اسطوانة

اسطوانة
أسطوانة دائرية قائمة ارتفاعها h وقطرها d = 2 r
يكتب	سطح أملس سطح جبري
حرف أويلر	2
مجموعة التماثل	O(2)×O(1)
مساحة السطح	2πr(r + h)
مقدار	πr 2 ساعة

الأسطوانة (من الكلمة اليونانية القديمة κύλινδρος ( kúlindros )  "بكرة، أسطوانة") ^[1] كانت تقليديًا عبارة عن جسم ثلاثي الأبعاد ، وهو أحد أبسط الأشكال الهندسية المنحنية . في الهندسة الأولية ، تعتبر منشورًا له دائرة كقاعدة له.

يمكن تعريف الأسطوانة أيضًا على أنها سطح منحني لانهائي في مختلف فروع الهندسة والطوبولوجيا الحديثة . أدى التحول في المعنى الأساسي - الصلب مقابل السطح (كما في الكرة الصلبة مقابل سطح الكرة ) - إلى خلق بعض الغموض في المصطلحات. يمكن التمييز بين المفهومين من خلال الإشارة إلى الأسطوانات الصلبة والأسطح الأسطوانية . في الأدبيات، يمكن أن يشير المصطلح غير المزخرف "الأسطوانة" إلى أي منهما أو إلى كائن أكثر تخصصًا، وهو الأسطوانة الدائرية القائمة .

التعاريف والنتائج في هذا القسم مأخوذة من نص الهندسة المستوية والصلبة لعام 1913 بقلم جورج أ. وينتوورث وديفيد يوجين سميث (وينتورث وسميث 1913).

السطح الأسطواني هو سطح يتكون من جميع النقاط على جميع الخطوط الموازية لخط معين والتي تمر عبر منحنى مستوٍ ثابت في مستوى غير موازٍ للخط المعطى. أي خط في عائلة الخطوط المتوازية هذه يسمى عنصرًا من السطح الأسطواني. من وجهة نظر الحركية ، نظرًا لمنحنى مستوٍ يسمى الخط المباشر ، فإن السطح الأسطواني هو السطح الذي يرسمه خط يسمى الخط المولد ، ليس في مستوى الخط المباشر، ويتحرك موازيًا لنفسه ويمر دائمًا عبر الخط المباشر. أي موضع معين للخط المولد هو عنصر من السطح الأسطواني.

الجسم الصلب المحدود بسطح أسطواني ومستويين متوازيين يسمى أسطوانة (صلبة) . وتسمى القطع المستقيمة التي يحددها عنصر من السطح الأسطواني بين المستويين المتوازيين عنصر أسطوانة . جميع عناصر الأسطوانة لها أطوال متساوية. تسمى المنطقة التي يحدها السطح الأسطواني في أي من المستويين المتوازيين قاعدة الأسطوانة. القاعدتان للأسطوانة شكلان متطابقان . إذا كانت عناصر الأسطوانة عمودية على المستويات التي تحتوي على القواعد، فإن الأسطوانة تكون أسطوانة قائمة ، وإلا فإنها تسمى أسطوانة مائلة . إذا كانت القواعد عبارة عن أقراص (مناطق حدودها دائرة ) تسمى الأسطوانة أسطوانة دائرية . في بعض المعالجات الأولية، تعني الأسطوانة دائمًا أسطوانة دائرية. ^[2]

ارتفاع الأسطوانة هو المسافة العمودية بين قاعدتيها.

الأسطوانة الناتجة عن دوران قطعة مستقيمة حول خط ثابت موازٍ له هي أسطوانة دوران . الأسطوانة الدورانية هي أسطوانة دائرية قائمة. ارتفاع الأسطوانة الدورانية هو طول القطعة المستقيمة المولدة. الخط الذي تدور حوله القطعة يسمى محور الأسطوانة ويمر عبر مركزي القاعدتين.

يشير المصطلح " أسطوانة" في أغلب الأحيان إلى أسطوانة صلبة ذات أطراف دائرية متعامدة على المحور، أي أسطوانة دائرية قائمة، كما هو موضح في الشكل. يُطلق على السطح الأسطواني بدون الأطراف اسم أسطوانة مفتوحة . كانت صيغ مساحة السطح وحجم الأسطوانة الدائرية القائمة معروفة منذ العصور القديمة المبكرة.

