نظرية الإرجودية

نظرية الإرجودية هي فرع من الرياضيات يدرس الخصائص الإحصائية للأنظمة الديناميكية الحتمية ؛ وهي دراسة الإرجودية . في هذا السياق، تشير "الخصائص الإحصائية" إلى الخصائص التي تُعبَّر عنها من خلال سلوك المتوسطات الزمنية لوظائف مختلفة على طول مسارات الأنظمة الديناميكية. يفترض مفهوم الأنظمة الديناميكية الحتمية أن المعادلات التي تحدد الديناميكيات لا تحتوي على أي اضطرابات عشوائية أو ضوضاء ، وما إلى ذلك. وبالتالي، فإن الإحصاءات التي نهتم بها هي خصائص الديناميكيات.

تعتمد نظرية الإرجودية، مثل نظرية الاحتمالات ، على مفاهيم عامة لنظرية القياس . وقد كان الدافع وراء تطورها الأولي هو مشاكل الفيزياء الإحصائية .

يُعدّ سلوك النظام الديناميكي عند تشغيله لفترة طويلة أحد المحاور الرئيسية لنظرية الإرجودية. وتتمثل أولى النتائج في هذا الاتجاه في نظرية بوانكاريه التكرارية ، التي تنص على أن جميع النقاط تقريبًا في أي مجموعة جزئية من فضاء الطور تعود في النهاية إلى تلك المجموعة. وتُسمى الأنظمة التي تنطبق عليها نظرية بوانكاريه التكرارية بالأنظمة المحافظة ؛ وبالتالي، فإن جميع الأنظمة الإرجودية محافظة.

تُقدّم نظريات إرجودية مختلفة معلومات أكثر دقة ، إذ تُؤكد أنه في ظل شروط معينة، يوجد المتوسط ​​الزمني لدالة ما على طول المسارات في كل مكان تقريبًا ، ويرتبط بالمتوسط ​​المكاني. ومن أهم هذه النظريات نظريتا بيركوف (1931) وفون نيومان ، اللتان تُؤكدان وجود متوسط ​​زمني على طول كل مسار. بالنسبة لفئة خاصة من الأنظمة الإرجودية ، يكون هذا المتوسط ​​الزمني متطابقًا تقريبًا لجميع النقاط الابتدائية: إحصائيًا، فإن النظام الذي يتطور لفترة طويلة "ينسى" حالته الابتدائية. كما دُرست خصائص أقوى، مثل المزج والتوزيع المتساوي ، على نطاق واسع.

تُعدّ مشكلة التصنيف المتري للأنظمة جزءًا مهمًا آخر من نظرية الإرجودية المجردة. وتلعب مفاهيم الإنتروبيا المختلفة للأنظمة الديناميكية دورًا بارزًا في نظرية الإرجودية وتطبيقاتها على العمليات العشوائية .

يُعدّ مفهوما الإرجودية وفرضية الإرجودية أساسيين لتطبيقات نظرية الإرجودية. وتتلخص الفكرة الأساسية في أن المتوسط ​​الزمني لخصائص بعض الأنظمة يساوي المتوسط ​​على كامل الفضاء. وعادةً ما تتضمن تطبيقات نظرية الإرجودية في فروع أخرى من الرياضيات إثبات خصائص الإرجودية لأنظمة من نوع خاص. في الهندسة ، استُخدمت أساليب نظرية الإرجودية لدراسة التدفق الجيوديسي على مشعبات ريمان ، بدءًا من نتائج إيبرهارد هوبف لأسطح ريمان ذات الانحناء السالب. وتشكل سلاسل ماركوف سياقًا مشتركًا لتطبيقات نظرية الاحتمالات . وترتبط نظرية الإرجودية ارتباطًا وثيقًا بالتحليل التوافقي ، ونظرية لي ( نظرية التمثيل ، والشبكات في الزمر الجبرية )، ونظرية الأعداد (نظرية التقريبات الديوفانتية ، ودوال لي ).

