كارل فريدريش جاوس

وُلد غاوس في 30 أبريل 1777 في برونزويك ، التابعة لدوقية برونزويك-فولفنبوتل (التي تقع الآن في ولاية ساكسونيا السفلى الألمانية ). كانت عائلته من الطبقة الاجتماعية المتواضعة نسبيًا. ^{[ 7 ]} عمل والده، غيبهارد ديتريش غاوس (1744-1808)، في مهنٍ متنوعة، منها الجزار، والبناء، والبستاني، وأمين صندوق تعويضات الوفاة. وصف غاوس والده بأنه رجلٌ شريفٌ ومحترم، ولكنه كان فظًا ومتسلطًا في المنزل. كان والده بارعًا في الكتابة والحساب، بينما كانت زوجته الثانية، دوروثيا، والدة كارل فريدريش، شبه أمية. ^{[ 8 ]} كان لديه أخٌ أكبر من زواج والده الأول. ^{[ 9 ]}

كان غاوس طفلاً عبقرياً في الرياضيات. عندما لاحظ معلمو المرحلة الابتدائية قدراته الفكرية، لفتوا انتباه دوق برونزويك إليه ، فأرسله إلى كلية كارولينوم المحلية ، ^{[ ج ]} حيث التحق بها من عام 1792 إلى عام 1795، وكان إيبرهارد أوغسطس فيلهلم فون زيمرمان أحد أساتذته. ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]} بعد ذلك، منحه الدوق الموارد اللازمة لدراسة الرياضيات والعلوم واللغات الكلاسيكية في جامعة غوتنغن حتى عام 1798. ^{[ 14 ]} كان أستاذه في الرياضيات أبراهام غوتليف كاستنر ، الذي وصفه غاوس بأنه "أبرز رياضي بين الشعراء، وأبرز شاعر بين الرياضيين" بسبب أبياته الموجزة . ^{[ 15 ] [ د ]} أما علم الفلك، فقد درّسه كارل فيليكس سيفر ، الذي ظل غاوس على تواصل معه بعد التخرج. ^{[ 16 ]} سخر منه أولبرز وغوس في مراسلاتهما. ^{[ 17 ]} من ناحية أخرى، كان يكنّ تقديرًا كبيرًا لجورج كريستوف ليشتنبرغ ، أستاذه في الفيزياء، ولكريستيان غوتلوب هاين ، الذي كان غاوس يحضر محاضراته في الأدب الكلاسيكي بسرور. ^{[ 16 ]} وكان من بين زملائه في الدراسة في ذلك الوقت يوهان فريدريش بنزنبرغ ، وفاركاس بولياي ، وهاينريش فيلهلم براندس . ^{[ 16 ]}

من المرجح أنه كان طالبًا عصاميًا في الرياضيات، إذ أعاد اكتشاف العديد من النظريات بشكل مستقل. ^{[ 13 ]} وقد حلّ مسألة هندسية شغلت علماء الرياضيات منذ عهد الإغريق القدماء، عندما حدد عام 1796 أي المضلعات المنتظمة يمكن إنشاؤها باستخدام الفرجار والمسطرة . قاد هذا الاكتشاف غاوس في نهاية المطاف إلى اختيار الرياضيات كمهنة بدلًا من فقه اللغة . ^{[ 18 ]} وتُظهر مذكرات غاوس الرياضية، وهي عبارة عن مجموعة من الملاحظات الموجزة حول نتائجه من عام 1796 حتى عام 1814، أن العديد من أفكار عمله الرياضي الأبرز " Disquisitiones Arithmeticae " (1801) تعود إلى هذه الفترة. ^{[ 19 ]}

تروي قصة غير موثقة أن غاوس، عندما كان طالبًا في المرحلة الابتدائية، كُلِّف هو وطلابه من قِبَل معلمهم، يوهان جي. بوتنر، بجمع الأعداد من 1 إلى 100. ولدهشة بوتنر، أجاب غاوس بالإجابة الصحيحة وهي 5050 في وقت أسرع بكثير مما كان متوقعًا. ^{[ 20 ]} يُفترض أن غاوس أدرك أن المجموع يُمكن إعادة ترتيبه على شكل 50 زوجًا من 101 (1 + 100 = 101، 2 + 99 = 101، وهكذا). ولذلك، قام ببساطة بضرب 50 في 101. ^{[ 21 ]}

والجدير بالذكر أن طريقة الجمع هذه قد تم وصفها بشكل صريح قبل قرون في تعليق توسافوت الذي يعود إلى القرن الثاني عشر على التلمود البابلي (مسلك مناحوت 106أ)، والذي يقدم نفس القاعدة: "خذ نصف العدد الإجمالي واضربه في العدد الإجمالي زائد واحد. ^{[ 22 ]}

حصل غاوس على درجة الدكتوراه في الفلسفة عام ١٧٩٩، ليس من غوتينغن كما يُذكر أحيانًا، ^{[ هـ ] [ ٢٣ ]} بل من جامعة هيلمشتيت ، الجامعة الحكومية الوحيدة في الدوقية. قيّم يوهان فريدريش بفاف أطروحته، وحصل غاوس على الدرجة غيابيًا دون مزيد من الامتحان الشفهي. ^{[ ١٣ ]} ثم منحه الدوق نفقات معيشته كباحث مستقل في برونزويك. بعد ذلك، رفض غاوس دعوات من الأكاديمية الروسية للعلوم في سانت بطرسبرغ وجامعة لودفيغ ماكسيميليان في لاندشوت . ^{[ 24 ] [ 25 ]} وفي وقت لاحق، وعده الدوق بتأسيس مرصد في برونزويك عام 1804. وقد وضع المهندس المعماري بيتر جوزيف كراهي تصاميم أولية، لكن إحدى حروب نابليون ألغت تلك الخطط: ^{[ 26 ]} قُتل الدوق في معركة يينا عام 1806. وتم إلغاء الدوقية في العام التالي، وتوقف الدعم المالي الذي كان يقدمه غاوس.

عندما كان غاوس يحسب مدارات الكويكبات في السنوات الأولى من القرن، تواصل مع الأوساط الفلكية في بريمن وليليانثال ، ولا سيما فيلهلم أولبرز ، وكارل لودفيغ هاردينغ ، وفريدريش فيلهلم بيسل ، وشكّلوا جزءًا من المجموعة غير الرسمية من الفلكيين المعروفة باسم " شرطة الأجرام السماوية" . ^{[ 27 ]} كان من بين أهدافهم اكتشاف المزيد من الكواكب. جمعوا بيانات عن الكويكبات والمذنبات كأساس لأبحاث غاوس حول مداراتها، والتي نشرها لاحقًا في كتابه الفلكي العظيم " نظرية حركة الأجرام السماوية التي تدور حول الشمس في مقاطع مخروطية" (1809). ^{[ 28 ]}

في نوفمبر 1807، عُيّن غاوس أستاذًا ومديرًا للمرصد الفلكي في جامعة غوتنغن ، التي كانت آنذاك مؤسسة تابعة لمملكة وستفاليا حديثة التأسيس تحت حكم جيروم بونابرت ، ^{[ 29 ]} وظل يشغل هذا المنصب حتى وفاته عام 1855. وسرعان ما واجه مطالبة من حكومة وستفاليا بدفع ألفي فرنك كمساهمة حرب، وهو مبلغ لم يكن بمقدوره دفعه. حاول كل من أولبرز ولابلاس مساعدته في السداد، لكن غاوس رفض. وفي النهاية، تكفل شخص مجهول من فرانكفورت ، تبين لاحقًا أنه الأمير دالبرغ ، ^{[ 30 ]} بدفع المبلغ. ^{[ 29 ]}

تولى غاوس إدارة المرصد الذي يبلغ عمره 60 عامًا، والذي أسسه الأمير الناخب جورج الثاني عام 1748 ، وشُيّد على برج تحصين مُحوّل، ^{[ 31 ]} بأجهزة صالحة للاستخدام ولكنها قديمة جزئيًا. ^{[ 32 ]} كان الأمير الناخب جورج الثالث قد وافق مبدئيًا على بناء مرصد جديد منذ عام 1802، وواصلت حكومة وستفاليا التخطيط، ^{[ 33 ]} لكن غاوس لم يتمكن من الانتقال إلى مكان عمله الجديد حتى سبتمبر 1816. ^{[ 25 ]} حصل على أجهزة حديثة، بما في ذلك دائرتان لخط الزوال ^من ريبسولد [ ^{34 ] ورايشنباخ} ، [ 35 ^{] وجهاز} قياس الإشعاع الشمسي من فراونهوفر . ^{[ 36 ]}

