المجموعة المتعامدة

في الرياضيات ، تُعرف المجموعة المتعامدة في البُعد $n$ ، ويرمز لها بـ $O(n)$ ، بأنها مجموعة التحويلات التي تحافظ على المسافة في فضاء إقليدي ذي بُعد $n،$ والتي تحافظ على نقطة ثابتة (نقطة الأصل)، حيث تُجرى عملية المجموعة بتركيب التحويلات. تُسمى المجموعة المتعامدة أحيانًا بالمجموعة المتعامدة العامة ، قياسًا على المجموعة الخطية العامة . وبصورة مكافئة، هي مجموعة المصفوفات المتعامدة من الرتبة $n \times n$ ، حيث تُجرى عملية المجموعة بضرب المصفوفات (المصفوفة المتعامدة هي مصفوفة حقيقية معكوسها يساوي منقولتها ). المجموعة المتعامدة هي مجموعة جبرية ومجموعة لي ، وهي مجموعة متراصة .

تتكون المجموعة المتعامدة في البعد $n$ من عنصرين متصلين . العنصر الذي يحتوي على عنصر الوحدة هو مجموعة جزئية طبيعية ، تُسمى المجموعة المتعامدة الخاصة ، ويُرمز لها بـ $SO(n)$ . تتألف هذه المجموعة من جميع المصفوفات المتعامدة ذات المحدد 1. تُسمى هذه المجموعة أيضًا مجموعة الدوران ، تعميمًا لحقيقة أن عناصرها في الفضاء ذي البعد n هي الدورانات المعتادة حول نقطة (في البعد 2)، أو خط (في البعد 3)، أو بشكل عام حول فضاء جزئي ذي البعد (n-2). في الأبعاد المنخفضة، دُرست هذه المجموعات على نطاق واسع، انظر $SO(2)$ و $SO(3)$ و $SO(4)$ . أما العنصر الآخر فيتألف من جميع المصفوفات المتعامدة ذات المحدد -1. لا يُشكل هذا العنصر مجموعة، لأن حاصل ضرب أي عنصرين منه يكون محدده 1، وبالتالي فهو ليس عنصرًا من عناصر هذا العنصر.

وبالتالي، لأي حقل $F$ ، تُسمى المصفوفة $n \times n$ التي عناصرها في $F$ بحيث يكون معكوسها مساويًا لمنقولها مصفوفة متعامدة على $F.$ تُشكل المصفوفات المتعامدة $n \times n$ زمرة جزئية، يُرمز لها بـ $O(n, F)$ ، من الزمرة الخطية العامة $GL(n, F)$ ؛ أي $\operatorname {O} (n,F)=\left\{Q\in \operatorname {GL} (n,F)\mid Q^{\mathsf {T}}Q=QQ^{\mathsf {T}}=I\right\}.$

بشكلٍ أعم، إذا كان لدينا شكل ثنائي خطي متناظر غير منحل أو شكل تربيعي ^{[ ملاحظة 1 ]} على فضاء متجهي فوق حقل ، فإن المجموعة المتعامدة لهذا الشكل هي مجموعة التطبيقات الخطية القابلة للعكس التي تحافظ على هذا الشكل. وتُعدّ المجموعات المتعامدة السابقة حالة خاصة حيث يكون الشكل الثنائي الخطي، على أساس ما، هو حاصل الضرب النقطي ، أو بصورة مكافئة، يكون الشكل التربيعي هو مجموع مربعات الإحداثيات.

جميع المجموعات المتعامدة هي مجموعات جبرية ، حيث يمكن التعبير عن شرط الحفاظ على شكل معين على أنه تساوي بين المصفوفات.

اسم

يستمد مصطلح "المجموعة المتعامدة" من التوصيف التالي لعناصرها. بالنظر إلى فضاء متجهي إقليدي $E$ ذي بُعد $n$ ، فإن عناصر المجموعة المتعامدة $O(n)$ هي، حتى مع تطبيق مقياس موحد ( التجانس )، التحويلات الخطية من $E$ إلى $E$ التي تحول المتجهات المتعامدة إلى متجهات متعامدة.

في الهندسة الإقليدية

المتعامد $\operatorname {O} (n)$ هي المجموعة الفرعية للمجموعة الخطية العامة $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ ، والتي تتكون من جميع التشاكلات الداخلية التي تحافظ على المعيار الإقليدي ؛ أي التشاكلات الداخلية $g$ بحيث $\|g(x)\|=\|x\|.$

يترك $\operatorname {E} (n)$ لتكن مجموعة التماثلات الإقليدية للفضاء الإقليدي $S$ من الأبعاد $n$ لا تعتمد هذه المجموعة على اختيار فضاء معين، لأن جميع الفضاءات الإقليدية ذات البعد نفسه متماثلة . المجموعة الجزئية المثبتة لنقطة $x\in S$ هي مجموعة فرعية من العناصر $g\in \operatorname {E} (n)$ بحيث $g(x)=x$ هذا المثبت هو (أو، بتعبير أدق، متماثل مع) $\operatorname {O} (n)$ ، لأن اختيار نقطة كنقطة أصل يؤدي إلى تماثل بين الفضاء الإقليدي والفضاء المتجهي الإقليدي المرتبط به.

يوجد تماثل طبيعي للمجموعات $p$ من $\operatorname {E} (n)$ ل $\operatorname {O} (n)$ ، والذي يتم تعريفه بواسطة

p(g)(yx)=g(y)-g(x),

وكما هو معتاد، فإن طرح نقطتين يرمز إلى متجه الإزاحة الذي ينقل النقطة الثانية إلى النقطة الأولى. وهذا تماثل معروف جيدًا، إذ يُظهر التحقق المباشر أنه إذا كان لزوجين من النقاط نفس الفرق، فإن الأمر نفسه ينطبق على صورهما. $g$ (للحصول على التفاصيل، انظر الفضاء الأفيني § الطرح وبديهيات ويل ).

نواة $p$ هي فضاء المتجهات للإزاحات. لذا، تشكل الإزاحات زمرة جزئية طبيعية من $\operatorname {E} (n)$ تكون مثبتات نقطتين مترافقة تحت تأثير الإزاحات، وجميع المثبتات متماثلة مع $\operatorname {O} (n)$ .

علاوة على ذلك، فإن المجموعة الإقليدية هي ناتج شبه مباشر لـ $\operatorname {O} (n)$ ومجموعة الترجمات. ويترتب على ذلك أن دراسة المجموعة الإقليدية تُختزل أساسًا إلى دراسة $\operatorname {O} (n)$ .

مجموعة متعامدة خاصة

باختيار أساس متعامد معياري لفضاء متجهي إقليدي، يمكن تعريف المجموعة المتعامدة بأنها مجموعة المصفوفات المتعامدة (تحت ضرب المصفوفات) ، وهي المصفوفات التي تحقق ما يلي:

QQ^{\mathsf {T}}=I.

يستنتج من هذه المعادلة أن مربع محدد المصفوفة Q يساوي 1 $،$ وبالتالي فإن محدد $Q$ $إما$ 1 $أو$ -1 $.$ تشكل المصفوفات المتعامدة ذات المحدد $1$ زمرة فرعية تُسمى الزمرة المتعامدة الخاصة ، ويُرمز لها بـ $SO($ $n$ $)$ ، وتتألف من جميع التماثلات المباشرة للمصفوفة $O($ $n$ $)$ ، وهي تلك التي تحافظ على اتجاه الفضاء.

$تُعدّ SO(n)$ زمرةً جزئيةً طبيعيةً من $O(n)$ ، كونها نواة المحدد، وهو تشاكل زمر صورته هي الزمرة الضربية ${-1, +1}$ . وهذا يعني أن الزمرة المتعامدة هي حاصل ضرب شبه مباشر داخلي لـ $SO(n)$ وأي زمرة جزئية مُكوَّنة من عنصر المحايد وانعكاس .

المجموعة التي تحتوي على عنصرين ${\pm I}$ (حيث $I$ هي مصفوفة الوحدة) هي زمرة جزئية طبيعية ، بل وزمرة جزئية مميزة للمجموعة $O(n)$ ، وإذا كان $n$ زوجيًا، فهي أيضًا زمرة جزئية مميزة للمجموعة $SO(n)$ . أما إذا كان $n$ فرديًا، فإن $O(n)$ هي حاصل الضرب الداخلي المباشر للمجموعة $SO(n)$ و ${\pm I}$ .

