اللانهاية الفعلية

تحتوي هذه المقالة على اقتباسات طويلة جدًا أو كثيرة جدًا . الرجاء المساعدة في تلخيص الاقتباسات. يمكنك أيضًا نقل الاقتباسات المباشرة إلى Wikiquote أو المقتطفات إلى Wikisource. ( يونيو 2010 )

في فلسفة الرياضيات ، يتضمن تجريد اللانهاية الفعلية ، والذي يُسمى أيضًا اللانهاية المكتملة ، ^{[1] كيانات} لا نهائية كأشياء معطاة وفعلية ومكتملة.

منذ العصور اليونانية القديمة ، كان مفهوم اللانهاية الفعلية موضوعًا للنقاش بين الفلاسفة. كما أن مسألة ما إذا كان الكون لانهائيًا لا تزال محل نقاش بين علماء الفيزياء.

تم تقديم مفهوم اللانهاية الفعلية في الرياضيات بالقرب من نهاية القرن التاسع عشر بواسطة جورج كانتور ، مع نظريته للمجموعات اللانهائية ، والتي تم صياغتها لاحقًا في نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل . تحتوي هذه النظرية، التي يتم قبولها حاليًا بشكل شائع كأساس للرياضيات، على بديهية اللانهاية ، مما يعني أن الأعداد الطبيعية تشكل مجموعة (لا نهائية بالضرورة). أحد الاكتشافات العظيمة لكانتور هو أنه إذا قبل المرء مجموعات لا نهائية، فهناك أحجام مختلفة ( كارديناليات ) للمجموعات اللانهائية، وعلى وجه الخصوص، فإن كاردينال متصل الأعداد الحقيقية أكبر تمامًا من كاردينال الأعداد الطبيعية.

يجب مقارنة اللانهاية الفعلية باللانهاية المحتملة ، حيث تنتج عملية لا نهاية لها (مثل "إضافة 1 إلى الرقم السابق") تسلسلًا بدون عنصر أخير، وحيث تكون كل نتيجة فردية محدودة ويتم تحقيقها في عدد محدود من الخطوات. يحدث هذا النوع من العمليات في الرياضيات، على سبيل المثال، في الصياغات القياسية لمفاهيم السلسلة اللانهائية ، أو المنتج اللانهائي ، أو الحد . ^[2]

كان المصطلح اليوناني القديم لللانهائي المحتمل أو اللانهائي غير المناسب هو apeiron (غير محدود أو غير محدد)، على النقيض من aphorismenon اللانهائي الفعلي أو المناسب . ^{[3] يقف} Apeiron في مقابل ما له peras (حد). يشار إلى هذه المفاهيم اليوم باللانهائي المحتمل واللانهائي الفعلي ، على التوالي.

اعتقد أنكسيماندر (610-546 قبل الميلاد) أن " الأبيرون " هو المبدأ أو العنصر الرئيسي الذي يتألف منه كل شيء. ومن الواضح أن "الأبيرون" كان نوعًا من المادة الأساسية. أما مفهوم أفلاطون عن " الأبيرون " فهو أكثر تجريدًا، ويتعلق بالتغير غير المحدد. والحوارات الرئيسية التي ناقش فيها أفلاطون "الأبيرون" هي الحوارات المتأخرة بارمنيدس وفيليبوس .

يُلخص أرسطو آراء أسلافه حول اللانهاية على النحو التالي:

"إن الفيثاغورسيين وحدهم هم الذين يضعون اللانهائي بين الأشياء الحسية (وهم لا يعتبرون العدد منفصلاً عن هذه الأشياء)، ويزعمون أن ما هو خارج السماء لانهائي. ومن ناحية أخرى، يرى أفلاطون أنه لا يوجد جسم خارج (فالصور ليست خارجة لأنها لا توجد في أي مكان)، ومع ذلك فإن اللانهائي موجود ليس فقط في الأشياء الحسية بل وفي الصور أيضًا." (أرسطو) ^[4]

