الفضاء رباعي الأبعاد

الموسوعة الحرة
رسم متحرك لمكعب رباعي الأبعاد متحولإطار واحد لمكعب رباعي الأبعاد متحول
يُعرف المكافئ رباعي الأبعاد للمكعب باسم التيسيراكت ، والذي يُرى هنا وهو يدور في فضاء رباعي الأبعاد، ولكنه يُسقط في بعدين للعرض.
1
متحرك
ثابت

الفضاء رباعي الأبعاد (4D) هو امتداد رياضي لمفهوم الفضاء ثلاثي الأبعاد (3D). يُعدّ الفضاء ثلاثي الأبعاد أبسط تجريد ممكن لملاحظة أننا نحتاج فقط إلى ثلاثة أرقام، تُسمى الأبعاد ، لوصف أحجام أو مواقع الأشياء في العالم اليومي. يُطلق على هذا المفهوم للفضاء العادي اسم الفضاء الإقليدي لأنه يتوافق مع هندسة إقليدس ، التي استُخلصت في الأصل من التجارب المكانية للحياة اليومية.

يمكن تمثيل المواقع الفردية في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد كمتجهات أو رباعيات ، أي كقوائم مرتبة من الأرقام مثل ( س ، ص ، ع ، ع ) . على سبيل المثال، يُحسب حجم صندوق مستطيل بقياس طوله وعرضه وارتفاعه (والتي غالبًا ما تُرمز لها بـ س ، ص ، ع ) ثم ضربها. ولا يظهر ثراء الفضاءات رباعية الأبعاد وتعقيدها الهندسي الكامل إلا عند ربط هذه المواقع معًا لتكوين أشكال أكثر تعقيدًا. ويمكن ملاحظة لمحة من هذا التعقيد في الرسوم المتحركة ثنائية الأبعاد المصاحبة لأحد أبسط الأجسام المنتظمة رباعية الأبعاد ، وهو المكعب الفائق (التيسيراكت) ، والذي يُشابه المكعب ثلاثي الأبعاد .

تاريخ

بدأت فكرة جعل الزمن البعد الرابع مع كتاب "الأبعاد" لجان لو رون دالمبير ، الذي نُشر عام 1754 في موسوعة العلوم والفنون والحرف . [ 1 ] [ 2 ] وقد طرح جوزيف لويس لاغرانج في عام 1755 فكرة إمكانية النظر إلى الميكانيكا الفيزيائية على أنها تحدث أيضًا في الزمن ، ونُشرت هذه الفكرة عام 1788 في كتابه "الميكانيكا التحليلية" . [ 3 ]

بدأ علم الرياضيات رباعي الأبعاد في القرن التاسع عشر. [ 4 ] وقد أدرك أوغست فرديناند موبيوس [ 5 ] إمكانية دوران الشكل ثلاثي الأبعاد على صورته المرآوية في الفضاء رباعي الأبعاد في كتابه "حساب مركز الثقل" المنشور عام 1827. [ 6 ] وفي عام 1843، عرّف ويليام روان هاميلتون حسابًا رباعي الأبعاد ، يُسمى الكواترنيونات . وبعد ذلك بوقت قصير، تم تقديم التيسارينات والكواترنيونات المشتركة كجبر رباعي الأبعاد آخر على R. وقد رسّخ برنارد ريمان أسس الفضاءات غير الإقليدية ذات الأبعاد الأعلى من خلال أطروحته عام 1854 بعنوان " حول الفرضيات التي تستند إليها الهندسة" ، حيث اعتبر "النقطة" أي سلسلة من الإحداثيات ( x1 , ..., xn ) .

وُصفت الفضاءات الإقليدية ذات الأبعاد التي تزيد عن ثلاثة لأول مرة عام 1852، عندما عمّم لودفيج شلافلي الهندسة الإقليدية لتشمل الفضاءات ذات البعد n ، مستخدمًا أساليب تركيبية وجبرية. اكتشف جميع المضلعات المنتظمة (النظائر متعددة الأبعاد للأجسام الأفلاطونية ) الموجودة في الفضاءات الإقليدية من أي بُعد، بما في ذلك ستة مضلعات موجودة في الفضاء رباعي الأبعاد . [ 7 ] لم يُنشر عمل شلافلي إلا بعد وفاته عام 1901، وظل مجهولًا إلى حد كبير حتى نشر كتاب " المضلعات المنتظمة " لهـ . س. م. كوكسيتر عام 1947. خلال تلك الفترة، اكتشف العديد من الباحثين أيضًا الفضاءات الإقليدية متعددة الأبعاد. كان تشارلز هوارد هينتون من أوائل من شرحوا مفهوم البُعد الرابع بأسلوبٍ شائع ، بدءًا من عام 1880 بمقالته " ما هو البُعد الرابع؟ " المنشورة في مجلة جامعة دبلن ، حيث شرح مفهوم " المكعب رباعي الأبعاد " من خلال تعميمٍ تدريجي لخصائص الخطوط والمربعات والمكعبات. [ أ ] [ 8 ] وقد صاغ مصطلحات "تيسيراكت " و "أنا" و "كاتا" في كتابه "عصر جديد من الفكر" ، وقدّم طريقةً لتصوّر البُعد الرابع باستخدام المكعبات في كتابه " البُعد الرابع" . [ 9 ] [ 10 ] وفي عام 1886، وصف فيكتور شليغل [ 11 ] طريقته في تصوّر الأجسام رباعية الأبعاد باستخدام مخططات شليغل .