يمكن أيضًا اعتبار الأسطوانة الدائرية القائمة بمثابة جسم متحرك يتم توليده عن طريق تدوير مستطيل حول أحد أضلاعه. تُستخدم هذه الأسطوانات في تقنية التكامل (طريقة القرص) للحصول على أحجام الأجسام المتحركة. ^[3]

إن الأسطوانة الإبرية الطويلة والرفيعة يكون ارتفاعها أكبر بكثير من قطرها، في حين أن الأسطوانة القرصية القصيرة والعريضة يكون قطرها أكبر بكثير من ارتفاعها.

المقطع الأسطواني هو تقاطع سطح الأسطوانة مع المستوى . وهي بشكل عام منحنيات وهي أنواع خاصة من المقاطع المستوية . المقطع الأسطواني الذي يقطعه مستوى يحتوي على عنصرين من الأسطوانة هو متوازي أضلاع . ^[4] مثل هذا المقطع الأسطواني للأسطوانة القائمة هو مستطيل . ^[4]

المقطع الأسطواني الذي يتقاطع فيه المستوى المتقاطع ويكون عموديًا على جميع عناصر الأسطوانة يسمى مقطعًا قائمًا . ^[5] إذا كان المقطع الأيمن للأسطوانة عبارة عن دائرة فإن الأسطوانة تكون أسطوانة دائرية. وبشكل عام، إذا كان المقطع الأيمن للأسطوانة عبارة عن مقطع مخروطي (قطع مكافئ، قطع ناقص، قطع زائد) فإن الأسطوانة الصلبة يقال إنها مكافئة، وإهليلجية، وقطع زائد على التوالي.

بالنسبة للأسطوانة الدائرية القائمة، هناك عدة طرق يمكن أن تلتقي بها المستويات مع الأسطوانة. أولاً، المستويات التي تتقاطع مع القاعدة في نقطة واحدة على الأكثر. يكون المستوى مماسًا للأسطوانة إذا التقى بالأسطوانة في عنصر واحد. المقاطع اليمنى عبارة عن دوائر وجميع المستويات الأخرى تتقاطع مع السطح الأسطواني في شكل قطع ناقص . ^[6] إذا تقاطع المستوى مع قاعدة الأسطوانة في نقطتين بالضبط، فإن القطعة المستقيمة التي تصل بين هاتين النقطتين تكون جزءًا من المقطع الأسطواني. إذا كان مثل هذا المستوى يحتوي على عنصرين، فسيكون له مستطيل كمقطع أسطواني، وإلا فإن جوانب المقطع الأسطواني تكون أجزاء من قطع ناقص. أخيرًا، إذا كان المستوى يحتوي على أكثر من نقطتين من القاعدة، فإنه يحتوي على القاعدة بأكملها والمقطع الأسطواني عبارة عن دائرة.

في حالة الأسطوانة الدائرية القائمة ذات المقطع الأسطواني الذي يكون على شكل قطع ناقص، فإن الانحراف e للمقطع الأسطواني والمحور شبه الرئيسي a للمقطع الأسطواني يعتمدان على نصف قطر الأسطوانة r والزاوية α بين المستوى القاطع ومحور الأسطوانة، بالطريقة التالية: $${\displaystyle {\begin{aligned}e&=\cos \alpha ,\\[1ex]a&={\frac {r}{\sin \alpha }}.\end{aligned}}}$$

إذا كانت قاعدة الأسطوانة الدائرية لها نصف قطر r وارتفاع الأسطوانة h ، فإن حجمها يعطى بواسطة $${\displaystyle V=\pi r^{2}h}$$

تنطبق هذه الصيغة سواء كانت الأسطوانة قائمة أم لا. ^[7]

يمكن إنشاء هذه الصيغة باستخدام مبدأ كافالييري .

