مثلث شوارتز

(2 2 2) أو [2,2]	(3 2 2) أو [3,2]	...
(3 3 2) أو [3,3]	(4 3 2) أو [4,3]	(5 3 2) أو [5,3]

تتضمن مثلثات شوارتز ذات الأعداد الصحيحة، والتي تسمى أيضًا مثلثات موبيوس ، عائلة واحدة ذات معلمة واحدة وثلاث حالات استثنائية :

1. [ p ,2] أو ( p22 ) – تناظر ثنائي السطوح ،
2. [3,3] أو (3 3 2) – تناظر رباعي الأوجه ،
3. [4,3] أو (4 3 2) – التناظر الثماني الأوجه ،
4. [5,3] أو (5 3 2) – التناظر العشري الوجوه ،

مثلثات شوارتز ( p q r )، مصنفة حسب الكثافة :

(3 3 3)

(4 4 2)

(6 3 2)

الكثافة 1:

1. (3 3 3) – 60-60-60 ( متساوي الأضلاع )،
2. (4 4 2) – 45-45-90 (مثلث متساوي الساقين قائم الزاوية)،
3. (6 3 2) – 30-60-90 ،

الكثافة 2:

1. (6 6 3/2) - مثلث 120-30-30

الكثافة ∞:

1. (4 4/3 ∞)
2. (3 3/2 ∞)
3. (6 6/5 ∞)

(7 3 2)	(8 3 2)	(5 4 2)
(4 3 3)	(4 4 3)	(∞ ∞ ∞)
المجالات الأساسية للمثلثات ( p q r )

الكثافة 1:

• (2 3 7)، (2 3 8)، (2 3 9) ... (2 3 ∞)
• (2 4 5), (2 4 6), (2 4 7) ... (2 4 ∞)
• (2 5 5), (2 5 6), (2 5 7) ... (2 5 ∞)
• (2 6 6), (2 6 7), (2 6 8) ... (2 6 ∞)
• (3 3 4)، (3 3 5)، (3 3 6) ... (3 3 ∞)
• (3 4 4), (3 4 5), (3 4 6) ... (3 4 ∞)
• (3 5 5), (3 5 6), (3 5 7) ... (3 5 ∞)
• (3 6 6), (3 6 7), (3 6 8) ... (3 6 ∞)
• ...
• (∞ ∞ ∞)

الكثافة 2:

• (3/2 7 7), (3/2 8 8), (3/2 9 9) ... (3/2 ∞ ∞)
• (5/2 4 4), (5/2 5 5), (5/2 6 6) ... (5/2 ∞ ∞)
• (7/2 3 3), (7/2 4 4), (7/2 5 5) ... (7/2 ∞ ∞)
• (9/2 3 3), (9/2 4 4), (9/2 5 5) ... (9/2 ∞ ∞)
• ...

الكثافة 3:

• (2 7/2 7)، (2 9/2 9)، (2 11/2 11) ...

الكثافة 4:

• (7/3 3 7)، (8/3 3 8)، (3 10/3 10)، (3 11/3 11) ...

الكثافة 6:

• (7/4 7 7), (9/4 9 9), (11/4 11 11) ...
• (7/2 7/2 7/2), (9/2 9/2 9/2), ...

الكثافة 10:

• (3 7/2 7)

يُعدّ مثلث شوارتز (2 3 7) أصغر مثلث شوارتز زائدي، ولذا فهو ذو أهمية خاصة. زمرته المثلثية (أو بتعبير أدق، زمرة فون دايك ذات الدليل 2 للتناظرات الحافظة للاتجاه) هي الزمرة المثلثية (2، 3، 7) ، وهي الزمرة الشاملة لجميع زمر هورويتز - الزمر القصوى للتناظرات لأسطح ريمان . جميع زمر هورويتز هي خارج قسمة الزمرة المثلثية (2، 3، 7)، وجميع أسطح هورويتز مُغطاة بمثلث شوارتز (2، 3، 7). أصغر زمرة هورويتز هي الزمرة البسيطة من الرتبة 168، وهي ثاني أصغر زمرة بسيطة غير تبديلية ، وهي متماثلة مع PSL(2، 7) ، وسطح هورويتز المرتبط بها (من الجنس 3) هو سطح كلاين الرباعي .

تُغطي المثلثات (2 3 8) سطح بولزا ، وهو سطح متناظر للغاية (ولكن ليس سطح هورويتز) من النوع 2.

تم تصنيف المثلثات ذات الزاوية غير الصحيحة الواحدة، المذكورة أعلاه، لأول مرة بواسطة أنتوني دبليو كناب في ^{[ 1 ]} . وترد قائمة بالمثلثات ذات الزوايا غير الصحيحة المتعددة في ^{[ 2 ] .}

لنفترض أن المثلث الزائدي Δ له زوايا π / a و π / b و π / c حيث a و b و c أعداد صحيحة أكبر من 1. مساحة المثلث الزائدي Δ تساوي π − π / a − π / b − π / c ، بحيث

${\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}<1.}$

سيتم أولاً إنشاء التبليط في حالة كون a و b و c أكبر من 2. ^{[ 3 ]}

يُعطي المثلث الأصلي Δ مضلعًا محدبًا P1 بثلاثة رؤوس. عند كل رأس من الرؤوس الثلاثة، يمكن عكس المثلث تباعًا عبر الحواف المنبثقة من تلك الرؤوس لإنتاج 2m _نسخة من المثلث، حيث تكون الزاوية عند الرأس π / m . لا تتداخل المثلثات إلا عند الحواف، ونصفها معكوس الاتجاه، وتتلاءم معًا لتغطي جوار النقطة. يشكل اتحاد هذه المثلثات الجديدة مع المثلث الأصلي شكلًا متصلًا P2 _. يتكون هذا الشكل من مثلثات تتقاطع فقط عند الحواف أو الرؤوس، ويشكل مضلعًا محدبًا جميع زواياه أقل من أو تساوي π، وكل ضلع فيه هو حافة مثلث معكوس. في حالة كون الزاوية Δ تساوي π /3، _فإن أحد رؤوس P2 سيكون له زاوية داخلية π ، لكن هذا لا يؤثر على تحدب P2 _. حتى في هذه الحالة المنحطة عندما تنشأ زاوية π ، لا يزال يعتبر الحافتان المتوازيتان متميزتين لأغراض البناء.

يمكن فهم بناء P ₂ بشكل أوضح من خلال ملاحظة إضافة بعض المثلثات أو البلاطات مرتين، وهي الثلاثة التي تشترك في ضلع مع المثلث الأصلي. أما البقية، فتشترك في رأس واحد فقط. تتمثل الطريقة الأكثر منهجية لتنفيذ التبليط في إضافة بلاطة إلى كل ضلع (انعكاس المثلث في ذلك الضلع) ثم ملء الفراغات عند كل رأس. ينتج عن ذلك ما مجموعه 3 + (2a - 3) + ( 2b - 3) + (2c - 3) = 2( a + b + c ) - 6 مثلثات جديدة. تنقسم الرؤوس الجديدة إلى نوعين: رؤوس المثلثات المتصلة بأضلاع المثلث الأصلي، والمتصلة بدورها برأسين من المثلث Δ. يقع كل رأس من هذه الرؤوس في ثلاثة مثلثات جديدة تتقاطع عند ذلك الرأس. أما الرؤوس المتبقية، فتتصل برأس واحد من المثلث Δ، وتنتمي إلى مثلثين جديدين لهما ضلع مشترك. وبالتالي، يوجد 3 + (2a − 4) + (2b − 4) + ( 2c − 4) = 2( a + b + c ) − 9 رؤوس جديدة. وبحسب التصميم، لا يوجد تداخل. ولإثبات أن _P2 محدب ، يكفي أن نلاحظ أن الزاوية بين الأضلاع المتقاطعة عند رأس جديد تُشكل زاوية أقل من أو تساوي π . ولكن بما أن الرأس الجديد يقع في مثلثين أو ثلاثة مثلثات جديدة تتقاطع عند ذلك الرأس، فإن الزاوية عند ذلك الرأس لا تتجاوز 2π / 3 أو π ، كما هو مطلوب.

