مسرد مصطلحات نظرية الحلقات

نظرية الحلقات هي فرع من الرياضيات يُعنى بدراسة الحلقات ، أي البنى التي تدعم عمليتي الجمع والضرب . هذا معجم لبعض مصطلحات هذا الموضوع.

للاطلاع على مصطلحات الجبر التبادلي (نظرية الحلقات التبادلية)، انظر مسرد الجبر التبادلي . وللاطلاع على مفاهيم نظرية الحلقات بلغة الوحدات، انظر أيضًا مسرد نظرية الوحدات .

للاطلاع على أنواع محددة من الجبر، انظر أيضًا: معجم نظرية الحقول ومعجم زمر لي وجبر لي . ونظرًا لعدم وجود معجم حاليًا لبنى الجبر غير التجميعية بشكل عام، يتضمن هذا المعجم بعض المفاهيم التي لا تتطلب التجميعية، مثل الاشتقاق.

مجمع أميتسور

إن مركب أميتسور لتشاكل الحلقة هو مركب سلسلة مشتركة يقيس مدى فشل تشاكل الحلقة في أن يكون مسطحًا بدقة .

أرتينيان

الحلقة الأرتينية اليسرى هي حلقة تحقق شرط السلسلة التنازلية للمثاليّات اليسرى؛ والحلقة الأرتينية اليمنى هي حلقة تحقق شرط السلسلة التنازلية للمثاليّات اليمنى. إذا كانت الحلقة أرتينية يسرى ويمنية في آنٍ واحد، تُسمى أرتينية . الحلقات الأرتينية هي حلقات نوثرية.

شريك

في الحلقة التبديلية، يُطلق على العنصر a اسم عنصر مرافق للعنصر b إذا كان a يقسم b و b يقسم a .

التماثل الذاتي

التماثل الحلقي هو تماثل حلقي بين نفس الحلقة؛ بعبارة أخرى، هو عنصر وحدة من حلقة التماثل الداخلي للحلقة التي تكون ضربية وتحافظ على العنصر المحايد الضربي.

التشاكل الجبري على حلقة تبديلية R هو تشاكل جبري بين نفس الجبر؛ إنه تشاكل حلقي خطي R أيضًا .

أزومايا

جبر أزومايا هو تعميم لجبر مركزي بسيط إلى حلقة أساسية غير حقلية.

ثنائي الأبعاد

البعد الثنائي لجبر ترابطي A على حلقة تبديلية R هو البعد الإسقاطي لـ A كوحدة نمطية ( A ^op ⊗ _R A ) . على سبيل المثال، يكون للجبر بعد ثنائي يساوي صفرًا إذا وفقط إذا كان قابلاً للفصل.

منطقي

الحلقة البوليانية هي حلقة يكون فيها كل عنصر متطابقًا ضربيًا .

براور

مجموعة براور للحقل هي مجموعة أبيلية تتكون من جميع فئات التكافؤ للجبر البسيط المركزي على الحقل.

فئة

فئة الحلقات هي فئة تكون فيها الكائنات (جميعها) حلقات وتكون فيها التشكلات (جميعها) تشكلات الحلقات.

مركز

1. يكون العنصر r في الحلقة R مركزيًا إذا كان xr = rx لكل x في R. وتشكل مجموعة جميع العناصر المركزية حلقة جزئية من R ، تُعرف باسم مركز R.  

2. الجبر المركزي هو جبر ترابطي فوق المركز.  

3. الجبر المركزي البسيط هو جبر مركزي وهو أيضًا حلقة بسيطة.  

مركزية

1. مركز مجموعة جزئية S من حلقة هو الحلقة الجزئية من الحلقة التي تتكون من العناصر المتبادلة مع عناصر S. على سبيل المثال، مركز الحلقة نفسها هو مركز الحلقة.  

2. المركز المزدوج لمجموعة ما هو مركز المركز المزدوج لتلك المجموعة. انظر نظرية المركز المزدوج .  

