حلقة نوثيرية

في الرياضيات ، الحلقة النويثرية هي حلقة تحقق شرط السلسلة التصاعدية على المُثُل اليسرى واليمنى . إذا تحقق شرط السلسلة فقط على المُثُل اليسرى أو على المُثُل اليمنى، فإن الحلقة تُسمى نويثرية يسارية أو نويثرية يمينية على التوالي. رسميًا، كل متتالية متزايدة${\displaystyle I_{1}\subseteq I_{2}\subseteq I_{3}\subseteq \cdots }$للأفكار اليسارية (أو اليمينية) عنصر أكبر؛ أي أنه يوجد${\displaystyle n}$بحيث ${\displaystyle I_{n}=I_{n+1}=\cdots .}$

بصورة مكافئة، تكون الحلقة نوثرية يسارية (أو نوثرية يمينية) إذا كان كل مثالي يساري (أو مثالي يميني) مولدًا توليدًا نهائيًا . وتكون الحلقة نوثرية إذا كانت نوثرية يسارية ويمينية في آن واحد.

تعتبر الحلقات النويثرية أساسية في كل من نظرية الحلقات التبادلية وغير التبادلية ، حيث أن العديد من الحلقات التي يتم مواجهتها في الرياضيات هي حلقات نويثرية (على وجه الخصوص حلقة الأعداد الصحيحة ، وحلقات كثيرات الحدود ، وحلقات الأعداد الصحيحة الجبرية في حقول الأعداد )، وتعتمد العديد من النظريات العامة حول الحلقات بشكل كبير على خاصية النويثرية (على سبيل المثال، نظرية لاسكر-نويثر ونظرية كرول للتقاطع ).

سميت الحلقات النويثرية على اسم إيمي نوثر ، ولكن تم إدراك أهمية المفهوم في وقت سابق من قبل ديفيد هيلبرت ، من خلال إثبات نظرية هيلبرت الأساسية (التي تؤكد أن الحلقات متعددة الحدود هي نويثرية) ونظرية هيلبرت للاقتران .

بالنسبة للحلقات غير التبادلية ، من الضروري التمييز بين ثلاثة مفاهيم متشابهة للغاية:

• تكون الحلقة يسارية-نوثرية إذا كانت تحقق شرط السلسلة الصاعدة على المُثُل اليسارية.
• تكون الحلقة صحيحة-نوثرية إذا كانت تحقق شرط السلسلة الصاعدة على المُثُل الصحيحة.
• الحلقة تكون نوثرية إذا كانت نوثرية يسارية ويمينية.

بالنسبة للحلقات التبديلية ، تتطابق المفاهيم الثلاثة، لكنها تختلف عمومًا. فهناك حلقات نوثرية يسارية وليست نوثرية يمينية، والعكس صحيح.

توجد تعريفات أخرى مكافئة للحلقة R لتكون نوثرية يسارية:

• كل مثالي أيسر I في R مولد بشكل نهائي ، أي توجد عناصر${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$في أنا بحيث${\displaystyle I=Ra_{1}+\cdots +Ra_{n}}$[ ^{1 ]​}
• كل مجموعة غير فارغة من المثاليّات اليسرى لـ R ، مرتبة جزئيًا حسب الاحتواء، تحتوي على عنصر أقصى . ^{[ 1 ]}

تنطبق نتائج مماثلة على الحلقات اليمينية النوثرية.

الشرط التالي هو أيضًا شرط مكافئ لكي تكون الحلقة R من اليسار-نوثرية وهو صياغة هيلبرت الأصلية: ^{[ 2 ]}

• بالنظر إلى متتالية${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }$من العناصر في R ، يوجد عدد صحيح${\displaystyle n}$بحيث يكون كل${\displaystyle f_{i}}$هو تركيبة خطية منتهية${\textstyle f_{i}=\sum _{j=1}^{n}r_{j}f_{j}}$بمعاملات${\displaystyle r_{j}}$في لغة البرمجة R.

لكي تكون الحلقة التبديلية نوثرية، يكفي أن يكون كل مثالي أولي فيها مولدًا توليدًا نهائيًا. ^{[ 3 ]} مع ذلك، لا يكفي أن تكون جميع المثاليّات القصوى مولدة توليدًا نهائيًا، إذ توجد حلقة محلية غير نوثرية يكون مثاليها الأقصى رئيسيًا (انظر مثالًا مضادًا لنظرية كرول للتقاطع في الحلقة المحلية#الحالة التبديلية ).

