نظرية الأنظمة الديناميكية

يُعد مفهوم النظام الديناميكي صياغة رياضية لأي "قاعدة" ثابتة تصف التغير الزمني لموقع نقطة ما في الفضاء المحيط بها . ومن الأمثلة على ذلك النماذج الرياضية التي تصف تأرجح بندول الساعة، وتدفق الماء في أنبوب، وعدد الأسماك في كل ربيع في بحيرة.

يُحدد النظام الديناميكي حالته بمجموعة من الأعداد الحقيقية ، أو بشكل أعم، بمجموعة من النقاط في فضاء حالة مناسب . وتُقابل التغيرات الطفيفة في حالة النظام تغيرات طفيفة في هذه الأعداد. وتمثل هذه الأعداد أيضًا إحداثيات فضاء هندسي - متعدد الشعب . وقاعدة تطور النظام الديناميكي هي قاعدة ثابتة تصف الحالات المستقبلية التي تترتب على الحالة الحالية. وقد تكون هذه القاعدة حتمية (أي أنه يمكن التنبؤ بدقة بحالة مستقبلية واحدة لفترة زمنية معينة انطلاقًا من الحالة الحالية) أو عشوائية (أي أنه لا يمكن التنبؤ بتطور الحالة إلا باحتمالية معينة).

الديناميكية ، أو ما يُعرف أيضاً بالفرضية الديناميكية أو الفرضية الديناميكية في العلوم المعرفية أو الإدراك الديناميكي ، هي منهج جديد في العلوم المعرفية ، يتجلى في أعمال الفيلسوف تيم فان جيلدر . وتجادل هذه الديناميكية بأن المعادلات التفاضلية أكثر ملاءمة لنمذجة الإدراك من النماذج الحاسوبية التقليدية.

في الرياضيات ، يُعرف النظام غير الخطي بأنه نظام لا يتبع مبدأ التراكب ، أي نظام لا يحقق هذا المبدأ . وبصورة أبسط، يُعرَّف النظام غير الخطي بأنه أي مسألة لا يمكن فيها كتابة المتغير (أو المتغيرات) المطلوب إيجاد قيمها كمجموع خطي لمكونات مستقلة. النظام غير المتجانس ، الذي يكون خطيًا باستثناء وجود دالة للمتغيرات المستقلة ، يُعتبر غير خطي وفقًا لتعريف دقيق، ولكن عادةً ما تُدرس هذه الأنظمة جنبًا إلى جنب مع الأنظمة الخطية، لأنه يمكن تحويلها إلى نظام خطي بمجرد معرفة حل معين.

الديناميكا الحسابية مجالٌ ظهر في تسعينيات القرن الماضي، وهو يدمج فرعين من الرياضيات: الأنظمة الديناميكية ونظرية الأعداد . تقليديًا، تشير الديناميكا المنفصلة إلى دراسة تكرار التحويلات الذاتية للمستوى المركب أو خط الأعداد الحقيقية . أما الديناميكا الحسابية فهي دراسة الخصائص العددية للنقاط الصحيحة، والنسبية، و p -adic، و/أو الجبرية عند تطبيق دالة متعددة الحدود أو دالة نسبية عليها بشكل متكرر .

تصف نظرية الفوضى سلوك بعض الأنظمة الديناميكية - أي الأنظمة التي يتطور وضعها مع الزمن - والتي قد تُظهر ديناميكيات شديدة الحساسية للظروف الأولية (المعروفة باسم تأثير الفراشة ). ونتيجةً لهذه الحساسية، التي تتجلى في نمو أُسّي للاضطرابات في الظروف الأولية، يبدو سلوك الأنظمة الفوضوية عشوائيًا . يحدث هذا على الرغم من أن هذه الأنظمة حتمية ، أي أن ديناميكياتها المستقبلية مُحددة بالكامل بظروفها الأولية، دون أي عناصر عشوائية. يُعرف هذا السلوك بالفوضى الحتمية، أو ببساطة الفوضى .

تُعدّ الأنظمة المعقدة مجالًا علميًا يدرس الخصائص المشتركة للأنظمة التي تُعتبر معقدة في الطبيعة والمجتمع والعلوم . ويُطلق عليها أيضًا نظرية الأنظمة المعقدة ، وعلم التعقيد ، ودراسة الأنظمة المعقدة ، و/أو علوم التعقيد . وتتمثل المشكلات الرئيسية لهذه الأنظمة في صعوبة نمذجتها ومحاكاتها الرسمية . ومن هذا المنطلق، تُعرَّف الأنظمة المعقدة في سياقات بحثية مختلفة بناءً على سماتها المتنوعة.