خاصية

1. الخاصية المميزة للحلقة هي أصغر عدد صحيح موجب n يحقق المعادلة nx = 0 لجميع عناصر الحلقة x ، إن وُجد مثل هذا العدد n . وإلا، فإن الخاصية المميزة تساوي صفرًا.  

2. الحلقة الفرعية المميزة لـ R هي أصغر حلقة فرعية (أي الحلقة الفرعية الدنيا الوحيدة). وهي بالضرورة صورة التشاكل الحلقي الوحيد Z → R ، وبالتالي فهي متماثلة مع Z / n حيث n هي الحلقة المميزة لـ R.  

يتغير

تغيير الحلقات هو دالة (بين فئات مناسبة) ناتجة عن تماثل الحلقة.

جبر كليفورد

جبر كليفورد هو نوع معين من الجبر الترابطي المفيد في الهندسة والفيزياء.

متماسك

الحلقة المتماسكة اليسارية هي حلقة بحيث يكون كل مثالي يساري مولد بشكل نهائي فيها وحدة نمطية معروضة بشكل نهائي؛ بعبارة أخرى، فهي متماسكة كوحدة نمطية يسارية على نفسها.

تبادلي

1. تكون الحلقة R تبديلية إذا كانت عملية الضرب تبديلية، أي rs = sr لجميع r و s ∈ R.  

2. الحلقة R هي حلقة تبديلية مائلة إذا كان xy = (−1) ^{ε ( x ) ε ( y )} yx ، حيث ε ( x ) تشير إلى زوجية العنصر x .  

3. الجبر التبادلي هو جبر ترابطي يمثل حلقة تبادلية.  

4. الجبر التبادلي هو نظرية الحلقات التبادلية.  

الاشتقاق

1. إن اشتقاق جبر A غير التجميعي المحتمل على حلقة تبديلية R هو تحويل داخلي خطي R يحقق قاعدة لايبنيز .  

2. جبر الاشتقاق للجبر A هو الجبر الفرعي لجبر التشكل الداخلي لـ A الذي يتكون من الاشتقاقات.  

التفاضلي

الجبر التفاضلي هو جبر مصحوب باشتقاق.

مباشر

إن الضرب المباشر لعائلة من الحلقات هو حلقة يتم الحصول عليها عن طريق أخذ الضرب الديكارتي للحلقات المعطاة وتحديد العمليات الجبرية على مستوى المكونات.

المقسوم عليه

1. في مجال تكاملي R ، يُطلق على العنصر a اسم قاسم العنصر b (ونقول أن a يقسم b ) إذا كان هناك عنصر x في R بحيث يكون ax = b .  

2. يُسمى العنصر r في R قاسمًا صفريًا أيسر إذا وُجد عنصر غير صفري x في R بحيث يكون rx = 0 وقاسمًا صفريًا أيمنًا ، أو إذا وُجد عنصر غير صفري y في R بحيث يكون yr = 0. ويُسمى العنصر r في R قاسمًا صفريًا ثنائي الجانب إذا كان قاسمًا صفريًا أيسرًا وقاسمًا صفريًا أيمنًا في آنٍ واحد.  

قسم

حلقة القسمة أو الحقل المنحرف هي حلقة يكون فيها كل عنصر غير صفري وحدة و 1 ≠ 0 .

اِختِصاص

المجال هو حلقة غير صفرية لا تحتوي على قواسم صفرية باستثناء الصفر . ولسبب تاريخي، يُطلق على المجال التبادلي اسم المجال التكاملي .

التماثل الداخلي

حلقة التشكل الداخلي هي حلقة تتكون من التشكلات الداخلية لكائن ذي بنية جمعية؛ يعتبر الضرب بمثابة تركيب دالة ، بينما جمعه هو جمع نقطي للصور.

الجبر المغلف

الجبر الشامل (العام) E لجبر غير ترابطي بالضرورة A هو الجبر الترابطي الذي يحدده A بطريقة شاملة. وأشهر مثال على ذلك هو الجبر الشامل لجبر لي.

امتداد

تُعتبر الحلقة E امتدادًا حلقيًا للحلقة R إذا كانت R حلقة فرعية من E.