تهتم نظرية الإرجودية غالبًا بالتحويلات الإرجودية . يكمن جوهر هذه التحويلات، التي تُجرى على مجموعة معينة، في أنها تُحرك عناصر تلك المجموعة بشكل كامل. على سبيل المثال، إذا كانت المجموعة عبارة عن كمية من دقيق الشوفان الساخن في وعاء، وإذا أُضيفت ملعقة من الشراب إلى الوعاء، فإن تكرارات التحويل الإرجودي العكسي لدقيق الشوفان لن تسمح للشراب بالبقاء في منطقة فرعية محددة من دقيق الشوفان، بل ستوزعه بالتساوي في جميع أنحاء المجموعة. في الوقت نفسه، لن تؤدي هذه التكرارات إلى ضغط أو تمديد أي جزء من دقيق الشوفان: فهي تحافظ على كثافته.

التعريف الرسمي هو كما يلي:

ليكن T  : X → X تحويلاً يحافظ على القياس على فضاء القياس ( X , Σ , μ ) ، حيث μ ( X ) = 1 . عندئذٍ يكون T إرجوديًا إذا كان لكل E في Σ حيث μ ( T ⁻¹ ( E ) Δ E ) = 0 (أي أن E ثابت ) ، إما μ ( E ) = 0 أو μ ( E ) = 1 .

يمثل المؤثر Δ هنا الفرق المتناظر بين المجموعات، وهو مكافئ لعملية "أو الحصرية" فيما يتعلق بانتماء المجموعة. ويُطلق على الشرط الذي يجعل قياس الفرق المتناظر يساوي صفرًا اسم " الثبات الجوهري" .

• الدوران غير النسبي للدائرة R / Z ، T : x → x + θ، حيث θ عدد غير نسبي ، هو دوران إرجودي. يتميز هذا التحويل بخصائص أقوى، منها التفرد الإرجودي ، والحد الأدنى ، والتوزيع المتساوي . في المقابل، إذا كان θ = p / q عددًا نسبيًا (في أبسط صورة)، فإن T يكون دوريًا، بفترة q ، وبالتالي لا يمكن أن يكون إرجوديًا: لأي فترة I طولها a ، ^حيث 0 < a < 1/ q ، فإن مدارها تحت تأثير T (أي اتحاد I ، T ( I )، ...، Tq⁻¹ ( I )، الذي يحتوي على صورة I تحت أي عدد من تطبيقات T ) هو مجموعة ثابتة تحت تأثير T بتردد 0 ^، وهي اتحاد q فترات طولها a ، وبالتالي فإن قياسها qa يقع بين 0 و 1. 
• ليكن G زمرة أبيلية متراصة ، و μ مقياس هار المعياري ، و T تشاكلًا ذاتيًا للزمرة G. ولتكن G * الزمرة الثنائية لبونترياجين ، المكونة من الخصائص المتصلة لـ G ، وليكن T * التشاكل الذاتي المرافق المقابل لـ G *. يكون التشاكل الذاتي T إرجوديًا إذا وفقط إذا كانت المساواة ( T *) ⁿ ( χ ) = χ ممكنة فقط عندما n = 0 أو عندما تكون χ هي الخاصية التافهة لـ G. على وجه الخصوص، إذا كانت G هي الطارة n- البُعدية ، وكان التشاكل الذاتي T ممثلاً بمصفوفة أحادية المعامل A، فإن T يكون إرجوديًا إذا وفقط إذا لم تكن أي قيمة ذاتية لـ A جذرًا للوحدة .    
• إن إزاحة برنولي هي إرجودية. وبشكل أعم، فإن إرجودية تحويل الإزاحة المرتبط بتسلسل من المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع وبعض العمليات الثابتة الأكثر عمومية تتبع من قانون كولموغوروف الصفري-الواحدي .
• تعني خاصية الإرجودية لنظام ديناميكي مستمر أن مساراته "تنتشر" حول فضاء الطور . لا يمكن لنظام ذي فضاء طور مضغوط وتكامل أول غير ثابت أن يكون إرجوديًا. ينطبق هذا، على وجه الخصوص، على الأنظمة الهاميلتونية ذات التكامل الأول I المستقل وظيفيًا عن دالة هاميلتون H ومجموعة المستوى المضغوطة X = {( p , q ): H ( p , q ) = E} ذات طاقة ثابتة. تشير نظرية ليوفيل إلى وجود مقياس ثابت محدود على X ، لكن ديناميكيات النظام مقيدة بمجموعات مستوى I على X ، وبالتالي يمتلك النظام مجموعات ثابتة ذات قياس موجب ولكنه أقل من القياس الكامل. من خصائص الأنظمة الديناميكية المستمرة التي تُعاكس الإرجودية خاصية التكامل الكامل .

