معضلة شور

نظرية (معضلة شور) : ليكن V و W فضاءين متجهيين؛ وليكن${\displaystyle \rho _{V}}$و${\displaystyle \rho _{W}}$^{[ 2 ]} لتمثيلات غير قابلة للاختزال لـ G على V و W على التوالي.

1. لو${\displaystyle V}$و${\displaystyle W}$إذا لم تكن متماثلة ، فلا توجد تطبيقات خطية غير تافهة من النوع G بينهما.
2. لو${\displaystyle V=W}$ذات أبعاد محدودة على حقل مغلق جبريًا (مثل${\displaystyle \mathbb {C} }$); وإذا${\displaystyle \rho _{V}=\rho _{W}}$إذاً، فإنّ التطبيقات الخطية غير التافهة الوحيدة من النوع G هي تطبيق التطابق، ومضاعفات تطبيق التطابق العددية. (يُطلق على المضاعف العددي لتطبيق التطابق أحيانًا اسم التماثل ) .

البرهان: لنفترض${\displaystyle f}$هي دالة خطية غير صفرية من G${\displaystyle V}$ل${\displaystyle W}$سنثبت ذلك${\displaystyle V}$و${\displaystyle W}$متماثلة. ليكن${\displaystyle V'}$أن تكون النواة ، أو الفضاء الصفري، لـ${\displaystyle f}$في${\displaystyle V}$، كما هو موضح${\displaystyle V'=\{x\in V|f(x)=0\}}$.${\displaystyle V'}$هو فضاء جزئي من${\displaystyle V}$لأنها غير فارغة (تحتوي على المتجه الصفري)، وهي مغلقة.

بافتراض أن${\displaystyle f}$هي خطية G ، لكل${\displaystyle g}$في${\displaystyle G}$واختيار${\displaystyle x}$في${\displaystyle V'}$،${\displaystyle f((\rho _{V}(g))(x))=(\rho _{W}(g))(f(x))=(\rho _{W}(g))(0)=0}$لكن مع ذلك${\displaystyle f(\rho _{V}(g)(x))=0}$هذا يعني أن${\displaystyle \rho _{V}(g)(x)}$يقع في الفضاء الصفري لـ${\displaystyle f:V\rightarrow W}$. لذا${\displaystyle V'}$مستقر تحت تأثير G ؛ إنه تمثيل فرعي. بما أنه، بحسب الفرضية${\displaystyle V}$غير قابل للاختزال،${\displaystyle V'}$يجب أن تكون القيمة صفرًا؛ لذلك${\displaystyle f}$هو حقني .

وبحجة مماثلة سنبين${\displaystyle f}$وهي أيضاً شاملة ؛ لأن${\displaystyle f((\rho _{V}(g))(x))=(\rho _{W}(g))(f(x))}$، يمكننا أن نستنتج أنه بالنسبة للاختيار العشوائي لـ${\displaystyle f(x)}$على صورة​${\displaystyle f}$،${\displaystyle \rho _{W}(g)}$يرسل${\displaystyle f(x)}$في مكان آخر على صورة${\displaystyle f}$وبشكل خاص، يرسلها إلى صورة${\displaystyle \rho _{V}(g)x}$لذا فإن صورة${\displaystyle f(x)}$هو فضاء جزئي${\displaystyle W'}$ل${\displaystyle W}$مستقر تحت تأثير${\displaystyle G}$لذا فهو تمثيل فرعي و${\displaystyle f}$يجب أن يكون صفراً أو شاملاً. بافتراض أنه ليس صفراً، فهو شامل، وفي هذه الحالة يكون تماثلاً.

في حالة أن${\displaystyle V=W}$لنفترض أن لدينا حقلًا مغلقًا جبريًا محدود الأبعاد وله نفس التمثيل.${\displaystyle \lambda }$لتكن قيمة ذاتية لـ${\displaystyle f}$(توجد قيمة ذاتية لكل تحويل خطي على فضاء متجهي محدود الأبعاد فوق حقل مغلق جبريًا.) ليكن${\displaystyle f'=f-\lambda I}$ثم إذا${\displaystyle x}$هو متجه ذاتي لـ${\displaystyle f}$بما يتوافق مع${\displaystyle \lambda ,f'(x)=0}$من الواضح أن${\displaystyle f'}$هي دالة خطية من النوع G ، لأن مجموع أو فرق الدوال الخطية من النوع G هو أيضًا دالة خطية من النوع G. ثم نعود إلى الحجة السابقة، حيث استخدمنا حقيقة أن الدالة خطية من النوع G لنستنتج أن النواة هي تمثيل جزئي، وبالتالي فهي إما صفر أو تساوي جميع عناصرها.${\displaystyle V}$لأنه ليس صفرًا (يحتوي على${\displaystyle x}$) يجب أن يكون كل V وهكذا${\displaystyle f'}$أمر تافه، لذا${\displaystyle f=\lambda I}$.