الجبر الخارجي

الجبر الخارجي لفضاء متجه أو وحدة نمطية V هو خارج قسمة جبر الموتر لـ V على المثالي الناتج عن عناصر من الشكل x ⊗ x .

مجال

الحقل هو حلقة قسمة تبديلية؛ أي حلقة غير صفرية يكون فيها كل عنصر غير صفري قابلاً للعكس .

حلقة مُصفّاة

الحلقة المُرشّحة هي حلقة مزودة بنظام ترشيح.

مولد نهائي

1. يكون المثالي الأيسر I مولدًا توليدًا منتهيًا إذا وُجد عدد منتهٍ من العناصر _a₁ , _... , an _بحيث يكون I = Ra₁ + ... + Raₙ _. ويكون المثالي الأيمن I مولدًا توليدًا منتهيًا إذا وُجد عدد منتهٍ من العناصر _a₁ , _... , an _بحيث يكون I = a₁R + ... + anR . ويكون المثالي ثنائي الجانب I مولدًا توليدًا منتهيًا إذا وُجد عدد منتهٍ من العناصر _a₁ , _... , an _بحيث يكون I = Ra₁R + ... ₊ RaₙR _.  

2. الحلقة المولدة بشكل نهائي هي حلقة مولدة بشكل نهائي كجبر Z.  

عرض نهائي

الجبر المعروض بشكل محدود على حلقة تبديلية R هو جبر تجميعي (تبديلي) وهو خارج قسمة حلقة متعددة الحدود على R في عدد محدود من المتغيرات على مثالي مولد بشكل محدود . ^{[ 1 ]}

حر

1. الحلقة المثالية الحرة أو حلقة التنوب هي حلقة يكون فيها كل مثالي صحيح عبارة عن وحدة نمطية حرة ذات رتبة ثابتة.  

2. شبه التنوب هو حلقة يكون فيها كل مثالي يميني مولد بشكل نهائي عبارة عن وحدة حرة ذات رتبة ثابتة.  

3. الضرب الحر لعائلة من الجبر الترابطي هو جبر ترابطي يُستنتج، تقريبًا، من مولدات وعلاقات الجبر في تلك العائلة. ويختلف هذا المفهوم باختلاف فئة الجبر الترابطي المُراد دراستها؛ فعلى سبيل المثال، في فئة الحلقات التبادلية، يكون الضرب الحر ضربًا موترًا.  

4. الحلقة الحرة هي حلقة تمثل جبرًا حرًا على الأعداد الصحيحة.  

تم التقييم

الحلقة المتدرجة هي حلقة تتضمن تدرجًا أو تصنيفًا؛ أي أنها عبارة عن مجموع مباشر لمجموعات فرعية جمعية مع عملية ضرب تحافظ على التدرج. على سبيل المثال، حلقة كثيرات الحدود هي حلقة متدرجة حسب درجات كثيرات الحدود.

يولد

يُقال إن الجبر الترابطي A على حلقة تبديلية R مُوَلَّد بواسطة مجموعة جزئية S من A إذا كان أصغر جبر جزئي يحتوي على S هو A نفسه، وتُسمى S المجموعة المولدة لـ A. إذا كانت هناك مجموعة مولدة منتهية، يُقال إن A جبر مولد منتهٍ .

وراثي

تُعتبر الحلقة وراثية يسارية إذا كانت مُثُلها اليسرى جميعها وحدات إسقاطية. وتُعرَّف الحلقات الوراثية اليمنى بشكل مماثل.

مثالي

المثالي الأيسر I في R هو زمرة جزئية جمعية من R بحيث يكون aI ⊆ I لكل a ∈ R. المثالي الأيمن هو زمرة جزئية من R بحيث يكون Ia ⊆ I لكل a ∈ R. المثالي (يُسمى أحيانًا مثاليًا ثنائي الجانب للتأكيد) هو زمرة جزئية تكون مثالية يسرى ومثالية يمنية في آن واحد .

متماثل

يكون العنصر r في الحلقة عنصرًا متساوي القوة إذا كان r ² = r .

