التالية:

  • ج{\displaystyle \mathbb {C} }نفسها؛
  • الناتجج/Z{\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Z} }؛
  • ناتج القسمةج/(Z+τZ){\displaystyle \mathbb {C} /(\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} )}، أينτ∈ج{\displaystyle \tau \in \mathbb {C} }معأنا⁡(τ)>0{\displaystyle \operatorname {Im} (\tau )>0}.

من الناحية الطوبولوجية، لا يوجد سوى ثلاثة أنواع: المستوي، والأسطواني، والحلقي . ولكن في حين أن بنية سطح ريمان (المكافئ) فريدة في الحالتين الأوليين، فإن تغيير المعاملτ{\displaystyle \tau }في الحالة الثالثة، ينتج عنها أسطح ريمان غير متماثلة. ويتم وصفها بواسطة المعاملτ{\displaystyle \tau }يُعطي هذا فضاء تايخمولر لأسطح ريمان "المميزة" (بالإضافة إلى بنية سطح ريمان، تُضاف البيانات الطوبولوجية لـ"التمييز"، والذي يُمكن اعتباره تماثلًا ثابتًا مع الطارة). وللحصول على فضاء المعاملات التحليلي (مع إغفال التمييز)، يُؤخذ خارج قسمة فضاء تايخمولر على زمرة فئات التطبيقات . في هذه الحالة، يكون المنحنى هو المنحنى المعياري .

أسطح ريمان الزائدية

في الحالات المتبقية،X{\displaystyle X}هو سطح ريمان زائدي، متماثل مع خارج قسمة النصف العلوي من المستوى بواسطة زمرة فوكسية (يُطلق على هذا أحيانًا اسم نموذج فوكسي للسطح). النوع الطوبولوجي لـX{\displaystyle X}يمكن أن يكون أي سطح قابل للتوجيه باستثناء السطح الحلقي والكرة .

ومن الحالات التي تثير اهتماماً خاصاً ما يلي:X{\displaystyle X}إذا كانت متراصة، فإن نوعها الطوبولوجي يُوصف بجنسها .ز≥2{\displaystyle g\geq 2}فضاء تايخمولر وفضاء المعاملات الخاص به هما(6ز-6){\displaystyle (6g-6)}يمكن تقديم تصنيف مماثل لأسطح ريمان من النوع المحدود (أي المتماثلة شكليًا مع سطح مغلق ناقص عدد محدود من النقاط). مع ذلك، فإن فضاء المعاملات لأسطح ريمان من النوع الطوبولوجي اللانهائي كبير جدًا بحيث لا يسمح بمثل هذا الوصف.

الخرائط بين أسطح ريمان

ينعكس التصنيف الهندسي في التحويلات بين أسطح ريمان، كما هو موضح بالتفصيل في نظرية ليوفيل ونظرية ليتل بيكارد : التحويلات من القطع الزائد إلى القطع المكافئ إلى القطع الناقص سهلة، لكن التحويلات من القطع الناقص إلى القطع المكافئ أو من القطع المكافئ إلى القطع الزائد مقيدة للغاية (بل ثابتة عمومًا!). توجد تضمينات للقرص في المستوى داخل الكرة.

Δ⊂ج⊂ج^{\displaystyle \Delta \subset \mathbb {C} \subset {\widehat {\mathbb {C} }}}

لكن أي تطبيق هولومورفي من الكرة إلى المستوى يكون ثابتًا، وأي تطبيق هولومورفي من المستوى إلى قرص الوحدة يكون ثابتًا (نظرية ليوفيل)، وفي الواقع أي تطبيق هولومورفي من المستوى إلى المستوى ناقص نقطتين يكون ثابتًا (نظرية ليتل بيكارد)!

