سعة الاحتمال

في ميكانيكا الكم ، سعة الاحتمال هي عدد مركب يُستخدم لوصف سلوك الأنظمة. يمثل مربع القيمة المطلقة لهذه الكمية عند نقطة في الفضاء كثافة الاحتمال عند تلك النقطة.

توفر سعات الاحتمالية علاقة بين الحالة الكمومية لنظام ما ونتائج رصد هذا النظام، وهي علاقة اقترحها ماكس بورن لأول مرة عام 1926. ويُعدّ تفسير قيم الدالة الموجية على أنها سعة احتمالية ركيزة أساسية في تفسير كوبنهاغن لميكانيكا الكم. في الواقع، استُخدمت خصائص فضاء الدوال الموجية لإجراء تنبؤات فيزيائية (مثل انبعاثات الذرات عند طاقات منفصلة معينة) قبل تقديم أي تفسير فيزيائي لدالة محددة. مُنح بورن نصف جائزة نوبل في الفيزياء عام 1954 تقديرًا لهذا الفهم، ويُطلق على الاحتمالية المحسوبة بهذه الطريقة أحيانًا اسم "احتمالية بورن".

لقد لاقت هذه المفاهيم الاحتمالية، وتحديداً كثافة الاحتمال والقياسات الكمومية ، معارضة شديدة في ذلك الوقت من قبل الفيزيائيين الأوائل الذين عملوا على النظرية، مثل شرودنغر وآينشتاين . وهي مصدر النتائج الغامضة والصعوبات الفلسفية في تفسيرات ميكانيكا الكم ، وهي مواضيع لا تزال موضع نقاش حتى اليوم.

نظرة عامة على المواد

بغض النظر عن بعض التعقيدات التقنية، فإن مشكلة القياس الكمي تتمثل في سلوك حالة كمومية، حيث تكون قيمة الكمية القابلة للرصد $Q$ المراد قياسها غير مؤكدة . يُعتقد أن هذه الحالة عبارة عن تراكب متماسك لحالات الكمية القابلة للرصد الذاتية ، وهي حالات تُحدد فيها قيمة الكمية القابلة للرصد بشكل فريد، وذلك لقيم مختلفة محتملة للكمية القابلة للرصد.

عند قياس $Q ،$ ينتقل النظام (وفقًا لتفسير كوبنهاغن ) إلى إحدى الحالات الذاتية ، مُعيدًا القيمة الذاتية الخاصة بتلك الحالة. يمكن دائمًا وصف النظام بمزيج خطي أو تراكب لهذه الحالات الذاتية ذات "أوزان" غير متساوية . من البديهي أن الحالات الذاتية ذات "الأوزان" الأكبر هي الأكثر احتمالًا للظهور. في الواقع، يُحدد قانون احتمالي الحالة التي ينتقل إليها النظام من بين الحالات المذكورة أعلاه: احتمال انتقال النظام إلى الحالة يتناسب طرديًا مع مربع القيمة المطلقة للوزن العددي المقابل. تُسمى هذه الأوزان العددية بسعات الاحتمال، وتُعرف هذه العلاقة المستخدمة لحساب الاحتمالات من حالات كمومية نقية معينة (مثل الدوال الموجية) بقاعدة بورن .

من الواضح أن مجموع الاحتمالات، والذي يساوي مجموع مربعات القيم المطلقة لسعات الاحتمال، يجب أن يساوي 1. هذا هو شرط التطبيع .

إذا كان النظام معروفًا بأنه في حالة ذاتية معينة للمصفوفة $Q$ (مثلاً بعد رصد القيمة الذاتية المقابلة لها $)$ ، فإن احتمال رصد تلك القيمة الذاتية يصبح مساويًا لـ 1 (مؤكدًا) لجميع القياسات اللاحقة لـ $Q$ (طالما لم تؤثر أي قوى أخرى مهمة بين القياسات). بعبارة أخرى، تكون سعات الاحتمال صفرًا لجميع الحالات الذاتية الأخرى، وتبقى صفرًا للقياسات المستقبلية. إذا كانت مجموعة الحالات الذاتية التي يمكن للنظام الانتقال إليها عند قياس $Q$ هي نفسها مجموعة الحالات الذاتية لقياس $R$ ، فإن القياسات اللاحقة لأي من $Q$ أو $R$ تُنتج دائمًا نفس القيم باحتمال 1، بغض النظر عن ترتيب تطبيقها. لا تتأثر سعات الاحتمال بأي من القياسين، ويُقال إن الكميات القابلة للرصد تتبادل .