يمكن تقسيم النشاط العلمي لغوس، إلى جانب الرياضيات البحتة، تقريبًا إلى ثلاث فترات: كان علم الفلك هو محور التركيز الرئيسي في العقدين الأولين من القرن التاسع عشر، وعلم الجيوديسيا في العقد الثالث، والفيزياء، وخاصة المغناطيسية، في العقد الرابع. ^{[ 37 ]}

لم يُخفِ غاوس نفوره من إلقاء المحاضرات الأكاديمية. ^{[ 24 ] [ 25 ]} لكن منذ بداية مسيرته الأكاديمية في غوتينغن، واظب على إلقاء المحاضرات حتى عام 1854. ^{[ 38 ]} وكثيراً ما كان يشكو من أعباء التدريس، معتبراً إياها مضيعة لوقته. من جهة أخرى، كان يصف بعض الطلاب أحياناً بالموهوبين. ^{[ 24 ]} تناولت معظم محاضراته علم الفلك والجيوديسيا والرياضيات التطبيقية ، ^{[ 39 ]} وثلاث محاضرات فقط في الرياضيات البحتة. ^{[ 24 ] [ f ]} أصبح بعض طلاب غاوس علماء رياضيات وفيزياء وفلكيين مشهورين: موريتز كانتور ، ديديكيند ، ديركسن ، إنكي ، غولد ، ^{[ ز} ] هاين ^، كلينكيرفوس ، كوبفر ، ليستينغ ، موبيوس ، نيكولاي ، ريمان ، ريتر ، شيرينغ ، شيرك ، شوماخر , فون ستودت , ستيرن , أورسين ; مثل علماء الجيولوجيا سارتوريوس فون فالترشاوزن ، ووابوس . ^{[ 24 ]}

لم يؤلف غاوس أي كتاب مدرسي، وكان يكره تبسيط المسائل العلمية. وكانت محاولاته الوحيدة في هذا المجال أعماله حول تاريخ عيد الفصح (1800/1802) ومقالته "المغناطيسية الأرضية ومقياس المغناطيسية" عام 1836. ^{[ 41 ]} نشر غاوس أبحاثه وكتبه حصريًا باللاتينية أو الألمانية . ^{[ ح ] [ ط ]} كتب اللاتينية بأسلوب كلاسيكي، لكنه استخدم بعض التعديلات الشائعة التي وضعها علماء الرياضيات المعاصرون. ^{[ 44 ]}

ألقى غاوس محاضرته الافتتاحية في جامعة غوتنغن عام ١٨٠٨. وصف فيها منهجه في علم الفلك بأنه قائم على الملاحظات الموثوقة والحسابات الدقيقة، لا على المعتقدات أو الفرضيات الفارغة. ^{[ ٣٩ ]} في الجامعة، رافقه طاقم من المحاضرين المتخصصين في مجالاته، والذين أكملوا البرنامج التعليمي؛ من بينهم عالم الرياضيات تيبو بمحاضراته، ^{[ ٤٦ ]} والفيزيائي ماير ، المعروف بكتبه الدراسية، ^{[ ٤٧ ]} وخليفته ويبر منذ عام ١٨٣١، وفي المرصد هاردينغ ، الذي تولى الجزء الأكبر من محاضرات علم الفلك التطبيقي. عند اكتمال بناء المرصد، شغل غاوس الجناح الغربي منه، بينما شغل هاردينغ الجناح الشرقي. ^{[ 25 ]} كانت تربطهما علاقة ودية في السابق، لكنهما تباعدا بمرور الوقت، ربما - كما يفترض بعض كُتّاب سيرته - لأن غاوس كان يرغب في ألا يكون هاردينغ، الذي كان له نفس الرتبة، أكثر من مجرد مساعد أو مراقب. ^{[ 25 ] [ j ]} استخدم غاوس دوائر الزوال الجديدة بشكل شبه حصري، وأبقاها بعيدة عن هاردينغ، باستثناء بعض الملاحظات المشتركة النادرة جدًا. ^{[ 49 ]}

يقسم بريندل النشاط الفلكي لغوس زمنيًا إلى سبع فترات، ويعتبر السنوات التي تلت عام 1820 "فترة نشاط فلكي أقل". ^{[ 50 ]} لم يكن المرصد الجديد المجهز تجهيزًا جيدًا فعالًا كغيره من المراصد؛ إذ اتسم بحث غاوس الفلكي بطابع العمل الفردي دون برنامج رصد طويل الأمد، ولم تُخصص الجامعة وظيفة لمساعد إلا بعد وفاة هاردينغ عام 1834. ^{[ 48 ] [ 49 ] [ k ]}

مع ذلك، رفض غاوس مرتين فرصة حل المشكلة، إذ رفض عروضًا من برلين عامي 1810 و1825 ليصبح عضوًا كاملًا في الأكاديمية البروسية دون تحمل أعباء التدريس، وكذلك من جامعة لايبزيغ عام 1810 وجامعة فيينا عام 1842، ربما بسبب الظروف العائلية الصعبة. ^{[ 48 ]} رُفع راتب غاوس من 1000 رايخستالر عام 1810 إلى 2500 رايخستالر عام 1824، ^{[ 25 ]} وفي سنواته الأخيرة كان من بين أعلى أساتذة الجامعة أجرًا. ^{[ 51 ]}

عندما طلب غاوس المساعدة من زميله وصديقه فريدريك فيلهلم بيسل عام ١٨١٠، والذي كان يواجه مشكلة في جامعة كونيغسبرغ بسبب افتقاره إلى لقب أكاديمي، منحه غاوس درجة دكتوراه فخرية من كلية الفلسفة في غوتينغن في مارس ١٨١١. ^{[ ١ ]} كما أوصى غاوس بمنح صوفي جيرمان درجة فخرية أخرى ، ولكن قبل وفاتها بفترة وجيزة، فلم تنلها. ^{[ ٥٤ ]} وقدّم أيضًا دعمًا ناجحًا لعالم الرياضيات غوتهولد آيزنشتاين في برلين. ^{[ ٥٥ ]}

كان غاوس مواليًا لآل هانوفر . بعد وفاة الملك ويليام الرابع عام ١٨٣٧، ألغى الملك الهانوفري الجديد إرنست أوغسطس دستور عام ١٨٣٣. احتج سبعة أساتذة، عُرفوا لاحقًا باسم " سبعة غوتينغن "، على هذا القرار، وكان من بينهم صديقه وزميله فيلهلم ويبر وصهره هاينريش إيوالد. فُصل جميعهم من وظائفهم، وطُرد ثلاثة منهم، بينما سُمح لإيوالد وويبر بالبقاء في غوتينغن. تأثر غاوس بشدة بهذا الخلاف، لكنه لم يرَ سبيلًا لمساعدتهم. ^{[ ٥٦ ]}

شارك غاوس في الإدارة الأكاديمية، حيث انتُخب عميدًا لكلية الفلسفة ثلاث مرات. ^{[ 57 ]} وبصفته مسؤولًا عن صندوق معاشات أرامل الجامعة، اهتم بالعلوم الاكتوارية وكتب تقريرًا عن استراتيجية تثبيت المزايا. وعُيّن مديرًا للأكاديمية الملكية للعلوم في غوتينغن لمدة تسع سنوات. ^{[ 57 ]}

ظل غاوس نشطًا ذهنيًا حتى شيخوخته، رغم معاناته من النقرس والحزن. في 23 فبراير 1855، توفي إثر نوبة قلبية في غوتينغن؛ ^{[ 15 ]} ودُفن في مقبرة ألباني هناك. ألقى هاينريش إيوالد ، صهر غاوس، وولفغانغ سارتوريوس فون والترشاوزن ، صديقه المقرب وكاتب سيرته، كلمات تأبين في جنازته. ^{[ 58 ]}

كان غاوس مستثمراً ناجحاً وجمع ثروة كبيرة من الأسهم والسندات، بلغت قيمتها أكثر من 150 ألف ثالر؛ وبعد وفاته، عُثر على حوالي 18 ألف ثالر مخبأة في غرفه. ^{[ 59 ]}