المجال التكاملي

"integral domain" or "entire ring" is another name for a commutative domain; i.e., a nonzero commutative ring with no zero divisors except 0.

invariant

A ring R has invariant basis number if R^m isomorphic to Rⁿ as R-modules implies m = n.

irreducible

An element x of an integral domain is irreducible if it is not a unit and for any elements a and b such that x = ab, either a or b is a unit. Note that every prime element is irreducible, but not necessarily vice versa.

Jacobson

1.  The Jacobson radical of a ring is the intersection of all maximal left ideals.

2.  A Jacobson ring is a ring in which each prime ideal is an intersection of primitive ideals.

kernel

The kernel of a ring homomorphism of a ring homomorphism f : R → S is the set of all elements x of R such that f(x) = 0. Every ideal is the kernel of a ring homomorphism and vice versa.

Köthe

Köthe's conjecture states that if a ring has a nonzero nil right ideal, then it has a nonzero nil ideal.

local

1.  A ring with a unique maximal left ideal is a local ring. These rings also have a unique maximal right ideal, and the left and the right unique maximal ideals coincide. Certain commutative rings can be embedded in local rings via localization at a prime ideal.

2.  A localization of a ring : For commutative rings, a technique to turn a given set of elements of a ring into units. It is named Localization because it can be used to make any given ring into a local ring. To localize a ring R, take a multiplicatively closed subset S that contains no zero divisors, and formally define their multiplicative inverses, which are then added into R. Localization in noncommutative rings is more complicated, and has been in defined several different ways.

minimal and maximal

1. يُقال عن المثالي الأيسر M في الحلقة R أنه مثالي أيسر أقصى (أو مثالي أيسر أدنى) إذا كان أقصى (أو أدنى) بين المثاليات اليسرى الحقيقية (أو غير الصفرية). وتُعرَّف المثاليات اليمنى القصوى (أو الدنيا) بشكل مماثل.  

2. الحلقة الجزئية القصوى هي حلقة جزئية تكون قصوى بين الحلقات الجزئية الفعلية. ويمكن تعريف "الحلقة الجزئية الدنيا" بشكل مماثل؛ فهي فريدة وتسمى الحلقة الجزئية المميزة .  

مصفوفة

1. حلقة المصفوفات فوق حلقة R هي حلقة عناصرها مصفوفات مربعة ذات حجم ثابت، عناصرها تنتمي إلى R. حلقة المصفوفات، أو حلقة المصفوفات الكاملة فوق R، هي حلقة المصفوفات التي تتكون من جميع المصفوفات المربعة ذات الحجم الثابت، عناصرها تنتمي إلى R. عندما لا يكون التركيب النحوي مناسبًا، يُشير مصطلح "حلقة المصفوفات" غالبًا إلى حلقة المصفوفات "الكاملة" عندما لا يُحتمل حدوث لبس في السياق؛ على سبيل المثال، عندما يُقال إن الحلقة شبه البسيطة هي ناتج ضرب حلقات مصفوفات حلقات القسمة، يُفترض ضمنيًا أن "حلقات المصفوفات" تُشير إلى "حلقات المصفوفات الكاملة". كل حلقة هي (متماثلة مع) حلقة المصفوفات الكاملة فوق نفسها.  

2. حلقة المصفوفات العامة هي الحلقة التي تتكون من مصفوفات مربعة ذات مدخلات في متغيرات رسمية.  

أحادي

حلقة أحادية .

موريتا

يقال إن حلقتين متكافئتان وفقًا لموريتا إذا كانت فئة الوحدات النمطية على إحداهما مكافئة لفئة الوحدات النمطية على الأخرى.

اقتراب

الحلقة القريبة هي بنية تكون عبارة عن مجموعة تحت الجمع، وشبه مجموعة تحت الضرب، ويتم توزيع الضرب فيها على اليمين فوق الجمع.

لا شيء

1. المثالي الصفري هو مثالي يتكون من عناصر عديمة القوة.  

2. الجذر العلوي الصفري (باير) هو مجموع كل المُثُل الصفرية.  

