شكل

توجد طرق متعددة لمقارنة أشكال جسمين:

• التطابق : يكون الجسمان متطابقين إذا كان من الممكن تحويل أحدهما إلى الآخر من خلال سلسلة من الدورانات والانتقالات و/أو الانعكاسات.
• التشابه : يكون الجسمان متشابهين إذا كان من الممكن تحويل أحدهما إلى الآخر عن طريق تغيير الحجم بشكل موحد، بالإضافة إلى سلسلة من الدورانات والانتقالات و/أو الانعكاسات.
• التماثل : يكون جسمان متماثلين إذا كان من الممكن تحويل أحدهما إلى الآخر من خلال سلسلة من التشوهات التي لا تمزق الجسم أو تُحدث فيه ثقوبًا.

أحيانًا، يُمكن اعتبار جسمين متشابهين أو متطابقين مختلفين في الشكل إذا تطلّب الأمر انعكاسًا لتحويل أحدهما إلى الآخر. على سبيل المثال، الحرفان " ب " و" د " هما انعكاس لبعضهما البعض، وبالتالي فهما متطابقان ومتشابهان، ولكن في بعض السياقات لا يُعتبران متطابقين في الشكل. أحيانًا، يُؤخذ في الاعتبار فقط الشكل الخارجي للجسم لتحديد شكله. على سبيل المثال، قد تُعتبر الكرة المجوفة متطابقة في الشكل مع الكرة المصمتة. يُستخدم تحليل بروكروستس في العديد من العلوم لتحديد ما إذا كان لجسمين الشكل نفسه أم لا، أو لقياس الفرق بين شكلين. في الرياضيات المتقدمة، يُمكن استخدام شبه التساوي كمعيار للقول بأن شكلين متطابقان تقريبًا.

يمكن تصنيف الأشكال البسيطة غالبًا إلى أشكال هندسية أساسية مثل الخط ، والمنحنى ، والمستوى ، والشكل المستوي (مثل المربع أو الدائرة )، أو الشكل المجسم (مثل المكعب أو الكرة ). مع ذلك، فإن معظم الأشكال الموجودة في العالم المادي معقدة. بعضها، مثل هياكل النباتات والخطوط الساحلية، قد يكون معقدًا لدرجة يصعب معها وصفه رياضيًا بالطريقة التقليدية  ، وفي هذه الحالة يمكن تحليله باستخدام الهندسة التفاضلية ، أو كأشكال كسورية .

تشمل بعض الأشكال الشائعة: الدائرة ، والمربع ، والمثلث ، والمستطيل ، والشكل البيضاوي ، والنجمة (مضلع) ، والمعين ، ونصف الدائرة . تتبع المضلعات المنتظمة التي تبدأ بالخماسي اصطلاح التسمية بالبادئة اليونانية المشتقة متبوعة باللاحقة "-gon": خماسي، سداسي، سباعي، ثماني، تساعي، عشاري... انظر مضلع

الأجسام التي يمكن تحويلها إلى بعضها البعض عن طريق التحويلات الصلبة والانعكاس (وليس التكبير/التصغير) تكون متطابقة . وبالتالي، يكون الجسم متطابقًا مع صورته المنعكسة (حتى لو لم يكن متناظرًا)، ولكنه ليس متطابقًا مع نسخة مكبرة منه. دائمًا ما يكون للجسمين المتطابقين نفس الشكل أو شكلين متطابقين معكوسين، ولهما نفس الحجم.

تُسمى الأجسام التي لها نفس الشكل أو أشكال معكوسة متشابهة هندسيًا ، سواءً كانت لها نفس الحجم أم لا. وبالتالي، فإن الأجسام التي يمكن تحويلها إلى بعضها البعض عن طريق التحويلات الصلبة، أو الانعكاس، أو تغيير الحجم بشكل منتظم، تُعتبر متشابهة. ويبقى التشابه قائمًا عندما يتم تغيير حجم أحد الأجسام بشكل منتظم، بينما لا يبقى التطابق كذلك. لذا، فإن الأجسام المتطابقة تكون دائمًا متشابهة هندسيًا، ولكن الأجسام المتشابهة قد لا تكون متطابقة، لاحتمال اختلاف أحجامها.

يأخذ تعريف الشكل الأكثر مرونة في الاعتبار حقيقة أن الأشكال الواقعية غالباً ما تكون قابلة للتشوه، على سبيل المثال شخص في أوضاع مختلفة، أو شجرة تنحني في مهب الريح، أو يد بأوضاع أصابع مختلفة.