ليكن T : X → X تحويلاً يحافظ على القياس على فضاء القياس ( X , Σ, μ ) ^، ولنفترض أن f دالة قابلة للتكامل بالنسبة لـ μ ، أي f ∈ L1 ( μ ). عندئذٍ نُعرّف المتوسطات التالية :

المتوسط ​​الزمني: يُعرَّف هذا بأنه المتوسط ​​(إن وجد) على مدى تكرارات T بدءًا من نقطة أولية x : $${\displaystyle {\hat {f}}(x)=\lim _{n\to \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x).}$$

المتوسط ​​المكاني: إذا كانت μ ( X ) محدودة وغير صفرية، فيمكننا اعتبار المتوسط ​​المكاني أو متوسط ​​الطور لـ ƒ: $${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{\mu (X)}}\int f\,d\mu .\quad {\text{ (For a probability space, }}\mu (X)=1.)}$$

بشكل عام، قد يختلف المتوسط ​​الزمني عن المتوسط ​​المكاني. ولكن إذا كان التحويل إرجوديًا، وكان المقياس ثابتًا، فإن المتوسط ​​الزمني يساوي المتوسط ​​المكاني تقريبًا في كل مكان . هذه هي نظرية الإرجودية الشهيرة، بصيغتها المجردة التي وضعها جورج ديفيد بيركوف . (في الواقع، لا تتناول ورقة بيركوف الحالة العامة المجردة، بل حالة الأنظمة الديناميكية الناشئة عن المعادلات التفاضلية على مشعب أملس ). تُعد نظرية التوزيع المتساوي حالة خاصة من نظرية الإرجودية، وتتناول تحديدًا توزيع الاحتمالات على الفترة [0، 1].

وبشكل أدق، تنص نظرية إرجودية النقطية أو القوية على أن النهاية في تعريف المتوسط ​​الزمني للدالة f موجودة تقريبًا لكل قيمة x ، وأن دالة النهاية (المعرفة تقريبًا في كل مكان)${\displaystyle {\hat {f}}}$قابل للتكامل:

$${\displaystyle {\hat {f}}\in L^{1}(\mu ).\,}$$

بالإضافة إلى،${\displaystyle {\hat {f}}}$ثابت تحت تأثير T ، أي

$${\displaystyle {\hat {f}}\circ T={\hat {f}}\,}$$

ينطبق هذا في كل مكان تقريبًا، وإذا كانت قيمة μ ( X ) محدودة، فإن عملية التطبيع تكون هي نفسها:

$${\displaystyle \int {\hat {f}}\,d\mu =\int f\,d\mu .}$$

على وجه الخصوص، إذا كانت T إرجودية، فإن${\displaystyle {\hat {f}}}$يجب أن يكون ثابتًا (في كل مكان تقريبًا)، ولذلك يكون لدينا ذلك

$${\displaystyle {\bar {f}}={\hat {f}}\,}$$

في كل مكان تقريبًا. بربط الادعاء الأول بالأخير، وبافتراض أن μ ( X ) قيمة محدودة وغير صفرية، نحصل على ما يلي:

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)={\frac {1}{\mu (X)}}\int f\,d\mu }$$

لجميع قيم x تقريبًا ، أي لجميع قيم x باستثناء مجموعة ذات قياس صفري.

بالنسبة للتحويل الإرجودي، فإن المتوسط ​​الزمني يساوي المتوسط ​​المكاني بشكل شبه مؤكد.

على سبيل المثال، لنفترض أن فضاء القياس ( X ، Σ، μ ) يمثل جسيمات الغاز كما سبق، ولنرمز بـ f ( x ) إلى سرعة الجسيم عند الموضع x . عندئذٍ، تنص نظريات الإرجودية النقطية على أن متوسط ​​سرعة جميع الجسيمات عند لحظة زمنية معينة يساوي متوسط ​​سرعة جسيم واحد على مدار الزمن.

إن تعميم نظرية بيركوف هو نظرية كينغمان الإرجودية الفرعية .