كرات مثقوبة

تتضح هذه العبارات من خلال النظر في نوع كرة ريمانج^{\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}مع عدد من الثقوب. بدون ثقوب، تكون كرة ريمان، وهي إهليلجية. مع ثقب واحد، يمكن وضعه عند اللانهاية، تكون المستوى المركب، وهو مكافئ. مع ثقبين، يكون المستوى المثقوب أو بديلًا عنه حلقة أو أسطوانة، وهو مكافئ. مع ثلاثة ثقوب أو أكثر، تكون زائدية - قارن بزوج من السراويل . يمكن تحويل البيانات من ثقب واحد إلى ثقبين، عبر التحويل الأسي (وهو تحويل كامل وله نقطة تفرد أساسية عند اللانهاية، لذا فهو غير معرف عند اللانهاية، ويفتقر إلى الصفر واللانهاية)، لكن جميع التحويلات من صفر ثقوب إلى ثقب واحد أو أكثر، أو من ثقب واحد أو ثقبين إلى ثلاثة ثقوب أو أكثر، تكون ثابتة.

مساحات التغطية المتفرعة

واستمرارًا في هذا السياق، يمكن لأسطح ريمان المدمجة أن تُسقط على أسطح ذات رتبة أدنى ، ولكن ليس على أسطح ذات رتبة أعلى ، إلا كخرائط ثابتة. وذلك لأن الخرائط الهولومورفية والميرومورفية تتصرف محليًا مثل

z↦zن{\displaystyle z\mapsto z^{n}}

للأعداد الصحيحةن{\displaystyle n}لذلك فإن الخرائط غير الثابتة هي خرائط تغطية متفرعة ، وبالنسبة لأسطح ريمان المدمجة، فإن هذه الخرائط مقيدة بصيغة ريمان-هورويتز في الطوبولوجيا الجبرية ، والتي تربط خاصية أويلر للفضاء والغطاء المتفرع.

على سبيل المثال، تعتبر أسطح ريمان الزائدية فضاءات تغطية متفرعة للكرة (لديها وظائف ميرومورفية غير ثابتة)، لكن الكرة لا تغطي أو تُسقط على أسطح ذات جنس أعلى، إلا كثابت.

تماثلات أسطح ريمان

تعكس مجموعة التماثل الهندسي لسطح ريمان الموحد (أو ما يعادلها، مجموعة التماثل المطابق ) هندسته:

  • الجنس 0 – مجموعة التماثل للكرة هي مجموعة موبيوس للتحويلات الإسقاطية للخط المركب،
  • مجموعة التناظر للمستوى هي المجموعة الجزئية التي تثبت اللانهاية، ومجموعة التناظر للمستوى المثقوب هي المجموعة الجزئية التي تُبقي المجموعة التي تحتوي على اللانهاية والصفر فقط ثابتة: إما بتثبيتهما معًا، أو بتبديلهما.(1/z){\displaystyle (1/z)}.
  • مجموعة التماثل لنصف المستوى العلوي هي مجموعة موبيوس الحقيقية؛ وهذا مترافق مع مجموعة التماثل الذاتي للقرص.
  • الجنس 1 - يتم توليد مجموعة التماثل الهندسي للسطح الحلقي بشكل عام عن طريق الإزاحات (كنوع أبيلي ) والدوران بواسطة180∘{\displaystyle 180^{\circ }}في حالات خاصة، قد تحدث دورانات وانعكاسات إضافية. [ 4 ]
  • للجنسز≥2{\displaystyle g\geq 2}، مجموعة التماثل محدودة، ولها رتبة على الأكثر84(ز-1){\displaystyle 84(g-1)}، وفقًا لنظرية التشاكلات الذاتية لهورويتز ؛ تسمى الأسطح التي تحقق هذا الحد بأسطح هورويتز .
  • من المعروف أن كل مجموعة منتهية يمكن تمثيلها كمجموعة كاملة من التماثلات لسطح ريمان ما. [ 5 ]
    • بالنسبة للجنس 2، يتم تعظيم الترتيب بواسطة سطح بولزا ، مع الترتيب 48.
    • بالنسبة للجنس 3، يتم تعظيم الرتبة بواسطة رباعي كلاين ، برتبة 168؛ وهذا هو سطح هورويتز الأول، ومجموعة التشاكل الذاتي الخاصة به متماثلة مع المجموعة البسيطة الوحيدة ذات الرتبة 168، وهي ثاني أصغر مجموعة بسيطة غير تبديلية. هذه المجموعة متماثلة مع كل منPSل(2،7){\displaystyle \mathrm {PSL} (2,7)}وPSل(3،2){\displaystyle \mathrm {PSL} (3,2)}.
    • بالنسبة للجنس 4، فإن سطح برينغ هو سطح متناظر للغاية.
    • بالنسبة للجنس 7، يتم تعظيم الرتبة بواسطة سطح ماكبيث ، برتبة 504؛ وهذا هو سطح هورويتز الثاني، ومجموعة التشاكل الذاتي الخاصة به متماثلة معPSل(2،8){\displaystyle \mathrm {PSL} (2,8)}، رابع أصغر مجموعة بسيطة غير تبديلية.