في اليوم التالي لوفاة غاوس، أُزيل دماغه وحُفظ ودُرِس على يد رودولف فاغنر ، الذي وجد أن كتلته أعلى بقليل من المتوسط، إذ بلغت 1492 غرامًا (3.29 رطلًا) . ^{[ 60 ] [ 61 ]} وقدّر هيرمان ، نجل فاغنر ، وهو جغرافي، مساحة الدماغ بـ 219588 مليمترًا مربعًا (340362 بوصة مربعة ) في أطروحته للدكتوراه. ^{[ 62 ]} في عام 2013، اكتشف عالم أحياء عصبية في معهد ماكس بلانك للكيمياء الفيزيائية الحيوية في غوتينغن أن دماغ غاوس قد اختلط بعد فترة وجيزة من التحقيقات الأولية، بسبب خطأ في التسمية، بدماغ الطبيب كونراد هاينريش فوكس ، الذي توفي في غوتينغن بعد بضعة أشهر من وفاة غاوس. ^{[ 63 ]} وأظهر تحقيق لاحق عدم وجود أي تشوهات ملحوظة في دماغ أي من الشخصين. وبالتالي، فإن جميع الدراسات التي أجريت على دماغ غاوس حتى عام 1998، باستثناء الدراسات الأولى التي أجراها رودولف وهيرمان فاغنر، تشير في الواقع إلى دماغ فوكس. ^{[ 64 ]}   

تزوج غاوس من جوانا أوستوف في 9 أكتوبر 1805 في كنيسة سانت كاترين في برونزويك. ^{[ 65 ]} أنجبا ولدين وبنتًا: جوزيف (1806-1873)، وويلهلمينا (1808-1840)، ولويس (1809-1810). توفيت جوانا في 11 أكتوبر 1809، بعد شهر من ولادة لويس، الذي توفي بدوره بعد بضعة أشهر. ^{[ 66 ]} اختار غاوس أسماء أبنائه تكريمًا لجوزيبي بيازي ، وويلهلم أولبرز، وكارل لودفيج هاردينغ، مكتشفي الكويكبات الأولى. ^{[ 67 ]}

في الرابع من أغسطس عام ١٨١٠، تزوج غاوس من فيلهلمين (مينا) فالديك، صديقة زوجته الأولى، وأنجب منها ثلاثة أبناء آخرين: يوجين (لاحقًا يوجين) (١٨١١-١٨٩٦)، وفيلهلم (لاحقًا ويليام) (١٨١٣-١٨٧٩)، وتيريز (١٨١٦-١٨٦٤). توفيت مينا غاوس في الثاني عشر من سبتمبر عام ١٨٣١ بعد معاناة طويلة مع المرض لأكثر من عقد. ^{[ ٦٨ ]} ثم تولت تيريز إدارة شؤون المنزل واعتنت بغوس حتى وفاته؛ وبعد وفاة والدها، تزوجت من الممثل كونستانتين شتاوفناو. ^{[ ٦٩ ]} تزوجت شقيقتها فيلهلمين من المستشرق هاينريش إيوالد . ^{[ ٧٠ ]} عاشت والدة غاوس، دوروثيا، في منزله من عام ١٨١٧ حتى وفاتها عام ١٨٣٩. ^{[ ١٤ ]}

ساعد الابن الأكبر جوزيف، وهو لا يزال طالبًا، والده كمساعد خلال حملة المسح في صيف عام 1821. بعد فترة وجيزة في الجامعة، انضم جوزيف إلى الجيش الهانوفري عام 1824 ، وساعد في أعمال المسح مرة أخرى عام 1829. في ثلاثينيات القرن التاسع عشر، تولى مسؤولية توسيع شبكة المسح لتشمل الأجزاء الغربية من المملكة. وبفضل مؤهلاته في علم المساحة، ترك الخدمة العسكرية وانخرط في بناء شبكة السكك الحديدية مديرًا لسكك حديد هانوفر الملكية . وفي عام 1836، درس نظام السكك الحديدية في الولايات المتحدة لعدة أشهر. ^{[ 51 ] [ م ]}

غادر يوجين غوتينغن في سبتمبر 1830 وهاجر إلى الولايات المتحدة، حيث أمضى خمس سنوات في الجيش. ثم عمل لدى شركة الفراء الأمريكية في الغرب الأوسط. انتقل لاحقًا إلى ميسوري وأصبح رجل أعمال ناجحًا. ^{[ 51 ]} تزوج فيلهلم من ابنة أخت عالم الفلك بيسل ؛ ^{[ 73 ]} ثم انتقل إلى ميسوري، وبدأ حياته كمزارع، ثم أصبح ثريًا في تجارة الأحذية في سانت لويس في سنوات لاحقة. ^{[ 74 ]} ليوجين وويليام أحفاد كثر في أمريكا، لكن جميع أحفاد غاوس الباقين في ألمانيا ينحدرون من جوزيف، إذ لم تنجب بناته أطفالًا. ^{[ 51 ]}

• 
  جوزيف جاوس
• 
  صوفي غاوس (اسمها قبل الزواج إريثروبيل) زوجة جوزيف
• 
  ويلهلمينا جاوس
• 
  زوج هاينريش إيوالد فيلهلمينا
• 
  يوجين (يوجين) جاوس
• 
  هنرييتا غاوس (ني فاوست) زوجة يوجين
• 
  فيلهلم (تشارلز ويليام) غاوس
• 
  لويزا أليتا جاوس (اسمها قبل الزواج فالنشتاين) زوجة ويليام
• 
  تيريز غاوس
• 
  زوج قسطنطين ستوفيناو تيريز

كان من أوائل اكتشافات غاوس مفهوم المتوسط ​​الحسابي الهندسي لعددين حقيقيين موجبين. ^{[ 141 ]} اكتشف غاوس علاقته بالتكاملات الإهليلجية في عامي 1798-1799 من خلال تحويل لاندن ، وسجل في مذكراته اكتشافه لصلة ثابت غاوس بالدوال الإهليلجية الليمنيسكاتيكية ، وهي نتيجة صرّح غاوس بأنها "ستفتح بالتأكيد مجالًا جديدًا تمامًا في التحليل". ^{[ 142 ]} كما أحرز غاوس تقدمًا مبكرًا في المسائل الأكثر رسمية لأسس التحليل المركب ، ويتضح من رسالة إلى بيسل عام 1811 أنه كان على دراية بـ"النظرية الأساسية للتحليل المركب" - نظرية كوشي التكاملية - وفهم مفهوم البواقي المركبة عند التكامل حول الأقطاب . ^{[ 128 ] [ 143 ]}

أدت نظرية أويلر للأعداد الخماسية ، إلى جانب أبحاث أخرى حول المتوسط ​​الحسابي المتجانس والدوال الليمنيسكاتيكية، إلى العديد من النتائج المتعلقة بدوال جاكوبي ثيتا ، ^{[ 128 ]} والتي بلغت ذروتها في اكتشاف ما يُعرف لاحقًا باسم متطابقة جاكوبي للضرب الثلاثي عام 1808 ، والتي تتضمن نظرية أويلر كحالة خاصة. ^{[ 144 ]} تُظهر أعماله أنه كان على دراية بالتحويلات النمطية من الرتبة 3 و5 و7 للدوال الإهليلجية منذ عام 1808. ^{[ 145 ] [ r ] [ s ]}

تشير عدة مقاطع رياضية في تراثه إلى معرفته بأجزاء من النظرية الحديثة للأشكال النمطية . ^{[ 128 ]} في عمله على المجموعة النمطية متعددة القيم لعددين مركبين، اكتشف صلة وثيقة بين القيم اللانهائية للمجموعة النمطية وأبسط قيمتين لها. ^{[ 142 ]} في كتاباته غير المنشورة، أدرك مفهوم المجال الأساسي للمجموعة النمطية ورسمه تخطيطيًا . ^{[ 147 ] [ 148 ]} كان أحد تخطيطات غاوس من هذا النوع رسمًا لتبليط قرص الوحدة بمثلثات زائدية متساوية الأضلاع، جميع زواياها متساوية.${\displaystyle \pi /4}$[ ^{149 ]​}

من الأمثلة على بصيرته في التحليل ملاحظته الغامضة بأن مبادئ قسمة الدائرة بالفرجار والمسطرة يمكن تطبيقها أيضًا على قسمة ^منحنى اللمنيسكات ، وهو ما ألهم نظرية أبيل حول قسمة اللمنيسكات. ^{[ ]} مثال آخر هو منشوره "Summatio quarundam serierum singularium" (1811) حول تحديد إشارة مجاميع غاوس التربيعية ، حيث حلّ المشكلة الرئيسية من خلال إدخال نظائر q لمعاملات ذات الحدين ومعالجتها بواسطة عدة متطابقات أصلية تبدو وكأنها نابعة من عمله في نظرية الدوال الإهليلجية؛ ومع ذلك، صاغ غاوس حجته بطريقة رسمية لا تكشف عن أصلها في نظرية الدوال الإهليلجية، ولم يكشف جوهر حجته إلا العمل اللاحق لعلماء رياضيات مثل جاكوبي وهيرميت . ^{[ 150 ]}