نظرية بيركوف-خينشين . لتكن ƒ قابلة للقياس، و E (|ƒ|) < ∞، و T دالة تحافظ على القياس. عندئذٍ باحتمال 1 :

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)=E(f\mid {\mathcal {C}})(x),}$$

أين${\displaystyle E(f|{\mathcal {C}})}$هو التوقع الشرطي بالنظر إلى جبر سيجما${\displaystyle {\mathcal {C}}}$من المجموعات الثابتة لـ T.

نتيجة ( نظرية إرجودية نقطية ): على وجه الخصوص، إذا كانت T إرجودية أيضًا، فإن${\displaystyle {\mathcal {C}}}$هي الجبر التافه σ، وبالتالي باحتمالية 1:

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)=E(f).}$$

تنطبق نظرية فون نيومان المتوسطة الإرجودية في فضاءات هيلبرت. ^{[ 1 ]}

ليكن U مؤثرًا وحدويًا على فضاء هيلبرت H ؛ وبشكل أعم، مؤثرًا خطيًا متساوي القياس (أي مؤثرًا خطيًا ليس بالضرورة شاملًا يحقق ‖Ux‖ = ‖x‖ لكل x في H ، أو بصورة مكافئة، يحقق U * U = I، ولكن ليس بالضرورة UU * = I). ليكن P الإسقاط المتعامد على { ψ  ∈ H | Uψ = ψ} = ker( I − U ).         

ثم، لأي قيمة x في H ، لدينا:

$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}x=Px,}$$

حيث تكون النهاية بالنسبة للمعيار على H. بعبارة أخرى، سلسلة المتوسطات

$${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}}$$

يتقارب إلى P في طوبولوجيا المؤثر القوي .

في الواقع، ليس من الصعب أن نرى أنه في هذه الحالة أي${\displaystyle x\in H}$يسمح بتحليل متعامد إلى أجزاء من${\displaystyle \ker(I-U)}$و${\displaystyle {\overline {\operatorname {ran} (I-U)}}}$على التوالي. الجزء الأول ثابت في جميع المجاميع الجزئية كما${\displaystyle N}$أما بالنسبة للجزء الأخير، فمن السلسلة التلسكوبية سيكون لدى المرء:

$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}(I-U)=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\left(I-U^{N}\right)=0}$$

تُخصَّص هذه النظرية للحالة التي يتكون فيها فضاء هيلبرت H من L² من الدوال على فضاء قياس، ويكون ^U مؤثرًا من الشكل التالي:

$${\displaystyle Uf(x)=f(Tx)\,}$$

حيث T هو تشاكل داخلي يحافظ على القياس لـ X ، ويُعتبر في التطبيقات بمثابة خطوة زمنية لنظام ديناميكي منفصل. ^{[ 2 ]} وتؤكد نظرية الإرجودية أن السلوك المتوسط ​​للدالة ƒ على مدى فترات زمنية كبيرة بما فيه الكفاية يُقارب بالمكون المتعامد لـ ƒ الذي لا يتغير مع الزمن.

في صيغة أخرى لنظرية المتوسط ​​الإرجودي، ليكن U _t مجموعة مؤثرات وحدوية متصلة بقوة ذات وسيط واحد على H. عندئذٍ يكون المؤثر

$${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}U_{t}\,dt}$$

يتقارب في طوبولوجيا المؤثرات القوية عندما T → ∞. في الواقع، تمتد هذه النتيجة أيضًا إلى حالة شبه المجموعة ذات المعامل الواحد المستمر بقوة للمؤثرات الانكماشية على فضاء انعكاسي.

ملاحظة: يمكن استنباط بعض الفهم البديهي لنظرية المتوسط ​​الإرجودي من خلال النظر في حالة اعتبار الأعداد المركبة ذات الطول الواحد تحويلات وحدوية على المستوى المركب (عن طريق الضرب من اليسار). إذا اخترنا عددًا مركبًا واحدًا بطول واحد (نرمز له بـ U )، فمن البديهي أن قواه ستملأ الدائرة. ولأن الدائرة متناظرة حول الصفر، فمن المنطقي أن تتقارب متوسطات قوى U إلى الصفر. كذلك، الصفر هو النقطة الثابتة الوحيدة لـ U ، وبالتالي فإن الإسقاط على فضاء النقاط الثابتة يجب أن يكون المؤثر الصفري (وهو ما يتوافق مع النهاية المذكورة آنفًا).