شكّلت ورقة هيرمان مينكوفسكي البحثية لعام 1908 [ 12 ]، التي رسّخت دور الزمن كبعد رابع للزمكان، الأساس الهندسي لنظريتي أينشتاين في النسبية الخاصة والعامة. [ 13 ] تختلف هندسة الزمكان، لكونها غير إقليدية ، اختلافًا جوهريًا عن تلك التي استكشفها شلافلي وشاعها هينتون. ألهمت أفكار هينتون خيالًا حول "كنيسة البعد الرابع" عرضه مارتن غاردنر في عموده " الألعاب الرياضية " في يناير 1962 في مجلة ساينتفك أمريكان . في عام 1967، شكّلت الجبر الترابطي لـ دبليو آر هاميلتون مصدر علم تحليل المتجهات في ثلاثة أبعاد، كما رواه مايكل جيه كرو في كتابه "تاريخ تحليل المتجهات" . تطلّبت دراسة فضاء مينكوفسكي رياضيات ريمان، التي تختلف تمامًا عن رياضيات الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد، ولذا فقد تطورت على مسارات مختلفة تمامًا. لم يكن هذا الفصل واضحاً في المخيلة الشعبية، حيث ساهمت الأعمال الروائية والفلسفية في طمس هذا التمييز، لذلك شعر إتش إس إم كوكسيتر في عام 1973 بأنه مضطر للكتابة:

لا يُجدي تمثيل البُعد الإقليدي الرابع بالزمن فائدة تُذكر، إن وُجدت أصلاً. في الواقع، هذه الفكرة، التي طوّرها إتش جي ويلز بأسلوبٍ جذاب في روايته "آلة الزمن" ، قادت مؤلفين مثل جون ويليام دان ( مؤلف كتاب " تجربة مع الزمن ") إلى فهمٍ خاطئٍ لنظرية النسبية. إن هندسة الزمكان عند مينكوفسكي ليست إقليدية، وبالتالي لا صلة لها بالبحث الحالي.

— HSM Coxeter ، متعددات الوجوه المنتظمة [ 14 ]

المتجهات

رياضيًا، الفضاء رباعي الأبعاد هو فضاء يحتاج إلى أربعة معايير لتحديد نقطة فيه. على سبيل المثال، قد يكون لنقطة عامة متجه موضع a ، يساوي

أ=(أ1أ2أ3أ4).{\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{pmatrix}}.}

يمكن كتابة ذلك بدلالة متجهات الأساس القياسية الأربعة ( e1 ، e2 ، e3 ، e4 ) ، المعطاة بواسطة

هـ1=(1000)؛هـ2=(0100)؛هـ3=(0010)؛هـ4=(0001)،{\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _ {3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _{4}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}},}

إذن، المتجه العام a هو

أ=أ1هـ1+أ2هـ2+أ3هـ3+أ4هـ4.{\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}+a_{4}\mathbf {e} _{4}.}

تُجمع المتجهات وتطرح وتُكبّر كما في الأبعاد الثلاثة.

يمكن تعميم الضرب النقطي للفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد إلى أربعة أبعاد كما يلي:

أ⋅ب=أ1ب1+أ2ب2+أ3ب3+أ4ب4.{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+a_{4}b_{4}.}

يمكن استخدامه لحساب معيار أو طول متجه،

|أ|=أ⋅أ=أ12+أ22+أ32+أ42،{\displaystyle \left|\mathbf {a} \right|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}}},}

وحساب أو تعريف الزاوية بين متجهين غير صفريين على النحو التالي:

θ=أركوس⁡أ⋅ب|أ||ب|.{\displaystyle \theta =\arccos {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|}}.}

فضاء مينكوفسكي هو فضاء رباعي الأبعاد ذو هندسة محددة بواسطة اقتران غير متدهور يختلف عن الضرب النقطي:

أ⋅ب=أ1ب1+أ2ب2+أ3ب3-أ4ب4.{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}.}

على سبيل المثال، مربع المسافة بين النقطتين (0,0,0,0) و (1,1,1,0) يساوي 3 في كل من الفضاء الإقليدي والفضاء المينكوفسكي رباعي الأبعاد، بينما مربع المسافة بين النقطتين (0,0,0,0) و (1,1,1,1) يساوي 4 في الفضاء الإقليدي و2 في الفضاء المينكوفسكي؛ زيادة قيمة b تساوي 4 تُقلل المسافة المترية. وهذا يُؤدي إلى العديد من "المفارقات" الظاهرية المعروفة في النسبية.

لا يُعرَّف الضرب الاتجاهي في أربعة أبعاد. بدلاً من ذلك، يُستخدم الضرب الخارجي في بعض التطبيقات، ويُعرَّف على النحو التالي:

أ∧ب=(أ1ب2-أ2ب1)هـ12+(أ1ب3-أ3ب1)هـ13+(أ1ب4-أ4ب1)هـ14+(أ2ب3-أ3ب2)هـ23+(أ2ب4-أ4ب2)هـ24+(أ3ب4-أ4ب3)هـ34.{\displaystyle {\begin{align}\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{12}+(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\mathbf {e} _ {13}+(a_{1}b_{4}-a_{4}b_{1})\mathbf {e} _{14}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {e} _{23}\\+(a_{2}b_{4}-a_{4}b_{2})\mathbf {e} _ {24}+(a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})\mathbf {e} _{34}.\end{محاذاة}}}

هذا فضاء ثنائي الأبعاد ، حيث تشكل المتجهات الثنائية في أربعة أبعاد فضاءً خطيًا سداسي الأبعاد ذو أساس ( e12 ، e13 ، e14 ، e23 ، e24 ، e34 ) . ويمكن استخدامها لتوليد دورانات في أربعة أبعاد.

التعامد والمفردات

في الفضاء ثلاثي الأبعاد المألوف في حياتنا اليومية، توجد ثلاثة محاور إحداثية - تُسمى عادةً س ، ص ، ع - كل محور منها متعامد (أي عمودي) على المحورين الآخرين. يمكن تسمية الاتجاهات الأصلية الستة في هذا الفضاء بالأعلى ، والأسفل ، والشرق ، والغرب ، والشمال ، والجنوب . ويمكن تسمية المواضع على طول هذه المحاور بالارتفاع ، وخط الطول ، وخط العرض . أما الأطوال المقاسة على طول هذه المحاور فتُسمى بالارتفاع ، والعرض ، والعمق .

بالمقارنة، يمتلك الفضاء رباعي الأبعاد محور إحداثيات إضافيًا، متعامدًا مع المحاور الثلاثة الأخرى، ويُرمز إليه عادةً بالحرف w . لوصف هذين الاتجاهين الأساسيين الإضافيين، صاغ تشارلز هوارد هينتون مصطلحي "أنا" و "كاتا "، من الكلمات اليونانية التي تعني "إلى الأعلى نحو" و"إلى الأسفل من" على التوالي. [ 9 ] : 160

كما ذُكر، استغل هيرمان مينكوفسكي فكرة الأبعاد الأربعة لمناقشة علم الكونيات، بما في ذلك السرعة المحدودة للضوء . وبإضافة بُعد زمني إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد، حدد تعامدًا بديلًا، وهو التعامد الزائدي . يمنح هذا المفهوم فضاءه رباعي الأبعاد تزامنًا مُعدَّلًا يتناسب مع العلاقات الكهرومغناطيسية في عالمه. وقد تغلب عالم مينكوفسكي على المشكلات المرتبطة بعلم الكونيات التقليدي ذي المكان والزمان المطلقين، والذي كان يُستخدم سابقًا في كون ذي ثلاثة أبعاد مكانية وبُعد زمني واحد.