3. الجذر الصفري السفلي (باير) هو تقاطع جميع المُثُل الأولية. بالنسبة للحلقة التبديلية، يتطابق الجذر الصفري العلوي مع الجذر الصفري السفلي.  

عديم القدرة

1. يكون العنصر r من R عنصرًا عديم القوة إذا كان هناك عدد صحيح موجب n بحيث يكون r ⁿ = 0 .  

2. المثال الصفري هو مثال تكون عناصره عناصر صفرية القوة.  

3. المثالي الصفري هو مثالي تكون قوته I ^k تساوي {0} لعدد صحيح موجب k . كل مثالي صفري هو صفر، لكن العكس ليس صحيحًا بشكل عام.  

4. الجذر الصفري لحلقة تبديلية هو المثالي الذي يتكون من جميع العناصر الصفرية القوة في الحلقة. وهو يساوي تقاطع جميع المثاليّات الأولية للحلقة ، ويقع ضمن جذر جاكوبسون للحلقة، ولكنه لا يساويه عمومًا.  

النوثيرية

الحلقة النويثرية اليسرى هي حلقة تحقق شرط السلسلة الصاعدة للمثاليّات اليسرى. تُعرَّف الحلقة النويثرية اليمنى بشكل مماثل، والحلقة التي تكون نويثرية يسرى ويمنى في آنٍ واحد هي حلقة نويثرية . تكون الحلقة نويثرية يسرى إذا وفقط إذا كانت جميع مثالياتها اليسرى مولدة توليدًا نهائيًا؛ وبالمثل بالنسبة للحلقات النويثرية اليمنى.

باطل

الحلقة الفارغة : انظر إلى حلقة المربع الصفري .

عكس

بالنظر إلى حلقة R ، فإن حلقتها المقابلة R ^op لها نفس المجموعة الأساسية مثل R ، ويتم تعريف عملية الجمع كما في R ، ولكن حاصل ضرب s و r في R ^op هو rs ، بينما حاصل الضرب هو sr في R.

طلب

ترتيب الجبر هو (تقريبًا) جبر فرعي وهو أيضًا شبكة كاملة.

خام

مجال أور الأيسر هو مجال (غير تبادلي) تحقق فيه مجموعة العناصر غير الصفرية شرط أور الأيسر. ويُعرَّف مجال أور الأيمن بشكل مماثل.

ممتاز

الحلقة الكاملة اليسرى هي حلقة تحقق شرط السلسلة التنازلية على المُثُل الرئيسية اليمنى . وتتميز أيضًا بأنها حلقات تكون جميع وحداتها اليسرى المسطحة وحدات إسقاطية. وتُعرَّف الحلقات الكاملة اليمنى بشكل مماثل. أما حلقات أرتينيان فهي حلقات كاملة.

متعدد الحدود

1. حلقة كثيرات الحدود فوق حلقة تبديلية R هي حلقة تبديلية تتكون من جميع كثيرات الحدود في المتغيرات المحددة ذات المعاملات في R.   

2. حلقة كثيرات الحدود المائلة  

بفرض _وجود حلقة R وتشاكل داخلي σ ∈ End( R ) من R. تُعرَّف حلقة كثيرات الحدود المائلة R [ x ; σ ] على أنها المجموعة { aₙ _xₙ + ^aₙ₋₁ xₙ₋₁ + ... + ^a₁ x + a₀ | n ∈ N , aₙ _, aₙ₋₁ _, ... , a₁ , _{a₀ ∈} R } ^، مع تعريف الجمع كالمعتاد ، وتعريف الضرب بالعلاقة _xa = σ ₍ a ₎ x ∀ _a ∈ R.

برايم

1. العنصر x في مجال التكامل هو عنصر أولي إذا لم يكن صفرًا ولم يكن وحدة، وكلما قسم x حاصل ضرب ab ، فإن x يقسم a أو x يقسم b .  

2. يكون المثالي P في حلقة تبديلية R أوليًا إذا كان P ≠ R ، وإذا كان لكل a و b في R حيث ab في P ، فإن a في P أو b في P. كل مثالي أعظمي في حلقة تبديلية هو مثالي أولي.  