المجموعة SO( 2 $)$ تبديلية (بينما $SO($ $n$ $)$ ليست تبديلية عندما $n$ $> 2$ ). زمرها الجزئية المنتهية هي الزمرة الدورية $Ck$ للدوران $k-طية$ ، $لكل$ عدد صحيح موجب $k$ . جميع هذه الزمر هي زمر جزئية طبيعية من $O(2)$ و $SO(2)$ .

الشكل القانوني

لكل عنصر من $O(n)$ يوجد أساس متعامد، حيث تكون مصفوفته على الشكل ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

{\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{matrix}}\\\end{bmatrix}},

$حيث يمكن أن يكون هناك أي عدد من القيم \pm1، بما في$ ذلك الصفر؛ وحيث تكون المصفوفات $R1 ، ...، Rk$ مصفوفات دوران ثنائية الأبعاد، أي مصفوفات من الشكل التالي $:$

{\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}},

مع $a 2 + b 2 = 1$ .

ينتج هذا من نظرية الطيف عن طريق إعادة تجميع القيم الذاتية المترافقة المركبة ، مع الأخذ في الاعتبار أن القيم المطلقة للقيم الذاتية للمصفوفة المتعامدة تساوي جميعها $1$ .

ينتمي العنصر إلى $SO(n)$ إذا وفقط إذا كان هناك عدد زوجي من القيم الذاتية $-1$ على القطر الرئيسي. يمكن تمثيل زوج من القيم الذاتية $-1$ بدوران بزاوية $π$ ، ويمكن تمثيل زوج من القيم الذاتية $+1$ بدوران بزاوية $0$ .

تُعرف الحالة الخاصة لـ $n = 3 باسم$ نظرية دوران أويلر ، والتي تؤكد أن كل عنصر (غير متطابق) من $SO(3)$ هو دوران حول زوج فريد من المحور والزاوية.

تأملات

الانعكاسات هي عناصر من الرتبة $O(n)$ والتي يكون شكلها المتعارف عليه هو

{\begin{bmatrix}-1&0\\0&I\end{bmatrix}},

حيث $I$ هي مصفوفة الوحدة $(n - 1) \times (n - 1)$ ، وتدل الأصفار على مصفوفات أصفار الصفوف أو الأعمدة. بعبارة أخرى، الانعكاس هو تحويل يحول الفضاء إلى صورته المرآوية بالنسبة إلى مستوى فائق .

في البعد الثاني، يمكن تحليل كل دوران إلى حاصل ضرب انعكاسين . وبشكل أدق، فإن الدوران بزاوية $θ$ هو حاصل ضرب انعكاسين تشكل محاورهما زاوية مقدارها $θ / 2$ .

يكفي دائمًا ناتج انعكاسات أولية تصل إلى $n$ لتوليد أي عنصر من $O(n)$ . وينتج هذا مباشرة من الشكل القانوني المذكور أعلاه وحالة البعد الثاني.

تُعد نظرية كارتان -ديودونيه تعميمًا لهذه النتيجة على المجموعة المتعامدة لشكل تربيعي غير منحل على حقل ذي خاصية مختلفة عن اثنين.

يُعد الانعكاس عبر نقطة الأصل (الخريطة $v \mapsto - v$ ) مثالاً على عنصر من $O(n)$ ليس ناتجًا عن أقل من $n$ انعكاسًا.

مجموعة تناظر الكرات

المجموعة المتعامدة $O(n)$ هي مجموعة التناظر للكرة $(n -1)$ (لـ $n = 3$ ، هذه هي الكرة فقط ) وجميع الأجسام ذات التناظر الكروي، إذا تم اختيار الأصل في المركز .

مجموعة التناظر للدائرة هي $O(2)$ . المجموعة الجزئية الحافظة للاتجاه $SO(2)$ متماثلة ( كمجموعة لي حقيقية ) مع مجموعة الدائرة ، المعروفة أيضًا باسم $U$ $(1) ،$ وهي المجموعة الضربية للأعداد المركبة ذات القيمة المطلقة تساوي واحدًا. هذا التماثل يُحوّل العدد المركب $exp($ $φi$ $)$ $= cos($ $φ$ $) +$ $i$ $sin($ $φ$ $)$ ذي القيمة المطلقة $1$ إلى المصفوفة المتعامدة الخاصة.

{\begin{bmatrix}\cos(\varphi )&-\sin(\varphi )\\\sin(\varphi )&\cos(\varphi )\end{bmatrix}}.

في الأبعاد الأعلى، يمتلك $O(n)$ بنية أكثر تعقيدًا (على وجه الخصوص، لم يعد $SO(n) تبادليًا). ترتبط البنى$ الطوبولوجية للكرة $n$ و $O(n)$ ارتباطًا وثيقًا، ويُستخدم هذا الارتباط على نطاق واسع لدراسة كلا الفضاءين الطوبولوجيين .

هيكل المجموعة

المجموعتان $O(n)$ و $SO(n)$ هما مجموعتان لي حقيقيتان متراصتان من البعد $n$ $($ $n$ $-1)/2$ . تحتوي المجموعة $O($ $n$ $) على$ مكونين متصلين ، حيث $SO($ $n$ $)$ هو المكون المحايد ، أي المكون المتصل الذي يحتوي على مصفوفة الوحدة .

كمجموعات جبرية

يمكن تعريف المجموعة المتعامدة $O(n)$ بأنها مجموعة المصفوفات $A$ التي تحقق $المعادلة ATA = I. وبما أن كلا$ طرفي هذه المعادلة مصفوفتان متناظرتان ، فإن هذا يوفر $n (n +1)/2$ معادلة يجب أن تحققها عناصر المصفوفة المتعامدة، والتي لا تحققها جميع عناصر أي مصفوفة غير متعامدة.

يثبت هذا أن $O(n)$ مجموعة جبرية . علاوة على ذلك، يمكن إثبات أن بُعدها هو

{\frac {n(n-1)}{2}}=n^{2}-{\frac {n(n+1)}{2}},

مما يعني أن $O(n)$ عبارة عن تقاطع كامل . وهذا يعني أن جميع مكوناته غير القابلة للاختزال لها نفس البعد، وأنه لا يحتوي على أي مكون مضمن . في الواقع، يحتوي $O(n)$ على مكونين غير قابلين للاختزال، يتم تمييزهما بإشارة المحدد (أي $det(A) = 1$ أو $det(A) = -1$ ). كلاهما عبارة عن أصناف جبرية غير شاذة من نفس البعد $n (n - 1)/2$ . المكون الذي تكون فيه $det(A) = 1$ هو $SO(n)$ .

مجموعات تورى وويل القصوى

الطارة القصوى في زمرة لي المدمجة G هي زمرة جزئية قصوى من بين الزمر المتماثلة مع $T k$ لبعض $k$ ، حيث $T = SO(2)$ هي الطارة القياسية أحادية البعد. ^{[ 3 ]}

في $O(2 n)$ و $SO(2 n)$ ، لكل طارة قصوى، يوجد أساس تتكون عليه الطارة من مصفوفات قطرية كتلية من الشكل

{\begin{bmatrix}R_{1}&&0\\&\ddots &\\0&&R_{n}\end{bmatrix}},

حيث ينتمي كل $R j$ إلى $SO(2)$ . في $O(2 n + 1)$ و $SO(2 n + 1)$ ، يكون للحلقات القصوى نفس الشكل، محاطة بصف وعمود من الأصفار، و $1$ على القطر.

مجموعة ويل لـ $SO(2 n + 1)$ هي ناتج شبه مباشر $\{\pm 1\}^{n}\rtimes S_{n}$ تتكون زمرة ويل من زمرة فرعية أبيلية ابتدائية عادية ثنائية ، وزمرة متناظرة ، حيث يؤثر العنصر غير التافه لكل عامل ${\pm1}$ من ${\pm1}$ $n$ على عامل الدائرة المقابل في $T$ $\times {1}$ عن طريق الانعكاس ، وتؤثر الزمرة المتناظرة $Sn$ على كل من ${$ $\pm1}$ $n$ و $T$ $\times {1}$ عن طريق تبديل العوامل. تُمثل عناصر زمرة ويل بمصفوفات من الرتبة $O$ $(2n$ $)$ $\times {\pm1}$ . يُمثل العامل $Sn$ بمصفوفات تبديل كتلية ذات كتل 2×2، وعنصر نهائي $1$ على القطر. يُمثل المكون ${\pm1}$ $n$ بمصفوفات قطرية كتلية ذات كتل 2×2.