على النقيض من ذلك، إذا كانت الحالات الذاتية للمتغيرين $Q$ و $R$ مختلفة، فإن قياس $R$ يُحدث قفزة إلى حالة ليست حالة ذاتية للمتغير $Q.$ لذلك، إذا كان معروفًا أن النظام في حالة ذاتية معينة للمتغير $Q$ (جميع سعات الاحتمال تساوي صفرًا باستثناء حالة ذاتية واحدة)، فعند رصد $R$ تتغير سعات الاحتمال. وبالتالي، فإن رصدًا ثانيًا لاحقًا للمتغير $Q$ لا يُنتج بالضرورة القيمة الذاتية الموافقة للحالة الابتدائية. بعبارة أخرى، تعتمد سعات الاحتمال للقياس الثاني للمتغير $Q$ على ما إذا كان يسبق قياس $R أو يليه،$ ولا يتبادل المتغيران .

الصياغة الرياضية

في إطار رسمي، يتم تمثيل حالة نظام فيزيائي معزول في ميكانيكا الكم ، عند وقت ثابت $t$ ، بواسطة متجه الحالة $| Ψ⟩$ الذي ينتمي إلى فضاء هيلبرت المركب القابل للفصل . باستخدام ترميز برا-كيت، $العلاقة$ بين متجه الحالة و" أساس الموضع ". $\{|x\rangle \}$ يمكن كتابة فضاء هيلبرت على النحو التالي ^{[ 1 ]}

\psi (x)=\langle x|\Psi \rangle

.

يمكن توضيح علاقتها بالكمية القابلة للرصد من خلال تعميم الحالة الكمومية $\psi$ إلى دالة قابلة للقياس ومجال تعريفها إلى فضاء قياس معطى منتهٍ $σ$ $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ وهذا يسمح بتحسين نظرية ليبيغ للتحليل ، حيث يتم تحليل μ إلى ثلاثة أجزاء متفردة متبادلة.

\mu =\mu _{\mathrm {ac} }+\mu _{\mathrm {sc} }+\mu _{\mathrm {pp} }

حيث أن μ _ac دالة متصلة تمامًا بالنسبة لمقياس ليبيغ، وμ _sc دالة شاذة بالنسبة لمقياس ليبيغ وخالية من الذرات، و μ _pp مقياس نقطي بحت. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

السعات المستمرة

عادةً ما يتم تمثيل سعة الاحتمالية على شكل دالة موجية. $\psi$ تنتمي إلى فضاء $L2$ للدوال القابلة للتكامل التربيعي (أو $فئات$ التكافؤ لها) ، أي $\psi$ ينتمي إلى $L 2 (X)$ إذا وفقط إذا

\|\psi \|^{2}=\int _{X}|\psi (x)|^{2}\,dx<\infty

.

إذا كان المعيار يساوي $1$ و $|\psi (x)|^{2}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ بحيث

\int _{X}|\psi (x)|^{2}\,dx\equiv \int _{X}\,d\mu _{ac}(x)=1

،

ثم $|\psi (x)|^{2}$ هي دالة كثافة الاحتمال لقياس موضع الجسيم عند لحظة زمنية معينة، وتُعرَّف بأنها مشتقة رادون-نيكوديم بالنسبة لمقياس ليبيغ (على سبيل المثال، على مجموعة الأعداد الحقيقية R $)$ . ولأن الاحتمال كمية لا بُعدية، فإن $|$ $ψ$ $($ $x$ $)$ $|$ $²$ يجب أن يكون لها بُعد معكوس لمتغير التكامل $x$ . على سبيل المثال، السعة المذكورة أعلاه لها بُعد [L ^{- 1/2} ]، حيث L يمثل الطول .