في كتابه "Disquisitiones generales circa series infinitam..." (1813)، يقدم أول معالجة منهجية للدالة الهندسية الفائقة العامة${\displaystyle F(\alpha ,\beta ,\gamma ,x)}$ويُبين أن العديد من الدوال المعروفة آنذاك هي حالات خاصة من الدالة فوق الهندسية. ^{[ 151 ]} يُعد هذا العمل أول دراسة دقيقة لتقارب المتسلسلات اللانهائية في تاريخ الرياضيات. ^{[ 152 ]} علاوة على ذلك، يتناول الكسور المستمرة اللانهائية الناتجة عن نسب الدوال فوق الهندسية، والتي تُسمى الآن كسور غاوس المستمرة . ^{[ 153 ]}

في عام ١٨٢٣، فاز غاوس بجائزة الجمعية الدنماركية عن مقالٍ له حول التحويلات المطابقة ، والذي تضمن العديد من التطورات المتعلقة بمجال التحليل المركب. ^{[ ١٥٤ ]} ذكر غاوس أن التحويلات التي تحافظ على الزوايا في المستوى المركب يجب أن تكون دوالًا تحليلية مركبة ، واستخدم معادلة بلترامي ( التي سُميت لاحقًا بهذا الاسم ) لإثبات وجود إحداثيات متساوية الحرارة على الأسطح التحليلية. ويختتم المقال بأمثلة على التحويلات المطابقة إلى كرة وقطع ناقص دوراني . ^{[ ١٥٥ ]}

وظّف غاوس مفهوم الأعداد المركبة لحلّ مسائل معروفة بطريقة جديدة وموجزة. فعلى سبيل المثال، في مذكرة قصيرة من عام ١٨٣٦ حول الجوانب الهندسية للأشكال الثلاثية وتطبيقها في علم البلورات، ^{[ ١٨٠ ]} ذكر النظرية الأساسية في علم قياس المحاور ، والتي تُبيّن كيفية تمثيل مكعب ثلاثي الأبعاد على مستوى ثنائي الأبعاد بدقة تامة، باستخدام الأعداد المركبة. ^{[ ١٨١ ]} ووصف دوران هذه الكرة بأنه نتيجة لبعض التحويلات الكسرية الخطية على المستوى المركب الممتد، ^{[ ١٨٢ ]} وقدّم برهانًا للنظرية الهندسية التي تنص على أن ارتفاعات المثلث تلتقي دائمًا في مركز تعامد واحد . ^{[ ١٨٣ ]}

انصبّ اهتمام غاوس على " الخماسي الكروي الرائع " لجون نابيير لعدة عقود؛ ^{[ 184 ]} وقد تناوله من زوايا نظر مختلفة، وتوصل تدريجيًا إلى فهم شامل لجوانبه الهندسية والجبرية والتحليلية. ^{[ 185 ]} وعلى وجه الخصوص، في عام 1843، صاغ وأثبت عدة نظريات تربط بين الدوال الإهليلجية، والخماسيات الكروية لنابيير، وخماسيات بونسيليه في المستوى. ^{[ 186 ]}

علاوة على ذلك، ساهم في حل مشكلة إنشاء أكبر قطع ناقص داخل شكل رباعي معين ، ^{[ 187 ] [ 188 ]} واكتشف نتيجة مدهشة حول حساب مساحة الأشكال الخماسية . ^{[ 189 ] [ 190 ]}

في الأول من يناير عام ١٨٠١، اكتشف الفلكي الإيطالي جوزيبي بيازي جرمًا سماويًا جديدًا، ورجّح أنه الكوكب الذي طال البحث عنه بين المريخ والمشتري وفقًا لما يُعرف بقانون تيتيوس-بود ، وأطلق عليه اسم سيريس . ^{[ ١٩١ ]} لم يتمكن من تتبعه إلا لفترة وجيزة قبل أن يختفي خلف وهج الشمس. لم تكن الأدوات الرياضية المتاحة آنذاك كافية للتنبؤ بموقع ظهوره مجددًا استنادًا إلى البيانات القليلة المتوفرة. تصدى غاوس لهذه المشكلة وتوقع موقعًا لإعادة اكتشافه المحتملة في ديسمبر ١٨٠١. وقد ثبتت دقة هذا التوقع في حدود نصف درجة عندما رصد فرانز زافير فون زاخ الجرم بالقرب من الموقع المتوقع في ٧ و٣١ ديسمبر في غوتا ، وبشكل مستقل هاينريش أولبرز في ١ و٢ يناير في بريمن . ^{[ ١٩٢ ] [ v ]}

تؤدي طريقة غاوس إلى معادلة من الدرجة الثامنة، يُعرف أحد حلولها، وهو مدار الأرض. ثم يُفصل الحل المطلوب عن الحلول الستة المتبقية بناءً على الشروط الفيزيائية. في هذا العمل، استخدم غاوس أساليب تقريب شاملة ابتكرها لهذا الغرض. ^{[ 193 ]}

أدى اكتشاف سيريس إلى وضع غاوس لنظرية حركة الكويكبات المتأثرة بالكواكب الكبيرة، والتي نُشرت في النهاية عام 1809 تحت عنوان Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum . ^{[ 194 ]} وقد قدمت هذه النظرية ثابت الجاذبية الغاوسي . ^{[ 39 ]}

منذ اكتشاف الكويكبات الجديدة، انشغل غاوس بدراسة اضطرابات عناصر مداراتها . في البداية، فحص سيريس باستخدام أساليب تحليلية مشابهة لأساليب لابلاس، لكنّ جرمه المفضل كان بالاس ، نظرًا لانحرافه المداري الكبير وميله الشديد ، الأمر الذي لم تنجح فيه طريقة لابلاس. استخدم غاوس أدواته الخاصة: المتوسط ​​الحسابي الهندسي ، والدالة فوق الهندسية ، وطريقة الاستيفاء الخاصة به. ^{[ 195 ]} وجد رنينًا مداريًا مع كوكب المشتري بنسبة 18:7 في عام 1812؛ وقدّم غاوس هذه النتيجة بشكل غير رسمي ، ولم يُفصح عن معناها الصريح إلا في رسائل إلى أولبرز وبيسل. ^{[ 196 ] [ 197 ] [ w ]} بعد سنوات طويلة من العمل، أنهى غاوس دراسته في عام 1816 دون أن يحصل على نتيجة تُرضيه. شكّل هذا نهاية نشاطه في علم الفلك النظري. ^{[ 199 ]}

كان من ثمار أبحاث غاوس حول اضطرابات بالاس كتابه " تحديد الجاذبية..." (1818) الذي تناول طريقة في علم الفلك النظري عُرفت لاحقًا باسم "طريقة الحلقة الإهليلجية". وقدّم هذا الكتاب مفهومًا للمتوسطات، حيث يُستبدل الكوكب في مداره بحلقة وهمية ذات كثافة كتلة تتناسب مع الزمن الذي يستغرقه الكوكب في إكمال أقواس مداره. ^{[ 200 ]} ويعرض غاوس طريقة لتقييم جاذبية هذه الحلقة الإهليلجية، والتي تتضمن عدة خطوات؛ إحداها تطبيق مباشر لخوارزمية المتوسط ​​الحسابي الهندسي (AGM) لحساب تكامل إهليلجي . ^{[ 201 ]}

حتى بعد انتهاء إسهامات غاوس في علم الفلك النظري، استمرت أنشطته العملية في علم الفلك الرصدي ، وشغلته طوال حياته المهنية. ففي عام 1799، تناول غاوس مسألة تحديد خط الطول باستخدام اختلاف المنظر القمري، حيث طور صيغًا أكثر ملاءمة من تلك الشائعة الاستخدام آنذاك. ^{[ 202 ]} وبعد تعيينه مديرًا للمرصد ، أولى أهمية بالغة للثوابت الفلكية الأساسية وفقًا لنظرية بيسل. وقدّم غاوس بنفسه جداول للتذبذب والانحراف ، والإحداثيات الشمسية، والانكسار. ^{[ 203 ]} كما قدّم إسهامات عديدة في الهندسة الكروية ، وفي هذا السياق حلّ بعض المشكلات العملية المتعلقة بالملاحة باستخدام النجوم . ^{[ 204 ]} ونشر عددًا كبيرًا من الملاحظات، معظمها عن الكويكبات والمذنبات؛ وكان آخرها رصد كسوف الشمس في 28 يوليو 1851. ^{[ 205 ]}