3. يكون المثالي P في حلقة R (ليست بالضرورة تبديلية) أوليًا إذا كان P ≠ R، ولكل مثاليين A و B في R ، فإن AB ⊆ P يستلزم A ⊆ P أو B ⊆ P. وهذا يوسع التعريف ليشمل الحلقات التبديلية.  

4. الحلقة الأولية : تُسمى الحلقة غير الصفرية R حلقة أولية إذا كان لأي عنصرين a و b في R حيث aRb = 0 ، إما a = 0 أو b = 0. وهذا يُكافئ القول بأن المثالي الصفري هو مثالي أولي (بالمعنى غير التبادلي). كل حلقة بسيطة وكل مجال هو حلقة أولية.   

بدائي

1. الحلقة الأولية اليسرى هي حلقة لها وحدة نمطية يسارية بسيطة أمينة . كل حلقة بسيطة هي حلقة أولية. الحلقات الأولية هي حلقات أولية .  

2. يقال إن المثالي I في الحلقة R بدائي إذا كان R / I بدائيًا.  

رئيسي

المثالي الرئيسي :  المثالي الرئيسي الأيسر في حلقة R هو مثالي أيسر على الصورة Ra لعنصر a من R. المثالي الرئيسي الأيمن هو مثالي أيمن على الصورة aR لعنصر a من R. المثالي الرئيسي هو مثالي ثنائي الجانب على الصورة RaR لعنصر a من R.

رئيسي

1. المجال المثالي الرئيسي هو مجال متكامل يكون فيه كل مثالي رئيسيًا.  

2. الحلقة المثالية الرئيسية هي حلقة يكون فيها كل مثالي رئيسيًا.  

شبه فروبينيوس

حلقة شبه فروبينيوس  : نوع خاص من حلقات أرتينيان، وهي حلقة ذاتية الحقن من كلا الجانبين. كل حلقة شبه بسيطة هي حلقة شبه فروبينيوس.

حلقة القسمة أو حلقة العوامل  : إذا كانت لدينا حلقة R ومثالي I من R ، فإن حلقة القسمة هي الحلقة المُشكَّلة من مجموعةالمشاركات R / I { a + I : a ∈ R } بالإضافة إلى العمليتين ( a + I ) + ( b + I ) = ( a + b ) + I و ( a + I )( b + I ) = ab + I. وتُلخَّص العلاقة بين المثاليات والتشاكلات وحلقات العوامل في النظرية الأساسية للتشاكلات . 

متطرف

يتكون جذر المثالي I في حلقة تبديلية من جميع عناصر الحلقة التي تقع إحدى قواها في I. وهو يساوي تقاطع جميع المثاليّات الأولية التي تحتوي على I.

جرس

1. مجموعة R تحتوي على عمليتين ثنائيتين ، تُسميان عادةً الجمع (+) والضرب (×)، بحيث تكون R زمرة تبديلية تحت عملية الجمع، و R شبه زمرة تحت عملية الضرب، ويكون الضرب توزيعيًا من اليسار واليمين على الجمع. يُفترض أن الحلقات تحتوي على عنصر محايد ضربي ما لم يُذكر خلاف ذلك. يُرمز للعنصر المحايد الجمعي بالرقم 0 وللعنصر المحايد الضربي بالرقم 1. ( تنبيه : تستخدم بعض الكتب، وخاصة القديمة منها، مصطلح "حلقة" للدلالة على ما سنُسميه هنا rng ؛ أي أنها لا تشترط أن تحتوي الحلقة على عنصر محايد ضربي).  

2. تماثل الحلقة : الدالة f : R → S بين الحلقتين ( R , +, ∗) و ( S , ⊕, ×) هي تماثل حلقة إذا كانت تحقق ما يلي:     

f ( a + b ) = f ( a ) ⊕ f ( b )

f ( a ∗ b ) = f ( a ) × f ( b )

f (1) = 1

لجميع العناصر a و b من R.

