ديوفانتوس

أدخل ديوفانتوس رمزية جبرية استخدمت تدوينًا مختصرًا للعمليات المتكررة، واختصارًا للمجهول وقوى المجهول.

على غرار الجبر العربي في العصور الوسطى، يستخدم ديوفانتوس ثلاث مراحل لحل المشكلة بالجبر: ^{[ 12 ]}

1. يتم تحديد المجهول ووضع معادلة.
2. يتم تبسيط المعادلة إلى شكل قياسي ( الجبر والمقابلة باللغة العربية) .
3. يتم حل المعادلة المبسطة

لم يُصنِّف ديوفانتوس المعادلات إلى ستة أنواع كما فعل الخوارزمي في الأجزاء المتبقية من كتابه الحسابي . لكنه ذكر أنه سيقدم حلولاً لمعادلات ذات ثلاثة حدود لاحقاً، لذا فمن المحتمل أن يكون هذا الجزء من العمل قد فُقد. ^{[ 11 ]}

يتمثل الاختلاف الرئيسي بين الترميز الديوفانتي والترميز الجبري الحديث في أن الأول كان يفتقر إلى رموز خاصة للعمليات والعلاقات والأسس. ^{[ 13 ] [ 14 ]} فعلى سبيل المثال، ما الذي يُكتب بالترميز الحديث هو $${\displaystyle x^{3}-2x^{2}+10x-1=5,}$$ والتي يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي $${\displaystyle \left({x^{3}}1+{x}10\right)-\left({x^{2}}2+{x^{0}}1\right)={x^{0}}5,}$$ ستُكتب وفقًا لتدوين ديوفانتوس على النحو التالي:

${\displaystyle \mathrm {K} ^{\upsilon }{\overline {\alpha }}\;\zeta {\overline {\iota}}\;\,\pitchfork \;\,\Delta ^{\upsilon }{\overline {\beta }}\;\mathrm {M} {\overline {\alpha }}\,\;{\text{ἴσ}}\;\,\mathrm {M} {\overline {\varepsilon }}}$

رمز	ما يمثله
${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$	1 ( ألفا هو الحرف الأول من الأبجدية اليونانية )
${\displaystyle {\overline {\beta }}}$	2 ( بيتا هو الحرف الثاني من الأبجدية اليونانية)
${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}}$	5 ( إبسيلون هو الحرف الخامس من الأبجدية اليونانية)
${\displaystyle {\overline {\iota }}}$	10 ( Iota هو الحرف التاسع من الأبجدية اليونانية الحديثة ولكنه كان الحرف العاشر من أبجدية يونانية قديمة تحتوي على الحرف digamma (كبير: Ϝ، صغير: ϝ) في الموضع السادس بين epsilon ε و zeta ζ.)
ἴσ	"يساوي" (اختصار لـ ἴσος )
${\displaystyle \pitchfork }$	يمثل طرح كل ما يلي${\displaystyle \pitchfork }$حتى ἴσ
${\displaystyle \mathrm {M} }$	القوة الصفرية (أي الحد الثابت)
${\displaystyle \zeta }$	الكمية المجهولة (لأنها عدد)${\displaystyle x}$مرفوعًا للأس الأول هو مجرد${\displaystyle x,}$يمكن اعتبار هذا بمثابة "القوة الأولى".
${\displaystyle \Delta ^{\upsilon }}$	القوة الثانية، من الكلمة اليونانية δύναμις ، وتعني القوة أو السلطة
${\displaystyle \mathrm {K} ^{\upsilon }}$	القوة الثالثة، من الكلمة اليونانية κύβος ، وتعني مكعبًا
${\displaystyle \Delta ^{\upsilon }\Delta }$	القوة الرابعة
${\displaystyle \Delta \mathrm {K} ^{\upsilon }}$	القوة الخامسة
${\displaystyle \mathrm {K} ^{\upsilon }\mathrm {K} }$	القوة السادسة