{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\quad {\text{or}}\quad {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},

مع اختيار المكون الأخير $\pm1$ لجعل المحدد $1$ .

مجموعة ويل لـ $SO(2 n)$ هي المجموعة الفرعية $H_{n-1}\rtimes S_{n}<\{\pm 1\}^{n}\rtimes S_{n}$ من ذلك الخاص بـ $SO(2 n + 1)$ ، حيث $H n -1 < {\pm1} n$ هي نواة التماثل الناتج ${\pm1} n \to {\pm1}$ المعطى بواسطة $\left(\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{n}\right)\mapsto \varepsilon _{1}\cdots \varepsilon _{n}$ أي أن $H n -1 < {\pm1} n$ هي المجموعة الفرعية التي تحتوي على عدد زوجي من الإشارات السالبة. تُمثَّل مجموعة فايل لـ $SO(2 n) في$ $SO(2 n )$ بالصور العكسية تحت الحقن القياسي $SO(2 n) \to SO(2 n +1)$ لممثلي مجموعة فايل لـ $SO(2 n +1)$ . أما المصفوفات التي تحتوي على عدد فردي من ${\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$ لا تحتوي الكتل على إحداثيات نهائية متبقية $-1$ لجعل محدداتها موجبة، وبالتالي لا يمكن تمثيلها في $SO(2 n)$ .

الطوبولوجيا

الطوبولوجيا منخفضة الأبعاد

تُعدّ المجموعات المتعامدة (الحقيقية) ذات الأبعاد المنخفضة فضاءات مألوفة :

$O(1) = S 0$ ، فضاء منفصل من نقطتين ، يتكون من خريطة الهوية وخريطة الانعكاس على الخط.
$SO(1) = {1}$ ، لأن المحدد الوحيد هو 1 .
$SO(2)$ هو $S 1$ ، كما هو موضح في القسم "مجموعة التناظر للكرات" أعلاه.
^{يتمتع SO (} $3)$ ببنية الفضاء الإسقاطي الحقيقي ، $R P 3.$ ^[⁴ ]
يتم تغطية $SO(4)$ بشكل مزدوج بواسطة $Spin(4) = SU (2) \times SU(2) = S 3 \times S 3$ ، كما هو موضح أدناه.

المجموعة الأساسية

من منظور الطوبولوجيا الجبرية ، بالنسبة لـ $n > 2،$ تكون المجموعة الأساسية لـ $SO(n)$ دورية من الرتبة 2 ، ^{[ 5 ]} وتكون مجموعة الدوران $Spin(n)$ هي غطائها الشامل . أما بالنسبة لـ $n = 2،$ فتكون المجموعة الأساسية دورية لانهائية ، ويتوافق الغطاء الشامل مع خط الأعداد الحقيقية (وتُعدّ المجموعة $Spin(2)$ الغطاء الثنائي المتصل الوحيد ).

مجموعات متجانسة

بشكل عام، ترتبط مجموعات التماثل $π k (O)$ للمجموعة المتعامدة الحقيقية بمجموعات التماثل للكرات ، وبالتالي يصعب حسابها عمومًا. مع ذلك، يمكن حساب مجموعات التماثل للمجموعة المتعامدة المستقرة (المعروفة أيضًا بالمجموعة المتعامدة اللانهائية)، والتي تُعرَّف بأنها النهاية المباشرة لتسلسل التضمينات.

\operatorname {O} (0)\subset \operatorname {O} (1)\subset \operatorname {O} (2)\subset \cdots \subset O=\bigcup _{k=0}^{\infty }\operatorname {O} (k)

بما أن جميع العناصر المضمنة مغلقة، وبالتالي فهي ألياف مشتركة ، فيمكن تفسير ذلك أيضًا على أنه اتحاد. من ناحية أخرى، $S$ $n$ فضاء متجانس من الرتبة $O(n +1)$ ، ويكون لدينا حزمة الألياف التالية :

\operatorname {O} (n)\to \operatorname {O} (n+1)\to S^{n},

ويمكن فهم ذلك على النحو التالي: " تؤثر المجموعة المتعامدة $O(n + 1)$ بشكل متعدٍ على كرة الوحدة $Sn ،$ ومثبت النقطة (التي تُعتبر متجه وحدة ) هو المجموعة المتعامدة للمكمل العمودي ، وهي مجموعة متعامدة ذات بُعد أقل." وبالتالي، فإن التضمين الطبيعي $O($ $n$ $) \to O($ $n$ $+ 1)$ متصل من الدرجة $($ $n$ $- 1)$ ، لذا فإن مجموعات التماثل تستقر، و $πk$ $(O($ $n$ $+$ $1)) = πk$ $($ $O($ $n$ $))$ لـ $n$ $>$ $k$ $+ 1$ : وبالتالي فإن مجموعات التماثل للفضاء المستقر تساوي مجموعات التماثل الأدنى للفضاءات غير المستقرة.

من دورية بوت نحصل على $Ω 8 O ≃ O$ ، وبالتالي فإن مجموعات التماثل لـ $O$ دورية ثمانية أضعاف، مما يعني أن $π k + 8 (O) = π k (O)$ ، وبالتالي لا يحتاج المرء إلا إلى سرد أول 8 مجموعات تماثل:

{\begin{aligned}\pi _{0}(O)&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{1}(O)&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{2}(O)&=0\\\pi _{3}(O)&=\mathbf {Z} \\\pi _{4}(O)&=0\\\pi _{5}(O)&=0\\\pi _{6}(O)&=0\\\pi _{7}(O)&=\mathbf {Z} \end{aligned}}

العلاقة بنظرية KO

باستخدام بنية التثبيت $،$ تُعرَّف مجموعات التماثل للفضاء المستقر $O$ بحزم المتجهات المستقرة على الكرات ( حتى التشاكل ) $،$ مع إزاحة بُعد مقدارها 1: $πk (O) = πk + 1 (BO)$ . بوضع $KO = BO \times Z = Ω⁻¹O \times Z ($ لجعل $π₀ مناسبًا$ للدورية)، نحصل على:

{\begin{aligned}\pi _{0}(KO)&=\mathbf {Z} \\\pi _{1}(KO)&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{2}(KO)&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{3}(KO)&=0\\\pi _{4}(KO)&=\mathbf {Z} \\\pi _{5}(KO)&=0\\\pi _{6}(KO)&=0\\\pi _{7}(KO)&=0\end{aligned}}

حساب وتفسير مجموعات التماثل

المجموعات منخفضة الأبعاد

يمكن حساب مجموعات التماثل القليلة الأولى باستخدام الأوصاف الملموسة للمجموعات منخفضة الأبعاد.

$π 0 (O) = π 0 (O(1)) = Z / 2 Z$ ، من الحفاظ على الاتجاه / عكسه (هذه الفئة تبقى حتى $O(2)$ وبالتالي مستقرة)
$π 1 (O) = π 1 (SO(3)) = Z / 2 Z$ ، وهو الدوران الذي يأتي من $SO(3) = R P 3 = S 3 / (Z / 2 Z)$ .
$π 2 (O) = π 2 (SO(3)) = 0$ ، والتي تطفو على $π 2 (SO(4))$ ؛ وهكذا يختفي هذا الأخير.

جماعات الكذب

من الحقائق العامة حول مجموعات لي ، $فإن π 2 (G)$ يتلاشى دائمًا، و $π 3 (G)$ حر ( أبيلي حر ).

حزم المتجهات

$π 0 (K O)$ عبارة عن حزمة متجهة فوق $S 0$ ، تتكون من نقطتين. وبالتالي، فإن الحزمة تافهة فوق كل نقطة، وعدم تفاهتها هو الفرق بين أبعاد الفضاءات المتجهة فوق النقطتين، لذا فإن $π 0 (K O) = Z$ هو البعد .

مساحات دائرية

باستخدام أوصاف محددة لفضاءات الحلقات في دورية بوت ، يمكن تفسير التماثلات العليا لـ $O$ بدلالة تماثلات أبسط تحليلًا من رتبة أدنى. باستخدام π ₀ ، $فإن O$ و $O /U$ لهما مكونان، و $K O = B O \times Z$ و $K Sp = B Sp \times Z$ لهما عدد لا نهائي من المكونات، أما البقية فهي متصلة.

تفسير مجموعات التماثل

باختصار: ^{[ 6 ]}

$π 0 (K O) = Z$ هو حول البعد
$π 1 (K O) = Z / 2 Z$ يتعلق بالاتجاه
$π² (KO) = Z /2، حيث Z$ يتعلق بالدوران المغزلي
$π 4 (K O) = Z$ يتعلق بنظرية المجال الكمومي الطوبولوجي .