يمكن تكرار هذه العملية للمضلع P2 للحصول على P3 _، وذلك بإضافة قطع إلى كل ضلع من أضلاع P2 _، ثم ملء الفراغات حول كل رأس من رؤوس P2 _{. بعد ذلك ،} يمكن تكرار العملية من P3 للحصول على _P4 ، وهكذا، وصولًا إلى Pn من Pn _{- 1} . يمكن التحقق استقرائيًا من أن جميع هذه المضلعات محدبة، وأن قطعها غير متداخلة. في الواقع، كما في الخطوة الأولى من العملية، يوجد نوعان من القطع عند بناء _{Pn من} Pn - 1 _، وهما القطع المتصلة بأحد أضلاع Pn _{-1 والقطع المتصلة برأس واحد. وبالمثل، يوجد نوعان من الرؤوس، أحدهما يلتقي فيه قطعتان جديدتان ، والآخر يلتقي فيه ثلاث قطع} ^. _{لذا ، بشرط عدم تداخل أي قطع، تُظهر الحجة السابقة أن الزوايا} ^عند الرؤوس لا تتجاوز π، ^{وبالتالي} فإن Pn مضلع محدب _.

لذلك يجب التحقق من أنه عند إنشاء P _n من P _{n − 1} : ^{[ 4 ]}

لإثبات (أ)، لاحظ أنه بحسب خاصية التحدب، فإن المضلع P _{n − 1} هو تقاطع أنصاف الفضاءات المحدبة المحددة بالأقواس الدائرية الكاملة التي تحدد حدوده. وبالتالي، عند أي رأس من رؤوس P _{n − 1،} يوجد قوسان دائريان يحددان قطاعين: أحدهما يحتوي على باطن P _{n − 1} ، والآخر يحتوي على باطن المثلثات الجديدة المضافة حول ذلك الرأس. يمكن تصور ذلك باستخدام تحويل موبيوس لرسم النصف العلوي من المستوى إلى قرص الوحدة، والرأس إلى نقطة الأصل؛ يقع باطن المضلع وكل مثلث من المثلثات الجديدة في قطاعين مختلفين من قرص الوحدة. وبذلك، يكون (أ) قد تم إثباته.

قبل إثبات (ج) و (ب)، يمكن تطبيق تحويل موبيوس لرسم النصف العلوي من المستوى إلى قرص الوحدة ونقطة ثابتة في داخل Δ إلى نقطة الأصل.

يتم إثبات (ج) بالاستقراء الرياضي. لاحظ أن نصف القطر الواصل بين نقطة الأصل ورأس من رؤوس المضلع P _{_{n -1}} يصنع زاوية أقل من 2π / 3 مع كل ضلع من أضلاع المضلع عند ذلك الرأس، إذا تقاطع مثلثان فقط من P _{_{n -1}} عند ذلك الرأس، لأن كل زاوية عند ذلك الرأس أقل من أو تساوي π /3. وللتحقق من صحة ذلك عندما تتقاطع ثلاثة مثلثات من P _{_{n -1}} عند الرأس C ، لنفترض أن المثلث الأوسط قاعدته على الضلع AB من P _{_{n -2}} . بالاستقراء الرياضي، يصنع نصفا القطر OA و OB زاويتين أقل من أو تساوي 2π / 3 مع الضلع AB . في هذه الحالة، تكون المنطقة الواقعة في القطاع بين نصفي القطر OA و OB خارج الضلع AB محدبة، لأنها تمثل تقاطع ثلاث مناطق محدبة. بالاستقراء، تكون الزوايا عند A و B أكبر من أو تساوي π /3. بالتالي، تبدأ الخطوط الجيوديسية المتجهة إلى C من A و B في المنطقة؛ وبسبب التحدب، يقع المثلث ABC بالكامل داخل هذه المنطقة. جميع زوايا الشكل الرباعي OACB أصغر من π (لأن OAB مثلث جيوديسي)، لذا فهو محدب. ومن ثم، يقع نصف القطر OC داخل زاوية المثلث ABC القريبة من C. وبالتالي، فإن الزوايا بين OC وضلعي Pn _{- 1} المتقاطعين عند C أصغر من أو تساوي π /3 + π /3 = 2π / 3، كما هو مطلوب.

لإثبات (ب)، يجب التحقق من كيفية تقاطع المثلثات الجديدة في P _{n .}

لنبدأ بالنظر إلى البلاطات المضافة إلى حواف القطاع P _{n − 1.} باستخدام ترميز مشابه لما ورد في (ج)، لنفترض أن AB هي قاعدة البلاطة و C هي الرأس الثالث. عندئذٍ، يشكل نصفا القطر OA و OB زوايا مع الحافة AB أقل من أو تساوي 2π / 3 ، وينطبق المنطق الوارد في برهان (ج) لإثبات أن المثلث ABC يقع داخل القطاع المحدد بنصفي القطر OA و OB . هذا صحيح لكل حافة من حواف P _{n − 1.} بما أن الأجزاء الداخلية للقطاعات المحددة بحواف مختلفة منفصلة، ​​فإن المثلثات الجديدة من هذا النوع تتقاطع فقط كما هو مطلوب.

لننظر الآن إلى البلاطات الإضافية المضافة لكل رأس من رؤوس المضلع P _{_{n -1}} . إذا اعتبرنا الرأس A ، فإن هناك ضلعين AB_₁ و AB_₂ من المضلع P _{_{n -1}} يلتقيان عند A. ولتكن C _₁ و C _₂ الرأسين الإضافيين للبلاطات المضافة إلى هذين الضلعين. تقع البلاطات الإضافية المضافة عند A في القطاع المحدد بنصفي القطر OB_₁ و OB_₂. المضلع ذو الرؤوس C _₂ و C_₁، ثم رؤوس البلاطات الإضافية، جميع زواياه الداخلية أقل من π ، وبالتالي فهو محدب. لذلك، فهو محصور بالكامل في القطاع المحدد بنصفي القطر OC_₁ و OC_₂. بما أن الأجزاء الداخلية لهذه القطاعات منفصلة، ​​فإن هذا يضمن صحة جميع الادعاءات المتعلقة بكيفية تقاطع البلاطات المضافة.

_{وأخيرًا ،} يبقى إثبات أن التبليط الناتج عن اتحاد المثلثات يغطي كامل النصف العلوي من المستوى. أي نقطة z مغطاة بالتبليط تقع ضمن المضلع Pn _، وبالتالي ضمن المضلع Pn _{+1 . لذا ،} فهي تقع ضمن نسخة من المثلث الأصلي Δ، وكذلك ضمن نسخة من P2 محصورة بالكامل في Pn _{+ 1} . المسافة الزائدية بين Δ والسطح الخارجي لـ _P2 تساوي r > 0. وبالتالي، فإن المسافة الزائدية بين z والنقاط غير المغطاة بالتبليط تساوي r على الأقل . وبما أن هذا ينطبق على جميع النقاط في التبليط، فإن المجموعة التي يغطيها التبليط مغلقة. من ناحية أخرى، التبليط مفتوح لأنه يتطابق مع اتحاد الأسطح الداخلية للمضلعات Pn _. وبحسب مبدأ الاتصال، يجب أن يغطي التبليط كامل النصف العلوي من المستوى.

لمعرفة كيفية التعامل مع حالة كون الزاوية Δ زاوية قائمة، لاحظ أن المتباينة

${\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}<1}$.