• إذا كانت R حلقة نوثرية، فإن حلقة كثيرات الحدود${\displaystyle R[X]}$هي نوثرية بحسب نظرية أساس هيلبرت . بالاستقراء ،${\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$هو حلقة نوثرية. كذلك، فإن R [[ X ]] ، حلقة سلسلة القوى ، هي حلقة نوثرية.
• إذا كانت R حلقة نوثرية و I مثاليًا ثنائي الجانب، فإن حلقة القسمة R / I هي أيضًا حلقة نوثرية. بعبارة أخرى، صورة أي تشاكل حلقي لحلقة نوثرية هي صورة حلقة نوثرية.
• كل جبر تبديلي مولد بشكل منتهٍ فوق حلقة نوثرية تبديلية هو نوثرية. (هذا يتبع من الخاصيتين السابقتين.)
• تكون الحلقة R من اليسار-نوثيرية إذا وفقط إذا كان كل وحدة نمطية R- يسارية مولدة بشكل نهائي هي وحدة نمطية نوثيرية .
• إذا كانت الحلقة التبديلية تقبل وحدة نوثرية أمينة عليها، فإن الحلقة تكون حلقة نوثرية. ^{[ 4 ]}
• ( إيكين-ناجاتا ) إذا كانت الحلقة A حلقة فرعية من حلقة نوثرية تبديلية B بحيث تكون B وحدة مولدة نهائياً على A ، فإن A هي حلقة نوثرية. ^{[ 5 ]}
• وبالمثل، إذا كانت الحلقة A حلقة فرعية من حلقة نوثرية تبديلية B بحيث تكون B مسطحة بأمانة على A (أو بشكل عام تُظهر A كحلقة فرعية نقية )، فإن A هي حلقة نوثرية (انظر مقالة "مسطحة بأمانة" للاستدلال).
• كل موضع لحلقة نوثرية تبادلية هو نوثرية.
• من نتائج نظرية أكيزوكي-هوبكنز-ليفيتزكي أن كل حلقة أرتينية يسارية هي حلقة نوثرية يسارية. ومن نتائجها أيضًا أن الحلقة الأرتينية اليسارية تكون حلقة نوثرية يمينية إذا وفقط إذا كانت حلقة أرتينية يمينية. والعبارات المماثلة مع تبديل كلمتي "يمين" و"يسار" صحيحة أيضًا.
• الحلقة النويثرية اليسرى متماسكة يسارية، والنطاق النويثري الأيسر هو نطاق خام يساري .
• (باس) تكون الحلقة نوثرية (يسارية/يمينية) إذا وفقط إذا كان كل مجموع مباشر لوحدات (يسارية/يمينية) أحادية . يمكن تحليل كل وحدة أحادية يسارية فوق وحدة نوثرية يسارية إلى مجموع مباشر لوحدات أحادية غير قابلة للتحليل. ^{[ 6 ]} انظر أيضًا #الاستلزام على الوحدات الأحادية أدناه.
• في حلقة نوثرية تبديلية، يوجد عدد محدود فقط من المُثُل الأولية الدنيا . كما أن شرط السلسلة التنازلية ينطبق على المُثُل الأولية.
• في مجال نوثري تبديلي R ، يمكن تحليل كل عنصر إلى عناصر غير قابلة للاختزال (باختصار، R هو مجال تحليل ). وبالتالي، إذا كان التحليل فريدًا حتى ضرب العوامل في وحدات ، فإن R هو مجال تحليل فريد .

• أي حقل، بما في ذلك حقول الأعداد النسبية والأعداد الحقيقية والأعداد المركبة ، هو حقل نوثري. (لا يحتوي الحقل إلا على مثاليين - نفسه و(0).)
• أي حلقة مثالية رئيسية ، مثل حلقة الأعداد الصحيحة، هي حلقة نوثرية لأن كل مثالي فيها يتولد من عنصر واحد. ويشمل ذلك مجالات المثالي الرئيسية والمجالات الإقليدية .
• مجال ديديكيند (على سبيل المثال، حلقات الأعداد الصحيحة ) هو مجال نوثري يتم فيه توليد كل مثالي بواسطة عنصرين على الأكثر.
• إن حلقة الإحداثيات لمتنوعة أفينية هي حلقة نوثرية، كنتيجة لنظرية أساس هيلبرت.
• الجبر المغلف U لجبر لي ذي الأبعاد المحدودة${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هي حلقة نوثرية يسارية ويمينية؛ وهذا يتبع من حقيقة أن الحلقة المتدرجة المرتبطة بـ U هي خارج قسمة${\displaystyle \operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}})}$وهي حلقة متعددة الحدود فوق حقل ( نظرية PBW )؛ وبالتالي، فهي نوثرية. ^{[ 7 ]} وللسبب نفسه، فإن جبر ويل ، وحلقات أكثر عمومية من المؤثرات التفاضلية ، هي نوثرية. ^{[ 8 ]}
• حلقة كثيرات الحدود في عدد محدود من المتغيرات على الأعداد الصحيحة أو حقل ما هي حلقة نوثرية.