وقد تم طرح هذا الموضوع من خلال تفكير أرسطو في موضوع القرد - في سياق الرياضيات والفيزياء (دراسة الطبيعة):

"لقد تبين أن اللانهاية هي عكس ما يقوله الناس عنها. فليس "ما ليس له شيء أبعد من ذاته" هو اللانهائي، بل "ما له دائمًا شيء أبعد من ذاته". (أرسطو) ^[5]

إن الإيمان بوجود اللانهائي ينبع أساساً من خمسة اعتبارات: ^[6]

1. من طبيعة الزمن – فهو لانهائي.
2. من تقسيم المقدار – فالرياضيون يستخدمون أيضًا مفهوم اللانهائي.
3. إذا لم يحدث شيء بين المجيء والزوال، فذلك لأن الشيء الذي تنشأ منه الأشياء هو لانهائي.
4. لأن المحدود يجد دائماً حدوده في شيء، وبالتالي لا بد أن لا يكون هناك حدود، إذا كان كل شيء محدوداً دائماً بشيء مختلف عن نفسه.
5. إن السبب الأكثر أهمية هو سبب مناسب بشكل خاص ويطرح الصعوبة التي يشعر بها الجميع - ليس فقط العدد ولكن أيضًا الأحجام الرياضية وما هو خارج السماء من المفترض أن تكون لا نهائية لأنها لا تتلاشى أبدًا في فكرنا. (أرسطو)

افترض أرسطو أن اللانهاية الفعلية مستحيلة، لأنه إذا كانت ممكنة، فإن شيئًا ما كان سيبلغ حجمًا لانهائيًا، وكان ليكون "أكبر من السماوات". ومع ذلك، قال إن الرياضيات المتعلقة باللانهاية لم تُحرم من قابلية تطبيقها بسبب هذا الاستحالة، لأن علماء الرياضيات لم يحتاجوا إلى اللانهاية لنظرياتهم، بل فقط إلى حجم محدود وكبير بشكل تعسفي. ^[7]

تناول أرسطو موضوع اللانهاية في الفيزياء والميتافيزيقا . وقد ميز بين اللانهاية الفعلية واللانهاية المحتملة . اللانهاية الفعلية مكتملة ومحددة، وتتكون من عدد لا نهائي من العناصر. أما اللانهاية المحتملة فهي لا تكتمل أبدًا: يمكن دائمًا إضافة عناصر، ولكن ليس إلى عدد لا نهائي أبدًا .

"فإن اللانهائي عمومًا لديه هذا النمط من الوجود: دائمًا ما يتم أخذ شيء تلو الآخر، وكل شيء يتم أخذه يكون دائمًا محدودًا، ولكنه دائمًا مختلف."

-  أرسطو، الفيزياء، الكتاب 3، الفصل 6.

ميز أرسطو بين اللانهاية فيما يتعلق بالجمع والقسمة.

لكن أفلاطون لديه لانهائيتان، العظمى والصغرى.

-  الفيزياء، الكتاب 3، الفصل 4.

"كمثال على سلسلة لا نهائية محتملة فيما يتعلق بالزيادة، يمكن دائمًا إضافة رقم واحد تلو الآخر في السلسلة التي تبدأ بـ 1،2،3،... ولكن عملية إضافة المزيد والمزيد من الأرقام لا يمكن استنفادها أو إكمالها." ^{[ بحاجة لمصدر ]}

فيما يتعلق بالقسمة، قد تبدأ سلسلة لا نهائية من الانقسامات، على سبيل المثال، 1، 1/2، 1/4، 1/8، 1/16، ولكن لا يمكن استنفاد أو إكمال عملية القسمة.

"إن حقيقة أن عملية التقسيم لا تنتهي أبدًا تضمن وجود هذا النشاط بالقوة، ولكن ليس وجود اللانهاية بشكل منفصل."

-  الميتافيزيقا، الكتاب 9، الفصل 6.