يشير هذا إلى أنه إذا كانت إحدى الزوايا قائمة، ولتكن a = 2، فإن كلاً من b و c أكبر من 2، ويجب أن تكون إحداهما، ولتكن b ، أكبر من 3. في هذه الحالة، يؤدي عكس المثلث حول الضلع AB إلى مثلث زائد متساوي الساقين بزوايا π / c و π / c و 2π / b . إذا كان 2π / b ≤ π / 3، أي أن b أكبر من 5، فإن جميع زوايا المثلث المضاعف تكون أصغر من أو تساوي π /3. في هذه الحالة، يتكيف إنشاء التبليط المذكور أعلاه باستخدام المضلعات المحدبة المتزايدة حرفيًا مع هذه الحالة، باستثناء أنه حول الرأس ذي الزاوية 2π / b ، يلزم b نسخة فقط من المثلث - وليس 2b - لتبليط جوار الرأس. هذا ممكن لأن المثلث المضاعف متساوي الساقين. ينتج عن تقسيم المثلث المضاعف تقسيم المثلث الأصلي عند تقسيم جميع المثلثات الأكبر إلى نصفين. ^{[ 5 ]}

يبقى معالجة الحالة عندما تكون قيمة b تساوي 4 أو 5. إذا كانت b = 4، فإن c ≥ 5: في هذه الحالة، إذا كانت c ≥ 6، فيمكن تبديل b و c ، وينطبق الاستدلال السابق، ليتبقى لدينا الحالة b = 4 و c = 5. إذا كانت b = 5، فإن c ≥ 4. يمكن معالجة الحالة c ≥ 6 بتبديل b و c ، بحيث تكون الحالة الإضافية الوحيدة هي b = 5 و c = 5. هذا المثلث متساوي الساقين الأخير هو نسخة مضاعفة من المثلث الاستثنائي الأول، لذا لا يلزم النظر إلا في المثلث Δ ₁ — بزوايا π /2 و π /4 و π /5 ومساحة زائدية π /20 (انظر أدناه). يعالج كاراثيودوري (1954) هذه الحالة بطريقة عامة تصلح لجميع المثلثات القائمة الزاوية التي تكون فيها الزاويتان الأخريان أقل من أو تساوي π /4. تم تعديل الطريقة السابقة لإنشاء P2 _و P3 ... بإضافة مثلث إضافي في كل مرة تظهر فيها زاوية 3π / 2 عند أحد الرؤوس. وينطبق المنطق نفسه لإثبات عدم وجود تداخل وأن التبليط يغطي النصف العلوي من المستوى الزائدي ^{. [ 5} _]

من جهة أخرى، يُنتج التكوين المُعطى زمرة مثلثية حسابية. دُرست هذه الزمر لأول مرة في كتاب فريكه وكلاين (1897) ، وأسفرت عن تأليف أدبيات واسعة النطاق. في عام 1977، وضع تاكيوتشي تصنيفًا كاملًا للزمر المثلثية الحسابية (عددها محدود)، وحدد متى تكون اثنتان منها متناسبتين. يرتبط المثال المحدد بمنحنى برينغ، وتشير النظرية الحسابية إلى أن الزمرة المثلثية للمثلث Δ1 _تحتوي على الزمرة المثلثية للمثلث Δ2 _بزوايا π / 4، π /4، و π /5 كزمرة فرعية غير طبيعية ذات دليل 6. ^{[ 6 ]}

بمضاعفة المثلثين Δ1 _و Δ2 _، يُستنتج وجود علاقة بين ستة مثلثات Δ3 _بزوايا π / 2 و π /5 و π /5 ومساحة زائدية π /10، ومثلث Δ4 _بزوايا π / 5 و π /5 و π /10 ومساحة زائدية 3π / 5. وقد أثبت ثريلفال (1932) هذه العلاقة مباشرةً بوسائل هندسية بسيطة، دون الرجوع إلى النظرية الحسابية: فكما هو موضح في الشكل الخامس أدناه، يمكن تبليط الشكل الرباعي الناتج عن انعكاس ضلع مثلث من النوع Δ4 _{باثني عشر مثلثًا من النوع Δ3} . ويمكن معالجة التبليط بمثلثات من النوع Δ4 _{بالطريقة} الرئيسية المذكورة في هذا القسم. وهذا ^يثبت بالتالي وجود التبليط بواسطة مثلثات من النوع Δ ₃ و Δ _1. ^{[ 7} ]

في حالة مثلث شوارتز ذي رأس واحد أو رأسين، تصبح عملية التبليط أبسط؛ ولكن من الأسهل استخدام طريقة مختلفة تعود إلى هيك لإثبات أن هذه تستنفد النصف العلوي الزائدي.

في حالة وجود رأس مدبب واحد وزوايا غير صفرية π / a و π / b ، حيث a و b عددان صحيحان أكبر من واحد، يمكن تصور التبليط في قرص الوحدة بحيث يكون الرأس ذو الزاوية π / a عند نقطة الأصل. يبدأ التبليط بإضافة 2a - 1 نسخة من المثلث عند نقطة الأصل عن طريق انعكاسات متتالية. ينتج عن ذلك مضلع P1 ذو 2a _رأسًا مدببًا ، وبين كل رأسين مدببين 2a رأسًا، كل منهما بزاوية π / b . وبالتالي، يكون المضلع محدبًا. لكل رأس غير مثالي في P1 _، يمكن عكس المثلث الوحيد الذي يحتوي على هذا الرأس بشكل مماثل حوله، مما يضيف 2b - 1 مثلثًا جديدًا، و2 b - 1 نقطة مثالية جديدة، و2 b - 1 رأسًا جديدًا بزاوية π / a . يتكون المضلع الناتج P2 من 2a ( 2b -1) رأسًا مدببة _{، وله نفس العدد من الرؤوس، كل منها} بزاوية π / a ، لذا فهو محدب. يمكن مواصلة هذه العملية للحصول على مضلعات محدبة P3 _و P4 ، وهكذا. أما المضلع Pn ، فستكون رؤوسه ذات زوايا تتناوب بين 0 و π / a عندما يكون n زوجيًا، وبين 0 و π / b عندما يكون n فرديًا. وبحسب التصميم _، تتداخل المثلثات فقط عند الحواف أو الرؤوس، مما يشكل تبليطًا. ^{[ 8 ]}

يمكن اختزال حالة المثلث ذي الرأسين وزاوية واحدة غير صفرية π / a إلى حالة رأس واحد بملاحظة أن المثلث الثلاثي هو ضعف مثلث ذي رأس واحد وزوايا غير صفرية π / a و π / b حيث b = 2. ثم تتم عملية التبليط كما في السابق. ^{[ 9 ]}

لإثبات أن هذه الأشكال تُشكّل تبليطًا، من الأنسب العمل في النصف العلوي من المستوى. يمكن معالجة الحالتين معًا، إذ تُحصل حالة المثلث ذي الرأسين بمضاعفة مثلث ذي رأس واحد وزوايا غير صفرية π / a و π /2. لذا، لنفترض المثلث الجيوديسي في النصف العلوي من المستوى بزوايا 0، π / a ، π / b ، حيث a و b عددان صحيحان أكبر من واحد. يمكن تمثيل باطن هذا المثلث بالمنطقة X في النصف العلوي من المستوى الواقعة خارج قرص الوحدة | z | ≤ 1 وبين خطين موازيين للمحور التخيلي يمران بالنقطتين u و v على دائرة الوحدة. ولتكن Γ مجموعة المثلثات الناتجة عن الانعكاسات الثلاثة في أضلاع المثلث.