ليكن $R$ أيًا من جبر القسمة الأربعة $R$ و $C$ و $H$ و $O$ ، وليكن $L R$ حزمة الخط التكرارية فوق الخط الإسقاطي $R P1 $ ، وليكن $[L R]$ فئته في نظرية K. وبملاحظة أن $R P1 = S 1$ و $C P1 = S 2$ و $H P1 = S 4$ و $O P1 = S 8$ ، فإن هذه الحزم تُنتج حزمًا متجهة فوق الكرات المناظرة، و

يتم توليد $π$ $1$ $($ $K$ $O) بواسطة$ $[L R]$
يتم توليد $π$ $2$ $($ $K$ $O) بواسطة$ $[L C]$
يتم توليد $π$ $4$ $($ $K$ $O) بواسطة$ $[L H]$
يتم توليد $π$ $8$ $($ $K$ $O) بواسطة$ $[L O]$

من وجهة نظر الهندسة التبسيطية ، يمكن تفسير $π 0 (K O) ≅ π 8 (K O) = Z$ على أنه مؤشر ماسلوف ، مع اعتباره المجموعة الأساسية $π 1 (U/O)$ لـ Lagrangian Grassmannian المستقر حيث $U/O ≅ Ω 7 (K O)$ ، لذا فإن $π 1 (U/O) = π 1+7 (K O)$ .

برج وايتهيد

تُشكّل المجموعة المتعامدة أساسًا لبرج وايتهيد :

\cdots \rightarrow \operatorname {Fivebrane} (n)\rightarrow \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)\rightarrow \operatorname {O} (n)

يتم الحصول على هذه المجموعة عن طريق إزالة مجموعات التماثل المتتالية ذات الرتب المتزايدة. ويتم ذلك بإنشاء متواليات تامة قصيرة تبدأ بفضاء إيلنبرغ-ماكلين لمجموعة التماثل المراد إزالتها. تتكون العناصر القليلة الأولى في هذه المتوالية من مجموعة الدوران ومجموعة الأوتار ، وتسبقها مجموعة الأغشية الخماسية . أما مجموعات التماثل التي تُزال بدورها فهي $π₀$ ( O ) للحصول على SO من O ، $وπ₁$ ₍ O ) للحصول على Spin من SO ، _و $π₃$ ( O ) للحصول على String من Spin ، ثم $π₇$ ( _O) وهكذا للحصول على الأغشية ذات _الرتب الأعلى .

ذات شكل تربيعي غير محدد على الأعداد الحقيقية

في فضاء الأعداد الحقيقية، تُصنَّف الأشكال التربيعية غير المنحلة وفقًا لقانون سيلفستر للقصور الذاتي ، الذي ينص على أنه في فضاء متجهي ذي بُعد $n$ ، يمكن كتابة هذا الشكل على أنه الفرق بين مجموع مربعات $p$ ومجموع مربعات $q ، حيث$ $p + q = n$ . بعبارة أخرى، يوجد أساس تكون فيه مصفوفة الشكل التربيعي مصفوفة قطرية ، عناصرها $p$ تساوي $1$ ، وعناصرها $q$ تساوي $-1$ . يُسمى الزوج $(p, q) بالقصور$ الذاتي ، وهو ثابت للشكل التربيعي، بمعنى أنه لا يعتمد على طريقة حساب المصفوفة القطرية.

تعتمد المجموعة المتعامدة للصيغة التربيعية على القصور الذاتي فقط، ولذلك يُرمز لها عمومًا بـ $O(p, q)$ . علاوة على ذلك، بما أن الصيغة التربيعية ومعكوسها لهما نفس المجموعة المتعامدة، فإن $O(p, q) = O(q, p)$ .

المجموعة المتعامدة القياسية هي $O(n) = O(n, 0) = O(0, n)$ . لذا، في بقية هذا القسم، يُفترض أن $p$ و $q$ ليسا صفرًا.

يُرمز إلى المجموعة الجزئية لمصفوفات المحدد 1 في $O(p, q)$ بالرمز $SO(p, q)$ . تحتوي المجموعة $O(p, q)$ على أربعة مكونات متصلة، وذلك بحسب ما إذا كان العنصر يحتفظ بالاتجاه على أي من الفضاءين الجزئيين الأقصى حيث تكون الصيغة التربيعية موجبة التحديد أو سالبة التحديد. يُرمز إلى مكون عنصر الوحدة، الذي تحتفظ عناصره بالاتجاه على كلا الفضاءين الجزئيين، بالرمز $SO + (p, q)$ .

المجموعة $O(3, 1)$ هي مجموعة لورنتز الأساسية في نظرية النسبية . هنا، يشير الرقم $3$ إلى إحداثيات المكان، بينما يشير $الرقم 1$ إلى إحداثيات الزمن.

من الأشكال التربيعية المعقدة

في حقل الأعداد المركبة C $،$ كل شكل تربيعي غير منحل في $n$ متغيرًا يكافئ $x₁²$ $+ ... +$ $xₙ²$ . وبالتالي، حتى التشاكل، يوجد فضاء تربيعي مركب غير منحل واحد فقط $ذو$ $بُعد$ n ، $ومجموعة$ متعامدة واحدة مرتبطة به، ويُرمز لها عادةً بـ $O$ $($ $n$ $,$ $C$ $)$ . وهي مجموعة المصفوفات المتعامدة المركبة ، أي المصفوفات المركبة التي يكون حاصل ضربها في $منقولتها$ هو مصفوفة الوحدة.

كما هو الحال في الواقع، $فإن O(n, C)$ لها مكونان متصلان. يتكون مكون الوحدة من جميع المصفوفات ذات المحدد $1$ في $O(n, C)$ ؛ ويرمز له بـ $SO(n, C)$ .

المجموعتان $O(n, C)$ و $SO(n, C)$ هما مجموعتا لي معقدتان، بُعدهما $n (n -1)/2$ على $C$ (بُعدهما على $R$ ضعف ذلك). بالنسبة لـ $n \geq 2$ ، تكون هاتان المجموعتان غير متراصتين. وكما هو الحال في الأعداد الحقيقية، $فإن SO(n, C)$ ليست متصلة ببساطة: فعندما $n > 2$ ، تكون المجموعة الأساسية لـ $SO(n, C)$ دورية من الرتبة 2 ، بينما تكون المجموعة الأساسية لـ $SO(2, C)$ هي $Z.$

على الحقول المنتهية

الخاصية تختلف عن اثنين

في حقل ذي خاصية مختلفة عن اثنين، يكون شكلان تربيعيان متكافئين إذا كانت مصفوفاتهما متطابقة ، أي إذا أدى تغيير الأساس إلى تحويل مصفوفة الشكل الأول إلى مصفوفة الشكل الثاني. ومن الواضح أن الشكلين التربيعيين المتكافئين لهما نفس المجموعة المتعامدة.

يتم تصنيف الأشكال التربيعية غير المنحلة على حقل محدود ذي خاصية مختلفة عن اثنين بشكل كامل إلى فئات تطابق، وينتج عن هذا التصنيف وجود مجموعة متعامدة واحدة فقط في البعد الفردي واثنتين في البعد الزوجي.

وبشكل أدق، تنص نظرية ويت للتحليل على أنه (في خاصية مختلفة عن اثنين) يمكن تحليل كل فضاء متجهي مزود بصيغة تربيعية غير متدهورة $Q$ إلى مجموع مباشر لفضاءات فرعية متعامدة مثنى مثنى.

V=L_{1}\oplus L_{2}\oplus \cdots \oplus L_{m}\oplus W,

حيث يمثل كل $L i$ مستوى زائدي (أي أن هناك أساسًا بحيث تكون مصفوفة تقييد $Q$ على $L i$ على الشكل التالي ) $\textstyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$ ), وتقييد $Q$ إلى $W$ هو غير متجانس (أي أن $Q (w) \neq 0$ لكل $w$ غير صفري في $W$ ).

تنص نظرية شيڤالي-وارنينغ على أنه، على حقل منتهٍ ، يكون بُعد $W$ على الأكثر اثنين.

