التحليل التوافقي

تتمثل إحدى طرق التحليل التوافقي باستخدام المتغيرات الحقيقية في تفكيك الدالة إلى جزء مُتحكم به ومجموعة من الأجزاء الاستثنائية الموضعية. ومن الأمثلة على ذلك تفكيك كالديرون-زيغموند . بفرض دالة قابلة للتكامل${\displaystyle f}$وعتبة${\displaystyle \lambda >0}$يختار المرء فترات أو مكعبات يكون متوسط ​​حجمها${\displaystyle f}$أكبر من${\displaystyle \lambda }$ثم تُكتب الدالة بشكل تخطيطي على النحو التالي:

${\displaystyle f=g+\sum _{j}b_{j}.}$

هنا${\displaystyle g}$هذا هو الجزء "الجيد": إنه يتفق مع${\displaystyle f}$بعيدًا عن المكعبات المختارة، ويحد حجمها مضاعف ثابت لـ${\displaystyle \lambda }$. كل${\displaystyle b_{j}}$جزء "سيئ" مدعوم على أحد المكعبات المحددة، ولكنه قابل للإلغاء:

${\displaystyle \int b_{j}=0.}$

تشغل المكعبات مجموعةً يتم التحكم في قياسها الكلي بواسطة${\displaystyle \|f\|_{1}/\lambda }$وهكذا الأماكن التي${\displaystyle f}$تكون الأجزاء الكبيرة جدًا محدودة النطاق، بينما يكون الجزء المتبقي محدودًا ويسهل تقديره. ^{[ 1 ] [ 3 ]}

لتقدير مؤثر مثل التكامل المفرد، يتم التعامل مع${\displaystyle g}$باستخدام فضاء هيلبرت أو${\displaystyle L^{2}}$التقديرات، حيثما تتوفر خاصيتا التعامد والتقييد. المصطلحات الموضعية${\displaystyle b_{j}}$تُعالج هذه العمليات بشكل منفصل: فبالقرب من مكعباتها الداعمة، يكون المقياس الكلي صغيرًا، بينما بعيدًا عن تلك المكعبات، يؤدي إلغاء متوسطها الصفري إلى تقليل حجم المؤثر. وبهذه الطريقة، تُقسّم الدالة محليًا وفقًا لحجمها، قبل تحليلها عالميًا إلى ترددات. يُعد هذا التحليل المحلي-العالمي سمة مميزة للعديد من الوسائط في التحليل التوافقي.

على سبيل المثال، تحويل هيلبرت غير محدود في${\displaystyle L^{1}}$، لكنها تُترجم إلى نوع ضعيف${\displaystyle L^{1,\infty }}$. يتطلب البرهان دالة${\displaystyle f\in L^{1}\cap L^{2}}$ويحللها إلى${\displaystyle \lambda }$الجزء المحدود بالإضافة إلى${\displaystyle 2\lambda }$الجزء المحدود بالمتوسط ​​على مجموعة من الفترات الفرعية،${\displaystyle f=g+b}$ثم يكون لدى المرء $${\displaystyle \|g\|_{2}^{2}\leq C\|g\|_{\infty }\|g\|_{1}\leq C\lambda \|f\|_{1}}$$ الذي يحد${\displaystyle L^{2}}$معيار${\displaystyle g}$فيما يتعلق بـ${\displaystyle L^{1}}$معيار${\displaystyle f}$تحويل هيلبرت محدود على${\displaystyle L^{2}}$إذن، الجزء الجيد${\displaystyle g}$يرث نفس الحد. لأن المجموعة السيئة لها قياس يتحكم فيه${\displaystyle \lambda }$بالنسبة للحد الضعيف، يكفي تقدير تحويل هيلبرت لـ${\displaystyle b}$بعيدًا عن المجموعة السيئة، وهنا ينتج عن الإلغاء تقدير مثل $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} \setminus E_{*}}|Hg|\leq C\|f\|_{1}}$$ أين${\displaystyle E_{*}}$هو تضخيم طفيف للمجموعة السيئة (على سبيل المثال، مضاعفة حجم كل فاصل زمني حول المركز).