بينما يكون فضاء هيلبرت قابلاً للفصل إذا وفقط إذا كان يقبل أساسًا متعامدًا قابلاً للعد ، فإن مدى متغير عشوائي مستمر $x$ هي مجموعة غير قابلة للعد (أي احتمال أن يكون النظام "في الموضع"). $x$ ستكون دائمًا صفرًا ). وبالتالي، لا يشترط أن تكون الحالات الذاتية لمتغير قابل للرصد دوالًا قابلة للقياس تنتمي إلى $L² (X)$ (انظر شرط التوحيد أدناه). ومن الأمثلة النموذجية على ذلك عامل الموضع $.$ ${\hat {\mathrm {x} }}$ يُعرَّف بأنه

\langle x|{\hat {\mathrm {x} }}|\Psi \rangle ={\hat {\mathrm {x} }}\langle x|\Psi \rangle =x_{0}\psi (x),\quad x\in \mathbb {R} ,

والتي تكون دوالها الذاتية دوال ديراك دلتا

\psi (x)=\delta (x-x_{0})

والتي من الواضح أنها لا تنتمي إلى $L 2 (X)$ . ومع ذلك، من خلال استبدال فضاء الحالة بفضاء هيلبرت مناسب، يتم الحفاظ على المفهوم الدقيق للحالات الذاتية من نظرية الطيف وكذلك التحلل الطيفي . ^{[ 4 ]}

السعات المنفصلة

يترك $\mu _{pp}$ أن تكون ذرية (أي المجموعة) $A\subset X$ في ${\mathcal {A}}$ هي ذرة $)$ ؛ تُحدد قياس أي متغير منفصل $x \in A$ يساوي $1.$ تتكون السعات من متجه الحالة $| Ψ⟩$ المفهرس بـ $A$ ؛ ويُرمز إلى مكوناته بـ $ψ (x)$ لتوحيد الحالة السابقة. إذا كان معيار ℓ² لـ | $Ψ⟩ يساوي$ $1 ،$ فإن | $ψ (x) | ² دالة$ كتلة احتمالية $.$

فضاء التكوين الملائم $X$ هو فضاء بحيث تُنتج كل نقطة $x$ فيه قيمة فريدة للمتغير القابل للرصد $Q. بالنسبة لـ$ $X$ المتقطع ، يعني هذا أن جميع عناصر الأساس القياسي هي متجهات ذاتية لـ $Q.$ $\psi (x)$ يمثل سعة الاحتمال للحالة الذاتية $| x ⟩$ . إذا كانت هذه الحالة الذاتية تتوافق مع قيمة ذاتية غير متدهورة للمصفوفة $Q$ ، فإن $|\psi (x)|^{2}$ يعطي احتمال القيمة المقابلة لـ $Q$ للحالة الأولية $| Ψ ⟩$ .

$| ψ (x) | = 1$ إذا وفقط إذا كانت $|x⟩ هي نفس الحالة الكمومية لـ |Ψ⟩$ $. ψ$ ( x ) $=$ $0$ إذا $وفقط إذا كانت$ $|$ $x⟩$ و $|$ $Ψ⟩ متعامدتين$ . $وإلا فإن$ قيمة $ψ$ ( $x$ ) $المطلقة$ $تقع$ $بين$ 0 و1.

يمكن اعتبار سعة الاحتمال المنفصلة بمثابة تردد أساسي في مجال تردد الاحتمال ( التوافقيات الكروية ) لأغراض تبسيط حسابات تحويل نظرية إم . تُستخدم المتغيرات الديناميكية المنفصلة في مسائل مثل جسيم في صندوق عاكس مثالي ومذبذب توافقي كمي .

أمثلة

من الأمثلة على الحالة المنفصلة نظام كمومي يمكن أن يكون في حالتين محتملتين ، مثل استقطاب الفوتون . عند قياس الاستقطاب، قد يكون في الحالة الأفقية . $|H\rangle$ أو الحالة العمودية $|V\rangle$ إلى أن يتم قياس استقطابه، يمكن أن يكون الفوتون في حالة تراكب بين هاتين الحالتين، لذا فإن حالته $|\psi \rangle$ يمكن كتابتها على النحو التالي

|\psi \rangle =\alpha |H\rangle +\beta |V\rangle

،

مع $\alpha$ و $\beta$ سعات الاحتمالية للحالات $|H\rangle$ و $|V\rangle$ على التوالي. عند قياس استقطاب الفوتون، تكون الحالة الناتجة إما أفقية أو رأسية. ولكن في تجربة عشوائية، يكون احتمال الاستقطاب الأفقي هو $|\alpha |^{2}$ واحتمالية الاستقطاب الرأسي هي $|\beta |^{2}$ .