الهندسة

إن هندسة الفضاء رباعي الأبعاد أكثر تعقيدًا بكثير من هندسة الفضاء ثلاثي الأبعاد، وذلك بسبب درجة الحرية الإضافية.

كما هو الحال في الأبعاد الثلاثة حيث توجد متعددات وجوه مكونة من مضلعات ثنائية الأبعاد ، توجد في الأبعاد الأربعة متعددات وجوه مكونة من متعددات وجوه. في الأبعاد الثلاثة، توجد خمسة متعددات وجوه منتظمة تُعرف باسم الأجسام الأفلاطونية . في الأبعاد الأربعة، توجد ستة متعددات وجوه منتظمة محدبة رباعية الأبعاد ، وهي نظائر الأجسام الأفلاطونية. يؤدي تخفيف شروط الانتظام إلى ظهور 58 متعدد وجوه منتظم محدب رباعي الأبعاد إضافي، وهو مماثل للأجسام الأرخميدية شبه المنتظمة الثلاثة عشر في الأبعاد الثلاثة. يؤدي تخفيف شروط التحدب إلى ظهور 10 متعددات وجوه منتظمة غير محدبة رباعية الأبعاد إضافية.

المضلعات المنتظمة في أربعة أبعاد (معروضة كإسقاطات متعامدة في كل مستوى من مستويات تناظر كوكسيتر )
A 4 , [3,3,3]ب 4 ، [4،3،3]F 4 , [3,4,3]H 4 , [5,3,3]
altN=4-simplex5-خلية {3،3،3}altN=4-cubeمكعب رباعي الأبعاد {4،3،3}altN=4-orthoplex16 خلية {3،3،4}altN=24-خلية24 خلية {3،4،3}altN=600-خلية600 خلية {3،3،5}altN=120-خلية120 خلية {5،3،3}

في ثلاثة أبعاد، يمكن بثق دائرة لتشكيل أسطوانة . في أربعة أبعاد، توجد عدة أشكال أسطوانية مختلفة. يمكن بثق كرة للحصول على أسطوانة كروية (أسطوانة ذات "أغطية" كروية، تُعرف باسم " الأسطوانة الكروية ")، ويمكن بثق أسطوانة للحصول على منشور أسطواني (منشور مكعب). [ 15 ] يمكن أخذ حاصل الضرب الديكارتي لدائرتين للحصول على أسطوانة مزدوجة . يمكن لهذه الأشكال الثلاثة أن "تتدحرج" في الفضاء رباعي الأبعاد، ولكل منها خصائصها.

في ثلاثة أبعاد، يمكن للمنحنيات أن تُشكّل عُقدًا ، بينما لا تستطيع الأسطح ذلك (إلا إذا كانت متقاطعة ذاتيًا). أما في أربعة أبعاد، فيمكن فكّ العُقد المُشكّلة باستخدام المنحنيات بسهولة عن طريق إزاحتها في الاتجاه الرابع، لكن الأسطح ثنائية الأبعاد قادرة على تشكيل عُقد غير بديهية وغير متقاطعة ذاتيًا في الفضاء رباعي الأبعاد. [ 16 ] ولأن هذه الأسطح ثنائية الأبعاد، فإنها قادرة على تشكيل عُقد أكثر تعقيدًا بكثير من تلك التي تُشكّلها الخيوط في الفضاء ثلاثي الأبعاد. تُعدّ زجاجة كلاين مثالًا على هذا النوع من الأسطح المُعقدة. ومن الأمثلة الأخرى على ذلك المستوى الإسقاطي الحقيقي .

كرة فائقة

الإسقاط المجسم لسطح كليفورد الحلقي : مجموعة النقاط (cos( a ), sin( a ), cos( b ), sin( b )) ، وهي مجموعة فرعية من الكرة ثلاثية الأبعاد .
1
متحرك
ثابت

تشكل مجموعة النقاط في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد، التي تبعد نفس المسافة R عن نقطة ثابتة P₀ ، سطحًا فائقًا يُعرف باسم الكرة ثلاثية الأبعاد . ويكون الحجم الفائق للفضاء المحصور هو:

V=12π2R4{\displaystyle \mathbf {V} ={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\pi ^{2}R^{4}}

هذا جزء من مقياس فريدمان-لوميتر-روبرتسون-ووكر في النسبية العامة ، حيث يُستبدل R بالدالة R ( t )، و t يُمثل العمر الكوني للكون. ويعني ازدياد أو انكماش R مع الزمن تمدد الكون أو انكماشه، وذلك تبعًا لكثافة الكتلة داخله. [ 17 ]

الإدراك رباعي الأبعاد لدى البشر

أظهرت الأبحاث التي تستخدم الواقع الافتراضي أن البشر، على الرغم من عيشهم في عالم ثلاثي الأبعاد، قادرون، دون تدريب خاص، على إصدار أحكام مكانية حول قطع مستقيمة مغمورة في فضاء رباعي الأبعاد، بناءً على طولها (أحادي البعد) والزاوية (ثنائية البعد) بينها. [ 18 ] لاحظ الباحثون أن "المشاركين في دراستنا لم يمارسوا هذه المهام إلا بشكل محدود، ولا يزال السؤال مطروحًا حول إمكانية الحصول على تمثيلات رباعية الأبعاد أكثر استدامة ودقة وثراءً مع زيادة الخبرة الإدراكية في بيئات افتراضية رباعية الأبعاد". [ 18 ] في دراسة أخرى، [ 19 ] تم اختبار قدرة البشر على تحديد مواقعهم في متاهات ثنائية وثلاثية ورباعية الأبعاد. تتكون كل متاهة من أربعة مسارات ذات أطوال عشوائية ومتصلة بانحناءات عشوائية متعامدة، ولكن بدون فروع أو حلقات (أي بدون متاهات حقيقية ). استندت واجهة المستخدم الرسومية إلى لعبة المتاهة رباعية الأبعاد المجانية لجون ماكنتوش. [ 20 ] كان على المشاركين اجتياز المسار وتقدير الاتجاه الخطي للعودة إلى نقطة البداية. وقد وجد الباحثون أن بعض المشاركين تمكنوا من استيعاب مسارهم ذهنياً بعد بعض التدريب في أربعة أبعاد (أما الحالات ذات الأبعاد الأقل فكانت للمقارنة ولتمكين المشاركين من تعلم الطريقة).