تترتب نتيجة مهمة من نتائج مبرهنة شور على الملاحظة التي مفادها أنه يمكننا في كثير من الأحيان بناء بشكل صريح${\displaystyle G}$تُعرَّف الدوال الخطية بين التمثيلات عن طريق "المتوسط" لتأثير عناصر المجموعة الفردية على مؤثر خطي ثابت. وعلى وجه الخصوص، بالنظر إلى أي تمثيل غير قابل للاختزال، فإن هذه الكائنات ستُحقق افتراضات مبرهنة شور، وبالتالي ستكون مضاعفات قياسية للدالة المحايد. بتعبير أدق:

النتيجة : باستخدام نفس الرموز من النظرية السابقة، ليكن${\displaystyle h}$ليكن تحويلاً خطياً من V إلى W ، و$${\displaystyle h_{0}={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}(\rho _{W}(g))^{-1}h\rho _{V}(g).}$$ثم،

1. لو${\displaystyle V}$و${\displaystyle W}$إذا لم تكن متماثلة ، فإن${\displaystyle h_{0}=0}$.
2. لو${\displaystyle V=W}$يكون ذا أبعاد محدودة على حقل مغلق جبريًا (مثلًا${\displaystyle \mathbb {C} }$); وإذا${\displaystyle \rho _{V}=\rho _{W}}$، ثم${\displaystyle h_{0}=I\,\mathrm {Tr} [h]/n}$حيث n هو بُعد V. أي،${\displaystyle h_{0}}$هو تجانس النسبة${\displaystyle \mathrm {Tr} [h]/n}$.

البرهان: لنُثبت أولاً أن${\displaystyle h_{0}}$هي خريطة خطية من النوع G، أي${\displaystyle \rho _{W}(g)\circ h_{0}=h_{0}\circ \rho _{V}(g)}$للجميع${\displaystyle g\in G}$في الواقع، ضع في اعتبارك ذلك

${\displaystyle {\begin{aligned}(\rho _{W}(g'))^{-1}h_{0}\rho _{V}(g')&={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}(\rho _{W}(g'))^{-1}(\rho _{W}(g))^{-1}h\rho _{V}(g)\rho _{V}(g')\\&={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}(\rho _{W}(g\circ g'))^{-1}h\rho _{V}(g\circ g')\\&=h_{0}\end{aligned}}}$

وبتطبيق النظرية السابقة، بالنسبة للحالة 1، يترتب على ذلك ما يلي:${\displaystyle h_{0}=0}$وبالنسبة للحالة الثانية، يترتب على ذلك أن${\displaystyle h_{0}}$هو مضاعف عددي لمصفوفة الوحدة (أي،${\displaystyle h_{0}=\mu I}$). لتحديد المضاعف القياسي${\displaystyle \mu }$ضع في اعتبارك ذلك

${\displaystyle \mathrm {Tr} [h_{0}]={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\mathrm {Tr} [(\rho _{V}(g))^{-1}h\rho _{V}(g)]=\mathrm {Tr} [h]}$

ويترتب على ذلك أن${\displaystyle \mu =\mathrm {Tr} [h]/n}$.

لهذه النتيجة تطبيقات عديدة. فعلى سبيل المثال، في سياق علم المعلومات الكمومية ، تُستخدم لاستخلاص نتائج حول تصميمات t الإسقاطية المعقدة . ^{[ 3 ]} وفي سياق نظرية المدارات الجزيئية ، تُستخدم لتقييد تفاعلات المدارات الذرية بناءً على التناظر الجزيئي . ^{[ 4 ]}

التعريف: ليكن${\displaystyle R}$كن${\displaystyle k}$الجبر.${\displaystyle R}$-وحدة${\displaystyle M}$يقال إن له شخصية مركزية${\displaystyle \chi :Z(R)\to k}$(هنا،${\displaystyle Z(R)}$هو مركز​${\displaystyle R}$) إذا كان لكل${\displaystyle m\in M,z\in Z(R)}$هنالك${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$بحيث${\displaystyle (z-\chi (z))^{n}m=0}$أي إذا كان كل${\displaystyle m\in M}$هو متجه ذاتي معمّم لـ${\displaystyle z}$مع القيمة الذاتية${\displaystyle \chi (z)}$.