وبالتالي، فإن الفوتون في حالة ${\textstyle |\psi \rangle ={\sqrt {\frac {1}{3}}}|H\rangle -i{\sqrt {\frac {2}{3}}}|V\rangle }$ سيكون هناك احتمال لـ ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ أن تخرج مستقطبة أفقياً، واحتمالية ${\textstyle {\frac {2}{3}}}$ تظهر النتائج مستقطبة عمودياً عند إجراء مجموعة من القياسات. ومع ذلك، فإن ترتيب هذه النتائج عشوائي تماماً.

مثال آخر هو الدوران الكمومي. إذا كان جهاز قياس الدوران موجهًا على طول المحور z، فإنه بالتالي قادر على قياس المكون z للدوران ( ${\textstyle \sigma _{z}}$ يجب أن يكون ما يلي صحيحًا لقياس الدوران "لأعلى" و"لأسفل":

\sigma _{z}|u\rangle =(+1)|u\rangle

\sigma _{z}|d\rangle =(-1)|d\rangle

إذا افترضنا أن النظام مُجهز، بحيث يتم تسجيل +1 في ${\textstyle \sigma _{x}}$ ثم يتم تدوير الجهاز للقياس ${\textstyle \sigma _{z}}$ وينطبق ما يلي:

\begin{aligned}\langle r|u\rangle &=\left(\frac {1}{\sqrt {2}}}\langle u|+\frac {1}{\sqrt {2}}}\langle d|\right)\cdot |u\rangle \\&=\left(\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right)\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\\&=\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{aligned}}}

سعة احتمال قياس الدوران لأعلى تُعطى بواسطة ${\textstyle \langle r|u\rangle }$ ، لأن النظام كان في الحالة الأولية ${\textstyle |r\rangle }$ احتمالية القياس ${\textstyle |u\rangle }$ يُعطى بواسطة

P(|u\rangle )=\langle r|u\rangle \langle u|r\rangle =\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}

وهذا يتفق مع التجربة.

تطبيع

$في المثال أعلاه، يجب أن$ تُعطي القياسات إما $| H⟩$ أو $| V⟩ ،$ لذا فإن الاحتمال الكلي لقياس $| H⟩$ أو $| V⟩ يجب أن يكون$ 1. وهذا يُؤدي إلى قيد أن $α² + β² = 1$ ؛ وبشكل أعم، $فإن$ $مجموع$ مربعات مقاييس سعات الاحتمال لجميع الحالات الممكنة يساوي واحدًا . إذا فُهمت عبارة "جميع الحالات الممكنة" على أنها $أساس$ متعامد ، وهو أمر منطقي في الحالة المنفصلة، فإن هذا الشرط يُطابق شرط المعيار-1 الموضح أعلاه .

يمكن دائمًا قسمة أي عنصر غير صفري في فضاء هيلبرت على معياره والحصول على متجه حالة مُعَيَّر . مع ذلك، لا تنتمي كل دالة موجية إلى فضاء هيلبرت $L² (X)$ . تُسمى الدوال الموجية التي تُحقق هذا الشرط دوالًا $قابلة$ للتطبيع .

معادلة شرودنغر ، التي تصف حالات الجسيمات الكمومية، لها حلول تصف النظام وتحدد بدقة كيفية تغير حالته مع الزمن . لنفترض أن دالة موجية $ψ (x, t)$ تعطي وصفًا للجسيم (موضعه $x$ عند زمن معين $t$ ). تكون الدالة الموجية قابلة للتكامل التربيعي إذا

\int |\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}\,\mathrm {d\mathbf {x} } =a^{2}<\infty .

بعد التطبيع، لا تزال الدالة الموجية تمثل نفس الحالة، وبالتالي فهي تساوي بحكم التعريف ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

\psi (\mathbf {x} ,t):={\frac {\psi (\mathbf {x} ,t)}{a}}.

وفقًا لتفسير كوبنهاغن القياسي ، تُعطي الدالة الموجية المعيارية سعات احتمالية لموقع الجسيم. وبالتالي، فإن $ρ (x) = | ψ (x, t) | ²$ هي دالة كثافة احتمالية ، واحتمالية وجود الجسيم في الحجم $V$ عند زمن ثابت $t$ تُعطى بالعلاقة التالية:

P_{\mathbf {x} \in V}(t)=\int _{V}|\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}\,\mathrm {d\mathbf {x} } =\int _{V}\rho (\mathbf {x} )\,\mathrm {d\mathbf {x} } .