مع ذلك، أكدت مراجعة أجريت عام 2020 أن هذه الدراسات تتكون من عينة صغيرة من المشاركين، ومعظمهم من طلاب الجامعات. كما أشارت إلى قضايا أخرى يتعين على الأبحاث المستقبلية معالجتها، منها: التخلص من العوامل المؤثرة (التي قد تنجم، على سبيل المثال، عن استراتيجيات لحل المهمة المطلوبة لا تستخدم التمثيل/الاستدلال رباعي الأبعاد، أو عن التغذية الراجعة التي يقدمها الباحثون لتسريع عملية التكيف)، وتحليل التباين بين الأفراد (إذا كان الإدراك رباعي الأبعاد ممكنًا، فقد يقتصر اكتسابه على فئة معينة من البشر، أو على فترة حرجة محددة ، أو على انتباه الأفراد أو دوافعهم). علاوة على ذلك، لم يُحدد بعد ما إذا كانت هناك طريقة أنسب لعرض البعد الرابع (لعدم وجود قيود على كيفية عرضه). افترض الباحثون أيضًا أن اكتساب الإنسان للإدراك رباعي الأبعاد قد يؤدي إلى تنشيط المناطق البصرية في الدماغ والقشرة الشمية الداخلية . إذا كان الأمر كذلك، فإنهم يقترحون أنه يمكن استخدامه كمؤشر قوي على اكتساب إدراك الفضاء رباعي الأبعاد. واقترح المؤلفون أيضاً استخدام مجموعة متنوعة من بنى الشبكات العصبية المختلفة (مع افتراضات مسبقة مختلفة ) لفهم أي منها قادر على التعلم وأيها غير قادر على ذلك. [ 21 ]

التناظر البُعدي

شبكة من مكعب رباعي الأبعاد

لفهم طبيعة الفضاء رباعي الأبعاد، يُستخدم عادةً أسلوب يُسمى التناظر البُعدي . التناظر البُعدي هو دراسة كيفية ارتباط ( ن - ١ ) بُعدًا بـ ن بُعدًا، ثم استنتاج كيفية ارتباط ن بُعدًا بـ ( ن + ١ ) بُعدًا. [ ٢٢ ]

استخدم إدوين أبوت تشبيه الأبعاد في كتابه "فلاتلاند" ، الذي يروي قصة مربع يعيش في عالم ثنائي الأبعاد، كسطح ورقة. من منظور هذا المربع، يمتلك كائن ثلاثي الأبعاد قوى خارقة، كقدرته على إخراج الأشياء من خزنة دون كسرها (بنقلها عبر البعد الثالث)، ورؤية كل ما هو محصور خلف الجدران من منظور ثنائي الأبعاد، والبقاء غير مرئي تمامًا بالوقوف على بُعد بضعة سنتيمترات في البعد الثالث.

بتطبيق القياس البُعدي، يُمكن استنتاج أن كائنًا رباعي الأبعاد قادر على إنجازات مماثلة من منظور ثلاثي الأبعاد. يُجسّد رودي روكر هذا في روايته "سبيسلاند" ، حيث يُواجه بطل الرواية كائنات رباعية الأبعاد تُظهر مثل هذه القدرات.

المقاطع العرضية

عندما يمر جسم ثلاثي الأبعاد عبر مستوى ثنائي الأبعاد، فإن الكائنات ثنائية الأبعاد في هذا المستوى لا ترى سوى مقطع عرضي للجسم ثلاثي الأبعاد داخل هذا المستوى. على سبيل المثال، إذا مرت كرة عبر ورقة، فإن الكائنات الموجودة في الورقة سترى أولًا نقطة واحدة. ثم تكبر الدائرة تدريجيًا حتى تصل إلى قطر الكرة، ثم تصغر مرة أخرى حتى تنكمش إلى نقطة وتختفي. لا ترى الكائنات ثنائية الأبعاد الدائرة بنفس طريقة الكائنات ثلاثية الأبعاد؛ بل ترى فقط إسقاطًا أحادي البعد للدائرة على "شبكية" بصرها أحادية البعد. وبالمثل، إذا مر جسم رباعي الأبعاد عبر سطح ثلاثي الأبعاد (سطح فائق)، يمكن للمرء أن يرى مقطعًا عرضيًا ثلاثي الأبعاد للجسم رباعي الأبعاد. على سبيل المثال، ستظهر الكرة الفائقة أولًا كنقطة، ثم ككرة متنامية (حتى تصل إلى "قطرها الفائق")، ثم تنكمش الكرة إلى نقطة واحدة ثم تختفي. [ 23 ] استُخدمت هذه الوسيلة لتصور جوانب البعد الرابع في رواية "فلاتلاند" وفي العديد من أعمال تشارلز هوارد هينتون . [ 9 ] : 11-14. وبالمثل، كما تستطيع الكائنات ثلاثية الأبعاد (مثل البشر ذوي شبكية العين ثنائية الأبعاد) رؤية جميع جوانب وداخل شكل ثنائي الأبعاد في آن واحد، يستطيع الكائن رباعي الأبعاد رؤية جميع وجوه وداخل شكل ثلاثي الأبعاد في وقت واحد بشبكية عينه ثلاثية الأبعاد.