كما زعم أرسطو أن علماء الرياضيات اليونانيين كانوا يعرفون الفرق بين اللانهائي الفعلي واللانهائي المحتمل، لكنهم "لا يحتاجون إلى اللانهائي [الفعلي] ولا يستخدمونه" ( Phys. III 2079 29). ^[8]

لقد التزمت الغالبية العظمى من الفلاسفة المدرسيين بشعار " لا نهاية للفعل ". وهذا يعني أن هناك ما لا نهاية محتملة (متطورة، غير لائقة، "متجانسة") ولكن ليس هناك ما لا نهاية فعلية (ثابتة، لائقة، "متجانسة") . ومع ذلك، كانت هناك استثناءات، على سبيل المثال في إنجلترا.

ومن المعروف أن جميع الفلاسفة المدرسيين في العصور الوسطى يؤيدون مبدأ أرسطو "infinitum actu non datur" كمبدأ لا يقبل الجدل. ( ج. كانتور ) ^[9]

إن اللانهاية الفعلية موجودة في العدد والزمن والكمية. (ج. باكونثورب [9، ص 96])

خلال عصر النهضة وأوائل العصور الحديثة كانت الأصوات المؤيدة لللانهاية الفعلية نادرة إلى حد ما.

يتكون المتصل في الواقع من عدد لا نهائي من الأشياء غير القابلة للتجزئة ( G. Galilei [9، ص 97])

أنا مؤيد بشدة لللانهاية الفعلية. ( GW Leibniz [9، ص 97])

ومع ذلك، فإن غالبية المفكرين ما قبل الحداثيين ^{[ بحاجة لمصدر ]} وافقوا على الاقتباس الشهير لغاوس:

أعترض على استخدام المقدار اللانهائي كشيء مكتمل، وهو أمر غير مسموح به مطلقًا في الرياضيات. إن اللانهاية ليست سوى طريقة للتحدث، والمعنى الحقيقي هو حد تقترب منه نسب معينة إلى ما لا نهاية، بينما يُسمح لنسب أخرى بالزيادة دون قيود. ^[10] ( CF Gauss [في رسالة إلى شوماخر، 12 يوليو 1831])

إن اللانهاية الفعلية مقبولة الآن على نطاق واسع في الرياضيات، على الرغم من أن المصطلح لم يعد قيد الاستخدام، حيث تم استبداله بمفهوم المجموعات اللانهائية . وقد بدأ هذا التغيير الجذري بواسطة بولزانو وكانتور في القرن التاسع عشر، وكان أحد أسباب الأزمة الأساسية للرياضيات .

عارض برنارد بولزانو ، الذي قدم مفهوم المجموعة (بالألمانية: Menge )، وجورج كانتور، الذي قدم نظرية المجموعة ، الموقف العام. ميز كانتور بين ثلاثة عوالم من اللانهاية: (1) لانهاية الله (التي أطلق عليها "المطلق")، (2) لانهاية الواقع (التي أطلق عليها "الطبيعة") و(3) الأعداد والمجموعات اللانهائية في الرياضيات.

"إن الجمهور الذي يكون أكبر من أي جمهور محدود، أي الجمهور الذي يتميز بأن كل مجموعة محدودة [من أعضاء النوع المعني] ليست سوى جزء منه، سوف أسميه جمهورًا لا نهائيًا. (ب. بولزانو [2، ص 6])"

"وبناء على ذلك، فإنني أميز بين ما لا نهاية أبدي غير مخلوق أو مطلق، وهو ما يرجع إلى الله وصفاته، وما لا نهاية مخلوقة أو ما لا نهاية له، والتي يجب استخدامها أينما كان من الضروري ملاحظة ما لا نهاية فعلية في الطبيعة المخلوقة، على سبيل المثال، فيما يتعلق، وفقًا لقناعتي الراسخة، بالعدد اللانهائي الفعلي للأفراد المخلوقين، في الكون وكذلك على أرضنا، وعلى الأرجح، حتى في كل قطعة صغيرة ممتدة من الفضاء. (جورج كانتور) ^[11] (ج. كانتور [8، ص 252])"

الأرقام هي من إبداع العقل البشري الحر. ( ر. ديديكيند [3أ، ص. 3])