وبشكل عام، وبنفس المبدأ، فإن حجم أي أسطوانة هو حاصل ضرب مساحة القاعدة والارتفاع. على سبيل المثال، فإن الأسطوانة الإهليلجية ذات القاعدة التي لها نصف محور رئيسي a وشبه محور ثانوي b وارتفاع h لها حجم V = Ah ، حيث A هي مساحة القطع الناقص للقاعدة (= π ab ). يمكن أيضًا الحصول على هذه النتيجة للأسطوانات الإهليلجية القائمة عن طريق التكامل، حيث يتم اعتبار محور الأسطوانة كمحور x الموجب و A ( x ) = A مساحة كل مقطع عرضي إهليلجي، وبالتالي: $${\displaystyle V=\int _{0}^{h}A(x)dx=\int _{0}^{h}\pi abdx=\pi ab\int _{0}^{h}dx=\pi abh.}$$

باستخدام الإحداثيات الأسطوانية ، يمكن حساب حجم الأسطوانة الدائرية القائمة عن طريق التكامل $${\displaystyle {\begin{aligned}V&=\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz\\[5mu]&=\pi \,r^{2}\,h.\end{aligned}}}$$

بما أن نصف قطر الأسطوانة الدائرية القائمة r وارتفاعها h ، فإن مساحة سطحها ، الموجهة بحيث يكون محورها رأسيًا، تتكون من ثلاثة أجزاء:

• مساحة القاعدة العلوية: π r ²
• مساحة القاعدة السفلية: π r ²
• مساحة الضلع: 2π rh

مساحة القاعدتين العلوية والسفلية متساوية، وتسمى مساحة القاعدة ، B. ومساحة الضلع تعرف بالمساحة الجانبية ، L.

لا تتضمن الأسطوانة المفتوحة عناصر علوية أو سفلية، وبالتالي لها مساحة سطح (مساحة جانبية) $${\displaystyle L=2\pi rh}$$

تتكون مساحة سطح الأسطوانة الدائرية القائمة الصلبة من مجموع المكونات الثلاثة: العلوية والسفلية والجانبية. وبالتالي تكون مساحة سطحها حيث d = 2 وr هو قطر القمة أو القاع الدائري. $${\displaystyle A=L+2B=2\pi rh+2\pi r^{2}=2\pi r(h+r)=\pi d(r+h)}$$

بالنسبة لحجم معين، فإن الأسطوانة الدائرية اليمنى ذات أصغر مساحة سطح لها h = 2 r . وعلى نحو مكافئ، بالنسبة لمساحة سطح معينة، فإن الأسطوانة الدائرية اليمنى ذات أكبر حجم لها h = 2 r ، أي أن الأسطوانة تتلاءم بشكل مريح مع مكعب طول ضلعه = الارتفاع ( = قطر دائرة القاعدة). ^[8]

المساحة الجانبية، L ، للأسطوانة الدائرية، والتي لا يلزم أن تكون أسطوانة قائمة، تُعطى بشكل عام من خلال حيث e هو طول العنصر و p هو محيط القسم الأيمن من الأسطوانة. ^[9] وهذا ينتج الصيغة السابقة للمساحة الجانبية عندما تكون الأسطوانة أسطوانة دائرية قائمة. $${\displaystyle L=e\times p,}$$

الأسطوانة المجوفة الدائرية القائمة (أو الغلاف الأسطواني ) هي منطقة ثلاثية الأبعاد محاطة بأسطوانتين دائريتين قائمتين لهما نفس المحور وقاعدتان حلقتان متوازيتان عموديتان على المحور المشترك للأسطوانتين، كما هو موضح في الرسم التخطيطي.

ليكن الارتفاع h ونصف القطر الداخلي r ونصف القطر الخارجي R. الحجم يعطى بواسطة وبالتالي فإن حجم الغلاف الأسطواني يساوي 2 π  × نصف القطر المتوسط ​​× الارتفاع ×  السمك. ^[10]$${\displaystyle V=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right)h=2\pi \left({\frac {R+r}{2}}\right)h(R-r).}$$  

يتم تحديد مساحة السطح، بما في ذلك الجزء العلوي والسفلي، بواسطة الأصداف الأسطوانية المستخدمة في تقنية التكامل الشائعة لإيجاد أحجام المواد الصلبة ذات الدوران. ^[11]$${\displaystyle A=2\pi \left(R+r\right)h+2\pi \left(R^{2}-r^{2}\right).}$$