التوقعات

يُعدّ الإسقاط تطبيقًا مفيدًا للتناظر البُعدي في تصوّر الأبعاد العليا . الإسقاط هو طريقة لتمثيل جسم ذي n بُعد في n -1 بُعد. على سبيل المثال، شاشات الحاسوب ثنائية الأبعاد، وجميع صور الأشخاص والأماكن والأشياء ثلاثية الأبعاد تُمثَّل في بُعدين عن طريق إسقاطها على سطح مستوٍ. وبذلك، يُزال البُعد العمودي على الشاشة ( العمق ) ويُستبدل بمعلومات غير مباشرة. شبكية العين أيضًا عبارة عن مصفوفة ثنائية الأبعاد من المستقبلات ، لكن الدماغ يستطيع إدراك طبيعة الأجسام ثلاثية الأبعاد بالاستدلال من المعلومات غير المباشرة (مثل التظليل، والتقصير ، والرؤية الثنائية ، إلخ). غالبًا ما يستخدم الفنانون المنظور لإضفاء وهم العمق ثلاثي الأبعاد على الصور ثنائية الأبعاد. الظل ، الذي يُلقيه نموذج شبكي وهمي لمكعب رباعي الأبعاد دوّار على سطح مستوٍ، كما هو موضح في الأشكال، هو أيضًا نتيجة للإسقاط.

وبالمثل، يمكن إسقاط الأجسام في البعد الرابع رياضيًا إلى الأبعاد الثلاثة المألوفة، حيث يسهل فحصها. في هذه الحالة، تُعدّ "شبكية" العين رباعية الأبعاد مصفوفة ثلاثية الأبعاد من المستقبلات. كائن افتراضي يمتلك مثل هذه العين سيدرك طبيعة الأجسام رباعية الأبعاد من خلال استنتاج العمق رباعي الأبعاد من المعلومات غير المباشرة في الصور ثلاثية الأبعاد في شبكية عينه.

يُحدث إسقاط الأجسام ثلاثية الأبعاد على شبكية العين تشوهات بصرية، مثل التشويه المنظوري، الذي يفسره الدماغ على أنه عمق في البعد الثالث. وبالمثل، يُنتج الإسقاط المنظوري من أربعة أبعاد تأثيرات تشويه منظوري مماثلة. وباستخدام القياس البُعدي، يمكن استنتاج "عمق" رباعي الأبعاد من هذه التأثيرات.

كمثال توضيحي لهذا المبدأ، تقارن سلسلة الصور التالية بين مناظر مختلفة للمكعب ثلاثي الأبعاد مع إسقاطات مماثلة للمكعب رباعي الأبعاد في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

مكعبتيسيراكتوصف
الصورة على اليسار تُظهر مكعبًا يُنظر إليه من الأمام. أما المنظور المماثل للتيسيراكت في أربعة أبعاد فهو الإسقاط المنظوري من منظور الخلية أولًا ، كما هو موضح على اليمين. ويمكننا أن نقارن بينهما: فكما يُسقط المكعب على مربع، يُسقط التيسيراكت على مكعب.

لاحظ أن الأوجه الخمسة الأخرى للمكعب غير مرئية هنا، فهي محجوبة بالوجه المرئي. وبالمثل، فإن الخلايا السبع الأخرى للمكعب الفائق غير مرئية هنا لأنها محجوبة بالخلية المرئية.

تُظهر الصورة على اليسار المكعب نفسه من حافته. أما المنظور المماثل للتيسيراكت فهو الإسقاط المنظوري من الأوجه أولاً ، كما هو موضح على اليمين. وكما يتكون الإسقاط من الحواف أولاً للمكعب من شبه منحرفين ، فإن الإسقاط من الأوجه أولاً للتيسيراكت يتكون من مخروطين ناقصين .

أقرب حافة للمكعب من هذه الزاوية هي تلك الواقعة بين الوجهين الأحمر والأخضر. وبالمثل، فإن أقرب وجه للمكعب الفائق هو الوجه الواقع بين الخليتين الحمراء والخضراء.

على اليسار يظهر المكعب من منظور الزوايا. وهذا يُشابه إسقاط المنظور ذي الحواف أولاً للمكعب الفائق، الموضح على اليمين. فكما يتكون إسقاط المكعب من منظور الرؤوس أولاً من ثلاثة أشكال دلتاوية تُحيط برأس، يتكون إسقاط المكعب الفائق من منظور الحواف أولاً من ثلاثة أشكال سداسية تُحيط بحافة. ​​وكما أن أقرب رأس للمكعب هو الرأس الذي تلتقي عنده الأوجه الثلاثة، فإن أقرب حافة للمكعب الفائق هي الحافة الموجودة في مركز حجم الإسقاط، حيث تلتقي الخلايا الثلاث.
يمكن إجراء مقارنة مختلفة بين إسقاط المكعب رباعي الأوجه (التيسيراكت) من الحافة أولاً وإسقاط المكعب من الحافة أولاً. يحتوي إسقاط المكعب من الحافة أولاً على شكلين شبه منحرفين يحيطان بحافة، بينما يحتوي إسقاط المكعب رباعي الأوجه على ثلاثة أشكال سداسية الأوجه تحيط بحافة.
على اليسار يظهر المكعب من منظور الزوايا. أما على اليمين، فيظهر إسقاط منظور المكعب الفائق ( التيسيراكت) من منظور الرؤوس. يحتوي إسقاط المكعب من منظور الرؤوس على ثلاثة أشكال رباعية تحيط بكل رأس، بينما يحتوي إسقاط المكعب الفائق من منظور الرؤوس على أربعة أشكال سداسية تحيط بكل رأس. وكما أن أقرب زاوية للمكعب تقع في مركز الصورة، فإن أقرب رأس للمكعب الفائق لا يقع على حدود الحجم المسقط، بل في مركزه الداخلي ، حيث تلتقي الخلايا الأربع.

لا يظهر هنا سوى ثلاثة من أوجه المكعب الستة، لأن الأوجه الثلاثة الأخرى تقع خلفها ، على الجانب المقابل من المكعب. وبالمثل، لا يظهر هنا سوى أربعة من خلايا التيسيراكت الثمانية؛ أما الخلايا الأربع المتبقية فتقع خلف هذه الخلايا الأربع في الاتجاه الرابع، على الجانب الآخر من التيسيراكت.

الظلال

يُعدّ إسقاط الظلال مفهوماً وثيق الصلة بالإسقاط.