إذا كان بُعد $V$ فرديًا، فإن بُعد $W$ يساوي واحدًا، وتكون مصفوفته متطابقة إما مع $\textstyle {\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}$ أو إلى $\textstyle {\begin{bmatrix}\varphi \end{bmatrix}},$ حيث $𝜑$ عدد قياسي غير مربع. وينتج عن ذلك وجود زمرة متعامدة واحدة فقط يُرمز لها بـ $O(2 n + 1, q)$ ، حيث $q$ هو عدد عناصر الحقل المنتهي (قوة لعدد أولي فردي). ^{[ 7 ]}

إذا كان بُعد المصفوفة $W$ اثنين، وكان $-1$ ليس مربعًا في الحقل الأساسي (أي إذا كان عدد عناصرها $q$ يساوي 3 بتردد 4)، فإن مصفوفة تقييد $Q$ على $W$ تكون متطابقة إما مع $I$ أو $-I ،$ حيث $I$ هي مصفوفة الوحدة 2×2. وإذا كان بُعد $W$ اثنين، وكان $-1$ مربعًا في الحقل الأساسي (أي إذا كان $q$ يساوي 1 بتردد 4)، فإن مصفوفة تقييد $Q$ على $W$ تكون متطابقة مع $\textstyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&\varphi \end{bmatrix}},$ $φ$ هو أي عدد قياسي غير مربع.

هذا يعني أنه إذا كان بُعد $V$ زوجيًا، فلا يوجد سوى مجموعتين متعامدتين، اعتمادًا على ما إذا كان بُعد $W$ صفرًا أو اثنين. ويُرمز إليهما على التوالي $بـ$ $O + (2n, q)$ و $O- (2n, q)$ . ^{[ 7 ]}

المجموعة المتعامدة $O ε (2, q)$ هي مجموعة ثنائية السطوح من الرتبة $2(q - ε)$ ، حيث $ε = \pm$ .

دليل

لدراسة المجموعة المتعامدة $O ε (2, q)$ ، يمكن افتراض أن مصفوفة الشكل التربيعي هي $Q={\begin{bmatrix}1&0\\0&-\omega \end{bmatrix}},$ لأنه، عند إعطاء شكل تربيعي، يوجد أساس تكون فيه مصفوفته قابلة للتقطير. مصفوفة $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ ينتمي إلى المجموعة المتعامدة إذا كان $AQA$ $T = Q$ ، أي أن $a²$ $- ωb² = 1$ ، و $ac$ $- ωbd = 0$ ، و $c² - ωd² = -ω .$ بما أن $a$ و $b$ لا يمكن أن يكونا صفرًا معًا (بسبب المعادلة الأولى)، فإن المعادلة الثانية تستلزم وجود $ε$ في $F q$ ، بحيث يكون $c = εωb$ و $d = εa$ . وبوضع هذه القيم في المعادلة الثالثة، وباستخدام المعادلة الأولى، نحصل على أن $ε² = 1$ ، وبالتالي تتكون المجموعة المتعامدة من المصفوفات $.$

{\begin{bmatrix}a&b\\\varepsilon \omega b&\varepsilon a\end{bmatrix}},

حيث $a² - ωb² = 1$ و $ε = \pm1 . علاوة$ $على$ ذلك، فإن محدد المصفوفة هو $ε$ .

لمزيد من دراسة المجموعة المتعامدة، من الملائم إدخال الجذر التربيعي $α$ لـ $ω$ . ينتمي هذا الجذر التربيعي إلى $F q$ إذا كانت المجموعة المتعامدة هي $O + (2, q)$ ، وإلى $F q 2$ فيما عدا ذلك. بوضع $x = a + αb$ و $y = a - αb$ ، نحصل على

xy=1,\qquad a={\frac {x+y}{2}}\qquad b={\frac {x-y}{2\alpha }}.

لو $A_{1}={\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}\\\omega b_{1}&a_{1}\end{bmatrix}}$ و $A_{2}={\begin{bmatrix}a_{2}&b_{2}\\\omega b_{2}&a_{2}\end{bmatrix}}$ إذا كانت لدينا مصفوفتان محددتان بمعامل واحد في المجموعة المتعامدة، فإن

A_{1}A_{2}={\begin{bmatrix}a_{1}a_{2}+\omega b_{1}b_{2}&a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}\\\omega b_{1}a_{2}+\omega a_{1}b_{2}&\omega b_{1}b_{2}+a_{1}a_{1}\end{bmatrix}}.

هذه مصفوفة متعامدة ${\begin{bmatrix}a&b\\\omega b&a\end{bmatrix}},$ حيث $a = a₁a₂ + ωb₁b₂$ ، و $b = a₁b₂ +$ $b₁a₂$ $.$ $وبالتالي$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$

a+\alpha b=(a_{1}+\alpha b_{1})(a_{2}+\alpha b_{2}).

ويترتب على ذلك أن الخريطة $(a, b) \mapsto a + αb$ هي تشاكل لمجموعة المصفوفات المتعامدة ذات المحدد واحد إلى المجموعة الضربية لـ $F q 2$ .

في حالة $O + (2 n, q)$ ، تكون الصورة هي المجموعة الضربية لـ $F q$ ، وهي مجموعة دورية من الرتبة $q$ .

في حالة $O - (2 n, q)$ ، يكون المتغيران $x$ و $y$ مترافقين ، وبالتالي فهما صورة لبعضهما البعض وفقًا لتشاكل فروبينيوس . هذا يعني أن $y=x^{-1}=x^{q},$ وبالتالي، فإن $x q +1 = 1.$ لكل قيمة من قيم $x$ هذه ، يمكن إعادة بناء مصفوفة متعامدة مقابلة. ويترتب على ذلك أن الخريطة $(a,b)\mapsto a+\alpha b$ هو تماثل زمر من المصفوفات المتعامدة ذات المحدد 1 إلى زمرة جذور الوحدة من الرتبة $(q + 1)$ . هذه الزمرة هي زمرة دورية من الرتبة $q$ $+ 1$ تتكون من قوى $g$ $q$ $-1$ ، حيث $g$ عنصر أولي من $F$ $q$ $2$ .

ولإتمام البرهان، يكفي التحقق من أن مجموعة جميع المصفوفات المتعامدة ليست تبديلية، وهي حاصل الضرب شبه المباشر للمجموعة ${1، -1}$ ومجموعة المصفوفات المتعامدة ذات المحدد واحد.

قد تكون مقارنة هذا البرهان بالحالة الحقيقية مفيدة.

هنا يوجد تماثلان بين مجموعتين:

{\begin{aligned}\mathbf {Z} /(q+1)\mathbf {Z} &\to T\\k&\mapsto g^{(q-1)k},\end{aligned}}

حيث $g$ هو عنصر أولي من $F q 2$ و $T$ هي المجموعة الضربية للعنصر ذي المعيار واحد في $F q 2$ ؛

{\begin{aligned}\mathbf {T} &\to \operatorname {SO} ^{+}(2,\mathbf {F} _{q})\\x&\mapsto {\begin{bmatrix}a&b\\\omega b&a\end{bmatrix}},\end{aligned}}

مع $a={\frac {x+x^{-1}}{2}}$ و $b={\frac {x-x^{-1}}{2\alpha }}.$

في الحالة الحقيقية، تكون التشاكلات المقابلة هي:

{\begin{aligned}\mathbf {R} /2\pi \mathbf {R} &\to C\\\theta &\mapsto e^{i\theta },\end{aligned}}

حيث $C$ هي دائرة الأعداد المركبة ذات المعيار واحد؛

{\begin{aligned}\mathbf {C} &\to \operatorname {SO} (2,\mathbf {R} )\\x&\mapsto {\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}},\end{aligned}}

مع $\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$ و $\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}.$

عندما لا تكون الخاصية اثنين، يكون ترتيب المجموعات المتعامدة هو ^{[ 8 ]}

\left|\operatorname {O} (2n+1,q)\right|=2q^{n^{2}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right),

\left|\operatorname {O} ^{+}(2n,q)\right|=2q^{n(n-1)}\left(q^{n}-1\right)\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right),

\left|\operatorname {O} ^{-}(2n,q)\right|=2q^{n(n-1)}\left(q^{n}+1\right)\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right).