في الأطروحة التي تحمل هذا الاسم، والتي كتبت حوالي عام  225 قبل الميلاد ، حصل أرخميدس على النتيجة التي كان فخوراً بها للغاية، وهي الحصول على صيغ حجم ومساحة سطح الكرة من خلال استغلال العلاقة بين الكرة وأسطوانتها الدائرية القائمة المحيطة بها والتي لها نفس الارتفاع والقطر . يبلغ حجم الكرة ثلثي حجم الأسطوانة المحيطة ومساحة سطحها ثلثي مساحة الأسطوانة (بما في ذلك القواعد). نظرًا لأن قيم الأسطوانة كانت معروفة بالفعل، فقد حصل لأول مرة على القيم المقابلة للكرة. حجم الكرة التي يبلغ نصف قطرها r هو ⁠4/3πr3 =​​^​​2/3(2 π r 3 ⁾ . مساحة سطح هذه الكرة هي 4 π r ² =2/3( 6π r ² ) . تم وضع كرة وأسطوانة منحوتتين على قبر أرخميدس بناءً على طلبه.

في بعض مجالات الهندسة والطوبولوجيا يشير مصطلح الأسطوانة إلى ما يسمى بالسطح الأسطواني . تُعرَّف الأسطوانة بأنها سطح يتكون من جميع النقاط على جميع الخطوط الموازية لخط معين والتي تمر عبر منحنى مستوٍ ثابت في مستوٍ غير موازٍ للخط المعطى. ^[12] يُشار إلى مثل هذه الأسطوانات، في بعض الأحيان، باسم الأسطوانات المعممة . يمر عبر كل نقطة من الأسطوانة المعممة خط فريد موجود في الأسطوانة. ^[13] وبالتالي، يمكن إعادة صياغة هذا التعريف ليقول إن الأسطوانة هي أي سطح محكوم يمتد بواسطة عائلة من الخطوط المتوازية ذات المعلمة الواحدة.

تُسمى الأسطوانة التي لها مقطع قائم على شكل قطع ناقص أو قطع مكافئ أو قطع زائد ، على التوالي ، بالأسطوانة الإهليلجية والأسطوانة المكافئة والأسطوانة الزائدية . وهذه أسطح رباعية متحللة . ^[14]

عندما يتم محاذاة المحاور الرئيسية للمعادلة التربيعية مع الإطار المرجعي (وهو أمر ممكن دائمًا للمعادلة التربيعية)، يتم إعطاء معادلة عامة للمعادلة التربيعية في ثلاثة أبعاد بواسطة حيث تكون المعاملات أرقامًا حقيقية وليس كل من A و B و C يساوي 0. إذا لم يظهر متغير واحد على الأقل في المعادلة، فإن المعادلة التربيعية متدهورة. إذا كان هناك متغير واحد مفقود، فقد نفترض من خلال الدوران المناسب للمحاور أن المتغير z لا يظهر ويمكن كتابة المعادلة العامة لهذا النوع من المعادلة التربيعية المتدهورة على النحو التالي ^[15] حيث $${\displaystyle f(x,y,z)=Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dx+Ey+Gz+H=0,}$$ $${\displaystyle A\left(x+{\frac {D}{2A}}\right)^{2}+B\left(y+{\frac {E}{2B}}\right)^{2}=\rho ,}$$$${\displaystyle \rho =-H+{\frac {D^{2}}{4A}}+{\frac {E^{2}}{4B}}.}$$

إذا كان AB > 0 فهذه هي معادلة الأسطوانة الإهليلجية . ^[15] ويمكن الحصول على مزيد من التبسيط عن طريق ترجمة المحاور والضرب القياسي. إذا كان لها نفس إشارة المعاملين A و B ، فيمكن إعادة كتابة معادلة الأسطوانة الإهليلجية في الإحداثيات الديكارتية على النحو التالي: معادلة الأسطوانة الإهليلجية هذه هي تعميم لمعادلة الأسطوانة الدائرية العادية ( a = b ). تُعرف الأسطوانات الإهليلجية أيضًا باسم الأسطوانات الدائرية ، ولكن هذا الاسم غامض، حيث يمكن أن يشير أيضًا إلى مخروط Plücker . ${\displaystyle \rho }$$${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}$$