تناولت أولى منشورات غاوس بعد أطروحته للدكتوراه تحديد موعد عيد الفصح (1800)، وهو موضوع رياضي بسيط. سعى غاوس إلى تقديم خوارزمية سهلة الاستخدام للأشخاص الذين لا يملكون أي معرفة بالتسلسل الزمني الكنسي أو حتى الفلكي، وبالتالي تجنب المصطلحات الشائعة مثل العدد الذهبي ، والتقويم ، والدورة الشمسية ، والحرف الدوميني ، وأي دلالات دينية. ^{[ 206 ]} من المرجح أن يكون لاختيار هذا الموضوع أسباب تاريخية. فقد تسبب استبدال التقويم اليولياني بالتقويم الغريغوري في حدوث ارتباك في الإمبراطورية الرومانية المقدسة منذ القرن السادس عشر، ولم يكتمل في ألمانيا حتى عام 1700، عندما تم حذف فرق أحد عشر يومًا. حتى بعد ذلك، ظل عيد الفصح يقع في تواريخ مختلفة في الأراضي البروتستانتية والكاثوليكية، إلى أن تم إلغاء هذا الاختلاف بموجب اتفاق في عام 1776. في الولايات البروتستانتية، مثل دوقية برونزويك، كان عيد الفصح لعام 1777، الذي يسبق ولادة غاوس بخمسة أسابيع، هو أول عيد فصح يُحسب بالطريقة الجديدة. ^{[ 207 ]}

من المرجح أن غاوس استخدم طريقة المربعات الصغرى لتقليل تأثير خطأ القياس عند حساب مدار سيريس. ^{[ 94 ]} نُشرت هذه الطريقة لأول مرة بواسطة أدريان ماري ليجندر عام 1805، لكن غاوس ادعى في كتابه "نظرية الحركة" (1809) أنه كان يستخدمها منذ عام 1794 أو 1795. ^{[ 208 ] [ 209 ] [ 210 ]} في تاريخ الإحصاء، يُطلق على هذا الخلاف اسم "نزاع الأسبقية حول اكتشاف طريقة المربعات الصغرى". ^{[ 94 ]} أثبت غاوس أن هذه الطريقة تتميز بأقل تباين في العينة ضمن فئة المقدرات الخطية غير المتحيزة بافتراض توزيع الأخطاء توزيعًا طبيعيًا ( نظرية غاوس-ماركوف )، وذلك في بحثه المكون من جزأين "نظرية الجمع بين الملاحظات وتقليل الأخطاء إلى أدنى حد" (1823). ^{[ 211 ]}

في الورقة البحثية الأولى، أثبت غاوس متباينة غاوس (وهي متباينة من نوع تشيبيشيف ) للتوزيعات أحادية النمط ، وذكر دون برهان متباينة أخرى لعزوم الرتبة الرابعة (وهي حالة خاصة من متباينة غاوس-وينكلر). ^{[ 212 ]} واستنتج حدودًا دنيا وعليا لتباين تباين العينة . في الورقة البحثية الثانية، وصف غاوس طرق المربعات الصغرى المتكررة التي اكتشفها. ^{[ 213 ]} وقد وسّع عالم الجيوديسيا فريدريك روبرت هيلمرت عمل غاوس في نظرية الأخطاء في عدة اتجاهات ليشمل نموذج غاوس-هيلمرت . ^{[ 214 ]}

ساهم غاوس أيضًا في حلّ مسائل في نظرية الاحتمالات لا تتعلق مباشرةً بنظرية الأخطاء. ومن الأمثلة على ذلك ما ورد في مذكراته حيث حاول وصف التوزيع التقاربي لعناصر كسر مستمر لعدد عشوائي موزّع توزيعًا منتظمًا في الفترة (0،1) . وقد استنتج هذا التوزيع، المعروف الآن بتوزيع غاوس-كوزمين ، كنتيجة ثانوية لاكتشاف خاصية إرجودية دالة غاوس للكسور المستمرة . ويُعدّ حلّ غاوس أول نتيجة على الإطلاق في النظرية المترية للكسور المستمرة. ^{[ 215 ]}

انشغل غاوس بالمسائل الجيوديسية منذ عام 1799 عندما ساعد كارل لودفيج فون ليكوك في الحسابات خلال مسحه في وستفاليا . ^{[ 216 ]} ابتداءً من عام 1804، تعلم بنفسه بعض الجيوديسيا العملية في برونزويك ^{[ 217 ]} وغوتينغن. ^{[ 218 ]}

منذ عام 1816، قام هاينريش كريستيان شوماخر ، الطالب السابق لغوس ، والذي كان آنذاك أستاذاً في كوبنهاغن ، ولكنه كان يقيم في ألتونا ( هولشتاين ) بالقرب من هامبورغ كرئيس لمرصد، بإجراء عملية تثليث لشبه جزيرة يوتلاند من سكاغن في الشمال إلى لاونبورغ في الجنوب. ^{[ x ]} شكّل هذا المشروع أساساً لإنتاج الخرائط، كما هدف إلى تحديد القوس الجيوديسي بين المواقع النهائية. استُخدمت بيانات الأقواس الجيوديسية لتحديد أبعاد الجيود الأرضي ، وقد أدت مسافات الأقواس الطويلة إلى نتائج أكثر دقة. طلب ​​شوماخر من غاوس مواصلة هذا العمل جنوباً في مملكة هانوفر؛ فوافق غاوس بعد تردد قصير. وأخيراً، في مايو 1820، أصدر الملك جورج الرابع الأمر لغوس. ^{[ 219 ]}

يتطلب قياس القوس تحديدًا فلكيًا دقيقًا لنقطتين على الأقل في الشبكة . استغل غاوس وشوماخر مصادفة وقوع مرصدي غوتينغن وألتونا، في حديقة منزل شوماخر، على خط طول واحد تقريبًا . تم قياس خط العرض باستخدام أجهزتهما وقطاع سمتي من رامسدن نُقل إلى كلا المرصدين. ^{[ 220 ] [ y ]}

كان غاوس وشوماخر قد حددا بالفعل بعض الزوايا بين لونيبورغ وهامبورغ ولاونبورغ للربط الجيوديسي في أكتوبر 1818. ^{[ 221 ]} وخلال صيف 1821 حتى 1825، أشرف غاوس شخصيًا على أعمال التثليث، من تورينجيا جنوبًا إلى نهر الإلبه شمالًا. وكان المثلث بين هوهر هاغن ، وغروسر إنسيلسبيرغ في غابة تورينجيا ، وبروكن في جبال هارتس ، هو الأكبر الذي قاسه غاوس على الإطلاق، حيث بلغ أقصى طول له 107 كيلومترات (66.5 ميلًا) . وفي منطقة لونيبورغ هيث قليلة السكان ، والتي تفتقر إلى القمم الطبيعية البارزة أو المباني الاصطناعية، واجه صعوبة في إيجاد نقاط تثليث مناسبة؛ وفي بعض الأحيان كان من الضروري شق ممرات عبر الغطاء النباتي. ^{[ 207 ] [ 222 ]} 

لتحديد المواقع، اخترع غاوس أداة جديدة مزودة بمرايا متحركة وتلسكوب صغير يعكس أشعة الشمس إلى نقاط التثليث، وأطلق عليها اسم الهليوتروب . ^{[ 223 ]} كما ابتكر جهازًا مناسبًا آخر للغرض نفسه، وهو السدس المزود بمرآة إضافية، وأطلق عليه اسم الهليوتروب البديل . ^{[ 224 ]} وقد ساعد غاوس جنود من جيش هانوفر، من بينهم ابنه الأكبر جوزيف. شارك غاوس في قياس خط الأساس ( خط أساس براك ) الذي أجراه شوماخر في قرية براك بالقرب من هامبورغ عام 1820، واستخدم النتيجة لتقييم التثليث الهانوفري. ^{[ 225 ]}

وكانت إحدى النتائج الإضافية هي قيمة أفضل لتسطيح الشكل الإهليلجي التقريبي للأرض . ^{[ 226 ] [ z ]} طور غاوس إسقاط ميركاتور المستعرض العالمي للأرض ذات الشكل الإهليلجي (ما أسماه الإسقاط المطابق ) ^{[ 228 ]} لتمثيل البيانات الجيوديسية في الخرائط المستوية.