إذا سُلط ضوء على جسم ثلاثي الأبعاد، فإنه يُلقي ظلاً ثنائي الأبعاد. وبالمثل، فإن الضوء المُسلط على جسم ثنائي الأبعاد في عالم ثنائي الأبعاد يُلقي ظلاً أحادي الأبعاد، بينما الضوء المُسلط على جسم أحادي الأبعاد في عالم أحادي الأبعاد يُلقي ظلاً صفري الأبعاد، أي نقطة لا ضوء فيها. وبالعكس، يُمكن استنتاج أن الضوء المُسلط على جسم رباعي الأبعاد في عالم رباعي الأبعاد يُلقي ظلاً ثلاثي الأبعاد.

إذا أُضيء الهيكل السلكي لمكعب من الأعلى، فإن الظل الناتج على سطح ثنائي الأبعاد مسطح يكون مربعًا داخل مربع، مع اتصال الزوايا المتناظرة. وبالمثل، إذا أُضيء الهيكل السلكي لمكعب رباعي الأبعاد من الأعلى (في البعد الرابع)، فسيكون ظله ظل مكعب ثلاثي الأبعاد داخل مكعب ثلاثي الأبعاد آخر معلق في الهواء (سطح "مسطح" من منظور رباعي الأبعاد). (لاحظ أن التمثيل المرئي الموضح هنا، من الناحية الفنية، هو صورة ثنائية الأبعاد للظل ثلاثي الأبعاد للهيكل السلكي رباعي الأبعاد).

المناطق المحيطة

يُساعد التناظر البُعدي أيضًا في استنتاج الخصائص الأساسية للأجسام في الأبعاد الأعلى، مثل المنطقة المحيطة . على سبيل المثال، الأجسام ثنائية الأبعاد مُحاطة بحدود أحادية البُعد: فالمربع مُحاط بأربعة أضلاع. أما الأجسام ثلاثية الأبعاد فهي مُحاطة بأسطح ثنائية البُعد: فالمكعب مُحاط بستة أوجه مربعة.

بتطبيق القياس البُعدي، يُمكن استنتاج أن المكعب رباعي الأبعاد، المعروف باسم التيسيراكت ، مُحاط بأحجام ثلاثية الأبعاد. وهذا صحيح بالفعل: تُظهر الرياضيات أن التيسيراكت مُحاط بثمانية مكعبات. معرفة هذا الأمر أساسية لفهم كيفية تفسير الإسقاط ثلاثي الأبعاد للتيسيراكت. حدود التيسيراكت تُسقط على أحجام في الصورة، وليس على أسطح ثنائية الأبعاد فحسب.

الحجم الفائق

يمكن حساب الحجم الرباعي أو الحجم الفائق في أربعة أبعاد بصيغة مغلقة للأشكال الهندسية البسيطة، مثل المكعب الرباعي الأبعاد ( s = 4 ، حيث s هو طول الضلع ) والكرة الرباعية الأبعاد (π2ر4/2{\displaystyle \pi ^{2}r^{4}/2}(لنصف القطر r ).

يمكن أن يكون الاستدلال بالقياس من الأبعاد الأدنى المألوفة دليلاً بديهياً ممتازاً، ولكن يجب توخي الحذر وعدم قبول النتائج التي لم يتم اختبارها بدقة أكبر. على سبيل المثال، ضع في اعتبارك صيغ حساب المساحة المحصورة بدائرة في بعدين (أ=πر2{\displaystyle A=\pi r^{2}}) والحجم المحصور داخل كرة في ثلاثة أبعاد (V=43πر3{\textstyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}قد يظن المرء أن الحجم المحصور داخل الكرة في الفضاء رباعي الأبعاد هو مضاعف نسبي لـπر4{\displaystyle \pi r^{4}}لكن الحجم الصحيح هوπ22ر4{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{2}}r^{4}}[ 14 ] يمكن حساب حجم الكرة n في بُعد عشوائي n من علاقة تكرارية تربط البُعد n بالبُعد n - 2 .

في الثقافة

في الفن

رسم توضيحي من كتاب Jouffret's Traité élémentaire de géométrie à quatre Dimensions . الكتاب الذي أثر في بيكاسو أعطاه له برينسيت.

ساهمت الإمكانيات الجديدة التي أتاحها مفهوم الفضاء رباعي الأبعاد (وما يصاحبه من صعوبات في محاولة تصوره) في إلهام العديد من الفنانين المعاصرين في النصف الأول من القرن العشرين. فقد استلهم رواد التكعيبية والسريالية والمستقبلية والفن التجريدي أفكارًا من الرياضيات متعددة الأبعاد، واستخدموها للارتقاء بأعمالهم بشكل جذري. [ 24 ]

في الأدب

كثيرًا ما تُشير نصوص الخيال العلمي إلى مفهوم "البُعد" عند الحديث عن الأكوان المتوازية أو البديلة أو غيرها من عوالم الوجود المتخيلة . ويستند هذا الاستخدام إلى فكرة أن السفر إلى الأكوان/العوالم المتوازية/البديلة يتطلب السفر في اتجاه/بُعد يتجاوز الأبعاد القياسية. في الواقع، تقع الأكوان/العوالم الأخرى على مسافة قصيرة من هذا الكون، ولكن هذه المسافة تقع في بُعد مكاني (أو غير مكاني) رابع (أو أعلى)، وليس في الأبعاد القياسية.

تُعدّ رواية "فلاتلاند" (Flatland) للكاتب إدوين أ. أبوت، الصادرة عام 1884، واحدة من أشهر قصص الخيال العلمي التي تتناول الأبعاد الهندسية الحقيقية، وغالبًا ما يُنصح بها كنقطة انطلاق لمن يبدأون للتو في استكشاف هذه المسائل. وقد وصفها إسحاق أسيموف، في مقدمته لطبعة "سيجنيت كلاسيكس" لعام 1984، بأنها "أفضل مدخل يمكن للمرء أن يجده لفهم كيفية إدراك الأبعاد".