ليكن ( X , Σ, μ ) فضاء احتماليًا كما سبق، مع تحويل T يحافظ على القياس ، وليكن 1 ≤ p ≤ ∞. التوقع الشرطي بالنسبة للجبر الجزئي ΣT للمجموعات الثابتة تحت التحويل T هو مُسقط خطي E  T ذو معيار 1 لفضاء باناخ L p ( X , Σ, μ ) على فضائه الجزئي المغلق L p ( X , ΣT , μ ) . يمكن أيضًا وصف الأخير بأنه فضاء جميع الدوال L  p الثابتة تحت التحويل T على X. كما أن المتوسطات الإرجودية، كمؤثرات خطية على L p ( X , Σ, μ )، لها معيار مؤثر يساوي 1. وكنتيجة بسيطة لنظرية بيركوف-خينشين، تتقارب المتوسطات الإرجودية إلى المسقط E T في طوبولوجيا المؤثرات القوية لـ L p  إذا كان 1 ≤ p ≤ ∞، وفي طوبولوجيا المؤثرات الضعيفة إذا كان p = ∞. ويزداد الأمر وضوحًا إذا كان 1 < p ≤ ∞، حيث تنص نظرية وينر-يوشيدا-كاكوتاني للتقارب الإرجودي المسيطر على أن المتوسطات الإرجودية للدالة f ∈ L  p  مسيطر عليها في L  p ؛ ومع ذلك، إذا كانت f ∈ L 1 ، فقد لا تكون المتوسطات الإرجودية متساوية السيطرة في L p . أخيرًا، إذا افترضنا أن f تنتمي إلى فئة زيغموند، أي أن | f | log + (| f |) قابلة للتكامل، فإن المتوسطات الإرجودية تكون مسيطر عليها حتى في L 1  .

ليكن ( X , Σ, μ ) فضاء قياس بحيث تكون μ ( X ) محدودة وغير صفرية. يُسمى الوقت الذي يقضيه الفرد في مجموعة قابلة للقياس A بزمن الإقامة . ومن النتائج المباشرة لنظرية الإرجودية أنه في نظام إرجودي، يكون القياس النسبي لـ A مساويًا لمتوسط ​​زمن الإقامة .

$${\displaystyle {\frac {\mu (A)}{\mu (X)}}={\frac {1}{\mu (X)}}\int \chi _{A}\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\chi _{A}(T^{k}x)}$$

لجميع قيم x باستثناء مجموعة ذات قياس صفري ، حيث χ _A هي دالة المؤشر لـ A.

تُعرَّف أوقات حدوث مجموعة قابلة للقياس A بأنها مجموعة k₁ _, k₂ _, k₃ , ..., من الأوقات k التي يكون فيها Tₖ(x) ضمن A، مرتبةً تصاعديًا. تُسمى الفروق بين أوقات الحدوث المتتالية Ri = kᵢ - _{kᵢ -} 1 بأوقات تكرار A. ^ومن نتائج _نظرية الإرجودية أن متوسط _​​وقت تكرار _A يتناسب _{عكسيًا مع} قياس A ، بافتراض أن النقطة الابتدائية x تنتمي إلى A ، _بحيث k₀ = 0 .

$${\displaystyle {\frac {R_{1}+\cdots +R_{n}}{n}}\to {\frac {\mu (X)}{\mu (A)}}\quad {\text{(almost surely)}}}$$

(انظر شبه مؤكد .) أي أنه كلما صغر حجم A ، زاد الوقت اللازم للعودة إليه.