بعد الانتهاء من قياس القوس، بدأ غاوس بتوسيع نطاق التثليث غربًا لإجراء مسح شامل لمملكة هانوفر بموجب مرسوم ملكي صادر في 25 مارس 1828. ^{[ 229 ]} أشرف على العمل العملي ثلاثة ضباط من الجيش، من بينهم الملازم جوزيف غاوس. وُكِلَ تقييم البيانات بالكامل إلى غاوس، الذي طبّق ابتكاراته الرياضية، مثل طريقة المربعات الصغرى وطريقة الحذف . أُنجز المشروع عام 1844، وأرسل غاوس تقريرًا نهائيًا عنه إلى الحكومة؛ ولم تُحرَّر طريقة إسقاطه حتى عام 1866. ^{[ 230 ] [ 231 ]}

في عام 1828، عندما كان يدرس الاختلافات في خطوط العرض ، عرّف غاوس لأول مرة تقريبًا فيزيائيًا لشكل الأرض على أنه السطح العمودي في كل مكان على اتجاه الجاذبية؛ ^{[ 232 ]} وفي وقت لاحق أطلق طالب الدكتوراه يوهان بنديكت ليستينغ على هذا اسم الجيود . ^{[ 233 ]}

بعد أن أثبت إسحاق نيوتن نظريًا أن الأرض والنجوم الدوارة تتخذ أشكالًا غير كروية، اكتسبت مسألة تجاذب الأجسام الإهليلجية أهمية في علم الفلك الرياضي. في أول منشور له حول نظرية الكمون، بعنوان "نظرية التجاذب..." (1813)، قدم غاوس صيغة مغلقة للتجاذب الجاذبي لجسم إهليلجي ثلاثي المحاور متجانس عند كل نقطة في الفضاء. ^{[ 255 ]} على عكس الأبحاث السابقة لماكلورين ولابلاس ولاغرانج، عالج حل غاوس الجديد التجاذب بشكل مباشر في صورة تكامل إهليلجي. وفي سياق ذلك، أثبت أيضًا وطبق بعض الحالات الخاصة لما يُعرف بنظرية غاوس في التحليل المتجهي . ^{[ 256 ]}

في كتابه "النظريات العامة المتعلقة بقوى التجاذب والتنافر التي تعمل بنسب مقلوب المسافات التربيعية " (1840)، قدّم غاوس نظرية أساسية للجهد المغناطيسي ، استنادًا إلى لاغرانج ولابلاس وبواسون؛ ^{[ 245 ]} ويبدو من غير المرجح أنه كان على دراية بأعمال جورج غرين السابقة في هذا الموضوع. ^{[ 248 ]} ومع ذلك، لم يتمكن غاوس من تقديم أي تفسير للمغناطيسية، ولا نظرية مغناطيسية مماثلة لعمل نيوتن في الجاذبية، والتي مكّنت العلماء من التنبؤ بالتأثيرات الجيومغناطيسية في المستقبل. ^{[ 241 ]}

مكّنت حسابات غاوس صانع الأدوات يوهان جورج ريبسولد في هامبورغ من تصميم نظام عدسات لا لونية جديد عام 1810. تمثلت إحدى المشكلات الرئيسية، من بين صعوبات أخرى، في عدم معرفة معامل انكسار وتشتت الزجاج المستخدم بدقة. ^{[ 257} ] في مقال قصير نُشر عام 1817 ^، تناول غاوس مشكلة إزالة الزيغ اللوني في العدسات المزدوجة ، وحسب التعديلات اللازمة على شكل العدسات ومعاملات الانكسار لتقليله إلى أدنى حد. وقد لفت عمله انتباه عالم البصريات كارل أوغست فون شتاينهيل ، الذي قدم عام 1860 عدسة شتاينهيل المزدوجة اللا لونية ، والتي استندت جزئيًا إلى حسابات غاوس. ^{[ 258 ]} وتنتشر العديد من نتائج البصريات الهندسية في مراسلات غاوس وملاحظاته المكتوبة بخط اليد. ^{[ 259 ]}

في كتابه "دراسات في البصريات" (1840)، قدّم غاوس أول تحليل منهجي لتكوين الصور في ظل تقريب محوري ( البصريات الغاوسية ). ^{[ 260 ]} وقد وصف الأنظمة البصرية في ظل هذا التقريب بنقاطها الأساسية فقط ، ^{[ 261 ]} واستنتج صيغة العدسة الغاوسية ، التي يمكن تطبيقها دون قيود فيما يتعلق بسُمك العدسات. ^{[ 262 ] [ 263 ]}

انصبّ اهتمام غاوس الأول في الميكانيكا على دوران الأرض . عندما أجرى صديقه الجامعي بنزنبرغ تجارب عام 1802 لتحديد انحراف الكتل الساقطة عن العمودي، وهو ما يُعرف اليوم بقوة كوريوليس ، طلب من غاوس حسابًا نظريًا للقيم للمقارنة مع القيم التجريبية. وضع غاوس نظامًا من المعادلات الأساسية للحركة، وتطابقت النتائج بشكل كافٍ مع بيانات بنزنبرغ، الذي أضاف اعتبارات غاوس كمُلحق لكتابه عن تجارب السقوط. ^{[ 264 ]}

بعد أن أثبت فوكو دوران الأرض علنًا بتجربته البندولية عام ١٨٥١، استفسر جيرلينغ من غاوس عن مزيد من التوضيحات. دفع هذا غاوس إلى تصميم جهاز جديد للعرض ببندول أقصر بكثير من بندول فوكو. رُصدت التذبذبات باستخدام تلسكوب قراءة مزود بمقياس رأسي ومرآة مثبتة على البندول. وُصف هذا الجهاز في مراسلات غاوس-جيرلينغ، وأجرى ويبر بعض التجارب عليه عام ١٨٥٣، لكن لم تُنشر أي بيانات. ^{[ ٢٦٥ ] [ ٢٦٦ ]}

تم وضع مبدأ غاوس لأقل قيد في عام 1829 كمفهوم عام للتغلب على تقسيم الميكانيكا إلى سكون وديناميكية، حيث يجمع بين مبدأ دالمبير ومبدأ لاغرانج للعمل الافتراضي ، ويظهر أوجه تشابه مع طريقة المربعات الصغرى . ^{[ 267 ]}

في عام 1828، عُيّن غاوس رئيسًا لمجلس الأوزان والمقاييس في مملكة هانوفر. وضع معايير الطول والقياس، وتولى بنفسه مسؤولية المقاييس التي تستغرق وقتًا طويلًا، وأصدر تعليمات مفصلة للتصنيع الميكانيكي. ^{[ 207 ]} وفي مراسلاته مع شوماخر، الذي كان يعمل أيضًا على هذا الموضوع، وصف أفكارًا جديدة لموازين عالية الدقة. ^{[ 268 ]} وقدّم التقارير النهائية عن القدم والرطل الهانوفريين إلى الحكومة عام 1841. اكتسب هذا العمل أهمية دولية بفضل قانون صدر عام 1836 ربط المقاييس الهانوفرية بالمقاييس الإنجليزية. ^{[ 207 ]}