لإثبات أن الانعكاسات المتتالية للمثلث تغطي النصف العلوي من المستوى، يكفي أن نُبين أنه لأي قيمة z في النصف العلوي من المستوى، توجد دالة g في Γ بحيث تقع g ( z ) في X. وينتج هذا من حجة إيفانز (1973) ، المُبسطة من نظرية زمر هيك . ليكن λ = Re a و μ = Re b بحيث، دون فقدان للعمومية، λ < 0 ≤ μ. تُعطى الانعكاسات الثلاثة في الأضلاع كما يلي:

${\displaystyle R_{1}(z)={\frac {1}{\overline {z}}},\ R_{2}(z)=-{\overline {z}}+\lambda ,\ R_{3}(z)=-{\overline {z}}+\mu .}$

وبالتالي، فإن T = R³ ∘ R² هي إزاحة _بمقدار μ − λ. ويترتب على ذلك أنه لأي z₁ في النصف العلوي من المستوى، يوجد عنصر _g₁ في المجموعة الجزئية Γ₁ _{من Γ} المولدة بواسطة T بحيث _يحقق w₁ = g₁ ( _{z₁ )} الشرط λ ≤ Re w₁ ≤ μ، أي أن هذا الشريط هو مجال أساسي لمجموعة الإزاحة Γ₁ _{. إذا كان} | w₁ | ≥ 1، فإن _w₁ يقع في X _، وبذلك يتم إثبات النتيجة. وإلا، فلنفرض أن _z₂ = R₁ ₍ w₁ ) ولنبحث _{عن g₂Γ₁} بحيث _يحقق w₂ = g₂ _{( z₂} ) الشرط λ ≤ Re w₂ _{≤ μ} . إذا كان | w₂ | ≥ 1 _، فإن النتيجة تكون قد ثبتت. بالاستمرار على هذا النحو، إما أن _يحقق wₙ _الشرط | إذا كان |w _n | ≥ 1، وفي هذه الحالة تكون النتيجة مثبتة؛ أو | w _n | < 1 لجميع قيم n . الآن، بما أن g _{n + 1} تقع في Γ ₁ و | w _n | < 1،

${\displaystyle \operatorname {Im} g_{n+1}(z_{n+1})=\operatorname {Im} z_{n+1}=\operatorname {Im} {\frac {w_{n}}{|w_{n}|{}^{2}}}={\frac {\operatorname {Im} w_{n}}{|w_{n}|{}^{2}}}.}$

بخاصة

${\displaystyle \operatorname {Im} w_{n+1}\geq \operatorname {Im} w_{n}}$

و

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Im} w_{n+1}}{\operatorname {Im} w_{n}}}=|w_{n}|^{-2}\geq 1.}$

وبالتالي، من المتباينة أعلاه، تقع النقاط ( w_{_n} ) في المجموعة المدمجة | z | ≤ 1، λ ≤ Re_z ≤ μ، و Im_z ≥ Im_{w  1.} ويترتب على ذلك أن | w _{_n}| تؤول إلى 1؛ لأنه لو لم يكن الأمر كذلك، لكان هناك r < 1 بحيث | w_{_m} | ≤ r لعدد لا نهائي من m، وعندها ستؤدي المعادلة الأخيرة أعلاه إلى أن Im<sub> w _{_n} تؤول إلى اللانهاية، وهو تناقض.

ليكن w نقطة حدية للدالة w_{_n} ، بحيث يكون | w | = 1. بالتالي ، تقع w على قوس دائرة الوحدة بين u و v . إذا كان w ≠ u أو v ، فإن R _₁w_{_n} سيقع في X لقيم n كبيرة بما فيه الكفاية، خلافًا للافتراض. ومن ثم، w = u أو v . بالتالي، لقيم n كبيرة بما فيه الكفاية ، تقع w _{_n} بالقرب من u أو v ، وبالتالي يجب أن تقع في أحد انعكاسات المثلث حول الرأس u أو v ، لأن هذه الانعكاسات تملأ جوارات u و v . بالتالي، يوجد عنصر g في Γ بحيث يقع g ( w_n ) في X. بما أن w _n ، بحسب الإنشاء، يقع في مدار Γ للدالة z _₁، فإنه يترتب على ذلك وجود نقطة في هذا المدار تقع في X ، كما هو مطلوب. ^{[ 10 ]}

يمكن اعتبار التبليط لمثلث مثالي تقع جميع رؤوسه على دائرة الوحدة وجميع زواياه تساوي صفرًا حالة خاصة من التبليط لمثلث ذي رأس واحد وزاويتين غير صفريتين π /3 و π /2. في الواقع، يتكون المثلث المثالي من ست نسخ من المثلث ذي الرأس الواحد، والتي يتم الحصول عليها عن طريق عكس المثلث الأصغر حول الرأس ذي الزاوية π /3.

مع ذلك، تُحدد كل خطوة من خطوات التبليط بشكل فريد من خلال مواقع النقاط الجديدة على الدائرة، أو ما يُعادلها على المحور الحقيقي؛ ويمكن فهم هذه النقاط مباشرةً من خلال متسلسلات فاري، وفقًا لـ Series (2015) و Hatcher (2013 ، الصفحات 20-32) و Hardy & Wright (2008 ، الصفحات 23-31) . يبدأ هذا من الخطوة الأساسية التي تُولّد التبليط، وهي انعكاس مثلث مثالي حول أحد أضلاعه. يُقابل الانعكاس عملية الانقلاب في الهندسة الإسقاطية وأخذ المرافق التوافقي الإسقاطي ، والذي يُمكن تعريفه بدلالة النسبة التبادلية . في الواقع، إذا كانت p و q و r و s نقاطًا متميزة في كرة ريمان، فإنه يوجد تحويل موبيوس مُركب فريد g يُحوّل p و q و s إلى 0 و ∞ و 1 على التوالي. تُعرَّف النسبة التبادلية ( p , q ; r , s ) بأنها g ( r ) وتُعطى بالصيغة التالية:  

${\displaystyle (p,q;r,s)={\frac {(pr)(qs)}{(ps)(qr)}}.}$

بحسب التعريف، يكون ثابتًا تحت تحويلات موبيوس. إذا كان a و b يقعان على المحور الحقيقي، فإن المرافق التوافقي لـ c بالنسبة إلى a و b يُعرَّف بأنه العدد الحقيقي الوحيد d الذي يحقق الشرط ( a , b ; c , d ) = -1. على سبيل المثال، إذا كان a = 1 و b = -1، فإن مرافق r هو 1/ r . بشكل عام، يمكن استخدام ثبات موبيوس للحصول على صيغة صريحة لـ d بدلالة a و b و c . في الواقع، عند نقل مركز الدائرة t = ( a + b )/2، التي قطرها a و b، إلى الصفر، فإن d - t هو المرافق التوافقي لـ c - t بالنسبة إلى a - t و b - t . نصف قطر الدائرة هو ρ = ( b − a )/2، لذا فإن ( d − t )/ρ هو المرافق التوافقي لـ ( c − t )/ρ بالنسبة إلى 1 و -1.

${\displaystyle {\frac {dt}{\rho }}={\frac {\rho }{ct}}}$

لهذا السبب.

${\displaystyle d={\frac {\rho ^{2}}{rt}}+t={\frac {(ca)b+(cb)a}{(ca)+(cb)}}.}$

سيتم الآن إثبات وجود تمثيل بارامتري لمثل هذه المثلثات المثالية، معبر عنه بأعداد نسبية في صورة مختزلة.

${\displaystyle a={\frac {p_{1}}{q_{1}}},\ b={\frac {p_{1}+p_{2}}{q_{1}+q_{2}}},\ c={\frac {p_{2}}{q_{2}}}}$

مع a و c يحققان "شرط الجوار" p ₂ q ₁ − q ₂ p ₁ = 1.

يُطلق على الحد الأوسط b اسم مجموع فاري أو الوسيط للحدود الخارجية، ويكتب

${\displaystyle b=a\oplus c.}$

صيغة المثلث المنعكس تعطي

${\displaystyle d={\frac {p_{1}+2p_{2}}{q_{1}+2q_{2}}}=a\oplus b.}$

وبالمثل، فإن المثلث المنعكس في نصف الدائرة الثاني يعطي رأسًا جديدًا b ⊕ c . ومن الواضح أن a و b يحققان شرط الجوار، وكذلك b و c .