3. تماثل الحلقات : تماثل الحلقات التقابلي هو تماثل حلقات . وعكس تماثل الحلقات هو أيضًا تماثل حلقات. تكون حلقتان متماثلتين إذا وُجد بينهما تماثل حلقات. ويمكن اعتبار الحلقات المتماثلة متطابقة جوهريًا، مع اختلاف بسيط في تسميات عناصرها.   

مولد الأرقام العشوائية

1. الحلقة العشوائية هي مجموعة R تحتوي على عمليتين ثنائيتين ، تُسميان عادةً الجمع (+) والضرب (×)، بحيث تكون المجموعة ( R , +) زمرة تبديلية ، والمجموعة ( R , ×) شبه زمرة ، ويكون الضرب توزيعيًا من اليسار واليمين على الجمع. الحلقة العشوائية التي تحتوي على عنصر محايد i تُسمى "حلقة عشوائية " .  

2. المصفوفة العشوائية ذات المربع الصفري هي مصفوفة عشوائية يكون فيها xy = 0 لجميع قيم x و y .  

الحقن الذاتي

تكون الحلقة R ذاتية الحقن من اليسار إذا كان الموديول _R R موديولًا حقنيًا . بينما تكون الحلقات التي تحتوي على عنصر محايد إسقاطية دائمًا كموديولات، إلا أنها ليست حقنية دائمًا كموديولات.

شبه مثالي

الحلقة شبه المثالية هي حلقة R بحيث يكون، بالنسبة لجذر جاكوبسون J( R ) لـ R ، (1) R /J( R ) شبه بسيط و (2) رفع العناصر المتساوية modulo J( R ).

شبه ابتدائي

الحلقة شبه الأولية هي حلقة R بحيث يكون بالنسبة لجذر جاكوبسون J( R ) لـ R ، (1) R /J( R ) شبه بسيط و (2) J( R ) مثالي نيلبوتنت .

شبه رئيسي

1. الحلقة شبه الأولية هي حلقة يكون فيها المثالي الصفري الوحيد هو المثالي التافه {0}. الحلقة التبديلية شبه أولية إذا وفقط إذا كانت مختزلة.  

2. يكون المثالي I في الحلقة R شبه أولي إذا كان لأي مثالي A في R ، فإن A ^⊆ I يستلزم A ⊆ I. وبصورة مكافئة، يكون I شبه أولي إذا وفقط إذا كانت R / I حلقة شبه أولية.  

شبه بدائي

الحلقة شبه الأولية أو حلقة جاكوبسون شبه البسيطة هي حلقة يكون جذر جاكوبسون الخاص بها صفرًا. حلقات فون نيومان المنتظمة والحلقات الأولية هي حلقات شبه أولية، بينما حلقات شبه فروبينيوس والحلقات المحلية عادةً ما تكون غير أولية.

نصف حلقة

شبه الحلقة  : بنية جبرية تحقق نفس خصائص الحلقة، باستثناء أن الجمع فيها يشترط أن يكون عملية أحادية تبديلية فقط ، وليس عملية زمرة تبديلية. أي أن عناصر شبه الحلقة لا يشترط أن يكون لها معكوسات جمعية.

شبه بسيط

الحلقة شبه البسيطة هي حلقة أرتينية R وهي عبارة عن ناتج نهائي لحلقات أرتينية بسيطة؛ بعبارة أخرى، إنها وحدة R- شبه بسيطة من اليسار .

قابل للفصل

الجبر القابل للفصل هو جبر ترابطي يقبل مربع الموتر الخاص به عنصرًا متماثلًا قابلًا للفصل .

مسلسل

الحلقة التسلسلية اليمنى هي حلقة تمثل وحدة تسلسلية يمنى فوق نفسها.

سيفيري-براور

تعد مجموعة سيفيري-براور مجموعة جبرية مرتبطة بجبر مركزي بسيط معين.

بسيط

1. الحلقة البسيطة هي حلقة غير صفرية تحتوي فقط على مثاليات ثنائية الجانب تافهة (المثال الصفري، الحلقة نفسها، ولا شيء أكثر ) .  

2. الجبر البسيط هو جبر ترابطي عبارة عن حلقة بسيطة.  