لا تتغير دالة كثافة الاحتمال مع الزمن، إذ أن تطور الدالة الموجية محكوم بمعادلة شرودنغر، وبالتالي فهو حتمي تمامًا. ^{[ 7 ]} وهذا أساسي لفهم أهمية هذا التفسير: فبالنسبة لجسيم ذي كتلة ثابتة ، ودالة موجية ابتدائية $ψ (x, t₀)$ ، وجهد ثابت ، تحدد معادلة شرودنغر الدوال الموجية اللاحقة تحديدًا كاملًا. وبناءً على ذلك $،$ تُعطى احتمالات مواقع الجسيم في جميع الأزمنة اللاحقة.

في سياق تجربة الشق المزدوج

تكتسب سعات الاحتمال أهمية خاصة لأنها في ميكانيكا الكم تُعادل الاحتمالات التقليدية، ولها قوانين مماثلة عديدة، كما ذُكر سابقًا. على سبيل المثال، في تجربة الشق المزدوج الكلاسيكية ، تُطلق الإلكترونات عشوائيًا من شقين، ويُثار التساؤل حول توزيع احتمالية رصد الإلكترونات في جميع أجزاء الشاشة الكبيرة الموضوعة خلف الشقين. الإجابة البديهية هي أن احتمال مرور $الإلكترون عبر أي من الشقين يساوي احتمال مروره عبر الشق الأول + احتمال مروره عبر الشق الثاني،$ حيث يُمثل $احتمال وقوع الحدث احتمال ذلك الحدث$ . هذا واضح إذا افترضنا أن الإلكترون يمر عبر أي من الشقين. عندما لا يكون هناك جهاز قياس يُحدد الشق الذي تمر عبره الإلكترونات، فإن توزيع الاحتمالية المرصود على الشاشة يعكس نمط التداخل الشائع في الموجات الضوئية. إذا افترضنا صحة القانون المذكور أعلاه، فلا يُمكن تفسير هذا النمط. لا يُمكن القول إن الجسيمات تمر عبر أي من الشقين، وبالتالي لا يُجدي التفسير البسيط نفعًا. لكن التفسير الصحيح يكمن في ربط سعات احتمالية بكل حدث. فالسعات المركبة التي تمثل مرور الإلكترون عبر كل شق ( $ψ first$ و $ψ second$ ) تتبع القانون بالشكل المتوقع تمامًا: $ψ total = ψ first + ψ second$ . هذا هو مبدأ التراكب الكمي . وبالتالي، فإن الاحتمال، وهو مربع القيمة المطلقة لسعة الاحتمال، يتبع نمط التداخل بشرط أن تكون السعات مركبة. $P=\left|\psi _{\text{first}}+\psi _{\text{second}}\right|^{2}=\left|\psi _{\text{first}}\right|^{2}+\left|\psi _{\text{second}}\right|^{2}+2\left|\psi _{\text{first}}\right|\left|\psi _{\text{second}}\right|\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2}).$ هنا، $\varphi _{1}$ و $\varphi _{2}$ يمثلان وسيطي ψ $أولًا$ و $ψ$ $ثانيًا$ على التوالي. الصيغة الحقيقية البحتة ذات أبعاد قليلة جدًا لوصف حالة النظام عند أخذ مبدأ التراكب في الاعتبار. أي أنه بدون وسيطي السعات، لا يمكننا وصف التداخل المعتمد على الطور. الحد $الحاسم$ ${\textstyle 2\left|\psi _{\text{first}}\right|\left|\psi _{\text{second}}\right|\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})}$ يُطلق عليه اسم "مصطلح التداخل"، وسيكون هذا المصطلح مفقودًا إذا أضفنا الاحتمالات.

مع ذلك، يمكن للمرء أن يختار تصميم تجربة يلاحظ فيها المجرب الشق الذي يمر من خلاله كل إلكترون. عندئذٍ، وبسبب انهيار الدالة الموجية ، لا يُلاحظ نمط التداخل على الشاشة.