• 1799: عرض نظرية جديدة لوظيفة شاملة للجبر العقلاني integram unius variabilis in Factores Reales primi vel secundi gradus resolvi posse [ دليل جديد على النظرية القائلة بأن كل دالة جبرية متكاملة لمتغير واحد يمكن حلها إلى عوامل حقيقية من الدرجة الأولى أو الثانية ] . هيلمستيدت: CG Fleckeisen.(أطروحة دكتوراه حول النظرية الأساسية للجبر، جامعة هيلمشتيدت) كتاب أصلي
• 1816: "عرض نظريات جديدة بديلة لوظيفة شاملة جبرية عقلانية تكامل وحدة متغيرة في عوامل حقيقية أولية وثانية متدرجة الحل" . التعليقات Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Rescentiores. إتصالات. فصل. الرياضيات . 3 : 107 - 134.إبداعي
• 1816: "نظرية حل دالة الجبر التكاملي في العوامل الحقيقية للإثبات الثالث" . التعليقات Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Rescentiores. إتصالات. فصل. الرياضيات . 3 : 135 - 142.إبداعي
• 1850: "Beiträge zur Theorie der algebraischen Gleichungen" . Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen . 4 : 34 - 35.الأصل (محاضرة من عام 1849)
  • يتعرف العديد من علماء Gauss على الوظائف الجبرية في عوامل البكرة ذات الدرجات المختلفة. (1799–1849) [ البراهين الغوسية الأربعة للنظرية الأساسية للجبر ] . ترجمه نيتو . لايبزيغ: فيلهلم إنجلمان. 1890.(ألمانية)
• 1800: "Berechnung des Osterfestes" [ حساب عيد الفصح ] . Monatliche Correspondenz zur Beförderung der Erd- und Himmelskunde (في المانيا). 2 : 121 - 130.إبداعي
• 1801: الخطابات الحسابية . لايبزيغ: غيره. فلايشر يونيو.
  • غاوس، كارل فريدريش (1986). أبحاث حسابية وأوراق أخرى في نظرية الأعداد . ترجمة آرثر أ. كلارك (الطبعة الثانية المنقحة  ). نيويورك: سبرينغر . doi : 10.1007/978-1-4939-7560-0 . ISBN 978-0-387-96254-2.(مترجم من الطبعة الألمانية الثانية، غوتينغن 1860 )
• 1802: "Berechnung des jüdischen Osterfestes" [ حساب عيد الفصح اليهودي ] . Monatliche Correspondenz zur Beförderung der Erd- und Himmelskunde (في المانيا). 5 : 435 – 437.إبداعي
• 1804: "Über die Grenzen der Geocentrischen Oerter der Planeten" [ حول حدود أماكن مركزية الأرض للكواكب ] . Monatliche Correspondenz zur Beförderung der Erd- und Himmelskunde (في المانيا). 10 : 171 - 193.الأصل (على الأبراج)
• 1808: "Theorematis arithmetici Demonstratio nova" . التعليقات Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis. إتصالات. الرياضيات . 16 : 69 - 74.النص الأصلي (يقدم ليمّة جاوس ، ويستخدمها في البرهان الثالث على التبادلية التربيعية)
• 1808: ميثودوس غريبة الارتفاع بولي ديتيرميناندي (باللاتينية). غوتنغن.
• 1809: Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium (باللاتينية). هامبورغ: فريدريش بيرثيس ويوهان هاينريش بيسر.الكتاب الأصلي
  • نظرية حركة الأجرام السماوية التي تدور حول الشمس في القطوع المخروطية . ترجمة تشارلز هنري ديفيس . دار ليتل، براون وشركاه، 1857.
  • نظرية حركة الأجرام السماوية حول الشمس في مقاطع مخروطية. طبعة مُعاد طباعتها من الأصل الصادر عام ١٨٠٩. (Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium.) (لاتينية) . مجموعة مكتبة كامبريدج - الرياضيات. مطبعة جامعة كامبريدج . ٢٠١١. ISBN 978-1-108-14311-0. Zbl 1234.01016 . 
• 1811: "بحث في العناصر الإهليلجية Palladis ex معارضة annorum 1803، 1804، 1805، 1806، 1807، 1808، 1809" . التعليقات Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Rescentiores. إتصالات. الرياضيات . 1 : 1-26 .الأصل (من عام 1810) (مدار بالاس )
• 1811: "Summatio quarundam serierum Singularium" . التعليقات Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Rescentiores. إتصالات. فصل. الرياضيات . 1 : 1- 40.الأصل (من عام 1808) (تحديد إشارة مجموع جاوس التربيعي ، ويستخدم هذا لتقديم البرهان الرابع على التبادلية التربيعية)
• 1813: "Disquisitiones Generales حوالي seriem Infinitam${\displaystyle 1+{\frac {\alpha \beta }{\gamma .1}}+{\mbox{إلخ.}}}$" . التعليقات Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math . 2 : 1– 42.النسخة الأصلية (من عام 1812، تحتوي على الكسر المستمر لغوس )
• 1816: "طريقة القيم الجديدة التكاملية لكل ابتكار تقريبي" . التعليقات Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Rescentiores. إتصالات. فصل. الرياضيات . 3 : 39 - 76.الأصل (من عام 1814)
• 1818: "النظريات الأساسية في عقيدة البقايا التربيعية للتظاهرات والتوسعات الجديدة" . التعليقات Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Rescentiores. إتصالات. فصل. الرياضيات . 4 : 3 – 20.الأصل (من عام 1817) (الإثبات الخامس والسادس لخاصية التبادلية التربيعية)
• 1818: "تحديد الجاذبية، كم في موضع البيانات المحدد، تمارس الكوكب، إذا كان هناك كتلة لكل مرض، الحصة الزمنية، كو المفردة أجزاء الوصف، توحيد جوهرها" . التعليقات Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Rescentiores. إتصالات. فصل. الرياضيات . 4 : 21 - 48.الأصل (إشارة فقط إلى العمل - غير المنشور في الغالب - حول خوارزمية المتوسط ​​الحسابي الهندسي .)
• 1823: "تركيبة النظرية هي ملاحظة خطأ الحد الأدنى من obnoxiae. بارس بريور" . التعليقات Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Rescentiores. إتصالات. فصل. الرياضيات . 5 : 33 - 62.الأصل (من عام 1821)
• 1823: "تركيبة النظرية هي ملاحظة خطأ الحد الأدنى من الأشياء. بارس الخلفي" . التعليقات Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Rescentiores. إتصالات. فصل. الرياضيات . 5 : 63 - 90.إبداعي
• 1825: "Allgemeine Auflösung der Aufgabe die Theile einer gegebnen Fläche auf einer andern gegebnen Fläche so abzubilden dass die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Theilen ähnlich wird" . علم الفلك Abhandlungen . 3 . التونا.(مقال حائز على جائزة من عام 1822 حول التحويل المطابق)
• 1828: Bestimmung des Breitenunterschiedes zwischen den Sternwarten von Göttingen und Altona durch Beobachtungen am Ramsdenschen Zenithsector [ تحديد الفرق في خط العرض بين مرصدي غوتنغن وألتونا من خلال الملاحظات مع قطاع زينيث في رامسدن ] (بالألمانية). غوتنغن: فاندنهوك وروبريخت. 1828.الكتاب الأصلي
• 1828 : غاوس، كارل فريدريش (1828). "تركيبة النظريات التكميلية هي ملاحظة خطأ الحد الأدنى من الرفض" . التعليقات Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Rescentiores. إتصالات. فصل. الرياضيات . 6 : 57– 98. بيب كود : 1828stco.book .....G .(منذ عام 1826)
  • غاوس، كارل فريدريش؛ ستيوارت، جي دبليو (1995). نظرية دمج الملاحظات الأقل عرضةً للأخطاء. الجزء الأول، الجزء الثاني، الملحق (كلاسيكيات في الرياضيات التطبيقية) . ترجمة جي دبليو ستيوارت. فيلادلفيا: جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية. doi : 10.1137/1.9781611971248 . ISBN 978-0-89871-347-3.(ثلاث مقالات تتعلق بحساب الاحتمالات كأساس لقانون غاوس لانتشار الخطأ)
• 1828: "الاستفسارات العامة حول الأسطح المنحنية" . التعليقات Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Rescentiores. إتصالات. فصل. الرياضيات . 6 : 99 - 146.الأصل (من عام 1827)
  • دراسات عامة عن الأسطح المنحنية (ملف PDF) . ترجمة جيه سي مورهد وإيه إم هيلتبايتل. مكتبة جامعة برينستون. 1902.
• 1828: "Theoria residuorum biquadraticorum، Commentatio prima" . التعليقات Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Rescentiores. إتصالات. فصل. الرياضيات . 6 : 27 - 56.الأصل (من عام 1825)
• 1832: "Theoria residuorum biquadraticorum، Commentatio secunda" . التعليقات Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Rescentiores. إتصالات. فصل. الرياضيات . 7 : 89 - 148.الأصل (من عام 1831) (يقدم الأعداد الصحيحة الغاوسية ، ويذكر (بدون برهان) قانون التبادلية التربيعية ، ويثبت القانون التكميلي لـ 1 + i )
• 1845: "Unter suchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie. Erste Abhandlung" . Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften في غوتنغن . فرقة زويتر، فون دن ياهرين 1842–1844: 3–46 .الأصل (من عام 1843)
• 1847: "Unter suchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie. Zweite Abhandlung" . Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften في غوتنغن . فرقة دريتر، فون دن جاهرين 1845–1847: 3–44 .الأصل (من عام 1846)
• 1848: غاوس (1848). "Schreiben des Herrn Geheimen Hofrathes Gauss an den Herausgeber" [ رسالة من السيد المستشار السري للمحكمة غاوس إلى المحرر ] . Astronomische Nachrichten (في المانيا). 27 : 1– 3. بيب كود : 1848AN .....27....1G . دوى : 10.1002/asna.18480270102 .إبداعي
• 1903: Wissenschaftliches Tagebuch ( Klein، Felix، ed. (1903). "Gauß 'wissenschaftliches Tagebuch 1796–1814" . Mathematische Annalen (باللاتينية والألمانية). 57 : 1– 34. دوى : 10.1007 / BF01449013 . S2CID 119641638 . ) الكتاب الأصلي (من عام 1847، عن الأبراج)
  • جيريمي جراي (1984). “تعليق على مذكرات غاوس الرياضية، 1796-1814”. المعارض الرياضيات . 2 : 97 - 130.