أثبت إيبرهارد هوبف في عام 1939 خاصية الإرجودية للتدفق الجيوديسي على أسطح ريمان المدمجة ذات الانحناء السالب المتغير ، وعلى المشعبات المدمجة ذات الانحناء السالب الثابت من أي بُعد ، على الرغم من دراسة حالات خاصة سابقًا، مثل بلياردو هادامارد (1898) وبلياردو آرتين (1924). وصف إس. في. فومين وآي . إم. جيلفاند في عام 1952 العلاقة بين التدفقات الجيوديسية على أسطح ريمان والمجموعات الفرعية ذات المعامل الواحد على SL(2, R ) . وتقدم المقالة المتعلقة بتدفقات أنوسوف مثالًا على التدفقات الإرجودية على SL(2, R ) وعلى أسطح ريمان ذات الانحناء السالب. ويمكن تعميم الكثير من التطورات الموصوفة هناك على المشعبات الزائدية، إذ يمكن اعتبارها خارج قسمة للفضاء الزائدي بفعل شبكة في زمرة لي شبه البسيطة SO (n,1) . أثبت ف. إ. ماوتنر في عام 1957 خاصية الإرجودية للتدفق الجيوديسي على الفضاءات المتناظرة الريمانية. وفي عام 1967، أثبت د. ف. أنوسوف وي . ج. سيناي خاصية الإرجودية للتدفق الجيوديسي على المشعبات المدمجة ذات الانحناء المقطعي السالب المتغير. وقدّم كالفن س. مور في عام 1966 معيارًا بسيطًا لخاصية الإرجودية للتدفق المتجانس على فضاء متجانس لمجموعة لي شبه بسيطة . وتُعدّ العديد من النظريات والنتائج في هذا المجال من الدراسة نموذجية لنظرية الصلابة .

في ثلاثينيات القرن العشرين، أثبت جي إيه هيدلوند أن تدفق الدورة الأفقية على سطح زائدي مضغوط هو تدفق أدنى وإرجودي. وقد أثبت هليل فورستنبرغ الإرجودية الفريدة لهذا التدفق في عام 1972. وتُقدّم نظريات راتنر تعميمًا رئيسيًا للإرجودية للتدفقات أحادية القوة على الفضاءات المتجانسة من الشكل Γ  \ G ، حيث G هي زمرة لي و Γ هي شبكة في G.  

خلال العشرين عامًا الماضية، ظهرت العديد من الدراسات التي سعت إلى إيجاد نظرية تصنيف قياس مشابهة لنظريات راتنر ، ولكن للأفعال القابلة للتقطير، مدفوعةً بتخمينات فورستنبرغ ومارجوليس . وقد أثبت إيلون ليندنشتراوس نتيجة جزئية مهمة (حل تلك التخمينات بافتراض إضافي للإنتروبيا الموجبة) ، وحصل على ميدالية فيلدز عام 2010 تقديرًا لهذه النتيجة.

• بيركوف، جورج ديفيد (1931)، "برهان نظرية الإرجودية" ، وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم بالولايات المتحدة الأمريكية ، المجلد  17، العدد  12، الصفحات 656-660 ، رمز Bibcode : 1931PNAS...17..656B ، doi : 10.1073/pnas.17.12.656 ، PMC 1076138 ، PMID 16577406   .
• بيركوف، جورج ديفيد (1942)، "ما هي نظرية الإرجودية؟"، المجلة الأمريكية للرياضيات الشهرية ، المجلد  49، العدد  4، الصفحات 222-226 ، doi : 10.2307/2303229 ، JSTOR 2303229  .
• فون نيومان، جون (1932)، "إثبات فرضية شبه الإرجودية"، وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم بالولايات المتحدة الأمريكية ، المجلد  18، العدد  1، الصفحات 70-82 ، Bibcode : 1932PNAS...18...70N ، doi : 10.1073/pnas.18.1.70 ، PMC 1076162 ، PMID 16577432   .
• فون نيومان، جون (1932)، "التطبيقات الفيزيائية لفرضية الإرجودية"، وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم بالولايات المتحدة الأمريكية ، المجلد  18، العدد  3، الصفحات 263-266 ، Bibcode : 1932PNAS...18..263N ، doi : 10.1073/pnas.18.3.263 ، JSTOR 86260 ، PMC 1076204 ، PMID 16587674    .
• هوبف، إيبرهارد (1939)، “Statistik der Geodätischen Lineien in Mannigfaltigkeiten Negativer Krümmung”، لايبزيغ بير. فيرهاندل. ساكس. أكاد. ويس. ، المجلد.  91، ص 261 – 304 .
• فومين، سيرجي ف .؛ جيلفاند، آي إم ( 1952)، "التدفقات الجيوديسية على مشعبات ذات انحناء سلبي ثابت"، أوسبيخي مات. ناوك ، المجلد  7، العدد  1، الصفحات 118-137 .
• ماوتنر، إف آي (1957)، "التدفقات الجيوديسية على فضاءات ريمان المتناظرة"، حوليات الرياضيات ، المجلد  65، العدد  3، الصفحات 416-431 ، doi : 10.2307/1970054 ، JSTOR 1970054  .
• مور، سي سي (1966)، "إرجودية التدفقات على الفضاءات المتجانسة"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، المجلد  88، العدد  1، الصفحات 154-178 ، doi : 10.2307/2373052 ، JSTOR 2373052  .

