الدالة المعممة

في الرياضيات ، تُعدّ الدوال المعممة امتدادًا لمفهوم الدوال على الأعداد الحقيقية أو المركبة. وهناك أكثر من نظرية معترف بها، منها على سبيل المثال نظرية التوزيعات . تُعدّ الدوال المعممة مفيدة بشكل خاص في التعامل مع الدوال غير المتصلة كما لو كانت دوالًا سلسة ، وفي وصف الظواهر الفيزيائية المنفصلة كالشحنات النقطية . وتُستخدم على نطاق واسع، لا سيما في الفيزياء والهندسة . ومن أهم دوافع استخدامها المتطلبات التقنية لنظريات المعادلات التفاضلية الجزئية وتمثيلات الزمر .

من السمات المشتركة لبعض هذه المناهج أنها تستند إلى الجوانب العملية للدوال العددية اليومية. ويرتبط تاريخها المبكر ببعض الأفكار حول حساب العمليات ، كما أن بعض التطورات المعاصرة ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالتحليل الجبري لميكيو ساتو .

في رياضيات القرن التاسع عشر، ظهرت جوانب من نظرية الدوال المعممة، على سبيل المثال في تعريف دالة غرين ، وفي تحويل لابلاس ، وفي نظرية ريمان للمتسلسلات المثلثية ، والتي لم تكن بالضرورة متسلسلة فورييه لدالة قابلة للتكامل . كانت هذه جوانب منفصلة من التحليل الرياضي في ذلك الوقت.

أدى الاستخدام المكثف لتحويل لابلاس في الهندسة إلى اللجوء إلى الأساليب الرمزية، المعروفة باسم حساب العمليات . ونظرًا لاستخدام المتسلسلات المتباعدة في التبريرات ، فقد كانت هذه الأساليب موضع شك من وجهة نظر الرياضيات البحتة . وهي نموذجية للتطبيقات اللاحقة لأساليب الدوال المعممة. ومن الكتب المؤثرة في حساب العمليات كتاب " النظرية الكهرومغناطيسية" لأوليفر هيفسايد ، الصادر عام ١٨٩٩.

عندما طُرح تكامل لوبيغ ، ظهر لأول مرة مفهوم الدالة المعممة، وهو مفهوم محوري في الرياضيات. في نظرية لوبيغ، تُكافئ الدالة القابلة للتكامل أي دالة أخرى متطابقة تقريبًا في كل مكان . وهذا يعني أن قيمتها عند كل نقطة ليست (بمعنى ما) أهم سماتها. في التحليل الوظيفي، يُقدّم تعريف واضح للسمات الأساسية للدالة القابلة للتكامل، ألا وهي كيفية تعريفها لدالة خطية على دوال أخرى. وهذا يسمح بتعريف المشتقة الضعيفة .

خلال أواخر عشرينيات وثلاثينيات القرن العشرين، اتُخذت خطوات أساسية إضافية. فقد عرّف بول ديراك دالة دلتا ديراك تعريفًا جريئًا (كجزء من منهجه العلمي الرسمي )؛ وذلك لمعالجة المقاييس ، التي تُعتبر كثافات (مثل كثافة الشحنة )، كدوال حقيقية. وقد وضع سيرجي سوبوليف ، الذي كان يعمل في نظرية المعادلات التفاضلية الجزئية ، أول نظرية دقيقة للدوال المعممة بهدف تعريف الحلول الضعيفة للمعادلات التفاضلية الجزئية (أي الحلول التي هي دوال معممة، ولكنها قد لا تكون دوالًا عادية). ^{[ 1 ]} ومن بين الذين اقترحوا نظريات ذات صلة في ذلك الوقت سالومون بوخنر وكورت فريدريش . وقد وسّع لوران شوارتز عمل سوبوليف . ^{[ 2 ]}

كان التطور الأكثر أهمية هو نظرية التوزيعات التي وضعها لوران شوارتز ، والتي عملت بشكل منهجي على وضع مبدأ الازدواجية للفضاءات المتجهة الطوبولوجية . ويُعدّ منافسها الرئيسي في الرياضيات التطبيقية نظرية المُنعِّمات ، التي تستخدم متواليات من التقريبات السلسة (تفسير " جيمس لايت هيل "). ^{[ 3 ]}

حققت هذه النظرية نجاحًا كبيرًا ولا تزال تُستخدم على نطاق واسع، لكنها تعاني من عيب رئيسي يتمثل في عدم إمكانية ضرب التوزيعات عادةً: فعلى عكس معظم فضاءات الدوال الكلاسيكية ، لا تُشكّل هذه التوزيعات جبرًا . على سبيل المثال، من غير المجدي تربيع دالة ديراك دلتا . وقد أظهرت أعمال شوارتز في حوالي عام 1954 أن هذه صعوبة جوهرية.