بخلاف الترميز الحديث، تأتي المعاملات بعد المتغيرات، ويتم تمثيل الجمع بتجاور الحدود. والترجمة الحرفية لمعادلة ديوفانتوس إلى معادلة حديثة، رمزًا برمز، هي كالتالي: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle {x^{3}}1{x}10-{x^{2}}2{x^{0}}1={x^{0}}5}$$ للتوضيح، إذا تم استخدام الأقواس الحديثة وعلامة الجمع، فيمكن إعادة كتابة المعادلة أعلاه على النحو التالي: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle \left({x^{3}}1+{x}10\right)-\left({x^{2}}2+{x^{0}}1\right)={x^{0}}5}$$

في الكتاب الثالث، يحل ديوفانتوس مسائل إيجاد القيم التي تجعل تعبيرين خطيين مربعين أو مكعبين في آن واحد. وفي الكتاب الرابع، يجد القوى النسبية بين أعداد معطاة. كما لاحظ أن الأعداد من الشكل${\displaystyle 4n+3}$لا يمكن أن يكون مجموع مربعين. ويبدو أن ديوفانتوس كان يعلم أيضًا أن كل عدد يمكن كتابته كمجموع أربعة مربعات . لو كان يعلم هذه النتيجة (بمعنى أنه أثبتها لا أنه خمّنها فقط)، لكان ذلك إنجازًا لافتًا حقًا: حتى فيرما، الذي ذكر النتيجة، لم يُقدّم برهانًا عليها، ولم تُحسم إلا عندما أثبتها جوزيف لويس لاغرانج باستخدام نتائج ليونارد أويلر .

يتألف هذا العمل حول الأعداد المضلعية ، وهو موضوع حظي باهتمام كبير لدى الفيثاغوريين، من مقدمة وخمس قضايا في صيغته الحالية. ^{[ 18 ]} ويتوقف الكتاب في منتصف قضية تتعلق بعدد الطرق التي يمكن أن يكون بها عدد ما عددًا مضلعيًا. ^{[ 15 ]}

كانت "البوريزمز " مجموعة من الليمات مع البراهين المصاحبة لها. ورغم أن "البوريزمز" مفقودة، إلا أننا نعلم أن ثلاث ليمات كانت موجودة فيها، إذ اقتبسها ديوفانتوس في كتابه "الحساب" وأحال القارئ إلى "البوريزمز" للاطلاع على البرهان. ^{[ 16 ]}

تنص إحدى اللمات على أن الفرق بين مكعبي عددين نسبيين يساوي مجموع مكعبي عددين نسبيين آخرين، ^{[ 19 ]} أي أنه لأي عددين نسبيين a و b ، حيث a > b > 0 ، يوجد عددان نسبيان c و d > 0 بحيث

a ³ − b ³ = c ³ + d ³ .

يُعرف هذا العمل، الذي يتناول الكسور ، بمرجع واحد، وهو شرح أفلاطوني حديث لرسالة يامبليخوس على كتاب نيكوماخوس " مقدمة في الحساب " . ^{[ 16 ]} بجوار سطر كتب فيه يامبليخوس: "قال بعض الفيثاغوريين إن الوحدة هي الحد الفاصل بين العدد والأجزاء"، كتب الشرح: "هكذا كتب ديوفانتوس في كتابه " في الأجزاء " ، لأن الأجزاء تنطوي على تقدم في التناقص يمتد إلى ما لا نهاية". ^{[ 16 ]}

بعد نشره، استمرّت قراءة أعمال ديوفانتوس في منطقة البحر الأبيض المتوسط ​​الناطقة باليونانية من القرن الرابع إلى القرن السابع الميلادي. ^{[ 21 ]} وأقدم إشارة معروفة إلى ديوفانتوس، في القرن الرابع الميلادي، هي تعليق المجسطي لثيون الإسكندري ، الذي يقتبس من مقدمة كتاب الحساب . ^{[ 22 ]} ووفقًا لكتاب سودا ، كتبت هيباتيا ، ابنة ثيون ورفيقته الدائمة، تعليقًا مفقودًا الآن على كتاب الحساب لديوفانتوس ، مما يشير إلى أن هذا العمل ربما دُرِسَ بدقة من قِبَل علماء الرياضيات الأفلاطونيين الجدد في الإسكندرية خلال أواخر العصور القديمة . ^{[ 22 ]} كما وردت إشارات إلى ديوفانتوس في عدد من الشروح الأفلاطونية الجديدة لأعمال يامبليخوس . ^{[ 23 ]} ويذكر تعليق أفلاطوني جديد من القرن السادس الميلادي على كتاب إيساغوجي لبورفيريوس بقلم إلياس الزائف ديوفانتوس أيضًا. بعد استعراض العلوم الأربعة : الحساب، والهندسة ، والموسيقى ، وعلم الفلك ، وأربعة فروع أخرى مجاورة لها ("اللوجستيات"، و"الجيوديسيا"، و"الموسيقى في المادة"، و"علم الكرات")، يذكر النص أن نيكوماخوس (مؤلف كتاب " مقدمة في الحساب ") يحتل المرتبة الأولى في الحساب، بينما يحتل ديوفانتوس المرتبة الأولى في "اللوجستيات"، مما يدل على أنه على الرغم من عنوان كتاب "الحساب" ، فإن أعمال ديوفانتوس الجبرية كانت تُعتبر متميزة عن الحساب قبل العصور الوسطى. ^{[ 24 ]}