يمكن الآن استخدام هذه الطريقة لتتبع المثلثات الناتجة عن انعكاس المثلث الأساسي Δ ذي الرؤوس 0 و1 و∞ بشكل متتابع. يكفي النظر إلى الشريط الذي فيه 0 ≤ Re z ≤ 1، حيث يُعاد إنتاج الصورة نفسها في شرائط متوازية بتطبيق الانعكاسات على الخطين Re z = 0 و1. ينعكس المثلث المثالي ذو الرؤوس 0 و1 و∞ في نصف الدائرة ذي القاعدة [0,1] إلى المثلث ذي الرؤوس a = 0 و b = 1/2 و c = 1. بالتالي، فإن a = 0/1 و c = 1/1 متجاوران، و b = a ⊕ c . يُقسّم نصف الدائرة إلى نصفي دائرة أصغر قاعدتيهما [ a , b ] و[ b , c ]. ينقسم كل من هذين النصفين إلى نصفي دائرة بنفس العملية، مما ينتج عنه 4 فواصل. بالاستمرار على هذا المنوال، ينتج عن ذلك تقسيمات إلى 8، 16، 32 فترة، وهكذا. في المرحلة n ، توجد 2n ^فترة متجاورة لها 2n ⁺ 1 نقطة نهاية. يوضح البناء أعلاه أن نقاط النهاية المتتالية تحقق شرط الجوار، بحيث تُعطى نقاط النهاية الجديدة الناتجة عن الانعكاس بصيغة مجموع فاري.

لإثبات أن التبليط يغطي كامل المستوى الزائدي، يكفي إظهار أن كل عدد نسبي في الفترة [0,1] يظهر في النهاية كنقطة نهاية. هناك عدة طرق لإثبات ذلك. إحدى أبسط الطرق موصوفة في كتاب غراهام، كنوت ، وباتاشنيك (1994) في تطويرهم - دون استخدام الكسور المستمرة - لنظرية شجرة ستيرن-بروكوت ، التي تُقنن نقاط النهاية النسبية الجديدة التي تظهر في المرحلة n . يقدمون برهانًا مباشرًا على ظهور كل عدد نسبي. في الواقع، بدءًا من {0/1,1/1}، تُضاف نقاط النهاية المتتالية عند المستوى n +1 بإضافة مجاميع فاري أو الوسائط ( p + r )/( q + s ) بين جميع الحدود المتتالية p / q و r / s عند المستوى n (كما هو موضح أعلاه). ليكن x = a / b عددًا نسبيًا يقع بين 0 و1، حيث a و b عددان أوليان فيما بينهما. لنفترض أن x محصور عند مستوى معين بين حدين متتاليين p / q < x < r / s . هذه المتباينات تجبر aq – bp ≥ 1 و br – s ≥ 1 ، وبالتالي، بما أن rp – qs = 1 ،

${\displaystyle a+b=(r+s)(ap-bq)+(p+q)(br-as)\geq p+q+r+s.}$

يضع هذا حدًا أعلى لمجموع البسط والمقام. من جهة أخرى، يمكن إدخال الوسيط ( p + r )/( q + s ) ، وهو إما يساوي x ، وفي هذه الحالة يظهر العدد الكسري x عند هذا المستوى؛ أو يُوفر الوسيط فترة جديدة تحتوي على x بمجموع بسط ومقام أكبر. لذا، يجب أن تنتهي العملية بعد a + b خطوة على الأكثر، مما يُثبت ظهور x . ^{[ 11 ]}

يعتمد النهج الثاني على المجموعة النمطية G = SL(2, Z ). ^{[ 12 ]} تشير خوارزمية إقليدس إلى أن هذه المجموعة تتولد بواسطة المصفوفات

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\,\,\,T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.}$

في الواقع، ليكن H المجموعة الجزئية من G المولدة بواسطة S و T.

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

ليكن عنصرًا من SL(2, Z ). بالتالي ad − cb = 1، لذا فإن a و c أوليان فيما بينهما. ليكن

${\displaystyle v={\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}},\,\,\,u={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}$

بتطبيق S عند الضرورة، يمكن افتراض أن | a | > | c | (المساواة غير ممكنة بسبب الأعداد الأولية فيما بينها). نكتب a = mc + r حيث 0 ≤ r ≤ | c |. ولكن بعد ذلك

${\displaystyle T^{-m}{\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\\c\end{pmatrix}}.}$

يمكن مواصلة هذه العملية حتى يصبح أحد المدخلين صفرًا، وفي هذه الحالة يكون الآخر بالضرورة ±1. بتطبيق قوة S إذا لزم الأمر، ينتج أن v = h u لبعض h في H. ومن ثم

${\displaystyle h^{-1}g={\begin{pmatrix}1&p\\0&q\end{pmatrix}}}$

حيث p و q عددان صحيحان. من الواضح أن p = 1، وبالتالي فإن h ⁻¹ g = T ^q . ومن ثم فإن g = h T ^q ينتمي إلى H كما هو مطلوب.

لإثبات وجود جميع الأعداد النسبية في الفترة [0,1]، يكفي إظهار أن G ينقل Δ إلى المثلثات في التبليط. ويتحقق ذلك بملاحظة أن S و T ينقلان Δ إلى مثلث كهذا: فباعتبارهما تحويلات موبيوس، فإن S ( z ) = −1/ z و T ( z ) = z + 1، وبالتالي يُعطيان انعكاسات لـ Δ في ضلعين منه. ثم تُرافق S و T الانعكاسات في أضلاع Δ إلى انعكاسات في أضلاع SΔ و TΔ ، التي تقع في Γ. وهكذا، تُطبع G المثلث Γ. وبما أن المثلثات في التبليط هي تحديدًا تلك التي على الصورة gΔ حيث g في Γ، فإنه يترتب على ذلك أن S و T ، وبالتالي جميع عناصر G ، تُبدّل المثلثات في التبليط. بما أن كل عدد نسبي يكون على شكل g (0) لـ g في G ، فإن كل عدد نسبي في [0,1] هو رأس مثلث في التبليط.

يمكن اعتبار مجموعة الانعكاس والتبليط لمثلث مثالي حالةً حديةً لمجموعة شوتكي لثلاث دوائر منفصلة غير متداخلة على كرة ريمان. وتُوَلَّد هذه المجموعة أيضًا بانعكاسات زائدية في الدوائر الثلاث. في كلتا الحالتين، تشترك الدوائر الثلاث في دائرة تقطعها بشكل متعامد. باستخدام تحويل موبيوس، يمكن افتراض أنها دائرة الوحدة أو ما يكافئها المحور الحقيقي في النصف العلوي من المستوى. ^{[ 13 ]}

في هذا القسم الفرعي، نُوجز منهج كارل لودفيج سيجل في نظرية التبليط للمثلثات. لا يعتمد منهج سيجل، الأقل بساطة، على التحدب، بل على نظرية أسطح ريمان ، وفضاءات التغطية ، وصيغة من نظرية المونودرومي للتغطيات. وقد عُمِّم هذا المنهج لتقديم براهين لنظرية بوانكاريه للمضلعات الأكثر عمومية. (تجدر الإشارة إلى أن الحالة الخاصة للتبليط بمضلعات منتظمة ذات n ضلعًا بزوايا داخلية 2π / n هي نتيجة مباشرة للتبليط بمثلثات شوارتز بزوايا π / n و π / n و π /2). ^{[ 14 ] [ 15 ]}

ليكن Γ هو حاصل الضرب الحر Z² _* Z² * Z² . إذا كان Δ = ABC مثلث شوارتز بزوايا π/a و π/b و π/c، حيث a و b و c _≥ 2 ، فإنه _يوجد تطبيق طبيعي من Γ على المجموعة المولدة بالانعكاسات في أضلاع Δ . تُوصف عناصر Γ بحاصل ضرب المولدات الثلاثة، حيث لا يتساوى أي مولدين متجاورين. عند الرؤوس A و B و C ، _{يُحدد حاصل ضرب الانعكاسات في الأضلاع المتقاطعة} عند الرأس دورانات بزوايا 2π / a و 2π / b و 2π / c . ولتكن gA و gB و gC _هي حاصلات _الضرب المناظرة لمولدات Γ = Z² _* Z² * _Z² . ليكن _Γ₀ الزمرة الجزئية الطبيعية ذات الدليل 2 من Γ، والتي تتكون من عناصر ناتجة عن عدد زوجي من المولدات؛ وليكن Γ₁ _الزمرة الجزئية الطبيعية من Γ المولدة بواسطة ( gA ) _a ^و _{(gB)b و(gC} ) c _. ^تؤثر هذه الزمر بشكل ^تافه على Δ. ليكن Γ ₌ Γ/ _Γ₁ و Γ₀ = _Γ₀ / _Γ₁ .