الحلقات غير النويثرية تميل إلى أن تكون (بمعنى ما) كبيرة جدًا. إليك بعض الأمثلة على الحلقات غير النويثرية:

• حلقة كثيرات الحدود في عدد لا نهائي من المتغيرات، X ₁ ، X ₂ ، X ₃ ، إلخ. متتالية المثاليات ( X ₁ )، ( X ₁ ، X ₂ )، ( X ₁ ، X ₂ ، X ₃ )، إلخ. تصاعدية، ولا تنتهي.
• حلقة جميع الأعداد الصحيحة الجبرية ليست حلقة نوثرية. على سبيل المثال، تحتوي على سلسلة تصاعدية لانهائية من المُثُل الرئيسية: (2)، (2 ^1/2 )، (2 ^1/4 )، (2 ^1/8 )، ...
• حلقة الدوال المتصلة من الأعداد الحقيقية إلى الأعداد الحقيقية ليست نوثرية: ليكن I _{_n} هو المثالي لجميع الدوال المتصلة f التي تحقق f ( x ) = 0 لجميع x ≥ n . سلسلة المثالي I _₀ ، I _₁ ، I _₂، إلخ، هي سلسلة تصاعدية غير منتهية.
• حلقة مجموعات التماثل المستقرة للكرات ليست نوثرية. ^{[ 9 ]}

مع ذلك، يمكن أن تكون الحلقة غير النويثرية حلقةً جزئيةً من حلقة نويثرية. وبما أن أي مجال تكاملي هو حلقة جزئية من حقل، فإن أي مجال تكاملي غير نويثري يُعد مثالًا على ذلك. ولإعطاء مثال أقل وضوحًا،

• إن حلقة الدوال الكسرية المولدة بواسطة x و y / x ⁿ على حقل k هي حلقة فرعية من الحقل k ( x , y ) في متغيرين فقط.

^{في الواقع ،} توجد حلقات نوثرية يمنى، ولكن ليس نوثرية يسرى، لذا يجب توخي الحذر عند قياس "حجم" الحلقة بهذه الطريقة. على سبيل المثال، إذا كانت L زمرة جزئية من Q² متماثلة مع Z ، ولتكن R حلقة التشاكلات f من Q² إلى نفسها التي تحقق f ( L ) ⊂ L. باختيار أساس، يمكننا وصف الحلقة R نفسها على النحو التالي ^:

${\displaystyle R=\left\{\left.{\begin{bmatrix}a&\beta \\0&\gamma \end{bmatrix}}\,\right\vert \,a\in \mathbf {Z} ,\beta \in \mathbf {Q} ,\gamma \in \mathbf {Q} \right\}.}$

هذه الحلقة نوثرية يمينية، ولكنها ليست نوثرية يسارية؛ المجموعة الفرعية I ⊂ R التي تتكون من عناصر a = 0 و γ = 0 هي مثالية يسارية غير مولدة بشكل نهائي كوحدة نمطية يسارية R.

إذا كانت R حلقة فرعية تبديلية من حلقة نوثرية يسارية S ، وكانت S مولدة توليدًا منتهيًا كوحدة نمطية يسارية على R ، فإن R تكون نوثرية. ^{[ 10 ]} (في الحالة الخاصة عندما تكون S تبديلية، تُعرف هذه النظرية باسم نظرية إيكين ). ومع ذلك، لا يصح هذا إذا لم تكن R تبديلية: فالحلقة R المذكورة في الفقرة السابقة هي حلقة فرعية من الحلقة النوثرية اليسارية S = Hom( Q² ^, Q² )، و S مولدة توليدًا منتهيًا كوحدة نمطية يسارية على ^R ، لكن R ليست نوثرية يسارية.

لا يُشترط أن يكون مجال التحليل الفريد حلقة نوثرية. ولكنه يُحقق شرطًا أضعف: شرط السلسلة الصاعدة على المُثُل الرئيسية . تُعد حلقة كثيرات الحدود في عدد لا نهائي من المتغيرات مثالًا على مجال تحليل فريد غير نوثري.