إذا كانت لها إشارة مختلفة عن المعاملات، نحصل على الأسطوانات الإهليلجية التخيلية : والتي ليس لها نقاط حقيقية عليها. ( يعطي نقطة حقيقية واحدة.) ${\displaystyle \rho }$$${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1,}$$${\displaystyle \rho =0}$

إذا كانت إشارات A و B مختلفة و ، نحصل على الأسطوانات الزائدية ، والتي يمكن إعادة كتابة معادلاتها على النحو التالي: ${\displaystyle \rho \neq 0}$$${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}$$

أخيرًا، إذا كان AB = 0، افترض، دون فقدان العمومية ، أن B = 0 و A = 1 للحصول على الأسطوانات المكافئة مع المعادلات التي يمكن كتابتها على النحو التالي: ^[16] $${\displaystyle x^{2}+2ay=0.}$$

في الهندسة الإسقاطية ، الأسطوانة هي ببساطة مخروط تقع قمته (رأسه) على المستوى عند اللانهاية . إذا كان المخروط مخروطًا تربيعيًا، فيمكن للمستوى عند اللانهاية (الذي يمر عبر الرأس) أن يتقاطع مع المخروط عند خطين حقيقيين، أو خط حقيقي واحد (في الواقع زوج من الخطوط المتزامنة)، أو عند الرأس فقط. تؤدي هذه الحالات إلى ظهور الأسطوانات الزائدية أو المكافئة أو الإهليلجية على التوالي. ^[17]

يُعد هذا المفهوم مفيدًا عند النظر إلى المخروطيات المتدهورة ، والتي قد تتضمن المخروطيات الأسطوانية.

يمكن اعتبار الأسطوانة الدائرية الصلبة حالة محدودة لمنشور ذي n ضلع حيث يقترب n من اللانهاية . الارتباط قوي جدًا وتعالج العديد من النصوص القديمة المنشورات والأسطوانات في وقت واحد. يتم اشتقاق صيغ مساحة السطح والحجم من الصيغ المقابلة للمنشورات باستخدام المنشورات المحصورة والمحدودة ثم السماح لعدد جوانب المنشور بالزيادة دون حدود. ^[18] أحد أسباب التركيز المبكر (والمعالجة الحصرية أحيانًا) على الأسطوانات الدائرية هو أن القاعدة الدائرية هي النوع الوحيد من الأشكال الهندسية التي تعمل عليها هذه التقنية باستخدام الاعتبارات الأولية فقط (لا يوجد استئناف لحساب التفاضل والتكامل أو الرياضيات الأكثر تقدمًا). المصطلحات المتعلقة بالمنشورات والأسطوانات متطابقة. وبالتالي، على سبيل المثال، نظرًا لأن المنشور المقطوع هو منشور لا تقع قواعده في مستويات متوازية، فإن الأسطوانة الصلبة التي لا تقع قواعدها في مستويات متوازية تسمى أسطوانة مقطوعة .

من وجهة نظر متعددة السطوح، يمكن أيضًا رؤية الأسطوانة على أنها ثنائية المخروط كهرم ثنائي الجوانب لا نهائي .

عائلة من المنشورات المنتظمة ذات النون ضلعًا ف ت هـ
اسم المنشور	منشور ثنائي الزوايا	(ثلاثي) المنشور المثلثي	( منشور مربع رباعي الأضلاع)	منشور خماسي	منشور سداسي	منشور سباعي	منشور مثمن	منشور رباعي الأضلاع	منشور عشري	منشور هرمي الشكل	منشور اثني عشري	...	منشور شبه منحرف
صورة متعدد السطوح												...
صورة بلاط كروية												صورة بلاط مستوية
تكوين الرأس.	2.4.4	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	...	∞.4.4
مخطط كوكستر												...

• قائمة الأشكال
• صلب شتاينميتز ، تقاطع اثنتين أو ثلاث أسطوانات متعامدة

• وايسستين، اريك دبليو. “اسطوانة”. عالم الرياضيات .
• مساحة سطح الاسطوانة في MATHguide
• حجم الأسطوانة في MATHguide