في الخاصية الثانية، تكون الصيغ هي نفسها، باستثناء أنه يجب إزالة العامل $2$ من $| O(2 n + 1, q) | .$

ثابت ديكسون

بالنسبة للمجموعات المتعامدة، فإن ثابت ديكسون هو تشاكل من المجموعة المتعامدة إلى مجموعة القسمة $Z / 2 Z$ (الأعداد الصحيحة بتردد 2)، ويأخذ القيمة $0$ إذا كان العنصر ناتجًا عن عدد زوجي من الانعكاسات، والقيمة 1 خلاف ذلك. ^{[ 9 ]}

جبريًا، يُمكن تعريف ثابت ديكسون على النحو التالي: $D (f) = rank(I - f) modulo 2$ ، حيث $I$ هي عنصر الوحدة ( تايلور 1992 ، النظرية 11.43) . في الحقول التي لا تمتلك خاصية 2، يكون ثابت ديكسون مكافئًا للمحدد: المحدد يساوي $-1$ مرفوعًا لقوة ثابت ديكسون. أما في الحقول التي تمتلك خاصية 2، فإن المحدد يساوي دائمًا 1، لذا فإن ثابت ديكسون يُقدم معلومات أكثر من المحدد.

الزمرة المتعامدة الخاصة هي نواة ثابت ديكسون ^{[ 9 ]} ، وعادةً ما يكون دليلها 2 في $O(n, F)$ . ^{[ 10 ]} عندما لا تكون خاصية $F$ تساوي 2، يكون ثابت ديكسون $0$ عندما يكون المحدد $1.$ وبالتالي، عندما لا تكون الخاصية 2، تُعرَّف $SO(n, F)$ عادةً بأنها عناصر $O(n, F)$ التي يكون محددها $1.$ كل عنصر في $O(n, F)$ له محدد $\pm1$ . لذا، في الخاصية 2، يكون المحدد دائمًا $1$ .

يمكن أيضًا تعريف ثابت ديكسون لمجموعات كليفورد ومجموعات الدبوس بطريقة مماثلة (في جميع الأبعاد).

مجموعات متعامدة ذات خاصية 2

غالباً ما تُظهر المجموعات المتعامدة ذات الخاصية 2 سلوكيات مميزة، بعضها مُدرج في هذا القسم. (كانت هذه المجموعات تُعرف سابقاً باسم المجموعات شبه الأبيلية ، ولكن هذا المصطلح لم يعد يُستخدم).

تُولَّد أي زمرة متعامدة على أي حقل بواسطة الانعكاسات، باستثناء حالة فريدة يكون فيها الفضاء المتجهي رباعي الأبعاد على الحقل ذي عنصرين، ويكون دليل ويت 2. ^{[ 11 ]} للانعكاس في خاصية اثنين تعريف مختلف قليلاً. في خاصية اثنين، يأخذ الانعكاس المتعامد مع المتجه $u$ المتجه $v$ إلى $v + B (v, u)/ Q (u) \cdot u$ ، حيث $B$ هي الصيغة الثنائية الخطية و $Q$ هي الصيغة التربيعية المرتبطة بالهندسة المتعامدة. قارن هذا بانعكاس هاوسهولدر ذي الخاصية الفردية أو الخاصية الصفرية، والذي يأخذ $v$ إلى $v - 2 \cdot B (v, u)/ Q (u) \cdot u$ .
عادة ما يكون لمركز المجموعة المتعامدة رتبة 1 في الخاصية 2، بدلاً من 2، لأن $I = - I.$
في الأبعاد الفردية $2n + 1$ في خاصية 2، تكون الزمر المتعامدة على الحقول الكاملة مماثلة للزمر التبادلية في البعد $2n . في الواقع ، يكون الشكل المتناظر متناوبًا في الخاصية 2، ولأن البعد فردي$ $،$ فلا بد أن يكون له نواة ذات بُعد 1، ويكون ناتج القسمة على هذه النواة فضاءً تبادليًا ذا بُعد $2n ،$ تؤثر عليه الزمرة المتعامدة.
في الأبعاد الزوجية في الخاصية 2، تكون المجموعة المتعامدة مجموعة فرعية من المجموعة التبسيطية، لأن الشكل الثنائي الخطي المتناظر للشكل التربيعي هو أيضًا شكل متناوب.

معيار سبينور

معيار السبينور هو تشاكل من مجموعة متعامدة على حقل $F$ إلى مجموعة القسمة $F \times / (F \times) 2$ للفئات المربعة ( المجموعة الضربية للحقل $F$ حتى الضرب بالعناصر المربعة )، والذي يأخذ انعكاسًا في متجه ذي معيار $n$ إلى صورة $n$ في $F \times / (F \times) 2$ . ^{[ 12 ]}

بالنسبة للمجموعة المتعامدة المعتادة على الأعداد الحقيقية، فهي تافهة، ولكنها غالباً ما تكون غير تافهة على الحقول الأخرى، أو بالنسبة للمجموعة المتعامدة لشكل تربيعي على الأعداد الحقيقية غير موجب التحديد.

علم التماثل لغالوا والمجموعات المتعامدة

في نظرية تماثل غالوا للمجموعات الجبرية ، تُطرح بعض وجهات النظر الإضافية. ولها قيمة تفسيرية، لا سيما فيما يتعلق بنظرية الأشكال التربيعية؛ إلا أنها كانت في معظمها لاحقة لاكتشاف الظاهرة. النقطة الأولى هي أن الأشكال التربيعية على حقل ما يمكن تعريفها على أنها غالوا $H1 ،$ أو أشكال ملتوية ( torsors ) لمجموعة متعامدة. وبصفتها مجموعة جبرية، فإن المجموعة المتعامدة ليست متصلة ولا بسيطة الاتصال بشكل عام؛ وتُدخل النقطة الأخيرة ظاهرة الدوران، بينما ترتبط الأولى بالمحدد .

يمكن تفسير تسمية معيار السبينور بـ "السبين" من خلال ارتباطه بمجموعة السبين (أو بالأحرى مجموعة الدبابيس ). ويمكن الآن تفسير ذلك بسرعة باستخدام علم التماثل لغالوا (مع العلم أن هذا العلم ظهر بعد إدخال المصطلح باستخدام جبر كليفورد بشكل مباشر ). يوفر غطاء السبين للمجموعة المتعامدة متتالية دقيقة قصيرة من المجموعات الجبرية .

1\rightarrow \mu _{2}\rightarrow \mathrm {Pin} _{V}\rightarrow \mathrm {O_{V}} \rightarrow 1

هنا $، μ₂$ $هي$ المجموعة الجبرية للجذور التربيعية للعدد 1 ؛ وعلى حقل ذي خاصية لا تساوي 2، فهي تُشابه تقريبًا مجموعة ثنائية العناصر ذات فعل غالوا تافه. التشاكل الرابط من $H₀ (OₓV) ، وهي$ $ببساطة$ مجموعة $OₓV$ $($ $F$ $)$ للنقاط ذات القيم $في$ $F$ $،$ إلى $H₁ (μ₂) هو$ $في$ $جوهره$ معيار السبينور، لأن $H₁$ $(μ₂$ $)$ $متماثل$ مع المجموعة الضربية للحقل بتردد المربعات.

يوجد أيضًا تماثل الربط من $H1$ للمجموعة المتعامدة إلى $H2$ لنواة غطاء الدوران. علم التماثل غير تبديلي، لذا فهذا أقصى ما يمكننا الوصول إليه، على الأقل وفقًا للتعريفات $التقليدية$ $.$

جبر لي

يتألف جبر لي المقابل لمجموعتي لي $O(n, F)$ و $SO(n, F)$ من مصفوفات متناظرة معكوسة من الرتبة $n \times n$ ، حيث يُعطى قوس لي $[ , ]$ بواسطة المُبدِّل . يقابل جبر لي واحد كلتا المجموعتين، ويُرمز إليه غالبًا بـ ${\mathfrak {o}}(n,F)$ أو ${\mathfrak {so}}(n,F)$ وتُسمى هذه الجبريات جبر لي المتعامد أو جبر لي المتعامد الخاص . وعلى الأعداد الحقيقية، تُعد هذه الجبريات، بالنسبة لقيم $n$ المختلفة، الأشكال الحقيقية المدمجة لاثنين من العائلات الأربع لجبريات لي شبه البسيطة : في البعد الفردي $B k$ ، حيث $n = 2 k + 1$ ، بينما في البعد الزوجي $D r$ ، حيث $n = 2 r$ .

بما أن المجموعة $SO(n)$ ليست متصلة ببساطة، فإن نظرية تمثيل جبر لي المتعامد تشمل كلاً من التمثيلات المناظرة للتمثيلات العادية للمجموعات المتعامدة، والتمثيلات المناظرة للتمثيلات الإسقاطية للمجموعات المتعامدة. (التمثيلات الإسقاطية لـ $SO(n)$ هي ببساطة تمثيلات خطية للغطاء الشامل، أي مجموعة الدوران Spin( n )). هذه الأخيرة هي ما يُسمى بتمثيل الدوران ، وهي ذات أهمية في الفيزياء.