تُضفي دراسة الأنظمة المعقدة حيويةً جديدةً على العديد من مجالات العلوم التي عجزت فيها الاستراتيجية الاختزالية التقليدية عن تحقيق النتائج المرجوة. ولذلك، يُستخدم مصطلح " الأنظمة المعقدة" غالبًا كمصطلح واسع يشمل منهجًا بحثيًا لمعالجة المشكلات في العديد من التخصصات المتنوعة، بما في ذلك علم الأعصاب ، والعلوم الاجتماعية ، والأرصاد الجوية ، والكيمياء ، والفيزياء ، وعلوم الحاسوب ، وعلم النفس ، والحياة الاصطناعية ، والحوسبة التطورية ، والاقتصاد ، والتنبؤ بالزلازل، وعلم الأحياء الجزيئي ، ودراسة طبيعة الخلايا الحية نفسها.

تُعد نظرية التحكم فرعًا متعدد التخصصات من الهندسة والرياضيات ، وهي تتعامل جزئيًا مع التأثير على سلوك الأنظمة الديناميكية .

نظرية الإرجودية هي فرع من الرياضيات يدرس الأنظمة الديناميكية ذات المقياس الثابت والمسائل ذات الصلة. وقد استُلهم تطويرها الأولي من مسائل الفيزياء الإحصائية .

التحليل الوظيفي هو فرع من فروع الرياضيات ، وتحديدًا فرع التحليل ، يهتم بدراسة الفضاءات المتجهة والمؤثرات التي تعمل عليها. تعود جذوره التاريخية إلى دراسة الفضاءات الوظيفية ، ولا سيما تحويلات الدوال ، مثل تحويل فورييه ، بالإضافة إلى دراسة المعادلات التفاضلية والتكاملية . يعود استخدام مصطلح "وظيفي" إلى حساب التفاضل والتكامل ، حيث يشير إلى دالة وسيطها دالة. يُنسب استخدامه عمومًا إلى عالم الرياضيات والفيزياء فيتو فولتيرا ، بينما يُنسب تأسيسه إلى حد كبير إلى عالم الرياضيات ستيفان باناش .

يمكن استخدام مفهوم أنظمة الرسوم البيانية الديناميكية (GDS) لرصد نطاق واسع من العمليات التي تحدث على الرسوم البيانية أو الشبكات. ويتمثل أحد المحاور الرئيسية في التحليل الرياضي والحسابي لأنظمة الرسوم البيانية الديناميكية في ربط خصائصها البنيوية (مثل ترابط الشبكة) بالديناميكيات الشاملة الناتجة عنها.

تُعدّ الأنظمة الديناميكية المُسقطة نظرية رياضية تُعنى بدراسة سلوك الأنظمة الديناميكية التي تقتصر حلولها على مجموعة من القيود. ويرتبط هذا التخصص بتطبيقات في كلٍّ من عالم مسائل التحسين والتوازن الساكن ، وعالم المعادلات التفاضلية العادية الديناميكي . ويُعرَّف النظام الديناميكي المُسقط بتدفق المعادلة التفاضلية المُسقطة.

الديناميكيات الرمزية هي ممارسة نمذجة نظام ديناميكي طوبولوجي أو سلس بواسطة فضاء منفصل يتكون من تسلسلات لانهائية من الرموز المجردة، كل منها يتوافق مع حالة من حالات النظام، مع الديناميكيات (التطور) المعطاة بواسطة عامل الإزاحة .

ديناميكيات الأنظمة هي منهجية لفهم سلوك الأنظمة عبر الزمن. وهي تتعامل مع حلقات التغذية الراجعة الداخلية والتأخيرات الزمنية التي تؤثر على سلوك وحالة النظام ككل. ^{[ 3 ]} ما يميز استخدام ديناميكيات الأنظمة عن غيرها من مناهج دراسة الأنظمة هو اللغة المستخدمة لوصف حلقات التغذية الراجعة باستخدام المخزونات والتدفقات . تساعد هذه العناصر في وصف كيف تُظهر حتى الأنظمة البسيطة ظاهريًا سلوكًا غير خطي معقدًا .

الديناميكا الطوبولوجية هي فرع من نظرية الأنظمة الديناميكية حيث يتم دراسة الخصائص النوعية والتقاربية للأنظمة الديناميكية من وجهة نظر الطوبولوجيا العامة .