يمكن للمرء أن يذهب أبعد من ذلك في تصميم تجربة يتخلص فيها المجرب من "معلومات المسار" هذه بواسطة "ممحاة كمومية" . ثم، وفقًا لتفسير كوبنهاغن ، تنطبق الحالة أ مرة أخرى ويتم استعادة نمط التداخل. ^{[ 8 ]}

قانون حفظ الاحتمالات ومعادلة الاستمرارية

بشكل بديهي، بما أن الدالة الموجية المعيارية تظل معيارية أثناء تطورها وفقًا لمعادلة الموجة، فسيكون هناك علاقة بين التغير في كثافة الاحتمال لموقع الجسيم والتغير في السعة عند هذه المواقع.

عرّف التيار الاحتمالي (أو التدفق) $j$ على النحو التالي:

\mathbf {j} ={\hbar \over m}{1 \over {2i}}\left(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*}\right)={\hbar \over m}\operatorname {Im} \left(\psi ^{*}\nabla \psi \right),

مقاسة بوحدات (الاحتمالية)/(المساحة × الوقت).

عندئذٍ، يحقق التيار المعادلة

\nabla \cdot \mathbf {j} +{\partial \over \partial t}|\psi |^{2}=0.

دالة الكثافة الاحتمالية هي $\rho =|\psi |^{2}$ هذه المعادلة هي بالضبط معادلة الاستمرارية ، التي تظهر في العديد من الحالات الفيزيائية حيث نحتاج إلى وصف حفظ الكميات محليًا. أفضل مثال على ذلك هو الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية، حيث يمثل $j$ كثافة التيار المقابلة للشحنة الكهربائية، و تمثل الكثافة كثافة الشحنة. تصف معادلة الاستمرارية المقابلة حفظ الشحنات محليًا .

الأنظمة المركبة

بالنسبة لنظامين كموميين بفضائين $L₂ (X₁)$ و $L₂ (X₂)$ وحالتين معطيتين $| Ψ₁⟩$ و $|$ $Ψ₂⟩$ $على$ $التوالي$ $،$ يمكن التعبير عن $حالتهما$ المركبة $|$ $Ψ₁⟩$ $\otimes$ $|$ $Ψ₂⟩$ $كدالة$ $ψ₁$ $($ $x₁$ $)$ $ψ₂$ $($ $x₂$ $)$ على $X₁$ $\times$ $X₂$ $،$ $والتي$ تعطي حاصل ضرب مقياسي الاحتمال $.$ بعبارة أخرى، سعات الحالة المركبة غير $المتشابكة$ $هي$ حاصل ضرب السعات الأصلية، $وتتصرف$ $الكميات$ القابلة للرصد $على$ النظامين 1 و 2 على هاتين الحالتين $كمتغيرات$ $عشوائية$ $مستقلة$ $.$ هذا $يعزز$ التفسير الاحتمالي الموضح أعلاه .

السعات في المؤثرات

يُستخدم مفهوم السعات أيضًا في سياق نظرية التشتت ، لا سيما في شكل مصفوفات التشتت (S-matrices ). فبينما تُعطي مُعاملات مربعات مُركّبات المتجه، لمتجه مُعطى، توزيعًا احتماليًا ثابتًا، تُفسَّر مُعاملات مربعات عناصر المصفوفة على أنها احتمالات انتقال، تمامًا كما في عملية عشوائية. وكما يُحدد متجه الوحدة ذو الأبعاد المحدودة توزيعًا احتماليًا محدودًا، تُحدد مصفوفة الوحدة ذات الأبعاد المحدودة احتمالات الانتقال بين عدد محدود من الحالات.

يمكن تطبيق التفسير "الانتقالي" على $L 2$ s على الفضاءات غير المنفصلة أيضًا.

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ لا تكفي المجموعة الممتدة لفضاء هيلبرت لتحديد الإحداثيات، حيث تشكل الدوال الموجية أشعة في فضاء هيلبرت إسقاطي (بدلاً من فضاء هيلبرت عادي). انظر: الإطار الإسقاطي
↑ سيمون 2005 ، ص 43.
↑ Teschl 2014 ، ص 114-119.
^ دي لا مدريد مودينو 2001 ، ص. 97.
^ باورلي ودي كيرف 1990 ، ص. 330.
↑ انظر أيضًا نظرية ويغنر
↑ Zwiebach 2022 ، ص 170.
↑ تُقدّم تجربة حديثة أُجريت عام ٢٠١٣ رؤىً ثاقبة حول التفسير الفيزيائي الصحيح لهذه الظواهر. يُمكن الحصول على المعلومات بالفعل، ولكن يبدو أن الإلكترون قد سلك جميع المسارات الممكنة في آنٍ واحد. (قد تفترض بعض التفسيرات الواقعية للدالة الموجية ، التي تُحاكي نموذج المجموعة، هذا التعايش في جميع نقاط المدار). انظر: Schmidt, L. Ph. H.; et al. (2013). "نقل الزخم إلى شق مزدوج حرّ عائم: تحقيق تجربة فكرية من مناقشات أينشتاين-بور" (ملف PDF) . Physical Review Letters . 111 (10) 103201. Bibcode : 2013PhRvL.111j3201S . doi : 10.1103/PhysRevLett.111.103201 . PMID 25166663 . S2CID 2725093. مؤرشف من الأصل (PDF) بتاريخ 2019-03-07.