وحدة فرعية مفردة

تحتوي الوحدة النمطية اليمنى (أو اليسرى) في R ، M ، على وحدة نمطية فرعية مفردة إذا كانت تتكون من عناصر تكون عناصر إبادتها مثالية أساسية يمنى (أو يسرى) في R. في تدوين المجموعات ، يُشار إليها عادةً بالرمز Z ( M ) = { m ∈ M | ann( m ) ⊆ _eR } .

الحلقة الفرعية

الحلقة الفرعية هي مجموعة جزئية S من الحلقة ( R ، +، ×) التي تظل حلقة عندما يتم تقييد + و × على S وتحتوي على العنصر المحايد الضربي 1 لـ R.

الجبر المتناظر

1. الجبر المتناظر لفضاء متجهي أو وحدة نمطية V هو خارج قسمة جبر الموتر لـ V على المثالي الناتج عن عناصر من الشكل x ⊗ y − y ⊗ x .  

2. الجبر المتدرج المتناظر للفضاء المتجهي أو الوحدة النمطية V هو شكل مختلف من الجبر المتناظر الذي يتم إنشاؤه من خلال مراعاة التدرج.  

نطاق سيلفستر

مجال سيلفستر هو حلقة ينطبق عليها قانون سيلفستر للعدمية .

الموتر

جبر الضرب الموتري للجبر الترابطي هو الضرب الموتري للجبر كوحدات نمطية مع ضرب المكونات

إن الجبر الموتري لفضاء متجهي أو وحدة نمطية V هو المجموع المباشر لجميع قوى الموترات V ^{⊗ n} مع الضرب المعطى بواسطة جداء الموترات.

تافه

1. المثالي التافه هو إما المثالي الصفري أو المثالي الواحدي.  

2. الحلقة التافهة أو الحلقة الصفرية هي الحلقة التي تتكون من عنصر واحد 0 = 1 .  

وحدة

العنصر المحايد ^أو العنصر القابل للعكس : يُسمى العنصر r في الحلقة R عنصرًا محايدًا إذا وُجد عنصر r⁻¹ بحيث يكون ^{r⁻¹ =} r⁻¹ و r = 1. يُحددهذا العنصر r⁻¹ بشكل فريد بواسطة r ويُسمى المعكوس الضربي لـ r . تُشكل مجموعة العناصر المحايدة ^زمرةً تحت عملية الضرب.

الوحدة

مصطلح "الوحدة" هو اسم آخر للعنصر المحايد المضاعف.

فريد

مجال التحليل الفريد أو حلقة المضروب هو مجال تكاملي R يمكن فيه كتابة كل عنصر غير صفري وغير وحدوي كحاصل ضرب عناصر أولية من R.

مسلسل تلفزيوني أحادي

الحلقة أحادية التسلسل اليمنى هي حلقة تمثل وحدة نمطية أحادية التسلسل يمنى على نفسها. وتُسمى الحلقة أحادية التسلسل التبادلية أيضاً بحلقة التقييم .

عنصر فون نيومان المنتظم

1. عنصر فون نيومان المنتظم : يكون العنصر r من الحلقة R منتظمًا من نوع فون نيومان إذا كان هناك عنصر x من R بحيث يكون r = rxr .   

2. الحلقة المنتظمة لفون نيومان : هي حلقة يمكن فيها التعبير عن كل عنصر a بالصيغة a = axa لعنصر آخر x في الحلقة. الحلقات شبه البسيطة هي حلقات منتظمة لفون نيومان.  

نظرية ويدربورن-آرتين

تنص نظرية ويدربورن -آرتين على أن الحلقة شبه البسيطة هي ناتج نهائي لحلقات المصفوفات (الكاملة) على حلقات القسمة.

صفر

الحلقة الصفرية : هي الحلقة التي تتكون من عنصر واحد فقط، حيث 0 = 1 ، وتُسمى أيضًا الحلقة التافهة . أحيانًا يُستخدم مصطلح "الحلقة الصفرية" بمعنى آخر، أي حلقة مربعة من الصفر .

• مسرد مصطلحات نظرية الوحدات