إن أحد الأدلة يستند إلى فكرة الله. أولاً، نستنتج من الكمال الأعظم لله إمكانية خلق ما هو فوق المحدود، ثم نستنتج من نعمته وعظمته ضرورة أن يكون خلق ما هو فوق المحدود قد حدث بالفعل. (ج. كانتور [3، ص 400])

ميز كانتور بين نوعين من اللانهاية الفعلية، اللانهائية والمطلقة، والتي أكد عليها:

يجب التمييز بين هذه المفاهيم بشكل صارم، بقدر ما يكون الأول، بالتأكيد، لانهائيًا ، ولكنه قابل للزيادة ، في حين أن الأخير غير قادر على الزيادة ، وبالتالي فهو غير قابل للتحديد كمفهوم رياضي. وهذا الخطأ نجده، على سبيل المثال، في وحدة الوجود . (جي. كانتور، Über verschiedene Standpunkte in bezug auf das aktuelle Unendliche ، in Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts ، ص 375، 378) ^[12]

إن اللانهاية الفعلية مقبولة الآن بشكل عام في الرياضيات تحت مسمى " المجموعة اللانهائية ". والواقع أن نظرية المجموعات تم صياغتها رسميًا باعتبارها نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل (ZF). ومن بين مسلمات نظرية زيرميلو-فرانكل مسلمة اللانهاية ، التي تنص في الأساس على أن الأعداد الطبيعية تشكل مجموعة.

لقد تمت إعادة كتابة كل الرياضيات من حيث ZF. على وجه الخصوص، يتم تعريف الخطوط والمنحنيات وجميع أنواع المساحات كمجموعة من نقاطها. المجموعات اللانهائية شائعة جدًا، وعندما نفكر في المجموعات المنتهية، يتم ذكر ذلك صراحةً بشكل عام؛ على سبيل المثال الهندسة المنتهية ، والحقل المنتهي ، وما إلى ذلك.

مبرهنة فيرما الأخيرة هي مبرهنة تم طرحها من حيث الحساب الابتدائي ، والتي تم إثباتها بعد أكثر من 350 عامًا فقط. لم يستخدم إثبات وايلز الأصلي لمبرهنة فيرما الأخيرة القوة الكاملة لـ ZF مع بديهية الاختيار فحسب ، بل استخدم ضمنيًا بديهية أخرى تعني وجود مجموعات كبيرة جدًا. تم رفض متطلب هذه البديهية الإضافية لاحقًا، لكن المجموعات اللانهائية لا تزال مستخدمة بطريقة أساسية. لم يكن هذا عقبة أمام الاعتراف بصحة الإثبات من قبل مجتمع علماء الرياضيات.

المعنى الرياضي لمصطلح "فعلي" في اللانهاية الفعلية مرادف لما هو محدد أو مكتمل أو ممتد أو وجودي ، ^[13] ولكن لا ينبغي الخلط بينه وبين الوجود المادي . وبالتالي فإن مسألة ما إذا كانت الأعداد الطبيعية أو الحقيقية تشكل مجموعات محددة مستقلة عن مسألة ما إذا كانت الأشياء اللانهائية موجودة ماديًا في الطبيعة .

يرفض أنصار الحدس ، من كرونيكر فصاعدًا، الادعاء بوجود كائنات أو مجموعات رياضية لا نهائية بالفعل. وبالتالي، فإنهم يعيدون بناء أسس الرياضيات بطريقة لا تفترض وجود ما لا نهاية له فعليًا. من ناحية أخرى، يقبل التحليل البنّاء وجود ما لا نهاية له من الأعداد الصحيحة.