تُوضح مسائل تقييد فورييه طريقة أخرى يُوسّع بها التحليل التوافقي تحليل فورييه الكلاسيكي. في تحليل فورييه الابتدائي، يُدرس تحويل فورييه أولاً كتحويل على الدوال في فضاء كامل، مثل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$تتضمن هذه الدراسة نتائج أساسية تتعلق بالانعكاس، والالتفاف، ونظرية بلانشيريل، وتحليل الدوال إلى ترددات. وتطرح مسألة التقييد سؤالاً حول إمكانية تقييد تحويل فورييه لدالة ما بشكلٍ ذي معنى إلى مجموعة ذات أبعاد أقل في فضاء التردد، مثل الكرة، أو المخروط، أو القطع المكافئ.

لو${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$، ثم${\displaystyle {\widehat {f}}}$متصلة، لذا فإن اقتصارها على سطح أملس${\displaystyle S}$مُعرَّفة جيدًا. تصبح المسألة غير بديهية بالنسبة للدوال في${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$حيث لا يلزم أن يُعطى تحويل فورييه بدالة عادية معرفة نقطيًا. يتساءل المرء عما إذا كان التقدير من الشكل

${\displaystyle \|{\widehat {f}}|_{S}\|_{L^{q}(S,d\sigma )}\leq C\|f\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}}$

يمكن أن يستقر، حيث${\displaystyle d\sigma }$قياس السطح على${\displaystyle S}$. وبالمثل، من خلال الازدواجية، يتم دراسة عامل التمديد

${\displaystyle Eg(x)=\int _{S}g(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }\,d\sigma (\xi )}$

ويطلب تقديرات مثل

${\displaystyle \|Eg\|_{L^{r}(\mathbb {R} ^{n})}\leq C\|g\|_{L^{q}(S)}.}$

في هذه التركيبة،${\displaystyle Eg}$هو عبارة عن تراكب لموجات مستوية تقع تردداتها على السطح${\displaystyle S}$[ ^{3 ]​}

يتمثل الجانب التحليلي لفورييه للمسألة في التمثيل التذبذبي نفسه. تُوصف الدالة بموجات ذات ترددات محددة، وخيارات مختلفة لـ${\displaystyle S}$تُقابل هذه الأشكال حالات هندسية أو فيزيائية مختلفة. على سبيل المثال، يرتبط القطع المكافئ بمعادلة شرودنغر الحرة ، بينما يرتبط المخروط بمعادلة الموجة . يتمثل الجانب التوافقي التحليلي في نظرية التقدير، التي تحدد الأسس الممكنة وكيفية اعتماد الإجابة على الانحناء، والإلغاء، والقياس، وكيفية تداخل حزم الموجات في الفضاء الفيزيائي.

لا تتشتت الترددات المركزة على سطح مستوٍ كما تتشتت الترددات على سطح منحني. ففي حالة الأسطح المنحنية، يمكن أن يؤدي التذبذب إلى إلغاء بعضها البعض وانتشارها، مما يسمح بإجراء تقديرات تفشل في حالة الأسطح المستوية. ومن النتائج الأساسية لهذا النوع نظرية شتاين-توماس ، التي تنص على${\displaystyle L^{2}}$نظرية التقييد للكرة. تتضمن مسائل التقييد الأكثر تقدماً تقديرات ثنائية الخطية ومتعددة الخطية، وتحليلات حزمة الموجات، والاستقراء على المقاييس، والروابط مع هندسة من نوع كاكييا . ^{[ 3 ]}

وهكذا في مسائل تقييد فورييه، يوفر تحليل فورييه التحويل وصياغة فضاء التردد، بينما يدرس التحليل التوافقي المتباينات الناتجة والسلوك الدقيق للمؤثرات المرتبطة بها.

يُوفّر التحليل التوافقي أدوات تحليلية لنتائج تتعلق بمقياس ليبيغ . إحدى هذه الأدوات هي نظرية تفاضل ليبيغ ، التي تنص على أن الدالة القابلة للتكامل محليًا تُساوي تقريبًا في كل مكان نهاية متوسطها على الكرات. يستخدم البرهان تقديرات من النوع الضعيف ودوالًا عظمى للتحكم في التقارب شبه التام.