تم دمج فكرة الأبعاد الأخرى في العديد من قصص الخيال العلمي المبكرة، وبرزت بشكل واضح، على سبيل المثال، في رواية "الملحق والنظارات" لمايلز ج. بروير ( 1928) ورواية " منجنيق البعد الخامس" لموراي لينستر ( 1931)؛ وظهرت بشكل متقطع في الخيال العلمي بحلول أربعينيات القرن العشرين. ومن القصص الكلاسيكية التي تتناول الأبعاد الأخرى رواية " وبنى بيتًا مائلًا" لروبرت أ. هاينلاين ( 1941)، حيث يصمم مهندس معماري من كاليفورنيا منزلًا بناءً على إسقاط ثلاثي الأبعاد لمكعب رباعي الأبعاد؛ وروايتي " النمر من الذيل" و "الكون بينهما" لآلان إي. نورس (كلاهما عام 1951)؛ ورواية "الخامس من أوفث" لوالتر تيفيس (1957) . ومن المراجع الأخرى رواية "تجعد في الزمن" لمادلين لينجل (1962)، التي تستخدم البعد الخامس كوسيلة "لتقسيم الكون إلى مكعبات رباعية الأبعاد" أو "طي" الفضاء للتنقل عبره بسرعة. كما أن البعدين الرابع والخامس هما عنصران أساسيان في كتاب " الفتى الذي عكس نفسه " (1986) للمؤلف ويليام سليتور .

في الفلسفة

كتب إيمانويل كانط عام 1783: "إنّ كون الفضاء في كل مكان (الذي لا يُمثّل حدودًا لفضاء آخر) له ثلاثة أبعاد، وأنّ الفضاء، بشكل عام، لا يمكن أن يكون له أبعاد أكثر، يستند إلى الفرضية القائلة بأنه لا يمكن لأكثر من ثلاثة خطوط أن تتقاطع بزوايا قائمة في نقطة واحدة. لا يمكن إثبات هذه الفرضية من المفاهيم، بل تستند مباشرةً إلى الحدس، بل إلى الحدس القبلي الخالص لأنه يقيني بشكل قاطع (قابل للإثبات)." [ 25 ]

"للفضاء أربعة أبعاد" قصة قصيرة نشرها الفيلسوف وعالم النفس التجريبي الألماني غوستاف فيشنر عام 1846 تحت اسم مستعار هو "دكتور ميزس". بطل القصة ظلٌّ واعٍ قادر على التواصل مع ظلال أخرى، ولكنه محاصر على سطح ثنائي الأبعاد. ووفقًا لفيشنر، فإن هذا "الرجل الظل" سيتصور البعد الثالث على أنه بُعد الزمن. [ 26 ] تشبه القصة إلى حد كبير " أسطورة الكهف " الواردة في كتاب الجمهورية لأفلاطون ( حوالي 380 قبل الميلاد). 

كتب سيمون نيوكومب مقالًا في نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية عام 1898 بعنوان "فلسفة الفضاء الفائق". [ 27 ] صاغت ليندا دالريمبل هندرسون مصطلح "فلسفة الفضاء الفائق"، الذي يُستخدم لوصف الكتابة التي تستخدم أبعادًا أعلى لاستكشاف موضوعات ميتافيزيقية ، في أطروحتها عام 1983 حول البُعد الرابع في فن أوائل القرن العشرين. [ 28 ] من أمثلة "فلاسفة الفضاء الفائق" تشارلز هوارد هينتون ، أول كاتب استخدم كلمة "تيسيراكت" عام 1888؛ [ 29 ] والباحث الباطني الروسي ب. د. أوسبنسكي .

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ أبسط أشكال طريقة هينتون هي رسم مكعبين ثلاثيي الأبعاد عاديين في فضاء ثنائي الأبعاد، أحدهما يحيط بالآخر، يفصل بينهما مسافة "غير مرئية"، ثم رسم خطوط بين رؤوسهما المتناظرة. يمكن ملاحظة ذلك في الرسوم المتحركة المرفقة كلما أظهرت مكعبًا داخليًا أصغر داخل مكعب خارجي أكبر. تمثل الخطوط الثمانية التي تربط رؤوس المكعبين في هذه الحالة اتجاهًا واحدًا في البعد الرابع "غير المرئي".