تم اقتراح بعض الحلول لمسألة الضرب. أحدها يعتمد على تعريف بسيط من قبل يو. في. إيغوروف ^{[ 4 ]} (انظر أيضًا مقالته في كتاب ديميدوف في قائمة الكتب أدناه) والذي يسمح بإجراء عمليات عشوائية على الدوال المعممة وفيما بينها.

يُقترح حل آخر يسمح بالضرب من خلال صياغة التكامل المساري في ميكانيكا الكم . ولأن هذا الحل يُشترط أن يكون مكافئًا لنظرية شرودنغر في ميكانيكا الكم ، وهي نظرية ثابتة تحت تحويلات الإحداثيات، فلا بد أن تشترك التكاملات المسارية في هذه الخاصية. وهذا يُثبّت جميع نواتج الدوال المعممة، كما أوضح هـ. كلاينرت وأ. تشيرفياكوف. ^{[ 5 ]} وتُكافئ هذه النتيجة ما يُمكن استنتاجه من التنظيم البُعدي . ^{[ 6 ]}

تم اقتراح العديد من طرق بناء جبر الدوال المعممة، من بينها طريقة يو. إم. شيروكوف ^{[ 7 ]} وطريقة إي. روزينجر، وواي. إيغوروف، وآر. روبنسون. في الحالة الأولى، يتم تحديد عملية الضرب من خلال تنظيم الدالة المعممة. أما في الحالة الثانية، فيتم بناء الجبر كضرب للتوزيعات . سيتم مناقشة كلتا الحالتين أدناه.

الجبر غير التبادلي للدوال المعممة

يمكن بناء جبر الدوال المعممة من خلال إجراء مناسب لإسقاط دالة ما${\displaystyle F=F(x)}$إلى نعومته ${\displaystyle F_{\rm {smooth}}}$ومفردها${\displaystyle F_{\rm {singular}}}$أجزاء. ناتج الدوال المعممة${\displaystyle F}$و${\displaystyle G}$يظهر كـ

${\displaystyle FG~=~F_{\rm {smooth}}~G_{\rm {smooth}}~+~F_{\rm {smooth}}~G_{\rm {singular}}~+F_{\rm {singular}}~G_{\rm {smooth}}.}$

1

ينطبق هذا المبدأ على كلٍّ من فضاء الدوال الرئيسية وفضاء المؤثرات التي تعمل على فضاء الدوال الرئيسية. وتتحقق خاصية التجميع في الضرب؛ وتُعرَّف إشارة الدالة بحيث يكون مربعها مساويًا للواحد في كل مكان (بما في ذلك نقطة الأصل). لاحظ أن حاصل ضرب الأجزاء الشاذة لا يظهر في الطرف الأيمن من المعادلة ( 1 )؛ على وجه الخصوص،${\displaystyle \delta (x)^{2}=0}$يشمل هذا الشكل النظري التقليدي للدوال المعممة (بدون ضربها) كحالة خاصة. ومع ذلك، فإن الجبر الناتج غير تبادلي: فالدوال المعممة سيغنوم ودلتا مضادة للتبادل. ^{[ 7 ]} وقد اقتُرحت تطبيقات قليلة لهذا الجبر. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

وتشمل هذه: نظرية قسمة الالتفاف لجان ميكوسينسكي ، القائمة على مجال كسور جبر الالتفاف التي هي مجالات تكاملية ؛ ونظريات الدوال الفائقة ، القائمة (في تصورها الأولي) على القيم الحدية للدوال التحليلية ، والتي تستخدم الآن نظرية الحزم .

قدّم بروهات فئة من دوال الاختبار، دوال شوارتز-بروهات ، على فئة من الزمر المدمجة محليًا ، تتجاوز نطاقات الدوال التقليدية . وتتركز تطبيقاتها في الغالب في نظرية الأعداد ، ولا سيما الزمر الجبرية الأديلية . أعاد أندريه ويل صياغة أطروحة تيت بهذه اللغة، مُحددًا توزيع زيتا على زمرة إيديل ؛ كما طبّقها على الصيغة الصريحة لدالة L.