كغيرها من العديد من الرسائل الرياضية اليونانية، طواها النسيان في أوروبا الغربية خلال العصور المظلمة ، نظرًا للتراجع الكبير في دراسة اللغة اليونانية القديمة، ومحو الأمية عمومًا. إلا أن الجزء المتبقي من كتاب الحساب اليوناني ، كغيره من النصوص اليونانية القديمة التي نُقلت إلى العالم الحديث المبكر، نُسخ من قِبل علماء بيزنطة في العصور الوسطى، وبالتالي كان معروفًا لديهم. وقد حُفظت شروح ديوفانتوس التي كتبها العالم اليوناني البيزنطي يوحنا خورتاسمينوس (1370-1437)، إلى جانب تعليق شامل كتبه العالم اليوناني السابق ماكسيموس بلانودس (1260-1305)، الذي أصدر طبعة من ديوفانتوس في مكتبة دير خورا في القسطنطينية البيزنطية . ^{[ 25 ]}

أصبح علم الحساب معروفًا لدى علماء الرياضيات في العالم الإسلامي في القرن التاسع الميلادي، عندما ترجمه قسطة بن لوقا إلى اللغة العربية. ^{[ 26 ]}

في عام ١٤٦٣، كتب عالم الرياضيات الألماني ريجيومونتانوس : "لم يترجم أحدٌ بعدُ من اليونانية إلى اللاتينية كتب ديوفانتوس الثلاثة عشر، التي تكمن فيها خلاصة علم الحساب". وقد تُرجم كتاب "الحساب" (Arithmetica) لأول مرة من اليونانية إلى اللاتينية على يد بومبيلي عام ١٥٧٠، لكن الترجمة لم تُنشر قط. مع ذلك، استعار بومبيلي العديد من المسائل لكتابه "الجبر" (Algebra) . ونُشرت الطبعة الأولى من "الحساب" عام ١٥٧٥ على يد زيلاندر .

أصبحت الترجمة اللاتينية لكتاب "الحساب" (Arithmetica) التي قام بها باشيه عام 1621 أول طبعة لاتينية متاحة على نطاق واسع. امتلك بيير دي فيرما نسخة منها، ودرسها، ودوّن ملاحظات في هوامشها. اكتسبت طبعة باشيه من "الحساب" عام 1621 شهرة واسعة بعد أن كتب بيير دي فيرما " نظريته الأخيرة " الشهيرة في هوامش نسخته.

إذا كان عدد صحيح n أكبر من 2، فإن المعادلة aₙ + bₙ = ^cₙ ليس لها حلول في الأعداد الصحيحة غير الصفرية a و b و c . لديّ برهان رائع حقًا لهذه القضية، لكن هذه المساحة ضيقة جدًا بحيث لا تتسع ^{له .}

لم يُعثر على برهان فيرما قط، وظلت مشكلة إيجاد برهان للنظرية دون حل لقرون. وفي عام ١٩٩٤، عُثر على برهان أخيرًا على يد أندرو وايلز بعد سبع سنوات من العمل عليه. ويُعتقد أن فيرما لم يكن يملك البرهان الذي ادعى امتلاكه. ورغم أن النسخة الأصلية التي كتب فيها فيرما هذا البرهان مفقودة اليوم، فقد قام ابنه بتحرير الطبعة التالية من كتاب ديوفانتوس، التي نُشرت عام ١٦٧٠. وعلى الرغم من أن النص أقل جودة من طبعة ١٦٢١، فقد طُبعت تعليقات فيرما - بما في ذلك "النظرية الأخيرة" - في هذه النسخة.