يُشكل الاتحاد المنفصل لنسخ المثلث Δ المفهرسة بعناصر المجموعة Γ ، والتي تُحدد حوافها، بنية طبيعية لسطح ريمان Σ. عند أي نقطة داخلية في المثلث، يوجد مخطط واضح. وكنقطة داخلية على حافة، يُحصل على المخطط بعكس المثلث حول تلك الحافة. ​​عند رأس مثلث بزاوية داخلية π / n ، يُحصل على المخطط من 2n نسخة من المثلث _، والتي تُحصل بعكسه تباعًا حول ذلك الرأس. تعمل المجموعة Γ بتحويلات سطحية للمجموعة Σ، حيث تعمل العناصر في Γ₀ كدوال تامة الشكل _، بينما تعمل العناصر خارج Γ₀ كدوال مضادة تامة الشكل.

يوجد تطبيق طبيعي P من Σ إلى المستوى الزائدي. يُنقل باطن المثلث المُسمى g في Γ إلى g (Δ)، وتُنقل الحواف إلى حواف أخرى، والرؤوس إلى رؤوس. من السهل أيضًا التحقق من أن جوار نقطة داخلية لحافة ما يُنقل إلى جوار الصورة؛ وبالمثل بالنسبة للرؤوس. بالتالي، فإن P تماثل موضعي، وبالتالي ينقل المجموعات المفتوحة إلى مجموعات مفتوحة. الصورة P (Σ)، أي اتحاد الإزاحات g ( Δ )، هي مجموعة جزئية مفتوحة من النصف العلوي للمستوى الزائدي. من ناحية أخرى، هذه المجموعة مغلقة أيضًا. في الواقع، إذا كانت نقطة ما قريبة بما فيه الكفاية من Δ، فلا بد أنها تقع في إزاحة من Δ . في الواقع، يُملأ جوار كل رأس بانعكاسات Δ ، وإذا كانت نقطة ما تقع خارج هذه الجوارات الثلاثة ولكنها لا تزال قريبة من Δ، فلا بد أنها تقع على انعكاسات Δ الثلاثة في أضلاعها. وبالتالي، يوجد δ > 0 بحيث إذا كان z يقع على مسافة أقل من δ من Δ ، فإن z يقع في إزاحة Γ لـ Δ . وبما أن المسافة الزائدية ثابتة تحت تأثير Γ ، فإنه يترتب على ذلك أنه إذا كان z يقع على مسافة أقل من δ من Γ( Δ )، فإنه يقع فعليًا في Γ( Δ )، لذا فإن هذا الاتحاد مغلق. وبناءً على الاتصال، فإن P (Σ) هو النصف العلوي الكامل من المستوى.

من جهة أخرى، P تماثل موضعي، أي أنه تطبيق تغطية. وبما أن النصف العلوي من المستوى بسيط الاتصال، فإن P تطبيق أحادي، وبالتالي فإن إزاحات Δ تُجزئ النصف العلوي من المستوى. هذه نتيجة للصيغة التالية من نظرية المونودرومي لتغطية أسطح ريمان: إذا كان Q تطبيق تغطية بين سطحي ريمان Σ₁ _و Σ₂ _، فإنه يمكن رفع أي مسار في Σ₂ _إلى مسار في Σ₁ _، ويمكن رفع أي مسارين متماثلين لهما نفس نقاط النهاية إلى مسارين متماثلين لهما نفس نقاط النهاية؛ ومن النتائج المباشرة لذلك أنه إذا كان Σ₂ _بسيط الاتصال، فلا بد أن يكون Q تماثلًا. ^{[ 16 ]} لتطبيق ذلك، ليكن _Σ₁ = Σ، وليكن Σ₂ _هو النصف العلوي من المستوى، وليكن Q = P. وبحسب نتيجة نظرية المونودرومي، فإن P تطبيق أحادي.

ويترتب على ذلك أيضًا أن g (Δ) = Δ إذا وفقط إذا كانت g تقع في Γ ₁ ، بحيث يكون التشاكل لـ Γ ₀ في مجموعة موبيوس أمينًا.

يمكن اعتبار تبليط مثلثات شوارتز تعميمًا لنظرية زمر كوكسيتر اللانهائية ، وذلك استنادًا إلى نظرية زمر الانعكاس الزائدي التي طورها جبريًا جاك تيتس ^{[ 17 ]} وهندسيًا إرنست فينبرغ ^{[ 18 ]} . أما في حالة لوباتشيفسكي أو المستوى الزائدي ، فتعود أصول الأفكار إلى أعمال هنري بوانكاريه ووالتر فون ديك في القرن التاسع عشر . ومع ذلك، وكما أشار جوزيف لينر في مجلة "المراجعات الرياضية" ، فإن البراهين الدقيقة التي تثبت أن انعكاسات مثلث شوارتز تولد تبليطًا غالبًا ما تكون غير مكتملة، وكتابه الصادر عام 1964 بعنوان "الزمر غير المتصلة والدوال الذاتية الشكل" مثال على ذلك. ^{[ 19 ] [ 20 ]} يُعدّ كلٌّ من المعالجة الأولية التي قدّمها كاراثيودوري في كتابه المدرسي "نظرية الدوال" (Funktiontheorie) الصادر عام 1950 ، والذي تُرجم إلى الإنجليزية عام 1954، وشرح سيجل عام 1954 باستخدام مبدأ المونودرومي، براهين دقيقة. وسيتم تلخيص المنهجية التي تستخدم مجموعات كوكسيتر هنا، ضمن الإطار العام لتصنيف مجموعات الانعكاس الزائدي. ^{[ 21 ]}

لتكن r و s و t رموزًا، ولتكن a و b و c أعدادًا صحيحة، ربما ∞ ، حيث ≥ 2

$${\displaystyle {1 \over a}+{1 \over b}+{1 \over c}<1.}$$

عرّف Γ بأنها المجموعة ذات العرض الذي يحتوي على مولدات r و s و t التي هي جميعها عمليات انعكاسية وتحقق $${\displaystyle {\begin{aligned}(st)^{a}&=1,\\[2pt](tr)^{b}&=1,\\[2pt](rs)^{c}&=1.\end{aligned}}}$$إذا كان أحد الأعداد الصحيحة لانهائيًا، فإن حاصل الضرب يكون ذا رتبة لانهائية. وتُسمى المولدات r و s و t بالانعكاسات البسيطة .

المجموعة ^{[ 22 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\begin{cases}\cos {\frac {\pi }{a}}&{\text{if }}a\geq 2{\text{ is finite,}}\\[2pt]\cosh x,\ x>0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\\[8pt]B&={\begin{cases}\cos {\frac {\pi }{b}}&{\text{if }}b\geq 2{\text{ is finite,}}\\[2pt]\cosh y,\ y>0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\\[8pt]C&={\begin{cases}\cos {\frac {\pi }{c}}&{\text{if }}c\geq 2{\text{ is finite,}}\\[2pt]\cosh z,\ z>0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\end{aligned}}}$$ ليكن e _r ، es _، e t _أساسًا لفضاء متجهي حقيقي ثلاثي الأبعاد V ذي شكل ثنائي خطي متناظر Λ بحيث $${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda (\mathbf {e} _{s},\mathbf {e} _{t})&=-A,\\[2pt]\Lambda (\mathbf {e} _{t},\mathbf {e} _{r})&=-B,\\[2pt]\Lambda (\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{s})&=-C,\end{aligned}}}$$ مع كون العناصر القطرية الثلاثة تساوي واحدًا. الشكل الثنائي الخطي المتناظر Λ غير منحل وله إشارة (2، 1) . عرّف: $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (\mathbf {v} )&=\mathbf {v} -2\Lambda (\mathbf {v} ,\mathbf {e} _{r})\mathbf {e} _{r}\\[2pt]\sigma (\mathbf {v} )&=\mathbf {v} -2\Lambda (\mathbf {v} ,\mathbf {e} _{s})\mathbf {e} _{s}\\[2pt]\tau (\mathbf {v} )&=\mathbf {v} -2\Lambda (\mathbf {v} ,\mathbf {e} _{t})\mathbf {e} _{t}\end{aligned}}}$$

نظرية (التمثيل الهندسي). المؤثرات ρ، σ، τ هي عمليات انعكاسية على V ، بمتجهات ذاتية على التوالي e _{_r} ، e _{_s} ، e _{_t} بقيمة ذاتية بسيطة −1. حاصل ضرب هذه المؤثرات له رتب تتوافق مع التمثيل أعلاه (لذا فإن στ من الرتبة a ، وهكذا). تُنتج المؤثرات ρ، σ، τ تمثيلاً لـ Γ على V يحافظ على Λ .