في مجال الميكانيكا الحيوية الرياضية ، برزت نظرية الأنظمة الديناميكية في علوم الحركة كإطار عمل فعال لنمذجة الأداء الرياضي وكفاءته. وهذا ليس بالأمر المفاجئ، إذ أن جذور نظرية الأنظمة الديناميكية تعود إلى الميكانيكا التحليلية . من منظور علم النفس الفيزيولوجي، يُعدّ نظام الحركة البشري شبكة بالغة التعقيد من الأنظمة الفرعية المترابطة (مثل الجهاز التنفسي، والدورة الدموية، والجهاز العصبي، والجهاز العضلي الهيكلي، والجهاز الإدراكي) والتي تتكون من عدد كبير من المكونات المتفاعلة (مثل خلايا الدم، وجزيئات الأكسجين، والأنسجة العضلية، والإنزيمات الأيضية، والنسيج الضام، والعظام). في نظرية الأنظمة الديناميكية، تنشأ أنماط الحركة من خلال عمليات عامة للتنظيم الذاتي موجودة في الأنظمة الفيزيائية والبيولوجية. ^{[ 4 ]} ولا يوجد أي بحث يدعم صحة أي من الادعاءات المرتبطة بالتطبيق المفاهيمي لهذا الإطار.

طُبقت نظرية الأنظمة الديناميكية في مجال علم الأعصاب والتطور المعرفي ، لا سيما في نظريات التطور المعرفي النيو-بياجيهية . ويُعتقد أن التطور المعرفي يُجسد على نحو أفضل من خلال النظريات الفيزيائية، بدلاً من النظريات القائمة على النحو والذكاء الاصطناعي . كما يُعتقد أن المعادلات التفاضلية هي الأداة الأنسب لنمذجة السلوك البشري. تُفسر هذه المعادلات لتمثيل المسار المعرفي للفرد عبر فضاء الحالة . بعبارة أخرى، يرى أنصار نظرية الأنظمة الديناميكية أن علم النفس ينبغي أن يكون (أو هو بالفعل) وصفًا (عبر المعادلات التفاضلية) للإدراكات والسلوكيات لدى الفرد في ظل ضغوط بيئية وداخلية معينة. كما يُعتمد في كثير من الأحيان مصطلح نظرية الفوضى.

في هذه المرحلة، يصل عقل المتعلم إلى حالة من عدم التوازن حيث تنهار الأنماط القديمة. هذه هي المرحلة الانتقالية للتطور المعرفي. يبدأ التنظيم الذاتي (التكوين التلقائي لأشكال متماسكة) مع ترابط مستويات النشاط. تدعم البنى الكبيرة والصغيرة المتشكلة حديثًا بعضها بعضًا، مما يُسرّع العملية. تُشكّل هذه الروابط بنية حالة جديدة من النظام في العقل من خلال عملية تُسمى التكوير (البناء والهدم المتكرر للأداء المعقد). هذه الحالة الجديدة والمبتكرة تدريجية، منفصلة، ​​خاصة، وغير قابلة للتنبؤ. ^{[ 5 ]}

استُخدمت نظرية الأنظمة الديناميكية مؤخرًا لشرح مشكلة لم يتم حلها منذ فترة طويلة في نمو الطفل تُعرف باسم خطأ أ-ليس-ب . ^{[ 6 ]}

علاوة على ذلك، منذ منتصف التسعينيات ^{[ 7 ]} ، تبنى علم الإدراك ، الموجه نحو نظرية الاتصالية النظامية ، بشكل متزايد أساليب "نظرية الأنظمة الديناميكية" (غير الخطية). ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} ويمكن تصنيف مجموعة متنوعة من البنى العصبية الإدراكية الرمزية في الاتصالية الحديثة، بالنظر إلى جوهرها البنيوي الرياضي، على أنها أنظمة ديناميكية (غير خطية). ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]} لا تنبع هذه المحاولات في علم الإدراك العصبي لدمج البنى العصبية الإدراكية الاتصالية مع نظرية الأنظمة الديناميكية من المعلوماتية العصبية والاتصالية فحسب، بل أيضًا مؤخرًا من علم النفس النمائي ("نظرية المجال الديناميكي" ^{[ 14 ] [ 15 ]} ) ومن " الروبوتات التطورية " و" الروبوتات النمائية " ^{[ 16 ]} بالارتباط بالأسلوب الرياضي " الحوسبة التطورية ". للاطلاع على نظرة عامة، انظر ماورر. ^{[ 17 ] [ 18 ]}

يُنسب تطبيق نظرية الأنظمة الديناميكية لدراسة اكتساب اللغة الثانية إلى ديان لارسن-فريمان ، التي نشرت مقالًا عام 1997 زعمت فيه أن اكتساب اللغة الثانية يجب أن يُنظر إليه كعملية نمائية تشمل تراجع اللغة واكتسابها على حد سواء. ^{[ 19 ]} وذكرت في مقالها أن اللغة يجب أن تُنظر إليها كنظام ديناميكي يتسم بالديناميكية والتعقيد وعدم الخطية والفوضوية وعدم القدرة على التنبؤ والحساسية للظروف الأولية والانفتاح والتنظيم الذاتي والاستجابة للتغذية الراجعة والقدرة على التكيف.