• 1804: Fundamentalgleichungen für die Bewegung schwerer Körper auf der Erde (في الكتاب الأصلي: Benzenberg، يوهان فريدريش . Ver suche über das Gesetz des Falls, über den Widerstand der Luft und über die Umdrehung der Erde [ تجارب على قانون الأجسام المتساقطة ومقاومة الهواء ومقاومة الهواء دوران الأرض ] . دورتموند: جبرودر مالينكرودت ص 363 – 371. إبداعي )
• 1813: "نظرية الجذب الجسدي الكروي الإهليلجي المتجانس طريقة المسالك الجديدة" . التعليقات Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Rescentiores. إتصالات. فصل. الرياضيات . 2 : 1- 24.Original (contains Gauss's theorem of vector analysis)
• 1817: "Ueber die achromatischen Doppelobjective besonders in Rücksicht der vollkommnern Aufhebung der Farbenzerstreuung"[On achromatic double lenses with special regard to a more complete dispersion of colours]. Zeitschrift für Astronomie und verwandte Wissenschaften (in German). IV: 345–351.
• 1829: "Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik"[On a new General Fundamental Law of Mechanics]. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1829 (4): 232–235. 1829. doi:10.1515/crll.1829.4.232. S2CID 199545985.
• 1830: "Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. 7: 39–88.Original (from 1829)
• 1841: "Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. 8: 3–44.Original (from 1832)^[ac]
  • The Intensity of the Earth's Magnetic Force Reduced to Absolute Measurement. Translated by Susan P. Johnson.
• 1836: Erdmagnetismus und Magnetometer (Original book: H.C. Schumacher (ed.). Jahrbuch für 1836 (in German). Vol. 1836. Tübingen: J.G.Cotta'sche Buchhandlung. pp. 1–47.)
• 1840: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte (Original book: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte[General Theorems concerning the attractive and repulsive Forces acting in reciprocal Proportions of quadratic Distances] (in German). Leipzig: Weidmannsche Buchhandlung. 1840.
• 1843: "Dioptrische Untersuchungen"[Dioptrical Investigations]. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen (in German). Erster Band: 1–34.Original (from 1840)

• Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften، أد. (1863-1933). كارل فريدريش غاوس. Werke (باللغة اللاتينية والألمانية). المجلد. 1– 12. غوتنغن: (ناشرون متنوعون). (يشمل ذلك الأعمال الأدبية غير المنشورة)

• Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften، أد. (1880). Shortwechsel zwischen Gauss und Bessel (باللغة الألمانية). لايبزيغ: فيلهلم إنجلمان.(رسائل من ديسمبر 1804 إلى أغسطس 1844)
• شوينبيرج، إريك؛ بيرليك، ألفونس (1955). موجز Unbekannte von CF Gauß und Fr. دبليو بيسل . Abhandlungen der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, Math.-nat. كلاس، نيو فولج، رقم 71 (بالألمانية). ميونيخ: Verlag der Bayerischen Akademie der Wissenschaften. ص 5 – 21. (رسائل إلى بوغوسلافسكي من فبراير 1835 إلى يناير 1848)
• شويمين، فريدهيلم، أد. (2014). Der Shortwechsel zwischen Carl Friedrich Gauß و Johann Elert Bode . اكتا هيستوريكا أسترونوميكا (في المانيا). المجلد.  53. لايبزيغ: Akademische Verlaganstalt. رقم ISBN 978-3-944913-43-8.(رسائل من فبراير 1802 إلى أكتوبر 1826)
• فرانز شميدت، بول ستاكل، أد. (1899). Shortwechsel zwischen Carl Friedrich Gauss und Wolfgang Bolyai (في المانيا). لايبزيغ: بي جي تيوبنر.(رسائل من سبتمبر 1797 إلى فبراير 1853؛ بالإضافة إلى رسائل من مراسلين آخرين)
• أكسل ويتمان، أد. (2018). Obgleich و indeßen. Der Bringwechsel zwischen Carl Friedrich Gauss und Johann Franz Encke (في المانيا). ريماجين: فيرلاغ كيسيل. رقم ISBN 978-3945941379.(رسائل من يونيو 1810 إلى يونيو 1854)
• كليمنس شيفر، أد. (1927). Shortwechsel zwischen كارل فريدريش غاوس وكريستيان لودفيج جيرلينج (في المانيا). برلين: أوتو إلسنر.(رسائل من يونيو 1810 إلى يونيو 1854)
• كارل كريستيان برونز ، أد. (1877). موجز zwischen A. v. Humboldt und Gauss (باللغة الألمانية). لايبزيغ: فيلهلم إنجلمان.(رسائل من يوليو 1807 إلى ديسمبر 1854؛ بالإضافة إلى رسائل من مراسلين آخرين)
• الأماكن القريبة : روسانوفا ، إيلينا (2018). كارل كريل ودير المغناطيسية. Seine Korrespondenz mit Carl Friedrich Gauß في سياق تاريخي . Veröffentlichungen der Kommission für Geschichte der Naturwissenschaften, Mathematik und Medizin, No. 68 (باللغة الألمانية). فيينا: Verlag der Österreichischen Akademie der Wissenschaften.(رسائل من عام 1835 إلى عام 1843)
• جيراردي، ثيو، أد. (1959). نبذة مختصرة عن كارل فريدريش غاوس وكارل لودفيج فون ليكوك . Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften in Göttingen، Mathematisch-Physikalische Klasse، رقم 4 (باللغة الألمانية). غوتنغن: فاندنهوك وروبريخت. ص 37 – 63. (رسائل من فبراير 1799 إلى سبتمبر 1800)
• فوربس، إريك ج. (1971). "المراسلات بين كارل فريدريش جاوس والقس نيفيل ماسكيلين (1802-1805)" . حوليات العلوم . 27 (3): 213-237 . doi : 10.1080/00033797100203767 .
• كونينغهام، كليفورد (2004). "اكتشاف المراسلات المفقودة بين كارل فريدريش غاوس والقس نيفيل ماسكيلين (1802-1805)" . حوليات العلوم . 61 (4): 469-481 . doi : 10.1080/00033790310001660164 .
• كارل شيلينغ، أد. (1900). موجز Wechsel zwischen Olbers und Gauss: Erste Abtheilung . فيلهلم أولبرز . Sein Leben und seine Werke. فرقة زويتر (بالألمانية). برلين: يوليوس سبرينغر.(رسائل من يناير 1802 إلى أكتوبر 1819)
• كارل شيلينغ، أد. (1909). Shortwechsel zwischen Olbers und Gauss: Zweite Abtheilung . فيلهلم أولبرز. Sein Leben und seine Werke. فرقة زويتر (بالألمانية). برلين: يوليوس سبرينغر.(رسائل من يناير 1820 إلى مايو 1839؛ بالإضافة إلى رسائل من مراسلين آخرين)
• كريستيان أوغست فريدريش بيترز ، أد. (1860-1865). Shortwechsel zwischen CF Gauss und HC Schumacher (باللغة الألمانية). التونا: غوستاف إيش.
  • المجلدان 1+2 (رسائل من أبريل 1808 إلى مارس 1836)
  • المجلدان 3+4 (رسائل من مارس 1836 إلى أبريل 1845)
  • المجلدان 5 و6 (رسائل من أبريل 1845 إلى نوفمبر 1850)
• بوسر، هانز، أد. (1987). موجز Wechsel zwischen كارل فريدريش غاوس وإبرهارد أوغست زيمرمان . Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften in Göttingen، Mathematisch-Physikalische Klasse، Folge 3، رقم 39 (باللغة الألمانية). غوتنغن: فاندنهوك وروبريخت. رقم ISBN 978-3525821169.(رسائل من عام 1795 إلى عام 1815)

تُوفّر أكاديمية غوتينغن للعلوم الإنسانية مجموعةً كاملةً من الرسائل المعروفة من وإلى كارل فريدريش غاوس، وهي متاحةٌ عبر الإنترنت. ^{[ 40 ]} وتتولى مكتبة غوتينغن الحكومية والجامعية حفظ هذه المجموعة الأدبية وتوفيرها . ^{[ 302 ]} كما يُمكن العثور على مواد مكتوبة من كارل فريدريش غاوس وأفراد عائلته في الأرشيف البلدي لمدينة برونزويك. ^{[ 303 ]}