لا تُعتبر حلقة التقييم حلقة نوثرية إلا إذا كانت مجالًا مثاليًا رئيسيًا. وهي تُعطي مثالًا على حلقة تنشأ بشكل طبيعي في الهندسة الجبرية ولكنها ليست نوثرية.

تعتمد العديد من النظريات المهمة في نظرية الحلقات (وخاصة نظرية الحلقات التبادلية ) على افتراضات أن الحلقات نوثرية.

بالنظر إلى حلقة، توجد علاقة وثيقة بين سلوكيات الوحدات النمطية الحقنية على الحلقة وما إذا كانت الحلقة حلقة نوثرية أم لا. أي، بالنظر إلى حلقة R ، فإن ما يلي متكافئ:

• R هي حلقة نوثرية يسارية.
• (باس) كل مجموع مباشر لوحدات R اليسارية أحادية هو أحادي. ^{[ 6 ]}
• كل وحدة نمطية يسارية أحادية من النوع R هي مجموع مباشر لوحدات نمطية أحادية غير قابلة للتحليل . ^{[ 13 ]}
• (فايث-ووكر) يوجد عدد أصلي${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$بحيث يكون كل نموذج يساري أحادي على R عبارة عن مجموع مباشر لـ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$الوحدات المُولَّدة (الوحدة هي${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$- يتم توليدها إذا كانت مجموعة التوليد الخاصة بها تحتوي على عدد عناصر لا يتجاوز${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$). ^{[ 14 ]}
• يوجد نموذج R- يساري H بحيث يتم تضمين كل نموذج R-يساري ^في مجموع مباشر لنسخ من H. ^{[ 15} ]

حلقة التشكل الداخلي لوحدة حقنية غير قابلة للتحليل هي محلية ^{[ 16 ]} وبالتالي فإن نظرية أزوميا تقول أنه على حلقة نوثرية يسارية، فإن كل تحليل غير قابل للتحليل لوحدة حقنية يكون مكافئًا للآخر (وهو شكل مختلف من نظرية كرول-شميدت ).

• مخطط نوثيري
• خاتم أرتينيان
• خاتم جافارد

• أندرسون، فرانك دبليو؛ فولر، كينت آر (1992)، الحلقات وفئات الوحدات ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  13 (  الطبعة الثانية)، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، الصفحات  x+376، doi : 10.1007/978-1-4612-4418-9 ، ISBN 0-387-97845-3MR 1245487​ 
• عطية، م. ف. ، ماكدونالد، إ. ج. (1969). مقدمة في الجبر التبادلي . أديسون-ويسلي-لونغمان. رقم ISBN 978-0-201-40751-8
• بورباكي، نيكولاس (1989). الجبر التبادلي: الفصول 1-7 . سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 978-0-387-19371-7.
• أيزنبد، ديفيد (1995). الجبر التبادلي مع نظرة نحو الهندسة الجبرية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  150. سبرينغر-فيرلاغ. doi : 10.1007/978-1-4612-5350-1 . ISBN 0-387-94268-8.
• فورمانيك، إدوارد ؛ جاتيغاونكار، أرون فيناياك (1974). "الحلقات الفرعية للحلقات النويثرية" . وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية . 46 (2): 181-186 . doi : 10.2307/2039890 . JSTOR 2039890 . 
• هوتا، ريوشي؛ تاكيوتشي، كيوشي؛ تانيساكي، توشيوكي (2008)، وحدات D، والحزم المنحرفة، ونظرية التمثيل ، التقدم في الرياضيات، المجلد  236، بيركهاوزر، doi : 10.1007/978-0-8176-4523-6 ، ISBN 978-0-8176-4363-8، MR 2357361 ، Zbl 1292.00026  
• لام، تسيت يوين (2001). مدخل إلى الحلقات غير التبادلية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  131 (  الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر. ص  19. doi : 10.1007/978-1-4419-8616-0 . ISBN 0387951830MR 1838439 .​ 
• الفصل العاشر من كتاب لانغ، سيرج (1993)، الجبر ( الطبعة الثالثة)، ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي، رقم ISBN  978-0-201-55540-0، Zbl 0848.13001 
• ماتسومورا، هيديوكي (1989)، نظرية الحلقات التبادلية ، دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة (  الطبعة الثانية)، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 978-0-521-36764-6

• "حلقة نوثرية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]