بشكل أعم، بالنظر إلى فضاء متجهي $V$ (على حقل ذي خاصية لا تساوي 2) مع شكل ثنائي خطي متناظر غير منحل $\langle u,v\rangle$ ، يتكون جبر لي المتعامد الخاص من تشاكلات داخلية خالية من الآثار $\varphi$ وهي متناظرة بشكل معكوس لهذا الشكل ( $\langle \varphi A,B\rangle =-\langle A,\varphi B\rangle$ ). على حقل ذي خاصية 2، نعتبر بدلاً من ذلك التشاكلات الداخلية المتناوبة. وبشكل ملموس، يمكننا مساواة هذه التشاكلات بالمتجهات الثنائية للجبر الخارجي ، والموترات المتناظرة المضادة لـ $\wedge ^{2}V$ يتم تحديد المراسلات من خلال:

v\wedge w\mapsto \langle v,\cdot \rangle w-\langle w,\cdot \rangle v

ينطبق هذا الوصف بالتساوي على جبر لي المتعامد الخاص غير المحدد ${\mathfrak {so}}(p,q)$ بالنسبة للأشكال الثنائية الخطية المتناظرة ذات التوقيع $(p, q)$ .

بالنسبة للأعداد الحقيقية، يتم استخدام هذا التوصيف في تفسير التفاف حقل متجه (بطبيعة الحال متجه ثنائي) على أنه دوران متناهي الصغر أو "الالتفاف"، ومن هنا جاء الاسم.

المجموعات ذات الصلة

تحتوي المجموعات المتعامدة والمجموعات المتعامدة الخاصة على عدد من المجموعات الفرعية والمجموعات الفائقة ومجموعات القسمة والمجموعات المغطية المهمة. ترد هذه المجموعات أدناه.

تُعتبر التضمينات $O(n) \subset U(n) \subset USp(2 n)$ و $USp(n) \subset U(n) \subset O(2 n)$ جزءًا من سلسلة من 8 تضمينات مستخدمة في برهان هندسي لنظرية بوت الدورية ، والفضاءات الناتجة المقابلة هي فضاءات متناظرة ذات أهمية مستقلة - على سبيل المثال، $U(n)/O(n)$ هو لاغرانجيان غراسمانيان .

مجموعات فرعية من الأكاذيب

في الفيزياء، وخاصة في مجال تكثيف كالوزا-كلاين ، من المهم تحديد المجموعات الفرعية للمجموعة المتعامدة. وأهمها ما يلي:

\mathrm {O} (n)\supset \mathrm {O} (n-1)

- الحفاظ على محور

\mathrm {O} (2n)\supset \mathrm {U} (n)\supset \mathrm {SU} (n)

–

U(n)

هي تلك التي تحافظ على بنية معقدة متوافقة أو بنية تماثلية متوافقة – انظر خاصية 2 من 3 ؛

SU(n)

تحافظ أيضًا على اتجاه معقد.

\mathrm {O} (2n)\supset \mathrm {USp} (n)

\mathrm {O} (7)\supset \mathrm {G} _{2}

فرق موسيقية رائعة

تُعد المجموعة المتعامدة $O(n)$ أيضًا مجموعة فرعية مهمة من مجموعات لي المختلفة:

{\begin{aligned}\mathrm {U} (n)&\supset \mathrm {O} (n)\\\mathrm {USp} (2n)&\supset \mathrm {O} (n)\\\mathrm {G} _{2}&\supset \mathrm {O} (3)\\\mathrm {F} _{4}&\supset \mathrm {O} (9)\\\mathrm {E} _{6}&\supset \mathrm {O} (10)\\\mathrm {E} _{7}&\supset \mathrm {O} (12)\\\mathrm {E} _{8}&\supset \mathrm {O} (16)\end{aligned}}

مجموعة مطابقة

باعتبارها تحويلات متساوية القياس ، تحافظ التحويلات المتعامدة الحقيقية على الزوايا ، وبالتالي فهي تحويلات مطابقة ، مع العلم أن ليس كل التحويلات الخطية المطابقة متعامدة. في المصطلحات الكلاسيكية، هذا هو الفرق بين التطابق والتشابه ، كما يتضح من تطابق المثلثات من نوع SSS (ضلع-ضلع-ضلع) وتشابهها من نوع AAA (زاوية-زاوية-زاوية) . يُرمز إلى مجموعة التحويلات الخطية المطابقة في $Rⁿ$ بالرمز $CO($ $n$ $)$ $،$ وهي اختصار لمجموعة التحويلات المتعامدة المطابقة ، وتتكون من حاصل ضرب المجموعة المتعامدة في مجموعة التمددات . إذا كان $n$ فرديًا، فإن هاتين المجموعتين الفرعيتين لا تتقاطعان، وهما حاصل ضرب مباشر : $CO(2$ $k$ $+ 1) = O(2$ $k$ $+ 1) \times$ $R$ $*$ ، حيث $R$ $*$ $=$ $R$ $∖{0$ } هي المجموعة الضربية الحقيقية ، بينما إذا كان $n$ زوجيًا، فإن هاتين المجموعتين الفرعيتين تتقاطعان في $\pm1$ ، لذلك فهذا ليس حاصل ضرب مباشر، ولكنه حاصل ضرب مباشر مع المجموعة الفرعية للتمدد بواسطة عدد قياسي موجب: $CO(2$ $k$ $) = O(2$ $k$ $) \times$ $R$ $+$ .

وبالمثل، يمكن تعريف $CSO(n)$ ؛ وهذا دائمًا: $CSO(n) = CO(n) \cap GL + (n) = SO(n) \times R +$ .

مجموعات فرعية منفصلة

بما أن المجموعة المتعامدة متراصة، فإن المجموعات الجزئية المنفصلة تُكافئ المجموعات الجزئية المنتهية. ^{[ ملاحظة ٢ ]} تُعرف هذه المجموعات الجزئية باسم مجموعات النقاط ، ويمكن تمثيلها كمجموعات تناظر للمضلعات . ومن أهم الأمثلة على ذلك مجموعات كوكسيتر المنتهية ، والتي تشمل مجموعات تناظر المضلعات المنتظمة .

يُدرس البُعد الثالث بشكل خاص – انظر مجموعات النقاط في ثلاثة أبعاد ، والمجموعات متعددة السطوح ، وقائمة مجموعات التناظر الكروي . في بُعدين، تكون المجموعات المنتهية إما دورية أو ثنائية السطوح – انظر مجموعات النقاط في بُعدين .

تشمل المجموعات الفرعية المحدودة الأخرى ما يلي:

مصفوفات التبديل ( مجموعة كوكسيتر $A n$ )
مصفوفات التبديل الموقعة ( مجموعة كوكسيتر $B n$ )؛ تساوي أيضًا تقاطع المجموعة المتعامدة مع مصفوفات الأعداد الصحيحة . ^{[ ملاحظة 3 ]}

مجموعات التغطية والقسمة

المجموعة المتعامدة ليست متصلة ببساطة ولا بلا مركز ، وبالتالي فهي تحتوي على مجموعة تغطية ومجموعة قسمة ، على التوالي:

مجموعتان تغطيان Pin ، $Pin + (n) \to O(n)$ و $Pin - (n) \to O(n)$ ،
المجموعة المتعامدة الإسقاطية خارج القسمة ، $O(n) \to PO(n)$ .

جميع هذه الأغلفة بنسبة 2 إلى 1.

بالنسبة للمجموعة المتعامدة الخاصة، فإن المجموعات المقابلة هي:

مجموعة الدوران ، $الدوران (ن) \to الدوران المداري (ن)$ ،
المجموعة المتعامدة الخاصة الإسقاطية ، $SO(n) \to PSO(n)$ .

تُعدّ Spin غطاءً ثنائيًا من نوع 2 إلى 1، بينما في البُعد الزوجي، تُعدّ $PSO(2k)$ غطاءً ثنائيًا من نوع 2 إلى 1، وفي البُعد الفردي، تُعدّ $PSO(2k + 1)$ غطاءً أحاديًا من نوع 1 إلى 1؛ أي أنها متماثلة مع $SO(2k + 1)$ . هذه المجموعات، $Spin(n)$ و $SO(n)$ و $PSO(n)،$ هي أشكال زمر لي لجبر لي المتعامد الخاص المضغوط . ${\mathfrak {so}}(n,\mathbf {R} )$ – $الدوران$ هو الشكل المتصل البسيط، بينما $PSO$ هو الشكل غير المركزي، و $SO$ ليس أيًا منهما بشكل عام. ^{[ ملاحظة 4 ]}

في البعد 3 وما فوق، تكون هذه هي الأغطية والنواتج، بينما البعد 2 وما دونه يكون متدهورًا إلى حد ما؛ انظر المقالات المحددة لمزيد من التفاصيل.