الصيغة الثنائية الخطية Λ للأساس لها مصفوفة

$${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&-C&-B\\-C&1&-A\\-B&-A&1\\\end{pmatrix}},}$$

لذلك له محدد $${\displaystyle \det(M)=1-A^{2}-B^{2}-C^{2}-2ABC.}$$ إذا كانت قيمة c تساوي 2 ، على سبيل المثال، فإن القيم الذاتية للمصفوفة هي${\displaystyle 1,\ 1\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}.}$الحالة${\displaystyle {\tfrac {1}{a}}+{\tfrac {1}{b}}<{\tfrac {1}{2}}}$قوى فورية${\displaystyle A^{2}+B^{2}>1,}$لذا، يجب أن يكون للمصفوفة Λ إشارة (2، 1) . وبالتالي، بشكل عام ، a ، b ، c ≥ 3. من الواضح أن الحالة التي تكون فيها جميعها مساوية لـ 3 مستحيلة. ولكن في هذه الحالة، يكون محدد المصفوفة سالبًا بينما يكون أثرها موجبًا. ونتيجة لذلك، تكون قيمتان ذاتيتان موجبتين وقيمة ذاتية واحدة سالبة، أي أن للمصفوفة Λ إشارة (2، 1) . من الواضح أن ρ، σ، τ هي دوال انعكاسية، تحافظ على المصفوفة Λ مع المتجهات الذاتية المعطاة −1.

للتحقق من ترتيب المنتجات مثل στ ، يكفي ملاحظة ما يلي:

1. الانعكاسات σ و τ تولد مجموعة ثنائية السطوح محدودة أو غير محدودة ؛
2. إن الامتداد الخطي ثنائي الأبعاد U لـ e _s و e _t ثابت تحت σ و τ ، مع تقييد Λ موجب التحديد؛
3. W ، المتمم المتعامد لـ U ، هو سالب التحديد على Λ ، و σ و τ يؤثران بشكل تافه على W.

(1) واضح، لأنه إذا كان γ = στ، فإنه يُولّد زمرة جزئية طبيعية حيث σγσ ⁻¹ = γ ⁻¹ . أما بالنسبة لـ (2)، فإن U ثابتة بحكم التعريف، والمصفوفة موجبة التحديد لأن${\displaystyle 0<\cos {\tfrac {\pi }{a}}<1.}$بما أن Λ لها التوقيع (2، 1) ، فإن أي متجه غير صفري w في W يجب أن يحقق الشرط Λ( w , w ) < 0. وبحسب التعريف، فإن σ لها القيم الذاتية 1 و-1 على U ، لذا يجب تحديد w بواسطة σ . وبالمثل، يجب تحديد w بواسطة τ ، وبذلك يتم إثبات (3). وأخيرًا في (1)

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\sigma (\mathbf {e} _{s})&=-{\mathbf {e} }_{s},&\quad \tau (\mathbf {e} _{s})&=2\cos({\tfrac {\pi }{a}})\,\mathbf {e} _{s}+\mathbf {e} _{t},\\[2pt]\sigma (\mathbf {e} _{t})&=2\cos({\tfrac {\pi }{a}})\,\mathbf {e} _{s}+\mathbf {e} _{t},&\quad \tau (\mathbf {e} _{t})&=-{\mathbf {e} }_{t},\end{alignedat}}}$$

وبالتالي، إذا كانت قيمة a محدودة، فإن القيم الذاتية لـ στ هي −1 و ς و ς ⁻¹ ، حيث ${\displaystyle \varsigma =e^{\frac {2\pi i}{a}};}$وإذا كانت قيمة a لانهائية، فإن القيم الذاتية هي −1 و X و X ⁻¹ ، حيث${\displaystyle X=e^{2x}.}$علاوة على ذلك، تُظهر حجة الاستقراء المباشرة أنه إذا${\displaystyle \theta ={\tfrac {\pi }{a}}}$ثم ^{[ 23 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\sigma \tau )^{m}({\mathbf {e} }_{s})&=\left[{\frac {\sin(2m+1)\theta }{\sin \theta }}\right]{\mathbf {e} }_{s}+\left[{\frac {\sin 2m\theta }{\sin \theta }}\right]{\mathbf {e} }_{t},\\[4pt]\tau (\sigma \tau )^{m}({\mathbf {e} }_{s})&=\left[{\frac {\sin(2m+1)\theta }{\sin \theta }}\right]{\mathbf {e} }_{s}+\left[{\frac {\sin(2m+2)\theta }{\sin \theta }}\right]{\mathbf {e} }_{t},\end{aligned}}}$$

وإذا كانت قيمة x أكبر من الصفر،

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\sigma \tau )^{m}({\mathbf {e} }_{s})&=\left[{\frac {\sinh(2m+1)x}{\sinh x}}\right]{\mathbf {e} }_{s}+\left[{\frac {\sinh 2mx}{\sinh x}}\right]{\mathbf {e} }_{t},\\[4pt]\lim _{x\to 0}\ (\sigma \tau )^{m}(\mathbf {e} _{s})&=(2m+1)\mathbf {e} _{s}+2m\mathbf {e} _{t};\\[12pt]\tau (\sigma \tau )^{m}({\mathbf {e} }_{s})&=\left[{\frac {\sinh(2m+1)x}{\sinh x}}\right]{\mathbf {e} }_{s}+\left[{\frac {\sinh(2m+2)x}{\sinh x}}\right]{\mathbf {e} }_{t},\\[4pt]\lim _{x\to 0}\,\tau (\sigma \tau )^{m}(\mathbf {e} _{s})&=(2m+1)\mathbf {e} _{s}+(2m+2)\mathbf {e} _{t}.\end{aligned}}}$$

ليكن Γa الزمرة الجزئية ثنائية السطوح من Γ المولدة بواسطة s و t ، مع تعريفات مماثلة لـ Γb و Γc . وبالمثل، عرّف _Γr على أنها الزمرة الجزئية الدورية من Γ المعطاة بواسطة الزمرة الثنائية {1, r }، مع تعريفات مماثلة لـ _Γs و _{Γt .} من خصائص التمثيل الهندسي، تؤثر جميع هذه الزمر الست بأمانة على _V. على وجه الخصوص، _يمكن تحديد Γa مع الزمرة المولدة بواسطة σ و τ ؛ وكما سبق ، تتحلل صراحةً كمجموع مباشر للفضاء الجزئي غير القابل للاختزال ثنائي الأبعاد U والفضاء الجزئي أحادي البعد W مع تأثير تافه. وبالتالي، يوجد متجه وحيد _.$${\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {e} _{r}+\lambda \mathbf {e} _{s}+\mu \mathbf {e} _{t}}$$ في W التي تحقق σ ( w ) = w و τ ( w ) = w . بشكل صريح، $${\displaystyle \lambda ={\frac {C+AB}{1-A^{2}}},\quad \mu ={\frac {B+AC}{1-A^{2}}}.}$$

ملاحظة حول تمثيلات الزمر ثنائية السطوح. من المعروف أنه بالنسبة لفضاءات الضرب الداخلي الحقيقية ذات الأبعاد المحدودة، يمكن تحليل عمليتين انعكاسيتين متعامدتين S و T إلى مجموع مباشر متعامد لفضاءات ثابتة ثنائية الأبعاد أو أحادية الأبعاد؛ على سبيل المثال، يمكن استنتاج ذلك من ملاحظة بول هالموس وآخرين، بأن المؤثر الذاتي المرافق الموجب ( S - T ) ^² يتبادل مع كل من S و T. مع ذلك، في الحالة المذكورة أعلاه، حيث لم يعد الشكل الثنائي الخطي Λ ضربًا داخليًا موجبًا محددًا، يجب تقديم استدلال مخصص مختلف.