الاقتباسات

  1. ↑ فان أوس، روزين ج (نوفمبر 1983). "دالمبير والبعد الرابع" . هيستوريا ماثيماتيكا . 10 (4). جامعة ولاية نيويورك في بوفالو (نُشر في 29 يونيو 2004). doi : 10.1016/0315-0860(83)90007-1 – منسوب إلى كاجوري (1926) doi:10.1080/00029890.1926.11986607.
  2. ↑ أرشيبالد، آر سي (1 مايو 1914). " الزمن كبعد رابع " (ملف PDF) . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 20 : 410 (2). doi : 10.1090/S0002-9904-1914-02511-X .
  3. ↑ بيل، إي تي (1965). رجال الرياضيات ( الطبعة الأولى). نيويورك: سايمون وشوستر . ص 154. ISBN   978-0-671-62818-5.
  4. ↑ لورانس ، سنيزانا (8 يناير 2015). "الحياة، والعمارة، والرياضيات، والبعد الرابع" . مجلة شبكة نيكسوس . 17. جامعة باث سبا : ملخص. doi : 10.1007/s00004-014-0221-9 .{{cite journal}}: CS1 maint: deprecated archiveal service ( link )
  5. ↑ Coxeter 1973 ، ص 141 ، §7.x. ملاحظات تاريخية ؛ " أدرك موبيوس ، في وقت مبكر من عام 1827 ، أنه سيكون من الضروري إجراء دوران رباعي الأبعاد لجعل جسمين متماثلين متطابقين في حالة تطابق.
  6. ↑ غراي، جيريمي (2007). عبر نهر الراين - النسخة الجبرية لموبيوس من الهندسة الإسقاطية. في: عوالم من العدم . سبرينغر، لندن. doi : 10.1007/978-1-84628-633-9_13 . ISBN 978-1-84628-633-9.
  7. ↑ كوكسيتر 1973 ، الصفحات 141-144، §7. متعددات الوجوه العادية في الفضاء الأعلى؛ §7.x. ملاحظات تاريخية؛ "جميع الأفكار الواردة في هذا الفصل تقريبًا ... تعود إلى شلافلي، الذي اكتشفها قبل عام 1853 - وهو الوقت الذي كان فيه كايلي وغراسمان وموبيوس هم الأشخاص الوحيدون الآخرون الذين تصوروا إمكانية وجود هندسة في أكثر من ثلاثة أبعاد."
  8. ↑ هينتون، تشارلز هوارد (1980). روكر، رودولف ف. ب. (محرر). تأملات في البعد الرابع: مختارات من كتابات تشارلز هـ. هينتون . نيويورك: دار نشر دوفر . ص. 7. ISBN  978-0-486-23916-3.
  9. 1 2 3 هينتون، تشارلز هوارد (1993) [1904]. البُعد الرابع . بوميروي، واشنطن: بحوث الصحة. ص 14. ISBN  978-0-7873-0410-2تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 فبراير 2017 .
  10. ↑ غاردنر، مارتن (1975). كرنفال الرياضيات: من ألغاز البنسات، وخلط أوراق اللعب، وحيل الآلات الحاسبة الخاطفة، إلى ركوب قطار الملاهي في البعد الرابع ( الطبعة الأولى). نيويورك: كنوبف . الصفحات 42، 52-53 . ISBN   978-0-394-49406-7.
  11. ^ شليغل، فيكتور ؛ وارين (1886). Ueber Projectionsmodelle der regelmässigen vier- Dimensionalen Körper [ في نماذج الإسقاط للأجسام العادية رباعية الأبعاد ] (بالألمانية).
  12. ^ مينكوفسكي ، هيرمان (1909). "Raum und Zeit" [ المكان والزمان ] . Physikalische Zeitschrift (باللغة الألمانية). 10 : 75 – 88 . تم الاسترجاع في 27 أكتوبر 2022 – عبر ويكي مصدر.
  13. ↑ مولر ، سي. (1972). نظرية النسبية ( الطبعة الثانية). أكسفورد: مطبعة كلارندون. ص 93. ISBN   978-0-19-851256-1.
  14. 1 2 كوكسيتر 1973 ، ص. 119.
  15. ^ شاندرا، ساتاباثي سوريش. شاندرا، ساتاباثي سوريش؛ بيسوال، بهابندرا نارايان؛ أودجاتا، سيبا ك.؛ ماندال، ج ك. (2014/10/31). وقائع المؤتمر الدولي الثالث حول حدود الحوسبة الذكية: النظرية والتطبيقات (FICTA) 2014 . سبرينغر. رقم ISBN 978-3-319-12012-6.{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط ) صيانة CS1: أسماء رقمية: قائمة المؤلفين ( رابط )
  16. ↑ كارتر، ج. سكوت؛ سايتو، ماساهيكو. الأسطح المعقودة ومخططاتها . الجمعية الأمريكية للرياضيات . ISBN 978-0-8218-7491-2.
  17. ↑ د'إنفيرنو، راي (1998). مدخل إلى نظرية النسبية لأينشتاين (طبعة مُعاد طباعتها ). أكسفورد: مطبعة كلارندون. ص 319. ISBN   978-0-19-859653-0.
  18. 1 2 أمبيندر، مايكل س.؛ وانغ، رانشياو فرانسيس؛ وآخرون . (أكتوبر 2009). "الحدس المكاني البشري رباعي الأبعاد في الواقع الافتراضي" . مجلة علم النفس الإدراكي والمراجعة . 16 (5): 818-823 . doi : 10.3758/PBR.16.5.818 . PMID 19815783 .  
  19. ↑ أفلالو، تي إن؛ غراتسيانو، إم إس إيه (2008). "الاستدلال المكاني رباعي الأبعاد لدى البشر" (ملف PDF) . مجلة علم النفس التجريبي: الإدراك والأداء البشري . 34 (5): 1066-1077 . CiteSeerX 10.1.1.505.5736 . doi : 10.1037/0096-1523.34.5.1066 . PMID 18823195. تاريخ الاسترجاع: 20 أغسطس 2020 .  
  20. ↑ ماكنتوش، جون (نوفمبر 2002). "لعبة المتاهة رباعية الأبعاد" . urticator.net . تم الاطلاع عليه بتاريخ 16-12-2016 .
  21. ↑ أوغمن، هلوك؛ شيباتا ، كازوهيسا؛ يزدانبخش، أراش (22 يناير 2020). "الإدراك والمعرفة والفعل في الفضاءات الفائقة: آثارها على مرونة الدماغ والتعلم والمعرفة" . مجلة فرونتيرز في علم النفس . 10. فرونتيرز ميديا : 3000. doi : 10.3389/fpsyg.2019.03000 . PMC 6987450. PMID 32038384 .  
  22. ↑ كاكو، ميتشيو (1995). الفضاء الفائق: رحلة علمية عبر الأكوان المتوازية، وانحناءات الزمن، والبعد العاشر ( طبعة مُعاد إصدارها). أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد . الصفحات. الجزء الأول، الفصل 3. ISBN   978-0-19-286189-4.
  23. ↑ روكر، رودي (1996). البُعد الرابع: جولة مُرشدة في الكون الأعلى . بوسطن: هوتون ميفلين . ص 18. ISBN  978-0-395-39388-8.
  24. ↑ هندرسون (2013) .
  25. ↑ مقدمة ، § 12
  26. ↑ بانشوف، توماس ف. (1990). "من العالم المسطح إلى الرسومات الفائقة: التفاعل مع الأبعاد العليا" . مراجعات العلوم متعددة التخصصات . 15 (4): 364. رمز Bibcode : 1990ISRv...15..364B . doi : 10.1179/030801890789797239 . مؤرشف من الأصل في 14 أبريل 2013.
  27. ↑ نيوكومب، سيمون (1898). "فلسفة الفضاء الفائق" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 4 (5): 187. doi : 10.1090/S0002-9904-1898-00478-0 .
  28. ↑ كروجر، رونيت (2007). "الفن في البعد الرابع: إضفاء شكل على الشكل - اللوحات التجريدية لبيت موندريان" (ملف PDF) . فضاءات اليوتوبيا: مجلة إلكترونية (5): 11. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 29-09-2011.
  29. ↑ بيكوفر، كليفورد أ. (2009)، "المكعب الفائق" ، كتاب الرياضيات: من فيثاغورس إلى البعد 57، 250 معلمًا بارزًا في تاريخ الرياضيات ، دار نشر ستيرلينغ، ص 282، رقم ISBN  978-1-4027-5796-9تمت أرشفة هذا النص من النسخة الأصلية بتاريخ 30 مارس 2017..

مراجع

للمزيد من القراءة