لم يكن فيرما أول عالم رياضيات تأثر لدرجة أنه كتب في هوامشه الخاصة بكتابات ديوفانتوس؛ فقد كتب العالم البيزنطي يوحنا خورتاسمينوس (1370-1437) بجانب المسألة نفسها: "لتكن روحك يا ديوفانتوس مع الشيطان بسبب صعوبة نظرياتك الأخرى، وخاصة النظرية الحالية". ^{[ 27 ]}

كان ديوفانتوس من أوائل من أقروا بأن الأعداد النسبية الموجبة أعداد، وذلك بسماحه باستخدام الكسور كمعاملات وحلول. وقد صاغ مصطلح παρισότης ( parisotēs ) للإشارة إلى المساواة التقريبية. ^{[ 28 ]} وقد تُرجم هذا المصطلح إلى اللاتينية بـ adaequalitas ، وأصبح فيما بعد أسلوب المساواة التقريبية الذي طوره بيير دي فيرما لإيجاد القيم العظمى للدوال وخطوط المماس للمنحنيات.

يُعدّ التحليل الديوفانتي اليوم مجالًا دراسيًا يُعنى بالبحث عن حلول صحيحة (أعداد كاملة) للمعادلات، والمعادلات الديوفانتية هي معادلات متعددة الحدود ذات معاملات صحيحة، ولا يُبحث إلا عن حلول صحيحة لها. عادةً ما يكون من الصعب تحديد ما إذا كانت معادلة ديوفانتية معينة قابلة للحل. تؤدي معظم مسائل ^الحساب إلى معادلات تربيعية . درس ديوفانتوس ثلاثة أنواع مختلفة من المعادلات التربيعية: ax² + bx = c ، ^و ax² = bx + c ، و ax² + c = bx . يعود سبب وجود ثلاث حالات في دراسة ديوفانتوس، بينما لدينا اليوم حالة واحدة فقط، إلى أنه لم يكن لديه مفهوم للصفر، وتجنب ^{المعاملات} السالبة بافتراضه أن الأعداد المعطاة a و b و c موجبة في كل حالة من الحالات الثلاث المذكورة. كان ديوفانتوس يكتفي دائمًا بالحلول الكسرية، ولم يشترط وجود عدد صحيح، مما يعني أنه قبل الكسور كحلول لمسائله. اعتبر ديوفانتوس حلول الجذر التربيعي السالبة أو غير النسبية "عديمة الفائدة" و"لا معنى لها" بل وحتى "عبثية". فعلى سبيل المثال، وصف المعادلة 4 = 4x + 20 بأنها "عبثية" لأنها ستؤدي إلى قيمة سالبة لـ x . كان يبحث عن حل واحد فقط في المعادلة التربيعية. ولا يوجد دليل يشير إلى أن ديوفانتوس أدرك إمكانية وجود حلين للمعادلة التربيعية. كما درس المعادلات التربيعية الآنية .

في عام ١٩٦٨، عثر فؤاد سزكين على أربعة كتبٍ غير معروفةٍ سابقًا في علم الحساب في ضريح الإمام الرضا بمدينة مشهد شمال شرق إيران. ^{[ ٢٩ ]} ويُعتقد أن هذه الكتب الأربعة تُرجمت من اليونانية إلى العربية على يد قسطى بن لوقا (٨٢٠-٩١٢). ^{[ ٣٠ ]} وقد كتب نوربرت شاباشر :

[الكتب الأربعة المفقودة] ظهرت مجدداً حوالي عام 1971 في مكتبة أستان قدس في مشهد (إيران) في نسخة تعود إلى عام 1198. لم يتم فهرستها تحت اسم ديوفانتوس (بل تحت اسم قسطة بن لوقا ) لأن أمين المكتبة لم يتمكن على ما يبدو من قراءة السطر الرئيسي من صفحة الغلاف حيث يظهر اسم ديوفانتوس بالخط الكوفي الهندسي . ^{[ 31 ]}