نظرية (Tits). التمثيل الهندسي لمجموعة كوكسيتر أمين.

أُثبتت هذه النتيجة لأول مرة على يد تيتس في أوائل الستينيات، ونُشرت لأول مرة في كتاب بورباكي (1968) مع تمارينها العديدة. في ذلك الكتاب، قُدِّم مفهوم الحجرة الأساسية من خلال حجة استقرائية؛ وقد وسّع فيناي ديودار التمرين رقم 8 في الفقرة 4 من الفصل الخامس لتطوير نظرية الجذور الموجبة والسالبة، وبالتالي اختصار حجة تيتس الأصلية. ^{[ 24 ]}

ليكن X المخروط المحدب للمجاميع κ e _r + λ e _s + μ e _t بمعاملات حقيقية غير سالبة، وليست جميعها أصفارًا. بالنسبة للدالة g في المجموعة Γ ، عرّف ℓ( g ) ، أي طول الكلمة أو الطول ، بأنه الحد الأدنى لعدد الانعكاسات من r، s، t اللازمة لكتابة g كتركيب مرتب لانعكاسات بسيطة. عرّف الجذر الموجب بأنه متجه g e _r أو g e _s أو g e _r يقع في X ، حيث g في Γ . ^{[ ب ]}

من المعتاد التحقق من التعريفات التي ^{[ 25 ]}

• إذا كان | ℓ( gq ) – ℓ( g ) | = 1 لانعكاس بسيط q ، وإذا كان g ≠ 1 ، فهناك دائمًا انعكاس بسيط q بحيث يكون ℓ( g ) = ℓ( gq ) + 1 ؛
• for g and h in Γ , ℓ( gh ) ≤ ℓ( g ) + ℓ( h ) .

الفرضية. إذا كانت g في Γ و ℓ( gq ) = ℓ( g ) ± 1 لانعكاس بسيط q ، فإن g e _q تقع في ± X ، وبالتالي فهي جذر موجب أو سالب، وفقًا للإشارة.

باستبدال g بـ gq ، يكفي النظر إلى الإشارة الموجبة فقط. سيتم إثبات الادعاء بالاستقراء على ℓ( g ) = m ، وهو أمر بديهي عندما m = 0. لنفترض أن ℓ( gs ) = ℓ( g ) + 1. إذا كان ℓ( g ) = m > 0 ، وبدون فقدان للعمومية، يمكن افتراض أن الصيغة الدنيا لـ g تنتهي بـ ...t . بما أن s و t تولدان المجموعة ثنائية السطوح Γa _، يمكن كتابة g على شكل حاصل ضرب g = hk ، حيث k = ( st ) ⁿ أو t ( st ) ^n، و h لها صيغة دنيا تنتهي بـ ...r ، ولكن ليس بـ s أو t . هذا يعني أن ℓ( hs ) = ℓ( h ) + 1 و ℓ( ht ) = ℓ( h ) + 1 . بما أن _ℓ ( h ) < m ، فإن فرضية الاستقراء تُظهر أن كلاً من _h و h تقعان _في X. لذلك ، يكفي إثبات أن ke _تأخذ الشكل λe s + μe t حيث λ و μ ≥ 0 ، وليس كلاهما 0. ولكن تم التحقق من ذلك بالفعل في الصيغ أعلاه _. ^{[ 25 ]}

نتيجة (برهان نظرية تيتس). التمثيل الهندسي دقيق.

يكفي أن نبين أنه إذا كانت g تثبت e _{r و} e s _و e t _، فإن g = 1. وبالنظر إلى أبسط تعبير لـ g ≠ 1 ، فمن الواضح أنه لا يمكن تحقيق الشروط ℓ( gq ) = ℓ( g ) + 1 في آن واحد بواسطة الانعكاسات البسيطة الثلاثة q .

لاحظ أنه، كنتيجة لنظرية تيتس، فإن المولدات (يسار) تحقق الشروط (يمين): $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}(g&=st)\ \ {\text{ s.t. }}&g^{a}=1,\\[4pt](h&=tr)\ \ {\text{ s.t. }}&h^{b}=1,\\[4pt](k&=rs)\ \ {\text{ s.t. }}&k^{c}=1,\\[4pt]&&ghk=1.\end{alignedat}}}$$ يُقدّم هذا عرضًا للمجموعة الفرعية الطبيعية Γ1 من Γ التي تحافظ على التوجيه عند المؤشر _2. ويتوافق هذا العرض مع المجال الأساسي الناتج عن عكس ضلعين من المثلث الجيوديسي لتشكيل متوازي أضلاع جيوديسي (حالة خاصة من نظرية بوانكاريه للمضلعات). ^{[ 26 ]}

نتائج أخرى. الجذور هي اتحاد منفصل للجذور الموجبة والجذور السالبة. الانعكاس البسيط q يبدل كل جذر موجب باستثناء e _q . بالنسبة لـ g في Γ ، فإن ℓ( g ) هو عدد الجذور الموجبة التي جعلها g سالبة .

المجال الأساسي ومخروط تيتس. ^{[ 27 ]}

ليكن G الزمرة الجزئية المغلقة ثلاثية الأبعاد من زمرة لي GL( V ) التي تحافظ على Λ . بما أن V يمكن تعريفها بفضاء لورنتزي أو مينكوفسكي ثلاثي الأبعاد ذي إشارة (2,1) ، فإن الزمرة G متماثلة مع زمرة لورنتز O(2,1) ، وبالتالي${\displaystyle \mathrm {SL} _{\pm }(2,\mathbb {R} )\setminus \{\pm \,I\,\}.}$^{[ ج ]} باختيارeليكون متجه جذر موجب فيX، يكون مُثبِّتeهو زمرة جزئية مضغوطة قصوىKمنGمتماثلة معO(2).الفضاء المتجانسX=G/Kهوفضاء متناظرذو انحناء سالب ثابت، ويمكن تحديده بالقطعالزائدأومستوى لوباتشيفسكي.${\displaystyle {\mathfrak {H}}^{2}}$تؤثر المجموعة المنفصلة Γ بشكل غير متصل على G / K : يكون فضاء القسمة Γ \ G / K متراصًا إذا كانت a و b و c جميعها منتهية، وذو مساحة منتهية فيما عدا ذلك. تُفسَّر نتائج حجرة تيتس الأساسية تفسيرًا طبيعيًا بدلالة مثلث شوارتز المقابل، والذي يُترجم مباشرةً إلى خصائص تبليط المثلث الجيوديسي عبر مجموعة الانعكاس الزائدي Γ . يمكن إيجاد الانتقال من مجموعات كوكسيتر إلى التبليط لأول مرة في تمارين القسم 4 من الفصل الخامس من كتاب بورباكي (1968) ، المنسوبة إلى تيتس، وفي كتاب إيواهوري (1966) ؛ وتتوفر حاليًا العديد من المعالجات المكافئة الأخرى، والتي لا تُصاغ دائمًا بشكل مباشر بدلالة الفضاءات المتناظرة.

قدّم ماسكيت (1971) برهانًا عامًا لنظرية بوانكاريه للمضلعات في الفضاء الزائدي؛ وقدّم دي رام (1971) برهانًا مشابهًا . وبالتركيز على المستوى الزائدي ومثلثات شوارتز، يمكن استخدام هذا البرهان لتقديم منهج حديث لإثبات وجود تبليطات مثلثات شوارتز، كما هو موضح في بيردون (1983) وماسكيت (1988) . وقدّم عالما الرياضيات السويسريان دي لا هارب (1991) وهافليجر عرضًا تمهيديًا، انطلاقًا من نظرية الزمر الهندسية . ^{[ 28 ]}