• دي في أنوسوف (2001) [1994]، "النظرية الإرجودية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• تتضمن هذه المقالة مواد من نظرية إرجوديك على موقع PlanetMath ، وهي مرخصة بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .
• فلاديمير إيغوريفيتش أرنولد وأندريه أفيز، المشاكل الإرغودية للميكانيكا الكلاسيكية . نيويورك: دبليو إيه بنيامين. 1968.
• ليو بريمان، الاحتمالات . نُشرت الطبعة الأصلية بواسطة دار نشر أديسون-ويسلي عام 1968؛ وأُعيد طبعها بواسطة جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية عام 1992. رقم ISBN 0-89871-296-3( انظر الفصل 6.)
• والترز، بيتر (1982)، مقدمة في نظرية الإرجودية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  79، سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 0-387-95152-0Zbl 0475.28009​ 
• بيدفورد، تيم؛ كين، مايكل؛ سيريز، كارولين، محرران (1991)، نظرية الإرجودية، والديناميكا الرمزية، والفضاءات الزائدية ، مطبعة جامعة أكسفورد، ISBN 0-19-853390-X(دراسة استقصائية لمواضيع في نظرية الإرجودية؛ مع تمارين.)
• كارل بيترسن. نظرية الإرجودية (دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. 1990.
• فرانسواز بين، الخصائص العشوائية للأنظمة الديناميكية ، دورات متخصصة في SMF، المجلد 30، 2022
• جوزيف م. روزنبلات وماتيه ويردل، نظريات إرجودية نقطية عبر التحليل التوافقي ، (1993)، نُشرت في كتاب نظرية الإرجودية وعلاقاتها بالتحليل التوافقي، وقائع مؤتمر الإسكندرية لعام 1993 ، (1995)، كارل إي. بيترسن وإبراهيم أ. سلامة، محرران ، مطبعة جامعة كامبريدج، كامبريدج، ISBN 0-521-45999-0( دراسة شاملة للخصائص الإرجودية لتعميمات نظرية التوزيع المتساوي لخرائط الإزاحة على الفترة 1. تركز على الطرق التي طورها بورغين.)
• آن شيرييف ، الاحتمال ، الطبعة الثانية، سبرينغر 1996، ثانية. V.3. رقم ISBN 0-387-94549-0.
• زوند، جوزيف د. (2002)، " جورج ديفيد بيركوف وجون فون نيومان: مسألة الأولوية ونظريات الإرجودية، 1931-1932 "، هيستوريا ماثيماتيكا ، 29 (2): 138-156 ، doi : 10.1006/hmat.2001.2338(مناقشة مفصلة حول أولوية اكتشاف ونشر النظريات الإرجودية بواسطة بيركوف وفون نيومان، استنادًا إلى رسالة من الأخير إلى صديقه هوارد بيرسي روبرتسون.)
• أندريه لاسوتا، مايكل سي. ماكي، الفوضى، والكسور، والضوضاء: الجوانب العشوائية للديناميكيات . الطبعة الثانية، سبرينغر، 1994.
• مانفريد إينسيدلر وتوماس وارد ، نظرية الإرجودية مع نظرة نحو نظرية الأعداد . سبرينغر، 2011.
• جين هوكينز ، الديناميكا الإرجودية: من النظرية الأساسية إلى التطبيقات ، سبرينغر، 2021. ISBN 978-3-030-59242-4

• نظرية الإرجودية (16 يونيو 2015) - ملاحظات بقلم كوزما روهيلا شاليزي
• نظرية إرجوديك تجتاز الاختبار ( من مجلة عالم الفيزياء)