ثمة طريقة أخرى لتوسيع هذه النظرية، وهي اعتبارها مقاطع معممة لحزمة متجهة ملساء . ويعتمد هذا على نمط شوارتز، حيث يتم بناء كائنات ثنائية لكائنات الاختبار، وهي مقاطع ملساء لحزمة ذات دعم مضغوط . أما النظرية الأكثر تطورًا فهي نظرية تيارات دي رام ، الثنائية للأشكال التفاضلية . وتتميز هذه التيارات بطبيعتها الهومولوجية، إذ تُنتج الأشكال التفاضلية هومولوجيا دي رام . ويمكن استخدامها لصياغة نظرية ستوكس عامة جدًا .

• مساحة بيبو-ليفي
• دالة ديراك دلتا
• الدالة الذاتية المعممة
• التوزيع (الرياضيات)
• فرط الوظيفة
• لابلاس المؤشر
• فضاء هيلبرت المُجهز
• نهاية التوزيع
• الفضاء المعمم
• التوزيع الفائق

• شوارتز، ل. (1950). نظرية التوزيعات . المجلد.  1. باريس: هيرمان. او سي ال سي 889264730 . المجلد 2. OCLC 889391733 
• بورلينغ، أ. (1961). حول شبه التحليلية والتوزيعات العامة (محاضرات متعددة النسخ). المعهد الصيفي، جامعة ستانفورد. OCLC 679033904 . 
• جلفاند, إزرائيل مويسيفيتش ; فيلينكين، نعوم ياكوفليفيتش (1964). وظائف معممة . المجلد. أنا – السادس. الصحافة الأكاديمية. او سي ال سي 728079644 .  
• هورماندر، ل. (2015) [1990]. تحليل المؤثرات التفاضلية الجزئية الخطية (  الطبعة الثانية). سبرينغر. ISBN 978-3-642-61497-2.
• هـ. كوماتسو، مقدمة في نظرية التوزيعات، الطبعة الثانية، إيوانامي شوتين، طوكيو، 1983.
• كولومبو، جيه-إف. (2000) [1983]. الدوال المعممة الجديدة وضرب التوزيعات . إلسيفير. ISBN 978-0-08-087195-0.
• فلاديميروف، VS. دروزجينوف، يو. ن. زافيالوف، بي آي (2012) [1988]. نظريات تاوبر للوظائف المعممة . سبرينغر. رقم ISBN 978-94-009-2831-2.
• أوبرغوجنبرغر، م. (1992). ضرب التوزيعات وتطبيقاتها على المعادلات التفاضلية الجزئية . لونغمان. ISBN 978-0-582-08733-0. OCLC 682138968 . 
• موريموتو، م. (1993). مقدمة في الدوال الفائقة لساتو . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 978-0-8218-8767-7.
• ديميدوف، أ.س. (2001). الدوال المعممة في الفيزياء الرياضية: الأفكار والمفاهيم الرئيسية . نوفا ساينس. ISBN 9781560729051.
• جروسر، م.؛ كونزينجر، م.؛ أوبرجوجنبرجر، مايكل؛ شتاينباور، ر. (2013) [2001]. النظرية الهندسية للدوال المعممة مع تطبيقات على النسبية العامة . سبرينغر. ISBN 978-94-015-9845-3.
• إسترادا، ر.؛ كانوال، ر. (2012). منهج توزيعي للسلوك التقاربي. النظرية والتطبيقات (  الطبعة الثانية). بيركهاوزر بوسطن. ISBN 978-0-8176-8130-2.
• فلاديميروف، ف. س. (2002). مناهج نظرية الدوال المعممة . تايلور وفرانسيس. ISBN 978-0-415-27356-5.
• كلاينرت، هـ. (2009). تكاملات المسار في ميكانيكا الكم، والإحصاء، وفيزياء البوليمرات، والأسواق المالية (  الطبعة الخامسة). وورلد ساينتيفيك. ISBN 9789814273572.( متاح على الإنترنت هنا، مؤرشف بتاريخ 15-06-2008 في موقع Wayback Machine ). انظر الفصل 11 للاطلاع على نواتج الدوال المعممة.
• بيليبوفيتش، س.؛ ستانكوفيتش، ب.؛ فينداس، ج. (2012). السلوك التقاربي للدوال المعممة . وورلد ساينتيفيك. ISBN 9789814366847.