بالنسبة للحدسيين، يوصف اللانهاية بأنها محتملة ؛ المصطلحات المرادفة لهذا المفهوم هي الصيرورة أو البناءة . ^[13] على سبيل المثال، يصف ستيفن كلين مفهوم شريط آلة تورينج بأنه "شريط خطي، لا نهائي (محتمل) في كلا الاتجاهين". ^[14] للوصول إلى الذاكرة على الشريط، تحرك آلة تورينج رأس القراءة على طوله في خطوات محدودة للغاية: وبالتالي فإن الشريط لا نهائي "محتمل" فقط، لأنه - في حين توجد دائمًا القدرة على اتخاذ خطوة أخرى - لا يتم الوصول إلى اللانهاية نفسها أبدًا. ^[15]

يقبل علماء الرياضيات عمومًا اللانهائيات الفعلية. ^[16] جورج كانتور هو أهم عالم رياضيات دافع عن اللانهائيات الفعلية. قرر أنه من الممكن أن تكون الأعداد الطبيعية والحقيقية مجموعات محددة، وأنه إذا رفض المرء بديهية النهاية الإقليدية (التي تنص على أن الوقائع، منفردة وفي مجموعات، محدودة بالضرورة)، فلن يكون متورطًا في أي تناقض .

التفسير التقليدي الحالي للحدود النهائية للأعداد الترتيبية والكاردينالية هو أنها تتكون من مجموعة من الرموز الخاصة، ولغة شكلية مرتبطة بها، والتي يمكن من خلالها صياغة البيانات. كل هذه البيانات محدودة الطول بالضرورة. وتستند سلامة التلاعبات فقط على المبادئ الأساسية للغة الشكلية: جبر المصطلحات ، وإعادة كتابة المصطلحات ، وما إلى ذلك. وبشكل أكثر تجريدًا، تقدم كل من نظرية النموذج (المحدود) ونظرية الإثبات الأدوات اللازمة للعمل مع اللانهائيات. لا يتعين على المرء أن "يؤمن" باللانهائي من أجل كتابة تعبيرات صالحة جبريًا باستخدام رموز اللانهائية.

المشكلة الفلسفية المتعلقة باللانهاية الفعلية تتعلق بما إذا كان المفهوم متماسكًا وسليمًا معرفيًا.

نظرية مجموعات زيرميلو-فرانكل هي الأساس القياسي للرياضيات حاليًا. إحدى مسلماتها هي مسلمة اللانهاية التي تنص على وجود مجموعات لا نهائية، وعلى وجه الخصوص أن الأعداد الطبيعية تشكل مجموعة لا نهائية. ومع ذلك، لا يزال بعض فلاسفة الرياضيات المحدودين والبنائيين يعترضون على هذه الفكرة. ^{[ من؟ ]}

• الحد (رياضيات)
• عددية المتصل

• أرسطو ، الفيزياء [1]
• برنارد بولزانو ، 1851، Paradoxien des Unendlichen ، ريكلام، لايبزيغ.
• برنارد بولزانو 1837، Wissenchaftslehre ، سولزباخ.
• جورج كانتور في E. Zermelo (محرر) 1966، Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts ، Olms، Hildesheim.
• ريتشارد ديديكيند في عام 1960 هل كان سندًا ومُعذبًا يموت زحلين؟ , فيويغ, براونشفايغ.
• أدولف أبراهام فرانكل 1923، Einleitung in die Mengenlehre ، Springer، Berlin.
• أدولف أبراهام فرانكل، واي بار هيليل، أ. ليفي 1984، أسس نظرية المجموعات ، الطبعة الثانية، شمال هولندا، أمستردام نيويورك.
• ستيفن سي. كلين 1952 (طبعة 1971، الطبعة العاشرة)، مقدمة في الميتاماثماتيكا ، دار نشر شمال هولندا، أمستردام نيويورك. ISBN 0-444-10088-1 . 
• H. Meschkowski 1981، جورج كانتور: Leben، Werk und Wirkung (2. Aufl.)، BI، مانهايم.
• H. Meschkowski، W. Nilson (Hrsg.) 1991، جورج كانتور – موجز ، سبرينغر، برلين.
• أبراهام روبنسون 1979، أوراق مختارة ، المجلد 2، مجلة الجمعية الأمريكية لعلم النفس، لوكسمبورج، س. كورنر (Hrsg.)، شمال هولندا، أمستردام.