لو${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(M)=k}$على سبيل المثال، في الحالة الموضحة أعلاه، كل عنصر من${\displaystyle Z(R)}$أعمال بشأن${\displaystyle M}$كـ${\displaystyle R}$وبالتالي، يوجد تماثل حلقي.${\displaystyle \chi :Z(R)\to k}$بحيث${\displaystyle (z-\chi (z))m=0}$للجميع${\displaystyle z\in Z(R),m\in M}$. بخاصة،${\displaystyle M}$له شخصية مركزية${\displaystyle \chi }$.

لو${\displaystyle R=U({\mathfrak {g}}),k=\mathbb {C} }$هي الجبر الشامل لجبر لي، ويُشار إلى الخاصية المركزية أيضًا باسم الخاصية المتناهية الصغر ، وتُظهر الاعتبارات السابقة أنه إذا${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هو ذو أبعاد محدودة (بحيث${\displaystyle R=U({\mathfrak {g}})}$(أبعادها قابلة للعد)، فإن كل بسيط${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-الوحدة لها طابع متناهي الصغر.

في الحالة التي${\displaystyle k=\mathbb {C} ,R=\mathbb {C} [G]}$هي جبر المجموعة لمجموعة منتهية${\displaystyle G}$ويترتب على ذلك نفس الاستنتاج. هنا، مركز${\displaystyle R}$يتكون من عناصر الشكل${\displaystyle \sum _{g\in G}a(g)g}$أين${\displaystyle a:G\to \mathbb {C} }$هي دالة فئة ، أي أنها ثابتة تحت الاقتران. بما أن مجموعة دوال الفئة تمتد بواسطة الأحرف${\displaystyle \chi _{\pi }}$من التمثيلات غير القابلة للاختزال${\displaystyle \pi \in {\hat {G}}}$يتم تحديد الشخصية المركزية من خلال ما تمثله${\displaystyle u_{\pi }:={\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}\chi _{\pi }(g)g}$إلى (لكل)${\displaystyle \pi \in {\hat {G}}}$). بما أن الجميع${\displaystyle u_{\pi }}$بما أن هذه العمليات متماثلة، فإن كل منها يُقابل إما 0 أو 1، ولأن${\displaystyle u_{\pi }u_{\pi '}=0}$بالنسبة لتمثيلين غير قابلين للاختزال مختلفين، واحد فقط${\displaystyle u_{\pi }}$يمكن ربطها بالرقم 1: الرقم المقابل للوحدة النمطية${\displaystyle M}$.

يفترض${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هو جبر لي و${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$هي الجبر الشامل الشامل لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. يترك${\displaystyle \pi$ لتكن :{\mathfrak {g}}\rightarrow \mathrm {End} (V)} تمثيلاً غير قابل للاختزال لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$على حقل مغلق جبريًا. تضمن الخاصية الشاملة للجبر الشامل أن${\displaystyle \pi }$ويمتد ذلك إلى تمثيل لـ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$يؤثران على نفس الفضاء المتجهي. ويترتب على الجزء الثاني من مبرهنة شور أنه إذا${\displaystyle x}$ينتمي إلى مركز${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$، ثم${\displaystyle \pi (x)}$يجب أن يكون مضاعفًا لعامل الهوية. في حالة عندما${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هي جبر لي شبه بسيط معقد ، ومن الأمثلة المهمة على البناء السابق هو البناء الذي فيه${\displaystyle x}$هو عنصر كازيمير (التربيعي)${\displaystyle C}$في هذه الحالة،${\displaystyle \pi (C)=\lambda _{\pi }I}$، أين${\displaystyle \lambda _{\pi }}$هو ثابت يمكن حسابه صراحةً بدلالة أعلى وزن لـ${\displaystyle \pi }$[ ^{9 ] يلعب تأثير عنصر كازيمير دورًا مهمًا في إثبات قابلية الاختزال} الكاملة للتمثيلات ذات الأبعاد المحدودة لجبر لي شبه البسيط. ^{[ 10 ]}