الفضاء المتجانس الرئيسي: متعدد الشعب ستيفل

الفضاء المتجانس الرئيسي للمجموعة المتعامدة $O(n)$ هو مشعب ستيفل $Vn (Rn) للقواعد$ المتعامدة $($ إطارات $n$ المتعامدة ) .

بمعنى آخر، يُشبه فضاء القواعد المتعامدة المجموعة المتعامدة، ولكن دون إمكانية اختيار نقطة أساسية: ففي فضاء متعامد، لا يوجد اختيار طبيعي لقاعدة متعامدة، ولكن بمجرد تحديد قاعدة، يكون هناك تناظر أحادي بين القواعد والمجموعة المتعامدة. وبالتحديد، تُحدد الدالة الخطية بالنقطة التي تُرسل إليها القاعدة: فكما يمكن للدالة العكسية أن تنقل أي قاعدة إلى أي قاعدة أخرى، يمكن للدالة المتعامدة أن تنقل أي قاعدة متعامدة إلى أي قاعدة متعامدة أخرى .

لا تزال مشعبات ستيفل الأخرى $V k (R n)$ لـ $k < n$ من القواعد المتعامدة غير الكاملة (إطارات $k$ المتعامدة ) فضاءات متجانسة للمجموعة المتعامدة، ولكنها ليست فضاءات متجانسة رئيسية : يمكن نقل أي إطار $k إلى أي إطار$ $k$ آخر بواسطة خريطة متعامدة، ولكن هذه الخريطة ليست محددة بشكل فريد.

انظر أيضاً

تحويلات محددة

مجموعات محددة

مجموعة الدوران، $SO(3، R)$
$SO(8)$

المجموعات ذات الصلة

قوائم المجموعات

نظرية التمثيل

ملحوظات

↑ بالنسبة للحقول الأساسية ذات الخاصية غير 2، فإن التعريف من حيث الشكل الثنائي الخطي المتناظر يكافئ التعريف من حيث الشكل التربيعي ، ولكن في الخاصية 2 تختلف هذه المفاهيم.
↑ المجموعات الجزئية اللانهائية من فضاء مضغوط لها نقطة تراكم وليست منفصلة.
↑ $O(n) \cap GL (n, Z)$ يساوي مصفوفات التبديل الموقعة لأن متجه عدد صحيح ذو معيار 1 يجب أن يحتوي على مدخل واحد غير صفري، والذي يجب أن يكون $\pm1$ (إذا كان يحتوي على مدخلين غير صفريين أو مدخل أكبر، فسيكون المعيار أكبر من 1)، وفي المصفوفة المتعامدة يجب أن تكون هذه المدخلات في إحداثيات مختلفة، وهو بالضبط مصفوفات التبديل الموقعة.
↑ في البعد الفردي، $يكون SO(2 k + 1) ≅ PSO(2 k + 1)$ بلا مركز (ولكنه ليس متصلاً ببساطة)، بينما في البعد الزوجي $يكون SO(2 k)$ ليس بلا مركز ولا متصلاً ببساطة.

الاقتباسات

↑ F. Gantmacher، نظرية المصفوفات ، المجلد 1، تشيلسي، 1959، ص 285.
↑ سيرج لانغ، الجبر الخطي ، الطبعة الثالثة، سبرينغر، 1987، ص 230.
↑ هول 2015 نظرية 11.2
↑ هول 2015 القسم 1.3.4
↑ هول 2015 اقتراح 13.10
↑ بايز، جون . "الأسبوع 105" . اكتشافات هذا الأسبوع في الفيزياء الرياضية . تم الاسترجاع في 1 فبراير 2023 .
1 2 ويلسون، روبرت أ. (2009). الزمر البسيطة المنتهية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 251. لندن: سبرينغر. الصفحات 69-75 . ISBN 978-1-84800-987-5. Zbl 1203.20012 .
↑ ( تايلور 1992 ، ص 141)
1 2 كنوس، ماكس ألبرت (1991)، الأشكال التربيعية والهرميتية على الحلقات ، Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften، المجلد. 294، برلين الخ.: Springer-Verlag ، ص. 224، ردمك 3-540-52117-8، Zbl 0756.11008
↑ ( تايلور 1992 ، صفحة 160)
↑ ( Grove 2002 ، النظرية 6.6 و14.16)
↑ كاسيلز 1978 ، ص 178

مراجع

كاسيلز، جيه دبليو إس (1978)، الأشكال التربيعية النسبية ، سلسلة دراسات الجمعية الرياضية بلندن، المجلد 13، دار النشر الأكاديمية ، رقم ISBN 0-12-163260-1، Zbl 0395.10029
غروف، لاري سي. (2002)، المجموعات الكلاسيكية والجبر الهندسي ، دراسات عليا في الرياضيات ، المجلد 39، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 978-0-8218-2019-3MR 1859189
هول، برايان سي. (2015)، زمر لي، وجبر لي، والتمثيلات: مقدمة تمهيدية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 222 (الطبعة الثانية )، سبرينغر، ISBN 978-3319134666
تايلور، دونالد إي. (1992)، هندسة المجموعات الكلاسيكية ، سلسلة سيجما في الرياضيات البحتة، المجلد 9، برلين: دار نشر هيلدرمان، ISBN 3-88538-009-9، MR 1189139 ، Zbl 0767.20001

روابط خارجية

[1] بالنسبة للحقول الأساسية ذات الخاصية غير 2، فإن التعريف من حيث الشكل الثنائي الخطي المتناظر يكافئ التعريف من حيث الشكل التربيعي ، ولكن في الخاصية 2 تختلف هذه المفاهيم.

[14] المجموعات الجزئية اللانهائية من فضاء مضغوط لها نقطة تراكم وليست منفصلة.

[15] $O(n) \cap GL (n, Z)$ يساوي مصفوفات التبديل الموقعة لأن متجه عدد صحيح ذو معيار 1 يجب أن يحتوي على مدخل واحد غير صفري، والذي يجب أن يكون $\pm1$ (إذا كان يحتوي على مدخلين غير صفريين أو مدخل أكبر، فسيكون المعيار أكبر من 1)، وفي المصفوفة المتعامدة يجب أن تكون هذه المدخلات في إحداثيات مختلفة، وهو بالضبط مصفوفات التبديل الموقعة.

[16] في البعد الفردي، $يكون SO(2 k + 1) ≅ PSO(2 k + 1)$ بلا مركز (ولكنه ليس متصلاً ببساطة)، بينما في البعد الزوجي $يكون SO(2 k)$ ليس بلا مركز ولا متصلاً ببساطة.

[2] F. Gantmacher، نظرية المصفوفات ، المجلد 1، تشيلسي، 1959، ص 285.

[3] سيرج لانغ، الجبر الخطي ، الطبعة الثالثة، سبرينغر، 1987، ص 230.

[4] هول 2015 نظرية 11.2

[5] هول 2015 القسم 1.3.4

[6] هول 2015 اقتراح 13.10

[7] بايز، جون . "الأسبوع 105" . اكتشافات هذا الأسبوع في الفيزياء الرياضية . تم الاسترجاع في 1 فبراير 2023 .

[Wil6975-8] 1 2 ويلسون، روبرت أ. (2009). الزمر البسيطة المنتهية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 251. لندن: سبرينغر. الصفحات 69-75 . ISBN 978-1-84800-987-5. Zbl 1203.20012 .

[9] ( تايلور 1992 ، ص 141)

[Knus224-10] 1 2 كنوس، ماكس ألبرت (1991)، الأشكال التربيعية والهرميتية على الحلقات ، Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften، المجلد. 294، برلين الخ.: Springer-Verlag ، ص. 224، ردمك 3-540-52117-8، Zbl 0756.11008

[11] ( تايلور 1992 ، صفحة 160)

[12] ( Grove 2002 ، النظرية 6.6 و14.16)

[C178-13] كاسيلز 1978 ، ص 178

[ ملاحظة 1 ]

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

يتمتع SO (

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ ملاحظة ٢ ]

[ ملاحظة 3 ]

[ ملاحظة 4 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