مراجع

باورلي، جيرارد جي إيه؛ دي كيرف، إيدي إيه. (1990). جبر لي، الجزء 1: جبر لي ذو الأبعاد المحدودة وغير المحدودة وتطبيقاته في الفيزياء . دراسات في الفيزياء الرياضية. أمستردام: نورث هولاند. ISBN 0-444-88776-8.
دي لا مدريد مودينو، ر. (2001). ميكانيكا الكم في لغة فضاء هيلبرت المُجهز (أطروحة دكتوراه). جامعة بلد الوليد.
فاينمان، آر بي؛ لايتون، آر بي؛ ساندز، إم. (1989). "سعات الاحتمال" . محاضرات فاينمان في الفيزياء . المجلد 3. ريدوود سيتي: أديسون-ويسلي. ISBN 0-201-51005-7.
جودر ، ستانلي ب. (1988). احتمال الكم . سان دييغو: الصحافة الأكاديمية. رقم ISBN 0-12-305340-4.
سايمون، باري (2005). كثيرات الحدود المتعامدة على دائرة الوحدة. الجزء 1. النظرية الكلاسيكية . منشورات ندوة الجمعية الأمريكية للرياضيات. المجلد 54. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الأمريكية للرياضيات . ISBN 978-0-8218-3446-6MR 2105088
تيشل، ج. (2014). الأساليب الرياضية في ميكانيكا الكم . بروفيدنس (رود آيلاند): الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 978-1-4704-1704-8.
زويباك، بارتون (2022). إتقان ميكانيكا الكم . كامبريدج، ماساشوستس: مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. رقم ISBN 978-0-262-04613-8.

[1] لا تكفي المجموعة الممتدة لفضاء هيلبرت لتحديد الإحداثيات، حيث تشكل الدوال الموجية أشعة في فضاء هيلبرت إسقاطي (بدلاً من فضاء هيلبرت عادي). انظر: الإطار الإسقاطي

[FOOTNOTESimon200543-2] سيمون 2005 ، ص 43.

[FOOTNOTETeschl2014114-119-3] Teschl 2014 ، ص 114-119.

[FOOTNOTEde_la_Madrid_Modino200197-4] دي لا مدريد مودينو 2001 ، ص. 97.

[FOOTNOTEBäuerlede_Kerf1990330-5] باورلي ودي كيرف 1990 ، ص. 330.

[6] انظر أيضًا نظرية ويغنر

[FOOTNOTEZwiebach2022170-7] Zwiebach 2022 ، ص 170.

[8] تُقدّم تجربة حديثة أُجريت عام ٢٠١٣ رؤىً ثاقبة حول التفسير الفيزيائي الصحيح لهذه الظواهر. يُمكن الحصول على المعلومات بالفعل، ولكن يبدو أن الإلكترون قد سلك جميع المسارات الممكنة في آنٍ واحد. (قد تفترض بعض التفسيرات الواقعية للدالة الموجية ، التي تُحاكي نموذج المجموعة، هذا التعايش في جميع نقاط المدار). انظر: Schmidt, L. Ph. H.; et al. (2013). "نقل الزخم إلى شق مزدوج حرّ عائم: تحقيق تجربة فكرية من مناقشات أينشتاين-بور" (ملف PDF) . Physical Review Letters . 111 (10) 103201. Bibcode : 2013PhRvL.111j3201S . doi : 10.1103/PhysRevLett.111.103201 . PMID 25166663 . S2CID 2725093. مؤرشف من الأصل (PDF) بتاريخ 2019-03-07.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]