إحدى طرق نمذجة الحركات غير الصلبة هي التشاكلات الشكلية . وبشكل عام، التشاكل الشكلي هو تمدد وانحناء مستمر لجسم ما إلى شكل جديد. لذا، فإن المربع والدائرة متماثلان شكليًا، بينما الكرة والدونات ليسا كذلك. ومن النكات الرياضية الشائعة أن علماء الطوبولوجيا لا يستطيعون التمييز بين فنجان القهوة والدونات، [ ^{4 ] إذ} يمكن إعادة تشكيل الدونات المرنة إلى شكل فنجان قهوة عن طريق إنشاء تجويف صغير وتكبيره تدريجيًا، مع الحفاظ على فتحة الدونات في مقبض الفنجان.

للشكل الموصوف خطوط خارجية يمكنك رؤيتها وتكوينها. إذا كنتَ تُدخل إحداثياتك على رسم بياني إحداثي، يمكنك رسم خطوط لتوضيح مكان رؤية الشكل، ولكن ليس كل إدخال للإحداثيات على الرسم البياني يُتيح لك تكوين شكل. هذا الشكل له حدود وخطوط خارجية، لذا يمكنك رؤيته، وهو ليس مجرد نقاط عادية على ورقة عادية.

ظهرت التعريفات الرياضية المذكورة أعلاه للأشكال الصلبة وغير الصلبة في مجال تحليل الأشكال الإحصائي . وعلى وجه الخصوص، يُعد تحليل بروكروستس أسلوبًا يُستخدم لمقارنة أشكال الأجسام المتشابهة (مثل عظام حيوانات مختلفة)، أو لقياس تشوه جسم قابل للتشوه. وهناك طرق أخرى مصممة للعمل مع الأجسام غير الصلبة (القابلة للانحناء)، مثل استرجاع الشكل بغض النظر عن وضعية الجسم (انظر على سبيل المثال تحليل الشكل الطيفي ).

جميع المثلثات المتشابهة لها نفس الشكل. يمكن تصنيف هذه الأشكال باستخدام الأعداد المركبة u و v و w التي تمثل رؤوس المثلث، وذلك وفقًا لمنهجية طورها جيه إيه ليستر ^{[ 5 ]} ورافائيل أرتزي . على سبيل المثال، يمكن التعبير عن المثلث متساوي الأضلاع بالأعداد المركبة 0 و 1 و (1 + i√3)/2 التي تمثل رؤوسه. يُطلق ليستر وأرتزي على هذه النسبة اسم النسبة. $${\displaystyle S(u,v,w)={\frac {uw}{uv}}}$$ شكل المثلث ( u , v , w ) . إذن ، شكل المثلث متساوي الأضلاع هو $${\displaystyle {\frac {0-{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}}{0-1}}={\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}=\cos(60^{\circ })+i\sin(60^{\circ })=e^{i\pi /3}.}$$ لأي تحويل أفيني للمستوى المركب ،${\displaystyle z\mapsto az+b,\quad a\neq 0,}$ يتحول المثلث دون أن يتغير شكله. لذا، يُعد الشكل ثابتًا في الهندسة الأفينية . يعتمد الشكل p = S( u , v , w ) على ترتيب وسائط الدالة S، لكن التبديلات تؤدي إلى قيم مرتبطة. على سبيل المثال، $${\displaystyle 1-p=1-{\frac {uw}{uv}}={\frac {wv}{uv}}={\frac {vw}{vu}}=S(v,u,w).}$$أيضًا$${\displaystyle p^{-1}=S(u,w,v).}$$ يؤدي الجمع بين هذه التباديل إلى${\displaystyle S(v,w,u)=(1-p)^{-1}.}$بالإضافة إلى، $${\displaystyle p(1-p)^{-1}=S(u,v,w)S(v,w,u)={\frac {uw}{vw}}=S(w,v,u).}$$هذه العلاقات هي "قواعد تحويل" لشكل المثلث.

يرتبط شكل الشكل الرباعي بعددين مركبين p و q . إذا كان للشكل الرباعي رؤوس u و v و w و x ، فإن p = S( u , v , w ) و q = S( v , w , x ) . وقد أثبت أرتزي هذه القضايا المتعلقة بأشكال الأشكال الرباعية:

1. لو${\displaystyle p=(1-q)^{-1},}$إذن، الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع .
2. إذا كان متوازي الأضلاع يحتوي على | arg p | = | arg q | ، فإنه معين .
3. عندما يكون p = 1 + i و q = (1 + i)/2 ، فإن الشكل الرباعي يكون مربعًا .
4. لو${\displaystyle p=r(1-q^{-1})}$وإذا كان sgn r = sgn(Im p ) ، فإن الشكل الرباعي هو شبه منحرف .

مضلع​${\displaystyle (z_{1},z_{2},...z_{n})}$له شكل محدد بواسطة n − 2 من الأعداد المركبة${\displaystyle S(z_{j},z_{j+1},z_{j+2}),\ j=1,...,n-2.}$يُحدد المضلع مجموعة محدبة عندما تكون جميع مكونات هذا الشكل لها مكونات تخيلية من نفس الإشارة. ^{[ 6 ]}