التصنيف القائم على نظرية الوظائف

يستخدم علماء الهندسة عادةً نظام التصنيف المذكور أعلاه. يوجد تصنيف مختلف لأسطح ريمان يستخدمه عادةً محللو الأعداد المركبة، حيث يعتمد تعريفًا مختلفًا لمصطلحي "القطع المكافئ" و"القطع الزائد". في هذا التصنيف البديل، يُطلق على سطح ريمان اسم " القطع المكافئ" إذا لم تكن هناك دوال فرعية توافقية سالبة غير ثابتة على السطح، ويُطلق عليه اسم "القطع الزائد" في غير ذلك . [ 6 ] [ 7 ]

يتم تقسيم هذه الفئة من الأسطح الزائدية إلى فئات فرعية وفقًا لما إذا كانت فضاءات الدوال بخلاف الدوال التوافقية الفرعية السالبة متدهورة، على سبيل المثال أسطح ريمان التي تكون فيها جميع الدوال الهولومورفية المحدودة ثابتة، أو التي تكون فيها جميع الدوال التوافقية المحدودة ثابتة، أو التي تكون فيها جميع الدوال التوافقية الموجبة ثابتة، وما إلى ذلك.

لتجنب الالتباس، يُطلق على التصنيف القائم على مقاييس الانحناء الثابت اسم التصنيف الهندسي ، وعلى التصنيف القائم على انحلال فضاءات الدوال اسم التصنيف النظري للدوال . على سبيل المثال، سطح ريمان ج∖{0،1}{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}"هو مكافئ في التصنيف النظري للدوال ولكنه زائد في التصنيف الهندسي."

انظر أيضاً

نظريات تتعلق بأسطح ريمان

ملحوظات

  1. ^ فاركاس وكرا 1980 ، ميراندا 1995
  2. ↑ انظر (Jost 2006 ، الفصل 3.11) لبناء بنية معقدة مقابلة. 
  3. ↑ نوليت، سكوت. "نظرية كودايرا وتكثيف فضاء معامل مامفورد Mg" (PDF) .
  4. ↑ "قياسات متساوية للحلقة" . موقع تبادل الأسئلة والأجوبة الرياضية . 19-03-2020 . تاريخ الاسترجاع: 23-01-2025 .
  5. ↑ غرينبيرغ، ل. (1974). "المجموعات القصوى والتوقيعات" . المجموعات غير المتصلة وأسطح ريمان: وقائع مؤتمر عام 1973 في جامعة ميريلاند . حوليات الدراسات الرياضية. المجلد 79. الصفحات 207-226 . ISBN   0691081387.
  6. ↑ أهلفورس، لارس ؛ ساريو، ليو (1960)، أسطح ريمان ( الطبعة الأولى)، برينستون، نيو جيرسي: مطبعة جامعة برينستون ، ص 204  
  7. ^ رودين، بيرتون. ساريو، ليو (1968)، الوظائف الرئيسية ( الطبعة الأولى)، برينستون، نيو جيرسي: D. Van Nostrand Company, Inc. ، ص. 199، ردمك   9781468480382

مراجع