يُستخدم التحليل التوافقي في النتائج الكلاسيكية لنظرية الإرجودية . تُشابه نظرية الإرجودية القصوى نظرية هاردي-ليتلوود القصوى: فهي تُحدد مقياس المجموعة التي يكون فيها الحد الأعلى للمتوسطات الإرجودية كبيرًا. تُستخدم هذه التقديرات القصوى في براهين نظرية بيركوف الإرجودية ، حيث تُساعد في الانتقال من التقارب على فئة كثيفة من الدوال إلى التقارب شبه الكامل. ^{[ 5 ]}

أظهر كالديرون أن التقديرات التحليلية التوافقية للمؤثرات الثابتة تحت الإزاحة يمكن نقلها إلى المتوسطات الإرجودية المرتبطة بالتحويلات الحافظة للقياس. ^{[ 6 ]} وهذا يسمح باستخدام التقديرات التحليلية التوافقية للدوال القصوى والتكاملات المفردة في السياقات الإرجودية.

ركزت الدراسات اللاحقة حول المتوسطات الإرجودية على دراسة التذبذبات والانحرافات حول هذه المتوسطات. ويتضمن ذلك تقدير التغيرات القصيرة في${\displaystyle L^{p}}$المعايير، باستخدام تقنيات التحليل التوافقي. ^{[ 7 ]}

يرتبط التحليل التوافقي ارتباطًا وثيقًا بفضاءات سوبوليف ونظرية انتظام المعادلات التفاضلية الجزئية . تُستخدم كمونات ريز ومؤثرات التكامل الكسري لإثبات متراجحات من نوع سوبوليف، بما في ذلك التضمينات بين ^فضاءات Lp وفضاءات الدوال القابلة للتفاضل بشكل ضعيف. ^{[ 2 ] [ 1 ] [ 8 ]}

تُقدّم تقديرات التكاملات المفردة معلوماتٍ حول المشتقات الضعيفة. على سبيل المثال، تُستخدم مؤثرات كالديرون-زيغموند للحصول على تقديرات L ^p لمشتقات حلول المعادلات الإهليلجية من تقديراتٍ على المعادلة نفسها. وبهذه الطريقة، تُصبح الحدود التوافقية التحليلية للتكاملات المفردة تقديراتٍ للانتظام لحلول المعادلات التفاضلية. ^{[ 1 ] [ 3 ]}

تقدم نظرية ليتلوود-بالي وصفًا آخر لفضاءات سوبوليف والفضاءات ذات الصلة، وذلك بتقسيم الدوال إلى أجزاء عند مقاييس أو ترددات مختلفة. يُعد هذا المنظور مفيدًا بشكل خاص لفضاءات سوبوليف الكسرية، وفضاءات بيسوف، وفضاءات تريبل-ليزوركين، والمسائل غير الخطية التي تتطلب تقديرات دقيقة على مستوى كل مقياس. ^{[ 4 ] [ 3 ]}

يرتبط التحليل التوافقي، بهذا المعنى الأخير، ارتباطًا وثيقًا بنظرية الأطياف ، لا سيما من خلال دراسة لابلاس والمؤثرات التفاضلية الأخرى. في الفضاءات الإقليدية، والمتشعبات، والفضاءات المتناظرة، والرسوم البيانية، غالبًا ما تُعالج مسائل الدوال الذاتية، والقيم الذاتية، ونوى الحرارة، وانتشار الموجات باستخدام أساليب التحليل التوافقي. يشمل هذا المنظور مسائل مثل سماع شكل الطبل وتحليل الدوال الكروية على الفضاءات المتناظرة. ^{[ 14 ]}

في الفضاء الإقليدي، يدرس التحليل التوافقي أيضًا ظواهر خاصة بتحويل فورييه على Rⁿ ^، مثل ثبات الدوران، وتقديرات التقييد، وتحويلات فورييه الشعاعية، ودوال بيسل ، والتوافقيات الكروية . تربط هذه المواضيع نظرية المتغيرات الحقيقية بالدوال الخاصة الكلاسيكية والمعادلات التفاضلية الجزئية. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

تستخدم العديد من المجالات المتخصصة الأخرى أساليب التحليل التوافقي. يرتبط التحليل التوافقي على الفضاءات المتناظرة والمجموعات المدمجة محليًا بنظرية التمثيل. ويرتبط التحليل التوافقي على نطاقات الأنابيب بفضاءات هاردي والعديد من المتغيرات المركبة. ويمكن أيضًا اعتبار الأشكال التلقائية كائنات تحليلية توافقية مرتبطة بمجموعات التناظر الحسابي، على الرغم من أنها تُعامل عادةً كموضوع منفصل يرتبط ارتباطًا وثيقًا بنظرية الأعداد وبرنامج لانجلاندز .